extra3-teorema homomorfisma grup

Struktur Aljabar – Teorema Homomorfisma Grup © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id

1

Extra 3

Teorema Homomorfisma Grup

Catatan:

Suatu malam, seorang kawan yang tengah mengerjakan tugas akhirnya mengirim sebuah

sms padaku. Isinya ia meminta bantuanku untuk membuktikan tiga teorema utama

homomorfisma grup. Berhubung di situsku aku belum membahas mengenai teorema

tersebut, maka sekalian saja aku membuat tulisan mengenai teorema tersebut. Tentu

saja, karya ini dipersembahkan untuk temanku itu. Semoga sukses tugas akhirnya.

Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat

tertentu. Pada bab ini akan dibahas mengenai homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya,

termasuk diantaranya tiga Teorema Utama Homomorfisma.

Definisi E3.1 (Homomorfisma)

Diketahui ( ),G ∗ dan ( )', 'G ∗ merupakan grup. Pemetaan : 'G Gϕ → disebut

homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap ,a b G∈ berlaku

( ) ( ) ( )'a b a bϕ ϕ ϕ∗ = ∗ .

Contoh E3.2

Diketahui merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Maka,

:ϕ → dengan ( )a aϕ = − , untuk setiap a∈ merupakan homomorfisma grup.

Untuk mempermudah penulisan, notasi a b∗ akan ditulis ab .


2

Lemma E3.3

Diketahui , 'G G grup dan : 'G Gϕ → merupakan homomorfisma grup, maka keempat

sifat berikut berlaku:

(i). Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ( )eϕ merupakan elemen

identitas 'e di 'G

(ii). Jika a G∈ , maka ( ) ( ) 11a aϕ ϕ −− =

(iii). Jika H merupakan subgrup pada G, maka ( )Hϕ merupakan subgrup pada 'G

(iv). Jika 'K merupakan subgrup pada 'G , maka ( )1 'Kϕ− merupakan subgrup

pada G.

Definisi E3.4 (Kernel)

Diketahui , 'G G grup dan : 'G Gϕ → homomorfisma grup. Himpunan

( ){ }'a G a eϕ∈ = dinamakan kernel dari ϕ dan dinotasikan ( )ker ϕ .

Contoh E3.5

Pada contoh E3.2, diperoleh ( ) { }ker 0ϕ = .

Lemma E3.6

Diketahui , 'G G grup dan : 'G Gϕ → merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ

merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ( ) { }ker eϕ = .

Bukti.

( )⇒

Menurut Teorema E3.3 (i) berakibat ( ) 'e eϕ = dan karena ϕ merupakan pemetaan

injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen 'e di G’ . Jadi,

( ) { }ker eϕ = .


3

( )⇐

Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat ,a b G∈ dengan a b≠

dan ( ) ( )a bϕ ϕ= . Karena ( ) ( )a bϕ ϕ= , maka ( ) ( ) 1 'a b eϕ ϕ − = . Menurut Teorema E3.3

(ii) diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 'a b a b ab eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − −= = = . Karena diketahui ( ) { }ker eϕ = ,

akibatnya 1ab e− = dan dengan kata lain a b= . Muncul kontradiksi dengan pengandaian

bahwa a b≠ . Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif.

Definsi E3.7 (Isomorfisma)

Diketahui , 'G G grup dan : 'G Gϕ → merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ

disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan bijektif.

Contoh E3.8

Pemetaan ϕ pada contoh E3.2 merupakan isomorfisma grup.

Berikut diberikan definisi mengenai subgrup normal. Dari definisi subgrup normal

tersebut, dapat dimunculkan suatu lemma mengenai sifat dari kernel suatu

homomorfisma.

Definisi E3.9 (Subgrup Normal)

Diketahui G grup dan H subgrup pada G. Subgrup H disebut subgrup normal jika dan

hanya jika gH Hg= untuk setiap g G∈ .

Contoh E3.10

Diketahui merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Setiap

subgrup n dengan n∈ pada merupakan subgrup normal.


4

Lemma E3.11

Diketahui , 'G G grup dan : 'G Gϕ → homomorfisma grup, maka ( )ker ϕ merupakan

subgrup normal pada G.

Bukti.

Pertama, akan ditunjukkan bahwa ( )ker ϕ merupakan subgrup pada G. Diambil sebarang

( ), kera b ϕ∈ , dan dengan demikian ( ) ( ) 'a b eϕ ϕ= = atau dengan kata lain

( ) ( ) 1 'a b eϕ ϕ − = . Karena ( ) ( ) 1 'a b eϕ ϕ − = , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 'a b a b ab eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − −= = = . Jadi, diperoleh ( )1 kerab ϕ− ∈ dan dengan

demikian ( )ker ϕ merupakan subgrup pada G.

Kedua, akan ditunjukkan bahwa ( )kerH ϕ= merupakan subgrup normal pada G.

Diambil sebarang g G∈ dan dibentuk ( ){ }kergH gh h H ϕ= ∈ = . Diambil sebarang

a gH∈ , maka 1a gh= untuk suatu 1h H∈ . Diperhatikan bahwa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 'a gh g h g e gϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = atau dengan demikian ( ) ( )1gh gϕ ϕ= .

Karena ( ) ( )1gh gϕ ϕ= , diperoleh ( )11 'gh g eϕ − = atau dengan kata lain 1

1gh g H− ∈

yaitu 11gh g h− = untuk suatu h H∈ . Karena 1

1gh g h− = dan 1a gh= , maka diperoleh

1a gh hg Hg= = ∈ . Jadi, berlaku gH Hg⊆ dan dengan cara serupa dapat ditunjukkan

berlaku pula Hg gH⊆ . Karena gH Hg⊆ dan Hg gH⊆ , maka gH Hg= dan terbukti

( )kerH ϕ= merupakan subgrup normal.

Teorema-teorema berikut mengawali pembahasan Teorema Utama Homomorfisma Grup.

Teorema E3.12

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup dengan ( )ker Hϕ = . Maka

{ }G H gH g H= ∈ merupakan grup terhadap operasi biner ( )( ) ( )aH bH ab H= untuk

setiap ( ) ( ),aH bH G H∈ .


5

Teorema E3.13

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup dengan ( )ker Hϕ = . Maka pemetaan

( ): G H Gμ ϕ→ yang didefinisikan ( ) ( )aH aμ ϕ= untuk setiap aH G H∈

merupakan isomorfisma grup.

Bukti.

Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa μ merupakan pemetaan. Diambil sebarang

( ) ( ),aH bH G H∈ dengan aH bH= dan akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )aH bHμ μ= .

Karena aH bH= , akibatnya 1ab H− ∈ dan dengan demikian ( )1 'ab eϕ − = . Karena

( )1 'ab eϕ − = , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 'ab a b a b eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ −− −= = = atau dengan kata lain ( ) ( )a bϕ ϕ= . Karena

sesuai definisi μ berlaku ( ) ( )aH aμ ϕ= dan ( ) ( )bH bμ ϕ= , dengan demikian berlaku

( ) ( )aH bHμ μ= . Jadi, μ merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa μ merupakan homomorfisma grup. Diambil

sebarang ( ) ( ),aH bH G H∈ , diperhatikan bahwa

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aH bH ab H ab a b aH bHμ μ ϕ ϕ ϕ μ μ= = = = .

Jadi, terbukti bahwa μ merupakan homomorfisma grup.

Diambil sebarang ( )y Gϕ∈ , maka ( )y aϕ= untuk suatu a G∈ dan dengan demikian

dapat dipilih x aH G H= ∈ sehingga ( )x yμ = . Jadi, μ merupakan pemetaan surjektif.

Diambil sebarang ( )kerx μ∈ . Karena ( )ker G Hμ ⊆ , maka x aH= untuk suatu a G∈ .

Karena ( ) ( ) ( ) 'x aH a eμ μ ϕ= = = dan karena ( )ker Hϕ = berakibat a H∈ . Karena

a H∈ , berakibat aH H= dan dengan demikian x H= . Jadi, diperoleh ( ) { }ker Hμ =

dan menurut Lemma E3.6 berakibat μ merupakan pemetaan injektif.

Jadi, karena μ merupakan homomorfisma grup yang surjektif sekaligus injektif, maka μ

merupakan isomorfisma grup.


6

Teorema E3.14

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup dengan ( )ker Hϕ = . Maka pemetaan

: G G Hγ → yang didefinisikan ( )a aHγ = untuk setiap a G∈ merupakan

homomorfisma surjektif.

Bukti.

Diambil sebarang ,a b G∈ , diperhatikan bahwa

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ab ab H aH bH a bγ γ γ= = = .

Jadi, terbukti bahwa γ merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

γ pemetaan surjektif. Diambil sebarang y G H∈ , maka y gH= untuk suatu g G∈ dan

dengan demikian dapat dipilih x g= sehingga ( )x yγ = . Jadi, γ merupakan

homomorfisma surjektif.

Dari Teorema E3.12 dan E3.13, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut:

(i). Diketahui G dan 'G merupakan grup

(ii). Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup

(iii). Diketahui ( ) 'G Gϕ ⊆

(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh ( )kerG ϕ merupakan grup

(v). Dari Teorema E3.14, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari G ke

( )kerG ϕ

(vi). Dari Teorema E3.13, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari ( )kerG ϕ ke

( )Gϕ .

Diperhatikan langkah (iv), (v), dan (vi). Jika a G∈ , maka untuk memetakan elemen a ke

'G melalui suatu pemetaan homomorfisma, tidak harus melalui pemetaan ϕ . Dari

langkah (iv), (v), dan (vi), untuk memetakan elemen a ke 'G dapat pula melalui

pemetaan γ dan μ yang keduanya merupakan pemetaan homomorfisma. Pertama,

elemen a dipetakan terlebih dahulu ke grup ( )kerG ϕ melalui pemetaan γ , hasil petanya


7

adalah ( )aγ . Selanjutnya, elemen ( )aγ dipetakan ke ( ) 'G Gϕ ⊆ melalui pemetaan μ ,

hasil petanya adalah ( )( ) ( )( )a aμ γ μ γ= . Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut

elemen a tidak langsung dipetakan ke 'G melalui pemetaan ϕ , melainkan harus

“singgah sejenak” di grup ( )kerG ϕ untuk kemudian dipetakan ke 'G melalui pemetaan

μ γ . Tetapi yang terpenting adalah grup ( )kerG ϕ dan ( )Gϕ isomorfis, yaitu ada

suatu isomorfisma dari ( )kerG ϕ ke ( )Gϕ . Sifat tersebut dapat dinyatakan ke dalam

sebuah teorema.

Teorema E3.15 (Teorema Utama Homomorfisma Grup 1)

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup, maka terdapat suatu ismomorfisma dari

( )kerG ϕ ke ( )Gϕ .

Jika ϕ merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh ( ) 'G Gϕ = dan Teorema E3.15

dapat berubah menjadi seperti berikut.

Teorema E3.16

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup yang surjektif, maka terdapat suatu

ismomorfisma dari ( )kerG ϕ ke 'G .

Sejauh ini, Teorema Utama Homomorfisma Grup 1 hanya menyatakan bahwa ( )kerG ϕ

isomorfis dengan 'G . Berikut akan ditunjukkan bahwa terdapat grup lain yang isomorfis

dengan 'G . Grup lain tersebut dapat dibentuk dengan “mengganti” grup ( )kerG ϕ

menjadi grup G N dengan N merupakan subgrup normal pada G.

Teorema E3.17 (Perumuman Teorema E3.12)

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup dan N subgrup normal pada G, maka

{ }G N gN g N= ∈ merupakan grup terhadap operasi biner ( )( ) ( )aN bN ab N= untuk

setiap ( ) ( ),aN bN G N∈ .


8

Bukti.

Untuk menunjukkan bahwa G N merupakan grup, terlebih dahulu ditunjukkan bahwa

operasi ( )( ) ( )aN bN ab N= terdefinisi dengan baik. Misalkan aN cN= dan bN dN=

untuk suatu , , ,a b c d N∈ , akan ditunjukkan bahwa ( )( ) ( )( )aN bN cN dN= yaitu

( ) ( )ab N cd N= .

Karena aN cN= dan a aN∈ , maka 1a cn= untuk suatu 1n N∈ . Dengan cara serupa

diperoleh juga 2b dn= untuk suatu 2n N∈ . Diperhatikan bahwa 1n d Nd∈ . Karena N

subgrup normal berakibat Nd dN= . Dengan demikian diperoleh 1n d Nd dN∈ = atau

dengan kata lain 1 3n d dn= untuk suatu 3n N∈ . Diperhatikan bahwa

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 2 3 2 4ab cn dn c n d n c dn n cd n n cd n= = = = = , dengan 4 3 2n n n N= ∈ .

Dengan demikian diperoleh ( )ab cd N∈ . Akibatnya ( ) ( )ab N cd N⊆ dan dengan cara

serupa dapat ditunjukkan ( ) ( )cd N ab N⊆ dan dengan demikian berlaku

( ) ( )ab N cd N= . Jadi, operasi ( )( ) ( )aN bN ab N= terdefinisi dengan baik.

Pembuktian bahwa aksioma-aksioma grup berlaku sengaja tidak penulis cantumkan.

Teorema E3.18 (Perumuman Teorema E3.14)

Diketahui : 'G Gϕ → homomorfisma grup dan N subgrup normal pada G, maka

pemetaan : G G Nγ → yang didefinisikan ( )a aNγ = untuk setiap a G∈ merupakan

homomorfisma surjektif dan ( )ker Nγ = .

Bukti.

Pembuktian bahwa γ merupakan homomorfisma surjektif serupa dengan pembuktian

Teorema E3.14. Akan ditunjukkan bahwa ( )ker Nγ = . Karena aN N= jika dan hanya

jika a N∈ , maka jelas bahwa ( )ker Nγ = .


9

Teorema-teorema berikut merupakan sifat dari subgrup normal.

Teorema E3.19

Diketahui H sebarang subgrup pada G dan N subgrup normal pada G, maka HN

merupakan subgrup pada G. Lebih lanjut jika H subgrup normal, maka HN merupakan


Bukti.

Diperhatikan bahwa { },HN hn h H n N= ∈ ∈ . Jelas bahwa operasi biner pada HN

terdefinisi dengan baik, karena operasi biner pada HN juga merupakan operasi biner pada

G. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi biner pada HN tertutup. Diambil

sebarang 1 1 2 2,h n h n HN∈ . Karena N subgrup normal, maka 1 2 2 3n h h n= untuk suatu

3n N∈ . Diperhatikan bahwa

( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2h n h n h n h n h h n n h h n n HN= = = ∈ .

Jadi, operasi biner pada HN tertutup dan dengan demikian sifat asosiatif juga berlaku

pada HN. Karena e N∈ dan e H∈ , jelas bahwa e ee HN= ∈ . Diambil sebarang

hn HN∈ . Karena h H∈ dan n N∈ , maka berlaku ( ) 11 1n h hn −− − = . Karena N subgrup

normal, berlaku 1 1 11n h h n− − −= untuk suatu 1n N∈ dan dengan demikian ( ) 1hn HN− ∈ .

Jadi, terbukti bahwa HN merupakan subgrup pada G.

Misalkan H merupakan subgrup normal, akan ditunjukkan bahwa HN merupakan

subgrup normal. Diambil sebarang g G∈ dan sebarang x gHN∈ , maka 1 1x gh n= untuk

suatu 1h H∈ dan 1n N∈ . Karena N subgrup normal, maka 1 1 2 1gh n n gh= untuk suatu

2n N∈ . Karena H subgrup normal, maka 2 1 2 2n gh h n g= untuk suatu 2h H∈ . Dengan

demikian diperoleh, 2 2x h n g HNg= ∈ dan berlaku gHN HNg⊆ . Dengan cara serupa

dapat ditunjukkan berlaku HNg gHN⊆ . Jadi, diperoleh gHN HNg= untuk sebarang

g G∈ , yaitu HN merupakan subgrup normal pada G.

Teorema E3.20

Diketahui H dan N merupakan subgrup normal pada G, maka H N∩ merupakan



10

Dari Teorema E3.17, Teorema E3.18, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20 dapat

diturunkan teorema sebagai berikut.


Diketahui H subgrup pada G dan N merupakan subgrup normal pada G, maka

terdapat suatu ismomorfisma dari HN N ke ( )H H N∩ .

Bukti.

Menurut Teorema E3.17, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20, diperoleh HN N dan

( )H H N∩ merupakan grup. Pembuktian adalah dengan menggunakan Teorema E3.16,

yaitu dengan menjalankan langkah (i) sampai (vi) sebagai berikut:

(i). Dibentuk G HN= dan ( )'G H H N= ∩ merupakan grup

(ii). Dibentuk pengaitan : 'G Gϕ → dengan ( ) ( )hn h H Nϕ = ∩ untuk setiap

hn HN∈ . Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma.

Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan pemetaan. Misalkan 1 1hn h n= untuk

suatu 1,h h H∈ dan 1,n n H∈ . Dengan demikian diperoleh 1 11 1h h n n N− −= ∈ .

Karena 11h h H− ∈ dan 1

1h h N− ∈ , diperoleh 11h h H N− ∈ ∩ dan dengan demikian

( ) ( )1h H N h H N∩ = ∩ atau dengan kata lain ( ) ( )1 1hn h nϕ ϕ= .

Jadi, terbukti bahwa ϕ merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma. Diambil

sebarang 1 1 2 2,h n h n HN∈ . Karena N merupakan subgrup normal, maka

1 2 2 3n h h n= untuk suatu 3n N∈ dan dengan demikian

( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2h n h n h n h n h h n n h h n n= = = .

Diperhatikan bahwa

( )( )( ) ( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1 2 2 1 2 2 3

1 2

1 2

1 1 2 2 .

h n h n h h n n

h h H N

h H N h H N

h n h n

ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

= ∩

= ∩ ∩

=

Jadi, terbukti bahwa ϕ merupakan homomorfisma.


11


(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh ( )kerG ϕ merupakan grup.

Akan ditunjukkan bahwa ( )ker Nϕ = .

Jika ( )kerhn ϕ∈ , berakibat ( ) ( )hn H Nϕ = ∩ atau dengan kata lain

h H N∈ ∩ . Sehingga diperoleh ( ) { }ker ,hn h H N n Nϕ = ∈ ∩ ∈ . Karena untuk

sebarang ( )kerhn ϕ∈ , berlaku h N∈ dan n N∈ akibatnya hn N∈ dan

dengan demikian ( )ker Nϕ ⊆ . Jika dipilih h e= , maka untuk sebarang n N∈

berlaku ( )kern en ϕ= ∈ dan dengan demikian ( )kerN ϕ⊆ .

Jadi, karena berlaku ( )ker Nϕ ⊆ dan ( )kerN ϕ⊆ maka dapat disimpulkan

bahwa ( )ker Nϕ = .


( )kerG ϕ


( )Gϕ .

Dari langkah (i) sampai (vi), sesuai dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup I,

terbukti bahwa terdapat suatu isomorfisma dari HN N ke ( )HNϕ .

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )HN H H Nϕ = ∩ , yaitu ϕ merupakan pemetaan

surjektif. Diambil sebarang ( )y H H N∈ ∩ , maka ( )y h H N= ∩ untuk suatu h H∈

dan dengan demikian dapat dipilih x he HN= ∈ sehingga berlaku ( )x yϕ = .

Jadi, ϕ merupakan pemetaan surjektif sehingga menurut Teorema E3.16 terdapat suatu

isomorfisma dari HN N ke ( )H H N∩ .


12


Diketahui H dan K subgrup normal pada G. Jika K subgrup pada H, maka terdapat

suatu isomorfisma dari G H ke ( ) ( )G K H K .

Bukti.

Menurut Teorema E3.17, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20, diperoleh G H dan

( ) ( )G K H K merupakan grup. Pembuktian adalah dengan menggunakan Teorema

E3.16, yaitu dengan menjalankan langkah (i) sampai (vi) sebagai berikut:

(i). Dibentuk G dan ( ) ( )'G G K H K= merupakan grup

(ii). Dibentuk pengaitan : 'G Gϕ → dengan ( ) ( )( )a aK H Kϕ = untuk setiap

a G∈ . Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma.

Jelas bahwa ϕ merupakan pemetaan. Diambil sebarang ,a b G∈ .

Diperhatikan bahwa

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ).

ab ab K H K

aK bK H K

aK H K bK H K

a b

ϕ

ϕ ϕ

=

=

=

=

Jadi, terbukti bahwa ϕ merupakan homomorfisma.


(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh ( )kerG ϕ merupakan grup.

Akan ditunjukkan bahwa ( )ker Hϕ = .

Jika ( )kerx ϕ∈ , berakibat ( ) ( )x H Kϕ = atau dengan kata lain xK H K∈ .

Diperhatikan bahwa xK H K∈ jika dan hanya jika x H∈ . Jadi, diperoleh

( )ker Hϕ = .


13


( )kerG ϕ


( )Gϕ .

Dari langkah (i) sampai (vi), sesuai dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup I,

terbukti bahwa terdapat suatu isomorfisma dari G H ke ( )Gϕ .

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) ( )G G K H Kϕ = , yaitu ϕ merupakan pemetaan

surjektif. Diambil sebarang ( ) ( )y G K H K∈ , maka ( )( )y aK H K= untuk suatu

a G∈ dan dengan demikian dapat dipilih x a G= ∈ sehingga berlaku ( )x yϕ = .

Jadi, ϕ merupakan pemetaan surjektif sehingga menurut Teorema E3.16 terdapat suatu

isomorfisma dari G H ke ( ) ( )G K H K .


14

Sumber:

Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing

Company inc., United States.

extra3-teorema homomorfisma grup

Documents