UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL

ESCUELA DE INGENIERÍA

CABUDARE

Fabio rodriguez CI: 18.735.056

Estructuras Discretas II -2016/02- Adriana Barreto- SAIA A

1- Dado el siguiente grafo, encontrar:

a)Matriz de Adyacencia

b) Matriz de incidencia

c) Es conexo?. Justifique su respuesta

d) Es simple?. Justifique su respuesta

e) Es regular?. Justifique su respuesta

f) Es completo? Justifique su respuesta

g) Una cadena simple no elemental de grado 6

h) Un ciclo no simple de grado 5

i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor

j) Subgrafo parcial

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury

l) Demostrar si es hamiltoniano

Solución

a) Matriz de Adyacencia

Ma (G)=

b) Matriz de Incidencia

Mi (G) =

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V1 0 1 1 1 0 6 1 1

V2 1 0 1 0 1 1 0 1

V3 1 1 0 1 1 1 1 0

V4 1 0 1 0 1 0 1 0

V5 0 1 1 1 0 1 1 1

V6 0 1 1 0 1 0 0 1

V7 1 0 1 1 1 0 0 1

V8 1 1 0 0 1 1 1 0

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

A1 1 1 0 0 0 0 0 0

A2 1 0 1 0 0 0 0 0

A3 0 1 1 0 0 0 0 0

A4 1 0 0 1 0 0 0 0

A5 1 0 0 0 1 0 0 0

A6 1 0 0 0 0 0 1 0

A7 0 0 1 0 0 0 0 1

A8 0 1 0 0 0 1 0 0

A9 0 1 0 0 0 0 1 0

A10 0 1 0 0 0 0 0 1

A11 0 0 1 1 0 0 0 0

A12 0 0 1 0 1 0 0 0

A13 0 0 1 0 0 1 0 0

A14 0 0 0 1 0 1 0 0

A15 0 0 0 1 1 0 0 0

A16 0 0 0 0 0 1 0 1

A17 0 0 0 0 1 1 0 0

A18 0 0 0 0 1 0 1 0

A19 0 0 0 0 0 1 1 0

A20 0 0 0 0 0 0 1 1

c) Es conexo?

Si es Conexo, ya que según la definición, nos dice que para cualquier par

de vértices a y b en (G) existe al menos una trayectoria de (a) a (b) donde

tienen un camino que los une.

d) Es Simple?

Si es simple, ya que no posee lazos en ninguno de sus vértices.

e) Es Regular?

Para que sea regular deben poseer los mismos grados y en este caso, No

es regular, ya que no todos sus vértices tienen los mismos grados, como:

V1= 5, V2= 5, V3= 6, V4= 4, V5= 6, V6= 4, V7= 5, V8= 5

f) Es Completo?

No es completo, ya que no cumple con la definición de una arista pues, no

existen vértices, digamos (V1 y V6) no posee ninguna arista que los

conecte.

g) Una cadena simple no elemental de grado 6

C=[v1 a1 v2 a10 v6 a16 v5 a14 v4 a11 v3 a3 v2] Nos indica que no es

elemental, ya que repite el vértice [v2]

h) Un ciclo no simple de grado 5

C= [v5 a19 v8 a18 v7 a17 v5 a19 v7 a9 v2] Nos indica que no es simple,

porque repite la arista [a19].

i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor

Elegimos S1=V1 Haciendo H1=[V1]

Elegimos la arista A4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2=[v1,v4]

V1

A4

V4

Elegimos la arista a15 que conecta a V4 con V7 haciendo H3=[v1 v4

v7]

V1

A4

V4

A15

V7

Eligimos la arista a17 que coneta a V7 con V5 haciendo H4[v1 v4 v5]

V1

A4

V5

V4 A17

A15

V7

Elegiremos la arista A19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[v1

v4 v8]

V1

A4

V5

A19

V4 A17

A15 V8

V7

Elegiremos la arista A20 que conecta V8 con V6 haciendo H6=[V1 v4

v7 v5 v8 v6]

V1

A4

V5 V6

A19

V4 A17 A20

A15 V8

V7

Elegiremos la arista A10 que conecta a V6 con V2 haciendo H7=[v1

v4 v7 v5 v8 v6 v2]

V2

V1 A10

A4

V5 V6

A19

V4 A17 A20

A15 V8

V7

Elegiremos la arista A3 que conecta a v2 con v3 haciendo H8=[v1 v4

v7 v5 v8 v6 v2 v3]

V3 A3 V2

V1 A10

A4

V5 V6

A19

V4 A17 A20

A15 V8

V7

Árbol Generador

j) Subgrafo parcial

V1 v2

V3

A2

a3

v4

v6 v8

a15

v5 a17 a20

v7

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury

Seleccionamos a1

Seleccionamos a3

Seleccionamos a2

Seleccionamos a4

Seleccionamos a11

Seleccionamos a12

Seleccionamos a5

Seleccionamos a6

Seleccionamos a9

Seleccionamos a10

Seleccionamos a7

Seleccionamos a13

Seleccionamos a14

Seleccionamos a15

Seleccionamos a18

Seleccionamos a20

Seleccionamos a16

El grafo no es auleriano, ya que los vértices no tienen grado par, lo cual no es

posible construir un ciclo euleriano.

l) Demostrar si es hamiltoniano

V1 v2

A2

A3

A14 v3 a10

V4 v5 v6

A15 a17 a19 a20

V7 v8

Es Hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr (v1) ≥ 8/2=4

(i=1,2,8)

2- Dado el siguiente dígrafo

a) Encontrar matriz de conexión

b) Es simple? Justifique su respuesta

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

d) Encontrar un ciclo simple

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo

de Dijkstra

a) Encontrar matriz de conexión

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14

V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

b) Es simple? Justifique su respuesta

El dígrafo si es simple, porque no tiene ningún lazo y tampoco existen

arcos paralelos que puedan partir de un mismo vértice a otro.

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

v1

v4

a6 a11 a12

a13

v5 v6

a14

C= [v1 a6 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 a13 v6]

d) Encontrar un ciclo simple

V4

A11 a12

V5

A14

C=[ v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 ]

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

Ma(D)=

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 1 1 0 1 0

V2 0 0 1 1 0 1

V3 0 0 0 1 1 0

V4 1 0 0 0 0 1

V5 0 1 0 1 0 1

V6 0 0 0 0 1 0

M ² (D)=

M ³ (D)=

M ⁴ (D)=

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 0 1 1 1 1

V2 1 0 0 1 1 1

V3 1 1 0 1 0 1

V4 0 1 1 0 1 0

V5 1 0 1 1 1 1

V6 0 1 0 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 0 1 1

V4 0 1 1 1 1 1

V5 0 1 1 1 1 1

V6 1 0 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 0 1 1 1 1

V3 0 1 1 1 1 1

V4 1 1 0 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 0 1

M ⁵ (D)=

Acc (D)= Bin

Componentes iguales a cero (0) permanecerá como cero (0)

Componentes diferentes de cero (0) se convertirá en uno (1)

Acc (D)= Bin

Dígrafo Fuertemente Conexo

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 1 1 1

V4 1 1 1 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 3 4 5 4 5 4

V2 4 2 5 5 5 5

V3 3 4 3 4 4 4

V4 4 4 3 5 4 4

V5 3 4 4 5 4 5

V6 3 3 3 4 1 4

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 1 1 1

V4 1 1 1 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 1 1

f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo

de Dijkstra

[2,2](1) v1 a1 v2 [0],(0)

A6

A5 [3,2](1) a2 a3 a4

A9

V3 v4

A7 a12

A10 a11

V6 [3,2](1)

[3,2](1) V5 a13 a14

Dv2 a v1: 2

Dv2 a v3: 3

Dv2 a v5: 3

Dv2 a v4: 4

Dv2 a v6: 3

Ponderación de las aristas

Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3