exercices corriges polynomes fractions rationnelles
DESCRIPTION
laplaceTRANSCRIPT
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
1
Polynรดmes et fractions rationnelles
Exercice 1.
Factoriser dans โ[๐] et dans โ[๐] le polynรดme ๐ = โ๐8 + 2๐4 โ 1
Allez ร : Correction exercice 1
Exercice 2.
Soit ๐ = 1 โ ๐8
Factoriser ๐ dans โ[๐], puis dans โ[๐] et enfin dans โ[๐]
Allez ร : Correction exercice 2
Exercice 3.
Soit ๐ = (๐ + 1)7 โ ๐7 โ 1. On note ๐ = ๐2๐๐
3
1. Montrer que 1 + ๐ = โ๐2
2. Montrer que ๐ est une racine multiple de ๐.
3. Trouver deux racines rรฉelles รฉvidentes de ๐.
4. Factoriser ๐ en facteurs irrรฉductibles dans โ[๐] et puis dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 3
Exercice 4.
Dรฉterminer les racines rรฉelles et complexes du polynรดme :
๐(๐) = ๐5 + ๐4 + ๐3 + ๐2 + ๐ + 1
En dรฉduire sa factorisation dans โ[๐] et dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 4
Exercice 5.
Soit ๐ = ๐7 + ๐6 + ๐5 + ๐4 + ๐3 + ๐2 + ๐ + 1
1. Factoriser ๐ dans โ[๐].
2. Factoriser ๐ dans โ[๐].
3. Factoriser ๐ dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 5
Exercice 6.
Factoriser sur โ et sur โ le polynรดme
๐(๐) = ๐6 + ๐4 + ๐2 + 1
Indication : ๐(๐) = 1 + ๐2 + ๐4 + ๐6
Allez ร : Correction exercice 6
Exercice 7.
Dรฉterminer les racines rรฉelles et complexes du polynรดme :
๐(๐) =1
32๐5 +
1
16๐4 +
1
8๐3 +
1
4๐2 +
1
2๐ + 1
En dรฉduire sa factorisation dans โ[๐] et dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 7
Exercice 8.
Soit ๐ โ โ[๐] dรฉfini par
๐ = ๐4 โ ๐3 + ๐2 โ ๐ + 1
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
2
1. Dรฉterminer les racines de ๐.
2. Factoriser ๐ dans โ[๐], puis dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 8
Exercice 9.
1. Soit ๐ = โ๐3 + ๐2 โ ๐ + 1 un polynรดme.
Factoriser ce polynรดme dans โ[๐] et dans โ[๐].
2. Soit
๐ = 1 โ ๐ + ๐2 โโฏ+ (โ1)๐๐๐ =โ(โ1)๐๐๐๐
๐=0
Dรฉterminer les racines rรฉelles et complexes de ๐.
Allez ร : Correction exercice 9
Exercice 10.
Soit ๐ = ๐6 + 2๐5 + 4๐4 + 4๐3 + 4๐2 + 2๐ + 1
On pose ๐ = ๐2๐๐
3
1. Montrer que ๐ est une racine multiple de ๐.
2. Factoriser ๐ dans โ[๐].
3. Factoriser ๐ dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 10
Exercice 11.
Soit ๐ โ โ[๐] dรฉfini par
๐ = ๐8 + 2๐6 + 3๐4 + 2๐2 + 1
1. Montrer que ๐ = ๐2๐๐
3 est une racine multiple de ๐.
2. En remarquant que ๐ est un polynรดme pair, donner toutes les racines de ๐ ainsi que leur multiplicitรฉ.
3. Factoriser ๐ dans โ[๐], puis dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 11
Exercice 12.
Soit ๐ = 2๐3 + 3๐2 + 6๐ + 1 โ 3๐
1. Montrer que ๐ est une racine double de ๐
2. Factoriser ๐ dans โ[๐]
Allez ร : Correction exercice 12
Exercice 13.
1. Dรฉterminer les racines rรฉelles et complexes de (๐ + 1)6 โ ๐6
2. Soit ๐ โ โ et soit ๐ โ โ[๐] dรฉfini par
๐ = (๐ + 1)7 โ ๐7 โ ๐
Dรฉterminer ๐ pour que ๐ admette une racine rรฉelle multiple.
Allez ร : Correction exercice 13
Exercice 14.
1. Le polynรดme ๐ด = ๐4 + 3๐ + 1, est-il irrรฉductible dans โ[๐] ?
2. Le polynรดme ๐ต = ๐3 + 3๐ + 1, est-il irrรฉductible dans โ[๐] ?
Allez ร : Correction exercice 14
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
3
Exercice 15.
Dรฉterminer les rรฉels ๐, ๐ et ๐ tels que ๐ = ๐5 โ 2๐4 โ 6๐3 + ๐๐2 + ๐๐ + ๐ soit factorisable par
๐ = (๐2 โ 1)(๐ โ 3)
Allez ร : Correction exercice 15
Exercice 16.
Pour ๐ โ โ, montrer que le polynรดme ๐ด๐ = (๐ โ 1)๐+2 + ๐2๐+1 est divisible par ๐ต = ๐2 โ ๐ + 1
Allez ร : Correction exercice 16
Exercice 17.
Soit
๐๐ = (๐ + 1)๐ โ ๐๐ โ 1
On pose ๐ โก ๐ [6] avec ๐ โ {0,1,2,3,4,5}
Pour quelles valeurs de ๐, ๐ = ๐2๐๐
3 est-il racine de ๐๐ ?
On pourra discuter selon les valeurs de ๐.
Allez ร : Correction exercice 17
Exercice 18.
Dรฉterminer le reste de la division euclidienne de (๐ + 1)๐ par ๐2 + 1.
Allez ร : Correction exercice 18
Exercice 19.
Quel est le reste de la division euclidienne de ๐ = ๐๐ + ๐ + 1 par ๐ = (๐ โ 1)2 ?
Allez ร : Correction exercice 19
Exercice 20.
Soit ๐ โ โ[๐] le reste de la division euclidienne de (๐ + 1)๐ par (๐ โ 1)2.
Dรฉterminer ๐ .
Allez ร : Correction exercice 20
Exercice 21.
Quel est le reste de la division euclidienne de ๐ด๐ = ๐๐ + ๐ + ๐ par ๐ต = (๐ โ ๐)2, pour ๐ โ โ, ๐ โฅ 2.
Allez ร : Correction exercice 21
Exercice 22.
Dรฉterminer le reste dans la division euclidienne de ๐ด = ๐2๐ + 2๐๐ + 1 par ๐ต = ๐2 + 1
Allez ร : Correction exercice 22
Exercice 23.
1. Montrer que pour tout ๐ โ โ, ๐4๐ โ 1 est divisible par ๐4 โ 1.
2. En dรฉduire que le polynรดme ๐ = ๐4๐+3 + ๐4๐+2 + ๐4๐+1 + ๐4๐ avec ๐, ๐, ๐ et ๐ entiers naturels est
divisible par ๐ = ๐3 + ๐2 + ๐ + 1.
Allez ร : Correction exercice 23
Exercice 24.
Soit ๐ = ๐3 + ๐๐ + ๐ un polynรดme de โ[๐], on note ๐ผ, ๐ฝ et ๐พ ses racines.
1. Calculer ๐ด = ๐ผ2 + ๐ฝ2 + ๐พ2.
2. Calculer ๐ต = ๐ผ3 + ๐ฝ3 + ๐พ3.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
4
3. Calculer ๐ถ = ๐ผ2๐ฝ + ๐ผ๐ฝ2 + ๐ผ2๐พ + ๐ผ๐พ2 + ๐ฝ2๐พ + ๐ฝ๐พ2.
4. On pose ๐ท = ๐ผ3๐ฝ + ๐ผ๐ฝ3 + ๐ผ3๐พ + ๐ผ๐พ3 + ๐ฝ3๐พ + ๐ฝ๐พ3
Calculer ๐ท en fonction de ๐.
Allez ร : Correction exercice 24
Exercice 25.
On pose ๐(๐) = ๐3 โ 63๐ + 162
Sachant que lโune des racines de ce polynรดme est le double dโune autre racine, trouver les trois racines de ๐.
Indication : On pourra utiliser les relations entre les racines et les coefficients du polynรดme.
Allez ร : Correction exercice 25
Exercice 26.
Soit ๐ โ โ[๐] un polynรดme tel que ๐๐(๐ โ 1) = (๐ โ 2)๐(๐)
1. Montrer que 0 et 1 sont racines de ๐.
2. Soit ๐ une racine de ๐. Si ๐ โ 0, montrer que ๐ โ 1 est racine. Si ๐ โ 1, montrer que ๐ + 1 est racine.
3. On suppose que ๐ nโest pas le polynรดme nul. Montrer que 0 et 1 sont les seules racines de ๐.
Indication :
Sโil existe une racine ๐ telle que โ๐(๐) < 1 diffรฉrente de 0 (๐ โ 0), montrer quโil y a une infinitรฉ de
racines.
Sโil existe une racine ๐ telle que โ๐(๐) > 0 diffรฉrente de 1 (๐ โ 1), montrer quโil y a une infinitรฉ de
racines.
4. En dรฉduire que ๐ est de la forme ๐ผ๐๐(๐ โ 1)๐ avec ๐ผ โ โ[๐], ๐ โ โโ et ๐ โ โโ.
5. Quel est lโensemble des polynรดmes de ๐ โ โ[๐] tels que ๐๐(๐ โ 1) = (๐ โ 2)๐(๐).
Allez ร : Correction exercice 26
Exercice 27.
Effectuer la division suivante les puissances croissantes de ๐4 + ๐3 โ 2๐ + 1 par ๐2 + ๐ + 1 ร lโordre 2.
Allez ร : Correction exercice 27
Exercice 28.
On considรจre le couple de polynรดme ร coefficients rรฉels
๐ = ๐3 โ ๐2 โ ๐ โ 2 et ๐ = ๐3 โ 1
1. Utiliser lโalgorithme dโEuclide pour calculer le ๐๐บ๐ถ๐ท(๐, ๐).
2. Dรฉcomposer ๐ et ๐ en facteurs irrรฉductibles dans โ[๐].
3. Retrouvez le rรฉsultat de la question 1.
4. Dรฉcomposer ๐ en facteur irrรฉductible dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 28
Exercice 29.
Soient ๐ = ๐5 + ๐4 โ 6๐3 โ ๐2 โ ๐ + 6 et ๐ = ๐4 + 2๐3 โ ๐ โ 2
Dรฉterminer le ๐๐บ๐ถ๐ท de ๐ et ๐ et en dรฉduire les racines communes de ๐ et ๐.
Allez ร : Correction exercice 29
Exercice 30.
Dรฉterminer les P.G.C.D. des polynรดmes
๐ด = ๐5 + 2๐4 + ๐3 โ ๐2 โ 2๐ โ 2 et ๐ต = ๐4 + 3๐3 + 3๐2 โ 2
En utilisant lโalgorithme dโEuclide. En dรฉduire les factorisations de ๐ด et ๐ต dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 30
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
5
Exercice 31.
Dรฉterminer une identitรฉ de Bรฉzout entre les polynรดmes ๐ = (๐ โ 1)2 et ๐ = ๐2 + 1.
Allez ร : Correction exercice 31
Exercice 32.
1. Dรฉterminer une identitรฉ de Bรฉzout entre les polynรดmes
๐ = 2๐4 + ๐3 โ 2๐ โ 1 et ๐ = 2๐4 โ ๐3 โ 3๐2 + ๐ + 1
2. En dรฉduire les racines communes de ๐ et ๐.
Allez ร : Correction exercice 32
Exercice 33.
Soit ๐ = ๐5 + ๐4 + 2๐3 + 2๐2 + ๐ + 1
1. Calculer le PGCD de ๐ et ๐โฒ.
2. Quelles sont les racines communes ร ๐ et ๐โฒ ?
Quelles sont les racines multiples de ๐ dans โ ?
3. Montrer que (๐2 + 1)2 divise ๐.
4. Factoriser ๐ dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 33
Exercice 34.
Pour tout polynรดme ๐ โ โ[๐] on dรฉsigne par ๐(๐ + 1) le polynรดme obtenu en remplaรงant ๐ par ๐ + 1
dans ๐.
1. Existe-t-il des polynรดmes ๐ โ โ[๐] de degrรฉ 3 tels que ๐(0) = 1 ?
2. Si ๐ โ โ[๐] est un polynรดme de degrรฉ 3, quel est le degrรฉ du polynรดme ๐(๐ + 1) โ ๐(๐) ?
3. Existe-t-il des polynรดmes ๐ โ โ[๐] de degrรฉ trois qui vรฉrifient :
๐(๐ + 1) โ ๐(๐) = ๐2 โ 1 et ๐(0) = 1
(Indication : On pourra dรฉriver le polynรดme ๐ dans lโรฉquation ci-dessus.)
Allez ร : Correction exercice 34
Exercice 35.
Soit ๐ un entier strictement positif.
1. Dรฉterminer le pgcd des polynรดmes ๐๐ โ 1 et (๐ โ 1)๐.
2. Pour ๐ = 3 dรฉmontrer qu'il existe un couple de polynรดmes (๐, ๐) tel que : (๐3 โ 1)๐ + (๐ โ 1)3๐ = ๐ โ 1
Donnez-en un.
Allez ร : Correction exercice 35
Exercice 36.
1. Dรฉterminer le ๐๐บ๐ถ๐ท et une identitรฉ de Bรฉzout des polynรดmes ๐ et ๐.
๐ = (๐2 โ 3๐ + 2)(๐2 + 1) = ๐4 โ 3๐3 + 3๐2 โ 3๐ + 2
๐ = (๐2 + 3๐ + 2)(๐2 + 1) = ๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2
2. Factoriser ๐ et ๐.
Allez ร : Correction exercice 36
Exercice 37.
Soit
(๐ + 1)2๐ด + (๐ โ 1)2๐ต = 1 (๐ธ)
1. Trouver une solution particuliรจre ๐ด0, ๐ต0 โ โ[๐] de (๐ธ).
2. En dรฉduire toutes les solutions de (๐ธ).
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
6
3. Dรฉterminer tous les polynรดmes ๐ tels que ๐ โ 1 soit un multiple de (๐ + 1)2 et que ๐ + 1 soit un
multiple de (๐ โ 1)2.
Allez ร : Correction exercice 37
Exercice 38.
Soient ๐ et ๐ deux polynรดmes dรฉfinis par :
๐(๐) = ๐6 โ ๐4 โ ๐2 + 1 et ๐(๐) = ๐4 + 2๐3 โ 2๐ โ 1
Dรฉterminer le PGCD de ๐ et ๐ et en dรฉduire les racines communes de ๐ et ๐ ainsi que leur multiplicitรฉ.
Allez ร : Correction exercice 38
Exercice 39.
Quels sont les polynรดmes de โ[๐] tels que ๐โฒ divise ๐.
Allez ร : Correction exercice 39
Exercice 40.
Soit ๐(๐) = 2๐4 + 3๐3 โ 3๐2 + 3๐ + 2
On pose ๐ = ๐ +1
๐
1. Montrer quโil existe un polynรดme ๐, de degrรฉ 2 tel que ๐(๐) =๐(๐)
๐2.
2. Calculer les racines de ๐.
3. En dรฉduire les racines de ๐, puis la factorisatistion de ๐ dans โ[๐] et dans โ[๐].
Allez ร : Correction exercice 40
Exercice 41.
Soit ํ โ โ, on suppose que sin(๐ํ) โ 0.
1. Dรฉterminer toutes les racines du polynรดme
๐ =โ(๐๐) sin(๐ํ)๐๐
๐
๐=1
2. Montrer que toutes les racines sont rรฉelles.
Allez ร : Correction exercice 41
Exercice 42.
Dรฉcomposer en รฉlรฉments simples la fraction rationnelle :
๐น(๐) =๐4 โ ๐ + 2
(๐ โ 1)(๐2 โ 1)
Allez ร : Correction exercice 42
Exercice 43.
Dรฉcomposer en รฉlรฉments simples la fraction rationnelle :
๐น(๐) =6๐3 + 3๐2 โ 5
๐4 โ 1
1. Dans โ(๐)
2. Dans โ(๐)
Allez ร : Correction exercice 43
Exercice 44.
Dรฉcomposer en รฉlรฉments simples sur โ les fractions rationnelles suivantes :
1.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
7
๐น(๐) =โ๐2 + 2๐ + 1
(๐ โ 1)2(๐2 + 1)
2.
๐บ(๐) =๐3
(๐ โ 1)(๐ + 1)
Allez ร : Correction exercice 44
Exercice 45.
Soit
๐น =3
(๐2 + ๐ + 1)(๐ โ 1)2
Dรฉcomposer ๐น en รฉlรฉments simples dans โ(๐), dans โ(๐).
Allez ร : Correction exercice 45
Exercice 46.
Dรฉcomposer la fraction rationnelle suivante dans โ(๐).
๐น =๐2
(๐2 + 1)2010
Allez ร : Correction exercice 46
Exercice 47.
Dรฉcomposer la fraction rationnelle suivante en รฉlรฉments simples.
๐น =๐8 + ๐ + 1
๐4(๐ โ 1)3
Allez ร : Correction exercice 47
Exercice 48.
Dรฉcomposer la fraction suivante en รฉlรฉments simples dans โ(๐).
๐น =๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2
Allez ร : Correction exercice 48
Exercice 49.
Dรฉcomposer la fraction rationnelle suivante dans โ(๐) et dans โ(๐)
๐บ =๐5
(๐4 โ 1)2
Allez ร : Correction exercice 49
Exercice 50.
1. Soit ๐น =๐
๐. Si ๐ผ โ โ est une racine simple de ๐, montrer que le coefficient de lโรฉlรฉment simple
1
๐โ๐ผ est
๐(๐ผ)
๐โฒ(๐ผ).
2. Dรฉcomposer dans โ(๐) la fraction
๐น =๐
๐๐ โ 1
Allez ร : Correction exercice 50
Exercice 51.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
8
On considรจre le polynรดme ๐ = ๐5 โ ๐3 + ๐2 โ 1
1. Factoriser ๐ dans โ[๐] et dans โ[๐]
2. Dรฉcomposer la fraction ๐+1
๐ en รฉlรฉments simples dans โ(๐)
Allez ร : Correction exercice 51
CORRECTIONS
Correction exercice 1.
Dans โ[๐]
๐ = โ(๐8 โ 2๐4 + 1) = โ(๐4 โ 1)2 = โ(๐2 โ 1)2(๐2 + 1)2 = โ(๐ โ 1)2(๐ + 1)2(๐2 + 1)2
Dans โ[๐]
๐ = โ(๐ โ 1)2(๐ + 1)2(๐ โ ๐)2(๐ + ๐)2
Allez ร : Exercice 1
Correction exercice 2.
Premiรจre mรฉthode
๐(๐) = 1 โ ๐8 = (1 โ ๐4)(1 + ๐4), (1 โ ๐4) se dรฉcompose facilement en
(1 โ ๐)(1 + ๐)(๐ โ ๐)(๐ + ๐) = โ(๐ โ 1)(1 + ๐)(๐ โ ๐)(๐ + ๐), mais pour dรฉcomposer 1 + ๐4,
cโest beaucoup plus dรฉlicat, il faut utiliser une bonne ruse, allons-y
1 + ๐4 = 1 + 2๐2 + ๐4 โ 2๐2 = (1 + ๐2)2 โ (โ2๐)2= (1 + ๐2 โ โ2๐)(1 + ๐2 + โ2๐)
1 + ๐2 โ โ2๐ = ๐2 โ โ2๐ + 1 et 1 + ๐2 + โ2๐ = ๐2 + โ2๐ + 1 sont deux polynรดmes irrรฉductibles
dans โ[๐] car leur discriminant sont nรฉgatifs. Donc la dรฉcomposition de ๐(๐) dans โ[๐] est :
๐(๐) = โ(๐ โ 1)(1 + ๐)(๐2 + 1)(๐2 โ โ2๐ + 1)(๐2 + โ2๐ + 1)
Pour la dรฉcomposition dans โ[๐] il suffit de trouver les racines complexes de ๐2 โ โ2๐ + 1 et ๐2 +
โ2๐ + 1
Le discriminant de ๐2 โ โ2๐ + 1 est ฮ1 = (โโ2)2โ 4 = โ2 = (๐โ2)
2, ses racines sont ๐1 =
โ2โ๐โ2
2= ๐โ๐
๐
4 et ๐2 =โ2+๐โ2
2= ๐๐
๐
4.
Le discriminant de ๐2 + โ2๐ + 1 est ฮ1 = (โ2)2โ 4 = โ2 = (๐โ2)
2, ses racines sont ๐3 =
โโ2โ๐โ2
2= ๐โ3๐
๐
4 et ๐4 =โโ2+๐โ2
2= ๐3๐
๐
4 .
๐(๐) = โ(๐ โ 1)(1 + ๐)(๐ โ ๐)(๐ + ๐) (๐ โโ2โ๐โ2
2) (๐ โ
โ2+๐โ2
2) (๐ โ
โโ2โ๐โ2
2) (๐ โ
โโ2+๐โ2
2)
Deuxiรจme mรฉthode
On cherche les racines rรฉelles et complexes de 1 โ ๐8 = 0
๐8 = 1 โ ๐๐ = ๐2๐๐๐
8 = ๐๐๐๐
4 avec ๐ โ {0,1; 2,3,4,5,6,7}
Ce qui donne ๐0 = 1, ๐1 = ๐๐๐
4 , ๐2 = ๐๐๐
2 = ๐, ๐3 = ๐3๐๐
4 , ๐4 = ๐๐๐ = โ1, ๐5 = ๐5๐๐
4 = ๐โ 3๐๐
4 , ๐6 =
๐3๐๐
2 = โ๐, ๐7 = ๐7๐๐
4 = ๐โ ๐๐
4
La dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐(๐) = โ(๐ โ 1) (๐ โ ๐๐๐4 ) (๐ โ ๐) (๐ โ ๐
3๐๐4 ) (๐ + 1) (๐ โ ๐โ
3๐๐4 ) (๐ + ๐) (๐ โ ๐โ
๐๐4 )
Pour la dรฉcomposition dans โ[๐], on regroupe les conjuguรฉs
๐(๐) = โ(๐ โ 1)(1 + ๐)(๐ โ ๐)(๐ + ๐) (๐ โ ๐โ๐๐4) (๐ โ ๐๐
๐4) (๐ โ ๐โ3๐
๐4) (๐ โ ๐3๐
๐4)
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
9
๐(๐) = โ(๐ โ 1)(1 + ๐)(๐2 + 1) (๐2 โ (๐โ๐๐4 + ๐๐
๐4) ๐ + ๐โ๐
๐4๐๐
๐4) (๐2 โ (๐โ3๐
๐4 + ๐3๐
๐4) ๐
+ ๐โ3๐๐4๐3๐
๐4)
= โ(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐2 + 1) (๐2 โ 2 cos (๐
4)๐ + 1) (๐2 โ 2cos (
3๐
4)๐ + 1)
= โ(๐ โ 1)(๐ + 1)(1 + ๐2) (๐2 โ 2โ2
2๐ + 1) (๐2 + 2
โ2
2๐ + 1)
= โ(๐ โ 1)(๐ + 1)(1 + ๐2)(๐2 โ โ2๐ + 1)(๐2 + โ2๐ + 1)
Dans โ[๐] on regroupe les deux derniers polynรดmes
๐(๐) = โ(๐ โ 1)(๐ + 1)(1 + ๐2)(๐2 + 1 โ โ2๐)(๐2 + 1 + โ2๐)
= โ(๐ โ 1)(๐ + 1)(1 + ๐2) ((๐2 + 1)2 โ (โ2๐)2)
= โ(๐ โ 1)(๐ + 1)(1 + ๐2)(๐4 + 1)
Allez ร : Exercice 2
Correction exercice 3.
1.
1 + ๐ = 1 + (โ1
2+๐โ3
2) =
1
2+๐โ3
2= โ(
1
2+๐โ3
2) = โ๐
4๐๐3 = โ(๐
2๐๐3 )
2
= โ๐2
Ou mieux
1 + ๐ + ๐2 =1 โ ๐3
1 โ ๐= 0
Car ๐3 = (๐2๐๐
3 )3
= ๐2๐๐ = 1.
2.
๐(๐) = (๐ + 1)7 โ ๐7 โ 1 = (โ๐2)7 โ ๐6๐ โ 1 = โ๐14 โ ๐ โ 1 โ ๐12๐2 โ ๐ โ 1 = โ(๐2 + ๐ + 1) = 0
๐โฒ = 7(๐ + 1)6 โ 7๐6
๐โฒ(๐) = 7((๐ + 1)6 โ ๐6) = 7((โ๐2)6 โ 1) = 7(๐12 โ 1) = 7(1 โ 1) = 0
Donc ๐ est au moins racine double.
3. ๐(0) = (0 + 1)7 โ 07 โ 1 = 17 โ 1 = 0 et ๐(โ1) = (โ1 + 1)7 โ (โ1)7 โ 1 = 0 โ (โ1) โ 1 = 0
Donc 0 et โ1 sont deux racines รฉvidentes.
4. Le dรฉbut de la formule du binรดme de (๐ + 1)7 est ๐7 + 7๐6 (il y a plein dโautre terme mais il est
inutile de les calculer) donc ๐ est un polynรดme de degrรฉ 6 et son coefficient dominant est 7.
Dโautre part, ๐ est racine double (au moins) donc ๐ = ๐2 est aussi racine double (au moins) car ๐ est un
polynรดme ร coefficients rรฉels. 0 et โ1 sont aussi racine, cela donne 6 racine (au moins), comme ๐ยฐ๐ =6 on a toutes les racines. La factorisation dans โ[๐] est :
๐ = 7๐(๐ + 1)(๐ โ ๐)2(๐ โ ๐)2
Dans โ[๐] :
(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) = (๐ โ ๐)(๐ โ ๐2) = ๐2 โ (๐ + ๐2)๐ + ๐3 = ๐2 + ๐ + 1
Donc
๐ = 7๐(๐ + 1) ((๐ โ ๐)(๐ โ ๐))2
= 7๐(๐ + 1)(๐2 + ๐ + 1)2
Allez ร : Exercice 3
Correction exercice 4.
๐(๐) = 1 + ๐ + ๐2 + ๐3 + ๐4 + ๐5 = 0 โ {1 โ ๐6
1 โ ๐= 0
๐ โ 1
โ {1 โ ๐6 = 0
๐ โ 1โ {๐
6 = 1๐ โ 1
Or ๐6 = 1 โ ๐๐ = ๐2๐๐๐
6 = ๐๐๐๐
3 avec ๐ โ {0,1; 2,3,4,5}
Ce qui donne ๐0 = 1, ๐1 = ๐๐๐
3 = โ๐ = โ๐2, ๐2 = ๐2๐๐
3 = ๐, ๐3 = ๐๐๐ = โ1, ๐4 = ๐4๐๐
3 = ๐2, ๐5 = ๐5๐๐
3 = โ๐
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
10
Les 5 racines de ๐ sont ๐1 = โ๐2, ๐2 = ๐, ๐3 = โ1, ๐4 = ๐2 et ๐5 = โ๐.
La dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐(๐) = 1 ร (๐ + ๐2)(๐ โ ๐)(๐ + 1)(๐ โ ๐2)(๐ + ๐) = (๐ + ๐2)(๐ โ ๐)(๐ + 1)(๐ โ ๐2)(๐ + ๐)
La dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐(๐) = (๐ + 1)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐2)(๐ + ๐2)(๐ + ๐) = (๐ + 1)(๐2 โ (๐ + ๐2)๐ + ๐3)(๐2 + (๐ + ๐2)๐ + ๐3)
= (๐ + 1)(๐2 + ๐ + 1)(๐2 โ ๐ + 1)
Allez ร : Exercice 4
Correction exercice 5.
1.
๐ = 1 + ๐ + ๐2 + ๐3 + ๐4 + ๐5 + ๐6 + ๐7 =1 โ ๐8
1 โ ๐
Pour ๐ โ 1
Les racines de ๐ vรฉrifient {๐8 = 1๐ โ 1
โ {๐๐ = ๐2๐๐๐
8 , ๐ โ {0,1,2,3,4,5,6,7}
๐ โ 1โ ๐๐ = ๐
๐๐๐
4 , ๐ โ
{1,2,3,4,5,6,7}
๐1 = ๐๐๐
4 , ๐2 = ๐๐๐
2 = ๐, ๐3 = ๐3๐๐
4 , ๐4 = ๐๐๐ = โ1, ๐5 = ๐
5๐๐
4 = ๐โ3๐๐
4 , ๐6 = ๐3๐๐
2 = โ๐ et ๐7 = ๐7๐๐
4 =
๐โ๐๐
4
Donc
๐ = (๐ โ ๐๐๐4 ) (๐ โ ๐) (๐ โ ๐
3๐๐4 ) (๐ + 1) (๐ โ ๐โ
3๐๐4 ) (๐ + ๐) (๐ โ ๐โ
๐๐4 )
2. On rappelle que
(๐ โ ๐๐๐)(๐ โ ๐โ๐๐) = ๐2 โ 2 cos(ํ) + 1
๐ = (๐ + 1)(๐ โ ๐)(๐ + ๐) (๐ โ ๐๐๐4 ) (๐ โ ๐โ
๐๐4 ) (๐ โ ๐
3๐๐4 ) (๐ โ ๐โ
3๐๐4 )
= (๐ + 1)(๐2 + 1) (๐2 โ 2cos (๐
4)๐ + 1) (๐2 โ 2cos (
3๐
4)๐ + 1)
= (๐ + 1)(๐2 + 1)(๐2 โ โ2๐ + 1)(๐2 + โ2๐ + 1)
3.
๐ = (๐ + 1)(๐2 + 1)(๐2 + 1 โ โ2๐)(๐2 + 1 + โ2๐) = (๐ + 1)(๐2 + 1) ((๐2 + 1)2 โ (โ2๐)2)
= (๐ + 1)(๐2 + 1)(๐4 + 2๐2 + 1 โ 2๐2) = (๐ + 1)(๐2 + 1)(๐4 + 1)
Allez ร : Exercice 5
Correction exercice 6.
Pour ๐2 โ 1
๐(๐) = 1 + ๐2 + (๐2)2 + (๐2)3 =1 โ (๐2)4
1 โ ๐2=1 โ ๐8
1 โ ๐2
๐(๐) = 0 โ {๐8 = 1๐2 โ 1
โ {๐ = ๐2๐๐๐8 , ๐ โ {0,1,2,3,4,5,6,7}
๐ โ ยฑ1โ {๐ = ๐
๐๐๐4 , ๐ โ {0,1,2,3,4,5,6,7}
๐ โ ยฑ1โ ๐
= ๐๐๐๐4 , ๐ โ {1,2,3,5,6,7}
Car pour ๐ = 0, ๐๐๐๐
4 = 1 et pour ๐ = 4, ๐๐๐๐
4 = ๐๐๐ = โ1
Les racines de ๐ sont :
๐1 = ๐๐๐4 ; ๐2 = ๐
2๐๐4 = ๐; ๐3 = ๐
3๐๐4 ; ๐5 = ๐
5๐๐4 = ๐โ
3๐๐4 ; ๐6 = ๐
6๐๐4 = โ๐ ๐๐ก ๐7 = ๐
7๐๐4 = ๐โ
๐๐4
La factorisation dans โ[๐] est :
๐(๐) = (๐ โ ๐๐๐4 ) (๐ โ ๐โ
๐๐4 ) (๐ โ ๐)(๐ + ๐) (๐ โ ๐
3๐๐4 ) (๐ โ ๐โ
3๐๐4 )
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
11
Et dans โ[๐] :
๐(๐) = (๐2 โ 2cos (๐
4)๐ + 1) (๐2 + 1) (๐2 โ 2cos (
3๐
4)๐ + 1)
= (๐2 โ โ2๐ + 1)(๐2 + 1)(๐2 + โ2๐ + 1)
Allez ร : Exercice 6
Correction exercice 7.
๐(๐) = 1 + (๐
2) + (
๐
2)2
+ (๐
2)3
+ (๐
2)4
+ (๐
2)5
= 0 โ
{
1 โ (
๐2)6
1 โ๐2
= 0
๐
2โ 1
โ {1 โ (๐
2)6
= 0
๐ โ 2
โ {(๐
2)6
= 1
๐ โ 2
Or (๐
2)6
= 1 โ ๐๐ = 2๐2๐๐๐
6 = 2๐๐๐๐
3 avec ๐ โ {0,1,2,3,4,5} donc ๐๐ = 2๐๐๐๐
3
Ce qui donne ๐0 = 2, ๐1 = 2๐๐๐
3 = โ2๐ = โ2๐2, ๐2 = 2๐2๐๐
3 = 2๐, ๐3 = 2๐๐๐ = โ2, ๐4 = 2๐4๐๐
3 =
2๐2, ๐5 = 2๐5๐๐
3 = โ2๐
Les 5 racines de ๐ sont ๐1 = โ2๐2, ๐2 = 2๐, ๐3 = โ2, ๐4 = 2๐2 et ๐5 = โ2๐. On a enlevรฉ ๐ = 2.
La dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐(๐) =1
32ร (๐ + 2๐2)(๐ โ 2๐)(๐ + 2)(๐ โ 2๐2)(๐ + 2๐)
= (๐ + 2๐2)(๐ โ 2๐)(๐ + 2)(๐ โ 2๐2)(๐ + 2๐)
La dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐(๐) =1
32(๐ + 2)(๐ โ 2๐)(๐ โ 2๐2)(๐ + 2๐2)(๐ + 2๐)
=1
32(๐ + 2)(๐2 โ 2(๐ + ๐2)๐ + 4๐3)(๐2 + 2(๐ + ๐2)๐ + 4๐3)
=1
32(๐ + 1)(๐2 + 2๐ + 4)(๐2 โ 2๐ + 4)
Allez ร : Exercice 7
Correction exercice 8.
1.
๐ = 1 + (โ๐) + (โ๐)2 + (โ๐)3 + (โ๐)4 =1 โ (โ๐)5
1 โ (โ๐)=1 + ๐5
1 + ๐
Pour ๐ โ โ1
Les racines vรฉrifient
{๐5 = โ1๐ โ 1
= 0 โ {|๐5| = |โ1|
arg(๐5) = ๐ + 2๐๐, ๐ โ โค๐ โ โ1
โ {|๐| = 1
5 arg(๐) = (2๐ + 1)๐, ๐ โ โค๐ โ 1
โ {
|๐| = 1
arg(๐) =2๐ + 1
5๐, ๐ โ {0,1,2,3,4}
๐ โ 1
โ {๐ = ๐2๐+15
๐๐, ๐ โ {0,1,2,3,4}๐ โ โ1
๐0 = ๐๐๐5 ; ๐1 = ๐
3๐๐5 ; ๐2 = ๐
5๐๐5 = โ1; ๐3 = ๐
7๐๐5 = ๐
โ3๐๐5 ; ๐4 = ๐
โ๐๐5
On รฉlimine ๐3 = โ1
2. Dans โ[๐]
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
12
๐ = (๐ โ ๐๐๐5 ) (๐ โ ๐โ
๐๐5 ) (๐ โ ๐
3๐๐5 ) (๐ โ ๐โ
3๐๐5 )
Dans โ[๐]
๐ = (๐2 โ 2๐ cos (๐
5) + 1) (๐2 โ 2๐ cos (
3๐
5) + 1)
Allez ร : Exercice 8
Correction exercice 9.
1. ๐ = ๐2(โ๐ + 1) + (โ๐ + 1) = โ(๐ โ 1)(๐2 + 1) dans โ[๐]
๐ = โ(๐ โ 1)(๐ โ ๐)(๐ + ๐) dans โ[๐]
2. Si ๐ โ โ1.
๐ = โ (โ๐)๐2๐โ1
๐=0
=1 โ (โ๐)(๐+1)
1 โ (โ๐)=1 โ (โ๐)๐+1
1 + ๐
Les racines de ๐ vรฉrifie ๐(๐+1) = 1 et ๐ โ โ1.
๐(๐) = 0 โ {(โ๐)๐+1 = 1๐ โ โ1
โ {โ๐ = ๐2๐๐๐๐+1 , ๐ โ {0,1, โฆ , ๐}๐ โ โ1
โ {๐ = โ๐2๐๐๐๐+1 , ๐ โ {0,1, โฆ , ๐}๐ โ โ1
โ ๐ = โ๐2๐๐๐๐+1 , ๐ โ {1, โฆ , ๐}
Allez ร : Exercice 9
Correction exercice 10.
1.
๐(๐) = ๐6 + 2๐5 + 4๐4 + 4๐3 + 4๐2 + 2๐ + 1 = 1 + 2๐2 + 4๐ + 4 + 4๐2 + 2๐ + 1 = 6๐2 + 6๐ + 6
= 6(๐2 + ๐ + 1) = 0
๐โฒ = 6๐5 + 10๐4 + 16๐3 + 12๐2 + 8๐ + 2
๐โฒ(๐) = 6๐5 + 10๐4 + 16๐3 + 12๐2 + 8๐ + 2 = 6๐2 + 10๐ + 16 + 12๐2 + 8๐ + 2 = 18๐2 + 18๐ + 18
= 18(๐2 + ๐ + 1) = 0
Donc ๐ est racine double, comme ๐ est un polynรดme ร coefficients rรฉels, ๐ est aussi racine double.
On peut essayer de voir si ๐ ne serait pas racine triple (mais cela ne marche pas).
2. Soit on a lโintuition de voir que ๐ est racine (et que donc โ ๐ est aussi racine), soit on ne le voit pas et il
faut diviser ๐ par
(๐ โ ๐)2(๐ โ ๐)2= ((๐ โ ๐)(๐ โ ๐))
2
= (๐2 + ๐ + 1)2 = ๐4 + ๐2 + 1 + 2๐3 + 2๐2 + 2๐
= ๐4 + 2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 1
๐ = (๐ โ ๐)2(๐ โ ๐)2(๐ โ ๐)(๐ + ๐)
3.
๐ = (๐2 + ๐ + 1)2(๐2 + 1)
Allez ร : Exercice 10
Correction exercice 11.
1.
๐(๐) = ๐8 + 2๐6 + 3๐4 + 2๐2 + 1 = ๐2 + 2 + 3๐ + 2๐2 + 1 = 3๐2 + 3๐ + 3 = 3(๐2 + ๐ + 1) = 0
๐6 + 2๐5 + 4๐4 + 4๐3 + 4๐2 + 2๐ + 1 ๐4 + 2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 1
๐6 + 2๐5 + 3๐4 + 2๐3 + ๐2 ๐2 + 1
๐4 + 2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 1
๐4 + 2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 1
0
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
13
๐ est une racine de ๐
๐โฒ = 8๐7 + 12๐5 + 12๐3 + 4๐
๐โฒ(๐) = 8๐7 + 12๐5 + 12๐3 + 4๐ = 8๐ + 12๐2 + 12 + 4๐ = 12๐2 + 12๐ + 12 = 12(๐2 + ๐ + 1) = 0
๐ est racine au moins double, ๐ est donc une racine multiple.
2. Comme ๐ est pair, โ๐ est aussi une racine double, ce polynรดme est ร coefficients rรฉels donc ๐ = ๐2 est
racine double et โ๐ = โ๐2 est aussi racine double, cela fait 8 racines en tout (en comptant la multiplicitรฉ
de racines), comme ce polynรดme est degrรฉ 8, on les a toutes. Le coefficient dominant est 1, on en dรฉduit
la factorisation dans โ[๐]
๐ = (๐ โ ๐)2(๐ โ ๐2)2(๐ + ๐)2(๐ + ๐2)2
Dans โ[๐]
๐ = [(๐ โ ๐)(๐ โ ๐2)]2[(๐ + ๐)(๐ + ๐2)]2 = [๐2 + ๐ + 1]2[๐2 โ ๐ + 1]2
Allez ร : Exercice 11
Correction exercice 12.
1.
๐(๐) = 2๐3 + 3๐2 + 6๐ + 1 + 3๐ = 2 + 3๐2 + 6๐ + 1 โ 3๐ = 3๐2 + 3๐ + 3 = 3(๐2 + ๐ + 1) = 0
๐โฒ = 6๐2 + 6๐ + 6
๐โฒ(๐) = 6๐2 + 6๐ + 6 = 6(๐2 + ๐ + 1) = 0
Donc ๐ est une racine double de ๐.
2. La somme des racines de ๐ est โ3
2, si on appelle ๐ผ la troisiรจme racine on a
๐ผ + 2๐ = โ3
2โ ๐ผ = โ
3
2โ 2๐ = โ
3
2โ 2(โ
1
2โ๐โ3
2) = โ
1
2+ ๐โ3
Donc
๐ = 2(๐ โ ๐)2 (๐ +1
2โ ๐โ3)
Allez ร : Exercice 12
Correction exercice 13.
1.
(๐ + 1)6 = ๐6 โ (๐ + 1
๐)6
= 1
Il est clair que 0 nโest pas racine. Mais attention (๐ + 1)6 โ ๐6 est un polynรดme de degrรฉ 5
(๐ + 1)6 = ๐6 โ (๐ + 1
๐)6
= 1
๐ + 1
๐= ๐
2๐๐๐6 , ๐ โ {0,1,2,3,4,5}
La racine ยซ en trop ยป est celle qui aurait vรฉrifiรฉ ๐+1
๐= 1 qui nโa pas de solution, on enlรจve donc ๐ = 0.
1 +1
๐= ๐
2๐๐๐6 , ๐ โ {1,2,3,4,5} โ
1
๐= ๐
๐๐๐3 โ 1, ๐ โ {1,2,3,4,5} โ ๐ =
1
๐๐๐๐3 โ 1
, ๐ โ {1,2,3,4,5}
โ ๐ =๐โ
๐๐๐3 โ 1
(๐๐๐๐3 โ 1) (๐โ
๐๐๐3 โ 1)
, ๐ โ {1,2,3,4,5}
Les cinq racines sont
๐๐ =๐โ
๐๐๐3 โ 1
(๐๐๐๐3 โ 1) (๐โ
๐๐๐3 โ 1)
=cos (
๐๐3 ) โ 1 + ๐ sin (
๐๐3 )
2 โ 2 cos (๐๐3 )
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
14
2. Pour que ๐ admette une racine multiple rรฉelle (donc au moins double), ๐ et ๐โฒ ont une racine rรฉelle
commune.
๐โฒ = 7(๐ + 1)6 โ 7๐6
Les racines rรฉelles et complexes de ๐โฒ vรฉrifient (๐ + 1)6 โ ๐6 = 0
On cherche les racines rรฉelles donc sin (๐๐
3) = 0 ce qui รฉquivaut ร ๐ = 0 (mais on a รฉliminรฉ ce cas) et
๐ = 3
๐3 =cos(๐) โ 1
2 โ 2 cos(๐)= โ
2
4= โ
1
2
๐ ademt une racine double si et seulement si ๐ (โ1
2) = 0.
๐ (โ1
2) = 0 โ (โ
1
2+ 1)
7
โ (โ1
2)7
+ ๐ = 0 โ1
27+1
27+ ๐ = 0 โ ๐ = โ2 ร
1
27= โ
1
26
Et alors
๐ = (๐ + 1)7 โ ๐7 โ1
26
Allez ร : Exercice 13
Correction exercice 14.
1. La rรฉponse est non car les seuls polynรดmes irrรฉductibles sont les polynรดmes de degrรฉ 1 et les polynรดmes
de degrรฉ 2 qui nโont pas de racines rรฉelles. La question ne demande pas de factoriser ce polynรดme.
2. Les limites de la fonction polynรดmiale dรฉfinie par ๐ต(๐ฅ) = ๐ฅ3 + 3๐ฅ + 1 en โโ vaut โโ et en +โ vaut
+โ, cette fonction est continue, donc le thรฉorรจme des valeurs intermรฉdiaires entraine quโil existe ๐ฅ0 tel
que ๐ต(๐ฅ0) = 0. ๐ต admet une racine rรฉelle. Ceci dit le mรชme raisonnement quโau 1ยฐ) est valable aussi.
Allez ร : Exercice 14
Correction exercice 15.
๐ = ๐5 โ 2๐4 โ 6๐3 + ๐๐2 + ๐๐ + ๐ est factorisable par ๐ = (๐2 โ 1)(๐ โ 3) si et seulement si โ1,
1 et 3 sont racines de ๐.
{
๐(โ1) = (โ1)5 โ 2 ร (โ1)4 โ 6 ร (โ1)3 + ๐ ร (โ1)2 + ๐ ร (โ1) + ๐ = 0
๐(1) = 15 โ 2 ร 14 โ 6 ร 13 + ๐ ร 12 + ๐ + ๐ = 0
๐(3) = 35 โ 2 ร 34 โ 6 ร 33 + ๐ ร 32 + ๐ ร 3 + ๐ = 0
โ {โ1 โ 2 + 6 + ๐ โ ๐ + ๐ = 0 1 โ 2 โ 6 + ๐ + ๐ + ๐ = 0 34(3 โ 2 โ 2) + 9๐ + 3๐ + ๐ = 0
โ๐ฟ1๐ฟ2๐ฟ3
{๐ โ ๐ + ๐ = โ3 ๐ + ๐ + ๐ = 7 9๐ + 3๐ + ๐ = 81
๐ฟ2 โ ๐ฟ1 entraine que 2๐ = 10 donc ๐ = 5
Et ๐ฟ2 + ๐ฟ1 entraine que 2๐ + 2๐ = 4 donc ๐ + ๐ = 2 : ๐ฟ1โฒ
On remplace ๐ = 5 dans ๐ฟ3 : 9๐ + 15 + ๐ = 81 donc 9๐ + ๐ = 66 : ๐ฟ2โฒ
๐ฟ2โฒ โ ๐ฟ1
โฒ entraine que 8๐ = 64 donc ๐ = 8 et donc ๐ = 2 โ 8 = โ6
Finalement ๐ = ๐5 โ 2๐4 โ 6๐3 + 8๐2 + 5๐ โ 6
Allez ร : Exercice 15
Correction exercice 16.
๐ด๐ est divisible par ๐ต si et seulement si les racines de ๐ต sont aussi des racines de ๐ด๐.
Le discriminant de ๐2 โ ๐ + 1 est ฮ = 1 โ 4 = โ3 donc les deux racines de ๐ต sont :
๐1 =1 + ๐โ3
2= โ๐2
๐2 =1 โ ๐โ3
2= โ๐
Remarque : ๐2 โ ๐ + 1 = 0 โ (โ๐)2 + (โ๐) + 1 = 0
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
15
Donc les racines du polynรดme ๐ต vรฉrifient
โ๐ = ๐ ou โ ๐ = ๐2
๐ด๐(โ๐) = (โ๐ โ 1)๐+2 + (โ๐)2๐+1 = (๐2)๐(๐2)2 + (โ๐)2๐(โ๐) = ๐2๐๐4 โ ๐2๐๐ = 0
Comme ๐ด๐ est un polynรดme ร coefficients rรฉels, โ๐ = โ๐2 est aussi racine.
On conclut que ๐2 โ ๐ + 1 divisise (๐ โ 1)๐+2 + ๐2๐+1.
Allez ร : Exercice 16
Correction exercice 17.
๐๐(๐) = (๐ + 1)๐ โ ๐๐ โ 1 = (โ๐2)๐ โ ๐๐ โ 1 = (โ1)๐๐2๐ โ ๐๐ โ 1
Si ๐ = 6๐
๐6๐(๐) = ๐12๐ โ ๐6๐ โ 1 = 1 โ 1 โ 2 = โ2 โ 0
Si ๐ = 6๐ + 1
๐6๐+1(๐) = โ๐12๐+2 โ ๐6๐+1 โ 1 = โ๐2 โ ๐ โ 1 = 0
Si ๐ = 6๐ + 2
๐6๐+2(๐) = ๐12๐+4 โ ๐6๐+2 โ 1 = ๐ โ ๐2 โ 1 = 2๐ โ 0
Si ๐ = 6๐ + 3
๐6๐+3(๐) = โ๐12๐+6 โ ๐6๐+3 โ 1 = โ1 โ 1 โ 1 = โ3 โ 0
Si ๐ = 6๐ + 4
๐6๐+4(๐) = ๐12๐+8 โ ๐6๐+4 โ 1 = ๐2 โ ๐ โ 1 = 2๐2 โ 0
Si ๐ = 6๐ + 5
๐6๐+5(๐) = โ๐12๐+10 โ ๐6๐+5 โ 1 = โ๐ โ ๐2 โ 1 = 0
Allez ร : Exercice 17
Correction exercice 18.
Il existe ๐ด, ๐ โ โ[๐] tels que
๐๐ + ๐ + 1 = ๐ด(๐ โ 1)2 + ๐ (โ)
Avec ๐ยฐ๐ < 2 donc il existe ๐, ๐ โ โ tels que ๐ = ๐๐ + ๐, ce qui entraine que ๐ โฒ = ๐
Prenons ๐ = 1
3 = ๐ (1) = ๐ + ๐
On dรฉrive (โ)
๐๐๐โ1 + 1 = ๐ดโฒ(๐ โ 1)2 + ๐ด(๐ โ 1) + ๐ โฒ
On prend ๐ = 1
๐ + 1 = ๐
On en dรฉduit que
๐ = 3 โ ๐ = 3 โ (๐ + 1) = 2 โ ๐
Et finalement
๐ = (๐ + 1)๐ + 2 โ ๐
Allez ร : Exercice 18
Correction exercice 19.
(๐ + 1)๐ = (๐2 + 1)๐ + ๐
Or ๐ยฐ๐ < 2 et donc ๐ = ๐๐ + ๐.
On pose ๐ = ๐.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
16
(๐ + 1)๐ = ๐๐ + ๐ โ (โ2(โ2
2+โ2
2๐))
๐
= ๐ + ๐๐ โ (โ2)๐(๐
๐๐4 )
๐
= ๐ + ๐๐ โ (โ2)๐๐๐๐๐4
= ๐ + ๐๐ โ (โ2)๐(cos (
๐๐
4) + ๐ sin (
๐๐
4)) = ๐ + ๐๐ โ {
๐ = (โ2)๐sin (
๐๐
4)
๐ = (โ2)๐cos (
๐๐
4)
Donc
๐ = (โ2)๐sin (
๐๐
4)๐ + (โ2)
๐cos (
๐๐
4)
Allez ร : Exercice 19
Correction exercice 20.
Il existe un unique couple (๐, ๐ ) de polynรดmes, avec ๐ยฐ๐ < 2 tels que :
(๐ + 1)๐ = (๐ โ 1)2๐ + ๐
Il existe ๐ et ๐ rรฉels tels que ๐ = ๐๐ + ๐
(๐ + 1)๐ = (๐ โ 1)2๐ + ๐๐ + ๐ (โ)
On pose ๐ = 1
2๐ = ๐ + ๐
On dรฉrive (โ)
๐(๐ + 1)๐โ1 = 2(๐ โ 1)๐ + (๐ โ 1)2๐โฒ + ๐
On pose ๐ = 1
๐2๐โ1 = ๐
Donc ๐ = 2๐ โ ๐2๐โ1
Finalement
๐ = ๐2๐โ1๐ + 2๐ โ ๐2๐โ1
Allez ร : Exercice 20
Correction exercice 21.
Il existe ๐๐ et ๐ ๐ tels que :
๐ด๐ = ๐ต๐๐ + ๐ ๐ โ ๐๐ + ๐ + ๐ = (๐ โ ๐)2๐๐ + ๐ ๐
Avec ๐ยฐ๐ ๐ < 2. Donc il existe ๐ผ๐ et ๐ฝ๐ tels que :
๐๐ + ๐ + ๐ = (๐ โ ๐)2๐๐ + ๐ผ๐๐ + ๐ฝ๐ (1)
En dรฉrivant on trouve
๐๐๐โ1 + 1 = (๐ โ ๐)[2๐๐ + (๐ โ ๐)2๐๐
โฒ ] + ๐ผ๐ (2)
On fait ๐ = ๐ dans (1) et dans (2).
{๐๐ + ๐ + ๐ = ๐ผ๐๐ + ๐ฝ๐
๐๐๐โ1 + 1 = ๐ผ๐โ {
๐ผ๐ = ๐๐๐ + 1
๐ฝ๐ = ๐๐ + ๐ + ๐ โ (๐๐๐โ1 + 1)๐ = โ(๐ โ 1)๐๐ + ๐
Donc
๐ ๐ = (๐๐๐ + 1)๐ โ (๐ โ 1)๐๐ + ๐
Allez ร : Exercice 21
Correction exercice 22.
Il existe ๐ et ๐ tels que ๐ด = ๐ต๐ + ๐ et ๐ยฐ๐ < ๐ยฐ๐ต = 2 donc degrรฉ de ๐ est infรฉrieur ou รฉgal ร 1 on a
alors ๐ = ๐๐ + ๐ oรน ๐ et ๐ sont des rรฉels.
๐ด(๐) = ๐ต(๐)๐(๐) + ๐ (๐) โ ๐2๐ + 2๐๐ + 1 = ๐๐ + ๐ car ๐ต(๐) = ๐2 + 1 = 0
Si ๐ = 2๐ ๐2๐ + 2๐๐ + 1 = ๐๐ + ๐ โ ๐4๐ + 2๐2๐ + 1 = ๐๐ + ๐ โ 1 + 2(โ1)๐ + 1 = ๐๐ + ๐ โ
{๐ = 0
๐ = 2 + 2(โ1)๐
Donc ๐ = 2 + 2(โ1)๐
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
17
Si ๐ = 2๐ + 1
๐2๐ + 2๐๐ + 1 = ๐๐ + ๐ โ ๐4๐+2 + 2๐2๐+1 + 1 = ๐๐ + ๐ โ โ1 + 2(โ1)๐๐ + 1 = ๐๐ + ๐
โ {๐ = 2(โ1)๐
๐ = 0
Donc ๐ = 2(โ1)๐๐
Allez ร : Exercice 22
Correction exercice 23.
1. Les quatre racines de ๐4 โ 1 = 0, cโest-ร -dire {1, ๐, โ1,โ๐} vรฉrifie ๐4 = 1 donc
(๐4)๐ โ 1 = 1๐ โ 1 = 0 donc ces racines sont des racines de ๐4๐ โ 1, on peut mettre ๐4 โ 1 en
facteur dans ce polynรดme.
2.
Premiรจre mรฉthode :
Dโaprรจs la premiรจre question il existe ๐๐, ๐๐, ๐๐ et ๐๐ tels que :
๐4๐ โ 1 = ๐๐(๐4 โ 1) โ ๐4๐ = ๐๐(๐
4 โ 1) + 1
๐4๐ โ 1 = ๐๐(๐4 โ 1) โ ๐4๐ = ๐๐(๐
4 โ 1) + 1
๐4๐ โ 1 = ๐๐(๐4 โ 1) โ ๐4๐ = ๐๐(๐
4 โ 1) + 1
๐4๐ โ 1 = ๐๐(๐4 โ 1) โ ๐4๐ = ๐๐(๐
4 โ 1) + 1
Donc
๐ = ๐4๐+3 + ๐4๐+2 + ๐4๐+1 + ๐4๐ = ๐4๐๐3 + ๐4๐๐2 + ๐4๐๐ + ๐4๐
= (๐๐(๐4 โ 1) + 1)๐3 + (๐๐(๐
4 โ 1) + 1)๐2 + (๐๐(๐4 โ 1) + 1)๐ + ๐๐(๐
4 โ 1)
+ 1 = (๐4 โ 1)[๐๐๐3 + ๐๐๐
2 + ๐๐๐ + ๐๐] + ๐3 + ๐2 + ๐ + 1
= (๐ โ 1)(๐3 + ๐2 + ๐ + 1)[๐๐๐3 + ๐๐๐
2 + ๐๐๐ + ๐๐] + ๐3 + ๐2 + ๐ + 1
= (๐3 + ๐2 + ๐ + 1)((๐ โ 1)(๐๐๐3 + ๐๐๐
2 + ๐๐๐ + ๐๐) + 1)
Deuxiรจme mรฉthode : ๐4๐ โ 1 โก 0 [๐4 โ 1] โ ๐4๐ โก 1 [๐4 โ 1]
Donc
๐4๐+3 + ๐4๐+2 + ๐4๐+1 + ๐4๐ = ๐4๐๐3 + ๐4๐๐2 + ๐4๐๐ + ๐4๐
โก 1 ร ๐3 + 1 ร ๐2 + 1 ร ๐ + 1 [๐4 โ 1] โก ๐3 + ๐2 + ๐ + 1 [๐4 โ 1]
Donc il existe ๐ tel que
๐4๐+3 + ๐4๐+2 + ๐4๐+1 + ๐4๐ = (๐4 โ 1)๐ + ๐3 + ๐2 + ๐ + 1
= (๐3 + ๐2 + ๐ + 1)((๐ โ 1)๐ + 1)
Allez ร : Exercice 23
Correction exercice 24.
1. On rappelle que ๐ผ + ๐ฝ + ๐พ = 0, ๐ผ๐ฝ + ๐ผ๐พ + ๐ฝ๐พ = ๐ et ๐ผ๐ฝ๐พ = โ๐
(๐ผ + ๐ฝ + ๐พ)2 = ๐ผ2 + ๐ฝ2 + ๐พ2 + 2(๐ผ๐ฝ + ๐ผ๐พ + ๐ฝ๐พ)
Donc
๐ด = 02 โ 2๐ = โ2๐
2. ๐ผ3 + ๐๐ผ + ๐ = 0 entraine que ๐ผ3 = โ๐๐ผ โ ๐, idem pour ๐ฝ et ๐พ.
๐ต = โ๐๐ผ โ ๐ โ ๐๐ฝ โ ๐ โ ๐๐พ โ ๐ = โ๐(๐ผ + ๐ฝ + ๐พ) โ 3๐ = โ3๐
3.
๐ถ = ๐ผ๐ฝ(๐ผ + ๐ฝ) + ๐ผ๐พ(๐ผ + ๐พ) + ๐ฝ๐พ(๐ฝ + ๐พ) = ๐ผ๐ฝ(โ๐พ) + ๐ผ๐พ(โ๐ฝ) + ๐ฝ๐พ(โ๐ผ) = โ3๐ผ๐ฝ๐พ = 3๐
4.
๐ท = ๐ผ3๐ฝ + ๐ผ๐ฝ3 + ๐ผ3๐พ + ๐ผ๐พ3 + ๐ฝ3๐พ + ๐ฝ๐พ3 = ๐ผ๐ฝ(๐ผ2 + ๐ฝ2) + ๐ผ๐พ(๐ผ2 + ๐พ2) + ๐ฝ๐พ(๐ฝ2 + ๐พ2)
= ๐ผ๐ฝ(โ2๐ โ ๐พ2) + ๐ผ๐พ(โ2๐ โ ๐ฝ2) + ๐ฝ๐พ(โ2๐ โ ๐ผ2)
= โ2๐(๐ผ๐ฝ + ๐ผ๐พ + ๐ฝ๐พ) โ ๐ผ๐ฝ๐พ2 โ ๐ผ๐ฝ2๐พ โ ๐ผ2๐ฝ๐พ = โ2๐2 โ ๐ผ๐ฝ๐พ(๐พ + ๐ฝ + ๐ผ)
= โ2๐2 โ (๐) ร 0 = โ2๐2
Allez ร : Exercice 24
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
18
Correction exercice 25.
Les trois racines de ๐ sont ๐ผ, 2๐ผ et ๐ฝ, les relations entre les racines et les coefficients de ๐ donnent
{๐ผ + 2๐ผ + ๐ฝ = 0
๐ผ ร 2๐ผ + ๐ผ๐ฝ + 2๐ผ๐ฝ = โ63๐ผ ร 2๐ผ ร ๐ฝ = โ162
โ {
3๐ผ + ๐ฝ = 0
2๐ผ2 + 3๐ผ๐ฝ = โ63
2๐ผ2๐ฝ = โ162
โ {
๐ฝ = โ3๐ผ
2๐ผ2 + 3๐ผ(โ3๐ผ) = โ63
2๐ผ2(โ3๐ผ) = โ162
โ {๐ฝ = โ3๐ผ
โ7๐ผ2 = โ63โ6๐ผ3 = โ162
โ {๐ฝ = โ3๐ผ
๐ผ2 = 9๐ผ3 = 27
โ {๐ฝ = โ3๐ผ๐ผ = 3
โ {๐ฝ = โ9๐ผ = 3
Les trois racines de ๐ sont 3, 6 et โ9
Allez ร : Exercice 25
Correction exercice 26.
1. 0 ร ๐(โ1) = (0 โ 2)๐(0) โ 0 = โ2๐(0) โ ๐(0) = 0
1 ร ๐(0) = (1 โ 2)๐(1) โ ๐(0) = โ๐(1) โ 0 = ๐(1)
Donc 0 et 1 sont des racines de ๐.
2. Soit ๐ โ 0 tel que ๐(๐) = 0. ๐๐(๐ โ 1) = (๐ โ 2)๐(๐) โ ๐๐(๐ โ 1) = 0 โ ๐(๐ โ 1) = 0
๐ โ 1 est une racine de ๐.
Soit ๐ โ 1 tel que ๐(๐) = 0.
(๐ + 1)๐(๐ + 1 โ 1) = (๐ + 1 โ 2)๐(๐ + 1) โ (๐ + 1)๐(๐) = (๐ โ 1)๐(๐ + 1) โ 0
= (๐ โ 1)๐(๐ + 1)
Donc ๐(๐ + 1) = 0, ๐ + 1 est une racine de ๐.
3. Supposons que ๐ admette une racine ๐ telle que โ๐(๐) < 1 diffรฉrente de 0 alors ๐ โ 1 est racine, ๐ โ 1
est diffรฉrent de 0, donc ๐ โ 2 est aussi racine, on en dรฉduit aisรฉment que pour tout ๐ โ โ, ๐ โ ๐ est
racine de ๐, ce qui voudrait dire que ๐ admettrait une infinitรฉ de solution or un polynรดme non nul admet
un nombre fini de solutions.
Supposons que ๐ admette une racine ๐ telle que โ๐(๐) > 1 diffรฉrente de 1 alors ๐ + 1 est racine, ๐ + 1
est diffรฉrent de 1, donc ๐ + 2 est aussi racine, on en dรฉduit aisรฉment que pour tout ๐ โ โ, ๐ + ๐ est
racine de ๐, ce qui voudrait dire que ๐ admettrait une infinitรฉ de solution or un polynรดme non nul admet
un nombre fini de solutions.
0 et 1 sont les deux seules racines de ๐ si ๐ nโest pas le polynรดme nul.
4. Si ๐ nโest pas le polynรดme nul, comme 0 et 1 sont les seules racines de ๐ il existe ๐ผ โ 0 tels que
๐ = ๐ผ๐๐(๐ โ 1)๐, et si ๐ = 0 alors ๐ = 0 ร ๐๐(๐ โ 1)๐ (cโest-ร -dire que ๐ผ = 0).
5. Si ๐ vรฉrifie ๐๐(๐ โ 1) = (๐ โ 2)๐(๐) alors ๐ est de la forme ๐ = ๐ผ๐๐(๐ โ 1)๐, il faut รฉtudier la
rรฉciproque, cโest-ร -dire chercher parmi ces polynรดmes lesquels sont effectivement solution.
On remplace ๐ = ๐ผ๐๐(๐ โ 1)๐ dans ๐๐(๐ โ 1) = (๐ โ 2)๐(๐), on trouve que :
๐๐ผ(๐ โ 1)๐(๐ โ 2)๐ = (๐ โ 2)๐ผ๐๐(๐ โ 1)๐
Les puissances en ๐ โ 2 sont les mรชmes donc ๐ = 1.
Les puissances en ๐ โ 1 sont les mรชmes donc ๐ = ๐ = 1
On vรฉrifie quโalors les puissances en ๐ sont les mรชmes, finalement
๐ = ๐ผ๐(๐ โ 1)
Allez ร : Exercice 26
Correction exercice 27.
1 โ 2๐ + ๐3 + ๐4 1 + ๐ + ๐2
1 + ๐ + ๐2 1 โ 3๐ + 2๐2
โ3๐ โ ๐2 + ๐3 + ๐4
โ3๐ โ 3๐2 โ 3๐3
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
19
2๐2 + 4๐3 + ๐4
2๐2 + 2๐3 + 2๐4
2๐3 โ ๐4
1 โ 2๐ + ๐3 + ๐4 = (1 + ๐ + ๐2)(1 โ 3๐ + ๐2) + ๐3(2 โ ๐)
Allez ร : Exercice 27
Correction exercice 28.
1.
๐3 โ ๐2 โ ๐ โ 2 = (๐3 โ 1) ร 1 + (โ๐2 โ ๐ โ 1)
๐3 โ 1 ๐2 + ๐ + 1
๐3 + ๐2 + ๐ ๐ โ 1
โ๐2 โ ๐ โ 1
โ๐2 โ ๐ โ 1
0
๐3 โ 1 = (๐2 + ๐ + 1)(๐ โ 1)
๐๐บ๐ถ๐ท(๐, ๐) =โ๐2 โ ๐ โ 1
โ1= ๐2 + ๐ + 1
2. ๐2 + ๐ + 1 est un diviseur de ๐ (et de ๐ bien sur) donc on peut mettre ๐2 + ๐ + 1 en facteur dans ๐.
๐3 โ ๐2 โ ๐ โ 2 ๐2 + ๐ + 1
๐3 + ๐2 + ๐ ๐ โ 2
โ2๐2 โ 2๐ โ 2
โ2๐2 โ 2๐ โ 2
0
Comme ๐2 + ๐ + 1 est irrรฉductible dans โ[๐], la factorisation de ๐ est :
๐ = (๐ โ 2)(๐2 + ๐ + 1)
Et il est รฉvident dโaprรจs la deuxiรจme division de lโalgorithme dโEuclidienne
๐ = (๐ โ 1)(๐2 + ๐ + 1)
3. Il est alors clair que
๐๐บ๐ถ๐ท(๐, ๐) = ๐2 + ๐ + 1
4. Les deux racines complexes de ๐2 + ๐ + 1 sont ๐ = ๐2๐๐
3 et ๐ = ๐2 = ๐4๐๐
3
Donc
๐ = (๐ โ 2)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐2)
Allez ร : Exercice 28
Correction exercice 29.
๐5 + ๐4 โ 6๐3 โ ๐2 โ ๐ + 6 ๐4 + 2๐3 โ ๐ โ 2
๐5 + 2๐4 โ ๐2 โ 2๐ ๐ โ 1
โ๐4 โ 6๐3 + ๐ + 6
โ๐4 โ 2๐3 + ๐ + 2
โ4๐3 + 4
๐3 โ ๐2 โ ๐ โ 2 ๐3 โ 1
๐3 โ 1 1
โ๐2 โ ๐ โ 1
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
20
On peut ยซ รฉliminer ยป le โ4 dans โ4๐3 + 4
Donc le ๐๐บ๐ถ๐ท de ๐ et ๐ est
๐ท =โ4๐3 + 4
โ4= ๐3 โ 1
Les racines communes de ๐ et ๐ sont celles de ๐3 โ 1, cโest-ร -dire 1, ๐ et ๐2.
Allez ร : Exercice 29
Correction exercice 30.
๐5 + 2๐4 + 2๐3 โ ๐2 โ 2๐ โ 2 ๐4 + 3๐3 + 3๐2 โ 2
๐5 + 3๐4 + 3๐3 โ 2๐ ๐ โ 1
โ๐4 โ ๐3 โ ๐2 โ 2
โ๐4 โ 3๐3 โ 3๐2 + 2
2๐3 + 2๐2 โ 4
๐4 + 3๐3 + 3๐2 โ 2 2๐3 + 2๐2 โ 4
๐4 + ๐3 โ 2๐ 1
2๐ + 1
2๐3 + 3๐2 + 2๐ โ 2
2๐3 + 2๐2 โ 4
๐2 + 2๐ + 2
2๐3 + 2๐2 โ 4 ๐2 + 2๐ + 2
2๐3 + 4๐2 + 4๐ 2๐
โ2๐2 โ 4๐ โ 4
โ2๐2 โ 4๐ โ 4
0
Le P.G.C.D. est le dernier reste non nul unitaire donc ๐2 + 2๐ + 2
๐ด et ๐ต sont divisible par ๐2 + 2๐ + 2 (qui nโa pas de racine rรฉelle)
๐5 + 2๐4 + 2๐3 โ ๐2 โ 2๐ โ 2 ๐2 + 2๐ + 2
๐5 + 2๐4 + 2๐3 ๐3 โ 1
โ๐2 โ 2๐ โ 2
โ๐2 โ 2๐ โ 2
0
Donc
๐ด = (๐2 + 2๐ + 2)(๐3 โ 1)
Comme ๐3 โ 1 = (๐ โ 1)(๐2 + ๐ + 1) et que ๐2 + ๐ + 1 nโa pas de racine rรฉelle, la factorisation de ๐ด
dans โ[๐] est
๐ด = (๐ โ 1)(๐2 + 2๐ + 2)(๐2 + ๐ + 1)
๐4 + 3๐3 + 3๐2 โ 2 ๐2 + 2๐ + 2
๐4 + 2๐3 + 2๐2 ๐2 + ๐ โ 1
๐3 + ๐2 โ 2
๐3 + 2๐2 + 2๐
โ๐2 โ 2๐ โ 2
โ๐2 โ 2๐ โ 2
๐4 + 2๐3 โ ๐ โ 2 ๐3 โ 1
๐4 โ ๐ ๐ + 2
2๐3 โ 2
2๐3 โ 2
0
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
21
0
Donc
๐ต = (๐2 + 2๐ + 2)(๐2 + ๐ โ 1)
๐2 + ๐ โ 1 admet deux racines rรฉelles
โ1 โ โ5
2 et
โ1 + โ5
2
๐ต = (๐2 + 2๐ + 2) (๐ +1 + โ5
2)(๐ +
1 โ โ5
2)
Allez ร : Exercice 30
Correction exercice 31.
๐ = ๐2 โ 2๐ + 1
๐2 โ 2๐ + 1 ๐2 + 1
๐2 + 1 1
โ2๐
๐2 โ 2๐ + 1 = 1 ร (๐2 + 1) + (โ2๐)
๐2 + 1 โ2๐
๐2 โ1
2๐
1
๐2 + 1 = โ2๐ ร (โ1
2๐) + 1
1 = (๐2 + 1) + (โ2๐) (โ1
2๐) = (๐2 + 1) + ((๐2 โ 2๐ + 1) โ 1 ร (๐2 + 1)) (โ
1
2๐)
โ 1 = (1 +1
2๐) (๐2 + 1) + (โ
1
2๐) (๐ โ 1)2
Allez ร : Exercice 31
Correction exercice 32.
1.
2๐4 + ๐3 โ 2๐ โ 1 2๐4 โ ๐3 โ 3๐2 + ๐ + 1
2๐4 โ ๐3 โ 3๐2 + ๐ + 1 1
2๐3 + 3๐2 โ 3๐ โ 2
๐ = 1 ร ๐ + 2๐3 + 3๐2 โ 3๐ โ 2
2๐4 โ ๐3 โ 3๐2 + ๐ + 1 2๐3 + 3๐2 โ 3๐ โ 2
2๐4 + 3๐3 โ 3๐2 โ 2๐ ๐ โ 2
โ4๐3 + 3๐ + 1
โ4๐3 โ 6๐2 + 6๐ + 4
6๐2 โ 3๐ โ 3
๐ = (๐ โ 2)(2๐3 + 3๐2 โ 3๐ โ 2) + 6๐2 โ 3๐ โ 3
2๐3 + 3๐2 โ 3๐ โ 2 6๐2 โ 3๐ โ 3
2๐3 โ ๐2 โ ๐ 1
3๐ +
2
3
4๐2 โ 2๐ โ 2
4๐2 โ 2๐ โ 0
0
6๐2 โ 3๐ โ 3 = ๐ โ (๐ โ 2)(2๐3 + 3๐2 โ 3๐ โ 2) = ๐ โ (๐ โ 2)(๐ โ ๐)
= โ(๐ โ 2)๐ + (๐ โ 1)๐
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
22
๐2 โ1
2๐ โ
1
2= โ
1
6(๐ โ 2)๐ +
1
6(๐ โ 1)๐
2. Les racines communes de ๐ et ๐ sont celles de leur ๐๐บ๐ถ๐ท, cโest-ร -dire celles de ๐2 โ1
2๐ โ
1
2 soit
๐1 = 1 et ๐2 = โ1
2.
Allez ร : Exercice 32
Correction exercice 33.
1. ๐โฒ = 5๐4 + 4๐3 + 6๐2 + 4๐ + 1
Pour รฉviter les fractions on remarque que 16
25๐3 +
24
25๐2 +
16
25๐ +
24
25=
8
25(2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 3)
5๐4 + 4๐3 + 6๐2 + 4๐ + 1 2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 3
5๐4 +15
2๐3 + 5๐2 +
15
2๐
5
2๐ โ
7
4
โ 7
2๐3 + ๐2 โ
7
2๐ + 1
โ7
2๐3 โ
21
4๐2 โ
7
2๐ โ
21
4
25
4๐2 +
25
4
Pour รฉviter les fractions on remarque que 25
4๐2 +
25
4=
25
4(๐2 + 1)
2๐3 + 3๐2 + 2๐ + 3 ๐2 + 1
2๐3 + 2๐ 2๐ + 3
3๐2 + 3
3๐2 + 3
0
Le PGCD de ๐ et ๐โฒ est ๐2 + 1.
2. Les racines communes ร ๐ et ๐โฒ sont ๐ et โ ๐, les racines multiples de ๐ sont ๐ et โ ๐. Ce sont au moins
des racines doubles. Ce ne sont pas des racines triples car sinon ๐ auraient 6 racines en comptant leurs
multiplicitรฉs.
3. ๐ est divisible par (๐ โ ๐)2(๐ + ๐)2 = [(๐ โ ๐)(๐ + ๐)]2 = [๐2 + 1]2.
4. il reste ร diviser ๐ par (๐2 + 1)2 = ๐4 + 2๐2 + 1 et on trouve, aprรจs calculs, ๐ + 1, donc
๐ = (๐2 + 1)2(๐ + 1)
Allez ร : Exercice 33
Correction exercice 34.
1. Oui ! Par exemple ๐ = ๐3 + 1
2. Si ๐ = ๐๐3 + ๐๐2 + ๐๐ + ๐, avec ๐ โ 0, pour quโil soit de degrรฉ exactement 3.
๐(๐ + 1) โ ๐(๐) = ๐(๐ + 1)3 + ๐(๐ + 1)2 + ๐(๐ + 1) + ๐ โ ๐๐3 โ ๐๐2 โ ๐๐ โ ๐
= ๐(๐3 + 3๐2 + 3๐ + 1) + ๐(๐2 + 2๐ + 1) + ๐(๐ + 1) + ๐ โ ๐๐3 โ ๐๐2 โ ๐๐ โ ๐
= 3๐๐2 + (3๐ + 2๐)๐ + ๐ + ๐ + ๐
Le degrรฉ de ce polynรดme est 2 puisque ๐ โ 0
๐5 + ๐4 + 2๐3 + 2๐2 + ๐ + 1 5๐4 + 4๐3 + 6๐2 + 4๐ + 1
๐5 +4
5๐4 +
6
5๐3 +
4
5๐2 +
๐
5
1
5๐ +
1
25
1
5๐4 +
4
5๐3 +
6
5๐2 +
4
5๐ + 1
1
5๐4 +
4
25๐3 +
6
25๐2 +
4
25๐ +
1
25
16
25๐3 +
24
25๐2 +
16
25๐ +
24
25
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
23
3.
{๐(๐ + 1) โ ๐(๐) = ๐2 โ 1
๐(0) = 1โ {
(3๐ + ๐)๐2 + (3๐ + 2๐ + ๐)๐ + ๐ + ๐ + ๐ = ๐2 โ 1๐(0) = 1
โ
๐ฟ1๐ฟ2๐ฟ3๐ฟ4
{
3๐ = 13๐ + 2๐ = 0๐ + ๐ + ๐ = โ1
๐ = 1
โ
{
๐ =
1
32๐ = โ3๐ = โ1๐ = โ1 โ ๐ โ ๐
๐ = 1
โ
{
๐ =
1
3
๐ = โ1
2
๐ = โ1 โ1
3+1
2= โ
5
6๐ = 1
๐ =1
3๐3 โ
1
2๐2 โ
5
6๐ + 1
Allez ร : Exercice 34
Correction exercice 35.
1. (๐ โ 1)๐ nโa quโune racine ๐ = 1, or 1 est racine simple de ๐๐ โ 1 donc
๐๐บ๐ถ๐ท((๐๐ โ 1), (๐ โ 1)๐) = ๐ โ 1
2. Dโaprรจs le thรฉorรจme de Bรฉzout il existe (๐, ๐) tels que :
(๐3 โ 1)๐ + (๐ โ 1)3๐ = ๐ โ 1
Cette รฉquation รฉquivaut ร :
(๐2 + ๐ + 1)๐ + (๐2 โ 2๐ + 1) = 1
Car ๐3 โ 1 = (๐ โ 1)(๐2 + ๐ + 1) et (๐ โ 1)3 = (๐ โ 1)(๐2 โ 2๐ + 1)
Donc
๐2 โ 2๐ + 1 = 1 ร (๐2 + ๐ + 1) + (โ3๐)
๐2 + ๐ + 1 โ3๐
๐2 โ1
3๐ โ
1
3
๐ + 1
๐
1
Donc
๐2 + ๐ + 1 = (โ3๐) (โ1
3๐ โ
1
3) + 1
On en tire que :
1 = (๐2 + ๐ + 1) โ (โ3๐) (โ1
3๐ โ
1
3)
= ๐2 + ๐ + 1 โ ((๐2 โ 2๐ + 1) โ 1 ร (๐2 + ๐ + 1)) (โ1
3๐ โ
1
3)
= โ(โ1
3๐ โ
1
3) (๐2 โ 2๐ + 1) + (1 + (โ
1
3๐ โ
1
3)) (๐2 + ๐ + 1)
= (1
3๐ +
1
3) (๐2 โ 2๐ + 1) + (โ
1
3๐ +
2
3) (๐2 + ๐ + 1)
Donc
๐ = โ1
3๐ +
2
3
Et
๐2 โ 2๐ + 1 ๐2 + ๐ + 1
๐2 + ๐ + 1 1
โ3๐
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
24
๐ =1
3๐ +
1
3
Allez ร : Exercice 35
Correction exercice 36.
1.
๐4 โ 3๐3 + 3๐2 โ 3๐ + 2 ๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2
๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2 1
โ6๐3 โ 6๐
๐4 โ 3๐3 + 2๐2 โ 3๐ + 2 = (๐4 + 3๐3 + 2๐2 + 3๐ + 2 ) ร 1 + (โ6๐3 โ 6)
๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2 โ6๐3 โ 6๐
๐4 + ๐2 โ1
6๐ โ
1
2
3๐3 + 2๐2 + 3๐ + 2
3๐3 + 3๐
2๐2 + 2
๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2 = (โ6๐3 โ 6๐) (โ1
6๐ โ
1
2) + 2๐2 + 2
โ6๐3 โ 6๐ 2๐2 + 2
โ6๐3 โ 6๐ โ1
3๐
0
โ6๐3 โ 6๐ = (2๐2 + 2) (โ1
3๐)
Donc
๐๐บ๐ถ๐ท(๐4 โ 3๐3 + 3๐2 โ 3๐ + 2, ๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2) =2๐2 + 2
2= ๐2 + 1
On trouve une identitรฉ de Bรฉzout de la faรงon suivante :
2๐2 + 2 = ๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2 + (โ6๐3 โ 6๐) (โ1
6๐ โ
1
2)
= ๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2
โ (๐4 โ 3๐3 + 2๐2 โ 3๐ + 2 โ (๐4 + 3๐3 + 2๐2 + 3๐ + 2 ) ร 1) (โ1
6๐ โ
1
2)
= (๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2) (1 โ (โ1
6๐ โ
1
2))
+ (๐4 โ 3๐3 + 2๐2 โ 3๐ + 2) (1
6๐ +
1
2)
= (๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2) (1
6๐ +
3
2)
+ (๐4 โ 3๐3 + 2๐2 โ 3๐ + 2) (1
6๐ +
1
2)
Puis il reste ร diviser par 2
๐2 + 1 = (๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2) (1
12๐ +
3
4) + (๐4 โ 3๐3 + 2๐2 โ 3๐ + 2) (
1
12๐ +
1
4)
2. En divisant ๐ par ๐2 + 1, on trouve :
๐ = ๐4 โ 3๐3 + 3๐2 โ 3๐ + 2 = (๐2 โ 3๐ + 2)(๐2 + 1)
Il reste ร factoriser ๐2 โ 3๐ + 2, ce polynรดme a deux racines rรฉelles 1 et 2 donc
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
25
๐ = (๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐2 + 1)
En divisant ๐ par ๐2 + 1, on trouve :
๐ = ๐4 + 3๐3 + 3๐2 + 3๐ + 2 = (๐2 + 3๐ + 2)(๐2 + 1)
Il reste ร factoriser ๐2 + 3๐ + 2, ce polynรดme a deux racines rรฉelles โ1 et โ2 donc
๐ = (๐ + 1)(๐ + 2)(๐2 + 1)
Allez ร : Exercice 36
Correction exercice 37.
1. Je vais juste รฉcrire les rรฉsultats des divisions successives de lโalgorithme dโEuclide
๐2 + 2๐ + 1 = 1 ร (๐2 โ 2๐ + 1) + 4๐
๐2 โ 2๐ + 1 = (1
4๐ โ
1
2) ร 4๐ + 1
On en dรฉduit une identitรฉ de Bรฉzout
1 = (๐ โ 1)2 โ (1
4๐ โ
1
2) ร 4๐ = (๐ โ 1)2 โ (
1
4๐ โ
1
2) ((๐ + 1)2 โ 1 ร (๐ โ 1)2)
= (โ1
4๐ +
1
2) (๐ + 1)2 + (
1
4๐ +
1
2) (๐ โ 1)2
On note
๐ด0 = โ1
4๐ +
1
2 et ๐ต0 =
1
4๐ +
1
2
2. On a
{(๐ + 1)2๐ด + (๐ โ 1)2๐ต = 1(๐ + 1)2๐ด0 + (๐ โ 1)
2๐ต0 = 1
En faisant la soustraction de ces deux รฉquations
(๐ + 1)2(๐ด โ ๐ด0) + (๐ โ 1)2(๐ต โ ๐ต0) = 0 โ (๐ + 1)2(๐ด โ ๐ด0) = โ(๐ โ 1)2(๐ต โ ๐ต0)
(๐ + 1)2 divise โ(๐ โ 1)2(๐ต โ ๐ต0) comme (๐ + 1)2 et (๐ โ 1)2 sont premiers entre eux (ils nโont
aucune racine en commun), dโaprรจs le thรฉorรจme de Gauss (๐ + 1)2 divise โ(๐ต โ ๐ต0), il existe ๐ โ
โ[๐] tel que
โ(๐ต โ ๐ต0) = ๐(๐ + 1)2 โ ๐ต = ๐ต0 โ ๐(๐ + 1)
2
On remplace dans (๐ + 1)2(๐ด โ ๐ด0) = โ(๐ โ 1)2(๐ต โ ๐ต0)
(๐ + 1)2(๐ด โ ๐ด0) = (๐ โ 1)2๐(๐ + 1)2 โ ๐ดโ ๐ด0 = (๐ โ 1)
2๐ โ ๐ด = ๐ด0 + ๐(๐ โ 1)2
Lโensemble des couples (๐ด = ๐ด0 + ๐(๐ โ 1)2, ๐ต0 โ ๐(๐ + 1)
2) avec ๐ โ โ[๐] quelconque sont les
solutions de (๐ธ).
3. On cherche les polynรดmes ๐ qui sont de la forme
{๐ โ 1 = (๐ + 1)2๐1๐ + 1 = (๐ โ 1)2๐2
Oรน ๐1 et ๐2 sont deux polynรดmes.
En faisant la soustraction de ces deux รฉgalitรฉs
2 = (๐ โ 1)2๐2 โ (๐ + 1)2๐1 โ (โ
1
2๐1) (๐ + 1)
2 + (1
2๐2) (๐ โ 1)
2 = 1
Dโaprรจs la deuxiรจme question, il existe ๐ โ โ[๐] tel que
{โ1
2๐1 = ๐ด0 + ๐(๐ โ 1)
2
1
2๐2 = ๐ต0 โ ๐(๐ + 1)
2
โ {๐1 = โ2๐ด0 โ 2๐(๐ โ 1)
2
๐2 = 2๐ต0 โ 2๐(๐ + 1)2
Ce qui entraine que
๐ โ 1 = (๐ + 1)2(โ2๐ด0 โ 2๐(๐ โ 1)2) โ ๐ = 1 โ 2๐ด0(๐ + 1)
2 โ 2๐(๐ + 1)2(๐ โ 1)2
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
26
1 โ 2๐ด0(๐ + 1) = 1 โ 2(โ1
4๐ +
1
2) (๐ + 1) = 1 + (
1
2๐ โ 1) (๐2 + 2๐ + 1)
= 1 +1
2๐3 + ๐2 +
1
2๐ โ ๐2 โ 2๐ โ 1 =
1
2๐3 โ
3
2๐
On pose aussi ๐ = โ2๐. Par consรฉquent
๐ =1
2๐3 โ
3
2๐ + ๐(๐2 โ 1)2, ๐ โ โ[๐]
Il faut faire une rรฉciproque 1
2๐3 โ
3
2๐ โ 1 admet โ1 comme racine double (cโest facile ร vรฉrifier) et 2 comme racine simple.
๐ โ 1 =1
2๐3 โ
3
2๐ โ 1 + ๐(๐2 โ 1)2 =
1
2(๐ + 1)2(๐ โ 2) + ๐(๐ + 1)2(๐ โ 1)2
= (๐ + 1)2 [1
2(๐ โ 2) + ๐(๐ โ 1)2]
1
2๐3 โ
3
2๐ + 1 admet 1 comme racine double (cโest facile ร vรฉrifier) et โ2 comme racine simple.
๐ + 1 =1
2๐3 โ
3
2๐ + 1 + ๐(๐2 โ 1)2 =
1
2(๐ โ 1)2(๐ + 2) + ๐(๐ + 1)2(๐ โ 1)2
= (๐ โ 1)2 [1
2(๐ + 2) + ๐(๐ + 1)2]
La rรฉciproque est vรฉrifiรฉe
Allez ร : Exercice 37
Correction exercice 38.
๐6 โ ๐4 โ ๐2 + 1 ๐4 + 2๐3 โ 2๐ โ 1
๐6 + 2๐5 โ 2๐3 โ ๐2 ๐2 โ 2๐ + 3
โ2๐5 โ ๐4 + 2๐3 + 1
โ2๐5 โ 4๐4 + 4๐2 + 2๐
3๐4 + 2๐3 โ 4๐2 โ 2๐ + 1
3๐4 + 6๐3 โ 6๐ โ 3
โ4๐3 โ 4๐2 + 4๐ + 4
๐๐บ๐ถ๐ท(๐, ๐) = ๐๐บ๐ถ๐ท(๐,โ4๐3 โ 4๐2 + 4๐ + 4) = ๐๐บ๐ถ๐ท(๐, ๐3 + ๐2 โ ๐ โ 1)
๐4 + 2๐3 โ 2๐ โ 1 ๐3 + ๐2 โ ๐ โ 1
๐4 + ๐3 โ ๐2 โ ๐ ๐ + 1
๐3 + ๐2 โ ๐ โ 1
๐3 + ๐2 โ ๐ โ 1
0
Donc ๐๐บ๐ถ๐ท(๐, ๐) = ๐3 + ๐2 โ ๐ โ 1 = ๐2(๐ + 1) โ (๐ + 1) = (๐2 โ 1)(๐ + 1) = (๐ โ 1)(๐ + 1)2
Les racines complexes communes ร ๐ et ๐ sont 1 de multiplicitรฉ 1 et โ1 de multiplicitรฉ 2.
Allez ร : Exercice 38
Correction exercice 39.
On pose ๐ยฐ๐ = ๐.
๐โฒ divise ๐ si et seulement si il existe un polynรดme ๐ tel que :
๐ = ๐๐โฒ
๐ยฐ๐ = ๐ et ๐ยฐ๐โฒ = ๐ โ 1 โ ๐ยฐ๐ = 1
Donc ๐ admet une racine complexe ๐ผ.
On pose ๐ = ๐๐ + ๐ et ๐ = ๐๐๐๐ +โฏ+ ๐1๐ + ๐0 (avec ๐๐ โ 0) alors ๐โฒ = ๐๐๐๐
๐โ1 +โฏ+ ๐1
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
27
En identifiant les coefficients dominant on trouve que :
๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ =1
๐
Premiรจre mรฉthode :
La formule de Taylor pour le polynรดme ๐ en ๐ผ donne
๐ =โ๐๐(๐ โ ๐ผ)๐
๐
๐=0
= ๐0 + ๐1(๐ โ ๐ผ) + ๐2(๐ โ ๐ผ)2 +โฏ+ ๐๐(๐ โ ๐ผ)
๐
Donc
๐โฒ =โ๐๐๐(๐ โ ๐ผ)๐โ1
๐
๐=0
=โ๐๐๐(๐ โ ๐ผ)๐โ1
๐
๐=1
=โ๐๐๐(๐ โ ๐ผ)๐โ1
๐
๐=1
= โ(๐ + 1)๐๐+1(๐ โ ๐ผ)๐
๐โ1
๐=0
= ๐1 + 2๐2(๐ โ ๐ผ) +โฏ+ ๐๐๐(๐ โ ๐ผ)๐โ1
En changeant ๐ en ๐ + 1.
Comme ๐ est un polynรดme de degrรฉ 1 dont ๐ผ est une racine donc ๐ =1
๐(๐ โ ๐ผ)
On remplace ces deux expressions dans ๐ = ๐๐โฒ.
๐0 + ๐1(๐ โ ๐ผ) + ๐2(๐ โ ๐ผ)2 +โฏ+ ๐๐(๐ โ ๐ผ)
๐
= ๐(๐ โ ๐ผ)[๐1 + 2๐2(๐ โ ๐ผ) +โฏ+ ๐๐๐(๐ โ ๐ผ)๐โ1]
โ ๐0 + ๐1(๐ โ ๐ผ) + ๐2(๐ โ ๐ผ)2 +โฏ+ ๐๐(๐ โ ๐ผ)
๐ +โฏ+ ๐๐(๐ โ ๐ผ)๐
=1
๐๐1(๐ โ ๐ผ) +
2
๐๐2(๐ โ ๐ผ)
2 +โฏ+๐
๐๐๐(๐ โ ๐ผ)
๐โฆ+ ๐๐(๐ โ ๐ผ)๐
โ
{
๐0 = 0
๐1 =2
๐๐1
โฎ
๐๐ =๐ + 1
๐๐๐
โฎ๐๐ = ๐๐
โ
{
๐0 = 0๐1 = 0โฎ
๐๐ = 0โฎ
๐๐ = ๐๐
Donc
๐ = ๐๐(๐ โ ๐ผ)๐
Deuxiรจme mรฉthode :
En dรฉrivant ๐ = ๐๐โฒ, et on rappelle que ๐โฒ =1
๐
๐โฒ = ๐โฒ๐โฒ + ๐๐โฒโฒ โ ๐โฒ =1
๐๐โฒ + ๐๐โฒโฒ โ (1 โ
1
๐)๐โฒ = ๐๐โฒโฒ โ ๐โฒ =
๐
๐ โ 1๐๐โฒโฒ
Donc
๐ = ๐๐โฒ =๐
๐ โ 1๐2๐โฒโฒ
En dรฉrivant (1 โ1
๐)๐โฒ = ๐๐โฒโฒ
(1 โ1
๐)๐โฒโฒ = ๐โฒ๐โฒโฒ + ๐๐โฒโฒโฒ =
1
๐๐โฒโฒ + ๐๐โฒโฒโฒ โ (1 โ
2
๐)๐โฒโฒ = ๐๐โฒโฒโฒ โ ๐โฒโฒ =
๐
๐ โ 2๐๐โฒโฒโฒ
Donc
๐ =๐
๐ โ 1๐2๐โฒโฒ =
๐2
(๐ โ 1)(๐ โ 2)๐3๐โฒโฒโฒ
Pour tout ๐ โ {0,1, โฆ , ๐ โ 1}. On montre par rรฉcurrence que
(1 โ๐
๐)๐(๐) = ๐๐(๐+1)
Et que
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
28
๐ =๐๐
(๐ โ 1)(๐ โ 2)โฆ (๐ โ ๐)๐๐+1๐(๐+1)
On dรฉrive (1 โ๐
๐)๐(๐) = ๐๐(๐+1)
(1 โ๐
๐) ๐(๐+1) = ๐โฒ๐(๐+1) + ๐๐(๐+2) =
1
๐๐(๐+1) + ๐๐(๐+2) โ (1 โ
๐ + 1
๐)๐(๐+1) = ๐๐(๐+2)
โ ๐(๐+1) =๐
๐ โ ๐ โ 1๐๐(๐+2)
๐ =๐๐
(๐ โ 1)(๐ โ 2)โฆ (๐ โ ๐)๐๐+1๐(๐+1) =
๐๐
(๐ โ 1)(๐ โ 2)โฆ (๐ โ ๐)๐๐+1
๐
๐ โ ๐ โ 1๐๐(๐+2)
=๐๐+1
(๐ โ 1)(๐ โ 2)โฆ (๐ โ ๐)(๐ โ (๐ + 1))๐๐+2๐(๐+2)
Cette relation รฉtant vraie au rang 0, elle est vraie pour tout ๐ โค ๐ โ 1.
On lโapplique au rang ๐ โ 1 :
๐ =๐๐โ1
(๐ โ 1)(๐ โ 2)โฆ (๐โ(๐ โ 1))๐๐๐(๐)
๐(๐) = ๐ ร (๐ โ 1) ร โฆร 2 ร 1 ร ๐๐ (ce qui est important cโest que cโest une constante).
Peu importe la constante, il est clair que ๐ = ๐พ๐๐, comme ๐ est un polynรดme de degrรฉ 1, on peut รฉcrire
ce polynรดme sous la forme :
๐ = ๐(๐ โ ๐ผ)๐
Allez ร : Exercice 39
Correction exercice 40.
1.
๐(๐)
๐2=2๐4 + 3๐3 โ ๐2 + 3๐ + 2
๐2= 2๐2 + 3๐ โ 1 +
3
๐+2
๐2
Comme
๐2 = ๐2 + 2 +1
๐2โ ๐2 +
1
๐2= ๐2 โ 2
On a
๐(๐)
๐2= 2(๐2 +
1
๐2) + 3 (๐ +
1
๐) โ 1 = 2(๐2 โ 2) + 3๐ โ 1 = 2๐2 + 3๐ โ 5
Les racines de ๐ sont 1 et โ5
2
Donc les racines de ๐ vรฉrifient
{๐ +
1
๐= 1
๐ +1
๐=5
2
โ {
๐2 + 1 = ๐ou
๐2 + 1 =5
2๐
โ {
๐2 โ ๐ + 1 = 0ou
๐2 โ5
2๐ + 1 = 0
Les racines de ๐2 โ ๐ + 1 = 0 sont
โ๐ =1
2โ ๐
โ3
2 et โ ๐2 =
1
2+ ๐
โ3
2
Et celles de ๐2 โ5
2๐ + 1 = 0 sont
1
2 et 2
On en dรฉduit la factorisation de ๐ dans โ[๐]
๐(๐) = 2 (๐ โ1
2) (๐ โ 2)(๐2 โ ๐ + 1)
Et dans โ[๐]
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
29
๐(๐) = 2 (๐ โ1
2) (๐ โ 2)(๐ + ๐)(๐ + ๐2)
Allez ร : Exercice 40
Correction exercice 41.
1. Comme sin(๐ํ) โ 0, ๐ยฐ๐ = ๐.
๐ =โ(๐๐) sin(๐ํ) ๐๐
๐
๐=1
=โ(๐๐) sin(๐ํ) ๐๐
๐
๐=0
=โ(๐๐)๐๐๐๐ โ ๐โ๐๐๐
2๐๐๐
๐
๐=0
=1
2๐โ(
๐๐) ๐๐๐๐๐๐
๐
๐=0
โ1
2๐โ(
๐๐) ๐โ๐๐๐๐๐
๐
๐=0
=1
2๐โ(
๐๐) (๐๐๐๐)
๐๐
๐=0
โ1
2๐โ(
๐๐) (๐โ๐๐๐)
๐๐
๐=0
=1
2๐(1 + ๐๐๐๐)
๐โ1
2๐(1 + ๐โ๐๐๐)
๐
Les racines ๐ง โ โ de ๐ vรฉrifient
1
2๐(1 + ๐๐๐๐ง)
๐โ1
2๐(1 + ๐โ๐๐๐ง)
๐= 0 โ (1 + ๐๐๐๐ง)
๐= (1 + ๐โ๐๐๐ง)
๐โ (
1 + ๐๐๐๐ง
1 + ๐โ๐๐๐ง)
๐
= 1
โ โ๐ โ {0,1,โฆ , ๐ โ 1},1 + ๐๐๐๐ง
1 + ๐โ๐๐๐ง= ๐
2๐๐๐๐ โ โ๐ โ {0,1, โฆ , ๐ โ 1}, 1 + ๐๐๐๐ง = ๐
2๐๐๐๐ (1 + ๐โ๐๐๐ง)
โ โ๐ โ {0,1, โฆ , ๐ โ 1}, ๐๐๐๐ง โ ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐๐ง = ๐
2๐๐๐๐ โ 1
โ โ๐ โ {0,1,โฆ , ๐ โ 1}, ๐ง (๐๐๐ โ ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐) = ๐
2๐๐๐๐ โ 1
Il faut quand mรชme vรฉrifier que ๐๐๐ โ ๐2๐๐๐
๐ ๐โ๐๐ โ 0
๐๐๐ โ ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐ = 0 โ ๐2๐๐ = ๐
2๐๐๐๐ โ โ๐ โ โค, 2ํ =
2๐๐
๐+ 2๐๐ โ โ๐ โ โค, ํ =
๐๐
๐+ ๐๐ โ โ๐
โ โค, ๐ํ = ๐๐ + ๐๐๐ โ sin(๐ํ) = 0
Ce qui nโest pas possible dโaprรจs lโรฉnoncรฉ.
๐(๐ง) = 0 โ โ๐ โ {0,1,โฆ , ๐ โ 1}, ๐ง =๐2๐๐๐๐ โ 1
๐๐๐ โ ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐
Les ๐ racines de ๐ sont les complexes ๐ง๐ =๐2๐๐๐๐ โ1
๐๐๐โ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐
avec ๐ โ {0,1, โฆ , ๐ โ 1}
2.
๐ง๐ =๐2๐๐๐๐ โ 1
๐๐๐ โ ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐
=๐โ
2๐๐๐๐ โ 1
๐โ๐๐ โ ๐โ 2๐๐๐๐ ๐๐๐
=๐2๐๐๐๐ (๐โ
2๐๐๐๐ โ 1)
๐2๐๐๐๐ (๐โ๐๐ โ ๐โ
2๐๐๐๐ ๐๐๐)
=1 โ ๐
2๐๐๐๐
๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐ โ ๐๐๐
=๐2๐๐๐๐ โ 1
๐๐๐ โ ๐2๐๐๐๐ ๐โ๐๐
= ๐ง๐
Donc ces complexes sont des rรฉels.
Allez ร : Exercice 41
Correction exercice 42.
Le degrรฉ du numรฉrateur est supรฉrieur au degrรฉ du dรฉnominateur, il faut diviser ๐4 โ ๐ + 2 par
(๐ โ 1)(๐2 โ 1) = ๐3 โ ๐2 โ ๐ + 1
๐4 โ ๐ + 2 ๐3 โ ๐2 โ ๐ + 1
๐4 โ ๐3 โ ๐2 + ๐ ๐ + 1
๐3 + ๐2 โ 2๐ + 2
๐3 โ ๐2 โ ๐ + 1
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
30
2๐2 โ ๐ + 1
๐น(๐) =๐4 โ ๐ + 2
(๐ โ 1)(๐2 โ 1)= ๐ + 1 +
2๐2 โ ๐ + 1
(๐ โ 1)(๐2 โ 1)
On pose
๐บ(๐) =2๐2 โ ๐ + 1
(๐ โ 1)(๐2 โ 1)=
2๐2 โ ๐ + 1
(๐ โ 1)2(๐ + 1)=
๐
(๐ โ 1)2+
๐
๐ โ 1+
๐
๐ + 1
Je multiplie par (๐ โ 1)2 puis ๐ = 1
๐ = [2๐2 โ ๐ + 1
๐ + 1]๐=1
=2
2= 1
Je multiplie par ๐ + 1 puis ๐ = โ1
๐ = [2๐2 โ ๐ + 1
(๐ โ 1)2]๐=โ1
=4
4= 1
Je multiplie par ๐ puis ๐ tend vers lโinfini.
2 = ๐ + ๐ donc ๐ = 1.
Donc
๐น(๐) = ๐ + 1 +1
(๐ โ 1)2+
1
๐ โ 1+
1
๐ + 1
Allez ร : Exercice 42
Correction exercice 43.
1.
๐น(๐) =6๐3 + 3๐2 โ 5
(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐2 + 1)=
๐
๐ โ 1+
๐
๐ + 1+๐๐ + ๐
๐2 + 1
Je multiplie par ๐ โ 1 puis ๐ = 1
๐ = [6๐3 + 3๐2 โ 5
(๐ + 1)(๐2 + 1)]๐=1
=6 + 3 โ 5
2 ร 2= 1
Je multiplie par ๐ + 1 puis ๐ = โ1
๐ = [6๐3 + 3๐2 โ 5
(๐ โ 1)(๐2 + 1)]๐=โ1
=โ6 + 3 โ 5
โ2 ร 2= 2
Je multiplie par ๐, puis ๐ tend vers lโinfini.
6 = ๐ + ๐ + ๐, donc ๐ = 6 โ 1 โ 2 = 3
๐ = 0
5 = โ5 + ๐ + ๐ donc ๐ = 5 + 1 โ 2 = 4
Donc
๐น(๐) =6๐3 + 3๐2 โ 5
(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐2 + 1)=
1
๐ โ 1+
2
๐ + 1+3๐ + 4
๐2 + 1
2. Il reste ร dรฉcomposer dans โ[๐]
3๐ + 4
๐2 + 1=
3๐ + 4
(๐ โ ๐)(๐ + ๐)=
๐
๐ โ ๐+
๐
๐ + ๐
Je multiplie par ๐ โ ๐, puis ๐ = ๐.
๐ = [3๐ + 4
๐ + ๐]๐=๐
=3๐ + 4
2๐=(3๐ + 4)(โ๐)
2=3
2โ 2๐
Donc
๐น(๐) =6๐3 + 3๐2 โ 5
(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐2 + 1)=
1
๐ โ 1+
2
๐ + 1+
32 โ 2๐
๐ โ ๐+
32 + 2๐
๐ + ๐
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
31
Allez ร : Exercice 43
Correction exercice 44.
1. Il existe ๐, ๐, ๐ et ๐ tels que :
โ๐2 + 2๐ + 1
(๐ โ 1)2(๐2 + 1)=
๐
๐ โ 1+
๐
(๐ โ 1)2+๐๐ + ๐
๐2 + 1
Je multiplie par (๐ โ 1)2, puis ๐ = 1
๐ = [โ๐2 + 2๐ + 1
๐2 + 1]๐=1
=2
2= 1
Je multiplie par ๐2 + 1, puis ๐ = ๐
๐๐ + ๐ = [โ๐2 + 2๐ + 1
(๐ โ 1)2]๐=๐
=โ๐2 + 2๐ + 1
(๐ โ 1)2=
2 + 2๐
๐2 โ 2๐ + 1=2 + 2๐
โ2๐=1 + ๐
โ๐= โ1 + ๐
Donc ๐ = 1 et ๐ = โ1
Je multiplie par ๐, puis ๐ โ +โ
0 = ๐ + ๐
Donc ๐ = โ1
โ๐2 + 2๐ + 1
(๐ โ 1)2(๐2 + 1)=
โ1
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+๐ โ 1
๐2 + 1
Autre mรฉthode
On trouve ๐ = 1 et ๐ + ๐ = 0 comme ci-dessus.
On prend ๐ = 0
1 = โ๐ + ๐ + ๐ โ ๐ = ๐
Puis on prend ๐ = โ1
โ2
4 ร 2= โ
๐
2+๐
4+โ๐ + ๐
2
On multiplie le tout par 2 et on remplace ๐ par 1
โ1
2= โ๐ +
1
2โ ๐ + ๐ โ โ(๐ + ๐) + ๐ = โ1 โ ๐ = โ1
Dโoรน : ๐ = โ1 et ๐ = โ๐ = 1
2.
๐3 ๐2 โ 1
๐3 โ ๐ ๐
๐
Donc ๐3 = (๐2 โ 1)๐ + ๐ et
๐บ(๐) =(๐2 โ 1)๐ + ๐
๐2 โ 1= ๐ +
๐
(๐ โ 1)(๐ + 1)
Il existe ๐ et ๐ des rรฉels tels que
๐
(๐ โ 1)(๐ + 1)=
๐
๐ โ 1+
๐
๐ + 1
Je multiplie par ๐ โ 1, puis ๐ = 1
๐ = [๐
๐ + 1]๐=1
=1
2
Je multiplie par ๐ + 1, puis ๐ = โ1
๐ = [๐
๐ โ 1]๐=โ1
=โ1
โ2=1
2
Donc
๐บ(๐) = ๐ +
12
๐ โ 1+
12
๐ + 1
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
32
Allez ร : Exercice 44
Correction exercice 45.
3
(๐2 + ๐ + 1)(๐ โ 1)2=
๐๐ + ๐
๐2 + ๐ + 1+
๐
๐ โ 1+
๐
(๐ โ 1)2 (โ)
On multiplie par (๐ โ 1)2, puis ๐ = 1
๐ = [3
๐2 + ๐ + 1]๐=1
= 1
Premiรจre mรฉthode
On multiplie par ๐2 + ๐ + 1, puis ๐ = ๐
๐๐ + ๐ = [3
(๐ โ 1)2]๐=๐
=3
(๐ โ 1)2=
3
๐2 โ 2๐ + 1=
3
โ3๐= โ
1
๐= โ๐2 = 1 + ๐
Donc ๐ = 1 et ๐ = 1
On prend ๐ = 0 dans (โ)
3 = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐ = โ3 + ๐ + ๐ = โ3 + 1 + 1 = โ1
Et donc
3
(๐2 + ๐ + 1)(๐ โ 1)2=
๐ + 1
๐2 + ๐ + 1โ
1
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2
Deuxiรจme mรฉthode
๐ = 0 dans (โ)
3 = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐ โ ๐ = 3 โ ๐ = 2 โ ๐ = 2 + ๐
On multiplie par ๐, puis ๐ โ +โ
0 = ๐ + ๐ โ ๐ = โ๐
๐ = โ1 dans (โ) 3
4= โ๐ + ๐ โ
๐
2+๐
4โ3
4= ๐ + (2 + ๐) โ
๐
2+1
4โ3
4โ1
4โ 2 =
3
2๐ โ โ
3
2=3
2๐ โ ๐ = โ1
Et donc
3
(๐2 + ๐ + 1)(๐ โ 1)2=
๐ + 1
๐2 + ๐ + 1โ
1
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2
Pour la dรฉcomposition dans โ(๐), il suffit de dรฉcomposer ๐+1
๐2+๐+1, comme
๐2 + ๐ + 1 = (๐ โ ๐)(๐ โ ๐2)
Il existe ๐ด โ โ tel que
๐ + 1
๐2 + ๐ + 1=
๐ + 1
(๐ โ ๐)(๐ โ ๐2)=
๐ด
๐ โ ๐+
๐ด
๐ โ ๐2
On multiplie par ๐ โ ๐, puis ๐ = ๐
๐ด = [๐ + 1
๐ โ ๐2]๐=๐
=๐ + 1
๐ โ ๐2=
โ12 + ๐
โ32 + 1
โ12 + ๐
โ32 โ (โ
12 โ ๐
โ32 )
=
12 + ๐
โ32
๐โ3 =1
2โ ๐
โ3
6
๐ + 1
๐2 + ๐ + 1=
12 โ ๐
โ36
๐ โ ๐+
12 + ๐
โ36
๐ โ ๐2
3
(๐2 + ๐ + 1)(๐ โ 1)2=
12โ ๐
โ36
๐ โ ๐+
12+ ๐
โ36
๐ โ ๐2โ
1
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2
Allez ร : Exercice 45
Correction exercice 46.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
33
๐น =๐2 + 1 โ 1
(๐2 + 1)2010=
๐2 + 1
(๐2 + 1)2010โ
1
(๐2 + 1)2010=
1
(๐2 + 1)2009โ
1
(๐2 + 1)2010
Allez ร : Exercice 46
Correction exercice 47.
Il faut dโabord diviser le numรฉrateur par le dรฉnominateur.
๐4(๐ โ 1)3 = ๐4(๐3 โ 3๐2 + 3๐ โ 1) = ๐7 โ 3๐6 + 3๐5 โ ๐4
๐8 + ๐ + 1
๐4(๐ โ 1)3=(๐7 โ 3๐6 + 3๐5 โ ๐4)(๐ + 3) + 6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
๐4(๐ โ 1)3
= ๐ + 3 +6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
๐4(๐ โ 1)3
On pose alors
๐บ(๐) =6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
๐4(๐ โ 1)3
0 est un pรดle dโordre 4 du dรฉnominateur on effectue alors la division suivant les puissances croissantes
de
1 + ๐ + 3๐4 โ 8๐5 + 6๐6 par (๐ โ 1)3 = โ1 + 3๐ โ 3๐2 + ๐3 ร lโordre 4 โ 1 = 3
(Le 4 est le 4 de ๐4)
1 + ๐ + 3๐4 โ 8๐5 + 6๐6 โ1 + 3๐ โ 3๐2 + ๐3
1 โ 3๐ + 3๐2 โ ๐3 โ1 โ 4๐ โ 9๐2 โ 16๐3
4๐ โ 3๐2 + ๐3 + 3๐4 โ 8๐5 + 6๐6
4๐ โ 12๐2 + 12๐3 โ 4๐4
9๐2 โ 11๐3 + 7๐4 โ 8๐5 + 6๐6
9๐2 โ 27๐3 + 27๐4 โ 9๐5
16๐3 โ 20๐4 + ๐5 + 6๐6
16๐3 โ 48๐4 + 48๐5 โ 16๐6
28๐4 โ 47๐5 + 22๐6
On en tire
1 + ๐ + 3๐4 โ 8๐5 + 6๐6
= (โ1 + 3๐ โ 3๐2 + ๐3)(โ1 โ 4๐ โ 9๐2 โ 16๐3) + 28๐4 โ 47๐5 + 22๐6
โ6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
(๐ โ 1)3
=(โ1 + 3๐ โ 3๐2 + ๐3)(โ1 โ 4๐ โ 9๐2 โ 16๐3) + 28๐4 โ 47๐5 + 22๐6
(๐ โ 1)3
โ6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
(๐ โ 1)3= โ1 โ 4๐ โ 9๐2 โ 16๐3 +
28๐4 โ 47๐5 + 22๐6
(๐ โ 1)3
โ6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
๐4 (๐ โ 1)3=โ1 โ 4๐ โ 9๐2 โ 16๐3
๐4+๐4(28 โ 47๐ + 22๐2)
๐4(๐ โ 1)3
โ G = โ1
๐4โ4
๐3โ9
๐2โ16
๐+28 โ 47๐ + 22๐2
(๐ โ 1)3
๐8 + ๐ + 1 ๐7 โ 3๐6 + 3๐5 โ ๐4
๐8 โ 3๐7 + 3๐6 โ ๐5 ๐ + 3
3๐7 โ 3๐6 + ๐5 + ๐ + 1
3๐7 โ 9๐6 + 9๐5 โ 3๐4
6๐6 โ 8๐5 + 3๐4 + ๐ + 1
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
34
On pose alors
๐ป =28 โ 47๐ + 22๐2
(๐ โ 1)3=
๐
๐ โ 1+
๐
(๐ โ 1)2+
๐
(๐ โ 1)3
On multiplie par (๐ โ 1)3, puis ๐ = 1.
๐ = [28 โ 47๐ + 22๐2]๐=1 = 3
On multiplie par ๐, puis ๐ โ +โ
22 = ๐
๐ = 0,
28 = โ๐ + ๐ โ ๐ โ โ28 = โ22 + ๐ โ 3 โ ๐ = โ33
Donc
๐ป =28 โ 47๐ + 22๐2
(๐ โ 1)3=
22
๐ โ 1+
53
(๐ โ 1)2+
3
(๐ โ 1)3
Et alors
๐น = ๐ + 3 โ1
๐4โ4
๐3โ9
๐2โ16
๐+
22
๐ โ 1โ
3
(๐ โ 1)2+
3
(๐ โ 1)3
Allez ร : Exercice 47
Correction exercice 48.
Le degrรฉ du numรฉrateur est strictement infรฉrieur ร celui du dรฉnominateur, pas de division.
La forme de la dรฉcomposition est :
๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2=๐
๐+๐
๐2+
๐๐ + ๐
๐2 + ๐ + 1+
๐๐ + ๐
(๐2 + ๐ + 1)2
On multiplie par ๐2, puis ๐ = 0.
๐ = [๐4 + 1
(๐2 + ๐ + 1)2]๐=0
= 1
On multiplie par (๐2 + ๐ + 1)2, puis ๐ = ๐.
๐๐ + ๐ = [๐4 + 1
๐2]๐=๐
=๐4 + 1
๐2=๐ + 1
๐2=โ๐2
๐2= โ1
Donc ๐ = 0 et ๐ = โ1.
Ensuite ce nโest pas simple, il manque encore 3 coefficients.
On pourrait multiplier par ๐ puis faire tendre ๐ vers lโinfini, mais ensuite il faudra prendre deux valeurs
et bonjour les fractions pรฉnibles, alors on va inaugurer une nouvelle technique qui sert dans des cas un
peu compliquรฉs.
๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2=๐
๐+1
๐2+
๐๐ + ๐
๐2 + ๐ + 1+
โ1
(๐2 + ๐ + 1)2
โ๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2โ1
๐2+
1
(๐2 + ๐ + 1)2=๐
๐+
๐๐ + ๐
๐2 + ๐ + 1
Jโappelle
๐บ =๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2โ1
๐2+
1
(๐2 + ๐ + 1)2
Cโest une fraction rationnelle, dโaprรจs lโunicitรฉ de sa dรฉcomposition en รฉlรฉment simple, qui est, dโaprรจs
la ligne ci-dessus, ๐
๐+
๐๐+๐
๐2+๐+1, on doit pouvoir, en rรฉduisant au mรชme dรฉnominateur, trouver que le
dรฉnominateur de ๐บ est ๐(๐2 + ๐ + 1). On y va.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
35
๐บ =๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2โ1
๐2+
1
(๐2 + ๐ + 1)2=๐4 + 1 โ (๐2 + ๐ + 1)2 + ๐2
๐2(๐2 + ๐ + 1)2
=๐4 + ๐2 + 1 โ (๐4 + ๐2 + 1 + 2๐3 + 2๐2 + 2๐)
๐2(๐2 + ๐ + 1)2=โ2๐3 โ 2๐2 โ 2๐)
๐2(๐2 + ๐ + 1)2
=โ2
๐(๐2 + ๐ + 1)
On a donc
โ2
๐(๐2 + ๐ + 1)=๐
๐+
๐๐ + ๐
๐2 + ๐ + 1
On multiplie par ๐, puis ๐ = 0
๐ = [โ2
๐2 + ๐ + 1]๐=0
= โ2
On multiplie par ๐2 + ๐ + 1, puis ๐ = ๐.
๐๐ + ๐ = [โ2
๐2]๐=๐
=โ2
๐2= โ2๐
Donc ๐ = โ2 et ๐ = 0
Finalement
๐4 + 1
๐2(๐2 + ๐ + 1)2=โ2
๐+1
๐2+
โ2๐
๐2 + ๐ + 1+
โ1
(๐2 + ๐ + 1)2
Allez ร : Exercice 48
Correction exercice 49.
Ensuite je diviserai par 16
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
16๐5
(๐ โ 1)2(๐ + 1)2(๐ โ ๐)2(๐ + ๐)2
=๐
๐ โ 1+
๐
(๐ โ 1)2+
๐
๐ + 1+
๐
(๐ + 1)2+
๐
๐ โ ๐+
๐
(๐ โ ๐)2+
๐ฬ
๐ + ๐+
๐ฬ
(๐ + ๐)2
Avec ๐, ๐, ๐ et ๐ rรฉels et ๐ et ๐ complexes.
Il est facile de trouver ๐, ๐ et ๐.
Je multiplie par (๐ โ 1)2, puis ๐ = 1
๐ = [16๐5
(๐ + 1)2(๐ โ ๐)2(๐ + ๐)2]๐=1
= [16๐5
(๐ + 1)2(๐2 + 1)2]๐=1
= 1
Je multiplie par (๐ + 1)2, puis ๐ = โ1
๐ = [16๐5
(๐ โ 1)2(๐ โ ๐)2(๐ + ๐)2]๐=1
= [16๐5
(๐ โ 1)2(๐2 + 1)2]๐=โ1
= โ1
Je multiplie par (๐ โ ๐)2, puis ๐ = ๐
๐ = [16๐5
(๐ + 1)2(๐ โ 1)2(๐ + ๐)2]๐=1
= [16๐5
(๐2 โ 1)2(๐ + ๐)2]๐=๐
=16๐5
(โ2)2(2๐)2=
16๐
4(โ4)= โ๐
๐น est impaire donc ๐น(โ๐) = โ๐น(๐), soit encore : โ๐น(โ๐) = ๐น(๐)
โ๐น(โ๐) = โ(๐
โ๐โ1+
๐
(โ๐โ1)2+
๐
โ๐+1+
๐
(โ๐+1)2+
๐
โ๐โ๐+
๐
(โ๐โ๐)2+
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
โ๐+๐+
๐ฬ
(โ๐+๐)2)
โ๐น(โ๐) =๐
๐+1โ
๐
(๐+1)2+
๐
๐โ1โ
๐
(๐โ1)2+
๐
๐+๐โ
๐
(๐+๐)2+
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐โ๐โ
๐ฬ
(๐โ๐)2
En identifiant les coefficients avec ceux de ๐น(๐), on a :
๐ = ๐, ๐ = โ๐, ๐ = ๐ฬ et ๐ = โ๐ ฬ
๐ = โ๐, รงร on le savait dรฉjร , ๐ = ๐ฬ donc ๐ est rรฉel et ๐ = โ๐ ฬ entraine que ๐ est un imaginaire pur, ce
que lโon savait dรฉjร .
๐ = 0 donne
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
36
๐น(0) = 0 = โ๐ + ๐ + ๐ + ๐ + ๐๐ โ ๐ โ ๐๐ฬ โ ๐ฬ = โ๐ + ๐ + ๐(๐ โ ๐ฬ )
Car ๐ + ๐ = 0 et โ ๐ โ ๐ฬ = ๐ โ ๐ = 0
Cela donne 0 = โ๐ + ๐ + ๐(๐ โ ๐ฬ ) โ ๐ + ๐ + 2๐(๐Im(๐) = โ๐ + ๐ โ 2Im(๐)
Or ๐ = ๐ donc Im(๐) = 0 autrement dit ๐ est rรฉel.
Je multiplie par ๐, puis je fais tendre ๐ vers โ.
0 = ๐ + ๐ + ๐ + ๐ฬ = 2๐ + 2๐
Donc ๐ = โ๐
Comme ๐ = ๐, ๐ = 1, ๐ = โ1 et ๐ = โ๐
On a :
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
๐
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
๐
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2โ
๐
๐ โ ๐โ
๐
(๐ โ ๐)2โ
๐
๐ + ๐+
๐
(๐ + ๐)2
Ceci รฉtant vrai pour tout ๐ โ โ\{โ1,1, โ๐, ๐}, je prends ๐ = 2 . 16 ร 32
(16 โ 1)2=
๐
2 โ 1+
1
(2 โ 1)2+
๐
2 + 1โ
1
(2 + 1)2โ
๐
2 โ ๐โ
๐
(2 โ ๐)2โ
๐
2 + ๐+
๐
(2 + ๐)2
โ16 ร 32
152= ๐ + 1 +
๐
3โ1
9โ๐(2 + ๐)
5โ๐(2 + ๐)2
52โ๐(2 โ ๐)
5+๐(2 โ ๐)2
52
โ16 ร 32
152=4๐
3+8
9โ4๐
5โ๐(3 + 4๐)
25+๐(3 โ 4๐)
25
โ16 ร 32
32 ร 52=20 โ 12
15๐ +
8
9+8
25
โ 16 ร 32 = 8 ร 15๐ + 8 ร 25 + 8 ร 9 โ 2 ร 32 = 15๐ + 25 + 9 โ 30 = 15๐ โ ๐ = 2
Donc
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
2
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
2
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2โ
2
๐ โ ๐โ
๐
(๐ โ ๐)2โ
2
๐ + ๐+
๐
(๐ + ๐)2
Il reste ร diviser par 16 :
๐5
(๐4 โ 1)2=
18
๐ โ 1+
116
(๐ โ 1)2+
18
๐ + 1โ
116
(๐ + 1)2โ
18
๐ โ ๐โ
๐16
(๐ โ ๐)2โ
18
๐ + ๐+
๐16
(๐ + ๐)2
Ensuite pour dรฉcomposer dans โ[๐] il faut rรฉunir les conjuguรฉs.
๐5
(๐4 โ 1)2=
18
๐ โ 1+
116
(๐ โ 1)2+
18
๐ + 1โ
116
(๐ + 1)2โ1
8(1
๐ โ ๐+
1
๐ + ๐)
โ๐
16(
1
(๐ โ ๐)2โ
1
(๐ + ๐)2)
๐5
(๐4 โ 1)2=
18
๐ โ 1+
116
(๐ โ 1)2+
18
๐ + 1โ
116
(๐ + 1)2โ
๐4
๐2 + 1โ๐
16
(๐ + ๐)2 โ (๐ โ ๐)2
(๐2 + 1)2
๐5
(๐4 โ 1)2=
18
๐ โ 1+
116
(๐ โ 1)2+
18
๐ + 1โ
116
(๐ + 1)2โ
๐4
๐2 + 1โ๐
16
4๐๐
(๐2 + 1)2
๐5
(๐4 โ 1)2=
18
๐ โ 1+
116
(๐ โ 1)2+
18
๐ + 1โ
116
(๐ + 1)2โ
๐4
๐2 + 1+
๐4
(๐2 + 1)2
Je vais maintenant dรฉcomposer directement cette fraction dans โ[๐].
Comme dans โ[๐] je vais dรฉcomposer ๐น =16๐5
(๐4โ1)2
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
๐ฝ
(๐ โ 1)2+
๐พ
๐ + 1+
๐ฟ
(๐ + 1)2+ํ๐ + ํ
๐2 + 1+
ํ๐ + ํ
(๐2 + 1)2
De la mรชme faรงon, on trouve que ๐ฝ = 1 et ๐ฟ = โ1
Je multiplie par (๐2 + 1)2, puis je prends ๐ = ๐
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
37
ํ๐ + ํ = [16๐5
(๐2 โ 1)2]๐=๐
=16๐5
(โ1 โ 1)2= 4๐
Donc ํ = 4 et ํ = 0.
๐น est impaire donc โ๐น(โ๐) = ๐น(๐)
โ๐น(โ๐) = โ(๐ผ
โ๐ โ 1+
๐ฝ
(โ๐ โ 1)2+
๐พ
โ๐ + 1+
๐ฟ
(โ๐ + 1)2+โํ๐ + ํ
๐2 + 1+โํ๐ + ํ
(๐2 + 1)2)
=๐ผ
๐ + 1โ
๐ฝ
(๐ + 1)2+
๐พ
๐ โ 1โ
๐ฟ
(๐ โ 1)2+ํ๐ โ ํ
๐2 + 1+
ํ๐ โ ํ
(๐2 + 1)2
โ๐น(โ๐) = ๐น(๐) โ {
๐ผ = ๐พ๐ฝ = โ๐ฟํ = 0ํ = 0
On savait dรฉjร que ๐ฝ = โ๐ฟ et que ํ = 0.
Pour lโinstant on en est ร :
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
๐พ
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2+
ํ๐
๐2 + 1+
4๐
(๐2 + 1)2
Je multiplie par ๐, puis on fait tendre ๐ vers โ.
0 = ๐ผ + ๐พ + ํ
Comme ๐ผ = ๐พ, on a ํ = โ2๐พ.
On peut essayer ๐ = 0 mais cela redonne ๐ผ = ๐พ.
Pour lโinstant on en est ร :
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
๐พ
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
๐พ
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2โ
2๐พ๐
๐2 + 1+
4๐
(๐2 + 1)2
Comme dans โ[๐], je vais prendre ๐ = 2.
16 ร 32
(16 โ 1)2= ๐พ + 1 +
๐พ
3โ1
9โ4๐พ
5+8
52โ16 ร 32
152=4๐พ
3โ4๐พ
5+8
9+8
25โ16 ร 32
152=8๐พ
15+8 ร 34
9 ร 25
โ 16 ร 32 = 8 ร 15๐พ + 8 ร 34 โ 2 ร 32 = 15๐พ + 34 โ ๐พ = 2
๐น(๐) =16๐5
(๐4 โ 1)2=
2
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
2
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2โ
4๐
๐2 + 1+
4๐
(๐2 + 1)2
On divise par 16 et voilร .
A partir de lร , on peut retrouver la dรฉcomposition dans โ[๐], pour cela il suffit de dรฉcomposer
4๐
๐2 + 1=
๐
๐ โ ๐+
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐ + ๐
Et
4๐
(๐2 + 1)2=
๐
๐ โ ๐+
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐ + ๐+
๐
(๐ โ ๐)2+
๐ฬ
(๐ + ๐)2
A faire.
Troisiรจme mรฉthode
On repart de
๐น(๐) =16๐5
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
๐พ
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2+ํ๐ + ํ
๐2 + 1+
4๐
(๐2 + 1)2
=๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1+
1
(๐ โ 1)2โ
1
(๐ + 1)2+
4๐
(๐2 + 1)2
On va calculer
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
38
1
(๐ โ 1)2โ
1
(๐ + 1)2+
4๐
(๐2 + 1)2
=(๐ + 1)2(๐2 + 1)2 โ (๐ โ 1)2(๐2 + 1)2 + 4๐(๐ โ 1)2(๐ + 1)2
(๐ โ 1)2(๐ + 1)2(๐2 + 1)2
=((๐ + 1)2 โ (๐ โ 1)2)(๐2 + 1)2 + 4๐(๐2 โ 1)2
(๐2 โ 1)2(๐2 + 1)2
=(๐2 + 2๐ + 1 โ ๐2 + 2๐ โ 1)(๐4 + 2๐2 + 1) + 4๐(๐4 โ 2๐2 + 1)
(๐4 โ 1)2
=4๐(๐4 + 2๐2 + 1) + 4๐(๐4 โ 2๐2 + 1)
(๐4 โ 1)2=8๐(๐4 + 1)
(๐4 โ 1)2
Donc
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
๐พ
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2+ํ๐ + ํ
๐2 + 1+
4๐
(๐2 + 1)2
=๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1+8๐(๐4 + 1)
(๐4 โ 1)2โ ๐น โ
8๐(๐4 + 1)
(๐4 โ 1)2
=๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1โ
16๐5
(๐4 โ 1)2โ8๐(๐4 + 1)
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
โ16๐5 โ 8๐(๐4 + 1)
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
โ16๐5 โ 8๐5 โ 8๐
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
โ8๐5 โ 8๐
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
โ8๐(๐4 โ 1)
(๐4 โ 1)2=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
โ8๐
๐4 โ 1=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
โ8๐
(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐2 + 1)=
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1
On multiplie par ๐ โ 1, puis ๐ = 1
๐ผ = [8๐
(๐ + 1)(๐2 + 1)]๐=1
= 2
On multiplie par ๐ + 1, puis ๐ = โ1
๐ฝ = [8๐
(๐ โ 1)(๐2 + 1)]๐=โ1
= 2
On multiplie par ๐2 + 1, puis ๐ = ๐
๐ + ๐ํ = [8๐
๐2 โ 1]๐=๐
= โ4๐ โ ๐ = 0 et ํ = โ4
Donc
๐ผ
๐ โ 1+
๐พ
๐ + 1+ํ๐ + ํ
๐2 + 1=
2
๐ โ 1+
2
๐ + 1โ
4๐
๐2 + 1
Et enfin
๐น =16๐5
(๐4 โ 1)2=
2
๐ โ 1+
1
(๐ โ 1)2+
2
๐ + 1โ
1
(๐ + 1)2โ
4๐
๐2 + 1+
4๐
(๐2 + 1)2
Il ne reste quโร diviser par 16
Allez ร : Exercice 49
Correction exercice 50.
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
39
1. ๐ผ est une racine simple de ๐ donc il existe ๐1 tel que ๐ = (๐ โ ๐ผ)๐1 avec ๐1(๐ผ) โ 0
๐น =๐
๐=
๐
(๐ โ ๐ผ)๐1=
๐
๐ โ ๐ผ+ โฏ
En multipliant par ๐ โ ๐ผ, puis en faisant ๐ = ๐ผ, on trouve (classiquement)
๐ =๐(๐ผ)
๐1(๐ผ)
Dโautre part
๐ = (๐ โ ๐ผ)๐1 โ ๐โฒ = ๐1 + (๐ โ ๐ผ)๐1โฒ
En faisant ๐ = ๐ผ dans cette derniรจre expression on trouve que ๐โฒ(๐ผ) = ๐1(๐ผ)
Par consรฉquent
๐ =๐(๐ผ)
๐โฒ(๐ผ)
2.
๐๐ โ 1 =โ(๐ โ ๐2๐๐๐๐ )
๐โ1
๐=0
Donc il existe ๐0, ๐1, โฆ , ๐๐โ1 tels que :
๐น = โ๐๐
๐ โ ๐2๐๐๐๐
๐โ1
๐=0
En appliquant le rรฉsultat du 1ยฐ), avec ๐ = ๐ et ๐โฒ = ๐๐๐โ1
๐๐ =๐2๐๐๐๐
๐ (๐2๐๐๐๐ )
๐โ1 =1
๐๐2๐๐(1โ(๐โ1))๐
๐ =1
๐๐2๐๐(2โ๐)๐
๐ =1
๐๐4๐๐๐๐
Donc
๐น = โ
1๐ ๐
4๐๐๐๐
๐ โ ๐2๐๐๐๐
๐โ1
๐=0
Allez ร : Exercice 50
Correction exercice 51.
1. ๐ = ๐5 โ ๐3 + ๐2 โ 1 = ๐3(๐2 โ 1) + (๐2 โ 1) = (๐2 โ 1)(๐3 + 1)
โ1 est racine de ๐3 + 1 donc on peut factoriser par ๐ + 1, et on trouve, ร lโaide dโune division
รฉlรฉmentaire ๐3 + 1 = (๐ + 1)(๐2 โ ๐ + 1). ๐2 โ ๐ + 1 nโa pas de racine rรฉelle
On dรฉduit de tout cela que la dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐ = (๐ โ 1)(๐ + 1)(๐ + 1)(๐2 โ ๐ + 1) = (๐ โ 1)(๐ + 1)2(๐2 โ ๐ + 1)
๐2 โ ๐ + 1 admet deux racines complexes conjuguรฉes
1 โ ๐โ3
2= โ๐ et
1 + ๐โ3
2= โ๐2
La dรฉcomposition dans โ[๐] est :
๐ = (๐ โ 1)(๐ + 1)2(๐ + ๐)(๐ + ๐2)
2. Il existe ๐, ๐, ๐ et ๐ rรฉels tels que :
๐ + 1
๐=
๐ + 1
(๐ โ 1)(๐ + 1)2(๐2 โ ๐ + 1)=
1
(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐2 โ ๐ + 1)
=๐
๐ โ 1+
๐
๐ + 1+
๐๐ + ๐
๐2 โ ๐ + 1
On multiplie par ๐ โ 1, puis ๐ = 1
๐ = [1
(๐ + 1)(๐2 โ ๐ + 1)]๐=1
=1
2
Polynรดmes et fractions rationnelles Pascal Lainรฉ
40
On multiplie par ๐ + 1, puis ๐ = โ1
๐ = [1
(๐ โ 1)(๐2 โ ๐ + 1)]๐=โ1
= โ1
6
On pose ๐ = 0
โ1 = โ๐ + ๐ + ๐ โ ๐ = โ1 + ๐ โ ๐ = โ1 +1
2+1
6= โ
1
3
On multiplie par ๐, puis ๐ tend vers lโinfini
0 = ๐ + ๐ + ๐ โ ๐ = โ๐ โ ๐ = โ1
2+1
6= โ
1
3
๐ + 1
๐=
12
๐ โ 1โ
16
๐ + 1+โ13๐ โ
13
๐2 โ ๐ + 1
Allez ร : Exercice 51