f1_algebra_vectorial_2015-2
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Guía del Curso de Física I, dictado en la facultad de Ing. CIVIL de la URP.Tema: Álgebra VectorialTRANSCRIPT
* Prof. REYES ÑIQUE J. MIGUEL
* U R P - Esc. de Ingeniería Civil 1
Prof. MIGUEL REYES 1
C U R S O : F I S I C A - I
PROFESOR : REYES ÑIQUE
JUAN MIGUEL
HORARIO : Lunes 8:00 9:40 am
Jueves 8:00 9:40 am
e-mail : [email protected]
UNIDAD TEMÁTICA Nº 1:
En esta unidad el estudiante conocerá y se familiarizará con las
operaciones y propiedades básicas del algebra vectorial, las cuales
las podrá aplicar en la solución de problemas simples.
ALGEBRA VECTORIAL
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FISICA
FISICA CLASICA FISICA MODERNA
siglo XIX
Utiliza el lenguaje de las matemáticas como „puente‟ entre el
experimento y la teoría.
Es la ciencia que estudia las leyes más simples y generales de los
fenómenos de la naturaleza, las propiedades y estructura de la
materia y las leyes de su movimiento.
( = Naturaleza )
• Mecánica
• Termodinámica
• Acústica
• Electricidad y Magnetismo
• Óptica
• Mecánica Relativista
• Mecánica Cuántica
Se basa en la observación experimental para „construir‟ una
teoría ( leyes y principos ), la cual pueda describir y explicar los
fenómenos, así como predecir futuros resultados.
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Se denomina magnitud (o cantidad) física a la
característica ( propiedad o atributo ) de un fenómeno o cuerpo
físico, la cual se puede medir directamente o medir indirectamen-
te (calcular).
Fenómeno:
Cuerpo:
Caida de una
piedra
Ladrillo
• distancia
• tiempo
• volumen
• masa
medir
Característica
Ejemplos: la distancia, el tiempo, la masa, la velocidad, la fuerza,
temperatura, la energía, la carga eléctrica, etc.
Al estudiar un fenómeno o un cuerpo nos vemos en la necesidad
de caracterizarlo.
calcular
medir
medir
MAGNITUD FISICA
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Hay un pequeño grupo de magnitudes físicas (siete en total) en
base a las cuales se pueden expresar todas las demás magnitudes
físicas; a las primeras se les denomina magnitudes fundamentales
y las segundas magnitudes derivadas.
Mag. Fundamentales
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS :
NombreSímbolo
dimensional
longitud L
masa M
tiempo T
NombreSímbolo
dimensional
volumen L+3
velocidad LT 1
fuerza MLT 2
Mag. Derivadas
...
...
...
...
I ) MAGNIT. FUNDAMENTALES Y MAGNIT. DERIVADAS
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U n i d a d e s
Magnitud Sistema
Internacional
Sistema
Gaussiano
Sistema
Inglés
SISTEMAS DE UNIDADES
metro ( m )
kilogramo ( kg )
segundo ( s )
centimetro ( cm )
gramo ( g )
segundo ( s )
pie ( p )
libra ( lb )
segundo ( s )
Longitud
Masa
Tiempo
Medir : Es determinar cuantas veces la magnitud en cuestion
contiene a una magnitud de su misma especie, la cual se
tomó como patrón y a la que se adoptó como su unidad.
Toda magnitud física se expresa con un número y una unidad.
Ejemplo: la altura es de 3 m.
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Escalar : Es la magnitud física que queda completamente
determinada por su valor numérico (número real).
Vector : Es la magnitud física que queda completamente
determinada por un valor numérico (número real
positivo) y una dirección (sentido).
Ejm.: el tiempo ( 23 s ), la masa ( 54 kg ), la
temperatura ( 7 oC ), etc.
Ejm.: el desplazamiento, la velocidad, la fuerza,
etc.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS :
II ) MAGNIT. ESCALARES Y MAGNIT. VECTORIALES
A
B
Módulo ( o magnitud ).-
1 uAB
Rep. Geométrica: Rep. Literal:
1) Representación de un vector
C
C C
AB
Un vector ( la flecha ) tiene las siguientes características:
Dirección ( y sentido ).-
C
u 4
Eje l
Está dada por el ángulo que hace la
flecha con un eje de referencia (Eje l ).
Es la longitud de la flecha.
ALGO ACERCA DE LOS VECTORES (FORMA GRÁFICA)
(flecha)
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2) Igualdad de vectores
A
B
C
D
E
F
HGHG AB
EF AB
CD AB
Dos o más vectores son iguales
entre sí, cuando sus módulos y
direcciones (sentidos) también son
iguales.
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3) Suma de vectores
B
Método del polígono:
A
A
C
Método del paralelogramo: S = A B
S = A B C
A
B
S
A
S
B BC
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4) Resta de vectores
5) Descomposición de un vector a lo largo de ejes
S
S1
S = S1 + S2
Eje 10
Eje 2S2
S2
S1
Componentes
R = A B A + ( B )
B
A
A
B
B
R
6) Multiplicación de un vector por un escalar
La multiplicación de un vector A por un escalar es un vector M
que tiene las siguientes características:
A M
Módulo : ; o sea que siM = A < 1 M A ,
> 1 M A .
Dirección
( sentido ) :tiene el mismo sentido que ,M
tiene un sentido opuesto a . M
A
A
Si > 0
si < 0
M
= 2,5
AVector :
Escalar :
EJEMPLO:
12
Notación : M = A
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7) Vector unitario
A
Es un vector de módulo igual a la unidad y que solo sirve para
indicar una dirección determinada.
De la figura, vemos que podemos escribir:
De aqui deducimos que: AA =
A
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Lo denotaremos literalmente colocando un “sombrerito” sobre la
letra. Por ejemplo, en la figura se muestra el vector y su vector
unitario .
A
A
A
A = AA
AA
1A =
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8) Proyección algebráica de un vector sobre un eje
Eje l
S
Sl = S cos
SlProyección
algebraica
(escalar)
Sea un vector de módulo S, que hace un ángulo con un eje l .
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9) Producto escalar ( ó producto punto ) de dos vectores
B
A
B
A
B
A
A • B = A B cos
El producto escalar de dos vectores A y B es un número, obtenido
de multiplicar el módulo A de uno de los vectores por el módulo B
del otro vector y por el coseno del ángulo , que ellos forman.
Notación: = A BA = B AB
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10) Producto vectorial ( ó producto cruz ) de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores A y B es un vector C que
tiene las siguientes características:
Módulo : θsen BA C C
Dirección : C
Sentido : Regla de la mano derecha ( ver figura )
B
A
C
RMD
C = A B Notación :
es perpendicular By A
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b) las proyecciones Ax , A y ,
B x y B y .
Halle gráficamente:
EJEMPLO:
B A 2 R
a) el vector
En la figura se muestran dos
vectores en el plano de
los ejes cartesianos XY.
By A
Y
X
B
A
Y
X
B
A
Y
X
B
A
SOLUCION:
2A
a) el vector
B A 2 R
b) las proyecciones Ax , Ay , B x y B y .
By
Bx
Y
X
B
A
B
R
Ax
Ay
18
X
Y
0
(x,y)
SISTEMA DE COORDENADAS
y
x P
EN EL PLANO :
Es un conjunto de números reales que determinan la posición de
un punto P.
j
i X
Y
Z
0
yx
z
(x,y,z)
EN EL ESPACIO : (x , y , z)
P
i
j
(x , y)
k
Veremos solo las coordenadas CARTESIANAS:
Aquí, k , j , i son los vectores unitarios cartesianos ! Prof. MIGUEL REYES 19
Ax
Ay
EXPRESION CARTESIANA DE UN VECTOR EN
EL PLANO
X
Y
O
A su módulo: A
i
j sus ángulos directores: , .
i A A xx
j A A yy
j A i A A yx
β cosA A , y A A A 2
y
2
x αsen A
Supongamos que en el plano XY se
tiene un vector (flecha), dado por:
Entonces, se puede escribir que:
yx A A A
donde
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α cosA A , x
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Ay
EXPRESION CARTESIANA DE UN VECTOR EN
EL ESPACIO
Z
X
Y
0
A
Módulo: A
k i
j
Ángulos directores: , , .
zyx A A A A
k A j A i A A zyx
α cosA Ax
β cosA Ay
γcosA Az A A A A 2
z
2
y
2
x
i A A xx
j A A yy
k A A zz
A z
Ax
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A
2) Igualdad de vectores
zzyyxx B A , B A , B A
3-4) Suma . Resta de vectores
B A
ALGO ACERCA DE LOS VECTORES (FORMA ANALITICA)
B A
B
1) Representación ( cartesiana )
k A j A i A zyx
k B j B i B zyx
k )B (A j )B (A i )B (A zzyyxx
5) Descomposición de un vector a lo largo de ejes cartesianos
i A A xx
j A A , yy
k A A , zz
6) Multiplicación de un vector por un escalar
A λ M
7) Vector unitario
A A
1 A
k )A (λ j )A (λ i )A (λ zyx
A A A
k A j A i A
2
z
2
y
2
x
zyx
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BBB
AAA
kji
zyx
zyx
10) Producto vectorial ( ó cruz ) de dos vectores
8) Proyección de un vector sobre los ejes cartesianos
9) Producto escalar ( ó punto ) de dos vectores
)BA B(A k )BA B(A j )BA B(A i xyyxzxxzyzzy
B A
xA yA , zA ,
B A zzyyxx B A B A B A
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En el plano XY se muestran tres
vectores de módulos:
a) Halle las proyecciones (alge-
bráicas) de los vectores
EJEMPLO:
b) Escriba las expresiones carte-
sianas de los vectores
x
y
A
45o
C Bu. 2 10 Cy u 2 4 B ,u 3 A
c) Halle los valores de las constantes desconocidas „a‟ y „b‟ , sa-
biendo que éstas satisfacen la relación:
. B b A a C
. Cy B ,A
. Cy B ,A
x
y
A
45o
C B
SOLUCION:
2
1 24
a) Proyecciones (algebráicas):
2
1 210
Ax
o0 cosA
A yo0sen A
3 1 3
0 0 3
Bx
o45 cos B
Byo45sen B
2
1 24
4
4
Cx
o135 cos C
C yo135sen C
10
10
2
1 210
3 Ax
0 Ay
4 Bx
4 By
10 Cx
10 Cy Prof. MIGUEL REYES 26
c) Valores de las constantes „a‟ y „b‟ :
B b A a C
xxx B b A a C 4 b 3 a 10
yyy B b A a C 4 b 0 a 10
20/3 a ; 5/2 b
i 3 j A i A A yx
j B i B B yx
j 4 i 4
j C i C C yx
j 10 i 10
b) Expresiones cartesianas:
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j (0) i (3)
j (4) i (4)
j (10) i 10)(
Si se da la igualdad vectorial , entonces se debe
dar la igualdad de sus proyecciones respectivas:
EJEMPLO:
En la figura se muestra un tornillo
sometido a dos fuerzas F1 y F2 . Para
este sistema de dos fuerzas (vectores),
determine:
a) su resultante.
b) la magnitud de la resultante.
c) la dirección de la resultante.
X
Y
15o
F2 = 150 N
F1 = 100 N30o
Rpta. : a)
b) c)
N j 155,8 i 171,6 F
N 231,8 F o42,24 α
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X
Y
F1
30o
15o
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SOLUCION:
a) Resultante:
96,6 15 cos 100 F o
1x
N j 155,8 i 171,6 F
j F i F yx
75,0 )30 (90 cos 150 F oo
2x
21 F F F
F1 y
F2 x
F2 y
25,9 15sen 100 F o
1y
129,9 )03(90sen 150 F oo
2y c) Dirección de la resultante
F
F α cos x
b) Magnitud de la resultante:
F F F 2
y
2
x N 231,8
0,74 231,8
6,171
0,74 cos arc α
F1 x Fx
F2 F2
Fy
j )F F ( i )F F ( y 2y 1 x2 x1 F
o42,24
Se tienen los puntos P1 (0; 0; 2), P2 (1; 2; 0) y O (0; 0; 0).
a) Dibuje, en un sistema de ejes cartesianos, los vectores:
, OP r 11
b) Escriba las expresiones cartesianas de . ry r , r 21 2 1
c) Halle analíticamente la distancia entre los puntos P1 y
P2 ; y el ángulo entre los vectores .
EJEMPLO:
y OP r 22
. OP OP r 1221
2 1 ry r 21PP
3 PP 21
k 2 j 2 i r21
Rpta. : b) c)k 2 r1
j 2 i r2
o90 θ
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r21
X
Y
Z
0
a) Vectores:2
-1
2
. ry r , r 2121
SOLUCION:
b) Expresiones
cartesianas:
k 2 r1
j 2 i r2
k 2 j 2 i r r r 1 2 21
P2
P1
r2
r1
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c) Distancia:
PP 21 r 21
)2( 2)( )1( 222 3
θ cos r r 2 1 r r 2 1
z 2 z 1 y 2 y 1 x2 x1 r r r r r r
(0) (2) (2) (0) )1( (0) θ cos )5 ( (2)
0 θ cos rad 2
π 90 θ o
Angulo:
La distancia entre los puntos P1 y P2 es igual al módulo del
vector .21PP
2121 r PP
)r ( )r ( )r ( 2
z 21
2
y 21
2
x21
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La figura muestra un poste
metálico sujeto por tres cuerdas.
Determine la expresión cartesia-
na de:
a) los vectores
b) el vector unitario de la resul-
tante de los vectores
EJEMPLO:
.ADy AC ,AB
AC ,AB .ADy
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SOLUCION:
m j 10 k 24
a) Vectores
b) Vector unitario de la resultante:
m j 18 i 16 k 24
P
Q
B
m j 8 i 12 k 24
R R
1 R
341
k 18 j 4 i
m ) k 18 j 4 i ( 4
:ADy AC ,AB
OB AO AB
PC OP AO AC
QD OQ AO AD
AD AC AB R
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EJEMPLO:
Se tienen los vectores
Determine: a) su producto escalar .
By A
b) el ángulo que ellos forman.
, dados por las expresiones:
. k 4 i 2 B , j 3 i 3 A
c) el producto vectorial .B A
zzyyxx BA BA BA B A
(4) (0) (0) (3) (2) 3)(
a) Producto escalar
SOLUCION:
6
B A
B A
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θ cos BA B A
θ cos ) 5 2 ( ) 2 3 ( 6
b) Ángulo que forman
0,316 101 θ cos o108,4 0,316) ( cos arc θ
2 3 )(0 )(3 3)( A 222
5 2 )(4 )(0 (2) B 222
c) Producto vectorial B A
B A
BBB
AAA
kji
zyx
zyx
402
033
kji
6) (0 k 12) (0 j 0) (12 i k 6 j 12 i 12 Prof. MIGUEL REYES 36
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En la figura se muestran los
a) de
EJEMPLO:
z
x
y
0
A
C
B
D
2
4
6
. Dy C , B , A
. Dy C , B , A
b) de un vector , paralelo
y del mismo sentido que
el vector , pero de mó-
dulo M = 10 .
C
M
Deter-
mine las expresiones carte-
vectores
sianas:
Rpta .-
b)
a) ; ; j 4 A k 2 j 4 i 6 B k 2 j 4 C
i 6 D k 52 j 54 i 0 M
37Prof. MIGUEL REYES
SOLUCION:
k A j A i A A zyx
k B j B i B B zyx
j 4
k 2 j 4 i 6
a) Expresiones cartesianas :
k ) 0 ( j ) 4 ( i ) 0 (
k ) 2 ( j ) 4 ( i ) 6 (
k C j C i C C zyx
k ) 2 ( j ) 4 ( i ) 0 ( k 2 j 4
k D j D i D D zyx
k ) 0 ( j ) 0 ( i ) 6 ( i 6
z
x
y
0
A
C
B
D
2
4
6
38
k 52 j 54 i 0 M
b) Vector :M
10 M ; C λ M
xx C λ M
yy C λ M
zz C λ M
) 0 ( λ
) 4 ( λ
) 2 ( λ
0
λ 4
λ 2
M M M M2
z
2
y
2
x
)2λ( )(4λ (0) 10 222
5 λ
0 λ ,
39Prof. MIGUEL REYES