exercícios dos capítulos 10, 11 e 12
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DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I
Exercícios dos Capítulos 10, 11 e 12
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 10:
10.1.1 Calcule o período das seguintes funções:
a) 4 cos (5t + 33º)
ω = 2π/T ⇒ T = 2π/5
b) cos 2t + π4
!
"#
$
%&+3sen 2t +
π6
!
"#
$
%&
cos 2t + π4
!
"#
$
%&= cos 2t( )cos π
4
!
"#
$
%&− sen 2t( )sen π
4
!
"#
$
%&
sen 2t + π6
!
"#
$
%&= sen 2t( )cos π
6
!
"#
$
%&+ cos 2t( )sen π
6
!
"#
$
%&
cos 2t + π4
!
"#
$
%&+3sen 2t +
π6
!
"#
$
%&=
22+32
!
"##
$
%&&cos 2t( )+ 3 3
2−22
!
"##
$
%&&sen 2t( )
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cos 2t + π4
!
"#
$
%&+3sen 2t +
π6
!
"#
$
%&=
2 +32
!
"##
$
%&&cos 2t( )+ 3 3 − 2
2
!
"##
$
%&&sen 2t( )
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"#
$%
θ = tan−1 BA
"
#$
%
&'
T = 2πω
=2π2= π
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10.1.2 Calcule a amplitude e a fase das seguintes senóides:
a)
3cos 2t( )+ 4sen 2t( )
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"#
$%
θ = tan−1 BA
"
#$
%
&'
amplitude = 32 + 42 = 5
θ = tan−1 43"
#$%
&'= 53,1°
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b)
4 3 −3( )cos 2t +30º( )+ 3 3 − 4( )cos 2t +60º( )
cos α +β( ) = cos α( )cos β( )− sen α( )sen β( )
4 3 −3( )cos 2t +30º( ) = 4 3 −3( )cos 30º( )cos 2t( )− 4 3 −3( )sen 30º( )sen 2t( )
= 4 3 −3( ) 32cos 2t( )− 4 3 −3( ) 12 sen 2t( )
= 6− 3 32
"
#$$
%
&''cos 2t( )− 2 3 − 3
2
"
#$
%
&'sen 2t( )
3 3 − 4( )cos 2t +60º( ) = 3 3 − 4( )cos 60º( )cos 2t( )− 3 3 − 4( )sen 60º( )sen 2t( )
= 3 3 − 4( ) 12 cos 2t( )− 3 3 − 4( ) 32sen 2t( )
=3 32
− 2"
#$$
%
&''cos 2t( )− 9
2− 2 3
"
#$
%
&'sen 2t( )
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4 3 −3( )cos 2t +30º( )+ 3 3 − 4( )cos 2t +60º( ) = 6− 3 32
"
#$$
%
&''cos 2t( )− 2 3 − 3
2
"
#$
%
&'sen 2t( )+
+3 32
− 2"
#$$
%
&''cos 2t( )− 9
2− 2 3
"
#$
%
&'sen 2t( )
4 3 −3( )cos 2t +30º( )+ 3 3 − 4( )cos 2t +60º( ) = 4cos 2t( )−3sen 2t( )
amplitude = 42 + −3( )2= 5
θ = tan−1 −34
"
#$
%
&'= −36,87°
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10.2.2 Calcule vf:
Tentativa de solução:
ig = Imcos ωt( ) A!" #$ C R
+ v -
C dvdt+1Rv = Im cos ωt( )
v f = Acos ωt( )+ Bsen ωt( )C ddtAcos ωt( )+ Bsen ωt( )!"
#$+1RAcos ωt( )+ Bsen ωt( )!"
#$= Im cos ωt( )
−CωAsen ωt( )+CωBcos ωt( )+ 1R Acos ωt( )+ 1R Bsen ωt( ) = Im cos ωt( )
−CωA+ 1RB = 0CωB+ 1
RA = Im
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A =RIm
1+ω2C2R2
B =ωCR2Im1+ω2C2R2
v f =RIm
1+ω2C2R2cos ωt( )+ ωCR2Im
1+ω2C2R2sen ωt( )
Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"#
$%
θ = tan−1 BA
"
#$
%
&'
v f =RIm
1+ω2C2R2cos ωt − tan−1 ωCR( )!
"#$
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10.3.3 Calcule vf substituindo a fonte de corrente do exercício anterior por:
Tentativa de solução:
i1 = Imejωt A!" #$ C R
+ v1 -
Cdv1dt
+1Rv1 = Ime
jωt
v1 = Ae jωt
CjωAe jωt + 1RAe jωt = Ime
jωt
jωC + 1R
!
"#
$
%&Ae jωt = Ime
jωt A =Im
jωC + 1R
!
"#
$
%&
=RIm
ω2C2R2 +1exp − j tan−1 ωCR( )(
)*+
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v1 =RIm
ω2C2R2 +1exp j ωt − tan−1 ωCR( )"
#$%
v = Re v1{ }=RIm
ω2C2R2 +1cos ωt − tan−1 ωCR( )"
#$%
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Calcule vf usando fasores:
Solução tentativa:
i1 = Imejωt A!" #$ C R
+ v1 -
i1 = Imejωt = Ie jωt ⇒ I = Im∠0°
Cdv1dt
+1Rv1 = Ime
jωt
jωCVe jωt + 1RVe jωt = Ie jωt
v1 =Ve jωt
jωCV+ 1RV = I V = I
1R+ jωC
=Im
1R!
"#
$
%&
2
+ω2C2∠− tan−1 ωCR( )
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v = Re v1{ }=RIm
1+ω2C2R2cos ωt − tan−1 ωCR( )"
#$%
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Calcule a impedância do circuito:
Z = V/I = R + jX
Lembrete:
i1 = Imejωt A!" #$ C R
+ v1 -
ZR = R
ZL = jωL =ωL∠90°
ZC =1jωC
= − j 1ωC
=1ωC
∠−90°
Z = R / /ZC =RZCR+ZC
=− j RωC
R− j 1ωC
=R
ω2C2R2 +1− j ωCR2
ω2C2R2 +1
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Z = Rω2C2R2 +1
− j ωCR2
ω2C2R2 +1
=R
ω2C2R2 +1∠− tan−1 ωCR#$ %&
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10.19 Use fasores, impedância e divisão de tensão para calcular v.
20 Ω
+ -
34cos 4t( ) V!" #$ 0,02 F 10 Ω
+ v -
20 Ω
+ -
34∠0º -12,5j 10 Ω
+ V -
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20 Ω
+ -
º034∠ 6,1 – 4,9j = 7,81∠-38,66º + V -
divisão de tensão:
V = 6,1− 4,9 j20+6,1− 4,9 j
⋅34 = 207,4−166,6 j26,1− 4,9 j
=266,03∠−38,77º26,56∠−10,63º
=10∠− 28,1º
v =10cos 4t − 28,1º( ) V"# $%
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Capítulo 11:
11.1.1 Calcule a resposta forçada vf usando a análise nodal:
10 Ω
+ -
10cos3t V!" #$1/30 F +
v -
sen3t A!" #$
− j 1ωC
= − j 303= − j10 Ω
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10 Ω
+ -
10∠0°+ V -
1∠−90°− j10 Ω
V −1010
+V
− j10=1∠−90°
v f =10cos 3t −90°( ) =10sen 3t( )
V 110
+1
− j10!
"#
$
%&−1= − j V 1+ j1( ) =10− j10V 1
10+ j 110
!
"#
$
%&=1− j
V = 10 2∠− 45°2∠45°
=10∠−90°V = 10− j101+ j1
V
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11.5 Calcule a tensão v em regime permanente, usando análise nodal.
v
Ω 4
-
+
F1218cos(4t) [A]
3cos(4t) [V]
7sen(4t) [A]
+
Ω 4
-
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V4+V −3∠0º−3 j
= 8∠0º + 7∠−90º V4+V −3−3 j
= 8 − 7 j
−3 j + 4( )V −12 = −96 j −84 V = −96 j −72−3 j + 4
=120∠233,13º5∠−36,87º
= 24∠270º
v = 24cos 4t + 270º( ) = 24cos 4t −90º( ) = 24sen 4t( ) V"# $%
V
Ω 4
-
+
j3−8∠0º
3∠0º
7 ∠-90º
+
Ω 4
V V - 3∠0º
-
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11.13 Calcule a tensão v em regime permanente.
+ -
2 Ω 1/2 H
4cos (4t) [V] 2 Ω
1 H
F81
2 Ω
F41
1/2 H
+ v -
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+ - 4∠0º
2 + 4j
-2j
2 + 2j
2j
V V2
V 12+ 4 j
+1−2 j
+1
2+ 2 j"
#$
%
&'−
42+ 4 j
−V22+ 2 j
= 0
V25
2− 4 j+12 j
+1
2+ 2 j"
#$
%
&'−
V2+ 2 j
−42 j
= 0
542 j−
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V−2 j( ) 2+ 2 j( )+ 2+ 4 j( ) 2+ 2 j( )+ 2+ 4 j( ) −2 j( )
24+8 j
"
#$$
%
&''−V2
2+ 4 j( ) −2 j( )24+8 j
=−8 j 2+ 2 j( )24+8 j
V 8+ 4 j( )+V2 −8+ 4 j( ) =16−16 j
V220 j − 20+12− 4 j +8+ 4 j
16+16 j"
#$
%
&'−V
8+ 4 j16+16 j
−48−16 j16+16 j
= 0
V −8− 4 j( )+V2 20 j( ) = 48−16 j
Δ =8+ 4 j −8+ 4 j−8− 4 j 20 j
#
$%%
&
'((= −160+160 j = 226,27∠135º
Δ1 =16−16 j −8+ 4 j48−16 j 20 j
#
$%%
&
'((= 640 = 640∠0º
V = 640∠0º226,27∠135º
= 2,828∠−135º v = 2 2 cos 4t −135º( ) V"# $%
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Capítulo 12:
12.1.4 Calcule a potência média absorvida pelo capacitor, os dois resistores e a
fonte.
Impedância de entrada:
Potência média:
3 Ω
+ -
6cos t( ) V!" #$ 1/2 F 6 Ω
Z = Z∠θ = VI
P =VmIm2cos θ( ) P = 1
2Im2 Re Z( )
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3 Ω
+ -
6∠0° -j 2 Ω 6 Ω
Z = 3+6 − j2( )6− j2
= 3+ − j63− j
=9− j93− j
= 3,6− j1,8
Z = 3,6− j1,8 = 4,02∠− 26,56°
I = VZ=
6∠0°4,02∠− 26,56°
=1,5∠26,56°
P =VmIm
2cos θ( ) = − 6 ⋅1,5
2cos −26,56°( ) = −4,02 W
Potência média fornecida pela fonte:
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Potência média no resistor de 3 Ω:
P =RIm
2
2=
3⋅ 1,5( )2
2= 3,37 W
Potência média no resistor de 6 Ω:
P = 4,02−3,37 = 0,65 W
Potência média no capacitor:
P = 0 W
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12.4.2 Calcule o fator de potência.
a) Carga = associação em série de R = 10 Ω e L = 10 mH, com frequência = 60 Hz.
Z = R+ jωL
=10+ j2π60 ⋅10 ⋅10−3
=10+ j3,77
Z =10+ j3,77 =10,69∠20,66°
f p = cos20,66° = 0,9357 atrasado( )
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12.4.2 Calcule o fator de potência.
b) Carga capacitiva que consome 25 A (eficazes) e 5 kW em 230 V (eficazes)
f p =P
Veficaz Ieficaz= cosθ
f p =5⋅103
230 ⋅25= 0,87 adiantado( )
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12.4.2 Calcule o fator de potência.
c) Carga formada pela associação em paralelo de uma carga de 5 kW com
fator de potência de 0,9 (adiantado) e uma carga de 10 kW com fator de
potência de 0,95 (atrasado).
carga 1:
carga 2:
f p1 = cosθ1 ⇒ θ1 = −cos−1 f p1( ) = −cos−1 0,9( ) = −25,84°
S1 = P1+ jQ1
Q1 = P1 tanθ1 = 5⋅103 tan −25,84°( ) = −2421,6 vars
f p2 = cosθ2 ⇒ θ2 = cos−1 f p2( ) = cos−1 0,95( ) =18,19°
S2 = P2 + jQ2
Q2 = P2 tanθ2 =10 ⋅103 tan 18,19°( ) = 3286,8 vars
Re
Im
P
Q S
θ
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ST = P1+ P2( )+ j Q1+Q2( ) =15⋅103 + j865,4
Potência complexa total:
Cargas associadas:
θ = tan−1Q1+Q2P1+ P2
"
#$$
%
&''= tan
−1 865,415⋅103"
#$
%
&' = 3,30°
f p = cosθ = cos3,30° = 0,998 atrasado( )
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12.1 Um ciclo de corrente periódica é dado por:
i = 10 A 0 ≤ t < 1 ms
i = 0 1 ≤ t < 4 ms.
Se a corrente flui em um resistor de 20 Ω, calcule a potência média.
P = 1T
Ri2 t( )0
T∫ dt = 1
4.10−320 ⋅102
0
10−3
∫ dt + 14.10−3
20 ⋅0210−34.10−3
∫ dt
=20 ⋅1004.10−3
t0
10−3
= 500 W$% &'
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12.9 Calcule a potência média entregue ao resistor R = 0,4 Ω.
0,25 F
+ - 1 Ω
1/2 H
3 cos (2t) [A] 6 cos (2t) [V] 0,4 Ω
1 H
ZR = R
ZL = jωL =ωL∠90°
ZC =1jωC
= − j 1ωC
=1ωC
∠−90°
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I
1−1 j
+12 j
+11
"
#$
%
&'V1 −
1−1 j
V2 −12 j6 = 0
-2j
+ - 1 Ω 0,4 Ω
2j 1j
!03∠!06∠
V1 V2 -1j
1−1 j
+10,4
"
#$
%
&'V2 −
1−1 j
V1 = 3
−1+ 2 j( )V1 + 2V2 = 6
V1 + −1+ 52j
"
#$
%
&'V2 = 3 j
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V1 = 3 j + 1−52j
"
#$
%
&'V2
−1+ 2 j( )V1 + 2V2 = 6
V1 + −1+ 52j
"
#$
%
&'V2 = 3 j
−1+ 2 j( ) 3 j + 1− 52 j"
#$
%
&'V2
(
)*
+
,-+ 2V2 = 6
−3 j − 1− 52j
"
#$
%
&'V2 −6+ 2 j +5( )V2 + 2V2 = 6
−1+ 52j + 2 j +5+ 2
"
#$
%
&'V2 =12+3 j
6+ 92j
"
#$
%
&'V2 =12+3 j
V2 =12+3 j
6+ 92j
"
#$
%
&'
=12,37∠14,04º7,5∠36,87º
=1,65∠− 22,83º P = 12⋅V2m
2
R=
12⋅1,652
0,4= 3,4 W"# $%
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−1+ 2 j( )V1 + 2V2 = 6
V1 + −1+ 52j
"
#$
%
&'V2 = 3 j
(
)**
+**
Outra maneira de obter V2:
Δ =−1+ 2 j 2
1 −1+ 52j= −6− 9
2j
Δ2 =−1+ 2 j 61 3 j
= −12−3 j
V2 =−12−3 j
−6− 92j=12,37∠194,04°7,5∠216,87°
=1,65∠− 22,83° P = 12⋅V2m
2
R=
12⋅1,652
0,4= 3,4 W"# $%
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12.27 Calcule o fator de potência visto pelos terminais da fonte e a reatância
necessária a ser conectada em paralelo com a fonte para que o fator de
potência seja igual a unidade.
1/32 F
+ - 12 Ω
1/2 H
10 cos (8t) [V] 4 Ω
1/2 H
-4j Ω
+ - 12 Ω
4j Ω
10 ∠0º 4 Ω
4j Ω
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+ - 12 Ω 10 ∠0º 4 Ω
4j Ω
+ - 10 ∠0º 3 + 4j Ω
Z = 3+ 4 j = 5∠53,13º
f p = cos 53,13º( ) = 0,6 atrasado
FP = 1 ⇒ θ = 0º ⇒ carga puramente resistiva.
X1 =R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )"#
$% − X
=32 + 42
3tan 0º( )− 4=
25−4
= −6,25 Ω"# $%
X1 = −1ωC
= −6,25⇒C = 50 F
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12.35 Calcule a potência ativa, a potência reativa e a potência complexa
entregue pela fonte.
- 2j Ω + -
6 Ω
10∠0º 2 Ω
2j Ω
Zeq = 6+ 2 j +2 ⋅ −2 j( )2− 2 j
= 7+ j = 7,07∠8,13º
1/4 F + -
6 Ω
2 Ω
1 H
10 2 cos 2t( ) V!" #$
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Ief =VefZeq
=10
7,07∠8,13º=1,414∠−8,13º Ief
* =1,414∠8,13º
S =Vef Ief* =10 ⋅1,414∠8,13º=14,14∠8,13º VA#$ %&
P =14,14cos 8,13º( ) =14 W!" #$
Q =14,14sen 8,13º( ) = 2 vars!" #$
S =14+ 2 j VA!" #$