exercicio 1 lajes vigas
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Exercicio 1 Lajes VigasTRANSCRIPT
04/03/2015
1
Exercício 1
Setembro 2009
L1
L2
L3
450
Geometria do painel ---- Vão teóricos ---- eixo a eixo
600
250
100
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Modelos Estruturais
L2L1
L3Balanço
DADOS GEOMETRICOS
Vão teóricos (entre eixos):
Laje L1 6m x 4,5mLaje L2 6m x 2,5m
Laje L3 (Balanço) 6m x 1,0m
Espessura: h =12cm ( todas)
Altura útil : d = 9 cm (todas)
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DADOS GERAIS
Concretofck = 25MPa = 2,5kN/cm2
fcd =2,5/1,4 = 1,785kN/cm2
AçoCA50 fyd=50/1,15= 43,478kN/cm2
Laje L1
b=6
L1a=
4,5
Classificação Laje em cruz 1 > a/b >0,5ou Laje corredor a/b<0,5
4,5 / 6,0 = 0,75 laje em cruz
Laje em cruzLaje tipo 2acom engastamento do lado maior ( ver tabela Kalmanock)
Xa
MbMa
qaE
qb
qaA
qb
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Laje L2
Classificação Laje em cruz 1 > a/b >0,5ou Laje corredor a/b<0,5
2,5 / 6,0 = 0,42 laje corredor
Laje corredorMono engastatadaMa = q L 2 /14,22Xa = - q L2 / 8Ra = 0,6qLRb = 0,4 qLSendo L o menor lado
L2
b=6
a=
2,5
Ma
XaRa
Rb
Laje L3
Classificação Laje em balanço
Laje em balançoEngaste e livre
Xa = - (q L2 / 2 + P. L)
Ra = qL+ PSendo L o menor ladoP a carga na ponta eq a carga uniforme
L3L=
1
Xa
P
L
q
Ra
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Carga da Laje L1 h=12cmq1 = pp + rev. + sc = 25 x 0.12 + 1,25 + 2 =6,25=kN/m2
Coeficiente de entrada na tabela corrigida n=0,2:
a /b = 4,5 / 6,0 = 0,75
Momentos fletores já corrigidos com n=0,2
Ma= (49,1) . 6,25 . 4,52 /1000 = 6,21kN.m = 621kN.cm
Mb= (25,9) . 6,25 . 4,52 /1000 = 3,28kN.m = 328kN.cm
Xa = (105 ). 6,25 . 4,52 / 1000= 13,29kN.m=1329kN.cm
(Coeficientes )da tabela 2a
Carregamento da Laje L1 h=12cmq1 = pp + rev. + sc = 25 x 0.12 + 1,25 + 2 =6,25=kN/m2
a = 4,5 b= 6,0
Calculo das reações
qa E= (0,48) . 6,25 .4,5 = 13,5kN.m
qaA= (0,27) . 6,25 . 4,5 = 7,6kN.m
qb = (0,17) . 6,25 . 4,5 = 4,78kN.m
(Coeficientes )da tabela 2a
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Lajes: L1 Cálculo dos momentos e
reações
6,004
,50
328
13
29
mom (-)
mom (+)
7,6 kN/m
13,5kN/m
4,78kN/m
4,78kN/m
Carga da Laje L2 h=12cm
q2 = pp + rev. + sc = 25 x 0.11 + 1,25 + 2 = 6,25kN/m2
a = 2,5 b= 6,0 Como a/b é menor que 0,5
Trata-se de uma laje corredor
Calculo dos momentos com o uso de formulas conhecidas ou tabeladas
Ma+= 6,25 . 4,52 /14,22 = 8,90kN.m = 890kN.cm
Xa- = 6,25 . 4,52 / 8 = 15,82kN.m = 1582kN.cm
Calculo das reações Ra = 0,6 .6,25.2,5 = 9,38kN/m
Rb = 0,4 . 6,25 .2,5 = 6,25kN/m
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Lajes: L2 Cálculo dos momentos e
reações
6,002
,548
8
mom (-)
mom (+)
6,25kN/m
9,38kN/m
Carga da Laje L3 h=12cmq3 = pp + rev. + sc = 25 x 0.12 + 1,25 + 2 = 6,25kN/m2
Trata-se de uma laje em balanço (engaste e livre)
Calculo do momento do balanço
Xa = - ( 6,25 . 12 / 2 + 2. 1) = - 5,13kN.m = 513kN.cm
Calculo da reação Ra = 6,25 . 1 +2 = 8,25 kN/m
-Xa
LRa
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Laje L3Cálculo do momento e da reação
6,00
51
3 mom (-)
mom (+)
8,25 kN/m
Compensação de momentos negativosEquilibra-se os momentos negativos escolhendo o maior dos dois valores :
media dos momentos
80% do maior
Correção dos momentos positivosAcrescenta-se ao momento positivo a metade da perda de cada extremidade.
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Compensação de momentos negativos
Correção dos momentos positivos
M / 2M1
M2
M
M / 2
M
M=(M1-M)
M é a media ou 80%do maior
L1
L2
L3
450
Momentos compensados e corrigidos
600
250
100
336542
1329
1582
890
513
1455
954
64
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L1
L2
L3
450
Momentos compensados e corrigidos
600
250
100
336542
1329
1582
890
513
1455
954
64
#8c7
#8c12
#6.3c18
#6.3
c14
#6.3
c14
Projeto de vigas
Identificar os dados iniciais. :
• classes do concreto e do aço e o cobrimento;• forma estrutural do tabuleiro, com as dimensões preliminares em planta;• distância até o andar superior;• reações de apoio das lajes;• cargas das paredes por metro quadrado;• dimensões das seções transversais das vigas, obtidas num prédimensionamento.
Em seguida, devem ser considerados: esquema estático, vãos e dimensões da seção transversal.
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600
15 585 15
450
250
100
15
435
15
235
92.5
V1
V2
V3
V4V5
P1 P2
P3 P4
L1
L2
L3
Sistema estrutural proposto
600
15 585 15
450
250
100
15
435
15
235
92.5
V1
V2
V3
V4V5
P1 P2
P3 P4
L1
L2
L3
7,6 kN/m
13,5kN/m
4,78kN/m 4,78kN/m
8,25kN/m
6,25kN/m
9,38kN/m
Reações das lajes nas vigas
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Pré-dimensionamento
• Largura das vigas bw = 15 cm
• Altura das vigas ( h = l/10)
• V1, V2 e V3 15/60
• V4 e V5 15/70
• Pilares adotado 20/50
• Cobrimento = 2.5cm
Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das vigas
pp = bw . h. γc ( KN / m)
• bw - largura da viga
• h - altura da viga
• γc - peso específico do concreto
• Γc = 25.00 KN/m3
• Pp = 0,15 . 0,60 . 25 =2,25kN/m
• Pp = 0,15 . 0,70 . 25 = 2,625 kN/m
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Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das paredes
• P = esp . hp . γbloco
• esp - espessura da parede acabada
• hp - altura da parede
• γbloco - peso específico do bloco
• Tijolos furados gbloco = 13.00 KN / m3
• Pp = 0,15 . 2,8 . 13=5,46kN/m
• Pp = 0,15 . (2,8 -0,6) . 13 = 4,29 kN/m
Calculo do carregamento das vigas
• Viga V1 15/60
Pp = 2,25 kN/m
Ppar = 5,46kN/m
Reação da laje = 7,6kN/m
5,95
P1 P2
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• Viga V1 15/60
• q = 7,6+5,46+2,25 =15,31kN/m
5,95
15,31kN/m
P1P2
Ra=Rb= 46kN Mmax=67,75kNm
• Viga V2 15/60
• q = 13,5+9,38+5,46+2,25 =30,6 kN/m
6,00m
30,6kN/m
V4 V5
Ra = Rb 91,8kN Mmax = 137,7kNm
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• Viga V3 15/60
• q = 6,25+8,25+5,46+2,25 =22,21 kN/m
5,95m
22,21kN/m
P3 P4
Ra=Rb = 66,07kN Mmax= 98,3kNm
• Viga V4 15/70
• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m
• q2 = 4,78+5,46+2,625 = 12,9 kN/m
6,65m
8,1kN/m
P3 P1
RaV2 =91,8kN
12,9kN/m
2,325m
Ra = 93,4kNRb=73,02kNMmax=196kNm
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• Viga V5 15/70
• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m
• q2 = 5,46+4,78+2,625 = 12,9 kN/m
6,65m
8,1kN/m
P4 P2
RbV2 =91,8kN
12,9kN/m
2,325m
Ra = 93,4kN Rb =73,02 kN
Mmax = 196kNm
Dimensionamento a flexão simples
• µ= Md/0,85.fcd.bw.d2
• KY=1-(1-2µ)1/2 < KYlim
• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd
• As = ρ.bw .d
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Forma da viga biapoiada
V2 15/60
V4 V5
15 15585
Esforços e diagramas
• Viga V2 15/60
• Mk = 137,7 kNm
• Vk eixo=91,8 kN
• Md =1,4 . 13770 = 19278 kNcm
• Vdeixo = 1,4. 91,8= 128,5kN
• Vdface=128,5-1,4.30,6.0,15/2 = 125,3kN
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Md = 19278 kNcm
Vdeixo = 128,5kN7,5cm
Vdface= 125,3kN
Vdeixo=128,5kN
150cm
100 cm
Dimensionamento V2 15/60momento maximo com armadura simples
• µ = Md/0,85.fcd.bw.d2
• µ =19278/0,85.1,78.15 .542 =0,2913
• KY=1-(1-2µ)1/2 =1-(1-2.0,2913)1/2 =0,3539
• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd =0,85.1,78.0,3539/43,48 = 0,0123>0,0015
• As = ρ.bw .d = 0,0123.15.54 = 9,97cm2
• Usar 4 ø 20mm ou 5 ø 16
• Adotado 4 ø 20 Asef =12,56cm2
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Força cortante VRd2
• VRd2= 0,27αv fcd bw d
• αv =(1-fck/250) MPa = (1-25/250) = 0,9
• VRd2 =0,27.0,9.1,78.15.54 =350,53kN
• VSd,face = 125,3kN < VRd2 = 350,53kN → Bielas resistem!
Força cortante VSd,min relativa a armadura transversal mínima
• VSd,mín = Vsw,mín + Vc• VSd,mín = ρswmin 0,9.bw. d fywdVSd,mín = 0,001026. 0,9.15. 54.43,48 =32,52kN• (ρwmin dado na Tabela)
fctd = fctkinf/γcFctkinf =0.7fctmFctm= 0,3fck2/3
Fctm=0,3.252/3=2,56 MPaFctkinf = 0,7. 2,56 = 1,8MPaFctd = 0,18 /1,4 = 0,128kN/cm2
Vc = 0,6⋅ fctd ⋅bw⋅d = 0,6⋅0,1282⋅15⋅54 = 62,3kN• Resulta:• VSd,mín = 32,52+ 62,3 = 94,8 kN
• VSd,face = 125,3kN > V = 94,8kN ⇒ asw> aswmin
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Trecho com armadura transversal maior que a mínima (a)
• 128,5/300 = 94,8/x x = 221cm
• a = 300 - 221 =79cm
128,5
128,5
94,8
Vdmin
300 300
79
79
Armadura transversal junto ao apoio
• Força cortante a d/2 da face do apoio:
• VSd,d / 2 = VSd,face – q.d/2• VSd,d / 2 = 125,3 –1,4 . 30,6 .0,54/2 = 113,7kN• Vsw= VSd,d/2 – Vc = 113,7 – 62,3 = 51,4kN• asw = Asw/s = Vsw/0,9. d. fywd • = 51,4 / 0,9 . 54 . 43,48• = 0,0243cm2/cm = 2,43cm2/m• Asw/s = 2 . 0,196/s = 2,43 (estribos de 2 ramos)• S=0,16m• Pode-se adotar:• φ5 c/ 16 (2,50 cm2/m)
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Armadura transversal mínima
asw,mín = Asw,min/s = ρsw,min . bw
= 0,001026 . 0,15 =
asw,min = 0,0001539m2/m = 1,54cm2/m
• Utilizando-se estribos de dois ramos, tem-se:
• asw,min = Aswmin/s = 2 . 0,196/s =1,54 = 0,25m
• Pode-se adotar:
• φ5 c/ 25 (1,60 cm2/m)
• Diâmetro dos estribos
• φt,mín = 5mm
• φt,máx = 0,1⋅bw = 15mm
• Adotando φt = 5 mm, são satisfeitas as duas condições.
Espaçamento máximo longitudinal dos estribos
Se VSd ≤ 0,67 VRd2, então smáx= 0,6 d ≤ 300 mm.
• Se VSd > 0,67 VRd2, então smáx= 0,3 d ≤ 200 mm.
• VSd face/VRd2 = 125,3/350,53 = 0,36
• VSd face = 0,36 VRd2 < 0,67 VRd2
• Portanto, smax= 0,6 d = 0,6.54 = 32cm≤ 30 cm
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Número de ramos dos estribos
Se VSd ≤ 0,20 VRd2, então st,máx = d ≤ 800 mm.Se VSd > 0,20 VRd2, então st, máx = 0,6d ≤ 350 mm.VSd,face = 0,36 ⋅ VRd2 > 0,20 ⋅ VRd2
Portanto, smax = 0,6.d = 0,6. 54 = 32cm < 35cmPara estribos de dois ramos:st = bw - 2 c- øt = 15 – 2. 2,5 - 0,5 = 9,5cm <st max = 32cm 2 ramos
Comprimento de ancoragem
• Resistência de aderência
• fbd = η 1 ⋅ η 2 ⋅ η 3 ⋅ fctd
• η 1 = 2,25 (CA 50 barras nervuradas)
• η 2 = 1,0(situação de boa aderência)
• η 3 = 1,0(para 32mm)
• fctd =0,128kN/cm2
• fbd = 2,25 .1 .1 . 0,128 =0,288kN/cm2
• Comprimento de ancoragem básico
• lb = φ fyd /4 fbd
• lb = 2 . 43,48 / 4 . 0,288 = 75cm
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Ancoragem no apoio• Dimensão mínima do apoio
• lbmin ≥ lb = 75cm
• ≥ 60mm = 6cm
• ≥ (r +5,5 φ )
• = 4 φ + 5,5 φ = 9,5 . 2,0
• =19cm
• l b,disp = t - c = 15 - 2,5 = 12,5cm
• Na direção perpendicular ao gancho deve-se ter cobrimento c ≥ 7cm.
Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd
Rs = (al/d).Vd,face
• al/d = Vd,face / 2( Vd,face - Vc)
• al/d= 125,3 / 2(125,3 - 62,3 ) = 0,99 > 0,5 OK!
• Rs = 0,99. 125,3 = 124kN
• Ascal = Rs/fyd = 124/43,48 = 2,85cm2
• Como Mapoio = 0 Asapoio ≥1/3 As vão = (1/3)9,97 = 3,32cm2
• É necessário prolongar duas barras até o apoio 2ø20mm
• Asapoio = 6,28cm2
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Armadura necessária no apoio• Impondo lbnec=lbdisp e Asef=Asnec
• lbnec = α1 lb As,calc /As,ef ≥ lbmin
• lbnec = 0,7 . 75. 2,85/6,28 = 24cm ≥22,5cm
• lbmin ≥ 0,3lb, 10ø e 100mm
• lbmin ≥0,3.75=22,5cm, 10.2=20cm e 10cm
12,5cm
8.2=16cm
¶.8.2/4=12cm
Decalagem da armadura longitudinal
• Como foi visto anteriormente, duas barras devem ser prolongadas até os apoios.
• Portanto, deve ser calculado, somente, o comprimento da 3ª e 4a barra
• Como As,ef = 12,56cm2 > As,calc = 9,97cm2 , o comprimento de ancoragem necessário é menor que lb, porém não pode ser menor que l b,mín , dado pelo maior dos valores:
• l b,mín ≥ 0,3lb = 0.3 .75 = 22,5 c m• ≥ 10ø =10 .2 = 20cm
≥ 100mm• lbnec = α1 lb Ascalc/As ef = 1 . 75 . 9,97/12,56= 60 cm
>22,5 cm
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Decalagem da armadura longitudinal
• Deslocamento al
• Como al/d = 0,99
• al = 0,99 . 54 = 53,5 cm
• Comprimento da 3ª e 4ª barra
• L3e ≥ 150+al+10ø = 150+53,5+10.2= 223,5
• ≥ 100+al+lbnec =100 + 53,5+60 =217,5
• L3 = 2. 223,5 = 447 = 450cm
Distribuição transversalO espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais,
medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
• a) na direção horizontal (ah):• 20mm• diâmetro da barra, do feixe ou da luva;• 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado
graúdo
• na direção vertical (av):• 20 mm;• diâmetro da barra, do feixe ou da luva• 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado
graúdo.
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150cm
100 cm
2φ 20
2φ 20
2φ 5.0
450
67,5
3030
7979
5 φ c/16 18 φ c/25 5 φ c/16est φ 5
10
55
Φ 5 -140cm
V2 15/60
V4 V5
15 15585
N2- 2φ 20 - 450
N3 - 2φ 20 - 670
N1 - 2φ 5 - 610
610
30
2,5
67,5
5N4 c/16 18N4 c/25 5 N4 c/16
10
55
N4 Φ 5 -140cm
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Lista de barras
Numero Φ (mm) Quant. Comp. Unitário (m)
Comp. Total
(m)
N1 5 2 6,10 12,2
N2 20 2 4,50 9,0
N3 20 2 6,70 13,4
N4 5 28 1,40 39,2