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Kontaktmechanik
D. Anders
Inhaltsübersicht
Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
1
Lehrstuhl fürFestkörper-mechanik
Universität Siegen
Exkurs in die Grundlagen der
Kontaktmechanik
Dr.-Ing. Denis AndersSMS Siemag
Strukturanalysen und numerische Berechnungen
Lehrauftrag im Kurs Festigkeitslehre,18./21.01.2013
Kontaktmechanik
D. Anders
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Inhaltsübersicht
Einleitung – Annahmen und Voraussetzungen
Hertzscher Kontakt für ebene Probleme Punktförmige Belastung einer elastischen
Halbebene (Flamant-Lösung) Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.
Drucklasten Verformungszustand der Halbebene Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt für dreidimensionale Probleme Punktförmige Belastung des elastischen
Halbraumes (Boussinesq-Lösung) Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischer Körper Analytische Lösung vs. FEM
Kontaktmechanik
D. Anders
Inhaltsübersicht
Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
3
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Einleitung
Annahmen und Voraussetzungen (Hertzscher Kontakt)
Werden zwei elastische Körper mit gewölbter Oberfläche inRichtung ihrer Berührungsnormalen gegeneinander gedrückt,so verformen sich vorwiegend die Berührstellen der beidenKörper.Voraussetzungen für den Hertzschen Kontakt:
• linear-elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
• Reibungsfreiheit, keine Schubspannungen in derKontaktfläche
• kontinuierliche Berührflächen ohne Oberflächenfehler
• Kontaktfläche eben und klein gegenüber denAbmessungen der Körper
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Einleitung
Kontaktbereich
=⇒ Überführung des Kontaktproblems in denBelastungs-/Verformungszustand einer elastischenHalbebene (für ebene Probleme) bzw. des elastischenHalbraumes (für dreidimensionale Probleme)
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Die keilförmige Scheibe unter Last
Die untersuchte keilförmige Scheibe wird durch dieNormalkraft FL0, die Querkraft FQ0 sowie das Moment M0
belastet.
x
y
M0
FQ0
FL0α
αrϕ
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Halbebene unter einer Punktlast
Ansatz für die Airysche Spannungsfunktion Ψ:
Ψ = C1rϕ sinϕ+ C2rϕ cosϕ+ C3ϕ+ C4 sin 2ϕ (1)
Mit Hilfe der nachfolgenden Beziehungen für polareKoordinaten
σr = 1
r
∂Ψ
∂r+ 1
r2
∂2Ψ
∂ϕ2=
2C1
rcos ϕ− 2C2
rsin ϕ− 4C4
r2sin 2ϕ (2)
σϕ= ∂2Ψ
∂r2=0 (3)
τrϕ=− ∂∂r
(1
r
∂Ψ
∂ϕ
)=
C3
r2+
2C4
r2cos 2ϕ (4)
erhalten wir aus den Randbedingungen
σϕ(ϕ=±α)=0 (durch den bisherigen Ansatz bereits erfüllt)
τrϕ(ϕ=±α)=0 ⇔ C3
r2+
2C4
r2cos 2α=0 ⇔C3=−2C4 cos 2α. (5)
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
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elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
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Halbebene unter einer Punktlast
M0
FQ0
FL0
σrτrϕ
α
αrϕ
Die Gleichgewichtsbedingungen an diesem freigeschnittenenSegment liefern
∑
→= 0 : FL0 + d
∫ α
−α(τrϕ sinϕ− σr cosϕ) r dϕ = 0
∑
↓= 0 : FQ0 − d
∫ α
−α(τrϕ cosϕ+ σr sinϕ) r dϕ = 0
∑
M = 0 : M0 + d
∫ α
−ατrϕ r2 dϕ = 0
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Punktförmige Belastung des
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Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lösung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen folgt:
C1 =FL0
d (sin 2α+ 2α)
C2 =FQ0
d (sin 2α− 2α)
C4 =M0
d (4α cos 2α− 2 sin 2α)
⇒ C3 = −2C4 cos 2α =−M0 cos 2α
d (2α cos 2α− sin 2α)
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Halbebene unter einer Punktlast
Der Übergang zur Halbebene als ein Sonderfall derkeilförmigen Scheibe wird durch α = π
2 realisiert:
y
x
M0
FQ0
FL0
α = π2
α = π2
r
ϕ
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Starrer Stempel aufHalbebene
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Halbebene unter einer Punktlast
Für die Halbebene lauten die Integrationskonstanten:
C1 =FL0
dπ, C2 = −FQ0
dπ, C3 = −M0
dπ, C4 = − M0
2dπ.
Ist die Halbebene nur durch eine senkrechte Punktlast FL0
belastet, so erhalten wir für die Airysche Spannungsfunktion
Ψ =FL0
dπrϕ sinϕ
und die zugehörigen Spannungskomponenten
σr =2FL0 cosϕ
rdπ, σϕ = 0, τrϕ = 0.
Für eine auf die Halbebene wirkende Druckkraft erhält mananalog
Ψ = −FL0
dπrϕ sinϕ ⇒ σr = −2FL0 cosϕ
rdπ, σϕ = 0, τrϕ = 0.
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Punktförmige Belastung des
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Krümmungsverhältnisse in
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Halbebene unter veränderlicher Last
Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.Drucklasten
Transformation des bisherigen Ergebnisses mit Hilfe derBeziehungen
sinϕ =y
r, r =
√
x2 + y2 und ϕ = arctany
x
in kartesische Koordinaten
Ψ = −FL0
dπy arctan
y
x.
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Starrer Stempel aufHalbebene
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Krümmungsverhältnisse in
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Analytische Lösung vs.
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Halbebene unter veränderlicher Last
Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.Drucklasten
Die zugehörigen Spannungskomponenten in kartesischenKoordinaten errechnen sich aus den Relationen
σx =∂2Ψ
∂y2, σy =
∂2Ψ
∂x2, τxy = − ∂2Ψ
∂x∂y
und der Ableitungsbeziehung ddx
arctan x = 11+x2 zu
σx = −2FL0
dπ
x3
(x2 + y2)2 , σy = −2FL0
dπ
y2x
(x2 + y2)2 ,
τxy = −2FL0
dπ
yx2
(x2 + y2)2 .
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Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lösung vs.
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Halbebene unter veränderlicher Last
Über eine Koordinatentransformation y → η = y − u könnenwir einen Zustand beschreiben, in welchem eine DruckkraftFL im Abstand u vom Koordinatenursprung auf derHalbebenenoberfläche angreift. Damit verändert sich dieAirysche Spannungsfunktion zu
Ψ = −FL
dπη arctan
η
x= −FL0
dπ(y − u) arctan
y − u
x.
Nun kommt ein mathematischer Trick! Die Kraft Kraft FL
wird durch ein Produkt aus einer Linienlast q (u) und eineminfinitesimalen Linienelement du dargestellt. Eine Integrationüber die Kraftinkremente q (u) du entlang der Wirkungslinievon q liefert die resultierende Spannungsfunktion für einekontinuierliche Linienbelastung q (u) gemäß
Ψ = −∫ ∞
−∞
q (u)
dπ(y − u) arctan
y − u
xdu.
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Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
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Krümmungsverhältnisse in
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Halbebene unter veränderlicher Last
Skizze des Vorgehens
(a) (b)
du
yy
xxuu
ηFL q (u)
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Verformungszustand der Halbebene
Elastische Verformungen der Halbebene
Annahme eines ebenen Verformungszustandes (EVZ).Aus dem Hookeschen Gesetz folgt
εz = 0 ⇔ σz = ν (σx + σy)
Mit den zuvor berechneten Spannungen folgt für dieVerzerrung in x-Richtung
εx =∂ux
∂x=
1
E(σx − ν (σy + σz))
=1
E
((
1 − ν2)
σx − ν (1 + ν)σy
)
=1 + ν
E((1 − ν)σx − νσy)
= −2FL (1 + ν)
πdE
[
(1 − ν)x3
(x2 + y2)2 − νy2x
(x2 + y2)2
]
.
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Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lösung vs.
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Verformungszustand der Halbebene
Elastische Verformungen der Halbebene
Die Einsenkungslinie ux (y) der Halbebenenoberfläche folgtaus
ux (y) =
∫ t
0εx dx
= −2FL (1 + ν)
πdE
∫ t
0
[
(1 − ν)x3
(x2 + y2)2 − νy2x
(x2 + y2)2
]
dx
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Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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der Kontaktzone
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Verformungszustand der Halbebene
Elastische Verformungen der Halbebene
Substitution x2 + y2 = ξ2 liefert mit x dx = ξ dξ:
∫ t
0
x3
(x2 + y2)2 dx =
√t2+y2
∫
y
(ξ2 − y2
)ξ
ξ4dξ
=
√t2+y2
∫
y
dξ
ξ− y2
√t2+y2
∫
y
dξ
ξ3
= ln
√
1 +t2
y2− y2
2
[1
y2− 1
t2 + y2
]
y2∫ t
0
x
(x2 + y2)2 dx = y2
√t2+y2
∫
y
dξ
ξ3=
y2
2
[1
y2− 1
t2 + y2
]
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Verformungszustand der Halbebene
Elastische Verformungen der Halbebene
Da wir nur die nähere Umgebung der Lastangriffsstellebetrachten, können wir t
y≫ 1 voraussetzen. Mit dieser
Annahme vereinfachen sich die zuvor berechneten Ausdrückezu
y2∫ t
0
x
(x2 + y2)2 dx ≈ 1
2,
∫ t
0
x3
(x2 + y2)2 dx ≈ lnt
y− 1
2.
Somit ergibt sich insgesamt
ux (y) = −2FL (1 + ν)
πdE
[
(1 − ν) lnt
y− 1
2
]
und hieraus durch Differentiation
∂ux
∂y(y) = −2FL
(1 − ν2
)
πdE
1
y.
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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der Kontaktzone
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Verformungszustand der Halbebene
Elastische Verformungen der Halbebene
Analog zu der Herleitung der Airyschen Spannungsfunktionfür beliebige Zug- und Drucklasten in dem vorherigenAbschnitt führen wir eine Koordinatentransformationy → y − u durch, ersetzen FL durch q (u) · du undintegrieren über den Wirkungsbereich von q (u). Hierbeibeschränken wir uns der Einfachheit halber auf einesymmetrische Druckbelastung p (u) = q (u) /d auf demIntervall I = [−a, a].
∂ux
∂y(y) = −2
(1 − ν2
)
πdE
∫ a
−a
q (u)
y − udu
= −2(1 − ν2
)
πE
∫ a
−a
p (u)
y − udu.
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Verformungszustand der Halbebene
Elastische Verformungen der Halbebene
Unter der Annahme einer symmetrischen Druckverteilungp (u) = p (−u) folgt
∂ux
∂y(y) = −2
(1 − ν2
)
πE
∫ a
−a
p (u)
y − udu
= −2(1 − ν2
)
πE
[∫ 0
−a
p (u)
y − udu +
∫ a
0
p (u)
y − udu
]
= −2(1 − ν2
)
πE
[∫ a
0
p (−u)
y + udu +
∫ a
0
p (u)
y − udu
]
= −2(1 − ν2
)
πE
∫ a
0p (u)
[1
y + u+
1
y − u
]
du
= −4(1 − ν2
)
πEy
∫ a
0
p (u)
y2 − u2du.
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Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Starrer Stempel auf Halbebene
Eindrücken eines starren Stempels in eine elastischeHalbebene
Gesucht: Flächenpressung zwischen Stempel und Halbebene
a
a
y
xF0
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
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Starrer Stempel auf Halbebene
Eindrücken eines starren Stempels in eine elastischeHalbebene
Aufgrund der Starrheit des eingedrückten Stempels muss imKontaktbereich (−a < y < a) die Tangentenneigung derEinsenkungslinie ux (y) verschwinden. Somit folgt:
∂ux
∂y(y) = 0 ⇔
∫ a
0
p (u)
y2 − u2du = 0 für y2 < a2
a
a
y
xF0
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Starrer Stempel auf Halbebene
Eindrücken eines starren Stempels in eine elastischeHalbebene
In den Integraltafeln nach Gröbner-Hofreiter findet sich dasbestimmte Integral
∫ a
0
du
(y2 − u2)√
a2 − u2=
0 für y2 < a2,π
2 |y|√
y2 − a2für y2 > a2.
Damit erhält man für die allgemeine Darstellung derDruckverteilung
p (u) =C√
a2 − u2.
Die Integrationskonstante C drücken wir mitp (u = 0) = p0 = C
aals C = p0a aus.
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Starrer Stempel auf Halbebene
Eindrücken eines starren Stempels in eine elastischeHalbebene
Den Wert für p0 erhält man aus derGleichgewichtsbedingung der zur x-Achse parallelen Kräftegemäß
F0 =
∫ a
−ad · p (u) du = 2p0ad
∫ a
0
du√a2 − u2
= 2p0a
[
arcsinu
a
]a
0= 2p0ad
π
2= p0adπ
⇔ p0 =F0
πad
Damit ist der Druckverlauf vollständig bestimmt und es gilt
p (u) = p0a√
a2 − u2=
F0
dπ
1√a2 − u2
.
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Verformung der Halbebene
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Starrer Stempel auf Halbebene
Druckverteilung in der Kontaktzone
−1 −0.5 0 0.5 10
1
2
3
4
5
6
7
u/a
p
p0
∞∞
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Als ein Beispiel für den Hertzschen Kontakt im ebenenSpannungs- oder Verzerrungszustand betrachten wir denKontakt zweier Scheiben (der Dicke d).Gesucht: Druckverteilung und Größe der Abplattung
R1
R2a1 a2
√
R21 − y2
1
y1 F0F0
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Krümmungsverhältnisse in
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FEM
8
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Eine genauere Betrachtung der Kontaktzone zeigt, dass dieSumme der Abplattungen der beiden Scheiben konstant ist:
w0 (y) = ux1 (y) + ux2 (y) + a1 (y) + a2 (y)
Kontaktmechanik
D. Anders
Inhaltsübersicht
Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
8
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Detaillierte Betrachtung des Kontaktbereiches
a
a
w0
ya1a2
ux1ux2
Kontaktmechanik
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Aus den Kreisgleichungen folgt für a1 und a2
a1 (y) = R1 −√
R21 − y2 = R1
[
1 −√
1 − y2
R21
]
,
a2 (y) = R2 −√
R22 − y2 = R2
[
1 −√
1 − y2
R22
]
.
Da im Kontaktbereich die Werte yR1
bzw. yR2
stets sehr kleinsein werden, ist es zulässig die obigen Ausdrücke für a1 unda2 als eine Taylorreihe um 0 zu entwickeln und nach denGliedern 2. Ordnung abzubrechen.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Es gilt:
a1 (y) ≈ a1 (0)︸ ︷︷ ︸
=0
+1
1!
da1
dy(0)
︸ ︷︷ ︸
=0
(y − 0) +1
2!
d2a1
dy2(0)
︸ ︷︷ ︸
= 1
R1
(y − 0)2
=y2
2R1
und analog dazu a2 (y) ≈ y2
2R2. Mit diesen Beziehungen
erhalten wir
ux1 + ux2 = w0 − (a1 + a2) = w0 − y2
2
(1
R1+
1
R2
)
.
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Differenzieren wir die letzte Gleichung nach y, so ergibt sich
dux1
dy+
dux2
dy= −y
(1
R1+
1
R2
)
.
Nun nutzen wir die Beziehungen für den elastischenHalbraum
dux1
dy(y) = −4
(1 − ν2
1
)
πE1y
∫ a
0
p (u)
y2 − u2du,
bzw.dux2
dy(y) = −4
(1 − ν2
2
)
πE2y
∫ a
0
p (u)
y2 − u2du.
⇒∫ a
0
p (u)
y2 − u2du =
π
4·
1R1
+ 1R2
1−ν2
1
E1+
1−ν2
2
E2
= const.
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Zum Lösen der vorherigen Integralgleichung verwenden wirdie Ingegralbeziehung
∫ a
0
√a2 − u2
y2 − u2du =
∫ a
0
(a2 − u2
)
√a2 − u2 (y2 − u2)
du
=
∫ a
0
(a2 − y2 + y2 − u2
)
√a2 − u2 (y2 − u2)
du
=
∫ a
0
du√a2 − u2
+(
a2 − y2) ∫ a
0
du√a2 − u2 (y2 − u2)
=π
2+
0 für y2 < a2,
π(a2 − y2
)
2 |y|√
y2 − a2für y2 > a2.
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Damit lautet die allgemeine Lösung für die Druckverteilung
p (u) = C√
a2 − u2.
Mit C = p0
aist
p (u) = p0
√
1 −(
u
a
)2
.
Hierbei handelt es sich um eine halbkreisförmige/elliptischeDruckverteilung.
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Halbkreisförmige Druckverteilung beim Kontakt zweierScheiben
a−a
p0
u
p (u)
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
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Nun fehlen noch die unbekannten Konstanten p0 und a. Ausder vorherigen Integralbeziehung erhalten wir
Cπ
2=π
2
p0
a=π
4
1R1
+ 1R2
1−ν2
1
E1+
1−ν2
2
E2
⇔ a = 2p0
1−ν2
1
E1+
1−ν2
2
E2
1R1
+ 1R2
Des weiteren erhalten wir aus der Gleichgewichtsbedingungder zur Presskraft F0 parallelen Kräfte:
F0 =
∫ a
−ap (u) · d du = 2d
∫ a
0p (u) du
= 2dp0
∫ a
0
√
1 −(
u
a
)2
du
= 2dp0
a
[
u
2
√
a2 − u2 +a2
2arcsin
u
a
]a
0
= dp0aπ
2
⇔ p0 =2F0
dπa
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Auflösen der vorherigen Gleichungen liefert für y2 < a2 dieHertzschen Formeln (EVZ):
p0 =
√√√√√
F0
dπ
1R1
+ 1R2
1−ν2
1
E1+
1−ν2
2
E2
und a =
√√√√√
4F0
dπ
1−ν2
1
E1+
1−ν2
2
E2
1R1
+ 1R2
.
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben
Analog zu den vorherigen Betrachtungen erhält man für denebenen Spannungszustand (ESZ) durch Transformation der
Materialkonstanten1−ν2
1
E1,
1−ν2
2
E2→ 1
E1, 1
E2die Ergebnisse
p0 =
√√√√
F0
dπ
1R1
+ 1R2
1E1
+ 1E2
und a =
√√√√
4F0
dπ
1E1
+ 1E2
1R1
+ 1R2
.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Halbraum unter einer Punktlast
Punktförmige Belastung des elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Analog zu den Betrachtungen im 2D-Fall wird derVerformungszustand des elastischen Halbraumes unter einerPunktlast in die Herleitung des 3D Hertzschen Kontaktesmit einfließen.
xy
z
rϕ
F
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Halbraum unter einer Punktlast
Punktförmige Belastung des elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Boussinesq gibt für das Verschiebungsfeld eines elastischenHalbraumes infolge einer Punktlast im Koordinatenursprungdie folgende Lösung an:
ux =Fx
4πGR
[z
R2− 1 − 2ν
R + z
]
, uy =Fy
4πGR
[z
R2− 1 − 2ν
R + z
]
,
uz =F
4πGR
[
2 (1 − ν) +z2
R2
]
.
Hierbei ist R =√
x2 + y2 + z2 und G der Schubmodul.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Halbraum unter einer Punktlast
Punktförmige Belastung des elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Durch Transformation auf Zylinderkoordinaten(
mit r =√
x2 + y2)
erhalten wir
ur =Fr
4πGR2
[z
R− (1 − 2ν)
R
R + z
]
, uϕ = 0,
uz =F
4πGR
[
2 (1 − ν) +z2
R2
]
.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone
Krümmungsbeschreibung
Da die Druckverteilung und die Verformung bei demKontakt elastischer Körper entscheidend durch die lokalengeometrischen Verhältnisse innerhalb der Kontaktzonebestimmt wird, ist es wichtig eine allgemeine Beschreibungder vorliegenden Krümmungsverhältnisse anzugeben.Ausgangspunkt für unsere Betrachtung ist ein punktförmigerKontakt zweier elastischer Oberflächen.Der Ursprung des Koordinatensystems für dieKontaktbetrachtung wird in den Berührpunkt gelegt. Diex, y-Ebene fällt mit den Tangentialebenen der beiden Körperim Berührpunkt zusammen. Die z-Achse verläuft in Richtungder Berührungsnormalen.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone
x y
z
F
F
Tangentialebene
Körper 1
Körper 2
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone
Krümmungsbeschreibung
In der Nähe des Berührungspunktes kann die Oberfläche desoberen Körpers durch die Gleichung
z1 (x, y) =
[
x
y
]T
G1
[
x
y
]
beschrieben werden. Hierbei ist G1 ein metrischer Tensor, derdie Krümmung der Fläche charakterisiert. Analog gilt für dieOberfläche des unteren Körpers
z2 (x, y) =
[
x
y
]T
G2
[
x
y
]
.
Vereinfacht gesprochen handelt es sich hierbei um einemehrdimensionale Taylorreihenapproximation derOberflächen z1 (x, y) und z2 (x, y).
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone
Krümmungsbeschreibung
Mit diesen Ergebnissen folgt für die durch den Kontaktinduzierte Abplattung der beiden Körper
w0 = (z1 + uz1) + (z2 + uz2)
=
[
x
y
]T
(G1 + G2)
[
x
y
]
+ uz1 + uz2.
Nun legt man die x- und y-Achse so, dass G1 + G2 inDiagonalform überführt wird. Seien λ1 und λ2 die Eigenwertedieses Tensors, so geht die Abplattungsgleichung über in
w0 = λ1x2 + λ2y2 + uz1 + uz2.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone
Krümmungsbeschreibung
Die Eigenwerte λ1, λ2 hängen mit den lokalenHauptkrümmungsradien R11,R12 der Fläche 1 und R21,R22
der Fläche 2 über die Beziehungen
2 (λ1 + λ2) =1
R11+
1
R12+
1
R21+
1
R22,
4 (λ1 − λ2)2 =
(1
R11− 1
R12
)2
+
(1
R21− 1
R22
)2
+ 2 cos (2ψ)
(1
R11− 1
R12
)(1
R21− 1
R22
)
.
Hierbei ist die Konvention R11 ≥ R12; R21 ≥ R22 zubeachten, in der die Radien konkav gekrümmter Oberflächenals negative Größen gerechnet werden. ψ ist der Winkelzwischen den Normalschnitten der Oberflächen, in denen dieKrümmungsradien R11 und R21 vorliegen
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone
x y
z
F
F
R11R12
R21R22
Körper 1
Körper 2
ψ
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Als ein Anwendungsbeispiel untersuchen wir hier denKontakt zweier rotationssymmetrisch zurBerührungsnormalen ausgebildeten Körper
1
2
Tangentialebenez1
z2
F
F
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Aufgrund der Rotationssymmetrie gilt für die Haupt-krümmungsradien R11 = R12 = R1 und R21 = R22 = R2.Damit folgt für die Eigenwerte des Metriktensors aus demvorherigen Abschnitt
(λ1 + λ2) =1
R1+
1
R2, 4 (λ1 − λ2)2 = 0
⇒ λ1 = λ2 =1
2R1+
1
2R2
Mit diesem Ergebnis ergibt sich für die Abplattungsgleichung
uz1 + uz2 = w0 − λ1x2 − λ2y2 = w0 − x2 + y2
2
(1
R1+
1
R2
)
= w0 − r2
2
(1
R1+
1
R2
)
.
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2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Die Deformationen uz1 (r) und uz2 (r) werden durch den inder Berührungsfläche Ω herrschenden Druck p (r) hervor-gerufen. Mit genügender Genauigkeit können wir im Bereichder gesamten Druckfläche Ω den Druck in Richtung derBerührungsnormalen annehmen. Wir erhalten somit dasKräftegleichgewicht
F =
∫
Ωp (r) dΩ
Aufgrund der Rotationssymmetrie zur Berührungsnormalenmuss Ω eine kreisförmige Fläche sein. Um nun auf denZusammenhang zwischen den Verformungen uz1 (r) unduz2 (r) und dem Kontaktdruck p (r) zu schließen, denken wiruns die Druckverteilung durch eine jeweils in den einzelnenFlächenelementen dΩ wirkende EinzelkraftbelastungdF = pdΩ ersetzt.
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Betrachten wir die alleinige Wirkung der auf das Flächen-element dΩ = d dϑ entfallenden Elementarlast dF = pdΩauf die Deformationen uz1 (r) und uz2 (r).
dϑ
· dϑd
C0
ϑ
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Es liegt mit guter Näherung der Fall eines durch einePunktlast beanspruchten elastischen Halbraumes vor. DieseAnnahme ist nur dann gültig, wenn die Abmessungen derDruckfläche klein gegen- über den Krümmungsradien R1 undR2 sind. Die Verschiebungen uz1 und uz2 entsprechen dannnäherungsweise den lotrechten Verschiebungen derHalbraumoberfläche mit z = 0 und R = hervorgehen.Ersetzen wir in den Verschiebungsgleichungen F durch p dΩso erhalten wir für die Deformation der beiden Rotations-körperoberflächen
duz1 =p dΩ (1 − ν1)
2πG1
1
, duz2 =
p dΩ (1 − ν2)
2πG2
1
.
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
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Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Integration über sämtliche Elementarlasten liefert
uz1 =1 − ν1
2πG1
∫
Ω
p
dΩ =
1 − ν21
πE1
∫
Ω
p
dΩ,
uz2 =1 − ν2
2πG2
∫
Ω
p
dΩ =
1 − ν22
πE2
∫
Ω
p
dΩ
Mit diesem Ergebnis folgt aus der Abplattungsgleichung
w0 − r2
2
(1
R1+
1
R2
)
=1
2π
[1 − ν1
G1+
1 − ν2
G2
] ∫
Ω
p
dΩ.
Mit den Abkürzungen b = 12
[1
R1+ 1
R2
]
und
c = 12π
[1−ν1
G1+ 1−ν2
G2
]
liest sich die obige Gleichung als
w0 − br2 = c
∫
Ω
p
dΩ = c
π∫
ϑ=0
[∫ 2
−1
p d
]
dϑ.
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen
Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen
Zum Lösen der obigen Integralgleichung führen wir zunächstden längs der Strecke DE = η herrschenden mittleren Druck
p =1
η
2∫
−1
p d
ein, womit wir die Integralgleichung in
w0 − br2 = c
π∫
0
pη dϑ
überführen können.
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Starrer Stempel aufHalbebene
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3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lösung vs.
FEM
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replacements
1
2
ϑ
η2
D
E
C
0r
ξ
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Mit ξ = r sinϑ und η = 2√
a2 − ξ2 = 2√
a2 − r2 sin2 ϑerhalten wir
w0 − br2 = c
π∫
0
pη dϑ = 2c
π∫
0
p√
a2 − r2 sin2 ϑ dϑ.
a ist der Radius der kreisförmigen Druckfläche Ω. Aufgrundder Rotationssymmetrie muss p eine Funktion vonξ2 = r2 sin2 ϑ sein. Des weiteren muss beachtet werden,dass der mittlere Druck p für ξ = a verschwinden muss. Mitdieser Restriktion gibt es nur eine einzige Lösung, diequalitativ der obigen Integralgleichung mit der Bedingungp (a) = 0 genügt:
p = χ√
a2 − r2 sin2 ϑ = χ√
a2 − ξ2.
Hierbei ist χ ein noch zu bestimmender Parameter.
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Mit diesen Ergebnissen erhalten wir
w0 − br2 = 2χc
π∫
0
(
a2 − r2 sin2 ϑ)
dϑ = 2χcπ
(
a2 − r2
2
)
.
Mittels eines Koeffizientenvergleichs können wir hieraus zweiGleichungen für die unbekannten Größen w0, χ und a
extrahieren:w0 = 2πχca2, b = πχc.
Die dritte Gleichung erhalten wir aus der Gleichgewichts-bedingung zwischen Kontaktdruck und der Kraft F
F =
∫
Ωp dΩ =
a∫
ξ=−a
p (ξ) η (ξ) dξ = 2χ
a∫
ξ=−a
(
a2 − ξ2)
dξ =8
3χa3.
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dξ
a
η
C
0
r
ξ
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Auflösen der aufgestellten Gleichungen liefert dieunbekannten Größen w0, χ und a
χ =b
πc=
R1 + R2
R1R2
11 − ν1
G1+
1 − ν2
G2
,
a = 3
√
3
8
F
χ=
3
√
3πFc
8b= 3
√
3
8
R1R2
R1 + R2
[1 − ν1
G1+
1 − ν2
G2
]
F ,
w0 = 2πχca2 = 2b3
√
9
64
F2π2c2
b2
=3
√
9
64
R1 + R2
R1R2
[1 − ν1
G1+
1 − ν2
G2
]2
F2.
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Wir erhalten mit b = πχc und w0 = 2πχca2
∫
Ω
p
dΩ =
1
c
(
w0 − br2)
= 2χπ
(
a2 − r2
2
)
Mit Hilfe der Relation χ = 3F8a3 , können wir die obige
Gleichung über die Presskraft F ausdrücken:∫
Ω
p
dΩ =
3πF
4a3
(
a2 − r2
2
)
.
Somit ergeben sich für die Deformationen derRotationskörperoberflächen im Druckbereich für r ≤ a
uz1 =3
8
1 − ν1
G1
F
a3
(
a2 − r2
2
)
, uz2 =3
8
1 − ν2
G2
F
a3
(
a2 − r2
2
)
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Nun fehlt uns nur noch die konkrete Gestalt derDruckverteilung p (r) innerhalb der Kontaktzone. Hierzuschreiben wir die Integralgleichungen mit der Relationη = 2
√
a2 − ξ2 in2∫
−1
p d = ηp = 2χ(
a2 − ξ2)
um. Hieraus folgt insbesondere für die Druckverteilung in dernachfolgend abgebildeten Geraden D′E′ mit ξ = r dieIntegralgleichung
√a2−r2∫
−√
a2−r2
p d = 2χ(
a2 − r2)
.
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replacements
a
√a
2−
r2
D’
E’
C
P
0r
R
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Die aufgestellte Integralgleichung lässt sich mit Rücksichtauf die zu erwartende Symmetrie der längs der Geraden D′E′
vorliegenden Druckverteilung hinsichtlich des Punktes Cauch in der folgenden Form schreiben
√a2−r2∫
0
p d = χ(
a2 − r2)
.
Aufgrund der Rotationssymmetrie des Problems muss derKontaktdruck p eine Funktion des Abstandes R =
√
r2 + 2
vom Berührungszentrum R = 0 sein. Daher schreiben wir√
a2−r2∫
0
p
(√
r2 + 2
)
d =
√a2−r2∫
0
p
(√
2 + a2 − (a2 + r2)
)
d
= χ(a2 − r2)
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Mit der Abkürzung u2 = a2 − r2 folgtu∫
0
p
(√
2 + a2 − u2
)
d = χu2.
Eine weitere Variablentransformation mit v = u2 − 2 liefertu2∫
0
p(√
a2 − v) dv√
u2 − v= 2χu2.
Mit den Abkürzungen s = u2 und f (v) = p(√
a2 − v)
gelangen wir schließlich zus∫
0
f (v)dv√s − v
= 2χs.
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Diese Bestimmungsgleichung ist eine spezielle Form derverallgemeinerten Abelschen Integralgleichung
s∫
0
f (v)
(s − v)n dv = g (s) mit 0 < n < 1,
deren allgemeine Lösung
f (v) =sin nπ
π
d
dv
v∫
0
g (s) (v − s)n−1 ds
lautet. Für unseren Spezialfall erhalten wir mit n = 12 und
g (s) = 2χs die Lösungsdarstellung
f (v) =2χ
π
d
dv
v∫
0
s√v − s
ds
.
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Für den zu differenzierenden Integralausdruck ergibt sich mitder Substitution ζ = v − s
v∫
0
s√v − s
ds =4
3v
3
2 .
Damit erhalten wir
f (v) =4χ
π
√v
und damit
p(√
a2 − v)
=4χ
π
√v.
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Schließlich folgt mit√
r2 + 2 =√
a2 − v = R bzw.v = a2 − R2
p (R) =4χ
π
√
a2 − R2.
Nutzen wir nun unser zuvor erzieltes Ergebnis für χ aus, sofolgt schließlich für die Druckverteilung
p (R) =3F
2πa2
√
1 −(
R
a
)2
bzw. p (x, y) =3F
2πa2
√
1 − x2
a2− y2
a2.
Der maximale Druck findet sich im BerührungszentrumR = 0 und hat den Wert
pmax = p (0) =3F
2πa2.
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Es ist wichtig zu erwähnen, dass die Stelle mit der größtenMaterialbeanspruchung nicht in der Mitte der Druckflächesondern im Inneren der Kontaktkörper zu finden ist. BeimHertzschen Kontakt dient daher die größte Schubspannungals Maß für die Materialbeanspruchung. Föppl fand beiseinen Untersuchungen zum Spannungszustand bei derBerührung zweier elastischer Körper heraus, dass sich beidem Kontakt zweier Kugeln aus demselben Material diegrößte Schubspannung in einer Tiefe von ca. 0.47a auf derSymmetrieachse mit einem Wert von τmax ≈ 0.31pmax
befindet. Mit diesem Ergebnis lässt sich die Pitting-Bildung(Abblättern von Material an der Oberfläche) der Kugeln imKugellager erklären. Die unter der Oberfläche auftretendenSchubspannungen führen während der Belastung desKugellagers zur Zerstörung der Oberflächen, vgl. Abb.
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Verformung der Halbebene
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FEM
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Beispielhafte Kontaktsituation
Um die oben angegebenen Ergebnisse auch numerisch zuuntermauern, führen wir eine statische FE-Analyse derKontaktsituation zweier metallischer Kugeln aus demselbenMaterial
(E = 210 · 103 N/mm2, ν = 0.3
)durch. Die
Kugeln haben die Radien R1 = 100 mm bzw. R2 = 200 mmund werden mit F = 500 kN gegeneinander gedrückt.
F
F
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Beispielhafte Kontaktsituation
Für die angegebenen Kontaktdaten erhalten wir aus denHertzschen Formeln:
a ≈ 6.00617 mm ⇒ AKontakt = 113.33 mm2,
pmax ≈ 6617.8N
mm2,
(Summe der Abplattungen): w0 ≈ 0.5411 mm
Die Finite Elemente Analyse wurde mit dem kommerziellenFE-programm Pro Mechanika durchgeführt. Dieräumliche Diskretisierung erfolgte mit 70599 Elementen,wobei die Kontaktzone mit einer maximalen Elementgrößevon 3 mm wesentlich feiner aufgelöst wurde als der Rest derKontaktkörper.
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Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Analytische Lösung vs. FEM
FE-Ergebnisse zur vertikalen Verschiebung.Werte in mm
0.00-0.05-0.10-0.15-0.20-0.25-0.30-0.35-0.40-0.45-0.50-0.55-0.60
Die Berechnungen liefern hier eine globale Abplattung vonw0,FEM ≈ 0.5421 mm.
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Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
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Punktförmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)
Krümmungsverhältnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKörper
Analytische Lösung vs.
FEM
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Analytische Lösung vs. FEM
Vergleichsspannung nach von Mises.Werte in N/mm2
42003850350031502800245021001750140010507003500
Die maximale Vergleichsspannung beträgt hierbeiσv,FEM ≈ 4364 N/mm2.
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Verteilung der maximalen Schubspannungswerte.Werte in N/mm2
21001925175015751400122510508757005273501750
Der insgesamt größte Schubspannungswert findet sich wievon Föppl berechnet knapp unterhalb bzw. oberhalb derDruckfläche auf der Symmetrielinie der Kontaktkörper undbeträgt τmax,FEM ≈ 2200 N/mm2.
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Zum Schluss betrachten wir den Kontaktdruck auf derOberfläche der größeren Kugel. Es ist zu beobachten, dasssich eine nahezu kreisförmige Kontaktzone mit hohenKontaktdrücken ausgeprägt ist. Der maximale Druckbefindet sich im Zentrum der Kontaktzone und hat einenWert von pmax,FEM ≈ 6530 N/mm2. Dies entspricht einerAbweichung von 1.3% gegenüber dem Wert aus deranalytischen Rechnung. Für den Radius der KontaktzoneaFEM erhalten wir
AFEM = 116.75 mm2 ≈ πa2FEM ⇒ aFEM ≈ 6.0961 mm.
Dieser Wert weicht um knapp 1.5% zum Wert aus deranalytischen Rechnung ab.
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Werte in N/mm2
650060005500500045004000350030002500200015001000500