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Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) = x (log y − 2) + e−xy = 0
definisce implicitamente una e una sola funzione x = h (y) in un intorno diy = e, e calcolare h′ (e) .
1
2. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫Ω
(x2 + y3
)dxdy
dove Ω è la semiellisse Ω =
(x, y) : x2
a2 + y2
b2 ≤ 1, y ≥ 0, con a, b > 0 fissati.
3. Si consideri una sfera Ω(solida), di raggio Re centro l’origine, avente densitàvolumica
δ (x, y, z) =(
2R−√x2 + y2 + z2
) µ
R4
dove µ > 0è una costante (avente le dimensioni di una massa). Calcolare il suomomento d’inerzia rispetto all’asse z.
2
4. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale conservativo:
F (x, y, z) =
(2y2e2x, 2ye2x − ez+2y, ez
(z + 1− 1
2e2y
)).
5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σgenerata dalla rotazioneattorno all’asse zdella curva γdel piano xz
x = R+ r cos3 φz = r sin3 φ
per φ ∈ [0, 2π]
con R > r > 0parametri fissato. Dopo aver calcolato l’elemento d’area e verificatoche si tratta di una superficie regolare a pezzi, calcolare l’area di Σ. Suggerimento:calcolare l’elemento d’area di Σa partire dalle equazioni parametriche di γ.
3
6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in [0, 1]da
f (x) = sinπx.
a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, 1] ,quindi sull’intervallo [−1, 1], quindi sul periodo
[− 1
2 ,12
],
così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato.
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Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
f (x, y) =1
x2 + 1− 1
y2 + 1
soggetta al vincolox4 + y4 = 1.
5
2. Sia T è il triangolo di vertici (0, 0) , (2, 1) , (1, 2). Dopo aver scritto larappresentazione analitica di T come dominio y-semplice (o unione di dominiy-semplici), calcolare l’integrale doppio
I =
∫ ∫T
xydxdy.
3. Calcolare il volume e il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solidoomogeneo di massa m rappresentato da:
Ω =
(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z
h
con R, h > 0 parametri fissati.
6
4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano
F =(y√x2 + y2,−x
√x2 + y2
)lungo l’arco di curva piana espressa in forma polare dall’equazione
ρ = 2 + sin 3θ per θ ∈ [0, 2π] ,
dove R > 0è un parametro fissato. (Riportare impostazione e passaggi intermedi).
5. Sia Σla superficie grafico della funzione
z =h
R
√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,
con R, h > 0costanti fissate. Calcolare il flusso attraverso Σ, orientata verso l’alto,del campo vettoriale
F =
(x, y,
zx2
R2
).
(Prestare cura nell’impostazione dell’integrale di flusso a partire dalle definizioni).
7
6. Si consideri la funzione π-periodica definita in[−π2 ,
π2
]da
f (x) = sinx.
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo[−π2 ,
π2
]: in base alla teoria,
cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie diFourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi -cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressionesemplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicita-mente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindieseguire il calcolo esplicito.
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A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n3
Es. Punti
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Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) =xy − 2
x2 + y2+ y (x− 1)
definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1. Calcolare g′ (1) .
9
2. Calcolare l’integrale doppio
I =
∫ ∫Ω
(x2 |y|+ |x| y − 3 |xy|
)dxdy
dove Ω è l’ellisse Ω =
(x, y) : x2
a2 + y2
b2 ≤ 1, con a, b > 0 fissati.
3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentatoda:
Ω =
(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z3
h3
con R, h > 0 parametri fissati.
10
4. Si consideri il campo vettoriale piano
F =
(2xy
(x2 + y2)2 ,
y2 − x2
(x2 + y2)2
).
a. Determinare il suo insieme di definizione Ωe stabilire se il campo è conservativoin Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.
b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di ellisse
r (t) = (2 cos t, 3 sin t) , t ∈[π
2,
3
2π
].
5. Sia Σla superficie ottenuta facendo ruotare attorno all’asse zla curva γche nelpiano xzha equazioni parametriche
x = 2 Ch tz = Sh t
per t ∈ [0, 1] .
Dopo aver scritto le equazioni parametriche di Σe l’elemento d’area di Σ, calcolarel’integrale di superficie ∫ ∫
Σ
zdS.
Suggerimento: calcolare l’elemento d’area di Σa partire dalle equazioni parametrichedi γ.
11
6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in[− 1
2 ,12
]da
f (x) = cosπx.
a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
[Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi cienti sarà importante distinguere icasi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressione semplice e leggibile dei coeffi cientidi Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applicaper il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito.
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Es. Punti
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Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
f (x, y) =1
x4 + 1− 1
y2 + 1
soggetta al vincolox2 + y4 = 1.
13
2. Calcolare l’area e il momento d’inerzia rispetto all’asse zdi una lamina pianaomogenea di massa mrappresentata nel piano (x, y)dall’interno dell’arco di curva diequazione polare
ρ = Rθ2 per θ ∈ [0, 2π] .
3. Calcolare il volume e il centroide della porzione di sfera Sdescritta in coordinatesferiche da x = ρ sinφ cos θ
y = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ
ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π] , φ ∈[0,
2
3π
].
[Suggerimento: visualizzare la figura per sfruttarne le simmetrie].
14
4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano
F = (−y, x)
lungo l’arco di curva
r (t) = ((1 + sin t) cos t, (1− sin t) sin t) , t ∈ [0, π] .
(Riportare impostazione e passaggi intermedi).
5. Sia Sla superficie materiale (conica) grafico della funzione
z =h
R
√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,
con R, h > 0costanti fissate. Calcolare l’elemento d’area dSe il momento d’inerzia diSrispetto all’asse zsapendo che la sua densità superficiale è
δ (x, y, z) =µ
R3
(z + h+
√x2 + y2
)dove µ > 0è un parametro fissato avente le dimensioni di una massa.
15
6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [0, π]da
f (x) = cosx.
a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, π] ,quindi sull’intervallo [−π, π], quindi sul periodo
[−π2 ,
π2
],
così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato.
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Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1
Es. Punti
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Tot.
1. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) = x (log y − 2) + e−xy = 0
definisce implicitamente una e una sola funzione x = h (y) in un intorno diy = e, e calcolare h′ (e) .
Si ha:f (x, e) = −x+ e1−x = 0 se x = 1.
Inoltre un confronto grafico mostra immediatamente che questa è l’unica soluzione:
∂f
∂x(x, y) = log y − 2− e−xy
∂f
∂x(1, e) = 1− 2− 1 = −2 6= 0,
e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1 nel semipiano y > 0, f (1, e) =0, ∂f∂x (1, e) 6= 0, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e unasola funzione x = h (y) in un intorno di y = e; risulta h (e) = 1 e
h′ (e) = −∂f∂y (1, e)∂f∂x (1, e)
.
17
Calcoliamo perciò
∂f
∂y(x, y) =
x
y+ e−x
∂f
∂y(1, e) =
2
e
h′ (e) = −∂f∂y (1, e)∂f∂x (1, e)
= −2/e
−2=
1
e.
2. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫Ω
(x2 + y3
)dxdy
dove Ω è la semiellisse Ω =
(x, y) : x2
a2 + y2
b2 ≤ 1, y ≥ 0, con a, b > 0 fissati.
In coordinate polari ellittichex = aρ cos θy = bρ sin θ
si ha Ω = (ρ, θ) : ρ ∈ [0, 1] , θ ∈ [0, π], dxdy = abρdρdθ,∫ ∫Ω
(x2 + y3
)dxdy =
∫ π
0
(∫ 1
0
(a2ρ2 cos2 θ + b3ρ3 sin3 θ
)abρdρ
)dθ
= a3b
(∫ π
0
cos2 θdθ
)(∫ 1
0
ρ3dρ
)+ ab4
(∫ π
0
sin3 θdθ
)(∫ 1
0
ρ4dρ
).
∫ π
0
sin3 θdθ =
∫ π
0
sin θ(1− cos2 θ
)dθ =
[− cos θ +
cos3 θ
3
]π0
= 1− 1
3+ 1− 1
3=
4
3.
Perciò: ∫ ∫Ω
(x2 + y3
)dxdy = a3b
(π2
)(1
4
)+ ab4
(4
3
)(1
5
)=π
8a3b+
4
15ab4.
3. Si consideri una sfera Ω (solida), di raggio R e centro l’origine, aventedensità volumica
δ (x, y, z) =(
2R−√x2 + y2 + z2
) µ
R4
18
dove µ > 0 è una costante (avente le dimensioni di una massa). Calcolare il suomomento d’inerzia rispetto all’asse z.
Il momento d’inerzia è:
I =
∫ ∫ ∫S
(x2 + y2
)δ (x, y, z) dxdydz
in coordinate sferiche x = ρ sinφ cos θy = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ
dxdydz = ρ2 sinφdφdθ
I =
∫ 2π
0
(∫ π
0
(∫ R
0
(ρ sinφ)2
(2R− ρ)µ
R4ρ2dρ
)sinφdφ
)dθ
= 2πµ
R4
2R
(∫ π
0
sin3 φdφ
)(∫ R
0
ρ4dρ
)−(∫ π
0
sin3 φdφ
)(∫ R
0
ρ5dρ
).
Poiché∫ π
0
sin3 φdφ =
∫ π
0
sinφ(1− cos2 φ
)dφ =
[− cosφ+
cos3 φ
3
]π0
=4
3,
I = 2π · 4
3
µ
R4
2R
∫ R
0
ρ4dρ−∫ R
0
ρ5dρ
=8
3πµ
R4
2R · R
5
5− R6
6
=
8
3πµR2
2
5− 1
6
=
28
45πµR2.
4. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale conservativo:
F (x, y, z) =
(2y2e2x, 2ye2x − ez+2y, ez
(z + 1− 1
2e2y
)).
Ux = F1;
U (x, y, z) =
∫2y2e2xdx = y2e2x + g (y, z)
Uy = 2ye2x +∂g
∂y(y, z) = F2 = 2ye2x − ez+2y
∂g
∂y(y, z) = −ez+2y; g (y, z) = −ez
∫e2ydy = −1
2ez+2y + h (z) ;
19
U (x, y, z) = y2e2x − 1
2ez+2y + h (z) ;
Uz = −1
2ez+2y + h′ (z) = F3 = ez
(z + 1− 1
2e2y
)h′ (z) = ez (z + 1) ;h (z) =
∫ez (z + 1) dz = ez (z + 1)−
∫ezdz = zez + c
U (x, y, z) = y2e2x − 1
2ez+2y + zez + c.
5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ del piano xz
x = R+ r cos3 φz = r sin3 φ
per φ ∈ [0, 2π]
con R > r > 0 parametri fissato. Dopo aver calcolato l’elemento d’area everificato che si tratta di una superficie regolare a pezzi, calcolare l’area diΣ. Suggerimento: calcolare l’elemento d’area di Σ a partire dalle equazioniparametriche di γ.
Σ :
x =
(R+ r cos3 φ
)cos θ
y =(R+ r cos3 φ
)sin θ
z = r sin3 φφ ∈ [0, 2π] , θ ∈ [0, 2π] .
Per il calcolo dell’elemento d’area, dette
a (φ) = R+ r cos3 φ, b (φ) = r sin3 φ
a′ (φ) = −3r cos2 φ sinφ;
b′ (φ) = 3r sin2 φ cosφ
a′ (φ)2
+ b′ (φ)2
= 9r2(cos4 φ sin2 φ+ sin4 φ cos2 φ
)= 9r2 cos2 φ sin2 φ
dS = |a (φ)|√a′ (φ)
2+ b′ (φ)
2dφdθ
=(R+ r cos3 φ
)3r |cosφ sinφ| dφdθ.
La superficie è regolare a pezzi, in quanto(R+ r cos3 φ
)3r |cosφ sinφ| = 0 per φ = 0,
π
2, π,
3
2π,
20
che corrispondono a 4 linee di punti singolari sulla superficie.
|Σ| =∫ 2π
0
(∫ 2π
0
(R+ r cos3 φ
)3r |cosφ sinφ| dφ
)dθ
= 2π · 3r∫ 2π
0
(R+ r cos3 φ
)|cosφ sinφ| dφ
per le simmetrie
= 6πr
∫ 2π
0
R |cosφ sinφ| dφ
= 6πrR · 4∫ π/2
0
cosφ sinφdφ = 24πRr
[sin2 φ
2
]π/20
= 24πRr · 1
2= 12πRr.
6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in [0, 1]da
f (x) = sinπx.
a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, 1] ,quindi sull’intervallo [−1, 1], quindi sul periodo
[− 1
2 ,12
],
così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma piùesplicita e semplificata.
a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).
21
b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poichéT = 1, ω = 2π
T = 2π,
ak =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) cos (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) cos (kωx) dx = 4
∫ 12
0
f (x) cos (2kπx) dx
= 4
∫ 12
0
sinπx cos (2kπx) dx.
Quindi
a0 = 4
∫ 12
0
sinπxdx =4
π[− cosπx]
1/20 =
4
π
mentre sfruttando l’identità
sinα cosβ =1
2sin (α+ β) + sin (α− β)
si ha, per k = 1, 2, 3...
ak = 4
∫ 12
0
sinπx cos (2kπx) dx = 2
∫ 12
0
[sin ((2k + 1)πx) + sin ((1− 2k)πx)] dx
= 2
[− cos ((2k + 1)πx)
π (2k + 1)+− cos ((1− 2k)πx)
π (1− 2k)
] 12
0
=2
π
[1− cos
(kπ + π
2
)2k + 1
+1− cos
(kπ − π
2
)1− 2k
]
=2
π
(1
2k + 1− 1
2k − 1
)= − 4
π
(1
4k2 − 1
)e la serie di Fourier di f è
f (x) =a0
2+
∞∑k=1
ak cos (2kπx) =2
π− 4
π
∞∑k=1
1
4k2 − 1cos (2kπx) .
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:
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A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n2
Es. Punti
1
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Tot.
1. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
f (x, y) =1
x2 + 1− 1
y2 + 1
soggetta al vincolox4 + y4 = 1.
Sia g (x, y) = x4 + y4 − 1, poiché g è C1(R2)e
∇g (x, y) =(4x3, 4y3
)= (0, 0)⇔ (x, y) = (0, 0)
e g (0, 0) 6= 0, il vincolo non ha punti critici. Definiamo la lagrangiana
L (x, y, λ) = f (x, y)− λg (x, y) =1
x2 + 1− 1
y2 + 1− λ
(x4 + y4 − 1
)e risolviamo il sistema
∂L∂x = − 2x
(x2+1)2− 4λx3 = 0
∂L∂y = 2y
(y2+1)2− 4λy3 = 0
∂L∂λ = −
(x4 + y4 − 1
)= 0
La 1a equazione dà:
− 2x
(x2 + 1)2 − 4λx3 = −2x
[1
(x2 + 1)2 + 2λx2
]= 0 per
x = 0 oppureλ = − 1
2x2(x2+1)2
Se x = 0 la terza equazione dà y = ±1 (e la seconda dà un certo valore di λ).Se invece x 6= 0 e quindi λ = − 1
2x2(x2+1)2, la seconda equazione dà
2y
[1
(y2 + 1)2 − 2λy2
]= 2y
[1
(y2 + 1)2 +
2y2
2x2 (x2 + 1)2
]= 0 se e solo se y = 0
(la quantità entro quadre è sempre positiva). Perciò x 6= 0 ⇒ y = 0, che dallaterza equazione dà x = ±1.
23
Perciò i punti stazionari della lagrangiana sono
(±1, 0) , (0,±1) .
Poiché il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato del piano, peril teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluto vincolato di f esistonocertamente, basta perciò confrontare i valori di f in questi 4 punti. Si ha:
f (±1, 0) =1
1 + 1− 1 = −1
2
f (0,±1) = 1− 1
1 + 1=
1
2
pertanto:
(±1, 0) sono punti di minimo assoluti vincolati
(0,±1) sono punti di massimo assoluti vincolati.
2. Sia T è il triangolo di vertici (0, 0) , (2, 1) , (1, 2). Dopo aver scritto larappresentazione analitica di T come dominio y-semplice (o unione di dominiy-semplici), calcolare l’integrale doppio
I =
∫ ∫T
xydxdy.
T =
(x, y) : x ∈ [0, 1] ,x
2≤ y ≤ 2x
∪
(x, y) : x ∈ [1, 2] ,x
2≤ y ≤ 3− x
I =
∫ 1
0
x
(∫ 2x
x2
ydy
)dx+
∫ 2
1
x
(∫ 3−x
x2
ydy
)dx
=
∫ 1
0
x1
2
(4x2 − x2
4
)dx+
∫ 2
1
x1
2
((3− x)
2 − x2
4
)dx
=
∫ 1
0
15
8x3dx+
∫ 2
1
x
8
(3x2 − 24x+ 36
)dx
=15
8· 1
4+
[3x4
32− x3 +
9
4x2
]2
1
=15
32+
[3
2− 8 + 9− 3
32+ 1− 9
4
]=
15
32+
37
32=
13
8.
3. Calcolare il volume e il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solidoomogeneo di massa m rappresentato da:
Ω =
(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z
h
24
con R, h > 0 parametri fissati.
|Ω| =∫ ∫ ∫
Ω
dxdydz =
∫ h
0
(∫ ∫x2+y2≤R2zh
dxdy
)dz =
∫ h
0
(πR2z
h
)dz
= πR2
h· h
2
2= π
R2h
2.
I =m
|Ω|
∫ ∫ ∫Ω
(x2 + y2
)dxdydz =
m
|Ω|
∫ h
0
(∫ ∫x2+y2≤R2zh
(x2 + y2
)dxdy
)dz
passando in coordinate polari
=m
|Ω|
∫ h
0
(2π
∫ R√
zh
0
ρ3dρ
)dz =
m
|Ω|
∫ h
0
2π
4
(R
√z
h
)4
dz
=m
|Ω|π
2
R4
h2
∫ h
0
z2dz =m
πR2h2
π
2
R4
h2
h3
3=
1
3mR2.
4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano
F =(y√x2 + y2,−x
√x2 + y2
)lungo l’arco di curva piana espressa in forma polare dall’equazione
ρ = 2 + sin 3θ per θ ∈ [0, 2π] ,
dove R > 0 è un parametro fissato. (Riportare impostazione e passaggi inter-medi).
L =
∫γ
F · dr =
∫ 2π
0
F (r (θ)) · r′ (θ) dθ
r (θ) = ((2 + sin 3θ) cos θ, (2 + sin 3θ) sin θ)
r′ (θ) = (3 cos 3θ cos θ − (2 + sin 3θ) sin θ, 3 cos 3θ sin θ + (2 + sin 3θ) cos θ)
F (r (θ)) = (2 + sin 3θ) ((2 + sin 3θ) sin θ,− (2 + sin 3θ) cos θ) = (2 + sin 3θ)2
(sin θ,− cos θ)
F (r (θ)) · r′ (θ)= (2 + sin 3θ)
2(3 cos 3θ cos θ − (2 + sin 3θ) sin θ, 3 cos 3θ sin θ + (2 + sin 3θ) cos θ) · (sin θ,− cos θ)
= (2 + sin 3θ)2 sin θ [3 cos 3θ cos θ − (2 + sin 3θ) sin θ]− cos θ [3 cos 3θ sin θ + (2 + sin 3θ) cos θ]
= (2 + sin 3θ)2 − (2 + sin 3θ) = − (2 + sin 3θ)
3.
25
L = −∫ 2π
0
(2 + sin 3θ)3dθ = −
∫ 2π
0
(8 + 12 sin 3θ + 6 sin2 3θ + sin3 3θ
)dθ
= −
8 · 2π + 0 + 6
∫ 2π
0
sin2 3θdθ + 0
= −16π + 6π = −22π.
5. Sia Σ la superficie grafico della funzione
z =h
R
√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,
con R, h > 0 costanti fissate. Calcolare il flusso attraverso Σ, orientata versol’alto, del campo vettoriale
F =
(x, y,
zx2
R2
).
(Prestare cura nell’impostazione dell’integrale di flusso a partire dalle definizioni).
Φ (F ,Σ) =
∫ ∫Σ
F · ndS
dove, detta f (x, y) = hR
√x2 + y2, è
ndS = (−fx,−fy, 1) dxdy =
(− hR
x√x2 + y2
,− hR
y√x2 + y2
, 1
)dxdy
F /Σ =
(x, y,
h
R3
√x2 + y2x2
)Φ (F ,Σ) =
∫ ∫x2+y2≤R2
(x, y,
h
R3
√x2 + y2x2
)·(− hR
x√x2 + y2
,− hR
y√x2 + y2
, 1
)dxdy
=
∫ ∫x2+y2≤R2
(− hR
(x2 + y2√x2 + y2
)+
h
R3
√x2 + y2x2
)dxdy
=
∫ ∫x2+y2≤R2
h
R
√x2 + y2
(x2
R2− 1
)dxdy
in coordinate polari,
=
∫ 2π
0
(∫ R
0
(h
Rρ
(ρ2
R2cos2 θ − 1
))ρdρ
)dθ
=h
R
1
R2
(∫ 2π
0
cos2 θdθ
)(∫ R
0
ρ4dρ
)− 2π
(∫ R
0
ρ2dρ
)
=h
R
πR3
5− 2π
R3
3
= πR2h
(1
5− 2
3
)= − 7
15πR2h.
26
6. Si consideri la funzione π-periodica definita in[−π2 ,
π2
]da
f (x) = sinx.
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo[−π2 ,
π2
]: in base alla teoria,
cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie diFourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier. [Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi -cienti sarà importante distinguere i casi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressionesemplice e leggibile dei coeffi cienti di Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicita-mente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindieseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato,nella forma più esplicita e semplificata.
a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciòla serie di Fourier di f converge puntualmente a f in
(−π2 ,
π2
), mentre negli
estremi ±π2 converge a 0. I coeffi cienti di Fourier tendono a zero ma non saranno(a priori) o (1/k).b. La funzione è dispari, perciò ak = 0 per ogni k. Per calcolare i bk, poiché
T = π, ω = 2πT = 2,
bk =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) sin (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) sin (kωx) dx =4
π
∫ π2
0
f (x) sin (2kx) dx
=4
π
∫ π2
0
sinx sin (2kx) dx.
Sfruttando l’identità
sinα sinβ =1
2cos (α− β)− cos (α+ β)
si ha, per k = 1, 2, 3...
bk =4
π
∫ π2
0
sinx sin (2kx) dx =2
π
∫ π2
0
[cos ((2k − 1)x)− cos ((2k + 1)x)] dx
=2
π
[sin ((2k − 1)x)
2k − 1− sin ((2k + 1)x)
(2k + 1)
]π2
0
=2
π
[sin(kπ − π
2
)2k − 1
−sin(kπ + π
2
)2k + 1
]
=
se k pari = 2π
[−1
2k−1 −1
2k+1
]= − 2
π
(1
2k−1 + 12k+1
)= − 8
πk
4k2−1
se k dispari = 2π
[1
2k−1 −−1
2k+1
]= 8
πk
4k2−1
= (−1)k+1 8
π
k
4k2 − 1
27
e la serie di Fourier di f è
f (x) =8
π
∞∑k=1
(−1)k+1 k
4k2 − 1sin (2kx)
oppure, in forma non semplificata,
f (x) =2
π
∞∑k=1
[sin(kπ − π
2
)2k − 1
−sin(kπ + π
2
)2k + 1
]sin (2kx) .
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:
28
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n3
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) =xy − 2
x2 + y2+ y (x− 1)
definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1. Calcolare g′ (1) .
Si ha:
f (1, y) =y − 2
1 + y2= 0⇐⇒ y = 2.
∂f
∂y(x, y) =
x(x2 + y2
)− 2y (xy − 2)
(x2 + y2)2 + (x− 1)
∂f
∂y(1, 2) =
5− 0
25+ 0 =
1
56= 0
e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1 nel piano privato dell’origine, f (1, 2) =0, ∂f∂y (1, 2) 6= 0, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una solafunzioni y = g (x) in un intorno di x = 1, con g (1) = 2. Si ha:
g′ (1) = −∂f∂x (1, 2)∂f∂y (1, 2)
.
Calcoliamo perciò
∂f
∂x(x, y) =
y(x2 + y2
)− 2x (xy − 2)
(x2 + y2)2 + y
∂f
∂x(1, 2) =
10− 0
25+ 2 =
12
5
g′ (1) = −∂f∂x (1, 2)∂f∂y (1, 2)
= −12515
= −12.
29
2. Calcolare l’integrale doppio
I =
∫ ∫Ω
(x2 |y|+ |x| y − 3 |xy|
)dxdy
dove Ω è l’ellisse Ω =
(x, y) : x2
a2 + y2
b2 ≤ 1, con a, b > 0 fissati.
Per le simmetrie si ha∫ ∫Ω
|x| ydxdy = 0∫ ∫Ω
(x2 |y| − 3 |xy|
)dxdy = 4
∫ ∫Ω′
(x2y − 3xy
)dxdy
dove Ω′ è il quarto di ellisse
Ω′ =
(x, y) :
x2
a2+y2
b2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
.
In coordinate polari ellittiche x = aρ cos θy = bρ sin θ
si ha Ω′ =
(ρ, θ) : ρ ∈ [0, 1] , θ ∈[0, π2
], dxdy = abρdρdθ,
I = 4
∫ ∫Ω′
(x2y − 3xy
)dxdy
= 4
∫ π2
0
(∫ 1
0
(a2bρ2 cos2 θρ sin θ − 3abρ2 cos θ sin θ
)abρdρ
)dθ
= 4a3b2
(∫ π2
0
cos2 θ sin θdθ
)(∫ 1
0
ρ4dρ
)− 12a2b2
(∫ π2
0
cos θ sin θdθ
)(∫ 1
0
ρ3dρ
)
= 4a3b2
([−cos3 θ
3
]π2
0
)(1
5
)− 12a2b2
([sin2 θ
2
]π2
0
)(1
4
)= 4a3b2
(1
3
)(1
5
)− 12a2b2
(1
2
)(1
4
)=
4
15a3b2 − 3
2a2b2.
3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentatoda:
Ω =
(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤ R2z3
h3
con R, h > 0 parametri fissati.
30
|Ω| =∫ ∫ ∫
Ω
dxdydz =
∫ h
0
(∫ ∫x2+y2≤R2z3
h3
dxdy
)dz =
∫ h
0
(πR2z3
h3
)dz
= πR2
h3· h
4
4= π
R2h
4.
Per simmetria, xc = yc = 0. Calcoliamo
zc =1
|Ω|
∫ ∫ ∫Ω
zdxdydz =1
|Ω|
∫ h
0
z
(∫ ∫x2+y2≤R2z3
h3
dxdy
)dz
=1
|Ω|
∫ h
0
z
(πR2z3
h3
)dz =
4
πR2hπR2
h3
∫ h
0
z4dz =4
πR2hπR2
h3
h5
5=
4
5h,
e il centroide ha coordinate(0, 0, 4
5h).
4. Si consideri il campo vettoriale piano
F =
(2xy
(x2 + y2)2 ,
y2 − x2
(x2 + y2)2
).
a. Determinare il suo insieme di definizione Ω e stabilire se il campo èconservativo in Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di ellisse
r (t) = (2 cos t, 3 sin t) , t ∈[π
2,
3
2π
].
a. Ω = (x, y) : (x, y) 6= (0, 0) . Cerchiamo un potenziale in Ω.
Ux = F1 =2xy
(x2 + y2)2
U (x, y) =
∫2xy
(x2 + y2)2 dx = − y
x2 + y2+ c (y)
Uy = −((
x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)+ c′ (y) = − x2 − y2
(x2 + y2)2 + c′ (y) = F2 =
y2 − x2
(x2 + y2)2
c′ (y) = 0, c (y) = c.
Perciò il campo è conservativo in Ω, con potenziale
U (x, y) = − y
x2 + y2.
31
b. Sapendo che il campo è conservativo, è suffi ciente ora calcolare i puntiiniziale e finale dell’arco di curva:
A = r(π
2
)= (0, 3)
B = r
(3π
2
)= (0,−3)
pertanto il lavoro è
L = U (B)− U (A) =1
3− −1
3=
2
3.
5. Sia Σ la superficie ottenuta facendo ruotare attorno all’asse z la curva γche nel piano xz ha equazioni parametriche
x = 2 Ch tz = Sh t
per t ∈ [0, 1] .
Dopo aver scritto le equazioni parametriche di Σ e l’elemento d’area di Σ, cal-colare l’integrale di superficie ∫ ∫
Σ
zdS.
Suggerimento: calcolare l’elemento d’area di Σ a partire dalle equazioni para-metriche di γ.
Σ ha equazioni parametriche: x = 2 Ch t cos θy = 2 Ch t sin θz = Sh t
per t ∈ [0, 1] , θ ∈ [0, 2π] .
Posto a (t) = Ch t e b (t) = Sh t, risulta
dS = |a (t)|√a′ (t)
2+ b′ (t)
2dtdθ
= 2 Ch t
√4 (Sh t)
2+ (Ch t)
2dtdθ
quindi ∫ ∫Σ
zdS =
∫ 2π
0
(∫ 1
0
2 Sh tCh t
√4 (Sh t)
2+ (Ch t)
2dt
)dθ
= 4π
∫ 1
0
Sh tCh t
√5 (Sh t)
2+ 1dt
Sh t = u; Ch tdt = du;u ∈ [0,Sh 1]
32
= 4π
∫ Sh 1
0
u√
5u2 + 1du
=4π
15
[(5u2 + 1
)3/2]Sh 1
0
=4π
15
[(5 (Sh 1)
2+ 1)3/2
− 1
]Se si sceglie l’altra sostituzione si ha:∫ ∫
Σ
zdS = 4π
∫ 1
0
Sh tCh t
√5 (Ch t)
2 − 4dt
Ch t = u; Sh tdt = du;u ∈ [1,Ch 1]
= 4π
∫ Ch 1
1
u√
5u2 − 4du =4π
15
[(5u2 − 4
)3/2]Ch 1
1=
4π
15
[(5 (Ch 1)
2 − 4)3/2
− 1
]6. Si consideri la funzione 1-periodica definita in
[− 1
2 ,12
]da
f (x) = cosπx.
a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
[Suggerimento: a un certo del calcolo dei coeffi cienti sarà importante distinguere icasi kpari o kdispari, per arrivare a un’espressione semplice e leggibile dei coeffi cientidi Fourier]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applicaper il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportandochiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.
a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poiché
T = 1, ω = 2πT = 2π,
ak =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) cos (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) cos (kωx) dx = 4
∫ 12
0
f (x) cos (2kπx) dx
= 4
∫ 12
0
cosπx cos (2kπx) dx.
Quindi
a0 = 4
∫ 12
0
cosπxdx =4
π[sinπx]
1/20 =
4
π
33
mentre sfruttando l’identità
cosα cosβ =1
2cos (α+ β) + cos (α− β)
si ha, per k = 1, 2, 3...
ak = 4
∫ 12
0
cosπx cos (2kπx) dx = 2
∫ 12
0
[cos ((2k + 1)πx) + cos ((2k − 1)πx)] dx
= 2
[sin ((2k + 1)πx)
π (2k + 1)+
sin ((2k − 1)πx)
π (2k − 1)
] 12
0
=2
π
[sin(kπ + π
2
)2k + 1
+sin(kπ − π
2
)2k − 1
]
=
se k pari = 2
π
[1
2k+1 −1
2k−1
]= − 4
π1
4k2−1
se k dispari = 4π
14k2−1
= (−1)k+1 4
π
1
4k2 − 1
e la serie di Fourier di f è
f (x) =a0
2+
∞∑k=1
ak cos (2kπx) =2
π+
4
π
∞∑k=1
(−1)k+1 1
4k2 − 1cos (2kπx) .
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:
34
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n4
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
f (x, y) =1
x4 + 1− 1
y2 + 1
soggetta al vincolox2 + y4 = 1.
Sia g (x, y) = x2 + y4 − 1, poiché g è C1(R2)e
∇g (x, y) =(2x, 4y3
)= (0, 0)⇔ (x, y) = (0, 0)
e g (0, 0) 6= 0, il vincolo non ha punti critici. Definiamo la lagrangiana
L (x, y, λ) = f (x, y)− λg (x, y) =1
x4 + 1− 1
y2 + 1− λ
(x2 + y4 − 1
)e risolviamo il sistema
∂L∂x = − 4x3
(x4+1)2− 2λx = 0
∂L∂y = 2y
(y2+1)2− 4λy3 = 0
∂L∂λ = −
(x2 + y4 − 1
)= 0
La 1a equazione dà:
− 4x3
(x4 + 1)2 − 2λx = −2x
[2x2
(x2 + 1)2 + λ
]= 0 per
x = 0 oppureλ = − 2x2
(x2+1)2
Se x = 0 la terza equazione dà y = ±1 (e la seconda dà un certo valore di λ).Se invece x 6= 0 e quindi λ = − 2x2
(x2+1)2, la seconda equazione dà
2y
[1
(y2 + 1)2 − 2λy2
]= 2y
[1
(y2 + 1)2 +
4x2y2
(x2 + 1)2
]= 0 se e solo se y = 0
(la quantità entro quadre è sempre positiva). Perciò x 6= 0 ⇒ y = 0, che dallaterza equazione dà x = ±1.
35
Perciò i punti stazionari della lagrangiana sono
(±1, 0) , (0,±1) .
Poiché il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato del piano, peril teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluto vincolato di f esistonocertamente, basta perciò confrontare i valori di f in questi 4 punti. Si ha:
f (±1, 0) =1
1 + 1− 1 = −1
2
f (0,±1) = 1− 1
1 + 1=
1
2
pertanto:
(±1, 0) sono punti di minimo assoluti vincolati
(0,±1) sono punti di massimo assoluti vincolati.
2. Calcolare l’area e il momento d’inerzia rispetto all’asse z di una laminapiana omogenea di massa m rappresentata nel piano (x, y) dall’interno dell’arcodi curva di equazione polare
ρ = Rθ2 per θ ∈ [0, 2π] .
La lamina corrisponde all’insieme rappresentato in coordinate polari da
Ω =
(ρ, θ) : θ ∈ [0, 2π] , ρ ∈[0, Rθ2
]quindi l’area è
|Ω| =∫ 2π
0
(∫ Rθ2
0
ρdρ
)dθ =
∫ 2π
0
R2θ4
2dθ =
R2
2
(2π)5
5=
16
5π5R2.
Il momento d’inerzia rispetto all’asse z è:
I =m
|Ω|
∫ ∫Ω
(x2 + y2
)dxdy =
m
|Ω|
∫ 2π
0
(∫ Rθ2
0
ρ2ρdρ
)dθ
=m
|Ω|
∫ 2π
0
R4θ8
4dθ =
5m
16π5R2
R4
4
(2π)9
9=
40
9π4mR2.
36
3. Calcolare il volume e il centroide della porzione di sfera S descritta incoordinate sferiche da x = ρ sinφ cos θ
y = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ
ρ ∈ [0, R] , θ ∈ [0, 2π] , φ ∈[0,
2
3π
].
[Suggerimento: visualizzare la figura per sfruttarne le simmetrie].
Poiché l’elemento di volume è dxdydz = ρ2 sinφdφdθ,
|S| =∫ 2π
0
(∫ R
0
ρ2dρ
)(∫ 23π
0
sinφdφ
)dθ
= 2πR3
3[− cosφ]
23π0 =
2
3π
(1
2+ 1
)R3 = πR3.
Per simmetria, xc = yc = 0, mentre
zc =1
|S|
∫ ∫ ∫S
zdxdydz =1
πR3
∫ 2π
0
(∫ R
0
ρ3dρ
)(∫ 23π
0
sinφ cosφdφ
)dθ
=1
πR32πR4
4
[sin2 φ
2
] 23π
0
=R
4
(√3
2
)2
=3
16R,
e il centroide ha coordinate(0, 0, 3
16R).
4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale piano
F = (−y, x)
lungo l’arco di curva
r (t) = ((1 + sin t) cos t, (1− sin t) sin t) , t ∈ [0, π] .
37
(Riportare impostazione e passaggi intermedi).
L =
∫γ
F · dr =
∫ π
0
F (r (t)) · r′ (t) dt
r (t) = ((1 + sin t) cos t, (1− sin t) sin t)
r′ (t) =(cos2 t− sin t (1 + sin t) ,− sin t cos t+ (1− sin t) cos t
)F (r (t)) = (− (1− sin t) sin t, (1 + sin t) cos t)
F (r (t)) · r′ (t)= (− (1− sin t) sin t, (1 + sin t) cos t) ·
(cos2 t− sin t (1 + sin t) ,− sin t cos t+ (1− sin t) cos t
)= − (1− sin t) sin t cos2 t+ sin2 t
(1− sin2 t
)− sin t cos2 t (1 + sin t) + cos2 t
(1− sin2 t
)= −2 sin t cos2 t+
(1− sin2 t
)= −2 sin t cos2 t+ cos2 t.
L =
∫ π
0
(−2 sin t cos2 t+ cos2 t
)dt =
[2
3cos3 t
]π0
+π
2= −4
3+π
2.
5. Sia S la superficie materiale (conica) grafico della funzione
z =h
R
√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ R2,
con R, h > 0 costanti fissate. Calcolare l’elemento d’area dS e il momentod’inerzia di S rispetto all’asse z sapendo che la sua densità superficiale è
δ (x, y, z) =µ
R3
(z + h+
√x2 + y2
)dove µ > 0 è un parametro fissato avente le dimensioni di una massa.
L’elemento d’area di una superficie cartesiana z = f (x, y) è dato da dS =√1 + |∇f (x, y)|2dxdy, in questo caso
∇(h
R
√x2 + y2
)=h
R
(x√
x2 + y2,
y√x2 + y2
),
dS =
√1 +
h2
R2dxdy.
Il momento d’inerzia è dato da:
I =
∫ ∫S
(x2 + y2
)δ (x, y, z) dS
=
∫ ∫x2+y2≤R2
(x2 + y2
) µ
R3
(h
R
√x2 + y2 + h+
√x2 + y2
)√1 +
h2
R2dxdy
38
in coordinate polari
= 2π
∫ R
0
ρ2 µ
R3
(h
Rρ+ h+ ρ
)√1 +
h2
R2ρdρ
= 2πµ
R4
√R2 + h2
∫ R
0
((h
R+ 1
)ρ+ h
)ρ3dρ
= 2πµ
R4
√R2 + h2
(h
R+ 1
)∫ R
0
ρ4dρ+ h
∫ R
0
ρ3dρ
= 2πµ
R4
√R2 + h2
(h
R+ 1
)R5
5+ h
R4
4
= 2πµ
√R2 + h2
h+R
5+h
4
= 2πµ
√R2 + h2
1
5R+
9
20h
6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [0, π]da
f (x) = cosx.
a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero deicoeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenzapuntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
[Suggerimento: prima di rispondere alle domande, in base alla definizione di f tracciarneil grafico sul periodo [0, π] ,quindi sull’intervallo [−π, π], quindi sul periodo
[−π2 ,
π2
],
così da sfruttare le simmetrie]. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formulagenerale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcoloesplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma piùesplicita e semplificata.
a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciòla serie di Fourier di f converge puntualmente a f tranne nei punti kπ, in cuiconverge a 0. I coeffi cienti di Fourier tendono a zero ma non saranno (a priori)o (1/k).b. La funzione è dispari, perciò ak = 0 per ogni k. Per calcolare i bk, poiché
T = π, ω = 2πT = 2,
bk =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) sin (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) sin (kωx) dx =4
π
∫ π2
0
f (x) sin (2kx) dx
=4
π
∫ π2
0
cosx sin (2kx) dx.
Sfruttando l’identità
sinα cosβ =1
2sin (α+ β) + sin (α− β)
39
si ha, per k = 1, 2, 3...
bk =4
π
∫ π2
0
cosx sin (2kx) dx =2
π
∫ π2
0
[sin ((2k + 1)x) + sin ((2k − 1)x)] dx
=2
π
[− cos ((2k + 1)x)
2k + 1+− cos ((2k − 1)x)
(2k − 1)
]π2
0
=2
π
[1− cos
(kπ + π
2
)2k + 1
+1− cos
(kπ − π
2
)2k − 1
]
=2
π
(1
2k + 1+
1
2k − 1
)=
8
π
(k
4k2 − 1
)e la serie di Fourier di f è
f (x) =8
π
∞∑k=1
k
4k2 − 1sin (2kx) .
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:
40