Matemática  II           2011-­‐2012  �  2.º  Semestre  �  2.ª  Frequência  

                                                                                                                                                                             31  de  Maio  de  2012

Pedro Raposo; Carla Cardoso; Pedro Henriques; Vasco Simões

O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.

Grupo I (6 valores) 1. Considere a função 2 2

1 2 1 1 2 2, )(f x x xx x x-­‐=-­‐ -­‐ com 1 2 1 2 22 1 2x xx x£ Ÿ + £-­‐ .

a. A função pode ter mais do que um máximo (relativo)? Justifique. (Cotação: 0,5V)

b. Determine, se existir, o Máximo de 2 21 2 1 1 2 2, )(f x x xx x x-­‐=-­‐ -­‐ (resolva TODOS os sistemas).

(Cotação: 2,0V) 2. a. Resolva graficamente o problema

Max f e Min f sendo 3f x y= + com x2+ y2!3"!2(x+ y)x#0, y#0

$%&&

'&&

e recorrendo à solução gráfica e à formulação do problema de Kuhn-Tucker identifique o valor dos preços sombra no caso do mínimo e no caso do máximo. Justifique cuidadosamente (matemática e economicamente). (Cotação: 1,5V) b. Determine, se existir, Max f , sendo f x y= + no domínio da alínea (a) anterior. (Cotação: 2V)

Grupo II (6 valores)

3. Calcule, recorrendo ao algoritmo do simplex, a solução do seguinte problema. (Cotação: 2 V)

1 2 32 2 3Min Z x x x= -­‐ -­‐ + sujeito a !

x1+2x2!x3"!5!5x1!6x2!3x3"15

x1#0x2#!5x3 !livre

$

%

&&&&&&&&

'

&&&&&&&&

4. Enuncie o seguinte problema de maximização na sua forma equivalente de minimização.

(Cotação: 2 V)

1 2 3max 2 3z x x x= -­‐ -­‐ sujeito a

5x1!x2"102x2+3x3#1

x1+x2+x3= 20x1#0x2"0x3 !livre

$

%

&&&&&&&&&&

'

&&&&&&&&&&

5. Considere o problema

1 2max 2 2  z x x= -­‐ sujeito a 5x1!x2"102x1+3x2#1x1, x2#0

$

%

&&&&&

'

&&&&&

Complete o quadro em baixo (quadro final do simplex), justificando todos os cálculos que fizer.

1x 2x 3x 4x 5x * * * 0 * * * -4 1 1 * * * * -1/2 1/2 0 * * 1x

(Cotação: 2V)

Grupo III (3 valores)

6. Considere o seguinte problema de programação linear:

1 2max 20 10z x x= +

s.a.

3x1+x2!304x1+3x2!60x1+2x2!40x1, x2"0

#

$

%%%%%%

&

%%%%%%

a. Crie um enunciado que se adapte ao problema dado. (Cotação: 0,5 V)

b. Resolva-o graficamente e justifique, em termos gráficos, a escolha dessa solução.

(Cotação: 1,5V)

c. Seja agora 1 210z ax x= + com as mesmas condições. Indique o intervalo de valores em que pode variar a que não alterem a solução do problema. Justifique. (Cotação: 1 valor)

Grupo IV (5 valores)

7. Uma empresa está a estudar a possibilidade de produzir dois produtos A e B pelos quais obtém um lucro de 10€ e 20€ respectivamente, por unidade. A produção de A exige a utilização de uma máquina M1 durante 30 minutos e, posteriormente, uma máquina M3 durante 15 minutos. A produção do produto B exige a utilização de uma máquina M2 durante 20 minutos e, posteriormente, a máquina M3 durante 15 minutos. As três máquinas têm um horário máximo de trabalho de 8 horas (cada uma delas). Pretende-se aferir se o projecto correspondente à produção diária desta fábrica é viável.

a. Formule o problema. (Cotação: 1V)

NOTA: Reduza as frações, de cada restrição, ao mesmo denominador de forma a evitar frações nas restrições do problema e para desta forma estar de acordo com as alíneas seguintes.

b. Tendo em conta que o quadro final do simplex é o seguinte:

i. Um funcionário da fábrica veio avisar o director que afinal a margem de lucro do produto B tinha reduzido de 20€ para 17€. O director afirmou que o problema não era grave pois o lucro reduziu-se apenas 6%. O director terá razões para não se preocupar? Justifique. (Cotação: 2V) ii. O gestor desta empresa, comunicou ao director que se aumentassem para 9 horas, o número de horas de trabalho da máquina M3, o lucro aumentava. Qual é o lucro? Sabendo que o aumento de 1 hora de trabalho de M3, tem o custo adicional de 15€. Acha que é uma boa decisão? Justifique a sua resposta. (Cotação: 2V)

Z 1x 2x 3x 4x 5x 0 0 0 10 10 560 0 0 1 1 -1 8 3x 0 1 0 1 0 24 2x 1 0 0 -1 1 8 1x

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Grupo I

1) 1 22 21 2 1 1 2 2

1 2

1( , ) . .

2,

2 2,

xxL x x x x

xx x s a

xλ ϕ

≤⎧= − − ⎨ ≤

−−

+⎩

a. Como a função é definida negativa e as restrições são lineares, pode-se concluir que tem apenas uma solução, portanto neste caso, o máximo é único:

1 2

2 12 0 3 0 .

1 2e def negativa

− −Δ = − < Δ = = >

− −

b.

As igualdades que figuram nas condições de Kuhn Tuker são

1 21

1 2

1

2

2

2

1

2 2 0

02

2 1) 0

2) 0

(

(2

L xxL xxL x

L

x

x

x

xx

λ ϕ

λ ϕ

λ λλ

ϕ ϕϕ

∂ = − − =∂∂ = − − =∂∂ =∂∂ =∂

− −

− +

− − =

+ − =

e obtemos 4 sistemas

[ ]1 2

1 21 2

1 2

1

2 2 02 2 0

0 2 1 0 2 1 00

1 2 0 2 1/ 2 0 3 / 2 000

0

22

xx

xx

xx

xx

L L

λ ϕλ ϕ

λ ϕλ ϕ

λλ ϕ

ϕ

− − =⎧− − =⎧⎪− − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪−

− −−

− =⎨ ⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ = =⎩⎪

− +

=⎩

−− +

verifica também as desigualdades de Kuhn Tuker, (0,0) 0λ ϕ= =

[ ]1 2 1 2

1 2 1 22 1

3 11 2 1 2

2

2 2 0 2 2 02 1 2 0 2 1 2 0

0 01 2 1 0 0 0 3 0 0

02 2

20

2 1 0 2 0 0 2 22 2 2

12

x xx

x xx x

LL

x x

xLL

x x

λ ϕ ϕλ ϕ ϕ

ϕλ λ

ϕ

− − −− + −

−−

+ = +

− − = − − =⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− − = − − =⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎨ ⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ =⎩

Impossível .

[ ]1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1

3 1

3

2 2 0 2 00 0

0 0

2 1 1 0 2 1 1 01 2 1 0 / 2 0 3 / 2 3 / 2 0 0 não verifica a condição

2 22 1 2

01 2 0 1 / 2 0 5 / 2 1 1

1

/ 2

x xx xx x

LL

x xx xx x

LL

λ ϕ λλ ϕ λ

ϕ ϕ

λ λ

− − = − − =⎧ ⎧⎪ ⎪− − = − + =⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎩ ⎩⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⇒ < ≥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

− − −− + −

− = − =

−

⎣ ⎦ ⎦− − −⎣

[ ]1 2

1 2 2 1

3 11 2 3 2

4 11 2

4

2 2 0 2 1 1 2 0 2 1 1 2 00 1 2 1 1 0 0 3 / 2 3 / 2 0 0

1 2 0 0 1 0 3 / 2 1/ 2 1 12 1

2 / 2/ 22 1

0 0 2 0 0 1 2 22 2

x xx L

Lx LLx

x Lx L

LxL

λ ϕλ ϕ

− − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪− − = − −⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ − −⎢

− −− + −

−− = −−+ = ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4 3

2 1 1 2 0 2 1 1 2 00 3 / 2 3 / 2 0 0 0 3 / 2 3 / 2 0 00 0 1 1 1 0 0 1 1 10 0 1 2 2 0 0 0 1 3 3 não verifica a cond. 0L L ϕ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − − = − ≥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+

Portanto max (0,0) 0f f= = .

2) (a) Curvas de nível: 3

3 ou 3 ,1

x y C y x C f ⎡ ⎤+ = = − + ∇ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Domínio: círculo de raio 5 e centro ( 1, 1)− − 2 2( 1) ( 1) 5x y+ + + ≤

MaxA

(1,0) 3, (0,0) 0Max f f Min f f= = = =

Os pontos correspondentes ao mínimo e ao máximo encontram-se na fronteira do domínio, portanto em

ambos tem-se 0λ > . Como, obrigatóriamente, 0Lx

∂ =∂

fica

No ponto de máximo: 1x = e 3 2 2 0 3 2 2 0 3 / 4xλ λ λ λ λ− − = ⇔ − − = = No ponto de mínimo: 0x = e 3 2 2 0 3 2 0 3 / 2xλ λ λ λ− − = ⇔ − = =

Os preços sombra são 3 3,4 2

.

(b) f x y= +

Curvas de nível: x y K+ =

A curva de nível correspondente ao máximo deve ser tangente á fronteira do círculo

2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 2 3x y K x K yx Ky x y Ky y y K y y+ + + = −+ = = −⎧ ⎧

⎨ ⎨+ − + =⎩ + +⎩

2 22 22 3 0Ky

y Kyx

KK− +

= −⎧⎨

+ − =⎩

2 2

2

(8 16 24) 0

4 6 0 2

4

10

K K

K

K

K K

− + − =

+ − = ⇒ = − ±

Δ =

No 1º Q é 2 10 0K = − + > , então

2 22

10..... 12

102 (2 0 4) 7 4 10 0 12

2

10 22 3y

xx yx

y yx

yy

⎧= −⎪⎧ + =⎪ ⎪

⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ − − + − = → = −

++

−+ +

⎩=

⎪

ou

2 10 10 101 2 10 1 12 4 2 2 2 2

0 :c

b K Ky x K

omo

ya

− −= = − = = − + = − = − + + − =

=

−

Δ

e 10 101 , 1 10 22 2Maxf f

⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Grupo II

3)

'1 2 3 3

'1 2 3 3

'1 2 3 3 1

'2 2

3 3 3

2 55 6 15

min 2 2 3 3 10 sujeito a 05

0

3

0

3x x x xx x x x

z x x x x xx xx x x

+ −

+ −

+ −

+ −

⎧ + − + ≤⎪ + ≥⎪⎪= − − + − + ≥⎨⎪ = + ≥

−

−

+

⎪⎪ = ≥⎩

R: min z = -5/4 em (x1 ; x2 ; x3) = (15/4 ; -5 ; -5/4)

x1 x2' x3+ x3-­‐ x4 x5 x6 TIL1  +3L2 -­‐2,0 -­‐2,0 3,0 -­‐3,0 0,0 0,0 M -­‐10,0L2  /  1,0 1,0 2,0 -­‐1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 5,0 x4 delta  = 5,0L3  +3L2 5,0 6,0 3,0 -­‐3,0 0,0 -­‐1,0 1,0 15,0 x6 delta  = impL1  -­‐4L3 1,0 4,0 0,0 0,0 3,0 0,0 M 5,0L2  -­‐2L3 1,0 2,0 -­‐1,0 1,0 1,0 0,0 0,0 5,0 x3-­‐ delta  = 5/2L3  /  12 8,0 12,0 0,0 0,0 3,0 -­‐1,0 1,0 30,0 x6 delta  = 5/2L1  +5/3L3 -­‐5/3 0,0 0,0 0,0 2,0 1/3 -­‐5,0L2  +1/3L3 -­‐ 1/3 0,0 -­‐1,0 1,0 1/2 1/6 0,0 x3-­‐ delta  = impL3  *  3/2 2/3 1,0 0,0 0,0 1/4 -­‐1/12 5/2 x2' delta  = 15/4

0,0 5/2 0,0 0,0 21/8 1/8 5/40,0 1/2 -­‐1,0 1,0 5/8 1/8 5/4 x3-­‐1,0 3/2 0,0 0,0 3/8 -­‐ 1/8 15/4 x1

4) O dual ficará:

1 3

1 2 3

2 31 2 3

1

2

3

5 22 1

3 3min 10 20 sujeito a

00

y yy y yy y

w y y yyyy livre

+ ≥⎧⎪− + + ≤ −⎪⎪ + = −⎪= + + ⎨ ≥⎪⎪ ≤⎪⎪⎩

5) O quadro ficará:

X1 X2 X3 X4 X5 0 1 1 0 - 10 0 -4 1 1 - 9 X4 1 -1/2 1/2 0 - 5 X1

A variável em falta na base é X4, porque a sua coluna tem tudo a zeros, exceto na restrição onde tem 1. Toda a coluna do X5 ficará vazia porque é a variável artificial (Big M), visto das duas variáveis introduzidas na restrição, X4 encontra-se na base. A coluna do X1 ficará [0 0 1] visto X1 estar na base. Na base os valores serão: X4 = 1x10 – 1x1 = 9 X1 = 1/2x10 = 5 Max z = 2x5 – 2x0 = 10 Na função objetivo os coeficientes ficarão: X2 = 2 – 4x0 – 1/2x2 = 1

X3 = 1x0 + 1/2x2 = 1

Grupo III

6.

a. Uma fábrica de confeções produz dois artigos A e B, sendo os seus preços de 40 e 10 euros respetivamente. A produção de cada artigo A necessita de 3m de tecido algodão, 4m de lycra e 1m de seda, ao passo que cada artigo B necessita de 1m de tecido de algodão, 3 m de lycra e 2m de seda. Planifique a produção de modo a obter um produto da venda máximo se a fábrica só tem em stock, 30m de tecido de algodão, 60m de lycra e 40m de seda.

b. Resolução gráfica

2 12 10kx x= − +

Intersecção: 1 2 1

1 2 2

4 3 60 63 30 12x x xx x x+ = =⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩

max 240 em (6,12)z =

R.: O máximo de z corresponde, em termos gráficos, ao maior valor da ordenada da origem (b) da função objetivo, (b=k/10) e que se encontra no domínio constituído pelas restrições do problema.

c)

1 2

2 1

10

10 10

z ax xa z

x x

= +

= − +

logo, para que não se altere a base, a tem de ser tal que a inclinação da recta esteja entre as 2 rectas dadas por:

2 11 2

2 11 2

30 33 304204 3 60 3

x xx xx xx x

= −+ == −+ =

⎧⎧ ⎪⎨ ⎨⎩ ⎪⎩

 

Assim, a tem de: 4

310 3

4030

3

a

a

− ≤ − ≤ −

≤ ≤

Grupo IV

7. a.

1x : nº de produtos A (produzidos diariamente)

2x : nº de produtos B (produzidos diariamente)

(Restrições em HORAS, SEM FRAÇÕES)

1

1

221 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 82 161 248

max 10 20 . 3321 1 8 , 04 4

, 0

xxxx

z x x s ax x

x x x x

x x

⎧ ≤⎪≤⎧⎪

⎪⎪ ≤≤⎪ ⎪ = + ⇔⎨ ⎨ + ≤⎪ ⎪+ ≤⎪ ⎪ ≥⎩⎪

⎪ ≥⎩

b. i. Determinação do intervalo de sensibilidade de 2C .

0

2 2 20C C= + Δ = + Δ Quadro inicial:

1 2 3 4 510 (20 ) 0 0z x x x x x− − + Δ − − 0 − 0 = ….

Quadro final:

1 2 4 50 (0 ) 10 560z x x x x+ + −Δ +10 + = ….

Como 2x é uma variável básica, então tem que ter coeficiente igual a zero na função objetivo do quadro

final, portanto 1 1 3L L L→ +Δ .

( )

2 2 4 4 5 5

4 5

10 0 560 24

10 560 24

z x x x x x x

z x x

−Δ + Δ + 10 + Δ + + Δ = + Δ

+ + Δ + 10 = + Δ

Como os coeficientes da função objetivo têm que ser todos não negativos:

2

10 010 20 10 20 10

10 0C

+Δ ≥⎧⇔ Δ ≥ − ⇔ Δ + ≥ − + ⇔ ≥⎨ ≥⎩

Como: [ [0

2 2 20 3 17 10,C C= +Δ = − = ∈ +∞

Então: max 560 24 488€z = + Δ =

R.: Sim, o diretor tem razões para se preocupar, pois o lucro diminuiu cerca de 13% em vez de 6%.

b. ii. Determinação do intervalo de sensibilidade de 3b .

0

3 3 32b b= +Δ = +Δ Quadro inicial:

1 2 5 32x x x+ + = +Δ

Tudo o que acontece à variável de folga 5x , acontece a Δ , então:

.

4 5.

3 4 5

2 4

4 5

10 10 560 10

824 08

x x

x x xx xx x

⎧ + = + Δ⎪⎪⎪ + − = −Δ⎨⎪ + = + Δ⎪− + = + Δ⎪⎩

Como as variáveis básicas têm que ser não negativas, fica:

3

8 0 88 8 24 32 40 24 40

8 0 8b

−Δ ≥ Δ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔− ≤ Δ ≤ ⇔ ≤ +Δ ≤ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨+Δ ≥ Δ ≥ −⎩ ⎩

[ ]03 3 32 4 36 24,40b b= +Δ = + = ∈

O lucro passa a ser de:

max 560 40 600€z = + =

R.: O lucro aumenta 40€, e é uma boa decisão, pois embora o aumento de 1 hora de trabalho de M3, tenha o custo adicional de 15€, ainda assim a margem de lucro é de 25€.

7. EMBORA NÃO ESTEJA DE ACORDO COM O QUADRO FINAL DO SIMPLEX DADO, CONSIDEROU-SE CORRECTA A SEGUINTE RESOLUÇÃO: a.

1x : nº de produtos A (produzidos diariamente)

2x : nº de produtos B (produzidos diariamente)

(Restrições em MINUTOS)

1

21 2

1 2

1 2

30 48020 480

max 10 20 .15 15 480, 0

xx

z x x s ax x

x x

≤⎧⎪ ≤⎪ = + ⎨ + ≤⎪⎪ ≥⎩

b. i. Determinação do intervalo de sensibilidade de 2C .

(ESTA ALÍNEA NÃO SOFRE ALTERAÇÕES)

b. ii. Determinação do intervalo de sensibilidade de 3b .

0

3 3 480b b= +Δ = +Δ Quadro inicial:

1 2 5 480x x x+ + = +Δ

Tudo o que acontece à variável de folga 5x , acontece a Δ , então:

.

4 5.

3 4 5

2 4

4 5

10 10 560 10

824 08

x x

x x xx xx x

⎧ + = + Δ⎪⎪⎪ + − = −Δ⎨⎪ + = + Δ⎪− + = + Δ⎪⎩

Como as variáveis básicas têm que ser não negativas, fica:

3

8 0 88 8 472 480 488 472 488

8 0 8b

−Δ ≥ Δ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔− ≤ Δ ≤ ⇔ ≤ +Δ ≤ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨+Δ ≥ Δ ≥ −⎩ ⎩

[ ]03 3 480 60 540 472,488b b= +Δ = + = ∉

3

2

1

560 10 11608 5224 0 248 68

zxxx

= + Δ =⎧⎪ = −Δ = −⎪⎨ = + Δ =⎪⎪ = +Δ =⎩

Novo quadro:

lucro passa a ser de:

max 640€z =

R.: O lucro aumenta 80€, e é uma boa decisão, pois embora o aumento de 1 hora de trabalho de M3, tenha o custo adicional de 15€, ainda assim a margem de lucro é de 65€.

Z 1x 2x 3x 4x 5x 0 0 0 10 10 1160 0 0 1 1 -1 -52 3x 5x 0 1 0 1 0 24 2x 1 0 0 -1 1 68 1x 0 0 10 0 0 640 0 0 -1 -1 1 52 5x 0 1 0 1 0 24 2x 1 0 0 0 0 16 1x