exercicios topologia diferencial
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Universidade Federal Fluminense Atualizado em: 16 de agosto de 2010 às 16 h 50 min.Instituto de MatemáticaCoordenação de Pós-Graduação Prof. Saponga
Topologia Diferencial I
Lista de ExercíciosNOTA:
Nessa lista, a palavra “diferenciável” significa:de classe C∞ ;
a palavra “difeomorfismo” significa:difeomorfismo de classe C∞ ;
a partir do exercício de número 101, a palavra “variedade” significa:variedade diferenciável de classe C∞ e sem bordo.
1. Sejam f : X → Y e g : Y → Z aplicações diferenciáveis onde X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm e Z ⊂ Rk sãosubconjuntos quaisquer. Mostre que g ◦ f é uma aplicação diferenciável.
2. Sejam X = {(x, |x|) ∈ R2 ; x ∈ R } e Y = {(x, x2) ∈ R2 ; x ∈ R }. Mostre que esses espaços sãohomeomorfos mas não são difeomorfos.
3. Mostre que os conjuntos a seguir são variedades diferenciáveis e determine suas dimensões. Faça issoexibindo um atlas de parametrizações para cada uma delas.
(a){
(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 ;n+1∑i=1
x2i
a2i
= 1}
onde a1, . . . , an, an+1 são números reais positivos;
(b){
(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 ;n∑i=1
x2i
a2i
= 1}
onde a1, . . . , an são números reais positivos;
(c) Subespaços afins de Rn de dimensão 0 < k ≤ n ;
(d) O gráfico de uma aplicação diferenciável f : U → Rm onde U ⊂ Rn é aberto;
(e){
(x, y, z) ∈ R3 ; z2 +(√
x2 + y2 − 2)2
= 1}
;
(f) GL(n,R) .
4. Mostre que as variedades listadas a seguir são difeomorfas:
(i) a do item (a) acima e Sn;
(ii) a do item (b) acima e Rn − {0};
(iii) a do item (e) e o 2-toro T2 = S1 × S1 ⊂ R2 × R2.
5. Volte ao primeiro exercício e construa uma base para o espaço tangente TpM onde
(i) M é a variedade do item (a) e p =1√n+ 1
(a1, . . . , an+1) ;
(ii) M é a variedade do item (d) e p =(q , f(q)
)∈ U × Rm ;
(iii) M é a variedade do item (e) e p =(√
22
(2 +
√2
2
),
√2
2
(2 +
√2
2
),
√2
2
).
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 2
6. Construa um atlas de parametrizações para a faixa de Möbius.
7. Sejam U ⊂ Rn aberto e Y ⊂ Rm um conjunto qualquer. Suponha que f : U → Y é um difeomor-fismo local.
(i) Mostre que para cada p ∈ U tem-se que Df(p) : Rn → Rm é injetora;
(ii) Conclua que se M ⊂ Rk é uma variedade diferenciável de dimensão n então n ≤ k ;
(iii) Mostre que o caso n = k ocorre se, e somente se, M é um aberto de Rk.
8. Sejam Nn ⊂Mm variedades.
(i) Mostre que n ≤ m;
(ii) Mostre que n = m se, e somente se, N é um aberto de M .
9. Quais dos conjuntos abaixo não são variedades diferenciáveis ? Faça esboços para cada um deles.
(a) {(x, y, z) ∈ R3 ; z + |y| = 1} ;
(b) {(x, y, z) ∈ R3 ; z =√x2 + y2} ;
(c) {(x, y, 0) ∈ R3 ; |x| > 0} ;
(d) {(x, y) ∈ R2 ; x2/3 + y2/3 = 1} ;
(e) {(x, y, z) ∈ R3 ; 4x2 + 4(y −√z)2 = z} ;
(f) {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 e y > 0} ;
(g) z2(√
x2 + y2 − 2)
= a onde a > 0 ;
(h) (ρ− 4π)2 + z2 = θ2 onde ρ, θ, z são as coordenadas cilíndricas;
(i) ρ = eθ onde ρ, θ, z são como acima.
10. Use o Teorema da Partição da Unidade para subconjuntos de Rn apresentado em sala de aula e prove oseguinte resultado.
Sejam M uma variedade diferenciável e O uma família de abertos de M que cobrem M . Então,existe uma família (fj)j∈Λ⊂Z+ de aplicações diferenciáveis fj : M → [ 0 , 1 ] ⊂ R com as seguintespropriedades:
(i) supp(fj) é compacto para todo j ∈ Λ e está contido em algum membro da família O ;
(ii)(Int(supp(fj))
)j∈Λ
é uma cobertura localmente finita de A ;
(iii)∑j∈Λ
fj(x) = 1 para todo x ∈M .
11. Sejam M uma variedade diferenciável e O = {Ui}i∈Λ⊂Z+ uma cobertura localmente finita de M porabertos relativamente compactos1. Mostre que existe uma família {fi}i∈Λ de aplicações diferenciáveisfi : M → [ 0 , 1 ] ⊂ R com as seguintes propriedades :
(a) supp(fi) ⊂ Ui para todo i ∈ Λ e é compacto;
(b)∑i∈Λ
fi(x) = 1 para todo x ∈M .
12. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rl variedades diferenciáveis. Mostre que M ×N ⊂ Rk×Rl é uma variedadediferenciável e que dim(M ×N) = dim(M) + dim(N) . Mostre também que existe uma identificaçãonatural de T(x,y)(M × N) com (TxM) × (TyN) . Generalize esse resultado para um número finitoqualquer de variedades.
13. Seja Γ uma variedade diferenciável 1-dimensional, conexa e contida no semi-plano
{(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e y > 0}.
Seja M ⊂ R3 o conjunto obtido girando Γ em torno do eixo z.1Isto é, o fecho em M de cada Ui é um conjunto compacto.
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(i) Mostre que M é uma variedade diferenciável de dimensão 2 conexa, determinando um atlas deparametrizações para M ;
(ii) Mostre que M é difeomorfa a T2 ou ao cilindro {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 = 1} ;
(iii) Generalize esse resultado para dimensões maiores.
14. Sejam M uma variedade diferenciável e f : M → Rk um um mergulho diferenciável (difeomor-fismo sobre a imagem). Mostre que f(M) é uma variedade diferenciável e f : M → f(M) é umdifeomorfismo.
15. Seja f : M → N1 × . . .×Ns onde N1, . . . , Ns são variedades diferenciáveis.
(a) Mostre que a aplicação f = (f1, . . . , fs) é diferenciável se, e somente se, fi : M → Ni édiferenciável para cada i ∈ {1, . . . , s} ;
(b) Mostre também se f = (f1, . . . , fs) é diferenciável então
Df(p) · v =(Df1(p) · v , . . . , Dfs(p) · v
)para cada v ∈ TpM.
16. A definição de variedade dada em sala de aula é diferente da definição apresentada no livro de M. Spivak(Calculus on Manifolds) e no do Manfredo do Carmo (Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies).Mostre que estas três definições são equivalentes.
17. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis. Considere um campo vetorial diferenciável Xe uma aplicação diferenciável f : M → N . Mostre que a aplicação
p ∈MF−−−→ F (p) = Df(p) ·X(p) ∈ Rℓ
é diferenciável.
18. Mostre que todo homeomorfismo de Rn se estende a um homeomorfismo da esfera Sn.
19. Mostre que todo homeomorfismo do cilindro Sn×R se estende a um homeomorfismo da esfera Sn+1.
20. Sejam X ⊂ Rn um subconjunto qualquer, não vazio e f : X → Rm uma aplicação diferenciável.Mostre que f se estende a uma aplicação diferenciável numa vizinhança aberta U de X . Podemostomar U = Rn ?
Sugestão: Use uma partição da unidade !!
21. Seja M = Gráfico(f) onde f : U → Rm é uma aplicação diferenciável e U ⊂ Rn é aberto. Mostreque M e U são variedades difeomorfas.
22. Seja Mn ⊂ Rk uma variedade e seja (U, ϕ) um sistema de coordenadas definido num aberto U de Me tomando valores no aberto ϕ(U) de Rn. Mostre que, dado p ∈ U , existe uma vizinhança aberta Vde p em Rk e um difeomorfismo Φ de V sobre um aberto de Rn × Rk−n tal que Φ(x) = (ϕ(x), 0)para todo x ∈ V ∩ U .
23. Enuncie e demonstre uma versão do Teorema da Forma Local das Submersões para aplicações entrevariedades diferenciáveis.
24. Enuncie e demonstre uma versão do Teorema da Forma Local das Imersões para aplicações entre varie-dades diferenciáveis.
25. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis e seja F : U × M → N uma aplicaçãodiferenciável onde U é um aberto de Rn. Mostre que a aplicação
∂F
∂xi: (x, p) ∈ U ×M 7→ ∂F
∂xi(p, x) ∈ Rℓ
é diferenciável. Mostre também que
∂F
∂xi(p, x) ∈ TqN onde q = F (p, x) .
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26. Seja Mm ⊂ Rk uma variedade e N um subconjunto de Mm. Mostre que N é uma subvariedade deMm de dimensão n se, e somente se: para cada p ∈ N existe um aberto U ∋ p de M e um sistemade coordenadas locais ϕ de M definido em U , tomando valores num aberto de Rn × Rm−n e tal queϕ(U ∩N) = ϕ(U) ∩ (Rn × {0}).
27. Sejam M1 e M2 duas variedades diferenciáveis e seja N uma subvariedade de M1. Mostre quef : N → M2 é diferenciável se, e somente se: para cada p ∈ N existe uma vizinhança aberta U de pem M1 e uma aplicação diferenciável F : U →M2 tal que F = f em U .
28. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis e seja f : M → N uma aplicação diferenciável.Fixe normas em Rk e Rℓ, e para cada p ∈M defina a aplicação
p ∈MF−−−→ ∥Df(p)∥ ∈ R
onde as normas em TpM ⊂ Rk e Tf(p)N ⊂ Rℓ são as normas induzidas por Rk e Rℓ respectivamente.Além disso, ∥Df(p)∥ se refere a norma do supremo na bola unitária em TpM . Mostre que F écontínua.
29. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades. Mostre que f é localmente deLipschitz.
30. Faça uma versão do Teorema da Desigualdade do Valor Médio para aplicações diferenciáveis entreesferas. Mais precisamente, fixe normas em Rn+1 e Rm+1, e considere as esferas Sn ⊂ Rn+1 eSm ⊂ Rm+1. Seja f : Sn → Sm uma aplicação diferenciável e considere p, q ∈ Sn com p ̸= −q .Denotemos por [ p , q ] o menor arco geodésico de p à q , isto é, o menor arco de p à q no grandecírculo de Sn contido no plano passando por p, q e pela origem (quando p = q entendemos que [ p , q ]se reduz a um ponto). Mostre que
∥f(p) − f(q)∥ ≤ π
2sup
{∥Df(ξ)∥ ; ξ ∈ [ p , q ]
}∥p− q∥ .
Aqui, a norma da derivada é aquela do exercício (28).
31. Seja M ⊂ Rk uma variedade sem bordo. Mostre que o conjunto
Nr(M) ={x+ v ∈ Rk ; x ∈M , v ∈ (TxM)⊥ e ∥v∥ < r
}é uma vizinhança aberta de M em Rk para todo r > 0 .
32. Sejam M ⊂ Rk uma variedade e ϕ : U ⊂ Rn → M uma parametrização de M definida num abertoU ∋ 0 e seja p = ϕ(0). Fixemos em Rk o produto interno usual e consideremos a seguinte aplicação:
(x, v) ∈ U × (TpM)⊥ψ−−−→ ϕ(x) + v ∈ Rk.
(i) Mostre que ψ é um difeomorfismo numa vizinhança da origem 0 ∈ Rn × (TpM)⊥;
(ii) Defina a aplicação
(x, v) ∈ U × (TpM)⊥φ−−−→ ϕ(x) + Π(Tϕ(x)M)⊥(v) ∈ Rk
onde Π(Tϕ(x)M)⊥(v) é a projeção sobre (Tϕ(x)M)⊥ paralelamente a Tϕ(x)M .
(ii.a) Mostre que φ é um difeomorfismo numa vizinhança da origem 0 ∈ Rn × (TpM)⊥ ;(ii.b) Escolhendo a vizinhança do item acima na forma V × Br(0) ⊂ U × (TpM)⊥ mostre que,
para cada x ∈ V tem-se que
φ({x} ×Br(0)) ⊂ (Tϕ(x)M)⊥ + ϕ(x) ;
(ii.c) Mostre que para cada x ∈ V , a aplicação φ(x, ·) : (TpM)⊥ → (Tϕ(x)M)⊥ + ϕ(x) é umisomorfismo afim.
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33. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável e seja K ⊂ M um conjunto compacto. Repita o processode construção de uma vizinhança tubular para uma variedade compacta para tentar construir algo do tipouma vizinhança tubular (em Rk) para uma vizinhança aberta de K em M .
34. Sejam M ⊂ Rk uma variedade diferenciável e N ⊂ M uma variedade compacta. Imitando o quefoi feito em sala para a construção de uma vizinhança tubular de M em Rk construa uma vizinhançatubular de N em M .
35. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e seja p ∈ Rk\M . Sabemos que existe um ponto q ∈ M querealiza a distância de p a M , isto é, tal que
d(p ,M) = d(p, q)
onde d(p, q) é a distância usual em Rk e
d(p ,M) = inf{d(p, x) ; x ∈M
}.
Mostre que o vetor q − p é ortogonal a TqM .
36. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e seja p ∈ Rk\M . Considere ϵ > 0 suficientemente pequenopara que a vizinhança tubular Nϵ(M) esteja bem definida. Mostre que se d(p,M) < ϵ então p ∈Nϵ(M) .
37. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e considere ϵ > 0 suficientemente pequeno para que a vizi-nhança tubular Nϵ(M) esteja bem definida. Dado p ∈ M mostre que a distância de p a M coincidecom a distância de p a M medida ao longo do disco da vizinhança tubular que passa por p.
38. Sejam M ⊂ Rℓ e N ⊂ Rk variedades diferenciáveis compactas e seja f : M → N uma apli-cação contínua. Mostre que, dado ϵ > 0 existe uma aplicação diferenciável g : M → N tal que∥f(x) − g(x)∥ < ϵ para todo x ∈M onde ∥ · ∥ denota a norma usual em Rk.
39. Sejam M ⊂ Rℓ e N ⊂ Rk variedades diferenciáveis onde apenas M é compacta e seja f : M → Numa aplicação contínua. Mostre que, dado ϵ > 0 existe uma aplicação diferenciável g : M → N talque ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ para todo x ∈M onde ∥ · ∥ denota a norma usual em Rk.
40. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis e seja f : M → N uma aplicação diferenciável.Fixe em Rk um produto interno e para cada p ∈ M considere a aplicação linear Df̂(p) : Rk → Rℓdada por
Df̂(p) · v =
{Df(p) · v quando v ∈ TpM
0 quando v ∈ (TpM)⊥.
Mostre que a aplicação definida por
p ∈MF−−−→ Df̂(p) ∈ L(Rk,Rℓ)
é diferenciável.
41. Seja p um ponto interior a esfera Sn ⊂ Rn+1 onde n ≥ 1. Mostre que a projeção de Rn+1 − {p}sobre Sn ao longo das semiretas partindo de p é diferenciável.
42. Seja U ={(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 ; x1, . . . , xn+1 ≥ 0 e nem todo são nulos
}e seja
∆ ={(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 ; x1 + · · · + xn+1 = 1 e (x1, . . . , xn+1) ∈ U
}onde n ≥ 1. Considere a aplicação projeção radial ϕ de U sobre ∆. Mostre que ϕ é diferenciável.
43. Existe alguma imersão diferenciável do toro T2 no plano ?
44. Mostre que existe uma imersão diferenciável de T2−{ponto} no plano.
45. Construa um mergulho diferenciável de Sn×R em Rn+1 onde n ≥ 1. Use esse resultado para mostrarque:
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(i) S3 × S1 pode ser diferenciavelmente mergulhado em R5 ;
(ii) S3 × S2 pode ser diferenciavelmente mergulhado em R6 ;
(iii) Sn × Sm pode ser diferenciavelmente mergulhado em Rn+m+1 ;
(iv) Sn1 × · · · × Snk pode ser diferenciavelmente mergulhado em Rn+1 onde n = n1 + · · · + nk eni ≥ 1 para todo 1 ≤ i ≤ k.
46. Mostre que se uma variedade de dimensão n é produto de um número finito de esferas então, ela podeser mergulhada em Rn+1 com um mergulho diferenciável.
47. Seja M ⊂ Rk uma variedade. Dizemos que M é conexa por caminhos quando: dados x, y ∈ M ,existe uma curva γ : [ 0 , 1 ] →M contínua tal que γ(0) = x e γ(1) = y. Mostre que M é conexa se,e somente se, M é conexa por caminho.
48. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis. Considere f : M → N um difeomorfismolocal. Seja X um campo vetorial diferenciável em M e suponha que
D(p) ·X(p) = D(q) ·X(q)
sempre que f(p) = f(q) .
(i) Mostre que f(M) é um aberto na variedade N ;
(ii) Mostre que existe um único campo vetorial diferenciável Y em f(M) tal que Df(p) · X(p) =Y (f(p)) . Tal campo Y é denotado por f∗(X) ;
(iii) Seja f(x) = x3 para todo x ∈ R . Mostre que existe um campo vetorial diferenciável X em Rtal que f∗(X) não é um campo vetorial diferenciável.
49. Sejam M uma variedade, X um campo vetorial diferenciável em M e p ∈ M . Para cada aplicaçãof : U → R diferenciável numa vizinhança aberta U de p em M defina
X(f) : U → R por X(f)(q) = Df(q) ·X(q)
(i) Mostre que X(f) é uma aplicação diferenciável e interprete-a;
(ii) Mostre que X se anula em p ∈ M se, e somente se, para cada f : U → R diferenciável edefinida numa vizinhança aberta qualquer U de p em M tem-se que X(f)(p) = 0.
50. Seja π um hiperplano em Rn que não passa por um dado ponto p ∈ Rn. Mostre que o lugar geométricodos pontos eqüidistantes de π e de p é uma variedade de dimensão n− 1 onde n ≥ 2.
51. Seja M uma variedade compacta. Mostre que toda aplicação diferenciável de M em R tem pelomenos dois pontos críticos.
52. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável compacta e p ∈ Rk−M . Mostre que se q ∈ M satisfazd(p,M) = d(p, q) então a reta passando por p, q é perpendicular à M em q , isto é, a reta por p , q éperpendicular à TqM .
53. Seja f : M → N uma aplicação contínua entre variedades. Mostre que f é diferenciável se, e somentese, g ◦ f é diferenciável para toda g : N → R diferenciável.
54. Sejam M,N ⊂ Rk variedades diferenciáveis compactas e disjuntas. Considere a aplicação F : M → Rdefinida por F (x) = d(x,N) . Mostre que F é diferenciável.
55. Seja M(n; R) o conjunto das matrizes reais n× n.
(i) Mostre que o conjunto {A ∈ M(n; R) ; A + At = 0} é um subespaço vetorial de M(n; R) edetermine sua dimensão;
(ii) Mostre que o grupo ortogonal On(R) é uma variedade diferenciável de dimensão n(n− 1)/2 ;
(iii) Mostre que On(R) é compacto e tem apenas duas componentes conexas;
(iv) Determine o espaço tangente a On(R) na matriz identidade, como subespaço de M(n; R) .
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56. Mostre que o grupo linear especial
SLn(R) ={A ∈ M(n; R) ; det(A) = 1
}é uma variedade diferenciável não compacta de dimensão n2 − 1 .
57. Seja f : S2 → R4 dada por f(x, y, z) = (yz, xz, xy, x2 + 2y2 + 3z2) . Mostre que Im(f) é umavariedade diferenciável. Trata-se do plano projetivo RP2.
58. Mostre que S2 é um recobrimento a duas folhas de RP2.
59. Mostre que o conjunto das matrizes reais n× n que têm posto k > 0 é uma variedade diferenciável decodimensão (n− k)2 em M(n; R).
60. Seja E o conjunto das matrizes m×n a coeficientes reais. Mostre que o subconjunto dos elementos deE que têm posto k > 0 é uma variedade diferenciável de codimensão (m− k)(n− k) em E.
61. Mergulho de RPn em S2n.Considere h : Rn+1 × Rn+1 → R2n+1 dada por
h(x0, . . . , xn, y0, . . . , yn) = (z0, . . . , z2n) onde zk =∑i+j=k
xiyj
e defina g : Sn → S2n por g(x) =h(x, x)
||h(x, x)||. Mostre que Im(g) mergulha RPn em S2n.
62. Mostre que Sn é um recobrimento a duas folhas de RPn.
63. Mostre que para cada n ≥ 0 existe um fluxo global diferenciável em S1 com exatamente n pontosfixos.
64. Construa um fluxo global diferenciável em S2 que tem exatamente dois pontos fixos e apenas umaórbita periódica.
65. Construa um campo de vetores diferenciável em S2 com apenas uma singularidade.
66. Mostre que o campo vetorial X(x) = x2 em R não possui um fluxo global a ele associado.
67. Considere a aplicação ϕ : R × S2 → S2 definida por
ϕ(t, x, y, z) := (x, y cos t− z sin t, y sin t+ z cos t).
(i) Mostre que ϕ é um fluxo global em S2;
(ii) Esboce suas órbitas;
(iii) Determine o campo vetorial associado.
68. Seja X um campo de vetores diferenciável definido num aberto U ⊂ Rn. Suponha que existe ϵ > 0tal que o fluxo local de X está bem definido em (−ϵ, ϵ) × U . Mostre que X possui um fluxo globalem U .
69. Seja X um campo de vetores diferenciável numa variedade M . Suponha que existe ϵ > 0 tal que ofluxo local de X está bem definido em (−ϵ, ϵ) ×M . Mostre que X possui um fluxo global em M .
70. Para cada n ∈ Z+ construa um campo de vetores diferenciável em S2 com exatamente n singularida-des.
71. Construa um campo de vetores diferenciável em RP2 que tem uma única singularidade e todas as outrasórbitas são periódicas.
72. Construa um campo de vetores diferenciável em Sn com apenas uma singularidade.
73. Dê exemplos de campos de vetores diferenciáveis definidos em todo Rn e que não possuem um fluxoglobal.
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74. De forma similar ao que fizemos em sala para fluxos diferenciáveis, definimos:
Um fluxo topológico numa variedade diferenciável M é uma aplicação ψ : R ×M → M contínuasatisfazendo as seguintes condições:
(i) ψ(0, p) = p para todo p ∈M ;
(ii) ψ(s, ψ(t, p)) = ψ(s+ t, p) para todo s, t ∈ R e p ∈M .
Mostre que:
(iii) para todo t ∈ R a aplicação ψt : M → M dada por ψt(p) = ψ(t, p) com p ∈ M é umhomeomorfismo;
(iv) ψt ◦ ψs = ψs+t para todo s, t ∈ R .
Para cada p ∈M o conjunto Op(ψ) = {ψt(p) ∈M ; t ∈ R} é dito órbita de ψ por p. Dizemos quep ∈M é ponto fixo para ψ quando ψt(p) = p para todo t ∈ R .
(v) Mostre que duas órbitas ou são disjuntas ou coincidem;
(vi) Mostre que se existem p ∈ M e a, b ∈ R com a < b tais que ψa(p) = ψb(p) então, ou p é umponto fixo de ψ ou a órbita de ψ por p é homeomorfa ao círculo S1. Nesse último caso dizemosque a órbita é dita periódica ;
(vii) Defina o que deve ser o período de uma órbita periódica.
75. Mostre que toda subvariedade de M que é difeomorfa a S1 pode ser realizada como órbita de um fluxoglobal diferenciável sobre M .
76. Um aberto U ⊂ Rn é estrelado com relação a um ponto p ∈ U quando, para cada x ∈ U o segmentode reta de x a p está contido em U . Mostre que se U é estrelado com relação a p ∈ U então ele éC∞-difeomorfo a Rn.
77. Considere a aplicação 0 ̸= z ∈ C f−−→ 1/zn ∈ C onde n ∈ Z+ e defina F : S2 → S2 por:
F (z) :=
(0, 0,−1) quando x = (0, 0, 1)h−1
+ ◦ f ◦ h+(x) quando x ∈ S2 − {(0, 0, 1), (0, 0,−1)}(0, 0, 1) quando x = (0, 0,−1) .
Mostre que a aplicação F é diferenciável.
78. Seja p : C → C um polinômio de grau maior ou igual a 1 e seja Z = {z ∈ C ; p(z) = 0}. Considere
a aplicação z ∈ C −Z f−−→ 1/f(z) ∈ C e defina a aplicação F : S2 → S2 por:
F (z) :=
(0, 0,−1) quando x = (0, 0, 1)h−1
+ ◦ f ◦ h+(x) quando x ∈ S2 − h−1+ (Z) ∪ {(0, 0, 1)}
(0, 0, 1) quando x ∈ h−1+ (Z) .
Mostre que a aplicação F é diferenciável.
79. Enuncie e resolva um exercício semelhante ao anterior trocando f por um quociente de polinômios.
80. Determine as expressões de h+ e h− e mostre a relação h+(h−)−1(z) = 1/z̄ para todo 0 ̸= z ∈ C.Você pode mostrar a relação acima por cálculo direto com as expressões de h+ e h− .
81. Na demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra, apresentada em aula, a condição que a aplicação(h+)−1Ph+ : S2 → S2 seja de classe C∞ é essencial?
Sugestão: Dê uma olhada no exercício a seguir !!
82. Seja f : M → N uma aplicação contínua entre variedades conexas de mesma dimensão, com Mcompacta. Suponha que:
(i) f é diferenciável a menos de um número finito de pontos de M ;
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(ii) f possui apenas um número finito de valores críticos.
Mostre que, ou f é constante ou f é sobrejetora.
83. Construa uma aplicação f : R → R diferenciável e tal que o conjunto de valores críticos não é fechado.Faça uma construção geométrica.
84. Construa uma aplicação f : R → R diferenciável com a seguinte propriedade: para cada inteiro n ≥ 0,existe um valor regular b ∈ R tal que #(f−1(b)) = n.
85. Prove ou dê um contra-exemplo para o seguinte fato.
Sejam M e N variedades diferenciáveis de mesma dimensão compactas e conexas. Seja C o conjuntodos pontos críticos de uma aplicação diferenciável f : M → N . Então,{
#(f−1(q)) ∈ Z ; q ∈ N − f(C)}⊂ R
é um conjunto limitado.
86. Seja P (z) ; z ∈ C um polinômio. Mostre que se dPdz (a) ̸= 0 então, DP (a) : R2 → R2 é um
isomorfismo.
87. Seja P : R2 → R2 uma aplicação polinomial não nula, isto é, cada função coordenada de P é umpolinômio real a duas variáveis e P não é identicamente nulo. Mostre que P pode se anular numainfinidade de pontos.
88. Seja P (z) ; z ∈ C um polinômio de grau n ≥ 1. Mostre que #(P−1(z)
)= n exceto para um número
finito de valores de z ∈ C .
89. Sejam f : M → N um mergulho diferenciável. Mostre que se M é compacta e N é conexa então, Né compacta e f é um difeomorfismo.
90. Seja X um campo vetorial diferenciável definido num aberto U ⊂ Rn. Mostre que existe uma aplicaçãodiferenciável f : U ⊂ Rn → ( 0 ,∞) tal que o fluxo local de X está bem definido em{
(t, x) ∈ R × U ; −f(x) < t < f(x) e x ∈ U}.
91. Considere Sn ⊂ Rn+1 onde n é ímpar e n ≥ 1. Vimos que
X(x1, . . . , xn, xn+1) = (−x2, x1, . . . ,−xn+1, xn) para todo (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1
é um campo vetorial diferenciável em Sn sem singularidades. Descreva as curvas integrais de X edetermine seu fluxo.
92. Considere Sn ⊂ Rn+1 onde n é par e n ≥ 1. Mostre que
X(x1, . . . , xn, xn+1) = (−x2, x1, . . . ,−xn, xn−1, 0) para todo (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1
é um campo vetorial em Sn com apenas duas singularidades. Descreva suas curvas integrais e determineseu fluxo.
93. Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis com m ̸= n e seja f : M → N uma aplicação dife-renciável. Suponha que M é compacta e que b ∈ N é valor regular de f . Mostre que existe umavizinhança de b em N onde todos os pontos são valores regulares de f . Conclua que, também nessecaso, o conjunto dos valores regulares é um aberto de N .
94. Seja K ⊂ Rn um conjunto fechado.
(i) Mostre que existe uma aplicação f : Rn → [ 0 , 1 ] ⊂ R diferenciável tal que f−1(0) = F ;
(ii) Construa uma variedade diferenciável M ⊂ Rn+1 tal que M ∩ Rn = F . Aqui estamos identifi-cando Rn (resp. F ) com Rn × {0} ⊂ Rn+1 (resp. F × {0} ⊂ Rn+1).
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 10
Sugestão: Para o item (i) considere uma cobertura {Di}i∈Z+ de Rn\K por discos abertos e umafamília de aplicações diferenciáveis {fi}i∈Z+ tais que fi : Rn → [ 0 , 1 ] ⊂ R , Int
(supp(fi)
)⊂ Di e
todas as derivadas parciais de fi até ordem i é menor que 2−i.
95. Seja K ⊂ Rn um conjunto fechado. Mostre que existe um fluxo global diferenciável em Rn cujoconjunto de pontos fixos é K.
96. Sejam M uma variedade diferenciável e F ⊂ M um subconjunto fechado de M . Mostre que existeuma aplicação diferenciável f : M → R tal que f−1(0) = F .
97. Seja F ⊂ Rn um subconjunto fechado. Mostre que existe um campo vetorial diferenciável X em Rnsatisfazendo:
(i) Sing(X) = F ;
(ii) X tem fluxo global.
98. Sejam M uma variedade diferenciável e F ⊂ M um subconjunto fechado de M . Mostre que existeum campo vetorial diferenciável X em M satisfazendo:
(i) Sing(X) = F ;
(ii) X tem fluxo global.
99. Seja X um campo de vetores diferenciável numa variedade M . Mostre que existe f : M → R positivae diferenciável tal que o campo fX tem fluxo global.
Sugestão: Use uma partição da unidade !!
100. Uma superfície compacta de genus p é uma variedade 2-dimensional homeomorfa ao espaço obtidoremovendo o interior de 2p discos de dimensão 2 de S2 e colando p cilindros disjuntos aos seusbordos.
(i) Mostre que para cada inteiro não negativo p existe uma função polinomial fp : R3 → R tendo 0como valor regular e tal que f−1
p (0) é uma superfície de genus p.Para isso, considere funções da forma (F (x, y))2 + z2 − ϵ2 onde F (x, y) = 0 define uma curvafechada em R2 com p− 1 pontos de cruzamento.
(ii) Antes porém, analize os exemplos:
f0(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1f1(x, y, z) = (x2 + y2 − 4)2 + z2 − 1
f2(x, y, z) =[4x2(1 − x2) − y2
]2
+ z2 − 1/4
(iii) Qual é o grau mínimo para fp ?
NOTA:
A partir de agora, a palavra “variedade” significa:variedade diferenciável de classe C∞ eventualmente com bordo não vazio e
quando a variedade não tiver bordo isso será dito explicitamente.
101. Sejam M,N variedades onde ∂M = ∅ e ∂N ̸= ∅. Pergunta-se: o produto cartesiano M ×N é umavariedade ? Qual é o seu bordo? Se ∂M ̸= ∅ podemos concluir que M ×N é uma variedade ?
102. A curva plana cuja equação em coordenadas polares é r = exp(−θ) com θ ∈ R é uma variedade ? Ese incluirmos a origem, teremos uma variedade com bordo ?
103. Seja f : Mm → Nn uma aplicação diferenciável entre variedades, onde m < n. Mostre que a imagempor f de um conjunto de medida nula em M , tem medida nula em N .
104. Mostre que Rn tem medida de Lebesgue nula em Rn+1.
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 11
105. Sejam M e N variedades diferenciáveis tais que N ⊂M e dim(N) < dim(M). Mostre que N temmedida de Lebesgue nula em M .
106. Mostre que na definição de conjunto de medida de Lebesgue nula em Rn podemos trocar cubos com-pactos por:
(i) cubos abertos ;
(ii) conjuntos do tipo [x1 − a1, x1 + b1] × · · · × [xn − an, xn + bn] onde a1, b1, . . . , an, bn > 0 ;
(iii) discos fechados {x ∈ Rn ; ∥x− p∥ ≤ r} onde r > 0 e ∥ · ∥ é a norma usual em Rn ;
(iv) faça outras sugestões !!
107. Seja A ⊂ Rn un conjunto saturado por retas passando pela origem de Rn, onde n ≥ 2 . Mostre queA tem medida de Lebesgue nula em Rn se, e somente se, a projeção radial de A\{0} sobre a esferaSn−1 tem medida de Lebesgue nula em Sn−1.
108. Faça uma versão do Teorema da Função Inversa para variedades com bordo.
109. Sejam Mm, Nn variedades diferenciáveis com ∂Mm ̸= ∅ e m > n . Sejam f : Mm → Nn umaaplicação diferenciável e p ∈ ∂M tal que Df(p)
∣∣Tp(∂M)
é sobrejetora. Mostre que:
(i) existe um aberto U ∋ p em Mm e um sistema de coordenadas (U,ψ) tomando valores no aberto(−a , a )m−n−1 × (−a , a )n × [ 0 , a ) de Hm com ψ(p) = 0 ;
(ii) existe um aberto V ∋ f(p) em Nn e um sistema de coordenadas (V, ϕ) tomando valores noaberto (−a , a )n de Rn com ϕ(f(p)) = 0;
satisfazendo as condições:
(iii) f(U) ⊂ V ;
(iv) o representante de f nesse par de sistemas de coordenadas é a projeção:
(x, y, t) ∈ (−a , a )m−n−1 × (−a , a )n × [ 0 , a ) π−−−→ y ∈ (−a , a )n.
110. Mostre que uma variedade M é conexa se, e somente se, é conexa por caminhos.
111. Mostre que uma variedade M é conexa se, e somente se, Int(M) é conexo.
112. Sejam f : M → N aplicação diferenciável e p ∈ M . Suponha que Df(p) é sobrejetora e quep ∈ Int(M). Mostre que f(p) ∈ Int(N).
113. Seja f : M → R uma aplicação diferenciável. Suponha que ∂M = ∅ e que a , b ∈ R são valoresregulares de f com a < b. Mostre que f−1([ a , b ]) é uma variedade diferenciável com bordo e que∂f−1([ a , b ]) = f−1(a) ∪ f−1(b).
114. Seja M uma variedade com ∂M ̸= ∅. Mostre que existe uma variedade N difeomorfa a M e tal queM ( N .
115. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta com ∂M ̸= ∅. Mostre que existe uma variedade N ⊂ Rkdifeomorfa a M e tal que M ⊂ Int(N).
Sugestão: Tente algo parecido com a construção da vizinhança colar do bordo.
116. Seja Mn ⊂ Rk uma variedade compacta, com bordo não-vazio. Mostre que existe uma variedadeNn ⊂ Rk sem bordo e tal que M ⊂ N .
117. Sejam M,N variedades sem bordo e f : M → N uma aplicação diferenciável onde N é conexa.
(i) Suponha, nesse item, que o conjunto dos valores regulares de f é aberto em N . Se b e b′ sãovalores regulares e estão próximos, podemos garantir que f−1(b) e f−1(b′) são difeomorfas?
(ii) Suponha que M é compacta. O que podemos dar como resposta para a pergunta do item anterior?
(iii) E se M é compacta e f é sobrejetora, o que podemos dar como resposta para a pergunta doprimeiro item?
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 12
(iv) E se M é compacta e f é uma submersão?
118. Sejam Mn ⊂ Rk uma variedade, U ⊂ Hn um aberto e ϕ : U ⊂ Hn → M uma parametrizaçãodo aberto ϕ(U) de M . Use o processo de ortogonalização de Gram-Smidt para construir, via ϕ, umafamília Z1, . . . , Zn de campos vetoriais diferenciáveis ortonormais em ϕ(U) .
119. Sejam M ,N e P variedades diferenciáveis e sejam f : M → N e g : N → P difeomorfismoslocais. Mostre que (g ◦f)∗(X) = (g∗ ◦f∗)(X) para todo campo vetorial diferenciável X na variedadeP .
120. Sejam U ⊂ Rn aberto e (ht)t∈[0,1] uma isotopia diferenciável onde cada ht : U → ht(U) é umdifeomorfismo sobre o aberto ht(U) ⊂ Rn. Seja X um campo vetorial diferenciável definido no abertoV =
∪t∈[0,1] ht(U) ⊂ Rn. Mostre que a aplicação
(x, t) ∈ U × [ 0 , 1 ] F−−−→ F (x, t) = (ht)∗(X) ∈ Rn
é diferenciável.
121. Seja M uma variedade com bordo. Em analogia com o que fizemos em sala, definamos: um fluxodiferenciável em M é uma aplicação ϕ : R ×M →M diferenciável, satisfazendo:
(i) ϕ(0, x) = x para todo x ∈M ;
(ii) ϕ(s+ t, x) = ϕ(s, ϕ(t, x)) para todo x ∈M e s, t ∈ R.
Mostre que:
(iii) um tal fluxo se restringe a um fluxo em ∂M ;
(iv) existe um único campo vetorial diferenciável X em M que é tangente ao bordo de M e cujofluxo global associado é ϕ.
122. Seja M uma variedade compacta com ∂M ̸= ∅ e seja X um campo vetorial diferenciável em M queé tangente a ∂M . Mostre que X admite um fluxo global.
123. Sejam f, g : M → N aplicações diferenciáveis entre variedades. Mostre que o subconjunto de Nformado pelos pontos que são, simultaneamente, valores regulares de f e g é denso em N . O que sepode dizer quando trocamos f, g por uma família (fα)α∈Λ de aplicações diferenciáveis ?
124. Seja Mn ⊂ Rk uma variedade de dimensão 0 ≤ n < k. Mostre que M tem medida de Lebesgue nulaem Rk.
125. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações diferenciáveis entre variedades de mesma dimensão. SejaΘ o seguinte conjunto
Θ = {z ∈ P ; z ∈ R(g) e g−1(z) ⊂ R(f)}
onde R(f) denota o conjunto dos valores regulares de f .
(i) Mostre que o conjunto P − Θ tem medida de Lebesgue nula em P ;
(ii) Esse resultado continua verdadeiro quando as variedades não têm a mesma dimensão?
(iii) E se assumirmos que elas não têm a mesma dimensão mas são compactas e sem bordo ?
126. Sejam M,N variedades diferenciáveis e f : M → N uma aplicação diferenciável.
(i) Mostre que quase todo ponto de Int(N) é valor regular de f ;
(ii) Mostre que quase todo ponto de Int(N) é valor regular de f e de f∣∣∂M
.
127. Sejam Mn uma variedade compacta, conexa, sem bordo e f : Mn → Rn+1 uma aplicação diferenciá-vel tal que f(Mn) não contém a origem de Rn+1.
(i) Mostre que existe uma reta em Rn+1 passando pela origem que intersecta f(Mn) em no máximoum número finito de pontos ;
(ii) A condição de Mn ser compacta é essencial para concluir o item (i) ?
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 13
(iii) A condição de Mn não ter bordo é essencial para concluir o item (i) ?
(iv) Voltando ao item (i) : é verdade que quase toda reta de Rn+1 passando pela origem intersectaf(Mn) em no máximo um número finito de pontos ? Explique !!
(iv) Será que existe uma cota superior para esse número finito de pontos detectado no item (i) quandoconsideramos apenas as retas que intersectam a imagem de f num número finito de pontos ?
128. Construa uma aplicação diferenciável f : S1 → R2 satisfazendo as condições:
(i) f(S1) não passa pela origem ;
(ii) existe uma infinidade de semiretas em R2, partindo da origem, que intersectam f(S1) numainfinidade de pontos.
129. Seja f : Mn → Nn uma aplicação diferenciável entre variedades compactas, conexas e sem bordo.Sabemos que para cada valor regular b ∈ N tem-se que #
(f−1(b)
)é finito. Pergunta-se: será que
existe ℓ ∈ Z+ tal que #(f−1(p)
)≤ ℓ para todo valor regular p ∈ N?
Comece analizando o caso de aplicações f : S1 → S1 e compare com o que foi feito em sala de aula.
130. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades de mesma dimensão com M compacta,sem bordo e N conexa. Mostre que deg2(f) ≡ 0 quando ∂N ̸= ∅ ou quando N é não compacta.
131. Seja En+k e Fn espaços vetoriais de dimensão n + k e n respectivamente, onde n, k ≥ 1. Fixemosorientações α e β em En+k e Fn respectivamente, e uma aplicação T : En+k → Fn linear esobrejetora. Assim, ker(T ) tem dimensão k. Podemos induzir uma orientação em ker(T ) da seguinteforma.
Fixe um complementar G ⊂ En+k para ker(T ) . Assim, T |G : G → Fn é um isomorfismo. Aorientação em ker(T ) é aquela que seguida da orientação (T |G)−1(β) dá a orientação α.
Mostre que a orientação em ker(T ) independe da escolha do complementar G.
132. Seja M uma variedade orientável, conexa e sejam α, β duas orientações sobre M . Mostre que seα(p) = β(p) para algum p ∈ M então, α(x) = β(x) para todo x ∈ M . Conclua que se M éorientável então, ela admite, exatamente, duas orientações.
133. Seja f : M → N um difeomorfismo local e seja p ∈M . Mostre que existem sistemas de coordenadasϕ e ψ, definidos em vizinhanças abertas de p e f(p) respectivamente, tais que ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = Id ondea composição está bem definida.
134. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades sem bordo, onde M é orientável e sejab ∈ f(N) um valor regular para f . Mostre que f−1(b) é uma variedade diferenciável orientável.
135. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades onde M é orientável e ∂M ̸= ∅. Sejab ∈ f(N) um valor regular para f e para f
∣∣∂M
. Mostre que f−1(b) é orientável.
136. Sejam M e N variedades diferenciáveis, sem bordo e tais que M é orientável e N é não-orientável.Pergunta-se: M ×N é não-orientável ?
137. Seja Mn ⊂ Rn+1 uma variedade diferenciável. Mostre que Mn é orientável se, e somente se, existeuma aplicação diferenciável X : Mn → Rn+1 tal que X(p) /∈ TpM
n para todo p ∈Mn. Interprete oresultado.
138. Seja Mn ⊂ Rn+1 uma variedade diferenciável. Mostre que Mn é orientável se, e somente se, existeuma aplicação contínua X : Mn → Rn+1 tal que X(p) /∈ TpM
n para todo p ∈Mn.
139. Faça uma versão desses dois últimos resultados trocando Rn+1 por uma variedade orientável de dimen-são n+ 1.
140. Considere a esfera Sn ⊂ Rn+1 com uma orientação. Note que TpSn = T−pS
n ⊂ Rn+1 para todop ∈ Sn. Mostre que as orientações induzidas em TpS
n e T−pSn são distintas.
141. Sejam M e N variedades diferenciáveis, sem bordo e tais que M e N são não-orientáveis. Pergunta-se: M ×N é orientável ?
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 14
142. Sejam f, g difeomorfismos isotópicos entre variedades orientáveis. Mostre que f preserva orientaçãose, e somente se, g também o faz.
Isso continua verdadeiro quando f e g são apenas C∞-homotópicas?
143. Sejam f, g difeomorfismos homotópicos entre variedades orientáveis, sem bordo e compactas. Mostreque f preserva orientação se, e somente se, g também o faz.
144. Seja f : U → Rn uma aplicação diferenciável definida num aberto U ⊂ Rn. Mostre que a aplicação
(x, t) ∈ U × [ 0 , 1 ] H−−−→ H(x, t) = tx+ (1 − t)f(x) ∈ Rn
é uma homotopia diferenciável de f à identidade. Ela é dita homotopia baricêntrica.
145. Sejam M ⊂ Rℓ uma variedade diferenciável compacta qualquer e N ⊂ Rk uma variedade diferenci-ável compacta, sem bordo e seja f : M → N uma aplicação contínua (resp. diferenciável). Mostreque existe ρ > 0 tal que se g : M → N é uma aplicação contínua (resp. diferenciável) tal que∥f(x) − g(x)∥ < ρ para todo x ∈ M então f e g são continuamente (resp. diferenciavelmente)homotópicas.
146. Seja f : U → V um difeomorfismo entre abertos de Rn que contêm a origem e tal que f(0) = 0 .Dê condições sobre Df(0) para garantir que existe um aberto W ⊂ U contendo a origem de tal formaque a homotopia baricêntrica defina uma isotopia diferenciável (ht)t∈[0,1] satisfazendo as seguintescondições:
(i) ht(0) = 0 para todo t ∈ [0, 1];
(ii) ht : W → ht(W ) é um difeomorfismo entre aberto de Rn e ht(W ) ⊂ V ;
(iii) h0 = f e ht = Id .
147. Sejam Mn+k e Nn variedades diferenciáveis sem bordo, com n, k ≥ 1 e seja f : M → N umaaplicação diferenciável. Suponha que M e N estão orientadas. É possível dar uma versão do Teoremada Forma Local das Submersões usando sistemas de coordenadas que preservam orientação ?
Isso também pode ser feito quando k = 0 ?
148. Sejam Mn e Nn+k variedades diferenciáveis sem bordo, com n, k ≥ 1 e seja f : M → N umaaplicação diferenciável. Suponha que M e N estão orientadas. É possível dar uma versão do Teoremada Forma Local das Imersões usando sistemas de coordenadas que preservam orientação ?
149. Seja f : Mn+1 → Nn uma aplicação diferenciável entre variedades sem bordo e orientadas. Seja Γuma componente conexa de f−1(b) onde b ∈ f(M) é um valor regular para f . Fixe uma orientaçãoem Γ e para cada p ∈ Γ coloque em TpM a seguinte orientação: fixe um complementar Ep para TpΓem TpM e transporte para Ep a orientação de Tf(p)N via Df(p). A nova orientação Θ(p) em TpMé dada pela orientação de TpΓ seguida da orientação de Ep. Mostre que:
(i) ou Θ(p) coincide com a orientação de M para todo p ∈ Γ;
(ii) ou Θ(p) não coincide com a orientação de M para todo p ∈ Γ.
150. Mostre que a aplicação inclusão de S1 em R2 − {0} não é diferenciavelmente homotópica a umaaplicação constante. Mostre que, de fato, ela não é C0-homotópica a uma aplicação constante.
151. Sejam M uma variedade conexa de dimensão n ≥ 2 e x1, . . . , xk ∈ Int(M) uma coleção de kpontos distintos. Mostre que, dados uma coleção y1, . . . , yk ∈ Int(M) de k pontos distintos, existe umdifeomorfismo f de M isotópico a identidade e tal que f(xi) = yi para todo k ∈ {1, . . . , k}.
152. Sejam Mn uma variedade conexa e x, y pontos distintos de Int(M), e sejam u, v pontos distintos deRn. Mostre que existe um sistema de coordenadas ϕ : U ⊂ M → ϕ(U) = Rn definido no aberto U etal que ϕ(x) = u e ϕ(y) = v.
153. Sejam M uma variedade conexa e p , q ∈ Int(M). Mostre que existe um fluxo global diferenciável emM cuja órbita que passa por p também passa por q.
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 15
154. Sejam M uma variedade conexa e p , q ∈ M . Mostre que existe um mergulho diferenciável γ , de[ 0 , 1 ] em M tal que γ(0) = p e γ(1) = q.
155. Sejam Mn uma variedade compacta, sem bordo e f : M → Rn+1 uma aplicação diferenciável tal que0 /∈ f(M). Mostre que existe uma reta passando pela origem que intersecta f(M) em no máximo umnúmero finito de pontos.
156. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações diferenciáveis entre variedades diferenciáveis compactase sem bordo. Sabendo que p ∈ P é valor regular para g ◦ f podemos concluir que p é valor regularpara g ?
E se p estiver na imagem de g ◦ f ?
157. Sejam K ⊂ Rn um compacto e U ⊂ Rn um aberto não vazio. Construa um fluxo global diferenciável(ϕt)t∈R em Rn tal que ϕ1(K) ⊂ U .
158. Sejam f, g : M → Sk uma aplicação diferenciável onde k ≥ 1. Suponha que f(x) ̸= −g(x) paratodo x ∈M . Mostre que f e g são diferenciavelmente homotópicas.
159. Seja f : S2 → S2 uma aplicação diferenciável que é diferenciavelmente homotópica a identidade.
(i) Mostre que f possui um ponto fixo;
(ii) Generalize e prove esse resultado para esferas de dimensão par.
Sugestão: Faça uma homotopia de f à antípoda.
160. Prove o resultado acima para funções contínuas, continuamente homotópicas a identidade.
161. Sejam f : S2 → S2 um homeomorfismo isotópica à identidade e p ∈ S2 um ponto fixo de f . Mostreque f é isotópico a identidade por uma isotopia (ft)t∈[0,1] satisfazendo:
(i) ft(p) = p para todo t ∈ [ 0 , 1 ] ;
(ii) f0 = Id ;
(iii) f1 = f ;
(iv) Mostre também que esse resultado é verdadeiro quando f é um difeomorfismo e, nesse caso, aisotopia é uma isotopia diferenciável.
162. Generalize esse resultado para uma variedade M qualquer tendo p ∈ Int(M) como ponto fixo daaplicação f .
163. Sejam f : S2 → S2 um homeomorfismo isotópica à identidade e p, q ∈ S2 pontos fixos distintos def . Mostre que f é isotópico a identidade por uma isotopia (ft)t∈[0,1] satisfazendo:
(i) ft(p) = p e ft(q) = q para todo t ∈ [ 0 , 1 ] ;
(ii) f0 = Id ;
(iii) f1 = f ;
(iv) Mostre também que esse resultado é verdadeiro quando f é um difeomorfismo e, nesse caso, aisotopia é uma isotopia diferenciável.
164. Seja f : S2 → S2 uma aplicação diferenciável tal que f(x) ̸= −x para todo x ∈ S2. Mostre que fpossui um ponto fixo. Generalize e prove esse resultado para esferas de dimensão par.
165. Prove o resultado acima para funções contínuas.
166. Seja (ψt)t∈R um fluxo topológico numa variedade M e suponha que p ∈ M não é um ponto fixo dofluxo. Mostre que existe µ > 0 tal que a aplicação t ∈ (−µ , µ) 7→ ψt(p) ∈M é um megulho.
167. Seja Ψ = (ψt)t∈R um fluxo topológico numa variedade M compacta. Suponha que para cada n ∈ Z+
o fluxo possui uma órbita periódica de período menor ou igual a 1/n . Mostre que o fluxo possui umponto fixo.
Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 16
168. Seja X um campo vetorial diferenciável numa variedade M compacta. Suponha que para cada n ∈ Z+
o campo vetorial X possui uma órbita periódica de período menor ou igual a 1/n . Mostre que Xpossui uma singularidade.
Cuidado !! O campo X pode não possuir um fluxo global.
169. Seja (ψt)t∈R um fluxo topológico em S2. Mostre que:
(i) para t suficientemente pequeno, o homeomorfismo ψt possui ponto fixo;
(ii) existe p ∈ S2 tal que ψt(p) = p para todo t ∈ R , isto é, o fluxo (ψt)t∈R possui ponto fixo;
(iii) É possível generalizar esse resultado para esferas de dimensão par ?
Sugestão: Use o exercício anterior.
170. Sejam M uma variedade diferenciável compacta sem bordo e (ht)t∈[0,1] uma homotopia diferenciávelda identidade. Mostre que ht : M →M é sobrejetora para todo t ∈ [ 0 , 1 ] .
171. Seja M uma variedade diferenciável com ∂M ̸= ∅ e seja f : M → M uma aplicação sobrejetora.Mostre que f é diferenciavelmente homotópica a uma aplicação diferenciável g : M → M que não ésobrejetora.
172. Sejam f, g : M → N aplicações diferenciáveis entre variedades onde M é compacta. Mostre que sef e g são continuamente homotópicas então elas são diferenciavelmente homotópicas.
173. Mostre que não existe uma retração contínua de Dn em Sn−1 onde Dn ⊂ Rn é o disco compactounitário na norma euclidiana usual de Rn e n ≥ 1.
174. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e com bordo não vazio. Mostre que não existe uma retraçãocontínua de M sobre ∂M .
175. Sejam f, g : M → N difeomorfismos entre variedades sem bordo e(Ht
)t∈[0,1]
uma isotopia diferen-ciável de f a g.
(i) Mostre que(Gt
)t∈[0,1]
definida por Gt = H−1t para todo t ∈ [0, 1] é uma isotopia diferenciável
de f−1 à g−1.
(ii) O resultado do item (i) continua verdadeiro quando f, g são homeomorfismos e trocamos isotopiadiferenciável por isotopia contínua ?
(iii) O resultado do item (i) continua verdadeiro, no caso diferenciável, quando trocamos variedadessem bordo por variedades com bordo ?
176. Mostre que a aplicação z ∈ C − {0} → z̄k ∈ C visto como aplicação diferenciável de S1 em S1 temgrau −k para todo inteiro k ∈ Z onde z̄ denota o complexo conjugado de z.
177. Seja f : Sn → Sn uma aplicação diferenciável e par, isto é, f(−p) = f(p) para todo p ∈ Sn. Mostreque se n ≥ 1 é ímpar então, o grau de f é par. O que podemos dizer quando n ≥ 1 é par?
178. Sejam f : M → M uma aplicação diferenciável e p ∈ M . Suponha que M é conexa, sem bordo emostre que f é diferenciavelmente homotópica a uma aplicação que tem p como ponto fixo.
E quando f é um difeomorfismo, podemos trocar homotopia por isotopia ?
Esse resultado continua verdadeiro quando M tem bordo ?
179. Use a projeção estereográfica para levantar as aplicações z ∈ C → zk ∈ C e z ∈ C → z̄k ∈ C aaplicações de S2 e calcule o grau dessas aplicações para k ≥ 1.
180. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável de dimensão n e seja X um campo vetorial em M . Mostreque X é um campo diferenciável se, e somente se: para cada parametrização φ : U →M onde U é umaberto de Rn, existem aplicações diferenciáveis ai : φ(M) → R com i ∈ {1, . . . , n} tais que
X(φ(x)) =n∑i=1
ai(φ(x))∂φ
∂xi(x) ; ∀x ∈ U.
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181. Sejam M ⊂ Rk uma variedade diferenciável e X um campo vetorial diferenciável, definido numavizinhança de M em Rk. Mostre que o campo Y (dito projeção ortogonal de X em M ) que associa acada ponto x ∈M , a projeção ortogonal de X(x) no subespaço TxM ⊂ Rk é um campo diferenciávelem M .
182. Seja f : U → R uma aplicação diferenciável, onde U ⊂ Rn é aberto. Considere o campo vetorial ∇f(gradiente de f ) que quando não nulo é caracterizado pelas propriedades:
(i) ∇f(x) aponta na direção v (com ||v|| = 1 ) em que a taxa de variação∂f
∂v(x) é máxima;
(ii) ||∇f(x)|| é o valor da taxa máxima de variação.
Desenvolva a noção de campo gradiente associado a uma aplicação diferenciável f : M → R ondeM ⊂ Rk é uma variedade diferenciável sem bordo. Mostre que o gradiente de uma tal aplicaçãodiferenciável, num ponto x ∈ M , é a projeção ortogonal de ∇F (x) em TxM onde F é uma extensãodiferenciável qualquer de f .
183. Seja f : M → R uma aplicação diferenciável definida sobre a variedade M sem bordo. Mostre que sep ∈M é ponto de máximo ou de mínimo local para f então ∇f(p) = 0 .
184. Seja X um campo gradiente numa variedade M sem bordo. Mostre que X não pode ter órbitas periódi-cas.
185. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que existe uma família de compactos {Kj}j∈Z+
com as seguintes propriedades:
(i) K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · · ⊂M ;
(ii) M =∪∞j=1Kj .
186. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que existe uma família de compactos {Kj}j∈Z+
com as seguintes propriedades:
(i) Kj ⊂ Int(Kj+1) para todo j ≥ 1;
(ii) M =∪∞j=1Kj .
187. Mostre que no exercício anterior podemos escolher os compactos Ki como sendo variedades compactascom bordo de mesma dimensão que M .
188. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que existe uma aplicação f : M → (0, 1] dife-renciável, com a seguinte propriedade: dado ϵ > 0 , existe um compacto K ⊂ M tal que ||f(x)|| < ϵfora de K.
189. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que dado um campo vetorial diferenciável X emM é possível construir um campo vetorial diferenciável Y em M satisfazendo:
(i) os subespaços gerados por X e Y coincidem,
(ii) dado ϵ > 0 existe um compacto K ⊂M tal que ||Y (x)|| < ϵ fora de K.
190. Seja f : Sn → Rn uma aplicação diferenciável.
(i) Mostre que se n = 1 então f tem pelos menos dois pontos críticos;
(ii) Mostre que f tem uma infinidade de pontos críticos quando n ≥ 2.
191. Sejam f : S1 → R uma aplicação diferenciável e b ∈ R um valor regular para f . Mostre que:
(i) f−1(b) tem um número par de pontos;
(ii) se f−1(b) tem 2k pontos então, f tem pelo menos 2k pontos críticos.
192. Mostre que 0 ∈ R é valor regular do polinômio f(x, y, z) = [4x2(1 − x2) − y2]2 + z2 − 1/4 e façaum esboço de f−1(0).
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193. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta. Mostre que toda aplicação contínua f : M → Sn podeser uniformemente aproximada por aplicações diferenciáveis, isto é, dado ϵ > 0 existe f : M → Sn
diferenciável tal que ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ.
194. Demonstramos o seguinte resultado:
Seja f : M → N uma aplicação diferenciável e seja y ∈ N um valor regular para f e para f |∂M .Então f−1(y) é uma subvariedade de M e ∂f−1(y) = ∂M ∩ f−1(y).
O que se pode dizer de f−1(y) se retiramos a hipótese de y ser valor regular de f |∂M?
195. Mostre que toda matriz 3 × 3 com entradas reais e positivas tem um auto valor positivo. Este resultadopode ser generalizado para matrizes n× n?
Sugestão: Considere o triângulo ∆ = {x+ y + z = 1 ; x, y, z ≥ 0} e a aplicação de ∆ em ∆ obtidacompondo a aplicação linear associada a matriz com a projeção central sobre ∆ .... e aplique o teoremado ponto fixo de Brouwer.
196. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações diferenciáveis, onde M,N,P são variedades conexas,compactas, de mesma dimensão e sem bordo. Mostre que existe um valor regular y ∈ P de g tal quetodo ponto de g−1(y) é valor regular de f .
197. Sejam γ : R → R2 uma curva diferenciável e K ⊂ ( 0 ,∞) definido por: r ∈ K se, e somente se, ocírculo x2 + y2 = r2 tangencia γ em algum ponto. Mostre que K tem medida nula em R.
Sugestão: Comece fixando uma semireta pela origem e busque uma projeção sobre essa semireta aolongo dos círculos centrados na origem.
198. Seja C um círculo megulhado diferenciavelmente em R4. Mostre que existe um subespaço H dedimensão 3 de R4 tal que, a projeção ortogonal de C em H é um mergulho.
Sugestão: Comece procurando H de tal forma que a projeção ortogonal de C sobre H é uma imersão.Depois procure se livrar das auto-interseções!!
199. Seja ϕ : [ 0 ,∞) → [ 0 , π ] uma aplicação satisfazendo as seguintes condições:
(i) ϕ é diferenciável;
(ii) ϕ(0) = 0 e ϕ(r) = π para todo r ≥ 1;
(iii) ϕ é monótona crescente em [ 0 , 1 ];
(iv) ϕ(n)(0) = 0 = ϕ(n)(π) para todo n ≥ 1.
Considere a aplicação f : R2 → S2 definida por
f(x, y) =
(x sin(ϕ(x2+y2))√
x2+y2, y sin(ϕ(x2+y2))√
x2+y2, cos(ϕ(x2 + y2))
)quando (x, y) ̸= (0, 0)
(0, 0, 1) quando (x, y) = (0, 0).
Mostre que f é diferenciável.
200. Sejam n ≥ 1. Construa uma aplicação f : Rn → Sn satisfazendo as seguintes condições:
(i) f é de classe C∞;
(ii) f(x) = (0, . . . , 0,−1) ∈ Sn para todo x ∈ Rn tal que ∥x∥ ≥ 1;
(iii) f : {x ∈ Rn ; ∥x∥ < 1} → Sn − {(0, . . . , 0,−1)} é um homeomorfismo.
201. Sejam Mn+1, Nn variedades diferenciáveis com ∂Mn+1 ̸= ∅ e seja f : Mn+1 → Nn uma aplicaçãodiferenciável. Mostre que deg2(f) = 0 .
202. Construa, para cada ν ∈ Z2 e n ≥ 1 , uma aplicação f : Sn → Sn diferenciável, distinta das aplica-ções constantes, da identidade e da antípoda, tal que deg2(f) = ν.
203. Seja M uma variedade diferenciável compacta, conexa, sem bordo e de dimensão n ≥ 1. Construa,para cada ν ∈ Z2 e n ≥ 1 , uma aplicação f : M → Sn diferenciável tal que deg2(f) = ν.
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204. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações de classe C∞, onde M,N,P são variedades conexas,compactas, de mesma dimensão e sem bordo.
(i) Mostre que deg2(g ◦ f) ≡ deg2(g) × deg2(f);
(ii) Suponha que M,N,P são orientáveis e mostre que deg(g ◦ f) = deg(g) × deg(f).
205. Relacione o grau de Brouwer (resp. o grau módulo 2) de aplicações diferenciáveis f, g com o grauBrouwer (resp. o grau módulo 2) da aplicação (x, y) →
(f(x), g(y)
).
206. Sejam Mn ⊂ Rk , Nn ⊂ Rℓ variedades compactas, orientadas, sem bordo, conexas e seja f : M → Numa aplicação diferenciável. Mostre que existe δ > 0 com a seguinte propriedade: se g : M → N éuma aplicação diferenciável tal que ∥f(x) − g(x)∥ < δ para todo x ∈M então, deg(f) = deg(g).
207. Sejam M ,N variedades orientadas, conexas, de mesma dimensão com M compacta e sem bordo. Sejaf : M → N uma aplicação diferenciável, e sejam h1 : M →M e h2 : N → N difeomorfismos.
(i) Mostre que deg(f) = deg(h2 ◦ f ◦ h−11 ) quando h1, h2 preservam orientação ou quando h1, h2
revertem orientação;
(ii) Mostre que deg(f) = −deg(h2 ◦ f ◦ h−11 ) quando h1, h2 nos outros casos.
208. É possível provar um resultado semelhante ao do exercício anterior para grau módulo 2 ?
209. Seja Mn+1 ⊂ Rk uma variedade compacta, conexa, orientada, cujo bordo é constituído de duas com-ponentes conexas N1 e N2. Seja Nn ⊂ Int(Mn+1) uma variedade compacta, sem bordo e que separaM em duas componentes conexas: uma contendo N1 e a outra contendo N2. Seja F : M → Pn umaaplicação diferenciável. Mostre que, tomando orientações convenientes em Ni e N tem-se que
deg(f∣∣Ni
) = deg(f∣∣N
)
onde i = 1, 2 e Pn é uma variedade orientada, sem bordo e conexa.
210. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Uma isotopia diferenciável (Ht)t∈[0,1] de M em Rk éuma aplicação diferenciável H : [ 0 , 1 ] ×M → Rk satisfazendo:
(i) H(0, x) = x para todo x ∈M ;
(ii) Ht é um difeomorfismo sobre sua imagem Mt = Ht(M) para todo t ∈ [ 0 , 1 ].
Agora considere isotopias (Ht)t∈[0,1] e (Gt)t∈[0,1] de M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ respectivamente, ondeM,N são variedades compactas, sem bordo, orientadas e conexas. Seja ft : Mt → Nt uma família deaplicações tal que a aplicação
F (t, x) := H−1t ◦ ft ◦Ht(x) para todo x ∈M e t ∈ [ 0 , 1 ].
Coloque em Mt, Nt as orientações induzidas pelas orientações de M e N respectivamente, e mostreque deg(ft) = deg(f0) para todo t ∈ [ 0 , 1 ]. Interprete o resultado.
211. É possível provar um resultado semelhante ao do exercício anterior para grau módulo 2 ?
212. Mostre que todo polinômio complexo p de grau n ≥ 1 dá origem à uma aplicação diferenciávelP : S2 → S2 que tem grau n.
Qual seria o grau de P se trocássemos p por uma função racional (quociente de dois polinômios)?
213. Considere a aplicação P : z ∈ C − {0} 7→ C dada por P (z) = 1/zn e definamos uma aplicaçãocontínua F : S2 → S2 pela expressão
F (x) :=
(0, 0,−1) quando x = (0, 0, 1)h−1
+ ◦ P ◦ h+(x) quando x ∈ S2 − {(0, 0, 1), (0, 0,−1)}(0, 0, 1) quando x = (0, 0,−1)
onde h+ : S2 − {(0, 0, 1)} → C é a projeção estereográfica e n ∈ Z+. Mostre que deg(F ) = −n .
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214. Seja p : C → C um polinômio de grau maior ou igual a 1 . Enuncie e resolva um exercício semelhanteao anterior onde a aplicação P é dada por P (z) = 1/p(z) .
215. Repita o exercício anterior no caso em que a aplicação P é o quociente de dois polinômios de graumaior ou igual a 1 .
216. Sejam M uma variedade conexa e f, g : M → Sk aplicações diferenciáveis tais que ∥f(x)−g(x)∥ < 2para todo x ∈M , onde k ≥ 1. Mostre que f é diferenciavelmente homotópica a g.
217. Sejam M uma variedade e f : M → Sk uma aplicação diferenciável onde dim(M) < k. Moste quef é diferenciavelmente homotópica a uma aplicação constante.
218. Mostre que toda aplicação diferenciável f : Sn → Sn tal que deg(f) ̸= (−1)n+1 deve ter um pontofixo.
219. Mostre que toda aplicação diferenciável f : Sn → Sn tal que deg(f) é impar, deve enviar algum parde pontos antípodas em um par de pontos antípodas.
220. Seja X um campo vetorial diferenciável no disco fechado Dn onde n ≥ 2 e suponha que X(p) /∈Tp∂D
n para todo p ∈ ∂Dn. Mostre que X possui uma singularidade no interior de Dn.
221. Seja Dn o disco fechado onde n ≥ 2 é par. Suponha que X é um campo vetorial diferenciável emDn tal que, ao longo do bordo do disco o campo X nunca é ortogonal a tal bordo.
(i) Mostre que X possui uma singularidade no interior do disco;(ii) Esse resultado continua verdadeiro quando trocamos campo vetorial diferenciável por campo veto-
rial contínuo ?
222. Mostre que o resultado acima continua verdadeiro se trocamos a diferenciabilidade do campo por conti-nuidade.
223. Seja X um campo vetorial diferenciável no disco fechado Dn onde n ≥ 2 é par. Suponha que
(i) X não se anula em ∂Dn;
(ii) X(p) ∈ Tp∂Dn para todo p ∈ ∂Dn.
Mostre que X possui uma singularidade no interior de Dn.
224. Mostre que o resultado acima continua verdadeiro se trocamos a diferenciabilidade do campo por conti-nuidade.
225. Seja k ∈ Z. Mostre que existem aplicações diferenciáveis f : Sn → Sn e tal que deg(f) = k.
226. Sejam Mn uma variedade compacta, conexa, sem bordo, orientável e k ∈ Z. Mostre que existemaplicações diferenciáveis f : Mn → Sn e tal que deg(f) = k.
227. Sejam Mn ⊂ Rk, Nn ⊂ Rℓ variedades compactas, conexas, sem bordo, orientadas, e f : M → Numa aplicação contínua. Mostre que existe δ > 0 tal que se g, h : M → N são aplicações diferenciá-veis tais que
∥f(x) − g(x)∥ , ∥f(x) − h(x)∥ < δ para todo x ∈M
então elas são homotopicamente diferenciáveis e, consequentemente, deg(h) = deg(g).Dessa forma, podemos definir o grau de f como sendo o grau das aplicações diferenciáveis arbitraria-mente próximas de f . Vimos que, como consequência do Teorema da Vizinhança Tubular e do Teoremade Aproximação de Weierstrass, tais aplicações existem.
228. Considere a aplicação f(x, y) = (y − x3, y) onde (x, y) ∈ R2. Mostre que
lim∥(x,y)∥→∞
∥f(x, y)∥ = ∞.
Agora, considere a aplicação F : S2 → S2 definida por
F (p) =
{h−1
+ ◦ f ◦ h+(p) quando p ̸= S2 − {(0, 0, 1)}(0, 0, 1) quando p = (0, 0, 1)
onde h+ é a projeção estereográfica definida em sala. Calcule o grau de F .
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229. Seja f : Br(0) ⊂ Rn → Rm diferenciável e tal que f(0) = 0. Mostre que a aplicação
F (x, t) :=
{f(tx)/t quando x ∈ Br(0) e 0 < t ≤ 1Df(0) · x quando x ∈ Br(0) e t = 0
é contínua.
230. Para cada k ∈ Z , construa um campo vetorial diferenciável X definido numa vizinhança da origem deR2, tendo 0 ∈ R2 como única singularidade, e tal que Ind0(X) = k.
Faça isso para Rn com n ≥ 2.
231. Considere o campo vetorial
X(x1, . . . , xn, xn+1) = (−x2, x1, . . . , xn, xn−1, 0)
definido em Sn ⊂ Rn+1 onde n ≥ 1 é par. Calcule o índice das singularidades de X .
232. Considere o campo vetorial
X(x1, . . . , xn, xn+1) = (xn+1x1, . . . , xn+1xn,−(x21 + · · · + x2
n))
definido em Sn ⊂ Rn+1 onde n ≥ 1 . Calcule o índice das singularidades de X .
233. Sejam X um campo vetorial diferenciável definido numa variedade M e f : M → R uma aplicaçãodiferenciável. Considere um ponto p ∈ Int(M) tal que:
(i) X(p) ̸= 0 ;
(ii) p é um zero isolado de f .
Calcule Indp(fX) .
234. Sejam X um campo vetorial diferenciável definido numa variedade M e f : M → R uma aplicaçãodiferenciável. Considere um ponto p ∈ Int(M) tal que:
(i) p é uma singularidade isolada de X ;
(ii) p é um zero isolado de f .
Calcule Indp(fX) .
235. Seja F : U × [ 0 , 1 ] → V diferenciável e onde U, V ⊂ Rn são abertos. Suponha que para cadat ∈ [ 0 , 1 ] a aplicação Ft : U → V é um difeomorfismo sobre um aberto contido em V .
(i) Mostre que o conjunto
A ={(F (x, t), t) ∈ V × [ 0 , 1 ] ; (x, t) ∈ U × [ 0 , 1 ]
}é aberto em V × [ 0 , 1 ] ;
(ii) Mostre que a aplicação G : U × [ 0 , 1 ] → A definida por G(x, t) = (F (x, t), t) é um difeomor-fismo;
(iii) Conclua que a aplicação (y, t) ∈ A −−→ (Ft)−1(y) ∈ U × [ 0 , 1 ] é diferenciável.
236. Sejam M ⊂ Rk uma variedade e X : M → Rk uma aplicação não necessariamente contínua. Consi-dere uma sequência (pn)n≥1 de pontos em M tal que pn → p ∈M e suponha que X(pn) ∈ Tpn(M)para todo n ≥ 1. Mostre que se X(pn) tem limite quando pn → p então, tal limite pertence a TpM .
237. Seja X um campo vetorial diferenciável em Dn+1 ⊂ Rn+1 apontando para fora de Dn no bordo Sn
com um número finito de singularidades em Int(Dn+1). Mostre que a soma dos índices das singulari-dades de X vale 1 .
238. Seja Mn ⊂ Rn uma variedade compacta, conexa e seja X um campo vetorial diferenciável, apontandopara fora de M no bordo e com um número finito de singularidades em Int(M). Mostre que a somados índices das singularidades de X vale χ(∂M)/2 quando n é ímpar.
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239. Sejam Mn ⊂ Rn uma variedade compacta conexa e X um campo vetorial diferenciável em M talque:
(i) X não tem singularidades em ∂M e aponta para dentro de M ;
(ii) X possui um número finito de singularidades.
Mostre que a soma dos índices das singularidades de X vale:
(a) o grau da aplicação normal de Gauss quando n é ímpar;
(b) o negativo do grau da aplicação normal de Gauss quando n é par.
240. Seja π : M → N uma aplicação de recobrimento com k ∈ Z+ folhas entre variedade compactas,conexas e sem bordo. Mostre que χ(M) = k χ(N).
241. Seja Mn ⊂ Rn uma variedade compacta, com bordo e seja X um campo diferenciável em M . Supo-nha que X não se anula em nenhum ponto de ∂M , que X é tangente a ∂M e tem um número finito desingularidades em Int(M). Mostre que a soma das singularidades de X é o índice da aplicação normalde Gauss.
242. Sejam X,Y, Z campos diferenciáveis, definidos numa vizinhança da origem de R3 e linearmente in-dependentes em cada ponto. Suponha que seus fluxos locais (Xt)t∈(−ϵ,ϵ) , (Yt)t∈(−ϵ,ϵ) , (Zt)t∈(−ϵ,ϵ)comutam. Mostre que a aplicação
(t1, t2, t3)ψ−−−→ Xt1 ◦ Yt2 ◦ Zt3(0) ∈ R3
é um difemorfismo numa vizinhança da origem.
Generalize esse resultado para campos em variedades.
243. Seja X um campo vetorial diferenciável em S2 e suponha que X possui uma única singularidadeq ∈ S2. Mostre que
lim|t|→∞
Xt(p) = q para todo p ∈ S2
onde (Xt)t∈R denota o fluxo de X .
244. Seja X um campo vetorial diferenciável em R2 possuindo uma órbita periódica. Mostre que X possuipelo menos uma singularidade.
245. Seja X um campo vetorial diferenciável em S2 que possui uma órbita periódica. Mostre que X possuipelo menos duas singularidades.
246. Demonstre o Teorema de Lima em S2 para um número finito de campos vetoriais que comutam. Seráque podemos generalizá-lo para um número infinito de campos de vetores?
247. Seja M uma variedade conexa e p1, . . . , pk ∈ Int(M).
(i) Mostre que existe um subconjunto D ⊂ Int(M) difeomorfo a uma bola fechada de dimensão n etal que p1, . . . , pk ∈ Int(D);
(ii) Vimos que toda variedade compacta, sem bordo, admite um campo vetorial diferenciável com umnúmero finito de singularidades (via triangulação da variedade).Mostre que se M é compacta e sem bordo então, existe um campo vetorial diferenciável em Mcom uma única singularidade; qual é o índice dessa singularidade ?
(iii) Admita o seguinte resultado devido a Hopf:Se f : Sn → Sn é diferenciável e tem grau zero então, f é diferenciavelmente homotópica a umaaplicação constante.Use esse resultado para mostrar que se M é compacta, sem bordo e χ(M) = 0 então M possuium campo vetorial diferenciável, sem singularidades.
248. Sejam M uma variedade e (ϕt)t∈R um fluxo global diferenciável em M . Um subconjunto K de Mé dito invariante pelo fluxo quando ϕt(K) = K para todo t ∈ R.
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(i) Seja (ϕt)t∈R um fluxo global diferenciável em R2 e seja K ⊂ R2 um compacto invariante por(ϕt)t∈R. Mostre que (ϕt)t∈R possui um ponto fixo;
(ii) Sejam (ϕt)t∈R e (ψt)t∈R dois fluxos globais diferenciáveis em R2 que comutam e seja K ⊂ R2
um compacto invariante por esses dois fluxos. Imitando a prova de Lima em S2, mostre que essesfluxos possuem um ponto fixo comum;
(iii) Generalize esse resultado para n fluxos.
249. Calcule χ(Sn) quando n ≥ 1 é par.
250. Calcule χ(Tn) quando n ≥ 1 .
251. Sejam X ,Y campos vetoriais diferenciáveis definidos em vizinhanças da origem de Rn e Rm respec-tivamente. Considere o campo vetorial
Z(x, y) =(X(x) , Y (y)
)definido numa vizinhança da origem de Rn × Rm.
(i) Suponha que a origem é singularidade não-degenerada para X e Y simultaneamente:
(i.a) Mostre que a origem é singularidade não-degenerada para Z;(i.b) Mostre que Ind(0,0)(Z) = Ind0(X) × Ind0(Y ) ;
(ii) Mostre que se a origem é singularidade isolada para X e Y simultaneamente então, ( 0 , 0 ) ésingularidade isolada para Z e temos:
Ind(0,0)(Z) = Ind0(X) × Ind0(Y ).
NOTA: Esse resultado permite calcular o índice do campo Z com facilidade, se conhecemos osíndices de X e Y . Fizemos isso na última aula do curso ao calcular os índices do campo vetorialconstruído a partir de uma triangulação sobre a variedade.
252. Sejam M,N variedades diferenciáveis compactas e sem bordo. Mostre que
χ(M ×N) = χ(M) × χ(N).
253. Sejam M ⊂ Rk uma variedade sem bordo, conexa, X um campo vetorial diferenciável em M . Su-ponha que existe uma variedade N ⊂ M compacta, sem bordo, conexa, de codimensão 1 e tal que Xé transversal a N , isto é, X(p) /∈ TpN ⊂ TpM para todo p ∈ M . Suponha também que para cadap ∈ N a órbita γp de X por p volta a intersectar N num tempo tp > 0. Denotemos por f : N → Na aplicação que a cada p ∈ N associa o ponto γp(tp) ∈ N onde tp > 0 é o menor tempo tal queγp(tp) ∈ N . Sabemos das equações diferenciais que tp é uma aplicação diferenciável e que f é umdifeomorfismos local.
(i) Mostre que f é um difeomorfismo, dito, aplicação de primeiro retorno;Nesse contexto a variedade N é dita uma seção transversal para X .
(ii) Mostre que M é compacta;
(iii) Mostre que toda órbita de X intersecta N para valores positivos e negativos de tempo;
(iv) Mostre que o fluxo global (φt)t∈R de X restrito a subvariedade N é um difeomorfismo local,i.e. a aplicação φ : R ×N →M é um difeomorfismo local;
(v) Pergunta-se: É possível, reparametrizando as curvas integrais de X construir um outro campovetorial diferenciável tal que o tempo de retorno τ(p) à subvariedade N é sempre 1 qualquer queseja o ponto p ∈ N ?