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Propiedades de las operaciones basicas
Propiedades de los Numeros Reales
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ITESCAM Propiedades de los Numeros Reales
Propiedades de las operaciones basicas
Propiedades del las operaciones basicas
Listamos las propiedades fundamentales de los numeros reales:
Para todo a, b, c ∈ R se cumple que
a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)
a + (b + c) = (a + b) + c ; a(bc) = (ab)c . (Propiedad Asociativa)
a + 0 = 0 + a = a; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a (existencia del neutro)
a + 0 = a; a ∗ 1 = a. (Existencia del neutro)
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Propiedades del las operaciones basicas
Listamos las propiedades fundamentales de los numeros reales:
Para todo a, b, c ∈ R se cumple que
a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)
a + (b + c) = (a + b) + c ; a(bc) = (ab)c . (Propiedad Asociativa)
a + 0 = 0 + a = a; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a (existencia del neutro)
a + 0 = a; a ∗ 1 = a. (Existencia del neutro)
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Propiedades de las operaciones basicas
Propiedades del las operaciones basicas
Listamos las propiedades fundamentales de los numeros reales:
Para todo a, b, c ∈ R se cumple que
a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)
a + (b + c) = (a + b) + c ; a(bc) = (ab)c . (Propiedad Asociativa)
a + 0 = 0 + a = a; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a (existencia del neutro)
a + 0 = a; a ∗ 1 = a. (Existencia del neutro)
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Propiedades de las operaciones basicas
Propiedades del las operaciones basicas
Listamos las propiedades fundamentales de los numeros reales:
Para todo a, b, c ∈ R se cumple que
a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)
a + (b + c) = (a + b) + c ; a(bc) = (ab)c . (Propiedad Asociativa)
a + 0 = 0 + a = a; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a (existencia del neutro)
a + 0 = a; a ∗ 1 = a. (Existencia del neutro)
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Propiedades del las operaciones basicas
Listamos las propiedades fundamentales de los numeros reales:
Para todo a, b, c ∈ R se cumple que
a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)
a + (b + c) = (a + b) + c ; a(bc) = (ab)c . (Propiedad Asociativa)
a + 0 = 0 + a = a; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a (existencia del neutro)
a + 0 = a; a ∗ 1 = a. (Existencia del neutro)
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Propiedades de las operaciones basicas
Propiedades del orden
Existen propiedades mas fundamentales con respecto a la definicionelemental del sımbolo ”>”, el cual ademas, puede ser interpretado dedistintas maneras:
Definicion
Diremos que a es mayor a b y lo simbolizamos por a > b si y solo sia− b es positivo. Diremos que b es menor que a y lo escribimos b < a sise cumple que a > b.
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Propiedades del orden
Tricotomıa. Dados a y b ∈ R se cumple exactamente una de lassiguientes afirmaciones:
a = b.
a > b.
a < b.
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Propiedades del orden
Tricotomıa. Dada a ∈ R se cumple una y solo una de las siguientesafirmaciones:
a = 0.
a > 0.
−a > 0.
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Propiedades del orden
Transitividad. Dados a, b, c ∈ R si
a > b
yb > c
entoncesa > c
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Propiedades del orden
Transitividad. Dados a, b, c ∈ R si
a < b
yb < c
entoncesa < c
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Propiedades del Orden
Densidad Dados a, b ∈ R si a > b entonces existen un elemento x ∈ Rtal que a > x y x > b.
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Propiedades del Orden
La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definicion deNUMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tenernumeros “suficientes” para explicar el mundo real.
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Propiedades del Orden
Axioma del supremo Sea A ⊂ R tal que existe k ∈ R con la propiedadde que
k > a para toda a ∈ R.Entonces existe un elemento s ∈ R tal que cumple la propiedad anterior yademas si k ′ es otro numero que cumple la propiedad entonces s < k ′.
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Propiedades de las operaciones basicas
Si A ⊂ R tal que ∃k ∈ R con k > a∀a ∈ R entonces ∃s ∈ R tal que:
s > a ∀a ∈ RSi k > a ∀a ∈ R⇒ k > s.
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Definicion
Dado A ⊂ R decimos que k ∈ R es una cota superior de A si cumple quek > a para toda a ∈ A.
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Definicion
Dado A ⊂ R decimos que s ∈ R es un supremo del conjunto A si s es lamınima cota superior de A.
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Axioma del supremo Dado A ⊂ R si A tiene al menos una cota superiorentonces el supremos de A existe.
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Otras Propiedades
Existen mas propiedades que se pueden deducir facilmente con ayuda dela definicion y de las propiedades dadas hasta ahora:
Si a > b entonces a + z > b + z para toda z ∈ RSi a > b y z > 0 entonces az > bz .
Si a > b, entonces −a < −b.
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Propiedades de las operaciones basicas
En las siguientes parejas de reales suponga que a > b, determine elorden:
1 za, zb si z < 0
2 1a ,
1b
3 a, −b
4 −a, b
5 a, a+b2
6 b, a+b2
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Propiedades de las operaciones basicas
Si a > b > 0, entonces la(s) afirmacion(es) verdadera(s) es (son):
ab > b
a2 + b2 > 2ab
a− b < b
a + b > aab + b
a > 2
a2 − b2 > 0
(a + b)(a2 − ab + b2) > 0
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