factorizacion
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FACTORIZACION
Se resuelven los casos mas comunes de factorización.
1. FACTORES Y PRIMOS
Se sabe que si a y b son números reales, entonces en el producto a b se dice que a y b son factores de a b. Así, por ejemplo, 4 y 5 son factores de 20 porque 4 5 = 20Los números naturales que tienen exactamente dos factores diferentes, 1 y él mismo se llaman números primos. Por consiguiente los números 2,3,5,7,11,13... son números primos.
Los números naturales que no son primos y que son diferentes de 0 y 1 se llaman números compuestos. Luego 4,6,8,9,10,12,14,15,16,... son números compuestos.Cuando un número compuesto se escribe como un producto de números primos, se dice que se ha factorizado compuesto que se ha descompuesto el número completamente en factores primos. Si no se tiene en cuenta el orden de los factores, todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una y solo de una manera.
Ejemplos:
a) 120 factorizado completamente, se escribe:
Con las experiencias algebraicas suceden hechos similares. Si una expresión algebraica es el producto de otras expresiones algebraicas, entonces cada una de estas últimas se dice que es un factor de la original.
Como (x - 3) (x + 3)= x2 – 9, entonces se dice que (x – 3) y (x + 3) son factores de x2 – 9.
El producto de encontrar factores de una expresión algebraica dada se llama factorizar la expresión.
Factorizar es importante cuando se trabaja con fracciones y solución de ecuaciones. Aquí se consideran procedimientos para factorizar polinomios con coeficientes enteros. Estos polinomios se dice que son primos si sus únicos factores con coeficientes enteros son el mismo y uno. Además un polinomio con coeficientes enteros está completamente factorizado cuando cada uno de sus polinomios factores es primo.
El objetivo de esta sección es aprender a reconocer polinomios que no son primos y estudiar algunos métodos para factorizarlos.
2. FACTOR COMUN
Si todo término de un polinomio contiene un monomio como factor común, entonces, por la propiedad distributiva, el polinomio se puede escribir como el producto del monomio factor común y otra expresión que es el cociente obtenido al dividir el polinomio original por el factor común.
Ejemplo:
a) Factorizar el polinomio 6x3y2 – 3x2y + 9xy.
Solución:
6x3y2 = 2 3 x x x y y 3x2y = 3 x x y9xy = 3 3 x y
El mayor factor común es 3 x y, luego
6x3y2 – 3x2y + 9xy = 3xy (2x2y – x + 3).
Observe que el factor (2x2y – x + 3) se obtiene al dividir el polinomio dado por 3xy.
b) Factorizar –10a3b3c4 – 20a3b2c3 + 5a2b4c4.
Solución:
10a3b2c4 = 5 2 a a a b b c c c c20a3b2c3 = 5 2 2 a a a b b c c c5a2b4c4 = 5 a a b b b b c c c c
El mayor factor es común es 5a2b2c3, luego, al aplicar la propiedad distributiva,
c) Factorizar x2n + xn+2, n Z+.
Solución:
x2n + xn+2 = xn xn + xn x2 = xn (xn + x2)
d) Resolver la ecuación x2 + 8x = 0.
Solución:
X2 + 8x = 0X(x + 8) = 0 factor común x. X = 0 o x + 8 = 0 Si a b = 0, entonces a = 0 o b = 0. X = 0 o x = -8.
Algunas veces, aunque los términos de un polinomio no tienen un monomio factor común, es posible agrupar los términos de tal manera que cada grupo tenga un factor común.
Así:a) Factorizar x2 – 2xy + 7x – 14y.
Solución:
X2 – 2xy + 7x – 14y = (x2 – 2xy) + (7x – 14y) = x(x – 2y) + 7(x – 2y) = (x + 7) (x – 2y)
b) Factorizar 15 d2 – 21 c d + 30 d e – 42 c e.
Solución:
15 d2 – 21 c d + 30 d e – 42 c e = 3(5d2 – 7c d + 10 d e – 14 c e) = 3(5d2 – 7c d) + (10 d e – 14 c e) = 3d (5d – 7c) + 2e(5 d – 7 c) = 3(d + 2e) (5d –7c) = 3(d + 2e) (5d – 7c).
c) Factorizar 42 – 6a3 – 7b2 + a3b2.
Solución:
42 – 6a3 – 7b2 + a3b2 = (42 – 6a3) + (7b2 + a3b2) = 6(7 – a3) + b2 (-7 + a3) = 6(7 – a3) – b2 (7 – a3) = (6 – b2) (7 – a3)
d) Factorizar 3a2 – 7b2x + 3ax – 7ab2.
Solución:
3a2 – 7b2x + 3ax – 7ab2 = (3a2 + 3ax) + (–7b2x – 7 ab2) = 3a(a + x) + 7b2 (– x – a) = 3a(a + x) – 7b2 (x + a) = 3a(a + x) –7b2 (a + x) =(3a – 7b2)(a + x).
EJERCICIOS
1. Factorizar:a) 10xy – 6yz k) 24x3 – 30x2 + 18xb) 7w – 14 L) 13y2 – 39yzc) v3 – 2v2 + 8v m) 44m2 – 22md) 15t2w + 5w n) 10v2 w – 5v we) –7x2z3 + 63xz5 o) 18a2b – 9abf) 5x – 10y p) –15 t3 + 30g) 7x + 42y q) –21 t4 - 63h) 12t + 28r r) 36x3y2 + 42x2y3 – 6x2y2
i) 15r – 21t s) 28 x4y3 – 14 x2y + 42x3yj) 28x3 – 21x2 + 14x t) 5x2y – 10xy2 5x2y2.
2 Factorizar:a) k3 + 2k2 – 10k – 20 L) rs – 7r + 4s - 28b) n3 + 17n2 – 3n – 51 m) 5n – 2n2 – 15m + 6mnc) x2y – xy + 10x – 10 n) 7p – 5p2 + 14q –10pqd) x2 – 2xy + 13x –26y o) 2x2 + 15y 5xy + 6xe) 2x2y – 16xy + 28y p) 3x2 + 28y + 7xy + 12xf) 7xy2 + 21xy – 42x q) 6a2 – 18ab – 10ac + 30bcg) – 6 – 2 y + 3x + xy r) 2xy – 4y2 – 6x + 12yh) 21 – 7z + 3y – zy s) 18st – 24t2 – 9s + 12ti) 56 + 35v + 24w + 15 v w t) a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2
j) 54 + 12r + 45s + 10 rs - 3a2b3x + 3n4xk) 2x2 – 5xy + 6x – 15y
3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 12w2 – 8w = 0 d) 48v2 = 30vb) 14w2 + 28w = 0 e) 11x2 – 2 = 10x2 + 3x - 2c) 32v2 = 56v f) 20y2 – 17 = 18y2 + 10y – 17
4. la diferencia entre la circunstancia de un círculo medida en cm3 y su área medida en cm2 es cero. ¿Cuál es el radio del circulo?
5. La diferencia entre el volumen de un cubo, de arista a, medido en cm3 y su área medida en cm2 es cero. ¿Cuál es la longitud de la arista del cubo?
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS
Al aplicar el producto especial (x + y)(x – y) = x2 – y2 la propiedad simétrica de la igualdad se obtiene la fórmula:
Esta formula se usa para factorizar la diferencia de dos cuadrados. La formula establece que a diferencia de dos cuadrados se puede escribir como el producto de la suma y la diferencia de las raíces cuadradas de los dos cuadrados.
X2 – y2 = (x + y)(x – y)
Ejemplo:
a) Factorizar 9u2 – 49v2.
Solución:
9u2 – 49v2 = (3u)2 – (7v)2
= (3u + 7v) (3u – 7v)
b) Factorizar 4x2 – 25
Solución:
4x2 – 25 = (2x)2 – 52 = (2x +5)(2x – 5)
c) Factorizar u4 – 36
Solución:
u4 – 36 = (u2)2 - 62
= (u2 – 6)(u2 + 6)
d) Resolver la ecuación x2 – 144 = 0.
Solución:
x2 – 144 = 0 x2 – (12)2 = 0 (x +12)(x – 12) x + 12 = 0 ó x – 12 = 0 x = -12 ó x = 12
e) Resolver la ecuación 5w2 – 80 = 0.
Solución:
5w2 – 80 = 0 5(w2 – 16) = 0 5(w2 – 42) = 0 5(w + 4)(w – 4) = 0 w + 4 = 0 ó w – 4 = 0 w = -4 ó w = 4
La formula x2 – y2 = (x + y)(x – y) se aplican únicamente para factorizar la diferencia de dos cuadrados. Por lo general la suma de dos cuadrados no se puede factorizar en los enteros. Así por ejemplo 81 t2 + 4, la suma de dos cuadrados perfectos 81 t2 + 4 = (9t)2 + 22.
Factorizar:
1.a1) x2 –100a2) y2 – 121a3) 4y2 – 81x2
a4) 9x2 – 25y2
a5) 49z2 – 144a6) 64y2 – 169a7) r2 + 49a8) 128z2 – 8y2
a9) 72y2 – 8z2
a10) 147x2 – 3y2
a11) 108y2 – 3x2
a12) –162 t2 + 242u2
a13) –28t2 + 175u2
a14) z3 – 4za15) r3 – 16ra16) x3 – x
2. Resolver cada ecuación:
a) x2 – 81 = 0 f) s3 – 225s = 0b) y2 – 49 = 0 g) 36a2 + 25 = 0c) 4z2 – 121 = 0 h) 81x2 – 1 = 0d) 25w2 – 36 = 0 i) 16z2 – 81 = 0e) 121 v2 + 1 = 0 j) 81x4 – 1 = 0
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
Trinomios cuadrados perfectos
Al aplicar a los productores especiales
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 y (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
la propiedad simétrica de la igualdad, se obtienen las formulas:
estas fórmulas se usan para factorizar trinomios que tienen dos términos cuadrados perfectos y el otro término es dos veces el producto de las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados perfectos. Tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos. Así:
a) Factorizar 2x2y – 36xy + 162y.
a17) 3y2 – 3a18) 2 – 72t2 a19) 5 – 80q2
a20) 2 – 32t2
a21) 4 – 64r4
a22) 16x3y + 100 xya23) 63x4y + 7x2ya24) 16w4 – 1a25) u4 – 81a26) v4 – 400a27) 25y4 – 4a28) 121 – z20
a29) 169 – p10
a30) 98 – 2y6
a31) 192 – 3y8
a32) 15a5 – 60ab6
a33) 20x6y –180y3
a34) 162x5 – 32 xy4
a35) 121k2 – 9
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
Solución:
El mayor factor común es 2y, luego:
2x2y – 36xy + 162y = 2y(x2 – 18x + 81).
El trinomio x2 – 18x + 81
(x)2 (9)2
2 x 9es un trinomio cuadrado perfecto, (x2 – 18x + 81) = (x – 9)2 Luego:2x2y – 36xy + 162y = 2y(x2 – 18x + 81) = 2y (x – 9)2
b) Factorizar 25p2 + 35p + 49
Solución:
El trinomio 25p2 + 35p + 49
(5p)2 72
35 p 2 (5p) 7.Luego no es un trinomio cuadrado perfecto y no se puede factorizar por los métodos vistos hasta ahora.
EJERCICIOS
1. Completar el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto:
a) 25m2 + + 4n2 b) + 42z + 49c) x2 – 20x + .d) 36x2 – + 25y2
e) 9x2 + + 49y2 f) 4a2 + 44a + .g) 9t2 – 78t + .h) + 2z + .i) + 6v + .j) – 22d + 1
2. Factorizar:
a1) x2 + 6x – 9
a10) 2x3 – 20x2 + 100xa11) 4x2 – 20xy + 25y2 a12) a2 – 14a + 28a13) –t3+ 20t2 – 100ta14) 18x2y –50ya15) 16b2 – 25a16) 49x2 – 64a17) 12a2 + 147a18) 18n2 + 50
a2) a2 + 8a + 16a3) 49x2 – 56x + 16a4) 9s2 – 66s + 121a5) 4x2 + 26x + 169a6) 225 – 30r + r2 a7) 144 – 24n + n2 a8) 36x2 – 60xy + 25y2 a9) 9x2 – 48xy + 64y2
3. Resolver cada ecuación:
a) x2 – 18x + 81 = 0b) t2 + 14t + 49 = 0c) 16x2 + 8x + 1 = 0d) 49s2 – 14s +1 = 0e) 36x2 + 84x + 49 = 0f) 25v2 + 30v + 9 = 0g) 8z2 – 50 = 0
TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + mx + n
Al aplicar al producto especial(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + a bla propiedad simétrica de la igualdad, se obtiene la fórmula:
a) Factorizar: y2 + 5y – 14.
Solución:
Se deben encontrar los dos enteros con producto negativo (-14), así que los dos enteros deben tener signos opuestos. Como su suma 5 es positiva, el factor positivo de 14 debe ser el mayor de los dos factores, en valor absoluto.
Luego los números son –2 y 7 yy2 + 56y – 14 = (y – 2) (y + 7)
b) Factorizar 3x3 – 3x2 – 18x.
Solución:El mayor factor común es 3x, luego:
3x3 – 3x2 – 18x = 3x (x2 – x – 6).Para factorizar el trinomio x2 – x – 6 se deben encontrar dos enteros con producto – 6 y suma – 1. como el producto es negativo, los dos enteros deben tener signos opuestos. Como su suma es negativa, el factor negativo de – 6 debe ser el mayor de los dos factores, en valor absoluto.
h) 20x3 + 20x2 + 5x = 0i) 12x3 + 60x2 + 75x = 0j) –36x3 + 60x2 – 25x = 0k) –32x3 + 16x2 – 2x = 0l) 2x3 – 32x = 0m) 5y3 – 45y = 0n) 25z2 + 60z +36 = 0
x2 + (a + b) x + a b = (x + a)(x + b)
(-1) 14 = -14(-2) 7 = -14
(-1) + 14 = 13(-2) + 7 = 5
Así:Posibles Productos Sumas Correspondientes
1 (-6) = -6 2 (-3) = -6
1 + (-6) = -5 2 + (-3) = -1
Luego: los números son 2 y – 3 y X2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3)
Por consiguiente:3x3 – 3x2 – 18x = 3x (x2 – x – 6) = 3x (x + 2) (x – 3)
EJERCICIOS 1. Factorizar, si es posible:
a1) x2 + 15x + 56a2) b2 + 11b + 30a3) y2 – 11y + 18a4) a2 – 19a + 18a5) v2 – 9v – 22 a6) z2 – 7z – 30 a7) w2 + 4w – 5 a8) t2 + 4t – 32
2. Factorizar:
a) x2 + 5xy + 6y2
b) x2 – 5xy + 6y2
c) x2 – 9xy + 20y2
d) x2 + 9xy + 20y2
e) a2 + 2ab – 8b2
3. Factorizar, si es posible:
a) 15 – 2x – x2
b) 8 – 7w – w2 c) 32 + 14y – y2 d) 42 + 11z – z2 e) 51 – 14w – w2
4. Resolver cada ecuación:
a) s2 – 29s + 54 = 0 d) y2 + 10y – 56 = 0b) b2 – 18b + 56 = 0 e) t2 + 3t + 15 = 0c) x2 + 25x – 54 = 0 f) x2 + 4x + 21 = 0
TRINOMIOS DE LA FORMA a x2 + bx + c
Considerar el producto de (3x + 4) y (4x – 3).
(3x + 4) (4x – 3) = (3x) (4x) + (3x) (-3) + 4(4x) + 4(-3)
a9) s2 – 17s + 30a10) k2 – 13k + 30a11) r2 – r – 30 a12) x2 – 29x – 30 a13) z2 – 12z –30 a14) y2 + 20y + 30a15) m2 – 13m – 30
= 12x2 – 9x + 16x – 12 = 12x2 + 7x – 12
los pasos en este proceso son reversibles. Si se requiere factorizar el trinomio 12x2 + 7x – 12, se pueden devolver los pasos en la multiplicación anterior, así:
12x2 + 7x – 12 = 12x2 – 9x + 16x – 12 Porque 7x = -9x + 16x = (12x2 – 9x) + (16x – 12) Asociativa = 3x (4x – 3) + 4 (4x – 3) Factor común = (3x + 4) (4x – 3) Factor comúnEl proceso es el siguiente:
en primer lugar, el trinomio se extiende a un polinomio de cuatro términos al reemplazar 7x por la suma –9x + 16x.
b) Factorizar 6x2 – 23x + 10.
Solución: 60x2
6x2 – 23x + 10 = 6x2 + ax + bx + 10
Se necesitan dos números, a y b, tales que a b = 60 y a + b = - 23.
Posibles Productos Sumas Correspondientes
(-1) (-60) = 60 (-2) (-30) = 60 (-3) (-20) = 60(-4) (-15) = 60(-5) (-12) = 60(-6) (-10) = 60
(-1) + (-60) = -61(-2) + (-30) = -32(-3) + (-20) = -23(-4) + (-15) = -19(-5) + (-12) = -17(-6) + (-10) = -16
Luego los números son –3 y –20 y6x2 – 23x + 10 = 6x2 – 3x – 20x – 10 = (6x2 – 3x) – (20x – 10) = 3x(2x – 1) – 10(2x – 1) = (3x – 10) (2x – 1)
c) Factorizar 5x2 + 7x – 8.
Solución: : -40x2
5x2 + 7x – 8 = 5x2 + ax + bx – 8
Se deben encontrar dos números, a y b tales que a b = - 40 y a + b = 7
Posibles Productos Sumas Correspondientes
(-1) 40 = -40 (-2) 20 = -40 (-4) 10 = -40 (-5) 8 = -40
(-1) + 40 = 39(-2) + 20 = 18(-4) + 10 = 6(-5) + 8 = 3
Ninguno de los posibles productos da la suma requerida. El polinomio 5x2 + 7x – 8 no se puede escribir como el producto de binomios con coeficientes enteros. Por tanto, este polinomio no se puede factorizar en los enteros.
EJERCICIOS
1. Factorizar:
a1) 3a2 + 17ª + 10a2) 5y2 + 13y + 6a3) 3x2 – 11x + 10a4) 5z2 – 17z + 6a5) 2k2 – k – 15 a6) 7m2 – 11m – 6 a7) 7q2 + 19q – 6 a8) 2p2 + 7p – 15 a9) 6n2 + 17n + 10a10) 6x2 – 19x + 10a11) 6u2 – 17u – 10 a12) 6t2 + 59t – 10 a13) 6y2 – 16y + 10a14) 6v2 – 32v + 10a15) 6x2 + 4x – 10 a16) 6w2 – 28w –10
2. Factorizar:
a) 4x2 + 2x – 6 f) 15x3 – 102x2 – 21xb) 24a2 – 50a + 24 g) 35y2 – 60y2 – 20yc) 10x3 – 23x2 + 12 h) 15a4 – 2a3 – a2
d) 6x4 – 11x3 – 10x2 I) 24x2y – 6xy – 45ye) 10a3 – 6a2 – 4ª j) 4x2 – 12xy + 9y2
3. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 8z2 – 13z – 33 = 0 g) 2y2 – 2y = 0b) 12t2 + 5t – 2 = 0 h) 7z2 – 28z = 0c) 8k2 – 38k – 33 = 0 I) 9n3 + 6n2 – 8n = 0d) 12b2 – 23b – 2 = 0 j) 10y3 – 17y2 – 6y = 0e) 7c2 – 9c + 2 = 0 k) 9z2 – 16z = 0f) 9x2 – 14x + 5 = 0 l) 25n3 – 64n = 0
a) El área de un rectángulo es 6x2 – x – 12. ¿Cuáles son las posibles dimensiones del rectángulo?b) El área de un rectángulo es 4n2 + 3n – 10. ¿Cuáles son las posibles dimensiones del rectángulo?
c) ¿Cuáles son la base y la altura posibles de un triangulo cuata área es 15a2 + 38ª - 21?
a17) 2r2 – 11r + 5a18) 2w2 – 7w + 6a19) 10s2 – 31s – 14 a20) 20y2 + 23y – 7 a21) 3x2 – 10w + 10a22) –2x2 – 5x + 12a23) –3t2 + 10t + 8a24) 8 + 5t – 3t2 a25) 4 + 3y – 7y2 a26) 6k2 – 10k – 4 a27) 4z2 – 2z – 6 a28) –7x2 – 13x + 2a29) –7x2 + 19x + 6a30) 8y2 – 18y – 5 a31) 6w2 + 11w – 7 a32) 4z2 – 13z + 10
a33) 2v2 – v + 6 a34) 6x2 – 23x + 15 a35) 12z2 – 19z - 18
d) ¿Cuáles son la base y la altura posibles de un triangulo cuya área es 14b 2 – 25b – 25?
e) Calcular la expresión 2a2 – a –3 y la expresión (2ª - 3) (a + 1) para a = 5.
FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS DE LA FORMA Xn Yn
FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Al efectuar el producto de (x + y) y (x2 – xy + y2) se obtiene x3 + y3. en efecto:
(x + y) y (x2 – xy + y2) = x x2 + x(-xy) + xy2 + yx2 + y (-xy) + y y2 = x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3 = x3 + y3
Y al efectuar el producto de (x - y) y (x2 + x y + y2) se obtiene x3 - y3. En efecto:
(x - y) y (x2 + x y + y2) = x x2 + x (x y) + x y2 + (-y) x2 + (-y) (xy) + (-y) y2 = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3
= x3 - y3 .
Al aplicar, en los dos casos, la. propiedad simétrica de la igualdad se obtienen las siguientes formulas usadas para factorizar binomios que son sumas o diferencias de cubos.
Ejemplos:
a) Factorizar 27a3 + 64.Solución:
27 a3 + 64 = (3a)3 + 43
= (3a+ 4) ((3a)2 -(3a) 4 + 42) = (3a + 4)(9a2 – 12a + 16)
b) Factorizar 125x3 – y9 Solución:
125x3 - y9 = (5x)3 - (y3)3 = (5x - y3) ((5x)2 + (5x)y3 + (y3)2) = (5x - y3 ) (25x2 + 5xy3 + y6)
e) Factorizar 343x9k6 + 216 Solución:
343x9k6 + 216 = (7x3k2)3 + 63
= (7x3k2 + 6) ((7x3k2)2 - (7x3k2) 6 + 62) = (7x3k2 + 6) ((49x6k4 - 42x3k2 + 36)
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)x3 - y3 = (x - y) (x2 + x y + y2)
d) Factorizar 64p3 -125q3.Solución:
64p3 -125q3 = (4p)3 - (5q)3 = (4p - 5q) ((4p)2 + (4p)(5q)+ (5q)2) = (4p - 5q) (16p2 + 20pq + 25q2)
FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS DE LA FORMA Xn Yn PARA n MAYOR QUE 3.
Ejemplos:
a) Factorizar x4 - y4.Solución:
x2 - y4 = (X2)2 - (y2)2
= (x2 + y2) (x2 - y2) = (x2 + y2) (x + y) (x - y)
b) Factorizar x6 + y6.Solución:
x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3
= (x2 + y2) ((x2)2 - (x2) (y2) + (y2)2) = (x2 + y2) (x4 - x2y2 +y4)
e) factorizar xl2 - y12.Solución:
xl2 – y12 = (x6)2 - (y6)2 = (x6 + y6) (x6 – y6) = (x2 + y2) (x4 – x2y2 + y4) ((x3)2 – (y3)2) = (x2 + y2) (x4 – x2y2 + y4) (x3 + y3) (x3 – y3) = (x2 + y2) (x4 – x2y2 + y4) (x + y) (x2 – xy + y2) (x – y) (x2 + xy + y2)
d) Factorizar x5 – y5.
Solución:
En primer lugar se divide x5 – y5 entre x – y.
x5 + 0x4y + 0x3y2 + 0x2y3 + 0xy4 – y5 x – yx5 + x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
x4y + 0x3y2 x4y – x3y2
x3y2 + 0x3y3
x3y2 – x2y3
x2y3 + 0xy4
x2y3 – xy4
xy4 – y5
xy4 – y5 0
Ahora teniendo en cuenta que: Dividendo = (divisor) (cociente) + residuo.
Se tiene: x5 – y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)
e) Factorizar x7 + y7.
Solución: En primer lugar se divide x7 + y7 entre x + y.
Como, dividiendo = (divisor) (cociente) + residuo
Se tiene: (x7 + y7) = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6).
En general:
f) Factorizar 243 + 32b5.Solución:
243 + 32b5 = 35 + (2b)5
= (3 + 2b) (34 - 33 2b + 32 (2b)2 - 3 (2b)3 + (2b)4) = (3 + 2b) (81 - 54b + 36b2 - 24b3 + 16b4)
X7 + 0x6y + 0x5y2 + 0x4y3 + 0x3y4 – x2y5 + 0xy6 + y7 x + y
X7 + x6y
– x6y + 0x5y2 – x6y – x5y2
x5y2 + 0x4y3
x5y2 + x4y3
– x4y3 + 0x3y4
– x4y3 – x3y4
x3y4 + 0x2y5
x3y4 + x2y5 – x2y5 + 0xy6
– x2y5 – xy6
xy6 + y7
xy6 + y7
0
x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6
a) Si n no es divisible por 2,xn + yn = (x + y) (xn-1 – xn-2y + xn-3y2 –... + x2yn-3 – xyn-2 + yn-1)
b) Para todo entero positivo n,xn + yn = (x – y) (xn-1 + xn-2y + xn-3y2 +... + x2yn-3 + xyn-2 + yn-1)
g) Factorizar m7 – a7x7
Solución:
m7 – a7x7 = m7 – (ax)7
= (m - ax) (m6 + m5 (ax) + m4(ax)2 + m3 (ax)3 + m2 (ax)4 + m (ax)5 + (ax)6) = (m - ax) (m6 + m5ax + m4a2x2 + m3a3x3 + m2a4x4 + ma5x5 + a6x6).
EJERCICIOS
Factorizar:
a1) c3 – d3 a2) m3 – n3 a3) a3 + b3 a4) r3 + s3 a5) c3 – 27d3 a6) j3 – 8k3 a7) m3 + 27k3 a8) x3 + 64y3
a9) 27u3 – 125v3
a10) 8x3 + 216y3
a11) 64m3 + 8n3
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES QUE SE PUEDEN LLEVAR A LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS.
TRINOMIOS CUADRADOS PREFECTOS POR ADICION Y SUSTRACCIÓN.
Ejemplos:
a) Factorizar 4x4 + 8x2y2 + 9y4.Solución:
El trinomio 4x4 + 8x2y2 + 9y4
(2x2)2 (3y2)2 2(2x2)(3y2) = 12x2y2 8x2y2 no es cuadrado perfecto. Si se adiciona y se sustrae 4x2y2, se puede expresar el trinomio como una diferencia de cuadrados, así:
Luego:
4x4 + 8x2y2 + 9y4 = (4x4 + 12x2y2 + 9y4) – 4x2y2 = (2x2 + 3y2)2 – (2xy)2
a12) m6b3 – 27a13) 27a15b12 + 216a14) 125u12d6 + 64a15) a4 – 81 a16) c4 – 16 a17) a6 – b6 a18) y6 + 729 a19) 64m6 – 1 a20) c8 – 1 a21) m6 – s6 a22) p8 – s4
a23) p12 + q6 a24) a16 – b16 a25) h12 + k12 a26) 125a27 – 1 a27) x7 – y7 a28) a5 + y5 a29) m12 – n12 a30) p14 – q14 a31) a9 + y9 a32) b15 – c15 a33) (a – b)3 – 1
= [(2x2 + 3y2) + 2xy [(2x2 + 3y2) – 2xy = (2x2 + 3y2 + 2xy) (2x2 + 3y2 – 2xy)
EJERCICIOS
Factorizar:
a) x4 + 4x2 + 16b) a4 – 19a2 + 25c) m4 + 3m2 + 4d) r4 – 10r2 + 9e) c4 + 4f) a4 + 2a2b2 + b4 g) x4 + 7x2y2 + 9b4 h) m4 – 14m2n2 + 25n4
Taller de repaso sobre factorización.
Factorice por completo las expresiones siguientes.
1) 3a + 6b2) 2x2 – 10xy + 4x3
3) 4xy – 6yz4) 5x2y + 10xy2
5) 2u + av – 2v – au6) px – qy + py – qx7) 6xz – 16y – 24x + 4yz8) 15ac – 9ad – 30bc + 18bd9) x2 – 1610) 4y2 – 2511) 3t2 – 108a2 12) 5x2 – 20y2 13) x2 + 5x + 614) 2x2 + 2x – 1215) 5y4 + 25y3 – 70y2 16) 12x – 7X2 + x3 17) 2X2 + 5x + 318) 6x2 + 10x – 4 19) 6t3 – 7t2 – 20t 20) 6t4 + 15t3 – 9t2 21) x3y – 25xy3
FRACCIONES ALGEBRAICAS
REPASO Simplifiquemos las siguientes fracciones:
i) 4c4 – 16c2d2 + 9d4
j) 4x8 + y8 k) 9u4 + 15u2v2 + 16v4 l) 36ª4 – 40a2b2 + 9b4 m) 4x4 – 41x2y2 + 64y4 n) 81a4 + 64b4 o) 121x4 – 133x2y4 + 36y8
22) 9 + 12x + 4x2 23) 9t2 – 12r + 424) (x3 – 9x) + (45 – 5x2)25) x3 – 2726) 8t3 + 12527) u3 + 8v3 28) 128x3 – 5429) 6x3y + 4x2y – 10xy 30) x2y2 – a2y2 – b2x2 + a2b2 31) x2y2 – 9y2 – 4x2 + 3632) 5u2v2 – 20v2 + 15u2 – 60 33) x2z2 – 4z2 + x4 – 4x2 34) ax3 + by3 + bx3 + ay2 35) (x + y)3 (3x - 2y)4 + 2(x + y)4 (3x – 2y)3
36) 2(a – b) 2(a + b)3 – 5(a + b)2 (a – b)3 37) 2(x + y)2 + 5(x + y) + 238) 3(a – b)2 + 5(a – b) + 239) a3 + (b + 2)3 40) x6 + y6
41) x6 – 8y6
42) x3 + 143) xa + a + x + a2
44) x3 + y3 + x2y + xy2
*45) x4 + 4y4
*46) 16ª4 + b4 47) x4 – 16y4 *48) x5 + y5
FRACCIONES RACIONALES
ACTIVIDAD Observemos las siguientes fracciones:
En cada una, tanto el numero como el denominador es un polinomio algebraico y se denominan FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES o simplemente FRACCIONES RACIONALES.
Cuando el denominador de una fracción es CERO, decimos que la fracción NO EXISTE o que NO ESTA DEFINIDA.
EJEMPLO 1:
Las fracciones no existen porque la división por cero no está
definida.
EJEMPLO 2:
Analicemos cuáles son los valores de “x” donde no están definidas las siguientes fracciones:
a) no está definida para x = 1, ya que: si x = 1 entonces:
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES RACIONALES
Al igual que las fracciones aritméticas, decimos que una fracción algebraica está simplificada, cuando el único factor común al numerador y al denominador es el número UNO, es decir, cuando el numerador y el denominador sean primos entre si.
RECORDEMOS
Simplificación de fracciones algebraicas, para simplificar fracciones algebraicas procedemos así:
1. Factorizamos el numerador y el denominador.2. Suprimimos los factores comunes al numerador y al denominador.
¡CUIDADO! No podemos cancelar sumados.
EJEMPLO 1:
Simplifiquemos
Solución:
Factoricemos el numerador y el denominador:
EJEMPLO 2:
Simplifiquemos
Solución:
En los ejercicios del 1 al 18 simplificar la fracción dada:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
8)
9)
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
RECOREDEMOS:
1. Antes multiplicar o dividir fracciones aritméticas debemos simplificarlas, si es posible.
2. Para multiplicar dos fracciones basta multiplicar los numeradores entre si y los denominadores entre si. De ser posible, las fracciones deben simplificarse antes de multiplicarlas.
3. Para DIVIDIR dos fracciones basta multiplicar la primera fracción por el INVERSO MULTIPLICADO de la segunda. De ser posible, las fracciones deben simplificarse antes.
EJEMPLO:
Efectuemos y simplifiquemos:
Solución:
EJERCICIO
En los ejercicios siguientes, efectuar las operaciones indicadas y expresar la respuesta en forma simplificada.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13)
14)
15)
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES RACIONALES
Recordemos.
Para sumar o restar fracciones de distintos denominador hacemos lo siguiente:
1. Hallamos el mínimo común MÚLTIPLO (m.c.m) de los denominadores.
2. Dividimos el m.c.m encontrado entre el denominador de cada fracción y lo multiplicamos por el numerador respectivo.
3. Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos el resultado, si es posible.
Para sumar o restar fracciones algebraicas aplicamos las mismas ideas. Veamos:
EJEMPLO 3:
Resolvemos:
Solución:
Primero encontremos el mínimo común denominador (m.c.d):
EJERCICIO:
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar el resultado:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)