factorización de polinomios
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Factorizacion de polinomios
Christiam Huertas R.w3.xhuertas.blogspot.com
Universidad de Ciencias y Humanidades
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Introduccion: Factorizacion de numeros naturales
En matematicas, un numero primo es un numero natural que tieneunicamente dos divisores naturales distintos: el mismo y el 1.
Ejemplos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; · · ·
Euclides demostro alrededor del ano 300 a.n.e. que existeninfinitos numeros primos.
Euclides fue un matematico y geometragriego, que vivio alrededor del ano 300a.n.e., (325 a.n.e.) - (265 a.n.e.). Se leconoce como ”El Padre de la Geometrıa”.Su obra los Elementos se utilizaron comotexto durante 2000 anos, e incluso hoy.
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Introduccion: Factorizacion de numeros naturales
En matematicas (teorıa de numeros), el teorema fundamental de laAritmetica o teorema de factorizacion unica afirma que todoentero positivo se puede representar de forma unica como productode factores primos o sus potencias.
Ejemplos:
18 = 2 · 9 No esta factorizado
18 = 3 · 6 No esta factorizado
18 = 2 · 32 Si esta factorizado
6936 = 23.3.172
1200 = 24.3.52
Una vez que se conoce la factorizacion de un numeros, se puedenhallar facilmente sus factores y factores primos. Por ejemplo, losfactores de 18 son: 1; 2; 3; 6; 12; 18 y sus factores primos son: 2 y 3.
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Factorizacion de polinomios
Idea general y conceptos previos
Un polinomio esta completamente factorizado, si esta escrito comoun producto de sus factores primos o sus potencias.
factorizacion−−−−−−−−−−−−→
x3 − x2 ≡ x2(x − 1)
←−−−−−−−−−−−−−multiplicacion
El proceso inverso de desarrollar una multiplicacion es lafactorizacion.
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Polinomio definido sobre Z
Un polinomio esta definido sobre Z, si todos sus coeficientes sonenteros.
Ejemplos:
1 Dado el polinomio P(x) = 3x2 − 5x + 8.
Como {3;−5; 8} ⊂ Z, entonces, P(x) esta definido sobre Z.
2 Dado el polinomio Q(x) = 4x3 − 7x2 +√
3x − 2.
Como√
3 /∈ Z, entonces, Q(x) no esta definido sobre Z
3 Dado el polinomio R(x ;y) = 9x2 − 4y2 +1
4.
Como1
4/∈ Z, enotnces, R(x ;y) no esta definido sobre Z
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Factor algebraico
Diremos que el polinomio f(x) (no constante) es factor algebraico
del polinomio P(x), si y solo si, la divisionP(x)
f(x)es exacta; es decir,
el resto es cero: R(x) = 0.
Ejemplos:
1 f(x) = x + 1 es factor algebraico de P(x) = x2 − 1.
En efecto, la divisionx2 − 1
x + 1es exacta, ya que R(x) = 0
2 Dado el polinomio P(x) = (x + 2)(x + 3).
Sus factores algebraicos son:
(x + 2), (x + 3) y (x + 2)(x + 3)
3 Dado el polinomio P(x ;y) = x .y2
Sus factores algebraicos son: x , y , x .y , y2 y x .y2
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Aplicacion 1
¿Es f(x) = x − 2 un factor algebraico de P(x) = x3 − x − 6?
Para que f(x) sea un factor algebraico de P(x), la divisionP(x)
f(x)
debe ser exacta (R(x) = 0).
Calculemos el resto utilizando el teorema del resto:
PRIMERO:
f(x) = x − 2 = 0→ x = 2
SEGUNDO:
lo reemplazamos en el dividendo para obtener el resto,
R(x) = P(2) = 23 − 2− 6 = 0
→ R(x) = 0
Por lo tanto, x − 2 es factor algebraico de P(x)
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Aplicacion 2
Si 2x − 1 es un factor algebraico del polinomio
P(x) = 8x4 − 2x3 + 7x2 + 4x − a2, determine el menor valor de a.
Como 2x − 1 es un factor algebraico de P(x), la divisionP(x)
2x − 1debe ser exacta (R(x) = 0).
Calculemos el resto utilizando el teorema del resto:
PRIMERO: 2x − 1 = 0→ x = 12
SEGUNDO: Lo reemplazamos en el dividendo para obtener el resto,
R(x) = P( 12) = 8(1
2)4 − 2(12)3 + 7(1
2)2 + 4(12)− a2
→ 0 =8
16− 2
8+
7
4+
4
2− a2 ↔ a2 =
1
2− 1
4+
7
4+ 2
↔ a2 = 4 ↔ a = 2 ∨ a = −2
Por lo tanto, el menor valor de a es −2.
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Polinomio reductible
Es aquel polinomio que admite descomposicion en la multiplicacionde factores algebraicos (sobre Z).
Ejemplos:
1 Dado el polinomio P(x) = 4x2 − 1.
P(x) = 4x2 − 1 = (2x)2 − 12 = (2x + 1)(2x − 1)
Entonces, P(x) es reductible sobre Z2 Dado el polinomio M(x) = x3 + 1.
M(x) = x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1)(x2 − x + 1)
Entonces, M(x) es reductible sobre Z3 Dado el polinomio N(x ;y) = x2 + y2.
N(x ;y) = x2 + y2 6= ( )( )
Entonces, N(x ;y) no es reductible sobre Z.
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Polinomio primo
Un polinomio es primo o irreductible si no es reductible; es decir,no admite descomposicion.
Ejemplos:
1 P(x ;y) = x2 + y2.
2 Q(x) = x2 + 1 6= ( )( ), entonces es primo.
3 R(x) = x2 + x + 1 6= ( )( ), entonces es primo.
4 M(x) = x2 − x + 1 6= ( )( ), entonces es primo.
5 N(x ;y) = x2 + xy + y2 6= ( )( ), entonces es primo.
6 F(x ;y) = x2 − xy + y2 6= ( )( ), entonces es primo.
7 G(x) = 3x − 8 6= ( )( ), entonces es primo.
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Teorema
Todo polinomio lineal (o de grado uno) de coeficientes enterossiempre es primo.
Ejemplos:
1 P(x) = 5x − 4
2 Q(x) = 6x + 9 = 3(2x + 3) es un polinomio primo.
3 S(x ;y) = 3x + 4y − 2
4 T(x ;y ;z) = 2x − y + 8z + 3
5 M(a;b) = a− 3b + 1
6 N(a;b;c) = a + 2b + 3c − 4
Son polinomios primos de grado uno.
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Factor primo
Diremos que el polinomio f(x) es factor primo del polinomio P(x) sise cumple lo siguiente:
1. f(x) es factor algebraico.
2. f(x) es polinomio primo.
3. Sus coeficientes son PESI (primos entre si).
Ejemplos:
1 Para el polinomio P(x) = (x + 2)(x + 3).
Sus factores algebraicos son: (x + 2), (x + 3) y (x + 2)(x + 3)
Luego, sus factores primos son: (x + 2) y (x + 3).
2 Para el polinomio P(x ;y) = x .y2
Sus factores algebraicos son: x , y , x .y , y2 y x .y2
Luego, sus factores primos son: x , y .
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Factorizacion
Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como unamultiplicacion indicada de sus factores primos (o potencias de susfactores primos). Es decir,
P(x) = (primo)m(primo)n · · · (primo)p
Ejemplos:1. Dado el polinomio P(x) = (4x − 1)3.(x2 + 1)5.(x2 − 9)
Vemos que P no esta factorizado, pues x2 − 9 = (x + 3)(x − 3)
Luego, P(x) = (4x − 1)3.(x2 + 1)5.(x + 3).(x − 3) (Factorizado)
Tiene 4 factores primos (lineales: 3 y cuadraticos: 1)
2. Dado el polinomio
Q(x ;y) = (x − 2y)2.(3x + 1)4.(x2 − xy + y2).(x2 + y2)
Vemos que Q si esta factorizado. Total FP: 4 (FPL: 2 y FPC: 2)Christiam Huertas R. w3.xhuertas.blogspot.com Factorizacion de polinomios
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Obtencion de factores comunes
El primer paso en la factorizacion de un polinomio es sacar factores
comunes de sus terminos utilizando la propiedad distributiva.
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios.
1 P(x) = x3 + x = x(x2 + 1) Factores primos: 2
2 Q(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) Factores primos: 2
3 R(a;b) = a3b + ab3 = ab(a2 + b2) Factores primos: 3
4 S(x) = (2x + 4)(x − 3)− 5(x − 3)
= (x − 3)(2x + 4− 5)
= (x − 3)(2x − 1) Factores primos: 2
5 T(x ;y) = 8x2y2 + 6xy3 − 10xy2 = 2xy2(4x + 3y − 5)
Factores primos: 3
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Factorizacion de la diferencia de cuadrados
Recuerde que: a2 − b2 = (a + b)(a− b)
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios.
1 P(a;b) = x2 − 9 = x2 − 32 = (x + 3)(x − 3)
2 Q(x) = 25x2 − 36 = (5x)2 − 62 = (5x + 6)(5x − 6)
3 R(x ;y) = 4x2 − (y + 3)2
= (2x)2 − (y + 3)2
= [2x + (y + 3)][2x − (y + 3)]
= (2x + y + 3)(2x − y − 3)
4 S(x) = x4 − 1 =(x2
)2 − 12 = (x2 + 1)(x2 − 1)
= (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)
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Factorizacion de trinomios cuadrados perfectos
Recuerde que: a2 ± 2.a.b + b2 = (a± b)2
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios.
1 P(x) = x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42 = (x + 4)2
2 Q(x) = 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3x)(1) + 12 = (3x + 1)2
3 R(x ;y) = x2 − 4xy + 4y2 = x2 − 2.(2x).y + (2y)2 = (x − 2y)2
4 S(x ;y) = 4x2 − 12xy + 9y2 = (2x)2 − 2.(2x).(3y) + (3y)2
= (2x − 3y)2
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Factorizacion de la suma y la diferencia de dos cubos
Recuerde que: a3 + b3 = (a + b)(a2 − a.b + b2)
Tambien: a3 − b3 = (a− b)(a2 + a.b + b2)
Ejemplos. Factorice los siguientes polinomios.
1 P(x) = x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 − x .2 + 22)
= (x + 2)(x2 − 2x + 4)
2 Q(x) = x3 − 64 = x3 − 43 = (x − 4)(x2 + x .4 + 42)
= (x − 4)(x2 + 4x + 16)
3 R(x) = 8x3+27 = (2x)3+33 = (2x+3)((2x)2 − (2x)(3) + 32
)= (2x + 3)(4x2 − 6x + 9)
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Factorizacion de un trinomio en x : Aspa simple
Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma.
P(x) = Ax2 + Bx + C
En general: P(x) = Ax2n + Bxn + C
Seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Descomponer los extremos convenientemente.
2. Se comprueba que el termino central es igual a la suma de los
productos parciales en forma de aspa.
3. Luego, P tiene como primer factor a la suma de los elementos
de la primera fila y, como segundo factor a la suma de los
elementos de la segunda fila.
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Ejemplos
1 P(x) = 3x2 + 10x + 83x 4x 2
→ P(x) = (3x + 4)(x + 2)
2 Q(x) = 12x2 − 25x + 123x −44x −3
→ Q(x) = (3x − 4)(4x − 3)
3 R(x) = x4 − 13x2 + 36x2 −4x2 −9
→ R(x) = (x2 − 4)(x2 − 9) = (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)
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Factorizacion de un trinomio en x e y : Aspa simple
Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma.
P(x ;y) = Ax2 + Bxy + Cy2
En general: P(x ;y) = Ax2n + Bxnyn + Cy2n
Seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Descomponer los extremos convenientemente.
2. Se comprueba que el termino central es igual a la suma de los
productos parciales en forma de aspa.
3. Luego, P tiene como primer factor a la suma de los elementos
de la primera fila y, como segundo factor a la suma de los
elementos de la segunda fila.
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Ejemplos
1 P(x ;y) = 6x2 + 17xy + 5y2
3x y2x 5y
→ P(x ;y) = (3x + y)(2x + 5y)
2 Q(x ;y) = 12x2 − 23xy + 10y2
3x −2y4x −5y
→ Q(x ;y) = (3x − 2y)(4x − 5y)
3 R(x) = (x2 + 2x)2 − 2(x2 + 2x)− 3(x2 + 2x) −3(x2 + 2x) 1
→ R(x) = (x2 + 2x − 3)(x2 + 2x + 1) = (x + 3)(x − 1)(x + 1)2
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Factorizacion por agrupacion
Observe que (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . Si unpolinomio con cuatro terminos es el producto de dos binomios,podemos agrupar terminos para factorizar.
Ejemplos. Factorice los siguientes polinomios.
1 P(x) = x3 + x2 + 4x + 4 =(x3 + x2
)+ (4x + 4)
= x2(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4)
2 Q(x) = x3 − 2x2 − 3x + 6 =(x3 − 2x2
)− (3x − 6)
= x2(x − 2)− 3(x − 2)
= (x − 2)(x2 − 3)
= (x − 2)(x2 −
√32)
= (x − 2)(x +√
3) (
x −√
3)
Factorizado sobre R.
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Factorizacion de an − 1
Se sabe que
a2 − 1 = (a− 1)(a + 1)
a3 − 1 = (a− 1)(a2 + a + 1)
a4 − 1 = (a− 1)(a3 + a2 + a + 1)
...
Y asi sucesivamente
Ejemplos. Factorice los siguientes polinomios.
1 P(x) = x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
2 Q(x) = x6 − 1 = (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
3 R(x) = x7 − 1 = (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
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Aplicaciones
Factorice los siguientes polinomios.
1 M(x ;y) = −7x4y2 + 14xy3 + 21xy4
2 N(x ;y) = (2x + y − 3)2 − (x − 2x + 1)2
3 F(x ;y) = x6 − 8y3
4 P(a;b;c) = a3 + a2c − a2b − abc
5 Q(a;b;c) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2)
6 R(x) = abx2 + (a2 + b2)x + ab
7 S(x ;y) = x2 + y2 + 1 + 2xy + 2(x + y)
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