expresiones algebraicas, descomposicion factorial, razon y proporcion y teorema del binomio de...

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA

Calidad, Pertinencia y Calidez Vicerrectorado Académico

DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS SEGUNDO SEMESTRE

DEL 2015

TEMA:

INTEGRANTES:

KARLA FEIJOO

ROGGER ILLESCAS

KEVIN JIMENEZ

GUIDO PINO

PAUL TORRES

PROFESORA:

ING. MARIUXI MARQUEZ

CURSO:

VO7

AÑO LECTIVO

2015-2016




PRESENTACIÒN

Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante operaciones

aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas. Se la

obtiene transformando el enunciado, donde valores que no conocemos en una expresión algebraica, a

los valores conocidos también como variables que no conocemos lo representamos por una letra

diferente. Las expresiones algebraicas tienen un valor numérico, para un determinado valor, es el número

que se obtiene al sustituir en esta el valor numérico dado y realizar las operaciones que se indiquen. Se

clasifican en monomio, binomio, trinomio y polinomio.

La descomposición factorial, dice que factorizar, es descomponer una expresión en dos o más factores.

Los casos de factorización son binomios, trinomios y polinomios. Es una técnica que consiste en la

descripción de una expresión matemática en forma de producto. Existen distintos métodos de

factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados, el objetivo es simplificar una

expresión que reciben el nombre de factores, algunas clases de factorización son: factorizar un

polinomio, factor común monomio, factorización por agrupación de términos, factorización por tanteo

simple, factorización por tanteo especial, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos y

factorización utilizando la fórmula cuadrática.




EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras

suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones

algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una

expresión algebraica:

Frase Expresión algebraica

La suma de 2 y un número 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)

3 más que un número x + 3

La diferencia entre un número y 5 a - 5

4 menos que n 4 - n

Un número aumentado en 1 k + 1

Un número disminuido en 10 z - 10

El producto de dos números a • b

Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b)

Dos veces un número sumado a otro 2a + b

Cinco veces un número 5x

Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido

El cociente de dos números a

b

La suma de dos números x + y

10 más que n n + 10

Un número aumentado en 3 a + 3

Un número disminuido en 2 a – 2

El producto de p y q p • q

Uno restado a un número n – 1

El antecesor de un número cualquiera x – 1

El sucesor de un número cualquiera x + 1

3 veces la diferencia de dos números 3(a – b)

10 más que 3 veces un número 10 + 3b

La diferencia de dos números a – b

La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43

19 más que 33 33 + 19 = 52

Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10

El producto de 6 y 16 6 • 16 = 96

3 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18




La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65

El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 3

12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5

Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden

definir una regla o principio general. (BALDOR & Baldor, 1999). Es decir, las expresiones

algebraicas generalmente nos permiten plantear problemas en un lenguaje matemático lo que facilita

su resolución.

DESCOMPOSICION FACTORIAL

Antes que todo factorización es la transformación de una expresión en producto de factores., hay que

decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números

complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales, que son:

1. Diferencia de cuadrados

2. Suma o diferencia de cubos.

3. Suma o diferencia de potencias impares iguales.

4. Trinomio cuadrado perfecto.

5. Trinomio de la forma x²+bx+c.

6. Trinomio de la forma ax²+bx+c.

7. Factor común.

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor

exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor

común entre los factores.

Caso II- Factor común por agrupación de términos

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que

tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término,

sino con dos.

Por ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común.

El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Polinomio&action=edit&redlink=1

https://es.wikiversity.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

https://es.wikiversity.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Polinomio&action=edit&redlink=1

https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Binomio&action=edit&redlink=1

https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=Trinomio&action=edit&redlink=1




La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante

equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio

cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que

tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos

en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis

elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos:

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en unos paréntesis separados

por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:




Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es

correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve

por medio de dos paréntesis, parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro

positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

Ejemplo 1:

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada

término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que

completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es

el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx +c

Se identifica por tener tres términos, hay una lateral con exponente al cuadrado y uno de ellos es el

término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz

cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término

independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del

medio.

Ejemplo:




Ejemplo:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea

un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la

siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del

segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término

independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer

término(4x2) :

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término

independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:




Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en

paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2:

:

Queda así terminada la factorización:

:

Caso IX - Divisores binómicos

Su proceso consiste en los siguientes pasos: Suma o diferencia de cubos: a³ ± b³

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)

El cuadrado del primer término, [ a² ]

[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] El cuadrado del segundo término; [ b² ]

Diferencia de cubos

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

RAZONES

Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede hacerse mediante una

DIFERENCIA, en tal caso se llama “razón aritmética”, o mediante una DIVISION, en tal caso se

llama “razón geométrica”

EJEMPLO:




-En un laboratorio se realiza una mezcla con tres compuestos, para que no existan daños en el medio

ambiente. Si con el menor de ellos se utiliza 189 ml, ¿Cuál es la cantidad del otro compuesto?

X/y= 3/7 y= 189. 7/ 3= 441R//

189/y = 3/7

PROPORCION Se llama proporción a la igualdad de dos razones, siendo la característica principal que estas razones

son iguales. Las proporciones pueden ser geométricas y aritméticas

Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.

Por ejemplo:

2 = 6

5 15

Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:

2 = 6 =

5 15

2 · 15 = 6 · 5

30 = 30

Las proporciones expresan igualdades.

Ejemplo:

2 = 8

x 16

Ahora, se multiplica cruzado.

2 · 16 = 8 · x

32 = 8x Se resuelve la ecuación.

32 = 8x

8 8

4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:




2 = 8

4 16

Aplicación:

Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene

agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe

agregarle?

Hagamos una proporción:

Harina = harina

líquido líquido

3 tazas harina = 13 tazas

1 taza líquido x tazas líquido

x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.

3 = 13

1 x

Ahora, se multiplica cruzado.

3 · x = 13 · 1

3x = 13

Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.

3x = 13

3 3

x = 4.3

La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder

hacer los sorullitos.

TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON




El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un

binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para

desarrollar la expresión:

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un

binomio. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde

los de numerador 1.

O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton




Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una

fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es

la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio

cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan

elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo

contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus

coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton




Ejemplos:

1) Desarrollar la potencia

Conclusiones

Las expresiones algebraicas son una combinación entre letras y números que se encuentran

unidos por diferentes signos de operaciones tales como la adicción, sustracción,

multiplicación, división y potenciación. Con las expresiones algebraicas podemos hallar

áreas y volúmenes. Están compuestos por un coeficiente y un literal, y existen 4 tipos de

signos de agrupación los cuales son: paréntesis, corchetes, llaves y vínculos.

La factorización poder realizarlas se debe encontrar dos o más expresiones que al

multiplicarse entre sí se obtiene la expresión inicial. Los casos de factorización dependen del

número de términos y sus características.

La razón es una comparación entre dos cantidades esta puede venir dada en forma de

fracción. Se pueden comparar magnitudes con distintas unidades. Una proporción es una

igualdad entre dos razones. Además se la puede interpretar con la regla de tres.

El binomio de Newton se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio

elevado a una potencia cualquiera de exponente natural, se trata de una fórmula para

desarrollar la expresión.




BIBLIOGRAFIA

(s.f.).

BALDOR, & Baldor. (1999). Algebra de baldor . En A. Baldor, Algebra de Baldor.

expresiones algebraicas, descomposicion factorial, razon y proporcion y teorema del binomio de...

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