7/23/2019 Exitacin Impulsiva

1/5

1

Funcin de excitacin no peridica en sistemas lineales de un grado delibertad

Primeramente estudiaremos un ejemplo simple. Un sistema de un grado delibertad, es sacado de su posicin de equilibrio mediante un impulso J.

Este proceso puede ser descrito mediante la siguiente ecuacin diferencial:

)t(f)tt(m

JqqDq * ==++ 2002 &&& (1)

Donde representa la funcin de Dirac, que aqu tiene la dimensin [T-1].

La solucin de este problema se realizara utilizando las siguientesconsideraciones:

1.) Para t = t

el sistema se encuentra en reposo2.) Para t = t el sistema recibe un impulso J que le proporciona una velocidad

inicial =

q&m

J

3.) Para t >t, el sistema realiza vibraciones libres, con las siguientes condicionesiniciales:

m

Jqqtt === &;0:

Con estas condiciones iniciales obtenemos la siguiente respuesta

t

7/23/2019 Exitacin Impulsiva

2/5

2

Este resultado nos ayuda a desarrollar la solucin para un caso general de

excitacin no peridica ( D

7/23/2019 Exitacin Impulsiva

3/5

3

La ecuacin anterior se conoce como la integral de Duhamel (o tambin deconvolucin). Dicha ecuacin representa la solucin particular de la ecuacin

diferencial inhomogenea con excitacin arbitraria f(t),la cual se puede comprobarinmediatamente introduciendo dicha solucin en la ecuacin diferencial, tambin

tiene validez para el caso que D = 0.Si el sistema no se encuentra en reposo para t = 0, entonces hay unasuperposicin de la integral de Duhamel a la solucin libre con las respectivascondiciones iniciales.

Como ejemplo de aplicacin del mtodo, tomaremos el caso de que el sistema es

excitado mediante una carga de tipo escaln con una magnitud para t = 0

segn la figura adjunta. Este tipo de carga puede ser descrita formalmentemediante la funcin de Heavidems conocida coma la funcin escaln o funcinunitaria , dichafuncin est definida de la siguiente forma:

0f

)(xI

>

7/23/2019 Exitacin Impulsiva

4/5

4

=

dt)t(I))tt(D(seneD

f)t(q

t

)tt(D 2

0

02

0

0 11

0 (7)

)))tD(senD

D)tD(cos(e(

f)t(q

tD 2

02

2

02

0

0 11

11 0

+

=

(8)

Utilizando las propiedades de las funciones trigonomtricas obtenemos finalmentela solucin general del sistema vibratorio amortiguado de un grado de libertad

(D0 bajo la accin deuna carga constante. Por la tanto podemos obtener la siguiente identidad:

estq

tq

f

tq )()(

0

2

0 =

7/23/2019 Exitacin Impulsiva

5/5

5

La figura anterior representa la relacin de la deflexin q(t) con respecto a ladeflexin esttica qest.En la grfica identificamos que para un sistema sin amortiguamiento (D= 0) la

amplitud de vibracin es el doble de la deflexin esttica. La relacinestq

tq )( se

denomina tambin como la funcin de transicin, puesto que representa el paso auna nueva posicin de equilibrio.

Es obvio que la integral de Duhamel puede ser utilizada para funciones deexcitacin peridicas. Como ejemplo tomaremos el caso de una excitacinperidica con una frecuencia igual a la del sistema sin amortiguamiento (D = 0,

0= ). La ecuacin diferencial de movimiento es:

(10)tfqq 02

0 cos =+&&

La integral de Duhamelnos arroja como resultado la siguiente expresin

=t

dttttf

tq0

00

0

cos)(sen(

)(

(11)

ttsenftsentf

)t(q 000020 2

1

2

== (12)

Este resultado ya se encontr anteriormente realizando algunas abreviaciones,que con la integral de Duhamel no son necesarias.