1

Εισαγωγή στην Ατομική και Μοριακή Δομή Παραδόσεις του μαθήματος Σύγχρονη φυσική ΙΙ

Βασικό σύγγραμμα ΄΄Σύγχρονη Φυσική΄΄ R.A.Serway, C.J.Moses, C.A. Moyer Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Α.Μπολοβίνος Αναπληρωτής Καθηγητής Ιωάννινα 2003

Ατομική Δομή

(Κεφ.8)

Ατομική Φυσική ⇒ Εξηγεί τη δομή και τίς ιδιότητες των Ατόμων ⇓ ⇓ Ιστορικά το κατεξοχήν πεδίο Γενικότερα καθορίζει τις βασικότερες ανάπτυξης & ελέγχου της ιδιότητες της ύλης και αποτελεί το Σύγχρονης Κβαντομηχανικής υπόβαθρο άλλων κλάδων της Φυσικής (Μοριακής-Στερεάς) η άλλων επιστημονικών κλάδων (Χημείας-Βιολογίας) Τροχιακή Στροφορμή & Μαγνητική ροπή Ημικλασικό Μοντέλο Bohr ⇒ Άτομο Η και Μονοηλεκτρονιακά ιόντα ⇓

• Ενέργειες κβαντισμένεs 2

2

6.13nzEn −= , ...2,1=n

• Επιτρέπονται μόνο κυκλικές τροχιές για τις οποίες nL = , ....2,1=n ⇒ L κβαντισμένη ( 11 =→= Ln ?)

Σύγχρονη Κβαντομηχανική ⇒ • Ενέργειες κβαντισμένεs 2

2

6.13nzEn −= , ...2,1=n

• Αρχή αβεβαιότητας →Μόνο το μέτρο L και μια προβολή π.χ zL γνωστές

⇓ Εξίσωση Schrodinger

)1( +== LL , ,...1,0= ,mLz = , ....−=m

:Κβαντικός αριθμός της τροχιακής

στροφορμής

:m Μαγνητικός κβαντικός αριθμός

2 Μαγνητική ροπή Ηλεκτρονίου

Κίνηση φορτίου(-e) ⇒ i= πω

2e

Te

tq

−=−

=

⇓ Μαγνητικό πεδίο περιστρεφόμενου e ≡ Μαγνητικό πεδίο διπόλου

LmeL

me

rmLrrmpxrL

rmmererereA

LLL

2 ή

2 επειδή &

)(22

121

2i 22

−==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇒⊥×==

=====μμ

υυυ

υυωππ

ωμ

⇓

Bohr τουΜαγνητόνηTJ9,274x10

22

λόγος ικόςγυρομαγνητc2

24- ==

===

⇒==

Β

Β

μ

μμ

μ

me

me

L

tme

LL

L

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

+==

ΒΒ

ΒΒ

mL

L

Z

L

μμμ

μμμ

ZL

)1(

⇒

3 Επίδραση ομογενούς Μαγνητικού πεδίου ΖΒ=Β στην τροχιακή Μαγνητική ροπή του Ατόμου Θεωρούμε ισοδύναμο Μαγνητικό δίπολο με πόλους (–p,+p) εντός ομογενούς δμμ pL ==⇒ Μαγνητικού πεδίου Β Κλασική Φυσική ⇓

( ) Β⇒⊥⇒Β×−=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

Β×=

⇒Β=Β=Β+Β=⇒Β===

Β

Β περί το κίνησηήμεταπτωτικ εκτελούν ,, 1

sinsinsin2

sin2

ζεύγους Ροπή21

LLL

L

L

LLLL

ppppFFF

μμτμ

τμμ

μτ

ϑμϑδϑδϑδτ

( )

Larmor Συχνότητα

sinsin

sind

γωνίαδιαγράφει τουάκρο τοχρόνο τοΜε

,

1

⇒Β

==

⇓

Β=Β

==

⇓

Β⊥⇒Β×−=

⇓

Β×−==

Β

ΒΒ

Β

Β

μφω

μϑϑμ

ϑφ

μ

μτ

dtd

dtL

dtLL

dLL

LddtLLd

LdtLd

L

4 Ένα Μαγνητικό δίπολο υπό την επίδραση του ⇒Β Δυναμική ενέργεια προσανατολισμού ⇒ ),(V ϑμLf=Μ

( )

⇓

+⇒

+=+=+=+=⇓

⇓

⇒−==

====⋅=⋅−=⇒

−===

⇒⇒==

==

=⊥=⇒

∫∫

ις καταστάσε12 σε n ης κατάστασ κάθεςΔιαχωρισμό

ηΚβαντισμέν V..... επειδή και

cosV

cossinV

διεύθυνση άλλη εοποιαδήποτ για2

για0V Θέτοντας

0 ή // όταν 0 2

ή ότανmax 1

22

L

L

mm

mm

mLLL

dd

nnmnn

L

LL

ωμ

μ

μμϑμμμ

ϑμϑϑμϑτ

πϑ

ϑμτ

πϑμτ

ϑ

π

ϑ

π

ΕΒΕΕΕΕΕΕ

Β

ΒΒΒΒΒ

ΒΒ

Β

Β

ΒΜ

ΜΒ

ΒΖ

ΒΒΒΜ

Μ

Μ

πεδίουΜαγνητικού εντός ιόντων ή ΑτόμωνονιακώνΜονοηλεκτρ ενέργεια Ολική

Ομαλό φαινόμενο Zeeman Λόγω των κανόνων επιλογής Δ =±1 και

Δm =0±1, μόνο τρεις φασματικές γραμ-μές αναμένεται να εμφανιστούν και για τις δύο μεταβάσεις του διπλανού σχήμα-τος.

5 Ιδιοστροφορμή ή Σπίν του Ηλεκτρονίου - Πείραμα των Stern-Gerlach Σκοπός του Πειράματος ⇒ Μέτρηση της τροχιακής Μαγνητικής ροπής ατόμων Ag μέσω

της απόκλισης μιας ατομικής δέσμης Ag κατά τη διέλευση της από ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο.

⇓

Θεωρούμε Μαγνητικό δίπολο (–p,+p) ⇒Λόγω του ανομοιογενούς Μαγνητικού πεδίου

0ΖΒ(Ζ)Β=

ϑ

ϑ

cos)()()()(

cos

)()()(

)()(

1112

12

dzzdpdzpz

dzzdpzpF

dz

zdz

zdzz

zpzpFΒ

=Β−ΔΒ

+Β=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=Δ

ΔΒ

+Β=Β

Β−Β=

ϑμϑ cos)( cos)(dz

zdFdz

zdpdF Β=⇒

Β=⇒

⇓

Σε αναλογία, λόγω της ύπαρξης της τροχιακής ⇒ ϑμ cos)(dz

zdF LΒ

=

μαγνητικής ροπής μL των ατόμων Ag ⇓ Κλασική πρόβλεψη: Συνεχής σκέδαση ατόμων Ag μεταξύ 2 ορίων ανάλογα με τις τιμές της ϑ

⇓ Σε πλήρη αντίθεση με 2 σαφώς παρατηρούμενα πειραματικά ίχνη.

–p

pB(z)

ϑ

- 6 - Ερμηνεία του Πειράματος S-G

Σύγχρονη Κβαντομηχανική ⇒ ⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

+=

+−==

−=+=

m

mmLnL

BL

BL

z

zμμ

μμ )1(

τιμές1)(2 ,....., , 1,...2,1,0,)1(

⎪⎭

⎪⎬⎫

=⇒=⇒

Β=

Β=⇒

Β= Β

00 Ag(...5s) Άτομο

)()( cos)(

m

mdz

zddz

zdFdz

zdFzLL μμϑμ

⇒ F=0 ⇒ Δέσμη ανεπηρέαστη…

⇓ εντούτοις στο πείραμα δύο ίχνη!

0m0H(1s) δέσμη με Πειράματος Επανάληψη =⇒=⇒ ⇒ Δέσμη ανεπηρέαστη… ⇓ εντούτοις στο πείραμα δύο ίχνη!

⇓ Κάποια επί πλέον μαγνητική ροπή (& αντίστοιχη στροφορμή στο Άτομο) ⇓ Μήπως υπεύθυνος ο Πυρήνας;

Όχι διότι: 31022 ×≅= Β

ΠΠ

μμ

me

⇒ γεγονός που δεν εξηγεί το μέγεθος της απόκλισης.

Goudsmit & Uhlenbeck: «Το e διαθέτει μια ενδογενή ιδιοστροφορμή το σπίν S και μια αντίστοιχη μαγνητική ροπή Sμ » ⇓

)1( +== ssSS όπου s κβαντικός αριθμός του σπιν = ½

sm=zS , ms= s,…,–s, ο μαγνητικός κβα-ντικός αριθμός = ± ½ (2s +1 τιμές)

Sg Bss

μμ −= , )1(s +== ssg Bss μμμ ,

gs=2, παράγοντας Landé του σπιν

sBss mgz

μμ =

- 7 - Με βάση τα παραπάνω ⇓

δέσμες 2 Πείραμα επειδήΚαι )()(⇒

Β=

Β= Β SSS mg

dzzd

dzzdF

Zμμ

21m και

21s212s s ±==⇒=+⇒ ⇒ 2 μόνο δυνατοί προσανατολισμοί.

Πειραματικός προσδιορισμός του παράγοντα Lande, gs.

2

21

21

2

2

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

⇓

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

=

sΒssΒΖ

ssΒΖ

ΖssΒ

zsΖ

ΖΖ

Ζ

ΖΖ

gμmgμ γνωστό

dzdΒΑ

μετριέται ΔΖ

mgμdz

dΒΑΔΖ

dzdΒmgμ

dzdΒ

μ F

ΑF)υΔy(

mFΔΖ

υtΔy

taΔΖ

maF

Ζ

Με βάση τη σχέση: Lmem

e

SS

g LSS

μμμμ 22

2 S ===⇒−= Β

⇓ Στα πλαίσια της Κλασικής φυσικής γυρομαγνητικός λόγος ≠

mq

2 ανεξήγητος

⇓ Το σπιν θεμελιώδης κβαντομηχανική ιδιότητα των σωματιδίων χωρίς κλασικό ανάλογο. ⇓ Το S καθορίζεται από τον κβαντικό αριθμό s που παίρνει ημιακέραιες ή ακέραιες τιμές ταξινομώντας τα σωματίδια σε δύο μεγάλες κατηγορίες (Φερμιόνια και Μποζόνια). Σημείωση: Το ιστορικό πείραμα Stern-Gerlach ειδική περίπτωση αφού για τον Ag(..5s) ⇒ S η άτομο στο ροπή μαγνητική μόνη η και 000 μμκαι = =⇒= L

⇓

jz

jz

SLj mdz

dgdz

d Β=

Β=⇒+=⇒≠ Βμμμμμ

ZjF 0 όπου περίπτωσηη γενικότερΣτη

⇒ (2j+1) δέσμες, όσοι και οι δυνατοί προσανατολισμοί της jμ .

8 Συνοψίζοντας

⇓ Λόγω των L και S κάθε κατάσταση Μονοηλεκτρονιακών Ατόμων (ή ιόντων) • Περιγράφεται από 4 κβαντικούς αριθμούς smmn ,,, - n: 1,2,…. o κύριος κβαντικός αριθμός - : 0,1,…n-1 o κβαντικός αριθμός της τροχιακής στροφορμής (n το πλήθος τιμές) - m = - ,…,+ ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός της τροχιακής στροφορμής

(2 +1 το πλήθος τιμές) -s=1/2 κβαντικός αριθμός του σπίν -ms=-1/2,+1/2 μαγνητικός κβαντικός αριθμός του σπίν

(2s+1=2 το πλήθος τιμές)

Για κάθε n ⇓

Αριθμός καταστάσεων λόγω και m :

του τιμώνδυνατών δύο τωνλόγωκαι

212121)(2

s

21

0

1

0

1-

0

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫=+

−=+=+ ∑∑∑

−

=

−

==

m

nnnnnnn

⇒ 2n2 εκφυλισμένες καταστάσεις

9

Λεπτή υφή ⇓

Αύξηση του αριθμού των φασματικών γραμμών σαν αποτέλεσμα του διαχωρισμού των ενεργειακών ε-πιπέδων λόγω της αλληλεπίδρασης σπίν-τροχιάς.

⇓

Αλληλεπίδραση σπίν-τροχιάς )( Ls ⋅ ⇓

Αλληλεπίδραση της μαγνητικής ροπής λόγω σπίν του ηλεκτρονίου ( sμ ) με το ενδογενές μαγνητικό πεδίο Β που επάγεται από την τροχιακή κίνηση του ηλεκτρονίου Ακριβής θεωρία ⇒ Μίγμα σχετικότητας και

Κβαντομηχανικής

Ημικλασικό μοντέλο ⇒ Φωτίζει τον μηχανισμό Αλληλεπίδρασης

Δυνατές τιμές των κβαντικών αριθμών n, , m , ms για τις ενεργειακές

στάθμες με n=1 και n=2 στο άτομο του H.

2n2=2

2n2=8

+μΒΒ

–μΒΒ

ΔΕ = 2μΒΒ = 5×10-5 eV

r

LS

S

μS

BLΠυρήνας

Ηλεκτρόνιο

r

10 Σύστημα ακίνητου e ⇓ Λόγω του Β η )Sκαι (sμ εκτελούν μεταπτωτική κίνηση περί

το )Lκαι (Β με συχνότητα Larmor BBsgs

μω =

Επί πλέον υπό την επίδραση του Β ⇓Δυναμική ενέργεια προσανατολισμού

B

slBsl

B

B

BSB

SB

BBBBS

MBSS

SM

EBBEB

BBmB

BmBSSBBSgVSg

BV

μμ

μ

μμμ

μμϑμμμμ

μ

22

2121

22

22cos2

Δ=⇒=Δ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

===

====⋅=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

⋅−=

⇓ Χρήσιμη σχέση υπολογισμού του B όταν slEΔ γνωστό από φασματοσκοπικές μετρήσεις

11 Υπολογισμός της sΔΕ από πρώτες αρχές ⇓απαιτεί τον υπολογισμό της αλληλεπίδρασης BV SM ⋅−= μ από το σύστημα του ακίνητου e στο σύστημα του ακίνητου πυρήνα. Το πρόβλημα αυτό ιδιαίτερα περίπλοκο ⇓Για μονοηλεκτρονιακά άτομα (η ιόντα) αποδεικνύεται

Σύστημα ακίνητου πυρήνα: )(124

1 322

2

0

LSrcm

zeVM ⋅=πε

⇒Σταθερά μόνο τα μέτρα και ο σχετικός

προσανατολισμός των L και S ⇓ Τα L και S περιστρέφονται με συχνότητα Larmor sω γύρω από ένα νέο άνυσμα την ολική στροφορμή

SLJ += , το μέτρο της οποίας και οι προσανατολισμοί της ως προς ένα άξονα (π.χ τον z) παραμένουν σταθερά.

j....j- , 21,

21....,)1(

==

+−=+−=+=

jjZ mmJ

ssjjjJ

⇓

[ ])1()1()1(2

)1(

)1(

)1(

)(21

2

22

22

22

222

+−+−+=⋅⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

+=

+=

−−=⋅

ssjjLS

ssS

L

jjJ

SLJLS

⇓

[ ])1()1()1(2

124

1 2

322

2

0+−+−+

><>=< ssjj

rcmzeVM πε

⇓ [ ] ενέργεια ήδιαφορετικ j άΔιαφορετικ )1()1()1( ⇒=+−+−+= jnns ssjj ΕΑΕ

⇓

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+−+=

===1/2-j για)1(

1/2j γιαnnjnsE ΑΔΕΔΕΔ

⇓

υφήςλεπτής σταθερά 137

14

1 ,)1(2

)( 2

0

23

4≡==

+=

ceαmc

naz

n πεΔΕ

Jz

L

J

S

12 Γενικά

Κάθε κατάσταση smmn με ενέργεια nΕ

⇓ λόγω της LS ⋅ αλληλεπίδρασης

περιγράφεται από τους καλούς κβαντικούς αριθμούς jjmn όπου ssj +−= ,...,

και jjm j ,...,−= και έχει ενέργεια .jnΕ Έχουμε δηλαδή μερική άρση του

εκφυλισμού αφού η ενέργεια εξαρτάται από τον j όχι όμως και από τον mj.

Εκφυλισμός της nΕ χωρίς την θεώρηση της LS ⋅ ⇒ 2(2 +1)

Εκφυλισμός της .jnΕ με την θεώρηση της 12 +⇒⋅ jLS

Φασματοσκοπικός συμβολισμός ⇓

2/3,2/1212 21/2s1,2,n π.χ,

........,,

........2,1,0

τητα πολαπλότη12

p

ssjdps

s

n js ⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+−=

⇓

=≡+

⇒+

Σημείωση: Για άτομα με ένα ηλεκτρόνιο σθένους επειδή 21,

21

+−=j όλες οι καταστάσεις

0 με ≠n είναι διπλές.

Δυνατές τιμές των κβαντικών αριθμών n, , j και mj για τις καταστάσεις n=1, 2 του ατόμου του Η.

13 Επίδραση εξωτερικού μαγνητικού πεδίου 0zΒ=Β στις ενεργειακές καταστάσεις των Ατόμων Απουσία πεδίου ⇒ Καταστάσεις που διαφέρουν μόνο ως προς τον προσανατολισμό της στροφορμής

έχουν την ίδια ενέργεια (εκφυλισμός) Παρουσία πεδίου Β ⇒ Προσδίδει φυσική σημασία σε μια διεύθυνση στο χώρο και αίρει τον εκφυλισμό

καταστάσεων με διαφορετικούς προσανατολισμούς της στροφορμής. Κάθε στροφορμή στο Άτομο συνδέεται με μια μαγνητική ροπή ⇓

)2(SLJLS τηςΛόγω2,

1,J SL

gSgS

gLgLSL

SS

S

L

+−=+=⇒+=⇒⋅⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−=⇒

=−=⇒Β

Β

Β

μμμμ

μμ

μμ

Κάθε μαγνητική ροπή υπό την επίδραση ομογενούς εξωτερικού πεδίου 0zΒ=Β ⇓

- εκτελεί μεταπτωτική κίνηση περί το Β με συχνότητα Larmor Β= Βμω g

- διαθέτει μια δυναμική ενέργεια προσανατολισμού Β⋅−= μMV

ZeemanΦαινόμενο Ανώμαλο

Back-Paschen Φαινόμενο ις περιπτώσεοριακές δύο του

ένταση τηνμε Ανάλογα

⇒<<⇒Β<<Β

⇒>>⇒Β>>Β⇒⎭⎬⎫

Β

⋅

⋅

LSM

LSM

VV

VV

Φαινόμενο Paschen-Back

)2()2()2()2(V

αριθμοίί κβαντικο'καλοί''' m &m αι διατηρούντ χωριστά S & LΟι κίνησης τηςσταθερά παραμένειδεν J Η φεται καταστρέασηαλληλεπίδρ LS Η

με τοονταιπερί περιστρέφ,&,

22

2 Αφού

M

S

L

SzzSL

SLSSL

SLLS

L

SS

mmSLSLSL

SL

g

g

+Β=Β+Β=Β⋅+Β⋅=Β⋅+=Β⋅−Β⋅−=

⇓

⇒

⇒⋅

⇓

>>≠Β⇒

Β=>>=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Β=Β=

Β=Β=⇒Β>>Β

ΒΒΒΒ

⋅

Β⋅

ΒΒ

ΒΒ

μμμμμμ

ωωωμμ

μωωωμμω

μμω

⇓

SS mmnm Ε+Ε=Ε⇒ mnσθένους e ένα με άτομα Για

14

Ενέργειες και μεταπτώσεις των καταστάσεων 3s και 3p του μοναδικού ηλεκτρονίου σθένους του Na παρου-σία ισχυρού μαγνητικού πεδίου(φαινόμενο Paschen-Back).Οι επιτρεπτές μεταπτώσεις υπακούουν τους κα-

νόνες επιλογής 1,0,0 ±=Δ=Δ mmS .

⇓

330

220

110

330

220

110

3333pm )2(0

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

==Β−Ε

==Ε

==Β+Ε

==Β−Ε

==Ε

==Β+Ε

=Δ+ΔΒ+Ε=Ε−Ε=ΔΕ

Β

Β

Β

Β

Β

Ε

→

λνμ

λν

λνμ

λνμ

λν

λνμ

μ

hch

hch

hch

hch

hch

hch

mm SSpmsmm sS

⇓ Tρεις μόνο φασματικές γραμμές

15 Ανώμαλο φαινόμενο Zeeman

mj,,n,οι αριθμοί κβαντικοί'καλοί'''αιδιατηρούντ ,,,

με SLJ περί το κίνησηήμεταπτωτικ γρήγορηεκτελούν ,Sκαι , Lι

ισχύει νασυνεχίζει ασηαλληλεπίδρ LS Η ή που περίπτωσηΣτην

j

LSSL

M

⇒⇒⇓

Β=+=Ο

⇓

⋅⇒Β⋅−=<<Β<<Β

Β

Z

S

SLS

JJSL

g

VV

μωμμ

μ

J περί την τηςμετάπτωσης γρήγορης τηςλόγω σταθερή παραμένειδεν

J τηνμε λληληείναι παρά δεν η)2( Επειδή J

JJM

SLJ

V

SL

μμ

μμ

μμμ

⇒Β⋅−=

⇓

⇒+−=+= Β

Για άτομα με ένα e σθένους ⇓

εκφυλισμού άρση Πλήρης ⇒Β+Ε+Ε=Ε+Ε+Ε=Ε Β jjnljnjmnnljn mgj

μ

Lande ς παράγωνταo)1(2

)1()1(1(1 όπου

συχνότητα με ο περί τ

κίνησηήμεταπτωτικ αργή εκτελούν και J Τα

τιμές12

J

++++−+

+=

Β=Β=Β⋅>=<

⇓

<<Β=Β

><⇒

Β⋅>=⇒<⎪⎭

⎪⎬⎫

−>=<

Β⋅>−>=<Β⋅−>=<<

+

ΒΒΒ

Β

ΒΒ

jjssjjg

mgJg

Jg

V

g

Jg

VJ

gV

j

j

jJZJj

M

LSJ

J

JMJ

J

JJM

μμμ

ωμ

ω

μ

μμ

μ

μμ

16 Ενέργειες και μεταπτώσεις των καταστάσεων 3s και 3p του μοναδικού ηλεκτρονίου σθένους του Na παρου-σία ασθενούς μαγνητικού πεδίου Β (Ανώμαλο φαινόμενο Zeeman). Οι επιτρεπτές μεταπτώσεις υπακούουν τους κανόνες επιλογής )00 ηι (εξαιρείτα 1,0 =→=±=Δ jjj mmm Εn jmj=gjμBBmj

gj(2s1/2)=2 gj(2p1/2)=2/3 gj(2p3/2)=4/3 B=0 B≠0

(α) Η διπλή γραμμή του Na απουσία πεδίου Β (β) Ο διαχωρισμός των γραμμών παρουσία ασθενούς πεδίου Β

ΔΕ = ΔΕn j + ΔΕn jmj= hν = hc/λ

Σημείωση: Επειδή ),()1(2

)(3

4

nfn

azV SLS =Β⇒+

=Β⋅−= μ

⇓ Είναι δυνατόν στο ίδιο άτομο

ZeemanΦαινόμενο Back-Paschen Φαινόμενο

⇒Β<<Β⇒Β>>Β

(α)

(β)

2s1/2

2p1/2

2p3/2

17 Κυματοσυναρτήσεις και πυκνότητες πιθανότητας υδρογονοειδών ατόμων Εξίσωση Schrödinger

⇓

rkZe-V(r) και όπου )()()()(

2

2

2

2

2

2

2

222

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇Ψ=Ψ+Ψ∇−zyx

rErrVrm

⇓ Λύση σε ϕϑ,,r

)()()(),()( ϕφϑθϕϑ mmnlmn rRyrRmn ==Ψ

Πυκνότητα πιθανότητας στη θέση ϕϑ,,r ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

≡ΨΨ

=ΨΨ∗

∗∗∗∗

νέφος κόΗλεκτρονια

φορτίου Πυκνότητα

)()()()()()(

mnmn

mmmmnnmnmn

e

rRrR ϕφϕφϑθϑθ

Πιθανότητα εύρεσης του e στο στοιχειώδη όγκο ⇒ ⇒= ϕϑϑτ ddrdrd sin2 ϕϑϑ ddrdrmnmn sin2∗ΨΨ Ακτινική πυκνότητα πιθανότητας

εύρεσης του e στην περιοχή r και dr ⇒ drrRrddrr nmnmnn2

0

2

0

2 )()( ∫ ∫ =ΨΨ=Π ∗π π

τ

18

H τουάτομο στο 1,2,3 για)()( 22 ==Π nrRrr nn ⇓ - H )(rnΠ παίρνει τιμές σε μια περιορισμένη περιοχή που κύρια εξαρτάται από τον n αν και επηρεάζεται ελαφρά και από τον ⇓ Έννοια του φλοιού - Αριθμός μεγίστων στην −≡Π nrn )( - Η )(rnΠ εμφανίζει μεγάλες τιμές στη θέση του πυρήνα )0( ≈r μόνο για 0= - Για κάθε n ,η κατάσταση με τη μεγαλύτερη τιμή του 1−= n δίνει την πιθανότερη τιμή για την ακτίνα

του φλοιού n . Προσεγγιστικά ισχύει

Bohrn rZ

nr =>≈< 0

2α

19

Πυκνότητες Πιθανότητας ανά μονάδα όγκου του ηλεκτρονίου για διάφορες καταστάσεις στο Άτόμο του Η με τη μέθοδο της γραμμικής επισκίασης. Οι ακτινικές κλίμακες δεν είναι ίδιες στα τέσσερα διαγράμ-ματα.

20 Συμμετρία εναλλαγής και απαγορευτική αρχή Ταυτά ή ταυτόσημα σωμάτια ⇒ Σωμάτια που έχουν καθ’όλα ίδιες φυσικές ιδιότητες (π.χ μάζα, φορτίο,

σπίν κλπ) Κλασική περιγραφή Κβαντική περιγραφή ⇓ ⇓

Δύο ταυτά σωμάτια μπορούν πάντα να Λόγω της κυματικής φύσης των σωματίων οι διακριθούν μέσω των τροχιών τους έννοιες των τροχιών χάνουν το νόημα τους ⇓ Δύο ταυτά σωμάτια δεν είναι δυνατόν να διακριθούν στα πλαίσια της κβαντικής περιγραφής

Έστω τα 2-e στο άτομο του He⇒ Αγνοώντας την e-e αλληλεπίδραση ⇓

σπιν και χώρουαριθμοί κβαντικοί:,

)2()1()2,1(2

2

22

2

222

21

221

2

bayy

yyreky

m

yyreky

mbaab

ba

bbbb

aaaa

=+=

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−∇−

=−∇−Ψ

ΕΕΕ

Ε

Ε

( )

Pauli τουαρχή κήΑπαγορευτι 0)2,1(

)1,2()2()1( )2()1(2

1)2()1(

2()1(2

1)2,1(

σπίν) ο(Ημιακέραι Φερμιόνια ρικήΑντισσυμετ)1,2()2,1(σπίν) (Ακέραιο Μποζώνια Συμμετρική)1,2()2,1(

)1,2()2,1(

)1,2()2,1(

)1()2()1,2(ενδοαλαγή

)2()1()2,1(

αβ

22

⇒=⇒=⇓

−=−==

⇓

⇒⇒−=⇒⇒=

⇓

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇓=

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇓

=

A

Aabbabb

aa

abab

abab

abab

baab

ba

ba

yyyyyyyy

yy

yy

Ψ

ΨΨ

ΨΨΨΨ

ΨΨ

ΨΨ

Ψ

Ψ

Α

αβ

αβ

21

Πολυηλεκτρονιακά άτομα Ηλεκτρονιακές αλληλεπιδράσεις & φαινόμενα θωράκισης Ακόμη και για το He(Z=2)⇒ Λόγω της έκφρασης της δυναμικής ενέργειας

⇓

e- 2 τωνμεταξύ ασηαλληλεπίδρ απωστική

22)( 221

2

2

2

1

2

⇓

−+−−=

rrke

rek

rekrV

Η εξίσωση Schrödinger δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά ( πρόβλημα 3- σωμάτων άλυτο ακόμη και κλασι-κά) ⇓ Προσεγγιστικά πρότυπα

Έννοια «ενεργού» πεδίου ⇓

Κάθε e ενός πολυηλεκτρονιακού ατόμου υφίσταται ⇒ έλξη πυρήνα και άπωση των άλλων ηλεκτρονίων ⇓

Οι αλληλεπιδράσεις αυτές αλληλοαναιρούνται σε μεγάλο βαθμό ⇒ Καθαρό ενεργό πεδίο Vεν(r) ⇓ Εν γένει όχι της μορφής Coulomb και διαφορετικό για κάθε e

Προσέγγιση κεντρικού πεδίου⇒ Κάθε e κινείται σ’ένα μέσο σφαιρικά συμμετρικό κεντρικό πεδίο που οφείλεται στον πυρήνα και τα υπόλοιπα ηλεκτρόνια

⇓

⎩⎨⎧

−=−

=φορτίο Ενεργό :)(

αριθμός ατομικός Ενεργός :)(,

)())()(()(

2

erZrZ

rerkZ

reerZk

rVεν

ενενενεν

⇓ Η εξάρτηση της )(rV εν από την r ευκολονόητη

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−−

−=⇒→⇒∞→

−=⇒→⇒→

eeZZe

rkerVrZr

rkZerVZrZr

))1((

)(1)((

)()(0

2

e εξώτερα

2

e εσώτερα

ενεν

ενεν

Επειδή για δεδομένο n ⇒ οι ακτινικές πυκνότητες πιθανότητας )(rnΠ εμφανίζουν μεγάλες τιμές στην

ίδια βασικά περιοχή rΔ (εξάρτηση κύρια από τον n αν και επηρεάζεται και από τον ) ⇓Δικαιολογείται η επί πλέον προσέγγιση

nnn

nn

nn

Zan

r rκαι nZ

rekZ

nVZrZ

02

2

2

2

6.13

φλοιού ενός ηλεκτρόνια τα για)()(

≈≈><−=

⇓

−=⇒≅

Ε

ενεν

Z(r)

r

10

Z

22 Προσοχή! ⇒ Τα παραπάνω μόνο προσεγγιστικά αφού αυστηρά ⇓

ατόμων ρονιακών πολυηλεκτ τωνηλεκτρόνια τα για οπου λόγος οείναι και Αυτός

τοναπό και δηλαδή πυρήνα τουθέση στη κάθε του διείσδυσης βαθμό τόναπο και αλλά

απόσταση τηναπο μόνοεξαρτάται δεν )(και ,)(

)(

n

2

ΕΕ

e

rrZr

erkZrV

=⇓

−= ενεν

εν

Προσέγγιση κβαντικής ατέλειας ⇓ Περιγράφει απλά και με ακρίβεια το ηλεκτρόνιο σθένους των ατόμων των Αλκαλίων {Li(..2s), Na(..3s), K(..4s),Rb(..5s),Cs(..6s),Fr(..7s)} ⇓

Θεωρεί σαν 'καρδιάς''' ακτίνα ή θωράκισης μήκος :b όπου, br για, br για,

⎩⎨⎧

≤>>>=

⇒+=1

11)(

εν

ενεν Z

ZrbrZ

⇓ οδηγεί στη λύση μιας μονοηλεκτρονιακής εξίσωσης Shrodinger

[ ]( ) ( ) ( )

→

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

≡≡

≡−=∗

−−=

−−=

∗−=−−= −

κάθεct για)('καρδιά''' στην σθένους e τουδιείσδυσης λόγω ενέργειες

και αρτήσεις κυματοσυνιδείς υδρονογοε τιςαπο απόκλιση ηνεκφράζει τ πουατέλεια κβαντικήσθένους, e μοναδικού του κβαντικός κύριοςο

αριθμός κβαντικόςενεργός

6.13)(

)(2 222

2

0

2

δ

δδ

)δ(n

)δ(nn)δ(n

eVn

Rn

Rna

keEn

Κοινό ηλεκτρονιακό ενεργειακό διάγραμ-μα των ατόμων H,Li,Na

Na s p d f )(δ 1,35 0, 86 0,01 ~0

23 Πίνακας περιοδικού συστήματος Mendeleef ⇒ Κατάταξη των στοιχείων κατά αυξανόμενο ατομικό βάρος (1869) ⇓ αναδεικνύει Φυσικές & χημικές κανονικότητες (π.χ σθένος, μέγεθος ατόμων, ενέργειες ιονισμού, φάση, χαρακτηρι-στικά φάσματα κλπ.)

Κατανόηση περιοδικότητας ⇒ άρρηκτα συνδεδεμένη με κατανόηση ατομικής δομής Φυσικών και χημικών ιδιοτήτων ⇓

-Rutherford (πυρήνας-ηλεκτρόνια) -Μοντέλο Bohr (ισχύει μόνο για υδρογονοειδή άτομα) -Σύγχρονη Κβαντομηχανική ⇓ Ενέργειες ⇒ nΕ Πυκνότητες πιθανότητας )(rnΠ ⇒ έννοια φλοιών και υποφλοιών Ταυτά σωμάτια ⇒ Απαγορευτική αρχή Pauli ⇓

‘Δεν μπορούν δύο ηλεκτρόνια να βρίσκονται στην ίδια κατάσταση κίνησης’ ή

‘Δεν μπορούν δύο ηλεκτρόνια να έχουν και τους 4 κβαντικούς αριθμούς ίδιους’

Απαγορευτική αρχή & αρχή ελάχιστης ενέργειας ⇓εξηγεί Ηλεκτρονιακή διάταξη σε φλοιούς και υποφλοιούς κατά αυξανόμενη ενέργεια ⇓

n 1 2 3 . Φλοιοί ή Στιβάδες K L M .

Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων 2 8 18 2n2

0 1 2 .

Υποφλοιοί ή Υποστιβάδες s p d .

Περιοδικός πίνακας των στοιχείων

24 Μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων 2 6 10 2(2 +1)

Καθοριστικής σημασίας στην κατανόηση του περιοδικού πίνακα ⇓ εξώτερες υποστιβάδες(τύπος, βαθμός κατάληψης, ενεργειακή διαφορά από επόμενη κενή υποστοιβάδα) Βασική ή θεμελιώδης ηλεκτρονιακή διάταξη των στοιχείων από το H μέχρι το Ar σύμφωνα με την απαγορευτική αρχή του Pauli και την αρχή της ελάχιστης ενέργειας. Άτομο 1s( =0) 2s( =0) 2p( =1) 2p( =1) 2p( =1) 3s( =0) 3p( =1) 3p( =1) 3p( =1) 0=m 0=m 1=m 0=m 1−=m 0=m 1=m 0=m 1−=m

H21 )( ↓↑ ή

He42

* ↑↓

Li63 ↑↓ ↑

Be94 ↑↓ ↑↓

B105 ↑↓ ↑↓ ↑

C126 ↑↓ ↑↓ ↑ ↑

N147 ↑↓ ↑↓ ↑ ↑ ↑

O168 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑ ↑

F199 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑

Ne2010

* ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

Na2311 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑

Mg2412 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

Al2713 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

Si2814 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑

P3115 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑ ↑ ↑

S3216 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑ ↑

Cl3517 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑

Ar3618

* ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

(* ) ⇒ Ευγενή αέρια ⇒ κλειστούς φλοιούς και υποφλιούς & μεγάλη ενεργειακή διαφορά {ns-(n+1)p} Κανόνας του Hund ⇒ Ηλεκτρόνια του ίδιου υποφλοιού (ίδιο ) έχουν χαμηλότερη ενέργεια εάν βρί-

σκονται σε διαφορετικά τροχιακά (διαφορετικό m ) με ‘παράλληλα’ σπίν παρά στο ίδιο τροχιακό με ‘αντιπαράλληλα’ σπίν (π.χ C,N,O,κλπ.)

Ενεργειακή διάταξη φλοιών και υποφλοιών ⇓ Επειδή στα πολυηλεκτρονιακά άτομα ⇓

Η ενέργεια εξαρτάται και τον n και από τον και μά-λιστα για ορισμένες υποστοιβάδες η εξάρτηση από τον υπερισχύει αυτής του n.

⇓ Παραμόρφωση ενεργειακής διάταξης υποστοιβάδων. ⇓

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫−=

πυρήνα) τουθέση στη κοντάe τουεύρεσης α πιθανότητμεγαλύτερη τόσο του τιμήη μικρότερη (όσο (r)Π τηςμορφή

τηναποκαι εξαρτάται Z(r)οπου,

)()(2

n

rerZkrV

25 Επηρεάζει τη χωρητικότητα των φλοιών και διαμορφώνει το μέγιστο αριθμό στοιχείων των περιόδων.

26 ⇓

Με βάσει τα παραπάνω ενεργειακή διάταξη των φλοιών και υποφλοιών ⇓ 1s<2s<2p<3s<3p<4s<3d<4p<5s<4d<5p<6s<4f<5d……

⇓

Μέχρι Z=18 ⇒ Ενεργειακή διάταξη ‘Κανονική’⎩⎨⎧

′<<

′<<

′

′′

γιαnn για

nn

nn

EEEE

Για Z>18 ⇒ Εμφανίζονται αποκλίσεις στην ενεργειακή διάταξη που διαμορφώνουν τον μέγιστο παρα-τηρούμενο αριθμό στοιχείων ανά Περίοδο

⇓

Φλοιός n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 Ηλεκτρονιακή

διάταξη 1s2 2s22p6 3s23p6 4s23d104p6 5s24d105p6

Αναμενόμενος αριθμός στοι-χείων ανά Περί-

οδο (2n2)

2 8 18 32 50

Παρατηρούμενος αριθμός στοι-χείων ανά Περί-

οδο

2 8 8 18 18

27

Ηλεκτρονιακές διατάξεις των στοιχείων

28 Μέγεθος Ατόμων ⇓ Προσέγγιση ενεργού φορτίου ⇓

[ ]⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Α−⇓

⇒→<<⇒→

≅>≅⇒<−=

)5.25.0( όρια στα μεταβολή ΠεριοδικήΤελικά

) και τοελαφράαυξάνει διότι τοαπο έντονα λιγότεροαυξάνει η Z

τουου(αυξανομέν άτομα. ταόλα γιαμεγέθους τάξηςίδιας 1:φλοιοίΕξώτεροι

:φλοιοίΕσώτεροι

)( 2

,11

022

n

n

nn

H

nnn

n

Zn r

rZrrZZ

Zn

rrrekZ

rV

ατ

ενα

Ατομικός όγκος ⇓

⇒ 3

00

3

0 433

4

NV

rN

rNV

moleV

ππ

ατατ

ατατατ

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

==

Avogadro Αριθμός

Ενέργειες Ιονισμού των Ατόμων ⇓ Προσέγγιση ενεργού φορτίου ⇓

[ ]⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⇒⇒

⇒−=⇒→

>>−=⇒→

−=⇒−=

eVZn

nZ

EZ

EeVnZ

EZZ

eVn

ZE

rekZ

rV

n

nnn

H

nn

n

254 όρια στα μεταβολή Περιοδική τουμεταβολή

τουΑύξηση6.131:φλοιοίΕξώτεροι

6.13:φλοιοίΕσώτεροι

6.13)( 2

2

,12,11

2

22

ατ

εν

⇓

29 Ακτίνες-Χ Roentgen(1895) ⇒ Παραγωγή αγνώστου φύσεως ακτινοβολίας όταν ταχέα ηλεκτρόνια προσπέσουν σε

υλικό στόχο ⇓Ιδιότητες

-Ευθύγραμμη διάδοση ακόμη και παρουσία Ε ή Β -Διέλευση δια μέσου αδιαφανούς υλικού -Προκαλούν φωσφορισμό -Αύξηση έντασης με αύξηση αριθμού ηλεκτρονίων ⇓

Ηλεκτρομαγνητικής φύσης ακτινοβολία μήκους κύματος λ=0.1-100 Α Τυπική διάταξη παραγωγής ακτίνων –Χ Τυπικό φάσμα ακτίνων-Χ

Κινητική ενέργεια δέσμης ηλεκτρονίων ⇒ K=eV, όπου V επιταχύνουσα τάση

Φάσμα σύνθετο ⇒ Συνεχές και Γραμμικό Ερμηνεία Συνεχούς φάσματος ⇒ Απότομη επιβράδυνση της δέσμης των e επί του στόχου

⇓ Ακτινοβολία πεδήσεως (Bremstrahlung) ⇓

Ρυθμός εκπομπής ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≡≡≡

∝δέσμης σωματίων μάζαδέσμης σωματίων φορτίο στόχου σωματίων φορτίο

mzZ

mzZ2

42

⇓

Ιδιαίτερα αποδοτικός για δέσμη e αφού me μεγαλύτερος

Κύριο χαρακτηριστικό συνεχούς ⇒ Οριακό μήκος κύματος λ0 ανεξάρτητο του υλικού του στόχου

⇓

Α=⋅

=

=⋅×

=

=⇒===

−

eVAeV

mVoltsV

mV

eVhchchEeVK

12400

)(1024.1 :σχέσεις Χρήσιμες

0

6

0

00

0max

λ

λ

λλ

ν

30 Ερμηνεία Γραμμικού Φάσματος ⇒ Ενεργητική δέσμη ηλεκτρονίων απομακρύνει e των εσώτερων φλοιών (κυρίως του 1s) των ατόμων του στόχου

⇓ Δημιουργία οπών οι οποίες καταλαμβάνονται από μεταπτώσεις e των γειτονικών ανώτερων φλοιών με ταυτόχρονη εκπομπή ακτι-νοβολίας ⇓Γραμμικό φάσμα Χαρακτηριστικό του υλικού του στόχου

Ανάλογα με τον φλοιό δημιουργίας των οπών και τον φλοιό προέλευσης των e που την καταλαμβάνουν ⇓

Σειρές φασματικών γραμμών ⎩⎨⎧

....,,...,,

γβα

γβα

LLLKKK

Με βάσει το χαρακτηριστικό φάσμα ⎯⎯ →⎯Moseley Προσδιορισμός του Ατομικού αριθμού Ζ των στοιχείων των ακτίνων-Χ των στοιχείων ⇓ Το e που εκτελεί την αK μετάπτωση ‘βλέπει’ ένα ενεργό φορτίο eZeZ n )1( −≅ και ‘αισθάνε-

ται’ μία ενεργό δυναμική ενέργεια ⇒ 2

222 )1(6.13)1(n

ZEr

eZkr

ekZV n

n −−=⇒

−−=−≅εν

⇓

Moseley Σχέση ⇒+=

=+=⇒=−=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−=→

νβ

νν

1

2.101)1(2.10)1(6.13

43

11

21)1(6.13 22

222

12hZhZZZEΔ

⇓ Εσωτερικά ηλεκτρόνια: ↓ Συνέβαλαν στην κατανόηση της δομής των ατόμων. Εξωτερικά ηλεκτρόνια: ↓ Εξηγούν την αλληλεπίδραση των ατόμων με το πε-ριβάλλον τους και γενικότερα καθορίζουν τις φυσι-κές και χημικές ιδιότητες της ύλης.

31 Στοιχεία Στατιστικής Φυσικής

(Κεφ. 9) Στατιστική φυσική ⇒ Στατιστικές μεθόδους για την ερμηνεία μακροσκοπικών ιδιοτήτων ενός συστή-

ματος που αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό σωματιδίων ατομικών διαστάσε-ων

Σωματίδια

Ταυτόσημα αλλά Διακρίσιμα Ταυτόσημα αλλά μη-Διακρίσιμα ⇓ Κλασική Περιγραφή ⇓Κβαντική Περιγραφή Στατιστική Μηχανική Κβαντική Στατιστική ⇓ Συνάρτηση κατανομής Πιθανότητας Maxwell-Boltzman Φερμιόνια Μποζόνια

⇓ ⇓ Συνάρτηση Κατανομής Συνάρτηση Κατανομής Fermi –Dirac Bose-Einsein Η κατανομή Maxwell-Boltzman ⇓Βασικές προϋποθέσεις 1: Σωματίδια ταυτόσημα αλλά διακρίσιμα 2: Η κατανομή ισορροπίας η πιθανότερη κατανομή των σωματιδίων στις επιτρεπτές ενεργειακές κατα-στάσεις με N=ct και Eολ.= ct 3: Δεν υπάρχει περιορισμός στο κλάσμα του ολικού αριθμού των σωματιδίων σε δεδομένη κατάσταση ⇓Για ένα σύστημα N σωματιδίων με διάκριτες ενέργειες Ei αποδεικνύεται ότι FMB=Ae-E

i/KT

FMB: Πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου σε μια κατάσταση Ει για μια θερμοκρασία Τ Εάν gi : τάξη εκφυλισμού η στατιστικό βάρος της Ei ⇒ ni = gi FMB= gi Ae-E

i/KT

A: σταθερά κανονικοποίησης ώστε Σni=N Εάν Ei πολλές και κοντά η μία στην άλλη ⇓Συνεχείς συναρτήσεις gi → g(E)dE ,g(E): Πυκνότητα καταστάσεων (Αριθμός ανά μονάδα όγκου και μονάδα ενέργειας) FMB=Ae-E

i/KT

ni = gi FMB → n(E)dE=g(E)FMB(E)dE, n(E)dE :Αριθμός σωματιδίων ανά μονάδα όγκου στο διάστημα E και E+dE

Σ ni = N→ N/V= ∫∞

0

n(E)dE = ∫∞

0

g(E)FMB(E)dE

Λόγω της κυματικής ⇒ Βασική υπόθεση 1 παραγωγής της FMB προβληματική φύσης των σωματιδίων ⇓εντούτοις FMB έγκυρη προσέγγιση για αέρια σε συνήθεις συνθήκες

⇓ Κριτήριο ισχύος της FMB

⇓

32

Η κατανομή FMB ισχύει όταν η μέση απόσταση d μεταξύ των σωματιδίων είναι μεγάλη σε σχέση με το μήκος κύματος de Broglie λ

( )1

33

23

2

23

33

2

<<⇒=<<=⇒

=

=

<<

mkT

hNV

NVd

mkTh

kTm

pphd

λλ

λ

⇓αφού

α=nd, V= α3,N=n3 ⇒ 3

3

nNV α

= ⇒ 3NVd

n==

α

Κβαντικές κατανομές Συνάρτηση κατανομής Bose-Einstein Για ένα μεγάλο αριθμό μποζονίων ⇒ Εγκαταλείποντας την υπόθεση (1) παραγωγής της FMB

⇓αποδεικνύεται

FΒΕ(Ε) =1

1

−kTE

Be

n(E)dE = g(E) FΒΕ(Ε)dE, ∫∞

=0

)()()( dEEFEgVN

BE

⇓ Προσδιορισμός Β Για Ε→0 ⇒ FΒΕ(Ε) → ∞ ⇒ Τα περισσότερα σωματίδια στη θεμελιώδη τους κατάσταση ⇓ Συμπύκνωση Bose-Einstein ⇓ Φαινόμενο υπερευστότητας Ηλίου(Υγρό He (II) με μηδενικό ιξώδες για Τ<2.18Κ) Στην ειδική περίπτωση φωτονίων σε μια κοιλότητα όπου Ν≠ct και Β=1 ⇓

FΒΕ(Ε)Φωτ.=1

1

−kTE

e

Συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac Για ένα μεγάλο αριθμό φερμιονίων ⇒ Εγκαταλείποντας τις υποθέσεις (1)&(3) παραγωγής της FMB

⇓ αποδεικνύεται

FFD(E)=1

1

+kTE

ce n(E)dE = g(E) FFD(Ε)dE

∫∞

=0

)()()( dEEFEgVN

FD

⇓ Προσδιορισμός c kT

EF

ec−

= ⇒ FFD(E)=1

1)(

+−

kTEE F

e, EF: Ενέργεια Fermi

⇒ Ισχύει για: μικρές συγκεντρώσεις, μεγάλες μάζες υψηλή θερμοκρασία d

a

33 Μια εφαρμογή της κατανομής Bose - Einstein Αέριο φωτονίων σε κοιλότητα

1

)()()()(

)()()(

−=⇒

==

kTE

BE

e

EdEEgdEEudEEEndEEu

dEEFEgdEEn

⇓ Πυκνότητα ενέργειας ανά μονάδα όγκου Αριθμός καταστάσεων των φωτονίων ανά ≡ Αριθμός στάσιμων κυμάτων ανά μονάδα όγκου με μονάδα όγκου με ενέργειες E και E+dE συχνότητες f και f+df

dEEghc

dEEdffnhfE

cdffdffn )(

)(8)(

8)(3

23

2

==⇒=

= ππ

⇓

1

8),(1)(

8)(

1

)()(

)(8)(

3

33

33

2

−=⇒

=−

=⇒

−=

=

kThf

kTE

kTE

ec

hfTfu

hfEehc

dEEdEEu

e

EdEEgdEEu

hcEEg

πππ

Κατανομή Planck μέλανος σώματος Μια εφαρμογή της κατανομής Fermi-Dirac Αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων των μετάλλων Εξωτερικά ηλεκτρόνια των ατόμων ≡ Αέριο ηλεκτρονίων παγιδευμένο σε μια κοιλότητα που ορίζεται των μετάλλων ασθενώς δέσμια από τις επιφάνειες του μετάλλου ⇓Ιδιότητες ενός τέτοιου συστήματος περιγράφονται από την FFD n(E)dE=g(E)FFD(E)dE

FFD(E)=1

1)(

+−

kTEE F

e⇒

Για Τ=0 ⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>=<=

F

F

ΕΕ για0)(ΕΕ για1)(

EFEF

FD

FD ⇒⎩⎨⎧

><

κενέςΕΕ με σειςοι καταστά Όλες ένες κατειλλημ πλήρωςΕΕ με σειςοι καταστά Όλες

F

F

Για Τ>0 και Ε=ΕF ⇒ FFD(EF)=1/2

34 Με βάση τη β)⇒ Η ΕF =EF(T) αλλά εξάρτηση πολύ μικρή ώστε ΕF(0)≈EF(T) έως και μερικές χιλιάδες Κ

Για e

FFFF m

EmEE

221 2 =⇒== υυ ⇒ Ταχύτητα Fermi (π.χ για ΕF=5eV⇒ υF=106m/sec)

kET F

F = ⇒ Θερμοκρασία Fermi (π.χ για ΕF=5eV⇒ ΤF=58x103 K)

Υπολογισμός της EF(T=0) Επειδή ηλεκτρόνια σύστημα υλικών κυμάτων de–Broglie ⇓ Αριθμός υλικών κυμάτων de–Broglie ≡ Αριθμός Ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων ⇓

2

2

2

2σπιν τουις καταστάσεδύο και τις υποψηςλαμβάνοντα

2

2

22)(

2)(

πππdkkdkkdkkNdkkdkkN ==⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=

Θεωρώντας τα ελεύθερα ηλεκτρόνια ως μη σχετικιστικά ⇓

dEEm

dkEm

kkp

mk

mpE ee

ee2/12/1

22/1

2

222

)2

(21)

2(22 −=⇒=⇒

=

==

⇓

1)()()(28

)( 2/1

3

2/3

2/1

+==⇒

=

=

−kT

EEFDe F

e

dEcEdEEFEgdEEn

hm

c

dEcEdEEg

π ⇒

∫ ∫∞ ∞

−

+==

0 0

2/1

1)(

kTEE F

e

dEEcdEEnVN ⇒

⇓ Για Τ>0 απαιτείται αριθμητική ολοκλήρωση

Για Τ=0 ⇒ 2/32

2/32/1

F

F )83(

2)0(

32

EE για0)(EE για1)(

VN

mhEcEdEEc

VN

EFEF

eFF

E

oFD

FDF

π=⇒==

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

>=<=

∫

EF(0) ∝ N/V ⇒ αναμενόμενη συμπεριφορά λόγω απαγορευτικής αρχής του Pauli

35 Αρχές των Lasers

(Κεφ. 10)

Ατομικές μεταβάσεις

Απορρόφηση Εκπομπή ⇓ Ακτινοβόληση με φωτόνιο Αυθόρμητη Εξαναγκασμένη ενέργειας hf=E2-E1 διέγερση ⇓ ⇓ από την Ε1 στην Ε2 Μετά από ορισμένο χρόνο Ακτινοβόληση του διεγερμένου

χαρακτηριστικό της Ε2 στην κατάσταση Ε2 ατόμου με αυθόρμητη αποδιέγερση φωτόνιο ενέργειας hf=E2-E1 Ε2→Ε1 με ταυτόχρονη εξαναγκασμένη αποδιέγερση εκπομπή φωτονίου ενέργειας στην Ε1 με ταυτόχρονη εκπομπή hf=E2-E1 σε τυχαία κατεύθυνση φωτονίου καθ’όλα ίδιου με το

αρχικό

Πιθανότητα Απορρόφησης ⇒ B12u(f), B12: Συντελεστής απορρόφησης του Einstein ανά μονάδα χρόνου και ανά u(f): Πυκνότητα ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας άτομο Πιθανότητα Αυθόρμητης ⇒ A21=1/ts :μέσος χρόνος ζωής(χαρακτηριστικός της Ε2) Εκπομπής ανά μονάδα ⇓ χρόνου και ανά άτομο Ανεξάρτητος της ακτινοβολίας Πιθανότητα Εξαναγκασμένης ⇒ B21u(f), B12:Συντελεστής εξαναγκασμένης εκπομπής του Einstein Εκπομπής ανά μονάδα χρόνου u(f): Πυκνότητα ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας ανά άτομο ⇓ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον ⇒ Προσπίπτον και εκπεμπόμενο φωτόνιο καθ’ όλα ίδια (φάση, κατεύθυνση, συχνότητα)

⇓Για ένα δείγμα διεγερμένων ατόμων στην ίδια κατάσταση

΄΄Αλυσιδωτή εξαναγκασμένη εκπομπή΄΄ ⇓

Δημιουργία μιας ισχυρής κατευθυνόμενης δέσμης ⇓ Εύκολη σαν αρχή δύσκολο να επιτευχθεί στην πράξη ⇓ο λόγος για αυτό

36 Για ένα σύστημα Ατόμων ⇒ Πληθυσμοί N1, N2 των E1, E2 ικανοποιούν την κατανομή Boltzman και Ακτινοβολίας σε θερμική ⇓ ισορροπία

⇓ kThf

kTEE

eeNN −

−−

==12

1

2 (1)

Αριθμός Ατομικών διεγέρσεων ≡ Αριθμός Aυθόρμητων Eξαναγκασμένων αποδιεγέρσεων (E1→ E2) (E2→E1) ⇓ ⇓ 121 ),( BTfuN = 212212 ),( ANBTfuN + (2) ⇓(1)

3

321

1221

3

32112

21

8

1

18),(

),(

chf

BA

BBB

echfTfu

BeB

ATfu

kThf

kThf

ππ

=⇒==⇒

−=

−=

⇒ Α21>>Β για μεγάλες συχνότητες

⇓Εξηγεί Παραγωγή ακτινοβολίας laser στο υπεριώδες όχι εφικτή Αναστροφή πληθυσμών & παραγωγή ακτινοβολίας laser Για ένα σύστημα ⇒Λόγω των συντελεστών Β12=Β21 και της κατανομής των πληθυσμών(Boltzman) Ατόμων & Ακτινοβολίας ⇓ σε θερμική ισορροπία Μια καθαρή απορρόφηση φωτεινής ενέργειας

⇓Εντούτοις Υπό κατάλληλες συνθήκες μπορεί να δημιουργηθεί μια κατάσταση ‘ Αντιστροφής πληθυσμών’

⇓ Αλυσιδωτή εξαναγκασμένη εκπομπή φωτονίων

⇓ Παραγωγή ακτινοβολίας laser(light amplification by stimulated emission of radiation)

Παρά την ποικιλία των διαφορετικών τύπων laserς ⇓κοινά βασικά χαρακτηριστικά

1. Ύπαρξη μιας ενεργειακής πηγής(συνεχούς η παλμικής) για την επίτευξη της αναστροφής πληθυ-σμών (π.χ. Ηλεκτρική εκκένωση(κρούσεις), Λυχνίες έκλαμψης(απορρόφηση))

2. Ένα ενεργό μέσο με 3 τουλάχιστον ενεργειακές στάθμες για την επίτευξη της αναστροφής πληθυσμών μέσω οπτικής διέγερσης

37 3. Μια διάταξη περιορισμού των αρχικά εκπεμπόμενων φωτονίων εντός του ενεργού μέσου ώστε να

προκαλέσουν αλυσιδωτή εξαναγκασμένη εκπομπή ( οπτικό αντηχείο η οπτική κοιλότητα )

Η συνθήκη 3 για την μη παραγωγή ακτινοβολίας laser στη φύση Με βάσει τις συνθήκες 1,2,3 ⇒ Παραγωγή φωτεινής δέσμης laser με μοναδικές ιδιότητες

⇓ Υψηλή μονοχρωματικότητα

Ισχυρή ένταση Συμφωνία (χωρική & χρονική)

Έντονη κατευθυντικότητα ⇓

Ισχυρό φασματοσκοπικό εργαλείο & πλήθος εφαρμογών(Οπτικές επικοινωνίες, Ιατρικές εφαρμο-γές, Κατεργασία Υλικών κ.λ.π.)

Τύποι laserς ⇓ Αερίων-Υγρών -Στερεών ⇔ Συνεχή –Παλμικά (nsec,psec,fsec)

38 Laser He-Ne

⇓

Βασικά χαρακτηριστικά

⇓

- Μίγμα αερίων (He-Ne) σε χαμηλή πίεση (~1torr) - H εξαναγκασμένη εκπομπή συμβαίνει στα άτομα του Ne - Η αναστροφή πληθυσμών μέσω ηλεκτρικής εκκένωσης (κρούσεις).Ρόλος του He ,διέγερση και επα-

ναφορά των ατόμων του Ne στη υψηλότερη κατάσταση διατηρώντας την αλυσιδωτή εξαναγκασμένη εκπομπή

Τυπικά Χαρακτηρικά laser He/Ne

39 Στοιχεία Μοριακής Φυσικής

(Κεφ.11) Μόρια ⇒ Σύνθετες διατάξεις ατόμων (Διατομικά, Τριατομικά, Πολυατομικά) Μοριακή Φυσική (Ν≤100) ⇒ Περιγραφή δυνάμεων(δεσμών) μεταξύ των ατόμων των μορίων με-

σκοπό την κατανόηση των ενεργειακών τους καταστάσεων και των μοριακών φασμάτων

Δομή των Μορίων

⇓Δύο τρόποι προσέγγισης

Ευσταθείς διατάξεις πυρήνων & ηλεκτρονίων Ευσταθείς διατάξεις πυρήνων ⇓ ⇓ Θεωρία Μοριακών τροχιακών Θεωρία δεσμού σθένους

⇓ Βασική θεώρηση και στα δύο θεωρητικά μοντέλα

⇓ Επίδραση εσωτερικών ηλεκτρονίων αμελητέα και κυρίως υπεύθυνα για τη μοριακή δομή τα εξωτερικά Γενικά κβαντομηχανική περιγραφή ⇒ Πολύπλοκη (Μόρια ⇒Συστήματα πολλών σωματίων) ⇓ Ακόμη και για τα διατομικά μη αναλυτικές λύσεις ⇓ Εντούτοις Με τις τεράστιες υπολογιστικές δυνατότητες των σύγχρονων Η/Υ ⇓ Πλήθος αποτελεσμάτων ακόμη και για τα Πολυατομικά Μόρια Μοριακοί δεσμοί ⇓ Βασικά οι δεσμοί μεταξύ των ατόμων (η ιόντων) ⇒ Ηλεκτροστατικής φύσης ⇓ Για άπειρες αποστάσεις μεταξύ των ατόμων ⇒ δυνάμεις μηδενικές ⇒ Δυναμική Ενέργεια μηδενική Για σχετικά μεγάλες αποστάσεις ⇒ δυνάμεις ελκτικές ⇒ Δυναμική Ενέργεια αρνητική(έλξη) Για μικρές αποστάσεις ⇒δυνάμεις απωστικές ⇒Δυναμική Ενέργεια θετική(άπωση)

Γενική έκφραση Δυναμικής Ενέργειας mn rB

rArU +−=)(ολ

r: διαπυρηνική απόσταση A,B : σταθερές που περιγράφουν τις ελκτικές και απωστικές δυνάμεις min)()ισορροπίας (θέση0 =⇒= rUrr Γενικά : Ένα μόριο σταθερό εάν η Ενέργεια για κάποια 0r μικρότερη από το άθροισμα των ενεργειών των απομονωμένων ατόμων

ro

40

Είδη δεσμών ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

der WaalsVan Δεσμοί δ)Υδρογόνου Δεσμός γ)ικόςβ)Ομοιοπολ

όςΕτεροπολικ η Ιοντικός α)

α) Ιοντικός η Ετεροπολικός δεσμός ⇓θεμελιώδες αίτιο Ηλεκτροστατική έλξη Coulomb μεταξύ δύο αντιθέτως φορτισμένων ιόντων

δέσμευσης Ενέργεια :EPauli) τουαρχής κήςαπαγορευτι τηςλόγω ενέργειας ςμεγαλύτερη

στάθμες σε νηλεκτρονίω μετακίνηση -θωράκισης μειωμένης λόγω πυρήνωνπωσηενέργεια(ά Απωστική :Eλκτική)Ενέργεια(ε τικήΗλεκτροστα :Ε

συγγένειας Xημικής η συγγένειας ήςΗλεκτρονικ Ενέργεια :Eιονισμού Ενέργεια :

d

r

a

ΧΣ

iE

)(40,424,052,062,5)(4

1)(0

2

0ΧΣΧΣΧΣ −+≈−=++−=+−+−=Ε+−+=Ε EEEeVEEE

ReEEE iaririad πε

Ιδιότητες ιοντικών δεσμών :-Επειδή περιοχές K+ και cl- διαφορετικές ⇒ Ύπαρξη μόνιμης ηλεκτρικής διπολικής ροπής χωρίς προτιμητέα κατεύθυνση (πολικά μόρια) - Αριθμός ιοντικών δεσμών εξαρτάται από την Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων(Ei-EΧΣ) ⇓ Μόρια με 1 ιοντικό δεσμό⇒ Αλογονούχα Αλκάλια(Nacl, Kcl,…) Μόρια με 2 ιοντικούς δεσμούς⇒Οξείδια και Σουλφίδια Αλκαλικών Γαιών (MgO,Mgcl2,..)

41 β) Ομοιοπολικός δεσμός Στο H2 ⇒ Ιοντική σύζευξη δεν οδηγεί σε σταθερή κατάσταση ⇓εντούτοις Η ύπαρξη του H2 σαν σταθερού μορίου⇒ εξηγείται με βάση την κβαντομηχανική περιγραφή του συστήματος των 2e και των 2 πυρήνων ⇓βασική υπόθεση Κάθε e ανήκει από κοινού και στα δύο άτομα (πυρήνες H) ⇓αποδεικνύεται Πυκνότητα φορτίου ιδιαίτερα μεγάλη στην περιοχή μεταξύ των 2 πυρήνων δημιουργώντας μια ‘καθαρή’ ηλεκτροστατική έλξη Βασικό χαρακτηριστικό ομοιοπολικού δεσμού ⇒΄΄κοινό ζεύγος΄΄ ηλεκτρονίων που ανήκει στο μόριο

⇓έννοια μοριακού τροχιακού Ομοιοπολικός δεσμός Η2 Ολική ενέργεια Η2 Ομοιοπολικοί δεσμοί CH4 ⇒

Ιδιότητες ομοιοπολικών δεσμών ⇒ -ομοπυρηνικά διατομικά μόρια δεν εμφανίζουν διπολική ροπή ενώ ετεροπυρηνικά εμφανίζουν και μάλιστα με προτιμητέα κατεύθυνση - Άτομα με περισσότερα e μπορούν να σχηματίζουν περισσότερους ομοιοπολικούς δεσμούς ⇓αρκεί η απαγορευτική αρχή να μην τα έχει ήδη εξαναγκάσει να σχηματίζουν ζεύγη με αντιπαράλληλα σπίν στα επί μέρους άτομα (π.χ N(..2p3) ⇒( ml ,ms) =(1↑,0↑,-1↑)⇒N2⇒ 3 δεσμοί (O(…2p4)⇒ (ml ,ms)=(1↑↓,0↑,-1↑) ⇒ O2 ⇒ 2 δεσμοί

42 γ) Δεσμός H2 Το H ⇒ Συνήθως σχηματίζει ομοιοπολικό δεσμό με κάποιο άλλο άτομο ⇓εντούτοις μπορεί να σχηματίσει δεσμό και με 2 άλλα άτομα η ιόντα Δεσμός H2 ⇒ ⇓ Αν και ιδιαίτερα ασθενής (Ed≈0,1eV)

⇓ Ιδιαίτερα σημαντικός σε μεγάλα βιολογικά Μόρια (π.χ DNA ) δ) Δεσμοί Van der waals ⇓ Ασθενείς ηλεκτροστατικές έλξεις μεταξύ μορίων ⇓ ι) Δύναμη διπόλου-διπόλου ⇒ Μεταξύ πολικών μορίων ⇓ (∝ 1/r7) ii) Δύναμη διπόλου εξ επαγωγής⇒ Μεταξύ ενός πολικού και ενός μη πολικού μορίου ⇓ (∝ 1/r7) ιιι) Δύναμη διασποράς ⇒ Μεταξύ 2 μη πολικών μορίων λόγω ‘τοπικών’ διακυμάνσεων της κατανομής του ηλεκτρικού φορτίου Ενέργειες και φάσματα των Μορίων Λαμβάνοντας υπόψη τους διαφορετικούς ⇒ Εολ=Εμετ+Εηλ+ Εδον+ Επερ τρόπους κίνησης των συστατικών των μορίων Εμετ: Μεταφορική κίνηση κέντρου μάζας(ΚΜ) Εηλ: Ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση μεταξύ ηλεκτρονίων ,πυρήνων Εδον: Δονήσεις των πυρήνων ως προς το ΚΜ Επερ:Περιστροφή των πυρήνων ως προς άξονα

διερχόμενο από το ΚΜ Περιστροφή διατομικών μορίων ⇓θεωρούμε το μόριο ως στερεό περιστροφέα Έστω ω η συχνότητα περιστροφής ως προς τον y η τον z ⇒ ⇓

αδρανείας Ροπή :

(1) .)(, 2

222

11222111

22211

I

IrmrmLrmrmL

rrωω

υυωυωυ

=+=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+===

43

(2) 21)(

21

21

21 22

222

2122

22211 ωωυυ IrmrmmmEE Kr =+=+==

⇓(1)&(2)

(3) 2

2

ILEr =

Υπολογίζοντας την Ι ως προς άξονα διερχόμενο από το ΚΜ ⇓

μάζα μ όπου(4), 21

2120

222

211

210

2211

νηανηγμμ έmm

mmRI

rmrmI

rrRrmrm

KM

KM

=+

==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

+==

⎭⎬⎫

+= 22 )1()4(&)3(

L⇒ ⇒ 0,1,2... ,)1(

22)1(

20

22

=+=+

=RI

EKM

r μ(5)

Ενεργειακή απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιστροφικών επιπέδων ⇓

[ ]KMKM

rrr

IIEEE

22

1 )11)(1()1(2

=+−−−+=−=Δ −

Επειδή ⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

≈

−≈

−

−−

δωματίου Τ για10

)1010(

2

432

eVkT

eVI KM

⇒ kTE

e−

+=ΝΝ

)12(0

⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≈

ένος κατειλλημεπιπέδων κώνπεριστροφιαριθμός σημαντικός δωματίου Τ Για

Αν το μόριο εμφανίζει μόνιμη ηλεκτρική διπολική ροπή (ετεροπυρηνικά) ⇓ Θα εμφανίζει περιστροφικό φάσμα και οι επιτρεπτές μεταβάσεις θα υπακούουν τον κανόνα 1±=Δ

π.χ περιστροφικό φάσμα απορρόφησης ⇒ ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==⇒==Δ

→

→→=→=

121

11010

2

10

222

2

νπ

ν

νπ

νν

KM

KMKM

r

I

Ih

IE

ctI KM

===Δπ

νν21 ⇒Οι γραμμές απορρόφησης ως προς την συχνότητα ισαπέχουν

Γραμμές περιστροφικού φάσματος απορρόφησης του CO

44 Μοριακές ταλαντώσεις διατομικών μορίων Μόρια ⇒ Δομές ατόμων που ενώνονται με δεσμούς ≡ ‘ενεργά ελατήρια σταθεράς k’

⇓ Για μικρές μετατοπίσεις από την διαπυρηνική θέση ισορροπίας R0

⇓διαμήκεις ταλαντώσεις Ουσιαστικά μονοδιάστατο πρόβλημα ⇓

Δυναμική ενέργεια ζεύγους ατόμων(μορίου) ⇒ 21

2221 2

1)(21

ξξξ

ξξξ

−=

=−= kkU

⇓

Κινητική ενέργεια ζεύγους ατόμων (μορίου)μ2

)2

12

1(pΚ.Μ Σύστημα

2221

21

21

12

2

22

1

21 p

mmpK

pm

pm

pK=+=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=⇒

+=

⇓ Εξίσωση Schrödinger

)()(21)(

2 ταλ.2

2

22

ξψξψξξ

ξψμ

Ekd

d=+−

⇓ Λύση

ασήμαντη διέγερση θερμική

1δωματίου Τ για0,02kT

0,1eV ct Ε

μηδενός Ενέργεια 21E 0

δεσμού ισχύς ελατηρίου σταθεράk,

.....2,1,0,)21(

0

ταλ.

ταλ.

⇒=ΝΝ

⇒⎭⎬⎫

≈≈≈==Δ

≡=⇒=

===

=+=

−≺≺kTe

k

E

ωυυω

ωυ

μω

υωυ

υ

45 Οπτική διέγερση (η αποδιέγερση) με απορρόφηση (η εκπομπή) φωτονίων αρκεί :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

⇒=⇒Δ=

μάζα ανηγμένη :ελατηρίου ενεργού σταθερά :

21

2

μκ

μκ

ππων

ωνν hEh

Οπτικές μεταβάσεις επιτρεπτές αρκεί 1±=Δυ

Ανάλυση ταλαντωτικών φασμάτων ⇒ - Προσδιορισμό των φυσικών ισοτόπων ενός μοριακού δείγματος ⇓ μέσω των διαφορετικών θεμελιωδών συχνοτήτων μεταβάσεων

μκ

πν

21

10 =→ λόγω των διαφορετικών ανηγμένων μαζών μ

-Πειραματική επαλήθευση της ύπαρξης της ενέργειας του μηδενός ⇓Έστω τα ισότοπα H2,HD,D2

⇓ Επειδή ηλεκτρικές δυνάμεις ίδιες ⇒U(r) ίδια και στα τρία μόρια

μκ

πω

421

00 −=−=−=Δ ddd EEEEE

Επειδή 222

2 και 34

D HHHD μμμμ ==

⇓

2,,, DHDH EEE ΔΔΔ << ⇓ Γεγονός που επαληθεύεται πειραματικά μέσω πολυφωτονικής διέγερσης συχνότητας

22 HHDD ννν << η

22 DHDH λλλ >> .

Ed Eo

EΔ

46 Ταλαντωτικά και Περιστροφικά (Δονητρονιακά ) φάσματα Γενικά ένα μόριο μπορεί να περιστρέφεται και να ταλαντώνεται ταυτόχρονα ⇓Θεωρώντας τα 2 είδη κίνησης ανεξάρτητα

...2,1,0...2,1,0

)21()1(

2

2

ταλπερ,

==

+++Ι

=ΚΜ

υ

ωυE

Μεταβάσεις μεταξύ των δονητρονιακών καταστάσεων μπορούν να συμβούν αρκεί ⇓

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Δ=Ι

−=ΔΕ+Δ=Δ

=Δ=+Ι

+=ΔΕ+Δ=Δ⇒

⎭⎬⎫

±=Δ±=Δ

=Δ=Δ

ΚΜ−→+→

ΚΜ+→+→

-11,2.... , 22

ΕΕ

1 0,1...,, )1(22

1 , 1 2

1,1ταλ,

2

1,1ταλ,περταλ,

ω

ω

υ

ν

περυυ

περυυEEhEE

⇓ Η μετάβαση ( 0,10,0 ==→== υυ ) είναι απαγορευμένη λόγω του κανόνα επιλογής 1±=Δ

υ=0

υ=1

υ=2

υ=0

υ=1

47

⇓ τα παραπάνω επεξηγούνται στο φάσμα απορρόφησης του HCl

Κάθε γραμμή χωρίζεται σε δύο λόγω των δύο ισοτόπων 35Cl και 37Cl.

Παρατηρήσεις: -Η αρμονική προσέγγιση της ταλαντωτικής κίνησης παύει να ισχύει για μεγάλες ενέρ-

γειες ταλάντωσης (Αναρμονικότητες)

⇓ Τα ενεργειακά επίπεδα ταλάντωσης δεν ισαπέχουν για μεγάλες τιμές του υ -Η ταλαντωτική και περιστροφική κίνηση δεν είναι τελείως ανεξάρτητες

⇓ Κατά την περιστροφή λόγω των φυγόκεντρων δυνάμεων ⇒ επιμήκυνση του δε-

σμού⇒ μεταβολή R0 ⇒ μεταβολή IKM ⇒ μεταβολή Επερ κυρίως για μεγάλες τιμές του .

Βιβλιογραφία: -Σύγχρονη φυσική ,Τόμος IV, R.A.Serway, , Έκδοση 3η ,Μετάφραση Λ.Κ.Ρεσβάνη ,Αθήνα 1994 -Κλασική και σύγχρονη φυσική, Τόμος 3ος,K.W. Ford, Έκδοση Γ.Πνευματικού ,Αθήνα 1980 -Κεφάλαια Σύγχρονης Φυσικής ,D.Halliday-R.Resnick, Έκδοση 3η Γ.Πνευματικού, Αθήνα 1980 -Funtamentals of Modern Physics, R. Eisberg, John Wiley & sons, Inc., New York 1967 -Theory and problems of Modern Physics,R. Gautreau-W.Savin, Schaum’s Outline Series,McGraw-

Hill,Inc.1978

Δ =+1Δ =-1