F A L E I A K U S T Y K A

Niektóre powody dla których warto zafascynować się tym rodzajem ruchu:

• podobnie jak ruch drgający jest powszechny i to zarówno w wielu działach

fizyki, jak i w życiu codziennym,

• ma zastosowanie praktyczne, np. dzisiejszy przekaz informacji odbywa się

poprzez fale elektromagnetyczne,

• jest łatwy do zaobserwowania a poza tym istnieje wiele efektownych doświad-

czeń demonstrujących ten rodzaj ruchu,

Określenie ruchu falowego jest bardzo proste...

Ruchem falowym - nazywamy rozchodzące się w ośrodku sprężystym zaburze-

nie (fala mechaniczna) LUB układ prostopadłych do siebie pól: elektrycznego

i magnetycznego (fala elektromagnetyczna)

... wymaga jednak kilku uwag:

• fale mechaniczne mogą rozchodzić się jedynie w ośrodku sprężystym, nato-

miast fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się również w próżni,

• zaburzenie inicjujące rozchodzenie się fali może mieć różńą formę:

– pojedynczego impulsu,

– harmoniczną (zmiana zaburzenia w czasie opisana jest funkcją sinus) tym

przypadkiem będziemy się zajmować najczęściej,

– inną (np. zaburzenie prostokątne),

• fala przenosi energię bez przenoszenia masy,

• w przypadku fal mechanicznych należy pamiętać, że amplituda zaburzenia

nie może wywołać takiego naprężenia które przekroczy zakres sprężystości

ośrodka,

• ponadto dla fal mechnicznych założymy, że w ośrodku nie ma tłumienia tzn.

nie następuje zamiana energii drgań na energię wewnętrzną,

Opis ruchu falowego nie jest prosty, co wynika przede wszystkim z faktu, że

nawet dla najprostszego przypadku będziemy mieli do czynienia z funkcją dwóch

zmiennych a takie to funkcji nie są omawiane w programie matematyki.1

Wprowadźmy najpierw kilka podstawowych pojęć:

1. Źródło fali – miejsce gdzie nastąpiło zaburzenie ośrodka,

2. Powierzchnia falowa – zbiór cząsteczek ośrodka mających tą samą fazę drgań

(będących w tym samym momencie drgań) na rysynku są to koncentryczne

okręgi

3. Czoło fali – najbardziej odległa od źródła powierzchnia falowa

4. Promień fali – prosta prostopadła do powierzchni falowej; przechodząca przez

źródło fali

Powyższe pojęcia można zobrazować wrzucając np. kamień do wody; otrzymamy

wówczas charakterystyczne koncentryczne okręgi

promien fali

powierzchniafalowa

czolo fali

zrodlo fali

Teraz można już zdefiniować wielkości opisujące propagację (rozchodzenie się)

fali:

1. Amplituda fali (A) – określa maksymalne wychylenie cząsteczek ośrodka z

położenia równowagi, jest to jednocześnie amplituda zaburzenia,

2. Częstotliwość fali (f) – częstotliwość drgań ośrodka, jest to jednocześnie

częstotliwość zaburzenia

3. Długość fali (λ) – odległość między dwoma sąsiednimi (najbliższymi sobie i

identycznymi) powierzchniami falowymi,

λ

2

4. Prędkość fali (v) – określona następująco:

λ = v · t → v =λ

T→ v = λf

5. Natężenie fali (I) – określone następująco:

I =< P >

S[I] =

W

m2

Gdzie: < P > – średnia moc fali, S – powierzchnia prostopadła do kierunku

rozchodzenia się fali

Gdy fala rozchodzi się we wszystkie strony to powierzchnia S = 4Πr2 i

wówczas natężenie wynosi:

I =< P >

4Πr2I ≈

1

r2

Można pokazać, że dla fal mechanicznych natężenie obliczmy następująco:

I =1

2vρω

2A

2

Gdzie: v – prędkość fali w ośrodku, ρ – gęstość ośrodka, ω – prędkość

kątowa, A – amplituda fali.

W zależności od kształtu czoła fali wyróżniamy:

1. Fale płaskie – czołem fali jest prosta lub odcinek

2. Fale koliste – czołem fali jest okrąg

3. Fale kuliste – czołem fali jest kula,

4. Fale trójkątne i stożkowe – czołem fali jest trójkąt lub stożek, fale takie po-

wstają gdy zaburzenie ma większą prędkość niż prędkość fali w ośrodku (fale

uderzeniowe, np. gdy samolot przekracza prędkość dźwięku czy motorówka

jak szybko płynie po wodzie),

W zależności od geometrii fali wyróżniamy:

1. Fale jednowymiarowe – np. fala w sznurze3

2. Fale dwuwymiarowe – np. fala na wodzie

3. Fale trójwymiarowe – np. fala uderzeniowa

Podstawowa klasyfikacja fal rozróżnia fale w zależności od orientacji kierunku

zaburzenia względem kierunki rozchodzenia się i mamy:

1. fale podłużne – gdy kierunek zaburzenia jest równoległy do kierunku rozcho-

dzenia się fali,

2. fale poprzeczne – gdy kierunek zaburzenia jest prostopadły do kierunku

rozchodzenia się fali,

Niektóre przykłady ruchu falowego w życiu codziennym:

• fale na wodzie po wrzuceniu kamienia (wbrew pozorom szczegółowy opis tej

fali jest bardzo trudny)

• fala meksykańska na stadionie,

• fale elektromagnetyczne (np. telefonu komórkowego, kuchenki mikrofalowej,

sieci Wi-Fi. Przykłady te zostały podane nieprzypadkowo; częstotliwość fali

jest w nich podobna i wynosi około 2.4GHz)

• fale dźwiękowe,

Prędkość fal w różnych ośrodkach

W napiętych sznurach i prętach prędkość (u) rozchodzenia się fal poprzecznych

zależy od siły napinającej strunę (F ) oraz od gęstości liniowej ρ struny, to znaczy

od masy struny przypadającej na jednostkę długości. Zależność tę zapisuje się

wzorem:

u =

√

F

ρ

Prędkość podłużnej fali sprężystej rozchodzącej się wzdłuż pręta zależy od mo-

dułu Younga (E) materiału pręta oraz od jego gęsości (d) w sposób następujący:

u =

√

E

d

Fale podłużne w cieczach i gazach rozchodzą się z prędkością zależną od4

ściśliwości ośrodka (κ) i jego gęstości (d) w sposób następujący:

u =1

√κd

Zjawisko Dopplera

Dotyczy każdego rodzaju fal. Polega ono na zmianie rejstrowanej przez ob-

serwatora częstotliwości (a zarazem długości) fali, gdy jej źródło i obserwator

poruszają się względem siebie, zmiana ta jest następująca:

• zwiększenie się częstotliwości fali – gdy żródło i obserwator zbliżają się do

siebie

• zmniejszenie się częstotliwości fali – gdy źródło i obserwator oddalają się od

siebie

Omawianą zmianę częstotliwości można zilustrować graficznie:

(1) (2) (3)

v=0

zo

z zo

o

v v

λ

Spoczywające źródło fali (z) emituję falę o długości λ i taka też długość fali (o

częstotliwości f = vλ) odbierana jest przez obserwatora (o) (Rys. 1)

Gdy obserwator i źródło zbliżają się do siebie (Rys. 2) następuje zagęszczenie

powierzchni falowych co obserwator (o) zarejstruje jako zmniejszenie się długości

fali (i zwiększenie się jej częstotliwości bo f = vλ)

Gdy obserwator i źródło fali oddalają się od siebie (Rys. 3) następuje rozrzedzenie

powierzchni falowych co obserwator (o) zaobserwuje jako zwiększenie się długości

fali (i zmniejszenie się jej częstotliwości bo f = vλ)

Oraz wyprowadzić:

W przypadku gdy źródło i odbiornik spoczywają (rys. 1) odbierana długość fali

λ′ jest równa długości fali emitowanrj przez źródło λ.

Niech teraz źródło zbliża się do obserwatora z prędkością vz (rys. 2) wówczas

rejstrowana przez obserwatora długość fali jest mniejsza o drogę jaką fala5

przebędzie w czasie równym okresowi emitowanej fali (T ), czyli:

λ′= λ − vzT

Gdzie vz jest prędkością źródła fali

Podstawiając za λ′ =vf

f ′ , λ =vff

, T = 1f

otrzymamy:

vf

f ′ =vf

f ′ −vz

f

Gdzie vf jest prędkością rozchodzenia się fali w ośrodku

Obliczając z powyższego równania f ′ otrzymamy:

f′ = f

vf

vf − vz

(∗)

Przeprowadzając powyższe rozumowanie dla przypadku gdy źródło oddala się od

obserwatora (rys. 2) otrzymamy:

f′ = f

vf

vf + vz

(∗∗)

Łącząc ze sobą wzory (∗) i (∗∗) otrzymamy i uwzględniając fakt że obserwator

porusza się z prędkością vo otrzymujemy ostateczny wzór opisujący prawo

Dopplera:

f′ = f

vf ± vo

vf ∓ vz

Wzór ten należy czytać następująco: znaki górne (w liczniku + a w mianowniku

−) wstawiamy gdy źródło i odbiornik zbliżają się do siebie, natomiast znaki

dolne (w liczniku − a w mianowniku +) wstawiamy gdy źródło i odbiornik

oddalają się od siebie.

Niektóre zastosowania zjawiska Dopplera: Pomiar prędkości np. samochodu w

radarach policyjnych, Pomiar prędkości krwi np. w tętnicach szyjnych, Analiza

widma światła odległej galaktyki i określenie jej prędkości ucieczki

Płaska fala harmoniczna6

Przechodzimy teraz do matematycznego opisu ruch falowego, aby zbytnio nie

komplikować zagadnienia rozważymy najprostszy przypadek; falę jednowymiarową

w której zaburzenie jest drganiem sinusoidalnym (y(t) = A sin(ωt)). Fale

taką można wytworzyć np. w sznurze przywiązanym z jednej strony do ściany.

Kolejne etapy propagacji tej fali są przedstawione na rysunku:

t=0t= T1

4

t=

t=

t=

t=

t=

t=

t=

T

T2

T

T

T

T

T

1

2

3

4

5

4

7

4

3

2

λx=

2λx=

t

x

Widać tu kolejne etapy tworzenia się płaskiej fali harmonicznej. Wyrażenie które

opisze wychylenie cząstek ośrodka (w naszym wypadku może być to np. sznur

lub struna) zależy zarówno od położenia, jak i od czasu (jest więc w najprostszym

wypadku funkcją dwóch zmiennych); jest to tzw. funkcja falowa fali płaskiej.

Opisuje ona wychylenie cząstek ośrodka w czasie t i w odległości x od żródła

fali. Aby wyznaczyć jej postać zauważmy, że zaburzenie falowe poruszając się z

prędkością v dotrze do danego punku ośrodka x po czasie ∆t = xv

a zatem

drganie punków odległych o x od źródła będzie opóźnione o ten czas i wygląda

następująco: x = A sin(ω(t − ∆t)).

7

Korzystając z definicji prędkości fali (v = λT

) i z definicji prędkości kątowej

ω = 2ΠT

mamy że:

ω∆t =2Π

T

x

v=

2Π

T

xλT

=2Π

λx = kx

Zatem ostatecznie równanie falowe będzie mieć postać:

• dla fal biegnących zgodnie z dodatnim kierunkiem osi 0X

y(t, x) = A sin(ωt − kx)

• dla fal biegnących przeciwnie do dodatniego kierunku osi 0X

y(t, x) = A sin(ωt + kx)

gdzie: A – amplituda fali,

Zasada superpozycji

• odnosi się do przypadku gdy w ośrodku rozchodzą się przynamniej dwie fale

• zakładamy, że wychylenie ośrodka wywołane tymi falami są na tyle małe, że

nie został przekroczony zakres sprężystości ośrodka

Wypadkowe wychylenie danej cząstki ośrodka w którym rozchodzą się fale jest

sumą wychyleń wywołanych przez każdą z tych fal osobno.

Zasada superpozycji gwarantuje nam, że na propagacje danej fali nie mają

wpływu inne fale rozchodzące się w tym samym ośrodku.

Zjawiska falowe

Dla opisu zjawisk falowych koniecznym jest poznanie mechanizmu powstawania

tzw. fal elementarnych pokazuje go Zasada Huygensa:

Każda cząstka ośrodka do której dochodzi fala staje się źródłem elementar-

nej fali kolistej. Elementarne fale koliste nakładając się na siebie dająć falę

wypadkową, którą obserwujemy

Do zjawisk falowych będziemy zaliczali:8

1. Dyfrakcja,

2. Interferencja,

3. Polaryzacja,

Ad.1 Dyfrakcja

Dyfrakcja polega na uginaniu się fal na przeszkodach których rozmiary porówny-

walne są z długością fali.

Mechanizm dyfrakcji możemy przedstawić następująco. Zgodnie z zasadą Huy-

gensa każda cząstka ośrodka do której dotarła fala staje się źródłem kulistej fali

elementarnej, fale te nakładają się na siebie w wyniku interferencji dając nowe

czoło fali. Umieszczenie przeszkody powoduje taką modyfikację nakładania się

fal elementarnych, że powstają charakterystyczne ugięcia.

Można przedstawić to na następującym rysunku:

Zależność intensywności uginania się fal w zależności od rozmiaru przeszkody

(a) w stosynku do długości fali (λ) ilustruje następujący rysunek:

(1) (2)

W przypadku gdy aλ≈ 1 (rys. 1) następuje silne ugięcie, natomiast gdy a

λ>> 1

(rys. 2) ugięcie jest małe lub do pominięcia.

Ad.2 Interferencja

Zjawisko interferencji ma miejsce wówczas gdy w danym ośrodku rozchodzą się9

przynajmniej dwie fale i polega ono na nakładaniu się tych fal w wyniku czego w

rozważanym ośrodku można wyróżnić:

• maksima – miejsca których wychylenie jest największe,

• minima – miejsca w których wychylenie jest najmniejsze,

Aby wyznaczyć tzw. warunek wzmocnienia i osłabiebia fali rozważmy dwie fale

płaskie o jednakowych amplitudach i częstotliwościach, rozchodzące się w tą

samą stronę których źródła są przesunięte o ∆x. Można to sobie wyobrazić w

następującym doświadczeniu.

x∆

k k

m m

x

Nad kuwetą z wodą zawieszone są dwa jednakowe wahadła sprężynowe odległe od

siebie o ∆x których masy drgające mogą uderzać w wodę w kuwecie powodując

powstawanie fali płaskiej. Wypadkowe wychylenie w punkcie odległym o x

będzie superpozycją wychyleń spowodowanych przez rozchodzące się fale czyli:

y1(t, x) = A sin(ωt − kx), y2(t, x) = A sin(ωt − k(x + ∆x)).

y(t, x) = y1(t, x)+y2(t, x) = A(sin(ωt−kx)+sin(ωt−kx−k∆x))

Korzystając ze wzoru na sumę sinusów:

sin(α) + sin(β) = 2sin

(

α + β

2

)

cos

(

α − β

2

)

otrzymamy, że:

y(t, x) = 2A sin

(

2ωt − 2kx − k∆x

2

)

cos

(

k∆x

2

)

10

Upraszczając i grupując w odpowiedni sposób powyższy wzór, mamy:

y(t, x) = 2A cos

(

k∆x

2

)

sin

(

ωt−kx−k∆x

2

)

≈ A′ sin(ωt−kx)

Widać, że suma dwóch fal rozchodzących się w ośrodku również ma postać fali

a jej amplituda A′ ma postać:

A′ = 2A cos

(

k∆x

2

)

Korzystając z faktu, że funkcja cosinus przyjmuje wartości maksymalne (1 lub

−1) dla k∆x2 = nΠ otrzymujemy warunek na tzw. maksima interferencyjne:

∆x =2nΠ

k=

2nΠ2Πλ

= nλ

Natomiast wiedząc, że cosinus jest równy zero dla k∆x2 = Π

2 + nΠ możemy

wyznaczyć minima interferencyjne:

∆x =2

k

Π

2

(

2n + 1

)

=Π2Πλ

(

2n + 1

)

=λ

2

(

2n + 1

)

Bardzo ciekawym przypadkiem interferencji jest nakładanie się dwóch tych sa-

mych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Z taką sytuacją będziemy mieli

najczęściej do czynienia gdy dana fala odbije się od przeszkody i wracając z

powrotem nałoży się na falę wysyłaną. W takim przypadku nakładające się fale

będą miały postać:

y1(t, x) = A sin(ωt − kx) i y2(t, x) = A sin(ωt + kx)

Dodając te fale i korzystając, jak poprzednio, ze wzoru na sumę sinusów,

otrzymamy:

y(t, x) = A sin

(

2ωt

2

)

cos

(

2kx

2

)

Po uproszczeniu i pogrupowaniu otrzmamy bardzo ciekawą rzecz:

y(t, x) = A cos(kx) sin(ωt)11

Okazuje się bowiem że uprościł się czynnik propagacyjny (ωt − kx) i zamiast

biegnącej fali otrzymujemy drganie o modulowanej amplitudzie:

A′ = A cos(kx)(∗)

Jest to tzw. fala stojąca która ma mastępujący wygląd:

strzalka

wezel

Przerywane linie pokazują zmiany amplitudy w czasie przy „rozchodzeniu się” fali

stojącej, widać więc że występują w niej miejsca których amplituda drgań jest

maksymalna; są to strzałki i miejsca które nie drgają w ogóle; są to węzły.

Korzystając ze wzoru (∗) możemy wyznaczyć położenia strzałek z warunku

cos(x) = 1 dla x = nΠ czyli:

kx = nΠ ⇒2Π

λx = nΠ ⇒ x = n

λ

2

oraz położenia węzłów, z warunku: cos(x) = 0 dla x = Π2 + nΠ czyli:

kx =Π

2+ nΠ ⇒

2Π

λx =

1

2Π(2n + 1) ⇒ x = (2n + 1)

λ

4

Wyznaczmy jeszcze odległości między sąsiednimi strzałkami:

xs(n + 1) − xs(n) = (n + 1)λ

2− n

λ

2=

λ

2

pomiędzy sąsiednimi węzłami:

xw(n + 1) − xw(n) = (2(n + 1) + 1)λ

4− (2n + 1)

λ

4=

λ

212

jest to zgodne z tym co widzimy na rysunku. Można jeszcze wyznaczyć odległość

między sąsiednią strzałką i węzłem:

xw(n) − xs(n) = (2n + 1)λ

4− n

λ

2=

λ

4

co również jest zgodne z tym co widzimy na rysunku przedstawiającym fale

stojącą.

Korzystając z faktu że odległość między sąsiednimi węzłami czy strzałkami

jest stała można np. zaprojektować doświadczenie w którym poprzez pomiar

odległości między sąsiednimi strzałkami w rurze Kunta wyznaczamy prędkość

dżwięku.

Klasycznym przypadkiem demonstracji zjawiska interferencji jest obserwacja fali

płaskiej na wodzie docierającej do układu dwóch szczelin. Cząsteczki cieczy w

szczelinach stają się żródłem dwóch fal kolistych (zasada Huygensa), a ponieważ

pobudzająca te drgania fala dotarła do obu szczelin jednocześnie to fale wysyłane

przez szczeliny mają tą samą częstotliwość i fazę początkową (mówimy o nich że

są spójne lub koherentne) i zjawisko interferencji jest łatwe do zaobserwowania.

Opisane powyżej rozchodzenie się fal da się przedstawić na rysunku:

Zaś schematyczny rysunek promieni obydwu fal jest następujący:13

1r

2r

2r 1r

d

−

α

αα

P

(2)

(1)

Punkt P znajduje się dużo dalej większej niż odległość między źródłami fal

zatem powstały trójkąt jest w przybliżeniu równoboczny. Z trygonometrii:

r2 − r1

d= sin(α)

r2 − r1 = d sin(α)

A zatem z warunek wzmocnienia interferencyjnego: d sin(α) = kλ a osłabienia

interferencyjnego: d sin(α) = (2k + 1)λ2

Zjawisk dyfrakcji i interferencji nie można traktować osobno. Aby mogło zajść dy-

frakcyjne ugięcie fali elementarne fale kuliste muszą przecież ze sobą interferować

aby dać wypadkowe czoło nowej fali.

Podobnie aby mogło dojść do interferencji fal np. na 2 szczelinach musi nastąpić

najpierw dyfrakcyjne ugięcie fal.

Ad.3 Polaryzacja

Zjawisko polaryzacji mimo iż możliwe do zaobserwowania dla fal mechanicznych

dotyczy przede wszystkim fal elektromagnetycznych i dlatego bardziej szczegó-

łowo omówimy je w rozdziale „Światło”

Polaryzować możemy tylko fale poprzeczne w których drgania ośrodka odbywają

się nie w jednej a w kilku płaszczyznach.

Zjawisko polaryzacji polega na wyborze z kilku kierunków drgań fali – jednego,

przyrząd który owo „wybieranie” zapewnia nazywa się polaryzatorem

Dla lepszego zrozumienia istoty zjawiska polaryzacji możemy posłużyć się

szczotką do butelek, ponieważ pokazuje nam ona przykład fali niespolaryzowanej.14

Gdy jednak włożymy taką szczotkę do pionowej szczeliny to jej odkształcony

wygląd pokaże nam falę spolaryzowaną.

fala niespolaryzowana fala spolaryzowana

AKUSTYKA

Akustyka to dział fizyki zajmujący się opisem zjawisk dźwięku tzn. zarówno od

strony formalnej, obiektywnej – jako pewnwgo rodzaju fali, jak i subiektywnej –

czyli sposobu w jaki człowiek odbiera dźwięki

Fala dźwiękowa – to podłużna fala mechaniczna będąca zbiorem zagęszczeń

i rozrzedzeń; tzw. fala ciśnienia, rozchodząca się w ośrodkach sprężystych. W

zależności od jej częstotliwości wyróżniamy:

• Infradźwięki – gdy częstotliwość jest mniejsza niż 20Hz, jako ciekawostkę

można podać że fale sejsmiczne są infradźwiękami,

• Dźwięki słyszalne – o częstotliwościach od 20Hz do 20kHz, na te

częstotliwości reaguje ucho człowieka,

• Ultradźwięki – o częstotliwościach powyżej 20kHz

W dalszych rozważaniach mówiąc o dźwięku będę miał na myśli dźwięki słyszalne.

Prędkość fali dźwiękowej w powietrzu wynosi: 340ms

i zależy od temperatury i

ciśnienia.

Źródłem dźwięku może być każdy układ zdolny do wytworzenia fali dźwiękowej;

w zależności od ich pochodzenia źródła dźwięku dzielimy na:

• Naturalne – wytwarzane przez naturę

• Sztuczne – wytwarzane przez działalność człowieka

W zależności od sposobu w jaki dźwięk jest wytwarzany możemy wyróżnić takie

źródła dźwięku jak np:15

• Ciała wykonujące drgania (np. menbrany, pręty)

• Rezonatory – układy w których powstaje fala stojąca (np. rura organów)

• Układy obracające się (np. syrena alarmowa)

• Układy wykonujące ruch nieuporządkowany (np. wybuch)

Wprowadzając wielkości opisujące dźwięk należy pamiętać że fala dźwiękowa

rejstrowana jest przez zmysł słuchu człowieka i z powodu skomplikowanej i do

dziś nie do końca rozumianej budowy ucha człowieka, dany dźwięk może być

różnie odbierany przez różnych ludzi. Istnieje satem subiektywny opis dźwięku;

który jest jednak powiązany z opisem obiektywnym. Jedną z ciekawszych rzeczy

w akustyce jest zatem próba opisu odczuć człowieka wielkościami fizycznymi.

Ponadto okazuje się, że rozpiętość czy to częstotliwości słyszalnych, czy to

obbieranych przez człowieka natężeń jest tak duża (ucho to bardzo precyzyjny

instrument „pomiarowy”), że stosowanie zwykłej skali liniowej na wykresach

w akustyce jest niemożliwe (nie da się przecież tak dobrać skalę wykresu aby

zaznaczyć na nim np. liczby 20 i 20000 w prezyzyjny sposób). Rozwiązaniem tego

problemu jest skala logarytmiczna na której równe odstępy na osi odpowiadają

kolejnym potęgom liczby np. 10; przykład takiej skali (dla częstotliwości pasma

akustycznego) przedstawiono na poniższym rysunku:

105

100

104

102

101

103

1 10 100 1000 10000 100000

Przedstawiono na nim też liczby od 1 do 10 widać, że skala ta nie jest liniowa;

w sklepach papierniczych można kupić też tzw. papier logarytmiczny na którym

naniesiona jest skala logarytmiczna.

Podstawowe wielkości OBIEKTYWNE opisujące dźwięk to:

1 Natężenie dźwięku i poziom natężenia dźwięku,

2 Częstotliwość dźwięku, okres drgań fali dźwiękowej i jej długość,

3 Charakter zaburzenia które spowodowało powstanie dźwięku i widmo

dźwięku.

Wielkościami SUBIEKTYWNYMI jakimi człowiek opisuje dźwięk są:16

1 Głośność dźwięku,

2 Wysokość dźwięku,

3 Barwa dźwięku.

Przy czym wprowadzone przeze mnie oznaczenia numeracji pokazują powiązania

pomiędzy tymi wielkościami, które można również przedstawić w formie tabeli:

Obiektywne: Subiektywne:

Natężenie, poziom natężenia Głośność

Częstotliwość, okres, długość fali Wysokość

Charakter zaburzenia, widmo Barwa

Ad 1. Natężenie fali dźwiękowej poziom natężenia fali dźwiękowej powiązana z

nimi głośność.

Natężenie fali dźwiękowej definiuje się zupełnie analogicznie jak natężenie do-

wolnej fali; nie będziemy zatem powtarzali poprzedniej definicji natomiast co

jest najciekawsze, okazuje się, że ucho człowieka nie jest jednakowo wrażliwe

na wszystkie częstotliwości z zakresu dźwięków słyszalnych; największą czułość

wykazuje ucho dla dźwięków o częstotliwości 3kHz, dla dźwięków ze skrajów

pasma (tj. 20Hz i 20kHz) czułość ta jest najmniejsza. Krzywą czułości ucha

przedstawia poniźszy rysunek:

m2

WI,

f,Hz

10

3000

10−12

−1

obszar slyszalnosci

Najmniejsza wartość natęże-

nia dźwięku odbierana przez

człowieka dla częstotliwo-

ści 3kHz wynosi: I0 =

10−12 W

m2 – jest to tzw.

próg słyszalności. Próg bólu –

czyli natężenie dźwięku które

zaczyna wywoływać ból to

Imax = 10−1 W

m2

Natężenie dźwięku jest bodźcem, który wywołuje u człowieka odczucie głośności;

ogólna zasada mówi, że odczucie jest proporcjonalne do logarytmu bodźca; zatem

wprowadza się:17

Poziom natężenia fali (obiektywna) – definiwanana jako:

A = 10 log(I

I0) gdzie I0 = 10−12

Jednostką poziomu natężenia fali akustycznej jest decybel (dB)

Możemy przejść teraz do próby wprowadzenia subiektywnej wielkości – głośności.

Aby to uczynić wybieramy najpierw pewną ilość zdrowych (w sensie niegłuchych)

ludzi; tzw. próbę statystyczną; dla uproszczenia niech ludzie ci będą tej samej

narodowości. Każdy w tej próbie zostaje poddany badaniu które polega na tym że

najperw słyszy dźwięk o częstotliwości 3kHz i pewnym poziomie natężenia (na

początku jest to próg słyszalności; 0dB), następnie zmieniana jest częstotliwość

i zadaniem człowieka jest taka zmiana poziomu natężenia dźwięku aby jego

głośność była taka sama jak początkowa. Opisany eksperyment powtarza się

dla wyższych poziomów natężenia dźwięku a następnie uśrenia się wyniki po

wszyctkich uczestnikach próby i otrzymuje się tzw. izofony – krzywe o stałej

głośności; przedstawiono je na poniższym rysunku:

m 2

WI,

f3kHz

Krzywe te określają głośność, po-

nieważ mając dźwięk o danym na-

tęzeniu (a co za tym idzie i pozio-

mie natężenia) oraz częstotliwo-

ści można jednoznacznie odczytać

pomiędzy jakimi izofonami znaj-

duje się ten dźwięk i tym samym

określić jego głośność.

Dla uproszczenia daną izofonę opisuje się obrazowo, np. 0dB – cichy szept, 10dB

– cicha rozmowa itd. Zatem dla danego dźwięku który znajduje się pomiędzy

izofonami 0db i 10dB można powiedzieć, że jego głośność jest: „pomiędzy cicym

szeptem a cichą rozmową”.

Poniższy przykład doskonale pokaże charakter skali decybelowej.

Wiedząc, że jeden silnik wytwarza hałas o poziomie natężenia 100dB, oblicz18

jaki poziom hałasu wytworzy 10 takich samych silników (ustawionych oczywi-

ście w tej samej odległości od obserwatora i przy pominięciu zjawiska odbicia

i interferencji)

Rozwiązanie:

Przyjmując poziom słyszalności 10−12 W

m2 obliczymy najpierw natężenie dźwięku

emitowanego przez jeden silnik:

A1 = 10 log(I1

10−12) ⇒ 100 = 10 log(

I1

10−12) ⇒ 10 = log(

I1

10−12)

Korzystając teraz z definicji logarytmu (loga(b) = x ⇔ ax = b)

1010

=I1

10−12⇒ I1 = 10

−2W

m2

Natężenie hałasu wywołanego przez 10 silników jest oczywiście 10 razy większe

czyli:

I10 = 10 · I1 = 101 · 10−2

= 10−1W

m2

Korzystając z definicji poziomu natężenia obliczamy poziom natężenia odpowia-

dający temu natężeniu:

A10 = 10 log(I10

10−12) = 10 log(

10−1

10−12) = 10 log(1011) = 110dB

Widać więc, że 10 krotne zwiększenie natężenia dźwięku spowodowało wzrost

poziomu natężenia „tylko” o 10dB.

Jako ciekawostkę (mającą jednak ogromne zastosowanie komercyjne) można

podać to że ucho ma swoją bezwładność przy rejstrowaniu dźwięków o dużej

głośności tj. jeżeli po dźwięku głośnym pojawi się cichy to przez pewien czas

ucho nie będzie w stanie go rejstrować. Ta cecha ucha została przede wszystkim

wykorzystana do stworzenia formatu muzyki .mp3.

Ad 2. Częstotliwość dźwięku, okres drgań fali dźwiękowej i jej długość oraz

powiązana z nimi wysokość dźwięku.

Częstotliwość, okres i długość fali zdefiniowana była przy omawianiu fal. Wyso-

kość dźwięku powiązana jest z częstotliwoścą w bardzo prosty sposób:19

• na dźwięki o dużej częstotliwości człowiek mówi że są „wysokie”,

• na dźwięki o średniej częstotliwości człowiek mówi że są „średnie”,

• na dzwięki o małej częstotliwości człowiek mówi że są „niskie”,

Ad 3. Charakter zaburzenia, widmo dźwięku i związana z nimi barwa.

W zależności od sposobu powstawania dźwięku różny może być charakter za-

burzenia które dany dźwięk spowodowało; inaczej wygląda bowiem zaburzenie

powodujące dźwięk cymbałów (pobudzony do drgań pręt) a inaczej zaburze-

nie powodujące dźwięk (drganie powietrza w piszczałce). W ilościowej analizie

dzwięku pomocne jest następujące twierdzenie Fouriera:

Dowolny przebieg okresowy, da się przedstawić jako superpozycję (złożenie)

wielu przebiegów okresowych, sinusoidalnych

Twierdzenie Fouriera daje nam możliwość złożenia z kilku przebiegów sinusoidal-

nych przebiegu niesinusoidalnego, okresowego lub „rozbicia” dowolnego przebiegu

na sumę przebiegów sinusoidalnych. Zależność amplitudy tych przebiegów od ich

częstotliwości to widmo dźwięku.

Natomiast to w jaki sposób człowiek odbiera dane widmo dźwięku nazywamy

barwą dźwięku. Dzięki barwie dźwięku możemy np. zidentyfikować znanego nam

wcześniej rozmówcę, czy odróżnić brzmienie dwóch instrumentów, nawet pomimo

iż wysokość wytwarzanych przez nie dźwięków jest jednakowa.

Ze względu na charakter widma dźwięku wyróżniamy:

1. Tony – fale dźwiękowe harmoniczne tj. takie których przebieg jest sinu-

soidalny. Tonom można przypisać charakterystyczną dla nich częstotliwość

drgań

2. Dźwięki – fale dźwiękowe okresowe ale niesinusoidalne. Dają się przedstawić

jako złożenie układu drgań sinusoidalnych.

3. Szmery – nieokresowe fale dźwiękowe o różnych częstotliwościach

Ad. 1 Ton

Fala dzwiękowa jest prostą falą harmoniczną; tj. dźwięk charakteryzuje JEDNA

częstotliwość rozchodzącego się w przestrzeni drgania a zależność zaburzenia

od czasu jest sinusoidalna. Widmo takiej fali (to może być wyświetlane np. w20

odtwarzaczu dźwięku typu Winamp), czyli zależność amplitudy zaburzenia od

częstotliwości składa się z jednej składowej. Obydwa wykresy mają następującą

postać:x

t

A

f

f0T=1/f0

A0A0

Wielkości fizyczne opisujące dźwięk dla tonu mają postać:

• Częstotliwość tonu (obiektywna) – będąca częstotliwością zaburzenia roz-

chodzącej się fali.

• Wysokość tonu (subiektywna) – powiązana z częstotliwością następująco.

Ton wysoki ma częstotliwość większą niż ton niski.

• Widmo tonu (obiektywna) – określa zawartość częstotliwości tworzących ton,

a ponieważ jest tylko jedna częstotliwość to określenie widma jest trywialne;

składa się z tylko jednego „piku” o wysokości równej amplitudzie.

• Barwa tonu (subiektywna) – określa w jaki sposób ucho człowieka odbiera

dane widmo tonu. Z uwagi że widmo takie składa się tylko z jednej często-

tliwości nie ma sensu określać barwy tonu.

Ad. 2 Dżwięk

Fala dźwiękowa jest złożeniem (superpozycją) skończonej lub nieskończonej ilo-

ści tonów; tj. dźwięk charakteryzuję zbiór wielu częstotliwości rozchodzących się

drgań w których zależności zaburzenia od czasu są sinusoidalne. Wypadkowe

zaburzenie takiej fali NIE JEST sinusoidalne ale JEST okresowe. Widmo takiej

fali, czyli zależności amplitud zaburzeń od częstotliwości składa się z wielu skła-

dowych. Na poniższych wykresach przedstawiono przykład dźwięku składającego

się z dwóch tonów.21

X1

X2

X1 X2i

X2X1+

f

t

t

t

tA

Wielkości opisujące dźwięk dla dźwięku mają postać:

• Częstotliwość dźwięku (obiektywna) – będąca NAJMNIEJSZĄ częstotli-

wością zaburzenia rozchodzącej się fali, nazywana jest też częstotliwością

podstawową widma. Częstotliwości będące wielokrotnością częstotliwości

podstawowej nazywają się wyższymi harmonicznymi,

• Wysokość dźwięku (subiektywna) – powiązana z częstotliwością następująco.

Dźwięk wysoki ma częstotliwość większą niż ton niski, ale w przypadku

dźwięku o jego wysokości cecyduje częstotliwość podstawowa,

• Widmo dźwięku (obiektywna) – określa zawartość częstotliwości tworzących

dźwięk, składa się z kilku(nastu) pików o wysokościach równych amplitudzie

poszczególnych przebiegów sinusoidalnych na które można (tw. Fouriera)

rozbić dźwięk,

• Barwa dźwięku (subiektywna) – określa w jaki sposób ucho człowieka odbiera

dane widmo dźwięku. Zależy zarówno od ilości występujących w widmie

składowych i ich częstotliwości, jak i od ich amplitud. Przykładowo dźwięk

saksofonu mający w widmie dużo nieparzystych harmonicznych, odbierany

jest jako „metaliczny”.

Ad. 3 Szmer lub szum

Jest to dźwięk nie posiadający jednoznacznie określonego widma (np. niektóre22

składowe pojawiają się i znikają w sposób losowy). Przykładami takiego szmeru

jest np. dźwięk uderzających o brzeg fal, czy szum morza. Trochę bardziej

uporządkowaną formą szumu (szmeru) może być dźwięk wytworzony przez

człowieka i przeznaczony np. do badania urządzeń akustycznych; jest to:

• szum biały – sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne

niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) ale z równymi natę-

żeniami (energiami),

• szum różowy – sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne

niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) i w którym natężenie

danej częstotliwości widma jest odwrotnie proporcjonalne do jej wartości,

• szum czerwony – sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne

niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) i w którym natężenie

danej częstotliwości widma jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu jej

wartości,

Wielkości fizyczne opisujące szum nie są możliwe do określenia z uwagi na,

opisany powyżej, charakter tej fali akustycznej. Można co najwyżej mówić o

barwie szumu i o jego głośności ale i te wielkości będą opisywane (bo są przecież

subiektywne) niejednoznacznie.

Fala dźwiękowa, podobnie jak każda podlega zjawiskom falowym takim jak:

dyfrakcja, interferencja, odbicie i załamanie, czy rezonans. Ponadto długości

fal dźwiękowych wynoszą od 2cm do 20m, dlatego też zjawiska te są łatwo

obserwowalne. Zajmniemy się następującymi zjawiskami związanymi z dźwiękiem:

1. Echo

2. Pogłos

3. Dudnienie

4. Rezonans akustyczny

Ad.1

Zjawisko echa polega na takim odbijaniu się dźwięku od przeszkód, że odczuwamy

dwukrotne lub wielokrotne słyszenie tego samego dźwięku. Stanie się tak, gdy

przeszkoda odbijająca dźwięk będzie dostatecznie daleko (minimum to około23

30m). Klasycznym przykłądem echa jest wrażenie jakie uzyskamy krzycząc w

kierunku oddalonego lasu. Zjawisko echa wykorzystujemy w urządzeniach do

pomiaru odległości (echosonda, sonar)

Ad.2

Gdy opóźnienie odbitego dźwięku jest małe to ucho człowieka nie jest w sta-

nie (jak w przypadku echa) rozróżniać dźwięków odbitych od wysyłanych ale

powstaje wrażenie przedłużania się czasu trwania dźwięku, efekt ten nazywamy

pogłosem. Pogłos występuje najczęściej w zamkniętych pomieszczeniach (aule,

sale koncertowe) i może być zjawiskiem korzystnym (w przypadku sal koncerto-

wych, gdzie ponad 80% docierającego do ucha dżwięku jest efektem pogłosu)

lub niekorzystnym (w przypadku auli wykładowej aby zrozumieć mowę pogłos

musi być jak najmniejszy)

Ad.3

Gdy nakładają się dwie fale dźwiękowe których częstotliwości są bliskie sobie

powstaje fala o częstotliwości będącej średnią arytmetyczną częstotliwości fal

składowych (z uwagi na bliskośc częstotliwośco obu fal, średnia jest równa

częstotliwości jednej z nakładających się fal). Amplituda tej wypadkowej fali

zmienia się z częstotliwością równą połowie różnicy częstotliwości nakładających

się fal (więc bardzo małą, bo przecież częstotliwości obu fal są prawie takie

same). Matematycznie będzie wyglądać to tak; dwie fale docierające do danego

punktu wywołuą jego drgania:

x1(t) = Asin(ω1t) x2(t) = Asin(ω2t)

Wypadkowe wychylenie będzie sumą obu wychyleń składowych:

x = x1 + x2 = Asin(ω1t) + Asin(ω2t) = 2A sin(ω1 + ω2

2t) sin(

ω1 − ω2

2t)

Mamy zatem drganie składające się z „modulowanej” amplitudy A′ i często-

tliwości ω′ ≈ ω1 ≈ ω2 (x(t) = A′ sin(ω′t)) co można przedstawić na

wykresie:24

ωt

x

2A

Ad. 4

Rezonans akustyczny – zjawisko polegające na pobudzeniu do drgań danego ciała

przez padającą na nie falę akustyczną której częstotliwość jest równa częstotli-

wości drgań własnych rozważanego ciała. Następuje wówczas charakterystyczne

wzmocnienie padającej fali

Rezonans akustyczny wykorzystywany jest najczęściej w instrumentach muzycz-

nych w których fala akustyczna powstaje jako fala stojąca w rezonatorach

(przedstawiono je na poniższych rysunkach) a następnie może być wzmacniana

w tzw. pudle rezonansowym (np. gitara)

(1) (3)(2)

(4) (5) (6)

Doskonałym przykładem pokazującym zastosowanie rezonatorów jest następujący

przykład:

Wyznacz częstotliwość podstawową i trzy harmoniczne rury organów o dłu-

gości 10m. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 340ms

Na rysunku przedstawiono klejne fale stojące mogące pojawiać się w rurze

organów (zamkniętej z jednej strony i otwartej z drugiej)

25

1

4λ

4

3 λ4

5 λ4

7 λL

(1) (2) (3) (4)

Z rysunku widać, że kolejne harmoniczne powstające w takiej ruche da się opisać

następującym wzorem rekurencyjnym:

L =2n + 1

4λ czyli λ =

4

2n + 1L dla n = 0, 1, 2, 3, ...

Podstawiając teraz za L = 10m zaś za n = 0 (częstotliwość podstawowa),

n = 1, 2, 3 (wyższe harmoniczne) otrzymujemy kolejne dłogości fal:

λ0 = 40m λ1 =40

3m λ2 = 8m λ3 =

40

7m

I wreszcie korzystając ze wzoru: f = vλ

otrzymujemy częstotliwości poszczegól-

nych harmonicznych:

λ0 = 40m λ1 =40

3m λ2 = 8m λ3 =

40

7m

26