ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2do ORDEN

Son las ecuaciones diferenciales que contienen la segunda derivada de una

función. Tienen la siguiente forma:

� ��, �, ���� , ���

���� =

���, �, �′, �′′ =

Se presentan 4 tipos:

1. � ��, ������� = , en este caso se despeja "�" y se resuelve la ecuación.

(no hay �, � ′)

2. � ��, ���� , ���

���� = , en este caso se hace ���� = � y

������ = ��

��

obteniendo una ecuación diferencial de primer orden en � y �. (no hay �)

3. � ��, ���� , ���

���� = , en este caso se hace ���� = � y su derivada será

������ = � ��

�� obteniendo una ecuación diferencial de primer orden en � y

�. (no hay �)

4. � ��, �, ���� , ���

���� = , en este caso se tienen todas las variables en la

ecuación, entonces la ecuación tomará la siguiente forma:

������ + � ��

�� + �� = �

Donde �, � � � son �(�).

Para resolverla se busca una solución particular incompleta:

������ + � ��

�� + �� =

Sea � = �(�) la solución particular que satisface que:

�� ��� + � �

�� + � =

Pero para hallar � se deben tener en cuenta unas guías que dependen de

� � �:

1. Si en la E.D incompleta se cumple que � + �� = , entonces

= �

2. Si en la E.D incompleta se cumple que ! + � + � = , entonces

= "�

3. Si en la E.D incompleta se cumple que ! − � + � = , entonces

= "$�

4. Si en la E.D incompleta se cumple que %� + �% + � = , donde el

valor numérico de & se halla con la formula general de las ecuaciones

cuadráticas:

% = −� ± √�� − )��

Entonces = "%�

5. Si en la E.D incompleta se cumple que *� − (! − ��)* + ��� = ,

donde el valor numérico de + se halla con la formula general de las

ecuaciones cuadráticas:

* = ! − �� ± ,(! − ��)� − )����

Entonces = �*

Ahora se halla la solución de la E.D completa

������ + � ��

�� + �� = �

Donde � = �-, ya se conoce � entonces se debe hallar el valor de -. El valor

de - se halla remplazando y resolviendo de la siguiente ecuación:

��.��� + � �

���.�� + � �.

�� = �

Por último se multiplican para hallar la solución de la ecuación � = ..