expo 10ºc

ESCOLA SECUNDÁRIA DO PADRÃO DA LÉGUA

Edifício Berliner Bogen

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Trabalho realizado por: Ana Carrapatoso – 10ºC n.º2 2007/2008 Pedro Ferreira – 10ºC n.º 17

Este edifício, chamado Berliner Bogen, situado na cidade de Hamburgo, na Alemanha. Trata-se de um bom exemplar da aplicação da função quadrática na Arquitectura. Com 140 metros de comprimento e 60 metros de altura, este edifício permite poupar muita energia uma vez que é espelhado e tem uma grande área de exposição, logo, deixa entrar muita radiação solar.

Aqui está uma secção do edifício em estudo com o referencial aplicado:

Com um referencial cartesiano aplicado, de maneira a que o eixo Oy passe pelo vértice da parábola e de maneira seja o eixo de simetria, com as informações que temos, o vértice tem como coordenadas: (0;60). Pretendemos determinar uma expressão do tipo:

Sabendo os valores de e , que são a abcissa e a ordenada do vértice, respectivamente, substituímos na expressão inicial, obtendo

então,

Concluindo, a parábola em estudo é definida por:

e tem como eixo de simetria a recta de equação ou .

Ficha Técnica Edifício Berliner Bogen Local: Hamburgo, Alemanha Projecto: 1998 Conclusão da obra: 2002 Área construída: 43 000 m2 Área da pele de vidro externa: 15 000 m2

Fig. 1 – Berlner Bogen - http://www.arcoweb.com.br/arquitetura/arquitetura449.asp


Matemática na Arquitectura: St. Louis Arch

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Trabalho realizado por: Ana Carrapatoso (n.º2) e Pedro Ferreira (n.º17) 2007/2008

Para esta proposta de trabalho, escolhemos o St. Louis Arch, situado no Missouri, uma vez que se trata de um belo exemplar da aplicação da Matemática na Arquitectura. Apesar de a este monumento não se ajustar uma parábola mas sim uma curva catenária, realizamos o estudo da aplicação da função quadrática, fazendo com que a parábola passasse por diferentes pontos do monumento. Com 192 metros de altura e 192 metros de largura, pode-se chegar à conclusão de que o vértice tem as seguintes coordenadas: V(0;192), se escolhermos convenientemente um referencial. Aplicamos um referencial ortogonal monométrico de modo que Oy coincidisse com o eixo de simetria da parábola, isto é, o eixo que contém o vértice. Uma parábola é definida pela equação:

sendo h e k as coordenadas do vértice da parábola, logo, substituindo pelas coordenadas correspondentes, obtemos:

então,

logo,

é a expressão que define a parábola que, no nosso entender melhor se ajusta ao monumento que escolhemos. Aqui está o monumento estudado com o referencial ortogonal monométrico escolhido:

192m

192m

P

P(96;0)

Fig. 1 – St. Louis Arch -http://2modern.blogs.com/photos/uncategorized/st20louis20mo.jpg

Fig. 2 – St. Louis Arch - http://www.flyawaycafe.com/wp-content/uploads/2007/07/st-louis-arch.jpg


Tacada numa bola de golfe

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Trabalho realizado por: João Leal e Rui Viriato 2007/2008

A parábola está presente em diversas situações do dia-a-dia. Um exemplo disso é quando se dá uma tacada numa bola de golfe.

Por exemplo, se batermos na bola e esta tiver uma velocidade inicial de 30 m/s e uma inclinação de 53º, a expressão a(t)=-5t2+24t, dando-nos em cada instante t (em segundos) e a altura da bola relativamente ao solo (em metros).

Fig. 1 – Gráfico obtido no programa GRAPES

A análise do gráfico permite-nos concluir que esta bola atinge a sua altura máxima, 28.8 metros, após 2.4 segundos. Logo o vértice desta parábola é (2.4; 28.8). A bola atinge o solo, altura de 0 metros, após 4.8 segundos. Esta função é crescente em [0; 2.4] e decrescente em [2.4; 4.8] e tem dois zeros que são 0 e 4.8.

O movimento da bola dá origem a uma parábola e como podemos ver, esta é uma das muitas situações em que a parábola está presente! http://melhoragora.org/wp-content/uploads/2008/02/golfe_02.jpg


Trajectórias Balísticas

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Trabalho realizado por: Patrícia, nº14; Sara, nº22; João nº25 10ºA; 2007/2008

Fig. 1 - Esquema de um disparo de rail-gun -

http://www.navweaps.com/Weapons/WNUS_Rail_Gun_Slide_pic.jpg

Uma das aplicações possíveis para parábolas é o estudo de trajectórias balísticas de projécteis. Para ilustrar

este trabalho escolhemos uma imagem de uma rail gun, uma arma que usa princípios electromagnéticos para lançar pequenos projécteis a velocidades impressionantes. A balística, a ciência que estuda os

projécteis e seus comportamentos, usa muitas vezes parábolas definidas por

funções do tipo ( ) 2f x a x b x c= + +

para estudar trajectórias em que ( )f x representa a altura (milhares de pés) e x a distância

percorrida (milhas navais).

Um exemplo de uma dessas funções é:

, que exprime a distância

ao chão de um projéctil em função da distância

percorrida desde o ponto de lançamento. Com o estudo da função, podemos notar que

o projéctil foi lançado, alcançou a altura máxima de 500000 pés a 100 milhas navais do ponto de lançamento, a altura máxima atingida e o projéctil atingiu o solo a 200 milhas navais do ponto de

lançamento.

Parábolas como estas estão constantemente a ser utilizadas na Balística.

Fig. 2- Gráfico -

Fig. 3- Um disparo de uma rail gun - http://tecnocientista.info/blog/wp-content/uploads/2008/02/railgun-

eletromagnetica_450.jpg


PARÁBOLA

O arco que se encontra na figura abaixo representada, pode-se ser observado nos Estados Unidos da América, e é um foco de interesse por qualquer turista, particularmente de noite. Existe uma relação entre o comprimento (c) e altura (h), ambos em metros, definida pela função quadrática do tipo 0;)( 2 ≠+−= aKhxay . Começamos por propor que a altura máxima deste arco é de 200m, que corresponde a 150m de comprimento, conseguindo deste modo, saber quais as coordenados do vértice (h;k), correspondente a (75;200). Sabe-se que 0)0( =A , isto é, quando a altura é 0 o comprimento do arco também é 0. Através deste valor (0), podemos obter o valor de a, usando a expressão acima referida.

Simplificando, temos:

Altura (m)

Comprimento (m)

Conclusões:

• A função é crescente no intervalo [0;75]; • O domínio é [0;150) e o contradomínio é [0;200] • Em relação aos extremos, encontramos um máximo absoluto, que é

2000, e o maximizante é 75. Imagem: http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://blog.lib.umn.edu/abinf002/architecture/SL_2DGatewayArch_small.jpg&imgrefurl=http://blog.lib.umn.edu/abinf002/architecture/&h=270&w=360&sz=48&hl=pt-PT&start=2&tbnid=IU0I1M0UquBPbM:&tbnh=91&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3Dparabolas%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dpt-PT%26sa%3DN Pedro Azevedo, Nº16,10ºA Pedro Santos, Nº17, 10ªA

225

8

5625

200020056250200)750( 2 −⇔−=⇔=+⇔=+− aaa

ccccccccA3

16

225

8200200

3

16

225

8200)5625150(

225

8200)75(

225

8)( 2222 +−=+−+−=++−−=+−−=

Janela de visualização: [-10;160]10 x[-10;210]10


A parábola entre os postes

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Trabalho realizado por: Ana Pinto nº2 e Mariana Pereira nº13 2007/2008

Um cabo está suspenso por dois pilares, ambos a uma altura de 6 metros, e faz uma curva com a forma de uma parábola, cuja altura mínima ao solo é de 4 metros.

Se aplicarmos um referencial ortogonal e monométrico de modo que Oy coincida com o poste da esquerda e Ox esteja assente no solo, então propomo-nos determinar uma expressão y=h (x), de tal modo que y traduz a distância de qualquer ponto do cabo ao solo e x a sua distância ao pilar da esquerda, utilizando como unidade de comprimento o metro.

Sabemos que h (x)=a (x-h) 2 + k, sendo (h;k) as coordenadas do vértice, ou seja, (4;4), assim a altura mínima do cabo ao solo é de 4 metros. Substituindo na expressão: y=a(x-h) 2 + k � y=a(x-4) 2 +4. Sendo (0;6) um ponto pertencente à parábola: 6=a (0-4) 2 +4 � 6=a (-4) 2 +4 � 6-4=16a � 2=16a

� a= 16

2 � a=8

1 , logo: 8

1 (x-4) 2 +4= 8

1 (x 2 -8x+16) +4= 8

x 2 -x+2+4=8

x 2 -x+6. Então h (x)= 8

x 2 -x+6

que permite, por exemplo, determinar a altura de qualquer ponto do cabo ao solo dada a distância da sua projecção ortogonal no solo ao poste da esquerda. Por exemplo quando x=2, h (2) =0.5-2+6=4.5 metros.

Fig.1 – Adaptada de: http://bp3.blogger.com/_kzri6SSdf20/RxFK_6zp0CI/AAAAAAAAA5E/0nkHlFyfmGk/s1600-h/postes+piornos.jpg


O incêndio

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Trabalho realizado por: André nº3; Sofia nº23; Tiago nº24 2007/2008

O nosso país é um dos mais fustigados pelos incêndios em toda a Europa. Um dos muitos fogos que deflagraram o ano passado, em Portugal, consumiu 1500 hectares de floresta, sendo extinto 30 horas após o seu início. Sabe-se que a relação entre o número de horas decorridas após o início do incêndio (t) e a área queimada (A), em hectares, é modelada por uma função

quadrática definida por uma expressão do tipo khta +− 2)( .

Propomo-nos a definir analiticamente esta função, conhecendo-se a área máxima ardida (1500 hectares) e o tempo correspondente 30 horas, decorrido desde o início do incêndio. Assim, foi possível obter as coordenadas do vértice da parábola (30;1500) que no caso geral são (h;k). Substituindo os valores na expressão: 1500)30( +−= tay .

Sabendo que A(0)=0, ou seja, que no instante inicial ainda não tinha ardido nenhum hectare de floresta podemos substituir estes valores na expressão, determinando a:

3

5

900

15000150090001500)300( 2 −=⇔−=⇔=+⇔=+− aaaa

Após isto, simplificamos a expressão:

ttttttttA 1003

515001500100

3

51500)90060(

3

51500)30(

3

5)( 2222 +−=+−+−=++−−=+−−=

Como é possível ver pela figura, a função é crescente, ou seja, a área ardida aumenta à medida que o tempo também aumenta. O máximo absoluto da função é 1500, o que nos indica que este foi o número de hectares ardidos. O maximizante é 30, indicando-nos isto que o incêndio durou 30 horas, momento em que a área queimada é maior e em que deixa de aumentar. Estes factos podem ser constatados, também, através da análise do domínio: [0;30] e do contradomínio: [0;1500].

Janela de visualização:

50010 ]2000;500[]70;10[ −×−


Ajuda Humanitária

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Trabalho realizado por: Ana Raquel Carvalho nº1 10ºB 2007/2008

De um helicóptero, a 150 metros acima do solo, lança-se um saco com roupa. A distância d(t) do saco em queda, ao solo, é dada, em metros, por d(t) = -5t2 + 150, t

segundos após o lançamento. A interpretação do gráfico permite concluir que o saco cai de uma distância ao solo de

150 m 150)0( =d , e à medida que o tempo passa a distância ao solo diminui, até o atingir ao fim de 5,5 segundos.

Graficamente temos representado parte de uma parábola.

[http://www.goianesia.go.gov.br/portal/imgs_releases/helicoptero01.jpg]

150


Parábola na Antena Parabólica

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Trabalho realizado por: Marta Ferreira nº12 10ºB 2007/2008

Se se rodar uma parábola por um eixo imaginário, a directriz, perpendicular

ao seu vértice, obtém-se uma parabólica.

A antena parabólica tem como objectivo captar ondas electromagnéticas.

Quando os raios atingem a antena que tem formato parabólico ocorrerá a

reflexão desses raios exactamente para o foco (ponto F da imagem) da parábola

(secção da parabólica), onde estará um aparelho receptor que converterá as ondas

electromagnéticas de modo a ser possível a emissão de programas televisivos.

Há várias aplicações em situações reais onde o conhecimento da

distância do foco (valores em centímetros) ao vértice da parabólica é

fundamental.

Para determinar esta distância, introduz-se o esquema acima

representado num sistema de eixos coordenados, rodando a imagem original.

Pretende-se calcular k sabendo que a equação da parábola é do tipo

( ) ( )20,1f x x h k=− − + , em que ( );h k são as coordenadas do vértice e

se conhece P , ponto sobre a parábola. Assim, tem-se

• ( ) ( )20,1 0f x x k=− − + Expressão geral

• ( )17,32; 10P −

Uma vez que o ponto P pertence ao gráfico da função, ao substituir x e y, na expressão que a define, pelas coordenadas

desse ponto é possível determinar a distância do foco ao vértice da parábola.

( ) ( )20,1 0f x x k=− − + �

� ( )210 0,1 17,32 0 k=− − − + �

�k= 40

Deste modo a distância ao foco, que é necessário conhecer é de 40 cm.


Título Sugestivo

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Trabalho realizado por: Ricardo Santos nº14 e João Maio nº6 10ºC 2007/2008

Problema: A bola de golfe:

A trajectória descrita por uma bola de golfe tem a forma de uma parábola. A distância da bola ao solo (em metros) em função de x, distância da proje cção ortogonal da bola ao ponto A, também em metros, é modelada pela função definida por d(x)=-0 ,25x2+2x

Através desta expressão é possível determinar a dis tância a que se encontram os buracos A e B. As abcissas desses pontos coincidem com os zeros da função:

d(x)=0↔-0,25x2+2x=0 ↔ x(-0,25x+2)=0 ↔x=0 v -0,25x=-2 ↔x=0 v x=8

Logo a distância a que se encontra o buraco do pont o A é de 8m. É possível, também, calcular a altura máxima atingi da pela bola, que corresponde à ordenada do

vértice da parábola, voltamos à expressão e sabendo que a abcissa do vértice é 4( fazendo a semi-recta dos zeros), substituindo esse valor na expressão. O resultado é 2 e, portanto, a bola atingiu 4m de altura máxima.


Clube de Futebol

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Trabalho realizado por: Rui Lopes nº17 10ºB Guilherme Pereira nº4 10ºB 2007/2008

Definição de parábola:

Uma parábola é um conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo e de uma recta, que não contem o ponto. Ao ponto fixo dá-se o nome de foco e à recta directriz da parábola. Uma parábola também pode ser definida como sendo uma curva gerada pela intersecção de uma superfície cónica por um plano paralelo à geratriz do cone. Problema: Um clube de futebol, fundado em 1970, tem uma massa associativa estimada pela função:

M(t) = -t2 + 22t + 240

Onde M(t) é o numero de sócios do clube e t o tempo, em anos, desde a fundação do clube. Aquando da fundação do clube, em 1970, este possuía 240 sócios registados. O maior número de sócios registados observou-se em 1981, tendo alcançado uma massa associativa de 361 sócios (correspondente ao máximo absoluto da função). A massa do clube foi diminuindo (função é decrescente: [11,30]) até que, em 2000, o clube abriu falência, não existindo mais sócios (30 é um zero da função pois tem imagem = 0)

Tiago Filipe e Miguel Maio Nº18 e Nº13 10ºB

Função Quadrática – Utilização

Figura 1 – Imagem digitalizada A Aspirina é um medicamento que está indicado no alívio de dores de intensidade ligeira a moderada como por exemplo dores de cabeça, dores de dentes, dores musculares, dores menstruais e ainda nos estados febris associados a resfriados ou gripes. Observou-se que, num certo indivíduo, o nível de acido acetilsalicilico no organismo em função do tempo era dado por:

N (t)= -125 (t-2) 2+500

t � tempo decorrido a partir da toma (em horas) N (t) � nível de acido acetilsalicilico no organismo (em miligramas)

Gráfico

Como podemos ver, a duração do efeito do comprimido no nosso organismo é de 4 horas e atinge o seu valor máximo (500mg) ao fim de 2 horas.

0 4 2

N(t) em miligramas

T (em horas)


Progressão das capacidades físicas do ser humano

Trabalho realizado por: Ana Valente nº1 e Rita Martins nº3 2007/2008

directriz

Para a concretização deste trabalho sobre uma situação da vida real onde seja usada uma função quadrática e a parábola que a representa graficamente, decidimos escolher o tema “Progressão das capacidades físicas do ser humano”, que relaciona as diferentes fases da vida, desde a infância até à velhice (em anos), com a resistência física (em %), apoiando-nos na esperança média de vida no Iraque, que ronda os 60 anos.

A parábola tem como directriz,d, a recta de equação , e o foco,F, é o ponto de coordenadas .

Esta parábola está definida por uma equação do tipo , e tem como vértice o ponto de coordenadas . Sabendo os valores de e , que são a abcissa e a ordenada do vértice, respectivamente, substituímos na expressão inicial, obtendo

Podemos concluir que esta função está definida por:

Deste modo podemos analisar a variação da capacidade fisica na população no Iraque dos 0 até aos 60 anos. É possível, então, afirmar que desde o nascimento (0 anos), em que a capacidade física da população do Iraque é 0 %, até que esta atinge o seu máximo (100%) aos 30 anos, diminuindo, de seguida, até aos 60 anos, em que atinge novamente os 0%, a capacidade física é modelada pela função quadrática c. Foi, exactamente, por este motivo que escolhemos este tema como aplicação das parábolas.

V

f x( ) = -0,2⋅ x-0( )2+5

Bruna Sousa nº8 Yevgeniya Tsyba nº25

A parábola e o arco-íris

Um dos muitos casos da vida real onde se aplica a parábola é o caso do arco-íris, como se pode verificar no gráfico seguinte:

f x( ) = -0,2⋅ x-0( )2+5

Procurando a função que melhor se adapta ao arco-íris por tentativas verificou-se que é a que vem a seguir: A parábola é uma secção cónica gerada pela intersecção de uma superfície cónica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone (chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma recta dada (chamada de directriz). É uma curva plana.


Construção de uma parábola no programa “Geometer's Sketchpad”

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Trabalho realizado por: Rita Martins nº3 2007/2008

1. Desenhar uma

recta, a

directriz(d) e um

ponto, o foco (F)

nos botões à

esquerda:

e ,

respectivamente

2. Sobre a directriz

(d), representar

um ponto (A) e

uma recta

perpendicular a

esta que passe

pelo ponto A,

seleccionando a

directriz e o ponto

A e recorrendo

ao menu Construct, Perpendicular Line.

3. Construir um segmento de recta [FA] , do foco (F) ao ponto A,

seleccionando os respetivos pontos e recorrendo ao menu

Construct, Segment.

4. Traçar a mediatriz de [FA], determinando o seu ponto médio no

menu Construct, Midpoint e desenhando uma recta perpendicular a

[FA] que passe pelo ponto médio.

5. Seleccionando a mediatriz de [FA] e da recta perpendicular à

directriz (d) construir o ponto P, como intersecção destas duas rectas

recorrendo ao menu Construct, Intersection.

6. Pôr o ponto P a traçar, seleccionando-o e recorrendo ao menu

Display, Trace Intersection.

7. Animar o ponto A, seleccionando-o e no menu Edit escolher Action

Buttons e Animation, para que este percorra a directriz (d).

expo 10ºc

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