Factorizacion - Algebra

Ana Marıa Beltran

Docente Matematicas

Febrero 4 de 2013

1 ¿Que es factorizar?

Definicion 1. Factorizar un polinomio es representarlo mediante el producto de otros polinomios demenor grado. Cuando un polinomio no se puede factorizar, es irreducible.

Ejemplo 1. Determinemos los factores primos de

• 54x2y3

54x2y3 = 2 · 3 · 3 · 3 · x · x · y · y · y

• 18x3y18x3y = 2 · 3 · 3 · x · x · x · y

2 Casos de factorizacion

2.1 Factor comun

Para hallar el factor comun de los terminos de un polinomio calculamos el maximo comun divisor delos coeficientes y el maximo comun divisor de la parte literal. El producto de los resultados obtenidoses el factor comun. El polinomio se puede escribir como el producto del factor comun por la expresionque se obtiene al dividir cada termino del polinomio original por el factor comun.

Ejemplo 2. Factoricemos 6x2y − 15x

Como el MCD(6, 15) = 3 y MCD(x2y, x) = x, entonces el factor comun es 3x. Ahora,

6x2y

3x= 2xy y

−15x

3x= −5

Luego la expresion que se obtiene al dividir cada termino de 6x2y − 15x entre 3x es 2xy − 5. Elpolinomio se puede factorizar ası:

6x2y − 15x = 3x(2xy − 5)

No necesariamente siempre debe quedar como factor comun un monomio; analice e siguiente ejemplo

3x2(x− 5) + 4x3(x− 5) = (x− 5)(3x2 + 4x3)

1

Ejercicio 1. Factorice los siguientes polinomios por factor comun

1. 8x4y3 + 10x4y2

2. 8x2y(3x− 2)− 5xy(3x− 2)

3. 15x4 + 20x3 − 35x2 + 45x

4. 5p8 + 160p4 − 40p2

5. 3m2 − 24m5 + 12m6

2.2 Factor comun por agrupacion de terminos

Para factorizar un polinomio agrupando terminos se siguen estos pasos:

1. Se asocian los terminos de tal manera que cada grupo tenga un monomio como factor comun.

2. Se factoriza nuevamente teniendo en cuenta que el factor comun ahora es un polinomio.

Ejemplo 3. Factoricemos 4ab− 8a+ 6b− 12En este caso, los dos primeros terminos tienen factor comun 2a y los dos ultimos, 3; por tanto,agrupamos ası:

4ab− 8a+ 6b− 12 = (4ab− 8a) + (6b− 12)

Hallamos el factor comun de cada grupo:

(4ab− 8a) + (6b− 12) = 2a(2b − 4) + 3(2b − 4)

Observemos que el binomio (2b− 4) es el polinomio factor comun; ası que:

4ab− 8a+ 6b− 12 = (2b− 4)(2a + 3)

Ejercicio 2. Factorice usando factor comun por agrupacion de terminos

1. 6ax+ 9x+ 10a+ 15

2. 6x2 − 15x2y − 10 + 25y

3. 15by − 5y + 18b− 6

4. xy + 12 + 4x+ 3y

5. 2am+ 4an+ 6bm+ 12bn+ 2cm+ 4cn

2.3 Factorizacion de trinomios cuadrados perfectos

Cuando vimos productos notables, analizamos un caso en el cual encontramos el cuadrado de unbinomio. Al resultado de este cuadrado se le llama trinomio cuadrado perfecto. Para factorizareste tipo de trinomios, solamente debemos realizar el proceso inverso.

• Los terminos de los extremos deben ser cuadrados: a2 y b2.

• a2 y b2 no tienen signo negativo.

2

• El termino del centro es el doble del producto de las raıces cuadradas de los otros dos terminos:2ab, o su opuesto aditivo: −2ab

En general: a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 y a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2

Ejemplo 4. Determinemos cuales de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos:

• 16x4 − 40x2y3 − 25y6

No es trinomio cuadrado perfecto, ya que b2 = −25y6 tiene signo negativo.

• 16x4 − 20x2y3 + 25y6

Tampoco lo es, porque el termino del centro no es el doble del producto de las raıces cuadradasde 16x4 y 25y6:

√16x4 = 4x2,

√

25y6 = 5y3 y el doble de su producto: 2(4x2 · 5y3) = 40x2y3 y40x2y3 6= 20x2y3

• 16x4 − 40x2y3 + 25y6

Sı es un trinomio cuadrado perfecto, ya que cumple con todas las condiciones dadas:√16x4 =

4x2 y√

25y6 = 5y3 y 2(4x2)(5y3) = 40x2y3 y se factoriza:

16x4 − 40x2y3 + 25y6 = (4x2 − 5y3)2

Ejercicio 3. Determine si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos o no y factorıcelos si esposible

1. 81− 72n+ 16n2

2. m4 −m2n2 + n4

4

3. 49x4 − 182x2 + 169

4. x2 − 3xy + 9y2

5. 4x2 − 12xy + 9y2

2.4 Factorizacion de trinomios de la forma x2 + bx+ c

Expresiones como: x2 + 6x+ 8, x2 − 5x+ 6; x2 + 3x− 4 son trinomios de la forma x2 + bx+ c.Cuando c es un cuadrado, tenemos el caso anterior, y cuando no, es posible que el trinomio sea elproducto de dos binomios diferentes.Recordemos el product notable

(x+m)(x+ n) = x2 + (m+ n)x+ (m · n)= x2 + bx+ c

Por tanto, el trinomio x2 + bx + c se factoriza encontrando dos numeros m, n tales que su suma seigual a b y su producto sea igual a c. Si c es positivo, los factores tienen el mismo signo. Si c esnegativo, los factores tienen signos diferentes. Si estos numeros no existen, entonces se dice que eltrinomio no es factorizable por este metodo.

x2 + bx+ c = (x+m)(x+ n) siempre que existan m y n enteros, tales quem+ n = b y mn = c

3

Ejemplo 5. Factoricemos:

(a) x2 − 10x− 6

(b) x2 + x− 6

En ambos casos se requiere que m · n = −6. m y n pueden ser:

m n m · n m+ n

1 -6 -6 -5

2 -3 -6 -1

-1 6 -6 5

-2 3 -6 1

(a) Ninguna pareja de numeros suma −10, por tanto, x2 − 10x − 6 no se puede factorizar por estemetodo.

(b) Los numeros −2 y 3 suman 1, luego:

x2 + x− 6 = (x− 2)(x+ 3)

Ejercicio 4. Factorice los siguientes trinomios de la forma x2 + bx+ c

1. x2 − 2x− 15

2. w2 + 3w + 2

3. t2 − 5t+ 4

4. x2 + 39x+ 108

5. s2 + 11s+ 24

2.5 Trinomios de la forma ax2 + bx+ c

Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx+ c:

• Se hallan m y n enteros, tales que m · n = a · c y m+ n = b.

• Se reemplaza b como m+ n.

• Se agrupa y se factoriza en cada binomio factor comun.

• Se factoriza el binomio factor comun.

Ejemplo 6. Factoricemos 6x2 + 23x+ 20

Debemos encontrar m y n, tales que m · n = a · c = 6 · 10 = 120 y m+ n = 23.Para hallar tales numeros descomponemos 120 en factores primos ası:

120 = 2× 2× 2︸ ︷︷ ︸

8

× 3× 5︸ ︷︷ ︸

15

4

Los numeros son 8 y 15

6x2 + 23x+ 20 = 6x2 + 8x+ 15x+ 20

= (6x2 + 8x) + (15x+ 20)

= 2x(3x+ 4) + 5(3x+ 4)

= (3x+ 4)(2x+ 5)

Ejercicio 5. Factorice los siguientes trinomios

1. 4x2 + 3x− 10

2. 5y2 − 23y − 10

3. 20t2 − 40t− 25

4. 5t2 + 33t− 14

5. 10y2 − 29y + 10

2.6 Diferencia de cuadrados perfectos

Para factorizar una diferencia de cuadrados realizamos el proceso inverso al producto notable

x2 − y2 = (x+ y)(x− y)

Ejemplo 7. Factoricemos 25x2 − 49y6

25x2 = (5x)2 49y6 = (7y3)2

Luego,25x2 − 49y6 = (5x+ 7y3)(5x − 7y3)

Ejercicio 6. Factorice los siguiente binomios

• 36x6 − 81y8

• 169x2 − 225y10

• 196a18 − 225b16

• x16y10z8 − a2b4c6

• 144m4n4 − 121m2n2

• 49x10 − 64y20

• a2 − b8y6

• (2x− 3)2 − (4x+ 1)2

2.7 Suma y diferencia de cubos

Para factorizar una suma o una diferencia de cubos perfectos utilizamos las siguientes expresiones:

x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2) x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2

Ejemplo 8. Factoricemos

(a) 27x6 + 64x9

(b) 27x6 − 64x9

5

(c) (3a2 − b)3 − 27x3

(a) Como 27x6 = (3x2)3 y 64x9 = (4x3)3, entonces:

27x6 + 64x9 = (3x2 + 4x3)[(3x2)2 − (3x2)(4x3) + (4x3)2

]

= (3x2 + 4x3)(9x4 − 12x5 + 16x6)

(b) De igual forma:

27x6 − 64x9 = (3x2 − 4x3)[(3x2)2 + (3x2)(4x3) + (4x3)2

]

= (3x2 − 4x3)(9x4 + 12x5 + 16x6)

(c)

(3a2 − b)3 − 27x3 = (3a2 − b)3 − (3x)3

= (3a2 − b− 3x)[(3a2 − b)2 + (3a2 − b)3x+ 9x2

]

= (3a2 − b− 3x)(9a4 − 6a2b+ b2 + 9a2x− 3bx+ 9x2)

Ejercicio 7. Factorice los siguientes binomios

• 125x6 + 64x8

• 1728 − x3

• 343h12 − 125h15

• x192 + y123

• 512x3y6 − 1

• 1 + b300

• 343a3 − 216x9

• 2197x10 − 3456y10

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