Grado en Ingeniera Civil

EJEMPLO DE CORRELACIN LINEAL Y REGRESIN Si disponemos de dos series de datos emparejadas, con frecuencia es til conocer si

ambas variables estn relacionadas, y, en caso afirmativo, encontrar la expresin que refleja dicha relacin. Si la ecuacin que mejor relaciona dichas variables es la de una recta, decimos que existe correlacin lineal. Un ejemplo puede ser la pluviometra registrada en dos estaciones prximas (Tabla adjunta). Si la pluviometra es similar en ambos puntos, sera de gran utilidad cuantificar esa relacin, pues de ese modo podramos evaluar, aunque fuera de modo aproximado, la pluviometra de un lugar a partir de la registrada en el otro.

x y estacin A Estacin B

321 408 548 529 460 433 712 643 602 712 282 356 529 610 408 536 501 628 299 510

720 ?

y = 0,6449x + 235,86R2 = 0,6323

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Estacin A (mm)

Esta

cin

B (m

m)

En este ejemplo, la correlacin es: P (estacin B) =0.6449 P (estacin A) + 235.86 Supongamos que para un ao o mes conocemos el valor de P = 720 en el punto A, pero no lo tenemos para el punto B. Se podr estimar mediante la relacin anterior: P (estacin B) =0.6449 P (estacin A) + 235.86 = 700.188 La relacin entre dos variables (como las dos columnas de datos anteriores) puede ser lineal, exponencial, polinmica, etc. Es decir: que aunque los puntos no estn alineados puede que tengan una fuerte correlacin, pero no lineal (por ejemplo: y = x2 +2,3).

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Recta de regresin Se llama as a la recta que atraviesa la nube de puntos y que mejor se ajusta a ellos. Supongamos que medimos la distancia vertical de cada punto a la recta (lneas de trazos en la figura adjunta). La recta buscada sera aquella para la que la suma de estas distancias fuera mnima.

La ecuacin de una recta es: y = a x + b Si, por ejemplo, fuera: y =0.5 x + 12 la pendiente sera 0.5 y la ordenada en el origen (altura a la que la recta corta el eje vertical) sera 12 Si llegamos a conocer esa ecuacin, podremos llegar a estimar valores de y desconocidos a partir de valores de x conocidos. Otro ejemplo: supongamos que x es la altitud de cada estacin pluviomtrica e y es su pluviometra; si establecemos que ambas variables estn correlacionadas y obtenemos la ecuacin de la recta de regresin, conociendo la cota del punto podremos estimar su pluviometra. Coeficiente de correlacin de Pearson (r) Este coeficiente nos informa del grado de relacin entre dos variables. Si la relacin es lineal perfecta, r ser 1 -1. El coeficiente r ser positivo si la relacin es positiva (al aumentar x aumenta y), y r ser negativo en el caso contrario (si al aumentar x, disminuye y). En general, valores (absolutos) de r > 0,80 se consideran altos, aunque esto depende del nmero de parejas de datos con las que hemos realizado el clculo y del nivel de seguridad con el que queramos extraer nuestras conclusiones. No vamos a entrar en el estudio del nivel de significacin del coeficiente r, pero como indicacin: para 11 parejas de datos, y si admitimos un 5% de posibilidades de equivocarnos, con r>0,553 ya podemos decir que ambas series de datos no son independientes (parece que tienen algn tipo de relacin). Si tuviramos 50 parejas de datos, nos bastara r>0,273 para sacar la misma conclusin (siempre considerando el valor absoluto de r) Si nos ponemos ms estrictos, y queremos sacar la conclusin de que las dos series no son independientes con un 99% de seguridad (slo un 1% de posibilidad de error), con 11 parejas necesitamos que r>0,684 y con 50 parejas r>0,354

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Precauciones: 1. El que estemos seguros de que ambas series estn relacionadas, no quiere decir que la relacin sea tan estrecha como para estimar valores de y desconocidos a partir de valores de x conocidos; eso depender del error de estimacin que aceptemos. 2. La existencia de una correlacin no indica relacin causa-efecto. Clculo de la recta de regresin y del coeficiente r con Excel. Vamos a elaborar el grfico de la primera figura, con la ecuacin y el coeficiente r. (puedes copiar las parejas de valores del ejemplo inicial). 1. Seleccionar las dos columnas de datos 2. Insertar > Grfico (con el men Insertar o con el botn correspondiente de una de las barras). Tipo de grfico: XY (dispersin) 3. Click con botn derecho sobre uno cualquiera de los puntos; en el men que surge, elegir Agregar lnea de tendencia. Elegir Lineal 4. Sin cerrar el cuadro, en la pestaa Opciones, marcar los recuadros de: Obtenemos un grfico como el que aparece en la pgina anterior. Atencin: Excel calcula r2, no r. (r2 se llama coeficiente de determinacin). El cuadro de Excel nos recuerda que quiz la correlacin lineal sea mala, pero otro tipo de correlacin puede ser buena (logartmica, polinmica, potencial, exponencial,...)

Finalmente, con la ecuacin obtenida, rellenamos los datos que faltan.