f f f 4.1 primitivas e integrales -...

Alonso Fernández Galián

- 1 -

TEMA 4: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

La integración es el proceso contrario a la derivación. Así, integrar la función f consiste en

encontrar las funciones F tales que fF .

4.1 PRIMITIVAS E INTEGRALES

Dada una función f , decimos que la función F es una primitiva de la función f si fF .

F es una primitiva de )()( xfxFf

Relación entre las primitivas de una función

Como la derivada de una función constante es 0, dos funciones F y G que difieran en una

constante tendrán la misma derivada.

)()()()( xFxGCxFxG

Se puede demostrar que, de hecho, todas las primitivas de una función f difieren solamente en

una constante. Así, si F es una primitiva de f , cualquier otra primitiva de f será de la forma:

CxFxG )()(

donde C es una constante. En particular, la función f tendrá infinitas primitivas.

Integral de una función

El conjunto de primitivas de la función f se representa por:

dxxf )( (integral de la función f )

Si F es una primitiva de f , cualquier otra primitiva de f se obtendrá sumando una constante

a F . Es decir:

F es una primitiva de CxFdxxff )()(

Ejemplo: Comprobar que 27)( 2 xxxF es una primitiva de 72)( xxf .

FxxFxxxFxf

)(

2 72)(27)( es una primitiva de f

Ejemplo: Calcular las derivadas de las funciones xxF sen )( , 5sen )( xxG y

3sen )( xxH .

xxHxxH

xxGxxG

xxFxxF

cos)(3sen )(

cos)(5sen )(

cos)(sen )(

* Las funciones F, G y H son primitivas de la función xxf cos)( .

Matemáticas II

- 2 -

4.2 INTEGRALES INMEDIATAS

Busquemos ahora métodos para integrar una función. Antes de nada recordemos que, si F es

una primitiva de f , la integral de f será:

CxFdxxf )()(

donde C es una constante arbitraria. Así, el problema se reduce a encontrar una primitiva de f .

Tabla de integrales inmediatas

Empecemos notando que, si leemos la tabla de derivadas “al revés”, obtendremos una tabla de

integrales (las integrales inmediatas).

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

Ca

adxa

Cxdxx

Cedxe

CxdxxCxdxx

Cxdxx

Cn

xdxx

CxdxxCxdx

xx

xx

nn

arctg1

1cossen

arcsen 1

1

ln

cotg sen

1

tg tg1ln1

tgcos

1

1

sen cos

2

2

2

2

2

1

Ejemplo: Calcular la integral de la función xxf 2)( .

Es obvio que la función 2)( xxF es una primitiva de )(xf . Por lo tanto, cualquier otra

primitiva se obtendrá sumando una constante a la función 2)( xxF :

Cxdxx 22

Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:

Cx

Cx

dxx

312

3122

Cx

Cx

Cx

dxxdxx

4

4155

5 4

1

415

1

Cx

Cx

dxx

817

8177

CxCx

Cx

dxxdxx

3

2/31

2

1

2/1

3

2

2/31

2

1

Tema 4: Técnicas de integración

- 3 -

4.3 PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN

A partir de las propiedades de las derivadas se deducen las propiedades de las integrales. En

particular tenemos las propiedades lineales de integración:

(i) dxxfkdxxfk )()(

(ii) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Con lo que hemos visto, ya podemos integrar cualquier función polinómica.

Integrales que se reducen a una inmediata

Muchas integrales se pueden calcular reescribiendo adecuadamente el integrando.


(a) Cxdxxdxx sen 5cos5cos5

(b) Cex

dxedxxdxex xxx 7

766

(c) Cxdxdxdxdxdxx

xxx 3ln

32323232


(a) CxxCxx

dxxdxxdxxx 27

2766 4

7

1

28

788

(b) Cxxxdxdxxdxxdxxx 62

7

3

2672672 2322


(a) Cxdxx

dxx

arctg1

1

1

122

(b) Cxxdxx

dxdxx

dxx

xdx

xx

xdx

x

x

ln31

3333

(c) Cxxdxdxxdxxdxx tgtg11tg1tg 222

(d) Cxxdxx

dxx

xdx

x

xdx

x

x

arctg1

1

1

1

1

11

1 2

1

2

2

2

2

2

2

Matemáticas II

- 4 -

4.4 FORMA COMPUESTA DE LAS INTEGRALES INMEDIATAS

Recordemos cómo se derivan las funciones compuestas:

))(()()( xuFxuxuF (regla de la cadena)

De aquí se deduce la siguiente regla de integración:

))(())(()( xuFdxxufxu

donde F es una primitiva de f ; es decir, )()( xfxF . A partir de la tabla de derivadas

inmediatas obtenemos:

Cxudxxu

xuCxdx

x

Cxudxxu

xuCxdx

x

Cxudxxu

xuCxdx

x

CxudxxuxuCxdxx

Cxudxxu

xuCxdx

x

CxudxxuxuCxdxx

CxudxxuxuCxdxx

Ca

adxaxuC

a

adxa

CedxexuCedxe

Cxudxxu

xuCxdx

x

Cn

xudxxuxuC

n

xdxx

compuestaformasimpleforma

xuxu

xx

xuxuxx

nn

nn

)( arctg)(1

)( arctg

1

1

)(arcsen )(1

)(arcsen

1

1

)( cotg)(sen

)( cotg

sen

1

)( tg)( tg1)( tg tg1

)( tg)(cos

)( tg

cos

1

)(sen )(cos)(sen cos

)(cos)(sen )(cossen

ln)(

ln

)(

)(ln)(

)(ln

1

1

)()()(

1

22

22

22

22

22

)()(

)()(

11


- 5 -

4.5 EJEMPLOS DE INTEGRALES INMEDIATAS

Con lo que sabemos hasta ahora, y manipulando adecuadamente el integrando, podemos

integrar un gran número de funciones.

1.

Cx

dxx

6

34344

65

(tipo potencial)

2.

Cx

dxxdxx

24

34344

4

134

655

(tipo potencial)

3. Cx

dxxxdxxx 5

coscossen cossen

544 (tipo potencial)

4.

CxCx

dxxdxx

3

2/3

2

1

533

2

2/3

53535535 (tipo potencial)

5. Cxdxx

x

1ln1

2 2

2 (tipo logarítmica)

6. Cxdxx

xdx

x

x

5ln3

1

5

3

3

1

5

3

3

2

3

2

(tipo logarítmica)

7. Cxdxx

xdx

x

xdxx

cosln

cos

sen

cos

sen tg (tipo logarítmica)

8. Cedxex xx sen sen cos (tipo exponencial)

9. Ce

dxedxex

xx

33

3

1 131313

(tipo exponencial)

10.

Cdxdxx

x

x

x

)5/3(ln

5/335/33

5

3 1

(tipo exponencial)

11. Cdxxxx

xx

4ln

4432

33

2

2

(tipo exponencial)

12. Cxdxxx 34 cos34sen 8 22 (tipo coseno)

13.

Cxdxxx

dxx

x ln coslnsen

1lnsen (tipo coseno)

14. Cxdxxdxx 5sen 5cos55

15cos (tipo seno)

Matemáticas II

- 6 -

15. Cedxee xxx sen cos (tipo seno)

16. Cxdxx

6 tg6cos

62

(tipo tangente)

17. Cxdxx

dxx tgcos

1sec

2

2 (tipo tangente)

18. Cxdxxdxx tg2tg12tg22 22 (tipo tangente)

19. Cedxee xxx 4424 tgtg14 (tipo tangente)

20. Cxdxx

7cotg7sen

72

(tipo cotangente)

21.

Cedx

e

edx

e

e x

x

x

x

x

arcsen

11 22 (tipo arcoseno)

22.

Cxdx

xdx

x

3arcsen

3

1

31

3

3

1

91

1

22 (tipo arcoseno)

23. Cxdxx

dxx

arctg

5

1

1

1

5

1

55

122

(tipo arcotangente)

24.

Cxdxx

xdx

x

x

2

224arctg

1

2

1

2 (tipo arcotangente)

25.

Cx

dxx

dxx

dxx

3

arctg3

1

3/1

3/1

3

1

3/1

1

9

1

9

1222

(tipo arcotangente)

La constante de integración. Cada función integrable admite infinitas primitivas, una para cada

valor de C. Así, para determinar una primitiva concreta necesitamos imponer alguna condición.

Ejemplo: Calcular la primitiva de la función 2

1)(

xxf que pasa por el punto )5,3(P .

Cxdxx

xF

2ln2

1)(

Calculamos C imponiendo que 5)3( F :

550523ln5)3( CCCF

La función pedida es, por tanto, 52ln)( xxF .


- 7 -

4.6 INTEGRACIÓN POR PARTES

En ocasiones conviene escribir el integrando como el producto de una función, )(xu , por la

diferencial de otra función, )(xdv , y operar de acuerdo a la fórmula de integración por partes:

duvvudvu

(Esta fórmula se deduce de la expresión de la derivada de un producto). Las funciones u y v

deben elegirse de manera que u tenga una derivada sencilla y dv sea fácil de integrar.

A veces ocurre que, tras integrar por partes, aparece la integral original multiplicada por algún

coeficiente, lo que permite calcular la integral despejando en la igualdad resultante.

Ejemplo: Calcula las siguientes integrales integrando por partes:

(a) Cxxxdxxxxxvdxxdv

dxduxudxxx

cossen sen sen

sen coscos

(b) Cxxxdxxxdxx

xxx

xvdxdv

dxx

duxudxx

lnln

1ln

1ln

ln

(c)

dxxxxx

xvdxxdv

dxxduxudxxx 2)cos(cos

cossen

2sen 2

22

xvdxxdv

dxduxudxxxxx

sen coscos2cos2

xxxxxdxxxxxx cossen 2cossen sen 2cos 22

Cxxxxx cos2sen 2cos 2

Ejemplo: Calcula la siguiente integral:

dxxexe

xvdxxdv

dxedueudxxe xx

xxx sen sen

sen coscos

dxxexexe

xvdxxdv

dxedueu xxxxx

coscossen cossen

Hemos recuperado la integral original multiplicada por –1. Llamémosla I y despejemos:

2

cossen Icossen I2Icossen I

xexexexexexe

xxxxxx

Así: Cxexe

dxxexx

x

2

cossen cos

Matemáticas II

- 8 -

4.7 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Hacer un cambio de variable consiste en sustituir cierta expresión que dependa de x, )(xg , por

otra variable t. Los pasos que debemos seguir para realizar un cambio de variable son:

(i) Sustituimos )(xg por t.

(ii) Despejamos x.

(iii) Sustituimos dx por la diferencial de la expresión obtenida.

Veamos más ejemplos:

Ejemplo: Calcula mediante un cambio de variable las siguientes integrales:

(a)

dt

tdtt

ttdttdx

tx

xt

dxxx 22

2

1

12)2(

1

1

2

1

1

1

1

CxCt 1arcsen 2arcsen 2

(b)

dt

t

t

t

t

dtt

tdx

tx

teet

dxe

e

xx

x

x

1

21

1

2

1ln

11

12

22

2

2

2

2

CeeCttdtt xx 1213

22

3

212

332

(c)

CxCt

dttdtee

t

dtedx

ex

xt

dxx

x t

tt

t

4

43

33

ln4

1

4

lnln

(esta última integral podía haberse resuelto directamente)

Ejemplo: Calcula la siguiente integral mediante un cambio de variable:

dx

x 3

1

Hagamos el cambio de variable 3 xt para eliminar la raíz:

Ctdtdttt

dttdx

tx

xt

dxx

222

1

2

3

3

3

1 2

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos:

Cxdxx

32

3

1


- 9 -

4.8 INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DEL SENO Y EL COSENO

Para integrar potencias del seno y el coseno debemos recordar las siguientes identidades:

(1) 1cossen 22 xx (relación fundamental de trigonometría)

(2) 2

2cos1sen2 x

x

(seno del ángulo mitad)

(3) 2

2cos1cos2 x

x

(coseno del ángulo mitad)

Como regla general debemos integrar como sigue:

-Si el exponente es impar, usamos (1) para buscar una integral de tipo potencial.

-Si el exponente es par, lo reducimos empleando (2) ó (3).

Veamos ahora un ejemplo clásico de integral que se resuelve mediante un cambio de variable a

una función trigonométrica:

Ejemplo: Calcular mediante un cambio de variable apropiado la siguiente integral:

dttataa

dttadx

taxdxxa )cos( sen

cos

sen 22222

dtt

adttadtttadttta2

2cos1coscoscoscossen1 222222

ttatatata cossen 24

1

2

12sen

4

1

2

1 2222

Ahora debemos deshacer el cambio. Para ello, notemos que:

22

21

1cosarcsen sen xaaa

xt

a

xt

a

xt

Así:

22222

2

1arcsen

2

1xax

a

xadxxa


(a) Cxxdxx

dxdxx

dxx

2sen4

1

2

1

2

2cos

2

1

2

2cos1sen 2

(b) dxxxdxxxdxx sencos1sensensen 223

dxxxxdxxxdxx )sen(coscossencossen 22

Cxx 3cos3

1cos

Matemáticas II

- 10 -

4.9 FUNCIONES RACIONALES I: MÉTODO GENERAL DE INTEGRACIÓN

Finalmente, veamos cómo calcular la integral de una función racional siendo ésta no inmediata.

dxxQ

xP

)(

)(

Primero, enumeramos esquemáticamente los pasos que deben seguirse.

(i) Reducir el grado del numerador hasta que sea menor que el del denominador.

(ii) Descomponer la función racional en suma de fracciones simples. Para ello:

(ii.1) Se factoriza el denominador.

(ii.2) Se escriben las fracciones correspondientes y se buscan los numeradores.

(iii) Integrar las fracciones simples resultantes.

1. Reducción del grado del numerador. Para integrar funciones racionales, se requiere que el

grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Si no fuera el caso, debemos

dividir para reducir el grado del numerador:

)(

)()(

)(

)()()()()(

)()(

)()(

xQ

xRxC

xQ

xPxRxQxCxP

xCxR

xQxP

Así:

dxxQ

xRdxxCdx

xQ

xP

)(

)()(

)(

)(

2. Descomposición en fracciones simples. Para descomponer una fracción en suma de

fracciones simples, debemos factorizar el denominador, de modo que cada factor dé lugar a una

o varias fracciones simples.

...)()()( bxaxxQ

En la descomposición del denominador pueden aparecer factores de los siguientes tipos:

-Factores lineales de multiplicidad uno, ax , que dan lugar a una fracción de la forma:

ax

A

-Factores lineales de multiplicidad n, nax )( que dan lugar a n fracciones de la forma:

ax

A

1 , 2

2

)( ax

A

, … ,

n

n

ax

A

)(

-Factores cuadráticos irreducibles, cbxx 2, que dan lugar a una fracción de la forma:

cbxx

NMx

2

-Factores cuadráticos irreducibles de multiplicidad n, ncbxx 2 , que no estudiaremos.

Los coeficientes A, 1A , M, N,… se calculan haciendo que la suma de las fracciones simples

coincida con la fracción original.

3. Integración de las fracciones simples. En lo que sigue veremos ejemplos de cómo integrar

las fracciones simples resultantes.


- 11 -

4.10 FUNCIONES RACIONALES II: FACTORES LINEALES

Veamos ejemplos de cómo se integran funciones racionales en las que el denominador se

descompone completamente en factores lineales (de cualquier multiplicidad).

Ejemplo 1: Calcular la siguiente integral:

dx

xx

x

6

762

(i) El grado del numerador es menor que el grado del denominador.

(ii) Debemos descomponer la fracción en fracciones simples. Lo primero que debemos hacer es

factorizar el denominador:

)3)(2(62 xxxx

Escribamos las fracciones simples correspondientes:

326

762

x

B

x

A

xx

x

Para calcular A y B, debemos empezar multiplicando esta igualdad por )3)(2( xx :

)2()3(76 xBxAx

Ahora demos valores a x. Lo más cómodo es darle los valores 2x y 3x :

5)23()33(7)3(63

1)22()32(7262

BBAx

ABAx

Así, tenemos:

3

5

2

1

6

762

xxxx

x

(iii) Finalmente, integremos la función:

Cxxdxx

dxx

dxxx

x

3ln52ln3

5

2

1

6

762


dx

xxx

xx

96

911323

2


(ii) Factoricemos el denominador para descomponer la fracción en fracciones simples:

223 )3(96 xxxxx


223

2

)3(396

9113

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Para calcular A, B y C, debemos empezar multiplicando esta igualdad por 2)3( xx :

CxxBxxAxx )3()3(9113 22

Matemáticas II

- 12 -

Ahora demos valores a x. Además de 0x y 3x podemos tomar, por ejemplo, 1x :

241623...1

133...3

199...0

BCBAx

CCx

AAx

Tenemos, por tanto:

22

2

)3(

1

3

21

)3(

9113

xxxxx

xx


Cx

xxdxx

dxx

dxx

dxxxx

x

3

13ln2ln

)3(

1

3

21

96

9113222

2


dx

xxx

xx

133

3223

2



323 )1(133 xxxx


3223

2

)1()1(1133

32

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Para calcular A, B y C, multipliquemos esta igualdad por 3)1( x :

CxBxAxx )1()1(32 22

Ahora demos valores a x. Además de 1x podemos tomar, 0x y 2x :

3

2

23

23...

2

0

22...1

B

A

BA

BA

x

x

CCx

Tenemos, por tanto:

3223

2

)1(

2

)1(

3

1

2

133

32

xxxxxx

xx


Cxx

x

dxx

dxx

dxx

dxxxx

xx

2

3223

2

)1(

1

1

31ln2

)1(

2

)1(

3

1

2

133

32


- 13 -

4.11 FUNCIONES RACIONALES III: FACTORES CUADRÁTICOS

Para integrar una función racional en la que el denominador es un polinomio irreducible de

grado dos, debemos:

(i) Manipular el numerador para que aparezca la derivada del denominador.

(ii) Separar la integral en dos integrales, la primera del tipo logarítmico y la segunda del tipo

arcotangente.

(iii) Para calcular la segunda integral, reescribimos el denominador en la forma 21 u y

hacemos que en el numerador aparezca u .

Ejemplo 4: Calcula la siguiente integral:

dx

xx

x

22

322

El denominador es un polinomio irreducible de grado dos (pues no tiene raíces reales).

(i) Buscamos en el numerador la derivada del denominador:

dx

xx

xdx

xx

x

22

1)22(

22

3222

(ii) Separamos la integral en dos integrales (la primera de ellas del tipo logarítmico):

JIdxxx

dxxx

xdx

xx

x

22

1

22

22

22

1)22(222

(iii) Calculamos por separado cada integral:

22ln22

22 2

2

xxdx

xx

xI

1 arctg)1(1

1

22

122

xdxx

dxxx

J

Así: Cxxxdxxx

x

1 arctg22ln22

32 2

2

Ejemplo 5: Calcula la siguiente integral:

dx

xx

x

102

152

El denominador es un polinomio irreducible de grado dos (pues no tiene raíces reales).

(i) Buscamos en el denominador la derivada del denominador:

dx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

102

)5/22()22(

2

5

102

5/22

2

5

102

15222

(ii) Separamos la integral en dos integrales (la primera de ellas del tipo logarítmico):

JIdxxx

dxxx

xdx

xx

x

102

5/22

2

5

102

2

2

5

102

)5/22()2(

2

5222

Matemáticas II

- 14 -

(iii) Calculamos por separado cada integral:

102ln2

5

102

22

2

5 2

2

xxdx

xx

xI

dx

xdx

xxdx

xxJ

222 )1(9

14

102

14

102

5/22

2

5

3

1 arctg

3

4

13

1

3/1

3

4

13

1

1

3

4222

xdx

xdx

x

Así: Cx

xxdxxx

x

3

1 arctg

3

4102ln

3

5

102

15 2

2

Ejemplo 6. Calcular la siguiente integral:

dx

xxx

x

1472

7223



721472 223 xxxxx


721472

72223

x

NMx

x

A

xxx

x

Para calcular A, M y N, multipliquemos esta igualdad por 72 2 xx :

2772 2 xNMxxAx

Ahora demos valores a x. Además de 2x , podemos tomar, por ejemplo 0x y 1x :

13)(85...1

0277...0

11111...2

MNMAx

NNAx

AAx

Tenemos, por tanto:

72

1

1472

12223

2

x

x

xxxx

xx


7ln2

12ln

72

1

1472

12 2

223

2

xxdxx

xdx

xdx

xxx

xx

Así:

7ln2

12ln

72

1

1472

12 2

223

2

xxdxx

xdx

xdx

xxx

xx


- 15 -

ANEXO: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Veamos algunos métodos más para integrar funciones trigonométricas:

Producto de potencias de senos y cosenos con el mismo ángulo. El método para integrar estas

funciones depende de la paridad del exponente del seno y del coseno:

dxxx mn cossen

-Si n es impar y m es par: Separamos un “sen x” y aplicamos el cambio de variable:

dxxdt

xt

sen

cos

-Si m es impar y n es par: Separamos un “cos x” y aplicamos el cambio de variable:

dxxdt

xt

cos

sen

-Si n y m son impares: Podemos emplear cualquiera de los métodos anteriores.

-Si n y m son pares: Reducimos el grado mediante las siguientes identidades trigonométricas:

2

2cos1sen2 x

x

2

2cos1cos2 x

x

Producto de senos y cosenos con distintos ángulos. Se integran aplicando las siguientes

identidades trigonométricas:

)(sen )(sen 2

1cossen

)(cos)(cos2

1coscos

)(cos)(cos2

1sen sen

Ejemplo: Calcula la siguiente integral:

dxxxdxxxxxdxxx 4sen 8sen 2

1)2(6sen )2(6sen

2

12cos6sen

Cxxdxxdxx 4cos8

18cos

16

14sen

2

18sen

2

1


(a) ...1sen

cossen cossencossen 222223

dttt

dxxdt

xtdxxxxdxxx

(b) ...2cos14

1

2

2cos1

2

2cos1cossen 222

dxxdx

xxdxxx

Matemáticas II

- 16 -

ANEXO: ECUACIONES DIFERENCIALES

Numerosos estudios científicos llevan a considerar ecuaciones funcionales que involucran

derivadas de cierta función y. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Por

ejemplo:

yyyx 75 o, escrita en notación diferencial, dx

dyy

dx

ydx 75

2

2

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Vamos a centrarnos en resolver ecuaciones

diferenciales que sólo involucran la derivada primera de una función, denominadas ecuaciones

diferenciales de primer orden. Por ejemplo:

02 xyy o, escrita en notación diferencial, 02 xydx

dy

La solucion general de una ecuación diferencial es el conjunto de funciones y que satisfacen la

ecuación. Al imponer distintas condiciones del tipo 00 )( yxy obtendremos las distintas

soluciones particulares de la ecuación.

Ecuaciones diferenciales con variables separables: Se dice que una ecuación diferencial tiene

variables separables si podemos expresarla en la forma:

)()( ygxfdx

dy

Para resolverlas, “separamos” las variables e integramos:

)()( ygxfdx

dy dxxf

yg

dy)(

)( dxxf

yg

dy)(

)(... y

Ejemplo: Encontrar la solución de la siguiente ecuación que satisface ey )1( .

yyxdx

dyx

Notemos que podemos escribirla como una ecuación de variables separables:

yx

x

dx

dy 1

(a) Buscamos la solución general. Debemos separar variables e integrar:

Cxxydxx

x

y

dydx

x

x

y

dyy

x

x

dx

dy

lnln...

111

Despejamos y:

xeK

Cxx KxeyeyCxxy

C

lnlnln

(b) Buscamos la solución particular que cumple ey )1( . Para ello debemos calcular K:

1)1( KeKeey

Así, concluimos que la solución particular que buscábamos es:

xxey


- 17 -

Integrales inmediatas: Forma simple y compuesta

1. Calcula:

(a) dxx 2

1 (b) dx

x

1 (c) dxx 3

(d) dxx5

1

2. Calcula aplicando las propiedades de linealidad:

(a) dxxx 6cos5 (b) dxx 2

7 (c) dxxe x2 (d) dxx

23

3. Calcula:

(a) dxxxx 263 23 (b)

dx

x

x3

1 (c)

dx

x

x

2

1 (d) dxx2cotg

4. Determina )(xf sabiendo que xxf 24)( , 2)0( f , 1)0( f y 0)0( f .

5. Calcula:

(a) dx

x 53

1 (b) dxxx 32

(c) dxxe x2

(d) dxx52sen

6. Calcula:

(a)

dx

xx

x

53

322

(b) dxxcotg (c) dxe

ex

x

2cos (d)

dxx )1(sen

22

7. Calcula dxxxx 16cos2 32.

8. Calcula:

(a) dxx 12 (b) dx

x 216

1 (c)

dxx2251

10 (d)

dxx

x

251

5

9. Dada la función xxexxf 2

12)( determina la función )(xg tal que )()( xfxg con la

condición de que su gráfica pase por el punto )2,0( .

10. Una partícula parte del origen de coordenadas con una velocidad inicial de 5 m/s y se mueve

a lo largo del eje OX con aceleración 12 ta m/s2 (el reloj se inicia cuando la partícula parte

del reposo). Determina el espacio recorrido por la partícula tras 10 segundos.

Integración por cambio de variable

11. Calcula:

(a) dx

x

x

1 (b) dx

xx 2cos

1 (c)

dxxx 1

1 (d)

dx

xx

x

ln

1ln3

EJERCICIOS DEL TEMA 4

Matemáticas II

- 18 -

12. Calcula:

(a) dx

x 1

2 (b) dx

xx ln

1 (c)

dx

x

xx2

(d) dx

x

x

3

2

21

13. Calcula:

(a)

dxx

ex x

(b) dx

x

x2sen1

cos

14. Calcula la siguiente integral indefinida utilizando el cambio de variable 1 xy :

dx

x

x

1

2

Integración por partes

15. Calcula:

(a) dxxe x3 (b) dxxarcsen (c)

dxex x2 (d) dxxe x sen 2

16. Calcula:

(a) dxxx ln2 (b) dx

x

x2cos

(c) dxx arctg

(d) dxx2

ln (e) dxxxx cos2 (f)

dxx

xln

11

2

17. Calcula la función F(x) sabiendo que xxF cos)( y que 32 F .

Integración de funciones trigonométricas

18. Calcula:

(a) dxxx cossen3 (b) dxx2cos (c) dxxx cossen (d) dxx3cos

Integración de funciones racionales

19. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador se descompone en factores

lineales simples:

(a)

dx

xx

x

65

122

(b)

dx

xxx

x

6

123

20. Calcula las siguientes integrales en las que el grado del numerador es menor que el grado del

denominador:

(a)

dx

x

x

2

13

(b)

dx

xx

xxx

65

69922

23


- 19 -

21. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador se descompone en factores

lineales:

(a) dx

x

x3)1(

(b)

dx

xxx

xx

485

1323

2

(c) dx

xx 23

1 (d)

dx

xxx

x

1

10623

22. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador es irreducible:

(a)

dx

x

x21

81 (b)

dx

x

x

4

12

3

23. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador es irreducible:

(a)

dx

x

x

254

52

(b)

dx

x

x294

36

24. Calcula las siguientes integrales:

(a)

dx

xx

x2

2 (b)

dx

xx

x

1

12

2

(c)

dx

xx

xx3

2 1 (d)

dx

xx

x

23

13

2

Varios

25. Expresa las siguientes fracciones en la forma )(/)()( xQxRxC , con )()( QgradRgrad .

(a) 1

3232

2

x

xx (b)

13

23962

23

xx

xxx

26. Calcula:

(a) dxex x)3( (b)

dxxx

3ln

1 (c)

dx

x

xlncos (d) dx

e

xx

3

27. Calcula:

(a) dxx

x2sen

cos (b) dx

x

x2cos

(c) dx

xx 1

1 (d) dxxx arctg

28. Calcula mediante un cambio de variable:

(a)

dx

e

eex

xx

2

2

1 (b)

dxx

x

1

29. Calcula:

(a) dxx

x2

ln (b)

dxx1

2 (c)

dxx

x21

arctg2 (d) dx

x

xln

30. Calcula:

(a)

dxx

x

2cos

tg27 (b)

dxe

ex

x

294 (c) dx

x

x

cos

sen (d)

dxe x 3

6

Matemáticas II

- 20 -

31. Sabiendo que 2

)( xexF es una primitiva f , comprueba que f es creciente en ℝ.

32. Calcula un polinomio )(xP sabiendo que su derivada es 3666)( 2 xxxP y que tiene

dos extremos relativos: un máximo y un mínimo, de manera que el valor del polinomio en el

máximo es el doble que su valor en el mínimo.

Selección de Ejercicios de PAEG

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f f f 4.1 primitivas e integrales -...

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