f2q mat 2017 - comvest · † mat entadas † ma ão matemática no ensino problemas e matemática...
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MATEMÁTICA2ª FASE
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2ª Fase
Provas Com
IntroduçA prova de apresentadocorreta dos questões deobjetivos, te A média ger24 pontos, da prova, o A seguir, paanálise do daproveitame
QuestãoDiversas padcidade de Cesses produt
a) Determi
produto b) Conside
Suponhapreços p
ObjetivoAvaliar o con
Resposta) (2 ponto
Para o cafez
com leite, o
b) (2 pontoNo cafezinhestabelecimecustam $$2,00. Log$2,00
e • Mat
entadas • Ma
ção Matemática
o no Ensino problemas e
e Matemáticaendo cada qu
ral de desemcom um desvque é desejá
ara cada quesdesempenho ento deste ma
o 13 darias e lanc
Campinas regtos com um v
ne a variaçãoos.
ere a proporça que o preçpraticados no
o da Quenhecimento s
ta Esperas)
zinho, o aum
aumento pe
os) ho com leite ento B um c$3,00 40go, o preço $100,00.
temátic
atemática • 2
procura seleFundamenta a apresenta aplicadas naestão focaliza
mpenho dos cvio padrão dvel para uma
stão aplicadados candidaaterial.
honetes vendistrou uma vvolume de 60Produto Cafezinho Cafezinho c
o percentual
ção de café ço cobrado so estabelecim
estão sobre porcen
ada
mento percen
rcentual é de
são servidoscafezinho de/60que está se
ca
2ª Fase
ecionar candial e Médio. Ação de respo
a segunda fasado mais de
candidatos nae 6,3 pontos
a seleção ade
, apresentamtos. Além dis
dem o “cafevariação gran0 , conform
om leite
dos preços
e de leite see refere apeento B, calcu
tagem e varia
ntual é de $
e $ , $ ,$ ,
s 1/3 60e 60 custa$2,00. Portando cobrado
datos com uA leitura ate
ostas claras sãse do Vestibuum tópico do
a prova de Ms. Esses resulquada.
mos o enunciasso, fazemos
zinho” e o “de de preços
me mostra a t
AR$ 2R$ 2
do estabelec
ervida nessesnas às quant
ule o valor qu
ação percent
$ , $ ,$ ,100%
20 dea $3,00, oanto, os 20o por um litr
um conhecimenta dos enuão indispensáular 2017 foro programa,
Matemática fotados caracte
ado, os objets alguns com
“cafezinho cos entre dois etabela abaixo
A2,002,50
cimento A pa
s dois produtidades de cae está sendo
tual.
100% 0,50,6 100%
e leite e 2/3s 40 de c
de leite sro de leite (1
ento crítico eunciados das áveis para o sam originais,no intuito de
oi igual a 10,2erizam um g
tivos, uma reentários gera
om leite”. Umestabelecimeno.
BR$ 3,00R$ 4,00
ara o estabele
tos conformeafé e de leitecobrado por
5 100% 560%.
3 60 4café servidosservidos custa1 1000
e integrado s questões, asucesso do c, com enuncie integrar con
2 pontos, derau médio d
esolução detaais, visando a
ma pesquisa ntos, A e B,
ecimento B,
e indica a fie servidas. Cor um litro de
50% e, para
40 de cafs no cafezinham $4,00
50 20
do conteúdoa formulaçãocandidato. Asados claros e
nhecimentos.
e um total dee dificuldade
alhada e umaa um melhor
realizada naque vendem
para os dois
gura abaixo.om base nosleite.
o cafezinho
fé. Como noho com leite
$2,00) é 50
o o s e
e e
a r
a m
s
. s
o
o e
1
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2ª Fase
Provas Com
DesempA nota médprova de Mresolução.
ComentEmbora de praticados nestabelecimeapresentada
QuestãoSejam umplano cartes
a) Determirespectiv
b) Conside. S
ObjetivoAvaliar a cagráfico da ppara manipu
e • Mat
entadas • Ma
penho doia dos candidatemática, o
tários Gefácil solução
nos estabelecento. Além a através de f
o 14 m número reasiano, conside
ne no casovo gráfico pa
ere os pontosSabendo que
o da Queapacidade deparábola que ular coordena
temátic
atemática • 2
os candiddatos nessa q que é comu
rais o, a questãocimentos A e
disso, no itiguras fazia r
al e ere a parábol
o em que a ara 0 4s de coordeno ponto méd
estão e extrair info
a representaadas cartesian
ca
2ª Fase
datos questão foi igum acontecer
o requer atene B e não entem b era referência aos
4 ua dada pelo g
abscissa e a 4. nadas dio do segme
ormações bása, e explorar nas de ponto
gual a 3,0, cor com a prim
nção para setre os preçosimportante s volumes e n
uma função gráfico de
ordenada d
, e ento é
sicas da expo conhecime
os sobre gráfic
om um desviomeira questão
e calcular a s do cafezinhque o cand
não aos preço
quadrática d.
o vértice da
, , 1, , dete
ressão de umento sobre tracos.
o padrão de 1o, que, por tr
variação perho e do cafedidato perceos.
efinida para
parábola têm
onde e ermine e .
ma função qaçado de par
1,2. Foi a maradição, é a
rcentual entezinho com leebesse que
todo númer
m soma nula
são número.
quadrática, arábolas. Aval
aior média dade mais fácil
re os preçoseite em cadaa proporção
ro real . No
a e esboce o
os reais com
ssociadas aoiar a aptidão
a l
s a o
o
o
m
o o
2
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2ª Fase
Provas Com
Resposta) (2 pontoPodemos esvértice no pparábola é
4
b) (2 pontoTemos que
/2,equação, Simplificand4 1 21 √3
DesempA nota médabaixo, as Q
ComentUm dos fatoaté segmento cálculo dahabilidade c
e • Mat
entadas • Ma
ta Esperas)
screver ponto 22. Abaixo te
os) ,4
2 edo, obtemos
4 81 ∓ √3. Com
penho doia dos candid
Questões 14,
tários Geores que contos de reta fo
as raízes da ecom as manip
temátic
atemática • 2
ada
42, 4 . Do
4 2, oemos um esbo
,4
e substituind2 4 412, temos
mo , tem
os candiddatos nessa q16 e 17 apre
rais ntribuíram paoram exibidosquação quad
pulações algé
ca
2ª Fase
2enunciado teo vértice é oço da paráb
4 e /2 . Log
do na segu4 0, ou ainas soluções
mos que
datos questão foi igsentaram mé
ra a baixa ms para repres
drática corresbricas necess
4. Logemos que 2
2, 2), pabola para 0
,go, unda equaçnda 2s 1 √3 e
ual a 1,3, coédia e desvio
média desta qsentar uma fuspondente pasárias para a
go, a parábo4 0,
ara 0 tem4.
4 . O p2 e ão, temos 2 0. Calc
√ √
1 √3.
m um desviopadrão muito
questão foi o unção quadráara esboçar oresolução do
la dada pelo ou seja,
mos 0
ponto médio4 4 .
que culando o dis1 √3. Po
padrão de 1o próximos.
esboço incoática. Observa gráfico. Um item b.
gráfico de 2. Assim, a2 e para
o é, então, Tomando, 2 4scriminante,ortanto,
,4. Como se
orreto do gráar que não e outro fator
tem equação da
4 temos
1,da primeira
4 2 . ∆ 22 2
rá observado
fico, em quera necessáriofoi a falta de
m a s
a .
o
e o e
3
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2ª Fase
Provas Com
QuestãoA figura abcompriment
a) Determide 6
b) Para retângu
ObjetivoAvaliar a casistema linea
Resposta) (2 pontoIndicando o
6 da11 2 9
b) (2 pontoUma vez quser retângulde Pitágoras4 4
e • Mat
entadas • Ma
o 15 baixo exibe ttos , e , r
ne os valores e a distância
2 e lo.
o da Quepacidade de ar, bem como
ta Esperas) s comprimen5 ,
a segunda e9 e, portanto,
os) ue e o, o comprims, e, portanto,
temátic
atemática • 2
três círculos respectivamen
s de , e a entre e
3 , determ
estão relacionar co
o de aplicar o
ada
ntos dos raio6
equação e su, 1 . D
, o compmento da hip
2 20, o q
ca
2ª Fase
no plano, tante.
, sabendo qué de 9 .
mine o valor
orretamente o Teorema de
s nos círculo e ubstituindo nDaí obtemos
primento do motenusa é
, ou sque implica qu
angentes do
ue a distância
de de
os comprimee Pitágoras.
os, como exib9
na terceira e5 1
maior lado d e o comp
seja, 3ue 10
is a dois, co
a entre e
modo que o
entos de raio
be a figura ab. Tomando
quação, obte4 e 6
o triângulo éprimento dos
2 3.
om centros e
é de 5 ,
triângulo de
os de círculos
baixo, podemo 5 emos 56 1 5
é . Assims catetos,
2 . L
em , e
a distância e
e vértices em
s tangentes e
mos construirda primeira
6.
m, como o tr e . P
Logo, 9 6
e raios de
entre e é
, e seja
e resolver um
r as relações:a equação e
9, ou seja,
iângulo devePelo Teorema
25
e
é
a
m
: e ,
e a
4
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2ª Fase
Provas Com
DesempA nota médmuito próximusual na pro
ComentOs candidatGeometria Pno item a, oum valor alede modo a a
QuestãoSabendo qu a) Mostre q b) Determi
(PA), cuj
ObjetivoAvaliar o coprova de umnuméricos d
Resposta) (2 ponto
Observe que
uma raiz de
b) (2 ponto
e • Mat
entadas • Ma
penho dodia dos candima da médiaova de Matem
tários Geos obtiveram
Plana estão seonde um sisteeatório a umaaplicar corret
o 16 e e são n
que, se é u
ne os valoreja razão é igu
o da Quenhecimento
m resultado sdo polinômio.
ta Esperas)
e 0, pois. Como
e .
os)
temátic
atemática • 2
os candididatos nessa a da primeiramática.
rais m notas acimaendo bem abema linear bea das variáveiamente o Teo
números reais
ma raiz de
s de e pual a 2 .
estão do conceito simples. Aval.
ada
s 0 1o é uma rai
ca
2ª Fase
datos questão foi
a questão, e m
a da média nbsorvidos peloem simples des. No item b orema de Pitá
s, considere o
, então 1/
para os quais
básico de raiziar a habilida
0. Assim, tez de , te
igual a 2,7, muito afasta
esta questãoos alunos do everia ser corera essencialágoras.
o polinômio c
/ é uma raiz
s a sequência
z de polinômade para calc
emos que
emos que
com um desda da média
o, o que talveEnsino Básico
rretamente rel identificar o
cúbico
z do polinômi
a 1 , 0
mio e a capaccular a razão
0 e, por
svio padrão ddas outras q
ez indique quo. Podemos oesolvido, muit maior lado d
o
0 , 1 é um
idade de encde uma PA
rtanto,
de 1,6. Essaquestões. Ess
ue os conceitoobservar, no tos candidatodo triângulo
1.
ma progressã
cadear de forcujos termo
10, ou
média ficouse fato não é
os básicos deentanto, queos atribuíramapresentado,
1.
ão aritmética
rma correta as são valores
1u seja, 1/ é
u é
e e
m ,
a
a s
é
5
-
2ª Fase
Provas Com
Temos que 2 8 42 0
igualdade, o9 2 1
DesempA nota méd
ComentO desempenavaliação dogeral, é de pontos preecuja resoluçinvés do valo
QuestãoSabendo qu
a) Seja
quadrad
b) Para
e • Mat
entadas • Ma
14 2 1
1obtemos dire
e, portan
penho doia dos candid
tários Genho dos cando polinômio grande dificu
estabelecidos,ão fornecia aor correto
o 17 e é um nú
a matriz dosdos dos eleme
2, encontre
temátic
atemática • 2
1 19 4 21 0 ,
etamente qunto, 8.
os candiddatos nessa q
rais didatos, nestaem um pontuldade para , a aplicação a solução req2 , fato que
úmero real, co
s coeficienteentos da mat
e a solução d
ca
2ª Fase
1 , 2 . Como , ou seja, ue 0. Su
datos uestão foi ig
a questão, ficto, sua resolos estudanteda condição
querida. Entrcontribuiu pa
onsidere o sis
s desse sistetriz é igual
do sistema lin
0 0 01 , 0 ,
9 4 2ubstituindo es
ual a 1,2, com
cou abaixo daução exige ues. No item bo de PA davaretanto, muitara uma méd
stema linear n
2 43
2 4
mx zx y z
x mz
ema. Determà soma dos e
ear para a qu
0 1 1,1 é um
2 1sse resultad
m um desvio
as expectativaum encadeamb, após a oba origem a uos candidato
dia tão baixa n
nas variáveis
4,3,4.
mine os valorelementos da
ual o produto
1 1
ma PA com
o na primeir
padrão de 1
as. Embora omento lógico btenção dos vm sistema sim
os utilizaram na questão.
, e :
es de paa matriz
o é mínim
1
razão 2 ,2 1. D
ra igualdade
,4.
o item a envoo mais formavalores do pmples de duo valor 2 co
ara os quais ∙ .
mo.
2 e temos quea segunda
e, temos que
olva apenas al, o que, emolinômio emas equações,mo razão ao
a soma dos
e e a e
a m m , o
s
6
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2ª Fase
Provas Com
ObjetivoO candidatocalcular o qanalisando o
Resposta) (2 ponto
A matriz dos
elementos d,
2A A A
A soma dos 2 10
b) (2 pontoPara 2,
Note que aSubstituindoinfinitas soluproduto dasproduto é uuma parábodessa paráb
e • Mat
entadas • Ma
o da Queo deveria efequadrado deso mínimo de
ta Esperas)
s coeficientes
da matriz é
01 12 0
mA
elementos d11. Para q
os) temos o sist
a primeira e o na segunduções: para qs variáveis emma função q
ola com a conola tem absc
temátic
atemática • 2
estão etuar operaçõssa matriz. Duma função
ada
s do sistema
igual a
21 1
2
m
m
e é, entãoque ,
ema linear
a terceira eda equação, qualquer núm
m qualquer soquadrática nancavidade voissa em 1
ca
2ª Fase
ões com os Deveria aindaquadrática.
linear é dada
0 2
0 21 10 m
o, devemos ter
equações são2
mero real , olução é dadoa variável , coltada para ci1. Portanto, a
elementos da encontrar a
a por 12
mA
1 12 0 41 2
2 0 2
mmm
4 0 42 11
2 2
2 2
x zx y z
x z
o iguais. Da
3, co,
o por cujo coeficienima, cujo véra solução pro
a matriz dosas soluções
0 21 10 m
.
1 1 2
4 0 02 0 1 02 0 0m
1 1
2 10
4,3,4.
primeira eqncluímos qu1 e 2
1 2nte quadráticrtice fornece ocurada é
s coeficientesde um sistem
A soma dos
0
0 2 00 2 10 4 0
m 1 4
11, ou seja
uação, podee 1. A é uma solu
2o é positivo. o valor mínim
1,
s de um sistma linear ind
s quadrados d
2 11.
2
2
4
m mm mm
4 0a, 0.
emos escreveAssim, esse ução. Temos 2
O gráfico demo do produ1 e 2
ema linear edeterminado,
dos
Calculando
2 4 01 1
4 0m m
m m
4
er 2 .sistema tementão que o1 1. Esse
essa função éuto. O vértice
1.
e ,
2
41 .4
mm
m
. m o e é e
7
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2ª Fase
Provas Com
DesempA nota méd
ComentApesar de ocom potêncresolução. Aestudantes,
QuestãoSabendo qu
a) Seja um
b) Para
ObjetivoAvaliar a cap
Resposta) (2 pontoTemos que cos , ob2 2
b) (2 pontoPara 3, 3 sen18 sen0 2 ,
e • Mat
entadas • Ma
penho doia dos candid
tários Geo tema Sistemcia de matrizeAlém disso, nque atribuíra
o 18 e é um núm
m número re
3, encontre
o da Quepacidade de m
ta Esperas)
2 sbtemos 2 sen cos
os) temos que cos2 cos
, temos as so
temátic
atemática • 2
os candiddatos nessa q
rais mas Lineares ses e obtençãono item b, o am valores nu
mero real, co
eal tal que
e todas as sol
estão manipular fu
ada
en 2 cos2 2 sen
cos 1
3 sen3 sen
16 senluções
ca
2ª Fase
datos uestão foi ig
ser intensameo do valor msistema linea
uméricos inte
onsidere a fun
0. Mostruções da equ
nções e equa
2 2 secos 2 co2 cos
n coscos 92 10, o
/4 ou 3
ual a 1,1, com
ente abordadmínimo de umar resultante iros às variáv
nção
re que 2
uação
ações trigono
en cosos 1. C
1. Como
9 sen9 sen
ou seja, sen/4 ou 5
m um desvio
do na Educaçma função qu
é indeterminveis, tentando
sen cos1.
1
ométricas.
cos seColocando 2
0, obt
6 sen cos6 sen cos
. Tem5 /4 ou
padrão de 1
ção Básica, a adrática torn
nado, fato não encontrar a
s , definida p
10 para 0
en . Subst2 cos em temos 2
s coscos . L
os então que7 /4.
,3.
combinação naram a quesão muito com solução.
para todo nú
2 .
tituindo senevidência, c0 1
e Logo,
e sen √
desse tópicostão de difícilmum para os
mero real .
n por1chegamos a1.
e, como
o l s
a
8
-
2ª Fase
Provas Com
DesempA nota médProva de Ma
ComentO item a deexpressões necessária cfunção senosimples, de propriedadeProva de Ma
e • Mat
entadas • Ma
penho doia dos candidatemática, o q
tários Geepende da aenvolvendo
certa habilidao é ímpar e acordo com
es, o que inviatemática e d
temátic
atemática • 2
os candiddatos nessa qque pode ser
rais plicação de senos e cos
ade para a da função coa restrição imiabiliza uma
do Exame.
ca
2ª Fase
datos questão foi igr justificado p
identidades tssenos, assundedução exigosseno é par mposta no enresolução co
ual a 0,9, copela dificuldad
trigonométricntos considegida. No item
para a análnunciado. Pororreta. Soma
m um desviode do tema T
cas, como a rados difícei
m b, era funise das soluçrém, vários caa-se a tudo is
padrão de 1Trigonometria
do arco dups pelos cand
ndamental o ções de umaandidatos fazsso o fato de
,3. Foi a mena.
plo, e da madidatos. Alémconhecimen
a equação trizem confusãoe ser a última
nor média da
nipulação dem disso, erato de que aigonométricao entre essasa questão da
a
e a a a s a
9
MAT_F2.pdfPágina 1