exposé en ondelettes

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Exposé en Ondelettes

Titre : TOC 2D et leurs application dans la détection de contour

Présenter par :Mounir GRARINajlae KORIKACHE

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Plan• la transformée de Fourier 2D

• Ondelette, et famille d’Ondelettes 2D

• Transformée en ondelettes directionnelles

• Algorithme de détection de contours dans une image :– Diversité des approches face au problème de la détection des arêtes :– Le détecteur multi-échelles de Canny :– Implémentation par convolution de gaussienne :– Test sur des images réel :

• Comparaisons entres les Algorithme déjà implémenté sous Matlab pour détection de contour (edge avec sobel, Canny, Prewitt, Roberts, zero-cross)

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Introduction :

Chercher les contours, ou les arêtes d'une image est un problème universel, utile aussi bien en imagerie médicale qu'en imagerie astrale, en vidéo, ou même en météorologie (par exemple pour détecter les fronts nuageux en assimilation de données satellitaires) ...

Le but de ce travail est d’introduire les transformée en ondelettes continues 2D et de donner un exemple d’application dans la détection des contours d’une image.

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la transformée de Fourier 2D

La transformée de Fourier bidimensionnelle d’une fonction f intégrable sur 2 est définie par :

xdexfkf xki .2

2)()(ˆ

Si )( 22 Lf , la formule de synthèse de f s’écrira :

2

.2)(ˆ)( kdekfxf xki

Les définitions d'une ondelette et de la transformée en ondelettes telles qu'elles sont définis en dimension 1 se généralisent naturellement à 2 (et même à n) dimensions en faisant varier les variables d'intégration et le paramètre de translation x dans 2 et non plus dans .

TOC 2D et leurs application dans la détection de contour

5

Ondelette, et famille d’Ondelettes 2D

.


Ondelettes 2D :

)( 22 L est dite une Ondelette 2D si elle remplit la condition d’admissibilité suivante :

2 2

2

)(ˆ

kdk

kc

Ce qui implique : 0)(2

xdx

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On utilise, dans la pratique, une condition plus forte en imposant à l’Ondelette un nombre p de moments nuls :

0)(2

xdxxn

1,......,2,1,0 pn

Et .0)(2

xdxxp

Ce qui signifie que la transformée de Fourier de l’Ondelette doit s’annuler comme

p

k

en 0k

dans l’espace spectral.


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Famille d’Ondelettes 2D : A partir d’une Ondelette )(x

, la famille d’Ondelettes est définie par dilatation, rotation

et translation :

a

bxR

ax

ba

1)(

),,(

Avec 2b

, a une échelle positive et R la rotation d’angle de 2 , de matrice

R =

sin

cos

cos

sin

Ondelettes isotropes :

Une Ondelette est dite isotrope si la valeur de )(x

ne dépend que de la distance à

l’origine x

(ie radial )()( xhx

.


8

Ondelette, et famille d’Ondelettes 2DOndelette de Morlet anisotrope : L’Ondelette de Morlet (complexe) est définie par:

uxixeex

.522

)(

Où )sin,(cos u

est le vecteur unitaire dans la direction .


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Ondelette, et famille d’Ondelettes 2D Ondelettes isotropes : Laplaciens itérées de Gaussienne : Pour 1n , on définit une Ondelette nh2 par :

2

)()1()(2

2

2

2

2

xnnn e

yxxh

Sa transformée de Fourier est donnée par : 22

22 4)(ˆ kn

nnn ekkh

Pour n = 2, 2h est appelé le Laplacien de la Gaussienne, utilisé souvent en Vision par

ordinateur. Dans la littérature, 2h est appelé le chapeau mexicain.


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Ondelette, et famille d’Ondelettes 2D Chapeau mexicain H2


11



12



Chapeau mexicainH8

13


Remarque : L’Ondelette nh2 a exactement 2n moments nuls .le maximum de sa transformée de

Fourier nh2ˆ se trouve en nk 20 .


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Transformée en ondelettes directionnelles Définition :

Soit une Ondelette 2D. La transformée en Ondelettes directionnelle d’une

fonction )( 22 Lf est définie, pour 2,0,0,2

ax par :

tda

xtR

atfRfaxWf ax

2

1)()(,),,( ,

Où R désigne la matrice de rotation :

sin

cosR

cos

sin

Si l’ondelette est isotrope, alors :

)()(a

xt

a

xtR

La transformée en ondelettes devient donc,

tda

xt

atffaxWf ax

)(1

)(,),(2,


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Transformée en ondelettes directionnelles Reconstruction :

Pour pouvoir inverser la transformée en odelettes directionnelle, on utilise le théorème suivant :

Théorème :

Soit une ondelette réelle et )( 22 Lf , ),,( axWf

sa transformée en ondelettes directionnelle. Si

2 2

2

)(ˆ

dC

Alors on a : (i) Une formule de conservation de l’énergie :

2

00

2

3

2

2

2)(),,(

a

xdxfCbda

dadabWf

(ii) Une formule de reconstruction :

2

0 032

1),,(

1)( bd

a

dad

a

btR

aabWf

Ctf


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Transformée en ondelettes directionnelles

Démonstration : (i) Démontrons d'abord la formule de conservation d'énergie. Cette démonstration repose sur la formule de Parseval. Appliquons Parseval à la définition de ),,( axWf

:

ababRfRfabWf

,,)(,ˆ)(,),,(

Or )(1

)(, a

btR

aR

ab

, donc en appliquant les propriétés, on obtient :

bibiab eaRaeaRaR

.2.2

, ))((ˆ)()(


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Transformée en ondelettes directionnellesDonc :

deaRfaabWf bi .22

))((ˆ)(ˆ),,(

Dans le membre de droite, on connaît la transformée de Fourier inverse de

))((ˆ)(ˆ

aRaf , Donc :

))((ˆ)(ˆ)(),,(),,(ˆ

aRfaabWfbFafW

Par conséquent, puisque la transformée de Fourier conserve la norme 2L :

22

222

2)(ˆ)(ˆ),,(

daRfabdabWf

En rajoutant l’intégration sur les angles et sur les échelles a et en appliquant le théorème de Fubini-Tonelli :

22

0 2,0

222

0 03

2

))((ˆ1)(ˆ),,(

ddadaRa

fbda

dadabWf

aa


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Transformée en ondelettes directionnellesConsidérons alors le double intégral entre crochets et faisons le changement de variables

)(),(

aRa

Donc ),( 21

avec

211 sincos aa

212 cossin aa Calculons le déterminant de la matrice Jacobienne :

2

1

a

a

2

1

On trouve2

a , donc dadad 2

Or

a , donc

CddadaRaa 2 2

2

0 2,0

2 )(ˆ))((ˆ1

On obtient ainsi la formule.


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(ii) Pour obtenir la formule de reconstruction, nous utilisons encore la formule de Parseval ;

Notons )()(~

xx

, étant réelle, un simple changement de variable xx

dans

la définition de la transformée de Fourier de )(~

x

donne :

)(ˆ)(~̂

Soit I définie par :

22

.2))((ˆ),,()(1

),,(

deaRaaWfbda

btR

aabWfI ti

On a déjà montré à l’équation précédente que :

))((ˆ)(ˆ),,(

aRfaaWf


20


La quantité I s’écrit donc :

2

.22

2 ))((ˆ)(ˆ

deaRfaI ti

Intégrons I par rapport aux variables a et pour obtenir le membre de droite J de la formule :

2

0 0 3.2

22

2))((ˆ)(ˆ

a

ti da

dadeaRfaJ

A cette étape, si l’on vérifie les hypothèses de Fubini, ce qui est le cas pour )(ˆ 21 Lf , on peut inverser les intégrales. J vaut alors :

dda

daaRefJ

a

ti

2

2

0 0

2.2 ))((ˆ)(ˆ


21


J vaut alors :

dda

daaRefJ

a

ti

2

2

0 0

2.2 ))((ˆ)(ˆ

Or on a déjà vu que

2 2

2

2

0 0

2 )(ˆ))((ˆ Cdd

a

daaR

a

Donc : 2

.2)(ˆ

defCJ ti

On reconnaît la transformée de Fourier inverse de )(ˆ 21 Lf , c’est-à-dire f . On a donc

bien )(1

tfJC

Cependant, les hypothèses nous placent dans le cas ou f est dans )( 22 L : la quantité

2

.2)(ˆ

def tidoit alors être prise au sens de la semi-convergence : elle définit

)(xf par prolongement de 1F de )()( 2221 LL à )( 22 L .


22

Algorithme de détection de contours dans une image

a. Diversité des approches face au problème de la détection des arrêtes :

Chercher les contours, ou les arêtes d'une image est un problème universel, utile aussi bien en imagerie médicale qu'en imagerie astrale, en vidéo, ou même en météorologie (par exemple pour détecter les fronts nuageux en assimilation de données satellitaires) ... Les recherches en compression d'images (enjeu très important et actuel du traitement d'images) s'orientent d'ailleurs vers la définition de nouvelles bases adaptées à la géométrie des contours de l'image (ce sont en effet les contours d'une image qui portent l'essentiel de l'information).


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Donoho et Candes ont défini les Ridgelets, transformés directionnelles qui fonctionnent à l'aide de familles :

a

bxua

.2/1

Ou le paramètre d’échelle a est un réel positif, le paramètre de localisation b est un réel, et le

paramètre d’orientation u

appartiens à la sphère unité 1dS de d ; à l'aide de cette transformée, ils définissent les curvelets. Cette approche est poursuivie par, Do et Vetterli, qui ont définis les contourlets. Mallat et Le Pennec profitent également de la géométrie de l'image en définissant des bandelettes, obtenues par déformations d'ondelettes anisotropes, construites selon la direction de régularité maximale de la fonction, puis alignées dans une direction fixe.


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Les arêtes dessinent les contours des objets, des structures présentes sur l'image, et constituent les zones que l'oeil perçoit le mieux : ce sont des zones ou l'intensité lumineuse varie brusquement. Nous pouvons alors intuitivement définir les points d'une arête comme ceux ou

le gradient de l'intensité lumineuse I

est maximum.

Le gradient de l'image en x est supérieur à celui en les points marqués +


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Définition : (intuitive)

Un point (x0 ; y0) d'une image appartient à une arête si en ce point le module du gradient de l'intensité

lumineuse I

est localement maximum dans la direction de I

.

Définition : (Canny)

Un point (x0 ; y0) d'une image appartient à une arête si en ce point le module du gradient de l'intensité

lumineuse lissée par un noyau a , )( aI

est localement maximum dans la direction

de )( aI

.

Définition : (Mallat-Zhong, Mallat-Hwang)

Soit une image f que l'on lisse par un noyau de convolution a d'échelle a variant

continument entre 0 et amax ; Posons a *f ga . Alors s'il existe une chaine interrompue à

travers les échelles reliant des Maxima locaux de ag

dans la direction de ag

, le sommet

(x0; y0) de cette chaine vers les échelles fines 0) (a est un point de contour.


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.

b. Le détecteur de Canny multi-échelles

i. Formule mathématique du détecteur La méthode de Mallat-Zhong fait intervenir une ondelette bidimensionnelle et

vectorielle dont les deux composantes sont les dérivées selon x et selon y d'une fonction y) (x, :

yx

21 et

Ici est un noyau de lissage que nous choisirons positif et soit isotrope, soit à variables séparées ; il vérifiera (r et alpha désignent ici les coordonnées polaires) :

1 2

yx 21 . y)(x,ou g(r) ))sin(r ),cos((r On notera :

21,


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On définit ainsi deux transformées en ondelettes, l'une détectant les singularités verticales et l'autre les singularités horizontales d'une image, dont les valeurs à l'échelle 0a et au point

vu, de 2 sont :

),(),(),(),,( 1112

vufdxdya

vy

a

uxyxfavufW

),(),(),(),,( 2222

vufdxdya

vy

a

uxyxfavufW

Où

),(a

1 ),(

a

y

a

xyx pp

a Et ),( ),( yxyx pa

pa

pour 2,1p


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Et donc

),)((),,( vufaavufW a

Cette transformée peut être écrite de manière plus synthétique sous forme vectorielle :

),(),,()),,(),,,((),,( 21 vyuxyxfavufWavufWavufW a

Ainsi, en chaque point (u; v) de 2 , on connait, a une échelle fixée, le vecteur

)),,(),,,((),,( 21 avufWavufWavufW

Or, du fait que dérivation et convolution commutent, il vient que :

),)((),,(1 vufu

aavufW a

et ),)((),,(2 vufv

aavufW a

Où ),(1

),(a

y

a

x

avua


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On remarque donc, que la transformée qui à l’image f associe ),,( avufW

est proportionnelle au gradient de l’image lissé par un noyau de convolution d’échelle a. L’importance de cette propriété s’agit de repérer les arêtes de l’image,il faut donc trouver les

maxima locaux du module ),,( avufW

dans la direction du gradient de ),)(( vuf a

,or

d’après la formule trouvé on voit que l’angle défini entre l’axe des abscisse et ),,( avufW

est

le même que celui entre l’axe et l’abscisse et ),)(( vuf a

,autrement dit,à un lissage par

une gaussienne près,l’orientation du gradient de l’image.

Au lieu de représenter ),)(( vuf a

par ses deux composantes ),,(1 avufW et ),,(2 avufW ,

il est plus pratique de trouver les points de contours, d’utiliser son module et son orientation.


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2221 ),,(),,(),,( avufWavufWavuMf

0),,(),,(

),,(tan),,( 1

1

21

avufsiW

avufW

avufWavuAf

0),,(),,(

),,(tan 1

1

21 avufsiW

avufW

avufW

),,( avuMf est le module (à un facteur a prés) en (u,v) du gradient

y

f

x

f aa )(,

)(

de l’image f convoluée par noyau de lissage à l’échelle a ; ),,( avuAf est l’orientation en (u,v) du gradient de l’image lissée par ce même noyau à l’échelle a.


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Algorithme de détection de contours dans une imageii. Noyau de lissage : Gaussien isotrope et ces propriétés

La gaussienne : La gaussienne est probablement le noyau de lissage le plus utilisée en traitement de l’image ; outre ses propriétés de régularité, en dimension deux une gaussienne est à la fois une fonction isotrope et une fonction tensorielle (ce qui algorithmiquement est un grand avantage).

Définition:

Une gaussienne G de variance 2 est une fonction définie de

2 par:

Rappelons que

dxdye yx

2

22 )(

Et

dxe x

2

2

Ainsi, l'intégrale sur 2

de G vaut 1, ce qui implique 1)0,0(ˆ G La gaussienne est bien un noyau de lissage.

2

22

222

1),(

yx

eyxG


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33

Algorithme de détection de contours dans une imageIsotropie de la gaussienne : Puisque la gaussienne ne dépend que de 22 yx , alors Une gaussienne est isotrope. Notons en particulier que :

22,

xxR

eex

R est la matrice de rotation d'angle .

Transformée de Fourier d’une gaussienne

2

2)2(

21

22.122

),(ˆ

eG

La transformée d’une gaussienne de variance 2 reste donc une gaussienne mais de variance

22)2(

1

. Elle est donc parfaitement invariante pour

2

12 :

)()( 2

22

122

)( eeF yx


34



35


Invariance par convolution. Proposition :

La convolution de la gaussienne G de variance 2 par elle-même est encore une gaussienne,

mais de variance 22 :

)2

,2

(2

1),)((

yxGyxGG


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iii. Détecteur multi échelles et transformé en ondelettes directionnelle

Le détecteur multi échelles est fondé sur une transformée en ondelettes vectorielle :

),(),,()),,(),,,((),,( 21 uyuxyxfavufWavufWavufW a

Cette transformée peut être interprétée comme une transformée en ondelettes continue 2D directionnelle, comme nous allons le prouver ici et nous verrons les propriétés qui en découlent. Considérons la transformée en ondelettes continue directionnelle de f avec pour ondelette d’analyse 1 .

2

)),((1

),(),,,( 11 dxdya

vy

a

uxR

ayxfavufW

On peut aussi utiliser 2 au lieu de 1 et définir ainsi ),,,(2 avufW . représente la

direction de l'analyse. La proposition suivante montre qu'on peut exprimer ),,,(1 avufW (et

),,,(2 vuafW ) en fonction de ),,(1 avufW et ),,(2 avufW .


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Proposition : Si est un noyau de lissage isotrope, alors :

),,(sin),,(cos),,,( 211 avufWavufWavufW

),,(cos),,(sin),,,( 212 avufWavufWavufW

Autrement dit :

),,(

),,(

cos

sin

sin

cos

),;,(

),,,(2

1

2

1

avufW

avufW

avufW

avufW

On le note, de manière plus synthétique :

WRW


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Démonstration : Rappelons que :

yet

x

21

Où est un noyau de lissage isotrope

Commençons par remarquer que :

2

)),((1

),(),,,( 11 dxdya

vy

a

uxR

ayxfavufW

2)),((),( 1 dxdyyxRavayuaxf

Le même changement de variables peut être fait pour ),,,(2 avufW , et pour ),,(1 avufW

et ),,(2 avufW .


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Exprimons maintenant )),(( yxRx

et )),(( yxRy

; pour cela, notons :

)),(),,((),( 21 yxRyxRyxR

Avec

yxyxR

yxyxR

cossin),(

sincos),(2

1

)),(),,((),( 21 yxRyxRyx est un changement de variables polaire.

Or

)),(),,((

)),(),,((

21

21

yxRyxRy

yxRyxRx

y

R

y

R

x

R

x

R

21

21

)),(),,((

)),(),,((

21

21

yxRyxRy

yxRyxRx


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C’est-à-dire

)),((

)),((

cos

sin

sin

cos

),(

),(

yxRy

yxRx

yxRy

yxRx

La matrice jacobienne du changement de variables est la matrice de rotation R : appliquons à l’égalité précédente l’opérateur RR 1)( et remarquons également que est isotrope, donc

),()),(( yxyxR Ce qui donne :

)),((

)),((

cos

sin

sin

cos

),(

),(

yxy

yxx

yxRy

yxRx

Il n’y a alors plus qu’à multiplier cette égalité par ),( vayuaxfa et à l’intégrer sur x et y

pour obtenir le résultat.


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iv. Module Mf, orientation Af, et transformé en ondelettes directionnelle Si on se place en un point ),( yx de l’image et à une échelle a fixée.

Dans la proposition précédente, la transformée en ondelettes directionnelle ),,,( ayxfW

a

été exprimé en fonction du détecteur fW

; on a vu que le détecteur peut s’exprimer également à l’aide d’un module ),,( ayxMf et d’une orientation ),,( ayxAf , qui représente (à un lissage par un noyau de convolution d’échelle a prés) l’orientation du gradient de l’image.

Quels liens y a t il entre la transformée en ondelette directionnelle ),,,( ayxfW

et le

module et l’orientation ?

Proposition : Si

est le gradient d’un noyau isotrope alors :

)sin(

cos(),,(),,,(

ayxMfayxfW

Ou ),,( ayxAf


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Démonstration :

Pour démontrer ce résultat, il suffit de repartir de la proposition précédente et d’utiliser les définitions de Mf et Af ; on a :

sin),,(

cos),,(

),,(

),,(2

1

ayxMf

ayxMf

ayxfW

ayxfW

Cela donne :

),,(sin

),,(cos

cos

sin

sin

cos

),,,(

),,,(2

1

ayxMf

ayxMf

ayxfW

ayxfW

)sin(

)cos(),,(

ayxMf


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a. Notre Implémentation par convolutions de gaussienne :

Conversion de l'image en matrice : Avant toute chose, l'image est convertie en un tableau de flottant : elle sera notée w(x; y), ou 1<x<width et 1<y< height. Par exemples pour ma photo de taille 279*220 en pixels La matrice w représentative sera de trois couches de taille 279*220

Garder juste le niveau de gris : En utilisant une fonction de Matlab on garde seulement une représentation de L’image avec le niveau de gris w=RGB2gray(x); Donc w devient une matrice de taille 279*220 (la même taille de l’image en pixels)


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Calcul de la transformée en ondelette dans la direction de x : Convolution de f par un masque gaussien (avec conv2) pour trouvé la norme de ),,(1 avufW Le résultat est une matrice Ix de la même taille que l’image Si on affiche cette matrice comme une image on remarque très bien les points de singularité Verticales

Calcul de la transformée en ondelette dans la direction de y : Convolution de f par un masque gaussien pour trouvé la norme de ),,(2 avufW : Le résultat est une matrice Iy de la même taille que l’image Si on affiche cette matrice comme une image on remarque très bien les points de singularité Horizontales


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Calculs de la norme du gradient Mf : La norme du gradient n’est rien d’autre que la racine carrée d’Ix² et Iy² Le résultat est une matrice de la même taille que l’image.

Chercher les points ou la norme du gradient est maximal : Nous allons nous basé sur l’interpolation pour déterminer les point ou la norme du gradient est maximale.


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Test sur des images réelles Afin de valider l'algorithme, nous l'avons d'abord appliqué à des images simples : Image avec deux couleur noir et blanc qui contient des carrées et des ellipses :


47


On remarque très bien la détection des singularités verticales et les singularisées Horizontales dans la deuxième et la troisième image puis en suite la norme du Gradient puis les points détecté comme contours dans la 5éme image (par notre algorithme), et en dernier les contours détectés par la fonction edge de Matlab (implémente la plupart des détecteurs). On remarque que pour les dessins simples notre détecteur se comporte très bien.


48

Test sur des images plus réelles : Comme deuxième validation de notre algorithme nous allons le tester pour une ancienne image de Bab Algharbi :



49


On remarque très bien la détection des singularités verticales et les singularisées Horizontales dans la deuxième et la troisième image.

La norme du Gradient sur la quatrième image puis les points détectés comme contours dans la 5eme image (par notre implémentation du détecteur de Canny), et en dernier les contours détectés par la fonction edge de Matlab (implémente la plupart des détecteurs). Dans notre implémentation du détecteur de Canny on trouve ce qu’on appel des singularités non significatives, mais bien sur cela peut s’amélioré en augmentant la noircit de l’image (diminuer l’éclairage de l’image) On remarque aussi que même pour des images réelles notre implémentation du détecteur se comporte très bien.


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Test sur des images plus réelles : Comme troisième validation de notre algorithme nous allons le tester pour l’exemple classique la Gorie:



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On remarque très bien la détection des singularités Verticales et les singularisées Horizontales dans la deuxième et la troisième image.

La norme du Gradient sur la quatrième image puis les points détectés comme contours dans la 5eme image (par notre implémentation du détecteur de Canny), et en dernier les contours détectés par la fonction edge de Matlab (implémente la plupart des détecteurs). On remarque aussi que même pour des images réelles notre implémentation du détecteur se comporte très bien.


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Algorithme de détection de contours dans une imageTest sur des images plus réelles : Comme troisième validation de notre algorithme nous allons le tester sur « portes de garages »:


53

Algorithme de détection de contours dans une imageAvec plus de détails

On remarque très bien la détection des singularités Verticales et les singularisées Horizontales dans la deuxième et la troisième image.

La norme du Gradient sur la quatrième image puis les points détecté comme contours dans la 5eme image (par notre implémentation du détecteur de Canny), et en dernier les contours détectés par la fonction edge de Matlab (implémente la plupart des détecteurs). On remarque aussi que même pour des images réelles notre implémentation du détecteur se comporte très bien.


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Test sur des images plus réelles : Comme troisième validation de notre algorithme nous allons le tester pour ma photo personnelle :

On remarque très bien la détection des singularités Verticales et les singularisées Horizontales dans la deuxième et la troisième image



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Comparaisons entre différents Algorithmes Comparaisons entres les Algorithme déjà

implémenté sous Matlab pour détection de contour (edge avec sobel, Canny, Prewitt, Roberts, zero-cross)

Nous avons mis en place un programme sous Matlab qui fait la détection de contour avec les algorithmes de détection de contour les plus connue se basent sur les transformés en ondelettes :


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Comparaisons entre différents Algorithmes

Première comparaison


57

Comparaisons entre différents AlgorithmesDeuxième comparaison

On remarque que le détecteur de Canny donne toujours de meilleurs résultats.


58

Comparaisons entre différents AlgorithmesDeuxième comparaison


59

Conclusion et Perspectives du travail :

Durant ce modeste travail, nous avons expliqué la notion de transformée en ondelettes continues 2D et ses différentes propriétés, puis nous avons appliquer cette notion dans la détection de contours et enfin, nous avons fait une implémentation du détecteur de Canny appliquée à un ensemble d’images et de photos.

Et comme perspectives de ce travail ; on propose : – Calcul des singularités lipchitziennes aux Points de contours

– Travailler avec les trois couleurs de base au lieu du niveau de gris


60

Merci

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