expocicion ji cuadrado
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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA
DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECANICA
ESCUELA DE INGENIERIA
INDUSTRIAL
TEMA: DISTRIBUCION JI CUADRADO
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JI CUADRADO
Es una de la distribución mas empleadas en todos los campos.
Su uso mas común es cuando se quiere probar si unas mediciones
que se haan e!ectuado si"uen una distribución esperada.
Caracter#sticas$
Es una distribución asim%trica.
Solo toma &alores positi&os es asintótica con
respecto al e'e de las ( positi&as )* + + ,-.
Est caracteri/ada por un único parmetro
llamado$ "rados de libertad )".l.-
El rea comprendida entre la cur&a el e'e de las (
es 0 o 0**1.
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2a !orma de una distribución Chi cuadrado depende
de los "rados de libertad3
por tanto ha un número in!inito de distribuciones
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Gráfico de la distribución Ji Cuadrado
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4ara calcular el chi cuadrado se utili/a esta !ormula$
4odemos calcular cada !recuencia esperada )teórica-
multiplicando el número total de pruebas 5 por
la probabilidad de ocurrencia asociada3 es decir$
Ei 6 57 pi i 6 03 ...3 8
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De una in&esti"ación demo"r!ica se conoce que los
habitantes de ciertos pa#ses se distribuen en la !ormasi"uiente$ *9 :* a;os3 :<1= :0 > ?* a;os3 @<1= ?0 90
a;os3 :<1= 0 9B* a;os3 0*1= B0 > 0** a;os3 <1.
Despu%s de transcurridos &arios a;os se quiso probar
que la distribución poblacional de las edades no hacambiado para lo que se selecciono una muestra
respecti&a de 0*** personas se obser&o que las
!recuencias de las < cate"or#as !ueron$ *9 :* a;os3 :**=
:0 > ?* a;os3 @**= ?0 90 a;os3 @**= 0 9B* a;os3 0**=
B0 > 0** a;os3 0**.
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la distribución actual por edades es i"ual a la del a;o
de e'ecución del censo
2a distribución actual por edades no es i"ual a la del
a;o de e'ecución
5i&el de si"ni!icación a6 *.0*
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E(isten 86 < celdas3 tenemos "l 6 890 6 <906? "rados de
libertad a 6 *.0* en la tabla de CI > CUADRADOobtenemos
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2as !recuencias obser&adas nos las proporcionan con la muestraaleatoria de los 0.*** habitantes.
CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS
= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 5% = 50
= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 10% = 100
= 1.000 X 5% = 50
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CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO
= !
= 10!".1#!10!0!50
= "".1#
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emos que el estad#stico calculado CI > CUADRADO
).0?- es maor que el &alor critico encontrado en la
tabla ).F- &emos que .0? cae en la re"ión de
recha/o por lo tanto recha/amos aceptamos 3 es decir ladistribución actual por edades no es i"ual a la de la
in&esti"ación demo"r!ica.
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O En un estudio realizado en el departamento de
investigación del ESAN acerca del perjuicio étnico
acia el negro! En los universitarios de lima se aplicó!
"na encuesta a los universitarios seg#n su lugar de
procedencia$ obteniendo los resultados %ue presenta la
siguiente tabla!
Lugar de residenciaGrado De
Perjuicio
Barriadas Barrios
Populares
Intermedios
Barrios
Residenciales
Total
Alto 32 225 50 307
Bajo 2 2!0 7! 3!7
Total "0 5#5 #2! 70$
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&o' el perjuicio étnico ( el lugar de
procedencia son independientes
&)' e*iste dependencia entre las variables!
+a prueba es unilateral
Asumimos el nivel de significación de , -!-.
O
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2a distribución 'i9cuadrada es conocida tambien
como la distribución muestral de s:. O sea que si se
e(traen todas las muestras posibles de una
población normal a cada muestra se le calcula su
&arian/a3 se obtendr la distribución maestral de
&arian/as. Se denota con la si"uiente !ormula$ n6 tama;o de la muestra
El estad#stico 'i9cuadrada tambi%n se puede dar con
la si"uiente e(presión$
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Clculo de 4robabilidad
El clculo de probabilidad en una distribución muestral
de &arian/as nos sir&e para saber como se &a a
comportar la &arian/a o des&iación estndar en una
muestra que pro&iene de una distribución normal.
Supon"a que los tiempos requeridos por un cierto
autobús para alcan/ar un de sus destinos en una ciudad
"rande !orman una distribución normal con una
des&iación estndar 60 minuto6*3*0. Si se eli"e al a/ar
una muestra de 0 tiempos3 encuentre la probabilidad deque la &arian/a muestral sea maor que :.
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= 2
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Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria
de :< obser&aciones3 de una población normal con&arian/a 3 ten"a una &arian/a muestral$
Gaor que F.0
Entre @.?: 0*.?<
Al buscar este número en el ren"lón de :? "rados de
libertad nos da un rea a la derecha de *.*<. 4or lo que
la 4)s: HF.0- 6 *.*<
Se calcularn dos &alores de 'i9cuadrada$
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Aqu# se tienen que buscar los dos &alores en el ren"lón
de :? "rados de libertad. Al buscar el &alor de [email protected]? seencuentra un rea a la derecha de *.F<. El &alor de
?:.FB da un rea a la derecha de *.*0. Como se est
pidiendo la probabilidad entre dos &alores se resta el
rea de *.F< menos *.*0 quedando *.F?.4or lo tanto la 4)@.?: s: 0*.?<- 6 *.F?
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El 'i cuadrado tambien es utili/ado para hacer la
estimacion de la &arian/a$
Despe'ando la &arian/a$
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2os &alores de : dependern de ni&el de con!ian/a que
se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la"r!ica se tiene$
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2os si"uientes son los pesos3 en deca"ramos3 de 0*
paquetes de semillas de pasto distribuidas por ciertacompa;#a$ ?.?3 ?.03 ?<.B3 ?.*3 ?.03 ?<.F3 ?<.B3 ?.F3
?<.: ?. Encuentre un inter&alo de con!ian/a de F<1
para la &arian/a de todos los paquetes de semillas de
pasto que distribue esta compa;#a3 supon"a una población normal.
Calculo de la des&iación estndar$
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s:6 *.:B
4ara obtener un inter&alo de con!ian/a de F<1 se eli"e un6 *.*<. Despu%s con el uso de la tabla con F "rados de
libertad se obtienen los &alores de :.
Se puede obser&ar en la "r!ica anterior que el &alor de
:
corre en !orma normal3 esto es de i/quierda a derecha.4or lo tanto3 el inter&alo de con!ian/a de F<1 para la
&arian/a es$
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ra!icamente$
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Se obser&a que la &arian/a corre en sentido contrario3 pero esto es sólo
en la "r!ica. 2a interpretación quedar#a similar a nuestros temasanteriores re!erentes a estimación. Con un ni&el de con!ian/a del F<1
se sabe que la &arian/a de la población de los pesos de los paquetes de
semillas de pasto esta entre *.0@< *.F@< deca"ramos al cuadrado.
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En traba'o de laboratorio se desea lle&ar a cabo comprobaciones
cuidadosas de la &ariabilidad de los resultados que producen muestras
estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el a"ua potable3 el cual
se e!ectúa como parte del control de calidad3 se anali/ó seis &eces la
misma muestra en el laboratorio en inter&alos aleatorios. 2os seis
resultados en partes por millón !ueron F.<?3 F.03 F.@:3 F.?B3 F.* F.:.
Estimar la &arian/a de los resultados de la población para este estndar3
usando un ni&el de con!ian/a del F*1.
Al calcular la &arian/a de la muestra se obtiene un &alor de s:6 *.*:B<.
Se busca en la tabla los &alores correspondientes con < "rados de libertad3
obteni%ndose dos resultados. 4ara :)*.F<3<-6 0.0?< para :
)*.*3<-6 00.*.
Entonces el inter&alo de con!ian/a esta dado por$
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