existencia de ondas solitarias para la ecuación generalizada de kadomtsev-petviashvili
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Existencia de Ondas Solitarias para la Ecuacion Generalizada deKadomtsev-Petviashvili
JAIR HERNANDO VILLOTA SANCHEZ
UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICASSANTIAGO DE CALI
2009
Existencia de Ondas Solitarias para la Ecuacion Generalizada deKadomtsev-Petviashvili
JAIR HERNANDO VILLOTA SANCHEZ
Trabajo de grado presentado como requisito parcialpara optar al titulo de matematico
DirectorJose Raul Quintero. Ph.D.
UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICASSANTIAGO DE CALI
2009
Nota de aceptacion
.
.
.
Santiago de Cali, Enero de 2009.
A Irisdey, Lina, Pini, Nena y Luna.
A ustedes les debo los momentos mas felices de mi vida.
Agradecimientos
Este trabajo es el final de un proceso largo lleno de dificultades y obstaculos, perotambien lleno de personas que me ayudaron y comprendieron. En ese sentido quieroagradecer al profesor Raul Quintero todas las horas que me oriento, para entregar untrabajo de grado bien escrito y sobre todo comprendido. Quiero agradecer tambien ami madre Irisdey y a mi esposa Lina, ya que siempre he recibido su apoyo.
Gracias.
Indice general
1. El Teorema de Paso de Montana 111.1. Lema de Deformacion Cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Teorema de Paso de Montana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. La Ecuacion Generalizada de Kadomsev-Peviashvili 182.1. Espacios Funcionales y Resultados de Convergencia . . . . . . . . . . . 192.2. Existencia de Ondas Solitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Palabras Claves
Onda viajera, onda solitaria, ecuacion de Kadomtsev-Petviashvili, condicion Palais-Smale, Lema de Deformacion Cuantitativo, Teorema de Paso de Montana, teorıa depuntos crıticos.
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Resumen
La ecuacion generalizada de Kadomtsev-Petviashvili (KP ) es el modelo fısico dos di-mensional mas importante para describir la propagacion de ondas de pequena amplitudy gran elongacion en medios dispersivos. La ecuacion tiene la forma
wt + wxxx + (f(w))x = D−1x wyy
donde D−1x es el operador definido como
D−1x h(x, y) :=
∫ x
−∞h(s, y)ds,
Este problema se puede escribir de la forma Au = 0, donde A : X → Y es una funcionentre dos espacios de Banach. Mas aun, existe una funcional diferenciable ϕ : X → Rtal que A = ϕ′. En este caso el espacio Y corresponde al dual topologico X ′ de X y elproblema equivale a ϕ′(u) = 0 en X ′, lo que significa que
ϕ′(u)(v) = 0, para todo v ∈ X,
donde
ϕ′(u)(v) := 〈Au, v〉 = lımt→0
ϕ(u+ tv)− ϕ(u)
t.
Presentaremos la demostracion de la existencia de ondas viajeras de energıa finita lla-madas ondas solitarias, estas tienen la forma w(x, y, t) = u(x − ct, y). Con este fin,usaremos el Teorema de Paso de Montana para construir un posible valor crıtico d dela funcion ϕ y para obtener una sucesion (un) tal que
ϕ(un) → d, ϕ′(un) → 0 en X ′.
Estudiaremos el caso donde no sabemos si la funcion ϕ satisface la condicion Palais-Smale. Entonces, como condicion de compacidad usaremos un enceje local para demostrarla convergencia de alguna subsucesion modificada (despues de una traslacion) a algunv ∈ X, este punto v resulta ser una solucion debil del problema.
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Introduccion
Existen algunos problemas de valores en la frontera que se pueden expresar como unaecuacion de la forma
Au = 0 (1)
donde A : X → Y es una funcion entre dos espacios de Banach. Si el problema resultaser variacional, esto es, cuando A = ϕ′ para alguna funcion diferenciable ϕ : X → R,entonces el espacio Y corresponde al dual topologico X ′ de X, es decir el espacio detodas las transformaciones lineales continuas y acotadas de X en R. La ecuacion (1) esequivalente a ϕ′(u) = 0 en X ′, lo que significa que
ϕ′(u)(v) = 0, para todo v ∈ X, (2)
donde
ϕ′(u)(v) := 〈Au, v〉 = lımt→0
ϕ(u+ tv)− ϕ(u)
t.
En este contexto, un punto crıtico de ϕ es una solucion u de (2), y el valor ϕ(u) esun valor crıtico de ϕ. De lo anterior surge una pregunta obvia: como encontrar valorescrıticos de una funcion o funcional. Observemos que cuando ϕ es acotada inferiormente,entonces el ınfimo
d := ınfXϕ
es un candidato natural a ser un valor crıtico. En algunos casos se puede garantizar laexistencia de una sucesion (un) tal que
ϕ(un) → d, ϕ′(un) → 0 en X ′. (PS)
Una sucesion (un) que satisfaga la condicion (PS) se conoce como una sucesion Palais-Smale en el nivel d. La funcional ϕ satisface la condicion (PS)d, si cada sucesion(PS) tiene una subsucesion convergente. En el caso que la funcional ϕ sea acotadainferiormente y sea (PS)d, entonces d es un valor crıtico de ϕ.Dado que no toda funcioal tiene un ınfimo, cosideraremos el caso en que ϕ en cero tengaun mınimo local, que no sea global, Ambrosetti y Rabinowitz consideraron funcionalesϕ que satisfacen la siguiente condicion. Existe r > 0 y e ∈ X tal que ‖e‖ > r y
ınf‖u‖=r
ϕ(u) > ϕ(0) > ϕ(e).
Lo anterior significa que el punto (0, ϕ(0)) esta separado del punto (e, ϕ(e)) por unanillo de montana. Si Γ es el conjunto de todas las curvas continuas que unen 0 y e,entonces
d = ınfγ∈Γ
maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t))
es un candidato natural. De nuevo, existe una (un) tal que ϕ(un) → d, ϕ′(un) → 0.Desafortunadamente d no necesariamente es un valor crıtico de la funcional ϕ.El estudio de valores crıticos para una funcional ϕ se baso inicialmente en el metodominimax que tiene los siguientes tres pasos:
1. Una condicion de compacidad, como la condicion (PS)d.
2. Lema de deformacion dependiente de la condicion de compacidad.
3. Construccion de un valor crıtico (teorema de paso de montana).
En 1983 Willen probo un lema de deformacion cuantitativo, independiente de las condi-ciones de compacidad ([1]) y en 1987 ([2]), Mawhin uso este lema en la construccion desucesiones (PS). Este nuevo metodo, que es mas simple y mas general que el anterior,consiste tambien en tres pasos:
1. Lema de deformacion cuantitativo.
2. Construccion de sucesiones (PS) (teorema de paso de montana).
3. Una condicion de compaciad (probablemente local).
El objetivo principal de este trabajo consiste en utilizar el segundo metodo para com-pletar los detalles del libro de M. Willen [1] relacionados con la demostracion de laexistencia de ondas solitarias para la ecuacion generalizada de Kadomtsev-Petviashvili(KP )
wt + wxxx + (f(w))x = D−1x wyy
donde
D−1x h(x, y) =
∫ x
−∞h(s, y)ds.
Para obtener este resultado es necesario presentar las demostraciones del lema de de-formacion cuantitativo y el teorema de paso de montana.Este documento se encuentra dividido de la siguiente forma: en el Capıtulo presentare-mos las demostraciones del Lema de Deformacion Cuantitativo y el Teorema de Pasode Montana. En el capıtulo dos introduciremos los resultados basicos del analisis fun-cional, y estudiaremos la existencia de ondas solitarias para la ecuacion generalizada(KP ). Este trabajo se realizo con base en el Libro de M. Willem [1].
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Capıtulo 1
El Teorema de Paso de Montana
1.1. Lema de Deformacion Cuantitativa
En esta seccion presentamos un caso simple del teorema de deformacion cuantitativo.La version general puede verse en [1].
En adelante adoptaremos las siguientes definciones. Si ϕ es una funcion definida deX en R y d ∈ R, escribimos ϕd = ϕ−1((−∞, d]). Si ϕ es ademas diferenciable en u,escribimos la derivada direccional de ϕ en u en la direccion de v como
〈∇ϕ(u), h〉 = lımt→0
ϕ(u+ th)− ϕ(u)
t
Lema 1.1.1. (Lema de Deformacion Cuantitativa) Sean X un espacio de Hilbert yϕ ∈ C2(X,R). Dados d ∈ R y ε > 0, supongamos que para todo u ∈ ϕ−1([d−2ε, d+2ε]),tenemos que ‖∇ϕ(u)‖ ≥ 2ε. Entonces existe η ∈ C(X,X) tal quei) η(u) = u, para todo u /∈ ϕ−1([d− 2ε, d+ 2ε])ii) η(ϕd+ε) ⊂ ϕd−ε
Demostracion. Definamos los conjuntos A = ϕ−1([d − 2ε, d + 2ε]) y B = ϕ−1([d −ε, d+ ε]) y la funcion ψ : X → R como
ψ(u) =D(u,Ac)
D(u,Ac) +D(u,B)
donde D(u,A) representa la distancia de u al conjunto A. Primero notemos que ψ = 1sobre B, ψ = 0 sobre Ac y 0 ≤ ϕ(u) ≤ 1. Vamos a mostrar ahora que la funcıon ψ eslocalmente Lipschitz continua sobre B. En efecto,
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|ψ(u)− ψ(v)| =∣∣∣∣ D(u,Ac)
D(u,Ac) +D(u,B)− D(v, Ac)
D(v, Ac) +D(v,B)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ D(u,Ac)D(v,B)−D(v, Ac)D(u,B)
[D(u,Ac) +D(u,B)][D(v, Ac) +D(v,B)]
∣∣∣∣=
∣∣∣∣D(v,B)[D(u,Ac)−D(v, Ac)] +D(v, Ac)[D(v,B)−D(u,B)]
[D(u,Ac) +D(u,B)][D(v, Ac) +D(v,B)]
∣∣∣∣≤∣∣∣∣ D(v,B)‖u− v‖+D(v, Ac)‖u− v‖[D(u,Ac) +D(u,B)][D(v, Ac) +D(v,B)]
∣∣∣∣≤ ‖u− v‖D(u,Ac) +D(u,B)
≤ ‖u− v‖D(Ac, B)
puesto que,
ınfx∈Ac
D(u, x) + ınfy∈B
D(u, y) = ınfx∈Ac,y∈B
(D(u, x) +D(u, y)) ≥ ınfx∈Ac,y∈B
D(x, y).
Consideremos ahora el campo vectorial f definido sobre X como
f(u) =
{−ψ(u)∇ϕ(u) ‖∇ϕ(u)‖−2 , u ∈ A
0, u ∈ Ac
Veamos que f es localmente lipshitz continua.
‖f(u)− f(v)‖ =
∥∥∥∥ψ(u)∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2− ψ(v)∇ϕ(v)
‖∇ϕ(v)‖2
∥∥∥∥=
∥∥∥∥ψ(u)∇ϕ(u)− ψ(v)∇ϕ(u) + ψ(v)∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2− ψ(v)∇ϕ(v)
‖∇ϕ(v)‖2
∥∥∥∥=
∥∥∥∥∇ϕ(u)(ψ(u)− ψ(v))
‖∇ϕ(u)‖2+ψ(v)∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2− ψ(v)∇ϕ(v)
‖∇ϕ(v)‖2
∥∥∥∥=
∥∥∥∥(ψ(u)− ψ(v))∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2+ ψ(v)
(∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2− ∇ϕ(v)
‖∇ϕ(v)‖2
)∥∥∥∥ .12
Pero |ψ(u)| ≤ 1, |ψ(u)− ψ(v)| ≤ C‖u− v‖ y∥∥∥ ∇ϕ(u)‖∇ϕ(u)‖2
∥∥∥ ≤ 12ε
. Entonces,
‖f(u)− f(v)‖ ≤ C1‖u− v‖ 1
2ε+
(∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2− ∇ϕ(v)
‖∇ϕ(v)‖2
)Ahora vamos a mostrar que la funcion g(u) = ∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2 es localmente lipshitz continua.Para esto mostraremos que g es continuamente diferenciable sobre conjuntos compactos
g′(u) =ϕ′′(u)‖∇ϕ(u)‖2 − (ϕ′′(u)∇ϕ(u) +∇ϕ(u)ϕ′′(u))∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖4
=ϕ′′(u)
‖∇ϕ(u)‖2− 2ϕ′′(u)‖∇ϕ(u)‖2
‖∇ϕ(u)‖4
= − ϕ′′(u)
‖∇ϕ(u)‖2.
Dado que ϕ ∈ C2(X,R) y ‖∇ϕ(u)‖ ≥ 2ε, concluimos que g es continuamemnte difer-enciable sobre compactos. De esta forma localmente tenemos
‖f(u)− f(v)‖ ≤ C1‖u− v‖ 1
2ε+ C2‖u− v‖ ≤ C‖u− v‖.
Ademas ‖f(u)‖ < (2ε)−1 sobre X, ya que
‖f(u)‖ =
∥∥∥∥ψ(u)∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2
∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥ ∇ϕ(u)
‖∇ϕ(u)‖2
∥∥∥∥ ≤ 1
‖∇ϕ(u)‖≤ 1
2ε
Dado que la funcion f es acotada y localmente Lipshitz sobre conjuntos acotadospodemos considerar para cada u ∈ X el problema de Cauchy{
ddtσ(t, u) = f(σ(t, u)) , t > 0σ(0, u) = u.
En este caso el problema tiene una unica solucion σ(·, u) definida sobre R y continuasobre R×X (ver [4]). Dado u ∈ X, definimos η ∈ C(X,X) como
η(u) = σ(2ε, u).
Vamos a mostrar que esta funcion satisface la conclusion del Lema. Supongamos queu /∈ ϕ−1(d − 2ε, d + 2ε) = A. Entonces f(u) = 0. En este caso tenemos que resolver laecuacion diferencial d
dtσ(t, u) = 0. Por lo tanto, σ(t, u) es constante. Dado que σ(0, u) =
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u se tiene que σ(t, u) = u para todo t > 0. En particular, σ(2ε, u) = η(u) = uAntes de verificar ii), mostremos que ϕ ◦ σ es una funcion no creciente.
d
dtϕ(σ(t, u)) = 〈∇ϕ(σ(t, u)),
d
dtσ(t, u)〉 = 〈∇ϕ(σ(t, u)), f(σ(t, u))〉
= 〈∇ϕ(σ(t, u)),−ψ(σ(t, u))∇ϕ(σ(t, u)) ‖ ∇ϕ(σ(t, u)) ‖−2〉= −ψ(σ(t, u)) ‖ ∇ϕ(σ(t, u)) ‖−2 〈∇ϕ(σ(t, u)),∇ϕ(σ(t, u))〉= −ψ(σ(t, u)) < 0. (1.1)
Ahora se muestra que η(ϕd+ε) ⊂ ϕd−ε, es decir; si ϕ(u) ≤ d+ε entonces ϕ(η(u)) ≤ d−ε.Tomemos u ∈ ϕd+ε, o lo que es igual ϕ(u) ≤ d+ ε, como ϕ ◦ σ es no creciente, entoncespara todo t > 0 tenemos que ϕ(σ(t, u)) ≤ ϕ(σ(0, u)) = ϕ(u) ≤ d+ε, asi; para el intervalo[0, 2ε] hay dos opciones: Primero, existe algun t ∈ [0, 2ε], tal que ϕ(σ(t, u)) ≤ d− ε, eneste caso como t < 2ε, entonces ϕ(η(u)) = ϕ(σ(2ε, u)) ≤ ϕ(σ(t, u)) ≤ d− ε. Segundo,para todo t ∈ [0, 2ε], d− ε ≤ ϕ(σ(t, u)) ≤ d+ ε, o lo que es igual σ(t, u) ∈ B. En estecaso, de (1.1) tenemos que
∫ 2ε
0
d
dtϕ(σ(t, u))dt = ϕ(σ(2ε, u))− ϕ(σ(o, u))
ϕ(σ(2ε, u)) = ϕ(u) +
∫ 2ε
0
d
dtϕ(σ(t, u))dt
ϕ(σ(2ε, u)) = ϕ(u)−∫ 2ε
0
ψ(σ(t, u))dt
como σ(t, u) ∈ B, es decir ψ(σ(t, u)) = 1, entonces∫ 2ε
0ψ(σ(t, u))dt =
∫ 2ε
0dt = 2ε, para
todo t ∈ [0, 2ε]. Ademas ϕ(u) ≤ d+ ε, entonces de la ultima igualdad tenemos que
ϕ(η(u)) = ϕ(u)− 2ε ≤ d+ ε− 2ε = d− ε,
lo que completa la prueba. �
Vamos a ver que este Lema de Deformacion es clave en la demostracion del Teoremade Paso de Montana.
1.2. Teorema de Paso de Montana
Teorema 1.2.1. Sean X un espacio de Hilbert, ϕ ∈ C2(X,R), e ∈ X y r > 0, quesatisfacen ‖ e ‖> r y
b = ınf‖u‖=r
ϕ(u) > ϕ(0) ≥ ϕ(e).
Entonces para todo ε > 0, existe u ∈ X, tal quei) d− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ d+ 2ε,
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ii) ‖ ∇ϕ(u) ‖< 2ε,donde
d = ınfγ∈Γ
maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t))
conΓ = {γ ∈ C([0, 1], X) : γ(0) = 0, γ(1) = e}.
Demostracion. Primero, probaremos que para todo ε > 0, existe u ∈ X tal que
d− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ d+ 2ε.
Para toda curva γ ∈ Γ, existe t0 tal que ‖γ(t0)‖ = r, entonces b ≤ ϕ(γ(t0)), luego
b ≤ maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)) para toda γ ∈ Γ
entoncesb ≤ ınf
γ∈Γmaxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)) = d ≤ maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t))
ası
b ≤ d ≤ maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)) para toda γ ∈ Γ,
pero segun la definicion de d existe γ0 ∈ Γ tal que
maxt∈[0,1]
ϕ(γ0(t)) ≤ d+ 2ε
con lo queb ≤ d ≤ max
t∈[0,1]ϕ(γ0(t)) ≤ d+ 2ε
y existe t0 ∈ [0, 1] tal que
d− 2ε ≤ ϕ(γ0(t0)) ≤ d+ 2ε
d− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ d+ 2ε con γ0(t0) = u ∈ X
Segundo, supongamos que existe ε > 0, tal que para todo u ∈ X se tiene ‖∇ϕ(u)‖ ≥ 2εy como se sabe que ϕ(e) ≤ ϕ(0) < b ≤ d, se puede suponer que ϕ(0) ≤ d− 2ε (ya quese puede hacer ε tan pequeno como se quiera, sin alterar que ‖∇ϕ(u)‖ ≥ 2ε)ası
ϕ(e) ≤ ϕ(0) ≤ d− 2ε. (1.2)
Segun el lema de deformacion cuantitativo (lema 1.1.1), existe η ∈ C(X,X), tal queη(u) = u para todo u /∈ ϕ−1(d− 2ε, d+ 2ε) y η(ϕd+ε) ⊂ ϕd−ε.Definamos βγ = η ◦ γ y se muestra que βγ ∈ Γ.Como ϕ(0) ≤ d− 2ε y ϕ(e) ≤ d− 2ε (por (1.2)), 0 y e no estan en ϕ−1(d− 2ε, d+ 2ε)entonces βγ(0) = η(γ(0)) = η(0) = 0 y βγ(1) = η(γ(1)) = η(e) = e.Por la definicion de d, para todo γ tenemos que
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d ≤ maxt∈[0,1]
ϕ(βγ(t)) (1.3)
y existe γ0, tal que
maxt∈[0,1]
ϕ(γ0(t)) ≤ d+ ε
como η(ϕd+ε) ⊂ ϕd−ε, equivale a que: si ϕ(u) < d+ ε entonces ϕ(η(u)) < d− εse tiene que
maxt∈[0,1]
ϕ(η(γ0(t))) < d− ε
maxt∈[0,1]
ϕ(βγ0(t)) < d− ε
usando (1.3) se concluye que
d ≤ maxt∈[0,1]
ϕ(βγ0(t)) < d− ε
�
Definicion 1.2.2 (Funcional Palais-Smale). Sea X un espacio de Banach, ϕ ∈ C(X,R)y c ∈ R. La funcional ϕ satisface la condicion (PS)d, si cada sucesion (un) ⊂ X talque
ϕ(un) → d, ∇ϕ(un) → 0
tiene una subsucesion convergente.
Una aplicacion inmediata del Teorema de Paso de Montana se debe a Ambrosetti-Rabinowitz (ver [5]).
Teorema 1.2.3 (Ambrosetti-Rabinowitz). Bajo las suposiciones del Teorema (1.2.1),si ϕ satisface la (PS)d, entonces d es un valor crıtico de ϕ.
Demostracion. Si tomamos ε = 1n, entonces para cada n ∈ N existe un tal que
d− 1
n≤ ϕ(un) ≤ d+
1
ny − 2
n≤ ∇ϕ(un) ≤ 2
n,
es decirϕ(un) → d y ∇ϕ(un) → 0
luego por (PS)d, existe una subsucesion de (un) que converge a algun u ∈ X, de estaforma
ϕ(u) = ϕ( lımnk→∞
unk) = lım
nk→∞ϕ(unk
) = d
y∇ϕ(u) = ∇ϕ( lım
nk→∞unk
) = lımnk→∞
∇ϕ(unk) = 0.
16
�
Es importante resaltar que el valor d definido en el Teorema de Paso de Montana (1.2.1)no necesariamente corresponde a un valor crıtico. Como ocurre en el siguienteejemplo.
Ejemplo 1.2.4. Este ejemplo muestra que el valor d, construido en el Teorema (1.2.1)no es en general un valor crıtico de ϕ.Sea ϕ ∈ C∞(R2,R), definida como ϕ(x, y) = x2 + (1− x)3y2. Para tener las hipotesisdel teorema (1.2.1) se debe verificar que existen r > 0, y e ∈ R2 con ‖ e ‖> r, tal queb > ϕ(0) = 0 > ϕ(e).
Primero, mostraremos que para algun r > 0, si x2 + y2 = r2 tenemos que ϕ(x, y) > 0 .Para que ϕ(x, y) = x2 + (1− x)3y2 = x2 + y2 + y2[−1 + (1− x)3] > 0, se puede tomar−1 + (1− x)3 > 0, es decir x < 0. Por lo tanto, si x < 0 entonces ϕ(x, y) > 0 indepen-diente de r.Ahora, si x > 0, para tener ϕ(x, y) > 0 es necesario que y2(−1 + (1− x)3) > 0,pero
−1 + (1− x)3 = −3x+ 3x2 − x3 = x(−3 + 3x− x2) = −x
[(x− 3
2
)2
+3
4
].
De la forma de −[(x− 3
2)2 + 3
4
], vemos que si 0 < x < 3 entonces −[(x− 3
2)2+ 3
4] > −3,
por lo tanto −1 + (1− x)3 > −3x, luego
x2 + y2 + y2(−1 + (1− x)3) > −3xy2 + x2 + y2
ϕ(x, y) > −3xy2 + x2 + y2.
En resumen tenemos; si −3xy2 + x2 + y2 = x2 + y2(1− 3x) > 0 entonces ϕ(x, y) > 0.Para que lo anterior se cumpla se toma 1− 3x > 0, es decir x < 1
3.
Hemos mostrado que si escogemos un r tal que x ≤ 13
e y ∈ R entonces ϕ(x, y) > 0.
Tomemos r = 181
, e = (2, 3) y ‖ e ‖= (13)12 > r, entonces −1
9≤ x ≤ 1
9. De esta
forma, si x2 + y2 = r2 entonces ϕ(x, y) > 0, con lo que b > 0 = ϕ(0, 0) > ϕ(e) = −5.
Segundo, el gradiente de ϕ es
∇ϕ(x, y) = (2x− 3(1− x)2y2, 2y(1− x)3),
del cual se concluye que ϕ(0, 0) = 0 es el unico valor crıtico de ϕ.Finalmente, si d = 0 entonces 0 < b ≤ d = 0.
Ejemplo 1.2.5. Este ejemplo muestra una funcion que no satisface la condicion (PS)d.Sea ϕ(x) = arctanx y consideremos la sucesion defiida como xn = n para todo n ∈ N,sabemos que ϕ′(x) = 1
1+x2 , por lo tanto ϕ(xn) → π2
y ϕ′(xn) → 0, pero (xn) no tienesubsucesiones convergentes.
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Capıtulo 2
La Ecuacion Generalizada deKadomsev-Peviashvili
La ecuacion KdV es el modelo fısico mas importante utilizado para describir la propa-gacion en la direccion positiva del eje x de ondas unidimensionales de pequena amplitudy gran elongacion en medios dispersivos ([7]). Una de las formas mas estudiadas de laecuacion (KdV) es
wt + wxxx + (f(w))x = 0. (2.1)
La ecuacion KP es una generalizacion dos dimensional de la ecuacion KdV, utilizadapara describir la propagacion de ondas dos dimensionales de pequena amplitud y granelongacion en medios dispersivos, las cuales se desplazan mas debilmente en la direcciondel eje y (es decir, dichas ondas son esencialmente unidimensionales). La ecuacion (KP)se puede escribir en la siguiente forma
wt + wxxx + (f(w))x = D−1x wyy (2.2)
donde D−1x es el operador definido como
D−1x h(x, y) :=
∫ x
−∞h(s, y)ds,
La ecuacion KP fue propuesta en 1970 por Boris B. Kadomtsev y V.I Petviashvili (ver[6]).
Este capıtulo esta dedicado a la existencia de soluciones para la ecuacion (2.2) de laforma w(t, x, y) = u(x − ct, y) con c > 0 fijo. c se denomina la velocidad de la onda.Estas soluciones son llamadas ondas viajeras de velocidad c. Para ampliar la informacionacerca de la ecuacion KP, sus soluciones y las relaciones con la fısica se puede consultar‘The KP Page’ en la direccion http://www.amath.washington.edu/∼ bernard/kp.html.Para estudiar la ecuacion de ondas viajeras, supongamos que w(t, x, y) = u(z, y), conz(x, t) = x− ct y c > 0 fijo. Reemplazamos u en (2.2), obtenemos que
wt = uzzt = −cuz, wx = uzzx = uz, wxx = uzz, wxxx = uzzz, wyy(x, y, t) = uyy(z, t)
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y ademas,
(f(w))x = f(u(z, y))x = fuuzzx = (f(u))z, D−1x wyy = D−1
z uyy.
Ası (2.2) equivale a la ecuacion
−cux + uxxx + (f(u))x −D−1x (uyy) = (−cu+ uxx + f(u)−D−2
x (uyy))x = 0,
con D−2x h(x, y) =
∫ x
−∞D−1s h(s, y)ds.
En adelante escribiremos la ecuacion de la onda viajera para la ecuacion (KP) de lasiguiente forma
(−uxx +D−2x uyy + cu− f(u))x = 0 (2.3)
Antes de presentar la demostracion de la existencia de ondas solitarias para la ecuacion(KP ) en la forma (2.3), determinaremos los espacios y algunos los resultados de analisisnecesarios en la discusion.
2.1. Espacios Funcionales y Resultados de Conver-
gencia
En esta seccion definiremos los espacios apropiados para buscar soluciones, y enuncia-remos los resultados del Analisis mas importantes que se requieren, completando losdetalles de algunas demostraciones.
Definicion 2.1.1. Sea C∞0 (R2) el espacio de lasfunciones infinitamente diferenciablescon soporte compacto en R2. Definimos el espacio Y como
Y = {gx : g ∈ C∞0 (R2)}.
Para c > 0 fijo, definimos en Y el producto interno
(u, v)Y :=
∫R2
(uxvx +D−1x uyD
−1x vy + cuv) dx dy, (2.4)
y la norma correspondiente
‖u‖Y :=
(∫R2
(u2x + (D−1
x uy)2 + cu2) dx dy
) 12
.
Definicion 2.1.2. (Completacion de Y)Sea X la completacion de Y , es decir u : R2 → R pertenece a X si existe (un) ⊂ Y talquea) un → u a.e sobre R2
b) ‖uj − uk‖Y → 0, j, k →∞X es un espacio de Hilbert con el producto interno 2.4.
19
El primer resultado relevante en la discusion es que X ⊂ Ln(R2) para 2 ≤ n ≤ 6 escontinuo. Mas aun, este encaje es localmente compacto para 1 ≤ n < 6. En este trabajopresentaremos solo una demostracion del primer resultado, la cual no esta contenida enla referencia basica ([1]). La demostracion de la segunda parte puede verse en [8].
Teorema 2.1.3. Para 2 ≤ n ≤ 6 el siguiente encaje es continuo
X ⊂ Ln(R2).
Para 1 ≤ p < 6 el siguiente encaje es compacto
X ⊂ Lploc(R
2).
Demostracion. Mostraremos que existe una constante k tal que
‖u‖n ≤ k ‖u‖X .
Consideremos la representacion en transformada de Fourier de u, ux, y D−1x uy
u =
∫u(p, q)eipx+iqydpdq
ux =
∫ux(p, q)e
ipx+iqydpdq
D−1x uy =
∫D−1
x uy(p, q)eipx+iqydpdq.
Recordemos que el Teorema de Plancherel establece que ‖f‖2 = ‖f‖2. Entonces,∫|u|2dxdy =
∫|u|2dpdq ,∫
|ux|2dxdy =
∫|ux|2dpdq y∫
|D−1x uy|2dxdy =
∫|D−1
x uy|2 dp dq.
Para 0 ≤ α ≤ 1, p, q 6= 0 tenemos
u(p, q) = α
∫e−ipx−iqyu(x, y)dxdy + (1− α)
∫e−ipx−iqyu(x, y)dxdy
integrando por partes
u(p, q) = α
(−∫e−ipx−iqy
−ipux(x, y)dxdy
)+ (1− α)
(−∫e−ipx−iqy
−iquy(x, y)dxdy
)
=α
ip
∫e−ipx−iqyux(x, y)dxdy +
(1− α)
iq
(−∫−ip(e−ipx−iqy)D−1
x uy(x, y)dxdy
)
20
entonces
|u(p, q)| ≤ α
|p||ux(p, q)|+
(1− α)|p||q|
|D−1x uy(p, q)|,
equivalente a
|u(p, q)| ≤⟨(
α
|p|,(1− α)|p|
|q|
), (|ux|, |D−1
x uy|)⟩,
como 〈(a, b), (c, d)〉 ≤√a2 + b2
√c2 + d2 tenemos que
|u(p, q)| ≤
√(α
|p|
)2
+
((1− α)|p|
|q|
)2 √|ux|2 + |D−1
x uy|2. (2.5)
Sea α = p2
|q|+p2 entonces(α
|p|
)2
+
((1− α)|p|
|q|
)2
=
(p2
(|q|+ p2)|p|
)2
+
[(1− p2
|q|+ p2
)|p||q|
]2
.
Lo anterior es equivalente a(p
|q|+ p2
)2
+
(|p|
|q|+ p2
)2
= 2
(p
|q|+ p2
)2
reemplazando en 2.5 obtenemos
|u(p, q)| ≤√
2|p||q|+ p2
(√|ux|2 + |D−1
x uy|2)
|u(p, q)|m ≤
( √2|p|
|q|+ p2
)m
(|ux|2 + |D−1x uy|2)
m2 .
Aplicando la desigualdad de Holder
∫p2+q2≥1
|u|mdpdq ≤∫
p2+q2≥1
( √2|p|
|q|+ p2
)m
(|ux|2 + |D−1x uy|2)
m2 dpdq
≤
∫
p2+q2≥1
[( √2|p|
|q|+ p2
)m] 22−m
dpdq
2−m
2 {∫ [(|ux|2 + |D−1
x uy|2)m2
] 2mdpdq
}m2
≤
∫p2+q2≥1
( √2|p|
|q|+ p2
) 2m2−m
dpdq
2−m
2 (∫p2+q2≥1
(|ux|2 + |D−1x uy|2)dpdq
)m2
.
21
Resta verificar que∫
p2+q2≥1
( √2|p|
|q|+p2
) 2m2−m
dpdq es finito para algun m.
Dividamos la region de la siguiente forma, considerando solo el semiplano superior:
Sea R1 = {(p, q) : −∞ ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞} y β = 2m2−m
+ 1 entonces
∫ ∞
−∞
∫ ∞
1
(p
q + p2
)β−1
dqdp =
∫ ∞
−∞pβ−1
(−(1 + p2)−β+2
−β + 2
)dp
=−1
−β + 2
∫ ∞
−∞pβ−1
(1 + p2
)−β+2dp
≤ −1
−β + 2
∫ ∞
−∞pβ−1p−2β+4
≤ −1
−β + 2
∫ ∞
−∞p−β+3dp =
−1
(−β + 2)(−β + 4)
(p−β+4
)∞−∞
que existe siempre que −β + 4 < 0 y β 6= 2.Sea R2 = {(p, q) : 1 ≤ p ≤ ∞, 0 ≤ q ≤ 1} entonces
∫ ∞
1
∫ 1
0
pβ−1
(q + p2)β−1dqdp =
∫ ∞
1
pβ−1
∫ 1
0
1
(q + p2)β−1dqdp
=1
β − 2
∫ ∞
1
(pβ−1
1 + p2− pβ−1
p2β−4
)dp.
Usando que∫|f − g| ≤
∫|f |+
∫|g| y 1 + p2 < p2 se obtiene
∫ 1
0
∫ ∞
1
∣∣∣∣ pβ−1
(q + p2)β−1
∣∣∣∣ dpdq ≤ ∣∣∣∣ 1
β − 2
∣∣∣∣ ∫ ∞
1
∣∣∣∣ pβ−1
(1 + p2)β−2
∣∣∣∣ dp+
∫ ∞
1
|p−β+3|dp
≤∣∣∣∣ 1
β − 1
∣∣∣∣ 2∫ ∞
1
|p−β+3|dp =
∣∣∣∣ 1
β − 1
∣∣∣∣ 2
−β + 4(p−β+4)∞1
que existe siempre que −β + 4 < 0 y β 6= 2.
Sea R′2 = {(p, q) : −∞ ≤ p ≤ −1, 0 ≤ q ≤ 1}, entonces analogamente como semostro en la region anterior se tiene −β + 4 < 0 y β 6= 2.
22
Definamos finalmente las regiones R3 = {(p, q) : 0 < p < 1, 0 < q < 1, p2 + q2 ≥ 1} y
R′3 = {(p, q) : −1 < p < 0,−1 < q < 0, p2 +q2 ≥ 1}. Entonces∫
p2+q2≥1
( √2|p|
|q|+p2
) 2m2−m
dpdq
existe, ya que R3 y R′3 son compactos y la funcion pq+p2 es continua.
De los resultados obtenidos al integrar sobre cada region concluimos que para 65≤ m ≤ 2
c1 =
∫p2+q2≥1
( √2|p|
|q|+ p2
) 2m2−m
dpdq,
es finita.Tambien concluimos que∫
p2+q2≥1
|u|mdpdq ≤ C1
(∫R2
|ux|2 + |D−1x uy|2dpdq
)m2
. (2.6)
Consideramos ahora∫
p2+q2<1|u|mdpdq y apliquemos la desigualdad de Holder∫
p2+q2<1
1 · |u|mdpdq ≤(∫
p2+q2<1
1 dpdq
) 2−m2(∫
p2+q2<1
(|u|m)2mdpdq
)m2
(2.7)∫p2+q2<1
|u|mdpdq ≤ C2
(∫p2+q2<1
|u|2dpdq)m
2
≤ C2
(∫R2
|u|2dpdq)m
2
. (2.8)
Denotemos∫
R2 =∫
y sumemos (2.6) y (2.8)∫|u|mdpdq ≤ C1
(∫|ux|2 + |D−1
x uy|2dpdq)m
2
+ C2
(∫|u|2dpdq
)m2
≤ C1
(∫|ux|2 + |D−1
x uy|2 + |u|2dpdq)m
2
.
Por el teorema de Hausdorff-Young [5], para 1n
+ 1m
= 1 tenemos que(∫|u|ndxdy
) 1n
≤ k
(∫|u|m
) 1m
.
Por lo tanto, como 65≤ m ≤ 2, n(m) = m
m−1decrece, n(2) = 2 , n(6
5) = 6 entonces
2 ≤ n ≤ 6 y
(∫|u|ndxdy
) 1n
≤ k
(∫|u|m
) 1m
≤ k
[(∫|ux|2 + |D−1
x uy|2 + |u|2dpdq)m
2
] 1m
≤ k
(∫|ux|2 + |D−1
x uy|2 + |u|2dxdy) 1
2
23
�
Utilizando el anterior encaje continuo y la desigualdad de Holder obtenemos un resul-tado que garantiza la convergencia a cero en Ls(R2) de sucesiones en el espacio X.
Lema 2.1.4. Si (un) es acotada en X y si
sup(x,y)∈R2
∫B(x,y;r)
|un|2dxdy → 0, n→∞
entonces un → 0 en Ls(R2) para 2 < s < 6.
Demostracion. Sea 2 < s < 6 y u ∈ X, y escribamos∫B(x,y;r)
|u|sdxdy =
∫B(x,y;r)
|u|α|u|βdxdy, con α+ β = s
usando la desigualdad de Holder∫B(x,y;r)
|u|sdxdy ≤(∫
B(x,y;r)
|u|αpdxdy
) 1p(∫
B(x,y;r)
|u|βqdxdy
) 1q
, con1
p+
1
q= 1.
Sea p = 2α, q = 2
(2−α)y βq = 6 entonces∫
B(x,y;r)
|u|sdxdy ≤(∫
B(x,y;r)
|u|2dxdy)α
2(∫
B(x,y;r)
|u|6dxdy)6 1
62−α
2
luego
‖u‖Ls(B(x,y;r)) ≤(∫
B(x,y;r)
|u|2dxdy) α
2s(∫
B(x,y;r)
|u|6dxdy)6 1
62−α2s
pero α+ β = s, β = 6q
y q = 22−α
entonces α = 6−s2
, asi
‖u‖Ls(B(x,y;r)) ≤(∫
B(x,y;r)
|u|2dxdy) 6−s
2s12(∫
B(x,y;r)
|u|6dxdy) 3(s−2)
2s16
.
Escogemos λ = 3s−62s
y 1− λ = 6−s2s
con lo que
‖u‖Ls(B(x,y,r)) ≤ C‖u‖1−λL2(B(x,y,r))‖u‖
λL6(B(x,y,r)).
Usando el teorema (2.1.3) ‖u‖Ls(R2) ≤ k‖u‖X para 2 ≤ s ≤ 6, entonces
‖u‖Ls(B(x,y;r)) ≤ C0‖u‖1−λL2(B(x,y;r))‖u‖
λX ,
es decir
24
∫B(x,y;r)
|u|sdxdy ≤ Cs0‖u‖
(1−λ)s
L2(B(x,y;r))
(∫B(x,y;r)
(u2x + (D−1
x uy)2 + cu2)dxdy
) sλ2
,
ahora escogemos λ = 2s, para obtener∫
B(x,y;r)
|u|sdxdy ≤ Cs0‖u‖
(1−λ)s
L2(B(x,y;r))
∫B(x,y;r)
(u2x + (D−1
x uy)2 + cu2)dxdy.
Ahora, cubriendo R2 con bolas de radio r tal que cada punto en R2 este a lo mas entres bolas, y considerando que
‖u‖(1−λ)sL2(B(x,y;r)) ≤ sup
(x,y)∈R2
(∫B(x,y;r)
|u|2dxdy) (1−λ)s
2
se obtiene∫R2
|u|sdxdy ≤ 3Cs0 sup
(x,y)∈R2
(∫R2
|u|2dxdy) (1−λ)s
2∫
R2
(u2x + (D−1
x uy)2 + cu2)dxdy.
Equivalente a ∫R2
|un|sdxdy ≤ 3Cs0 sup
(x,y)∈R2
(∫R2
|un|2dxdy) (1−λ)s
2
‖un‖2X ,
pero sabemos que (un) es acotada en X y que para 2 < s < 6
sup(x,y)∈R2
(∫R2
|un|2dxdy) (1−λ)s
2
→ 0, n→∞
Entonces, para 2 < s < 6∫R2
|un|sdxdy → 0, es decir ‖un‖2Ls(R2) → 0.
�
Con el fin de justificar la formulacion variacional del problema de la existencia de ondasviajeras, es necesario verificar que ∂yD
−1u(x, y) = D−1∂yu(x, y),
Lema 2.1.5. Para u ∈ Y definimos
F (x, y) =
∫ x
−∞u(s, y)ds, G(x, y) =
∫ x
−∞uy(s, y)ds.
Entonces, G satisface que Fy(x, y) = G(x, y).
25
Demostracion. Verifiquemos que para x fijo
lımr→0
|G(x, y + r)−G(x, y)| = 0.
Para esto usaremos que el soporte de uyy esta contenido en alguna caja de la forma[α,∞]× [α,∞] y que ‖uyy‖∞ = supR2 |v(z)| = M.∣∣∣∣∫ x
−∞[uy(s, y + r)− uy(s, y)]ds
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ x
−∞
(∫ r
0
uyy(s, y + t)dt
)ds
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫ r
0
(∫ x
−∞uyy(s, y + t)ds
)dt
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫ r
0
(∫ x
α
uyy(s, y + t)ds
)dt
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫ r
0
(x− α)‖uyy‖∞ dt
∣∣∣∣ = M |x− α||r|.
Tomando limite cuando r → 0 concluimos lo deseado.Mostremos ahora que Fy(x, y) = G(x, y). Sea x ∈ R fijo y ε > 0, como G es continuaescogemos δ tal que |s| < δ implique |G(x, y + s)−G(x, y)| < ε. Entonces para |h| < δtenemos∣∣∣∣F (x, y + h)− F (x, y)
h−G(x, y)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ x
−∞
(u(s, y + h)− u(s, y)
h− uy(s, y)
)ds
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫ x
−∞
[(1
h
∫ h
0
uy(s, y + t)dt
)− uy(s, y)
]ds
∣∣∣∣=
∣∣∣∣1h∫ h
0
(∫ x
−∞uy(s, y + t)ds
)dt−
∫ x
−∞uy(s, y)ds
∣∣∣∣=
∣∣∣∣1h∫ h
0
∫ x
−∞uy(s, y + t)dsdt− 1
h
∫ h
0
∫ x
−∞uy(s, y)dsdt
∣∣∣∣=
∣∣∣∣1h∫ h
0
(∫ x
−∞uy(s, y + t)ds−
∫ x
−∞uy(s, y)ds
)dt
∣∣∣∣=
∣∣∣∣1h∫ h
0
[G(x, y + t)−G(x, y)]dt
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣1h∫ h
0
ε
∣∣∣∣ = ε (|h| < δ)
Por lo tanto, Fy(x, y) = G(y). �
26
2.2. Existencia de Ondas Solitarias
En esta seccion presentaremos una demostracion de la existencia de ondas viajeras deenergıa finita para la ecuacion (KP ), en la forma (2.3) y en el espacio X; estas solu-ciones son llamadas ondas solitarias. Empezamos escribiendo el problema de la formaϕ′(u) = 0 y formulando la version debil. Despues, mostraremos que la funcional ϕsatisface las hipotesis del Teorema de Paso de Montana (1.2.1). Por lo tanto, tendremosuncandidato d a ser valor crıtico y una sucesion tipo (PS) en el nivel d. Finalmente,haremos uso de la condicion de compacidad local (2.1.3) para demostrar la convergen-cia de alguna subsucesion modificada (despues de una traslacion) a algun v ∈ X, estepunto v resulta ser una solucion debil del problema.
Consideremos para c > 0 es fijo el problema
(P )
{(−uxx +D−2
x uyy + cu− f(u))x = 0,
u ∈ X.
Denotemos con F a la antiderivada de f ,
F (u) =
∫ u
0
f(s) ds
y supongamos que
(f1) f ∈ C(R,R), f(0) = 0 y para algun p tal que 3 < p < 6, c0 > 0
|f ′(u)| < c0(|u|+ |u|p−2),
(f2) existe v ∈ X tal queF (λv)
λ2→∞, si λ→∞,
(f3) existe α > 2 tal que, para cada u ∈ R
αF (u) ≤ uf(u).
Con el fın de obtener la formulacion debil del problema supondremos que existe una solu-cion u suficientemente suave. Ahora multiplicamos la ecuacion (2.3) por v ∈ C∞
o (R2)e integramos ∫
R2
(−uxx +D−2x uyy + cu− f(u))vdxdy = 0.
Es decir ∫R2
(uxvx −D−1x uyyD
−1x v + cuv − f(u)v)dxdy = 0.
27
Por lo tanto, diremos que u ∈ X es una solucuion debil del problema (P ) si para todov ∈ X ∫
R2
(uxvx +D−1x uyD
−1x vy + cuv − f(u)v)dxdy = 0.
Las soluciones debiles de (P ) son puntos crıticos de la funcion ϕ definida sobre X como
ϕ(u) =
∫R2
(1
2(u2
x + (D−1x uy)
2 + cu2)− F (u)
)dxdy =
‖u‖2X
2−∫
R2
F (u)dxdy.
Para comprobar esto, mostraremos que la derivada direccional de ϕ en una direccion ves
〈∇ϕ(u), v〉 =
∫R2
(uxvx +D−1x uyD
−1x vy + cuv − f(u)v)dxdy.
Si ϕ1(u) =∫
R212(u2
x + cu2)dxdy entonces,
lımt→0
∫R2
12((u+ tv)2
x + c(u+ tv)2)dxdy −∫
R212(u2
x + cu2)dxdy
t
= lımt→0
∫R2(tuxvx + t2v2
x + ctuv + t2v2)dxdy
t
=
∫R2
uxvxdxdy +
∫R2
cuvdxdy.
Si ϕ2(u) =∫
R212(D−1
x uy)2dxdy entonces
lımt→0
∫R2
12[D−1
x (u+ tv)y]2dxdy −
∫R2
12(D−1
x uy)2dxdy
t
= lımt→0
∫R2(D
−1x uyD
−1x tvy + 1
2t2(D−1
x vy)2)dxdy
t
=
∫R2
D−1x uy D−1
x vydxdy.
Si ϕ3(u) = −∫
R2 F (u)dxdy, entonces
lımt→0
−∫
R2 F (u+ tv)dxdy +∫
R2 F (u)dxdy
t= −
∫R2
F ′(u) vdxdy = −∫
R2
f(u) vdxdy.
Finalmente, uniendo los tres pasos cuando ϕ(u) =∫
R212(u2
x+(D−1x uy)
2+cu2−F (u))dxdy,resulta
28
〈∇ϕ(u), v〉 =
∫R2
(uxvx +D−1x uyD
−1x vy + cuv − f(u)v)dxdy. (2.9)
Ahora mostraremos que ϕ satisface las hipotesis del Teorema de Paso de Montana(1.2.1).
Lema 2.2.1. Bajo las suposiciones (f1) y (f2) existe e ∈ X, r > 0 tal que ‖e‖ > r y
b = ınf‖u‖=r
ϕ(u) > ϕ(0) ≥ ϕ(e)
Demostracion. Empezaremos demostrando que b > 0 = ϕ(0). Integrando dos vecesf1 se tiene
F (u) ≤ c0
(|u|3
6+
|u|p
p(p− 1)
). (2.10)
Sea α+ β = 3 y tomemos
c06|u|3 =
[(2k
4α
)α2
|u|α][
c06|u|β
(2k
4α
)−α2
].
Entonces, de la desigualdad de Young (uv ≤ |u|γγ
+ |v|qq
, 1γ
+ 1q
= 1) obtenemos que
c06|u|3 ≤
((2k4α
)α2 |u|α
)γ
γ+
(c06|u|β
(2k4α
)−α2
)q
q
≤(
2k
4α
) γα2 |u|αγ
γ+cq06q
(2k
4α
)−αq2 |u|βq
q
escogiendo αγ = 2 y βq = p tenemos que
c06|u|3 ≤ 2k
4α
|u|2
γ+ c|u|p ≤ k|u|2
4+ c|u|p.
Es decir
c06|u|3 ≤ k|u|2
4+ c|u|p. (2.11)
Aplicando (2.10) en (2.11) se obtiene
F (u) ≤ k|u|2
4+ c|u|p +
c0p(p− 1)
|u|p.
En otras palabras
29
F (u) ≤ k|u|2
4+ c1|u|p.
Utilizando esta desigualdad,
ϕ(u) =‖u‖2
X
2−∫
R2
F (u)dxdy ≥ ‖u‖2X
2−∫
R2
(k|u|2
4+ c1|u|p
)dxdy
=‖u‖2
X
2−k‖u‖2
L2(R2)
4− c1
‖u‖pL2(Rp)
4.
Del Teorema (2.1.3), ‖u‖2Lp(R2) ≤ k′‖u‖2
X , y escogiendo k = 1k′
obtenemos que para2 < p < 6
ϕ(u) ≥ ‖u‖2X
2− ‖u‖2
X
4− c1‖u‖p
Lp(R2)
≥ ‖u‖2X
4− c1‖u‖p
Lp(R2)
≥ ‖u‖2X
4− c1‖u‖p
X .
Si tomamos ‖u‖X = r, concluimos que existe r > 0 tal que
ϕ(u) ≥ r2
4− c1r
p = r2
(1
4− c1r
p−1
)> 0
lo que implica que
b = ınf‖u‖X=r
ϕ(u) > 0 = ϕ(0).
Resta mostrar que existe e ∈ X, tal que ‖e‖X > r y ϕ(e) ≤ ϕ(0) ≤ 0. Para estoprobaremos que ϕ(λv) → −∞, λv →∞. En efecto,
ϕ(λv) =‖λv‖2
X
2−∫
R2
F (λv)dxdy = λ2‖v‖2X
2−∫
R2
F (λv)dxdy.
Ası,
ϕ(λv)
λ2=‖v‖2
X
2−∫
R2
F (λv)
λ2dxdy.
Utilizando (f2), existe un v ∈ X tal que F (λv)λ2 →∞, λ→∞. Por lo tanto,
30
ϕ(λv)
λ2→ −∞, λ→∞.
Como λ2 > 0 resulta ϕ(λv) → −∞, λ → ∞. Esto implica que existe λ > 0 tal quee = λv, ‖λv‖X > r, y ϕ(λv) ≤ ϕ(0) = 0.
�
Definamos
d = ınfγ∈Γ
maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)), Γ = {γ ∈ C([0, 1], X) : γ(0) = 0, γ(1) = e}.
Con el siguiente lema construiremos una sucesion tipo (PS) en el nivel d. Note que estelema se demuestra sin hacer uso de la condicion de compacidad local (2.1.3).
Lema 2.2.2. Bajo las suposiciones (f1) − (f2), tenemos que d ≥ b, y existe unasucesion (un) ⊂ X tal que
ϕ(un) → d, ∇ϕ(un) → 0
Demostracion.Para cada γ ∈ Γ, puesto que ‖γ(0)‖ = 0 y ‖γ(1)‖ = ‖e‖ > r, existe t0 ∈ [0, 1] tal que‖γ(t0)‖ = r, por lo tanto,
b = ınf‖u‖=r
ϕ(u) ≤ ϕ(γ(t0)) ≤ maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)).
De dondeb ≤ ınf
γ∈Γmaxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)) = d.
En resumen,
d ≥ b > ϕ(0) ≥ ϕ(e).
Usando el Teorema de Paso de Montana (1.2.1), para todo ε > 0 existe u ∈ X, tal qued− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ d+ 2ε y ‖∇ϕ(u)‖ < 2ε, tomando ε = 1
nexiste un ∈ X tal que
d− 2
n≤ ϕ(un) ≤ d+
2
n, − 2
n< ∇ϕ(un) <
2
n.
Es decirϕ(un) → d, y ∇ϕ(un) → 0.
�
Finalmente usaremos la condicion de compacidad local (2.1.3) para demostrar la exis-tencia de soluciones no nulas para el problema (P ).
Teorema 2.2.3. Bajo las suposiciones (f1) − (f3), tenemos que el problema (P ) tienesolucion no nula.
31
Demostracion. Primero, mostraremos que si (un) es la sucesion del lema anteriorentonces (un) es acotada en X. Puesto que ϕ(un) → d existe n tal que d+ 1 ≥ ϕ(un).Ademas
|〈∇ϕ(un), un〉| ≤ ‖∇ϕ(un)‖‖un‖X ,∇ϕ(un) → 0.
Supongamos que ‖un‖X →∞, entonces, para algun n y un α > 2
‖un‖X ≥ −α−1〈∇ϕ(un), un〉.
Por lo tantod+ 1 + ‖un‖X ≥ ϕ(un)− α−1〈∇ϕ(un), un〉.
Usando la ecuacion (2.9) se obtiene que
ϕ(un)− α−1〈∇ϕ(un), un〉 = ϕ(un)− α−1
∫R2
(u2
nx− (D−1
x uny)2 + cu2
n − unf(un))dxdy
=‖un‖2
X
2−∫
R2
F (u)dxdy − α−1
(‖un‖2
X −∫
R2
unf(un)dxdy
)
=
(1
2− 1
α
)‖un‖2
X +
∫R2
(α−1unf(un)− F (un))dxdy.
(2.12)
Por la suposicion (f3), existe α > 2 tal que
α−1unf(un)− F (un) > 0.
Entonces se tiene que
d+ 1 + ‖u‖X ≥(
1
2− 1
α
)‖un‖2
X
o equivalentemented+ 1
‖un‖2X
+1
‖un‖X
≥(
1
2− 1
α
)> 0.
Finalmente, si (un) no es acotada en X
d+ 1
‖un‖2X
+1
‖un‖X
→ 0, n→∞
lo que es una contradiccion.Segundo, mostraremos que
δ = lımn→∞
sup(x,y)∈R2
∫B(x,y;1)
|un|2dxdy > 0.
32
Supongamos que δ = 0. Entonces del Lema (2.1.4), tenemos que un → 0 en Lp(R2)para 2 < p < 6. Como ∇ϕ(un) → 0, ‖un‖X es acotada en X y
|〈∇ϕ(un), un〉| ≤ ‖∇ϕ(un)‖‖un‖X
entonces
|〈∇ϕ(un), un〉| → 0, n→∞.
Ademasd = lım
n→∞ϕ(un) > ϕ(0) = 0.
De donde
d = lımn→∞
(ϕ(un)− 1
2〈ϕ(un), un〉
).
Usando (2.12) con α = 2 tenemos
d = lımn→∞
∫R2
(1
2unf(un)− F (un)
)dxdy.
Ahora vamos a mostrar que este limite es 0.De la suposicion (f1), para algun 3 < p < 6 tenemos que
|f ′(u)| ≤ c0(|u|+ |u|p−2), (2.13)
entonces
|unf(un)| ≤ c0
(|un|3
2+|un|p
p− 1
),
por lo tanto, ∫R2
|unf(un)|dxdy ≤ c0
∫R2
|un|3
2dxdy + c0
∫R2
|un|p
p− 1dxdy.
Pero
c0
∫R2
|un|3
2dxdy → 0 y c0
∫R2
|un|p
p− 1dxdy → 0, n→∞
ya que un → 0 en Lp(R2), 2 < p < 6. Entonces,∫R2
|unf(un)|dxdy → 0, n→∞
Por otro lado, usando (2.13) tenemos∣∣∣∣∫R2
F (un)dxdy
∣∣∣∣ ≤ c0
(∫R2
|un|3
6dxdy +
∫R2
|un|p
p(p− 1)dxdy
)entonces
33
∣∣∣∣∫R2
F (un)dxdy
∣∣∣∣→ 0, n→∞
Con esto hemos demostrado que
d = lımn→∞
∫R2
(1
2unf(un)− F (un)
)dxdy = 0.
Tercero, vamos a escoger una subsucesion de (un) tal que despues de una traslacionconverja debilmente a una funcion no nula v ∈ X.Tomando si es necesario una subsucesion un (denotada igual), por la definicion de δexiste (xn, yn) ⊂ R2 tal que ∫
B(xn,yn;1)
|un|2dxdy >δ
2,
ahora definamos vn(x, y) = un(x+ xn, y+ yn). Esta nueva sucesion vn es una traslacionde un; por lo tanto, es acotada en X, ∇ϕ(vn) → 0 en X ′, ϕ(vn) → d y∫
B(xn,yn;1)
|un(x, y)|2dxdy =
∫B(xn−xn,yn−yn;1)
|un(x+ xn, y + yn)|2dxdy∫B(0,0;1)
|vn|2dxdy >δ
2> 0. (2.14)
Como vn es acotada en X y X es un espacio de Hilbert, existe una subsucesion (de-notada igual) (vn) ⊂ X tal que vn ⇀ v en X debilmente. Del Teorema (2,1,4) Xesta encajado compactamente en L2
loc(R2). Entonces vn → v en L2loc(R2).
La desigualdad (2.14) implica que v 6= 0.
Resta demostrar que 〈∇ϕ(v), z〉 = 0 para todo z ∈ X.Tomemos w ∈ Y y demostremos que
〈∇ϕ(v), w〉 = lımn→∞
〈∇ϕ(vn), w〉 = 0.
Como vn ⇀ v en X, entonces (vn, w)X → (v, w)X . Es decir,
lımn→∞
∫R2
(vnxwx +D−1x vnyD
−1x wy + cvnw)dxdy =
∫R2
(vxwx +D−1x vyD
−1x wy + cvw)dxdy.
34
Entonces
〈∇ϕ(v), w〉 =
∫R2
((vxwx +D−1x vyD
−1x wy + cvw)− f(v)w)dxdy
= lımn→∞
∫R2
(vnxwx +D−1x vnyD
−1x wy + cvnw)dxdy − lım
n→∞
∫R2
f(v)wdxdy
= lımn→∞
∫R2
(vnxwx +D−1x vnyD
−1x wy + cvnw − f(vn)w + f(vn)w − f(v)w)dxdy
= lımn→∞
〈∇ϕ(vn), w〉+ lımn→∞
∫R2
(f(vn)w − f(v)w)dxdy
Vamos ahora a demostrar que lımn→∞
∫R2
(f(vn)w − f(v)w)dxdy = 0.
Usando el Teorema del Valor Medio
|f(vn)− f(v)| ≤ supξ∈[v,vn]
|f ′(ξ)||v − vn|
≤ c0 supξ∈[v,vn]
(|ξ|+ |ξ|p−2)|v − vn| (por (f1))
≤ c0(|v|+ |vn|+ (|v|+ |vn|)p−2)|v − vn|
≤ c1(|v|+ |vn|+ |v|p−2 + |vn|p−2)|v − vn|.
La ultima desigualdad y el hecho que w ∈ Y ⊂ C∞0 (R2) implican que∫R2
|f(vn)w − f(v)w|dxdy ≤∫
R2
c1(|v|+ |vn|+ |v|p−2 + |vn|p−2)|v − vn||w|dxdy
≤ c1 sup(x,y)∈R2
|w|∫
R2
(|v|+ |vn|+ |v|p−2 + |vn|p−2)|v − vn|dxdy.
Ahora usaremos que el soporte de las funciones es compacto, ası podemos calcular lasintegrales sobre un conjunto compacto K y usar el encaje compacto de X en Lp
loc(R2)para 1 ≤ p < 6. Calculemos el limite de la integral dividiendola en cuatro partes.Para la primera integral tenemos∫
K
|v||v − vn|dxdy ≤(∫
K
|v|2dxdy) 1
2(∫
K
|v − vn|2dxdy) 1
2
.
35
El primer factor existe ya que v ∈ X y el segundo factor tiende a cero, ya que vn → ven L2
loc(R2). Por lo tanto ∫K
|v||v − vn|dxdy → 0, n→∞.
Para la segunda integral tenemos∫K
|vn||v − vn|dxdy ≤(∫
K
|vn|2dxdy) 1
2(∫
K
|v − vn|2dxdy) 1
2
.
El primer factor tiende a(∫
K|v|2dxdy
) 12 y el segundo factor tiende a cero, ya que vn → v
en L2loc(R2). Por lo tanto ∫
K
|vn||v − vn|dxdy → 0, n→∞.
Para la tercera integral, si 1q
+ 1r
= 1 entonces∫K
|v|p−2|v − vn|dxdy ≤(∫
K
|v|(p−2)qdxdy
) 1q(∫
K
|v − vn|rdxdy) 1
r
.
Escogemos r = p− 1 y q = p−1p−2
entonces∫K
|v|p−2|v − vn|dxdy ≤(∫
K
|v|(p−1)dxdy
) p−2p−1(∫
K
|v − vn|p−1dxdy
) 1p−1
.
El primer factor existe ya que v ∈ X y el segundo factor tiende a cero, ya que vn → ven Lp−1
loc (R2). Por lo tanto∫K
|v|p−2|v − vn|dxdy → 0, n→∞.
Para la ultima integral, analogamente obtenemos∫K
|vn|p−2|v − vn|dxdy ≤(∫
K
|vn|(p−1)dxdy
) p−2p−1(∫
K
|v − vn|p−1dxdy
) 1p−1
.
El primer factor tiende a(∫
K|v|(p−1)dxdy
) p−2p−1 y el segundo factor tiende a cero, ya que
vn → v en Lp−1loc (R2). Por lo tanto∫
K
|vn||v − vn|dxdy → 0, n→∞.
Uniendo las cuatro integrales y usando que
〈∇ϕ(vn), w〉 ≤ ‖∇ϕ(vn)‖‖w‖ → 0
36
concluimos lo deseado.
Finalmente, tomemos w ∈ X y demostremos que
〈∇ϕ(v), w〉 = 0.
Existe (wj) ⊂ Y tal que ‖w − wj‖Y → 0 y
〈∇ϕ(v), w〉 = 〈∇ϕ(v), wj〉+ 〈∇ϕ(v), w − wj〉,
pero
〈∇ϕ(v), wj〉 → 0, ya que wj ∈ Y y 〈∇ϕ(v), w − wj〉 ≤ ‖∇ϕ(v)‖‖w − wj‖ → 0
por lo tanto
lımn→∞
〈∇ϕ(vn), w〉 = 〈∇ϕ(v), w〉 = 0 para todo w ∈ X.
�
37
Conclusiones
Cuando tenemos un problema de la forma Au = 0, con A : X → Y una funcion entredos espacios de Banach, para el cual existe una funcional diferenciable ϕ : X → Y = X ′
tal que A = ∇ϕ; entonces puntos crıticos de ϕ son soluciones del problema. Una al-ternativa para resolver este tipo de problemas, cuando no sabemos si la funcional es(PS)d es usar el Teorema de Paso de Montana para construir un candidato d a valorcrıtico y una sucesion (un) tal que, ϕ(un) → d y ∇ϕ(un) → 0. Si la funcional cumplela condicion (PS)d; el valor d construido es en realidad un valor crıtico.
En el caso de la existencia de ondas solitarias para la ecuacion generalizada KP ; noes necesario saber si la funcional es (PS)d, y podemos usar el metodo anterior paraconstruir el candidato a valor crıtico d y la sucesion (un). Ademas, al trabajar en unespacio de Hilbert contamos al menos con convergencia debil, y al agregar una condicionde compacidad local tenemos convergencia fuerte de alguna subsusecion modificada de(un) a algun v ∈ X; este punto v es una solucion debil del problema.
Bibliografıa
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39