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UV
Facultad de Ingeniería en
Electrónica y Comunicaciones
Nombre del alumno:
Erik Alan Fuentes Pérez
Experiencia educativa:
Procesamiento Analógico de Señales (PAS)
Numero de laboratorio:
Tarea-series de Fourier
Nombre del docente:
Luis Javier Morales Mendoza
21 de abril de 2014
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Fenómeno de Gibbs
Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene
un comportamiento especial en dicho punto. Este comportamiento se llama fenómeno de
Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto las sumas parciales de la serie de
Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas. Este fenómeno fue
observado por el físico experimental Albert Michelson, quien en 1898 construyó una
máquina para sumar series de Fourier. Alrededor de las discontinuidades de las funciones
siempre aparecían saltos, que no se hacían pequeños por mucho que se aumentara el
número de sumandos de la serie. El fenómeno fue explicado en 1899 por J. Williard Gibbs,
y puede cuantificarse con precisión.
Explicación
Empezaremos esta discusión tomando una señal con un número finito de discontinuidades
(como el pulso cuadrado) y encontrando su representación de series de Fourier. Entonces
trataremos de reconstruir esta señal usando sus coeficientes de Fourier. Vemos que entre
más coeficientes usemos, la señal reconstruida se parece más y más a la señal original. Sin
embargo, alrededor de las discontinuidades, observamos ondulaciones que no desaparecen.
Al considerar el uso de más coeficientes, las ondulaciones se vuelven estrechas, pero no
desaparecen. Cuando llegamos a un número casi infinito de coeficientes, estas ondulaciones
continúan ahí. Esto es cuando aplicamos la idea de casi en todos lados. Mientras estas
ondulaciones siguen presentes (estando siempre arriba del 9% de la altura del pulso), el
área dentro de ellas tiende a ser cero, lo que significa que la energía de las ondulaciones
llega a ser cero. Lo que demuestra que su anchura tiende a ser cero y podemos saber que la
reconstrucción de la señal es exactamente igual a la señal original excepto en las
discontinuidades. Ya que las condiciones de Dirichlet dicen que pueden haber un numero
finito de discontinuidades, podemos concluir que el principio de casi en todos lados es
cumplido. Este fenómeno es un caso específico de una convergencia no-uniforme.
Ilustración 1.- Fenómeno de Gibbs, las ondulaciones continúan
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Aplicaciones de las series de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función
periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la
herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones
periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de
funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier
que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió
tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área
de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta
sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis
vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos.
En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los
componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de
un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de
espectros.
Aplicaciones
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la
superposición de sinusoides generados por osciladores electrónicos de amplitud
variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la
señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas
de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la
frecuencia.
La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten
soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que
obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de
placas, etc.
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Serie 1 Grafica
Aplicaciones:
Las ondas triangulares tienen aplicaciones destacadas, tales como:
Generación de señales sinusoidales. Se generan ondas sinusoidales conformando la
señal triangular con redes de resistencias y diodos. Es el método habitual para
producir sinusoides en los generadores de funciones de baja frecuencia (hasta unos
10 MHz).
Generación de barridos. En los tubos de rayos catódicos, se aplican tensiones
triangulares asimétricas (diente de sierra) a las placas deflectoras, en el caso de
osciloscopios, o corrientes de la misma forma a las bobinas deflectoras, en el caso
de monitores de televisión, pantallas de ordenador, etc.
Osciladores. Como la relación entre el tiempo y la amplitud de una onda triangular
es lineal, resulta conveniente para realizar osciladores controlados por tensión,
comparando su nivel con la tensión de control.
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Serie 2 Grafica
Aplicaciones:
La representación gráfica de circuitos eléctricos en general es una importante ayuda para su
análisis, para la resolución de problemas que se pueden presentar y para conceptualizar su
funcionamiento.
El procesamiento permite fundamentalmente visualizar en forma compacta todas las
relaciones que se establecen entre los distintos valores de tensión, corriente y resistencias
en todo el circuito, y en cada uno de sus componentes.
Se puede así advertir rápidamente, por ejemplo, cómo cambian los valores de tensión y
corriente en todo el circuito y en cada resistencia al variar una sola de ellas.
Permite así comprender más rápidamente las relaciones que vinculan a todos los valores
entre sí, evitando una focalización o aislamiento del análisis del circuito en componentes
que pudieran considerarse, equivocadamente, como aislados de los restantes.
De este modo se puede advertir más claramente la idea de "estructura del circuito
eléctrico", entendida como conjunto de relaciones entre sus partes que determinan su
funcionamiento.
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Serie 3 Grafica
Aplicaciones:
Las señales sinusoidales y las exponenciales se usan para describir las características de
muchos procesos físicos-en particular, sistemas físicos en los cuales se conserva l energía.
Por ejemplo, la respuesta natural de una red constituida solamente por inductores y
capacitores o el movimiento armónico de un sistema mecánico consistente de una masa
conectada por un resorte estacionario. Las variaciones de la presión acústica
correspondiente a un solo tono musical también sinusoidales
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Serie 4 Grafica
Aplicaciones:
Muy usada para referirse a, por ejemplo, el volumen de un equipo de audio, los decibeles
son= 20*log Po/K, esto es así porque casualmente la función logarítmica se adecua al
comportamiento del oído... así mismo la función exponencial sirve para nodelizar el
comportamiento de un capacitor... todas las aplicaciones de física se nodelizan con
funciones matemáticas, entre ellas la logarítmica y la exponencial.
Si bien la mayoría de modelos matemáticos no tienen una "aplicación directa", ósea
fácilmente observable, en el mundo real, si lo tienen a nivel matemático. ósea, las funciones
logarítmicas y exponenciales, donde más se puede decir que se nota su aplicación al
"mundo real es generalmente en modelos de crecimiento y decrecimiento en diferentes
áreas (como pueden ser modelos por ejemplo en la veterinaria para calcular la reproducción
en un grupo de animales, o proyecciones de población, perdidas en una guerra en curso, o
en ingeniería para calcular el tiempo que tarda una masa en llegar a cierta temperatura, etc.
etc. (hay miles de aplicaciones prácticas en el mundo real)). Si bien creo que tu pregunta es
más que nada a nivel general, hay diferentes modelos logarítmicos y exponenciales (los
cuales son mucho más prácticos que algunos cálculos algebraicos, para realizar el tipo de
operaciones que te comente anteriormente) que se usan actualmente en biología y casi
todos los campos tecnico-cientificos del mundo moderno (como pueden ser logísticos, o la
Ley de Enfriamiento de Newton (LEN), etc., etc.) cada uno tiene una aplicación en un
campo diferente.
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Serie 5 Grafica
Aplicaciones:
Las señales sinusoidales y las exponenciales se usan para describir las características de
muchos procesos físicos-en particular, sistemas físicos en los cuales se conserva l energía.
Por ejemplo, la respuesta natural de una red constituida solamente por inductores y
capacitores o el movimiento armónico de un sistema mecánico consistente de una masa
conectada por un resorte estacionario. Las variaciones de la presión acústica
correspondiente a un solo tono musical también sinusoidales
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Serie 6 Grafica
Aplicaciones:
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía,
náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas
aplicaciones.
La funciones trigonométricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante,
como puede ser el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que
se ha comprimido o estirado, para luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El
tipo fundamental de desplazamiento de partículas en esos ejemplos se llama movimiento
armónico. Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable
producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de
equilibrio. Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de
equilibrio. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos
oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se
dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico
porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
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Serie 7 Grafica
Aplicaciones.
Las señales rectangulares es muy útil para realizar determinadas mediciones, e implementar
controles en sistemas de comunicaciones. Se caracterizan por tener solamente dos valores
posibles. Se le puede definir amplitud, periodo, frecuencia y desfase.
El paso de un valor a otro se denomina flanco ascendente o descendente. Si bien en teoría el
cambio debería ser instantáneo, en la práctica, por limitaciones de los circuitos que generan
la señal, dicho flanco poseen leve inclinación.
La relación entre el tiempo y el periodo T se denomina clico útil, ciclo de actividad o ciclo
de control. Cuando el ciclo de actividad es de 50% la señal rectangular se transforma en
una señal cuadrada. En una señal cuadrada, de igual modo que sucede con las ondas
senoidales, el valor medio es nulo.
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Serie 8 Grafica
Aplicaciones:
Un rectificador de onda completa convierte la totalidad de la forma de onda de entrada en
una polaridad constante (positiva o negativa) en la salida, mediante la inversión de las
porciones (semiciclos) negativas (o positivas) de la forma de onda de entrada. Las
porciones positivas (o negativas) se combinan con las inversas de las negativas (positivas)
para producir una forma de onda parcialmente positiva (negativa).
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Serie 9 Grafica
Aplicaciones:
Carga y descarga de un capacitor en cd.
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Serie 10 Grafica
Aplicaciones:
Se conoce por onda cuadrada a la onda de corriente alterna (CA) que alterna su valor entre
dos valores extremos sin pasar por los valores intermedios (al contrario de lo que sucede
con la onda senoidal y la onda triangular, etc.)
Se usa principalmente para la generación de pulsos eléctricos que son usados como señales
(1 y 0) que permiten ser manipuladas fácilmente, un circuito electrónico que genera ondas
cuadradas se conoce como generador de pulsos, este tipo de circuitos es la base de la
electrónica digital
El contenido espectral de una onda cuadrada se compone exclusivamente de armónicos
impares (f, 3f, 5f, etc.), extendiéndose a frecuencias más elevadas cuanto más abruptos sean
sus flancos. Esto tiene dos consecuencias:
La capacidad y auto inductancia parásitas filtran la señal, eliminando las
componentes de mayor frecuencia, con lo que la onda cuadrada se degrada,
tomando un aspecto cada vez más redondeado.
Por otro lado, señales muy abruptas producen radiación de alta frecuencia, dando
problemas de compatibilidad electromagnética y acoplos (diafonía) entre pistas. Por
ello ciertas familias lógicas como Q-mos (Quit-mos) controlan la pendiente de los
flancos de la señal, evitando que sean demasiado abruptos.
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Serie 11 Grafica
Aplicaciones:
El rectificador de media onda es un circuito empleado para eliminar la parte negativa o
positiva de una señal de corriente alterna de lleno conducen cuando se polarizan
inversamente. Además su voltaje es positivo
Un circuito RC sirve como filtro para hacer que el voltaje alterno se vuelva directo casi
como el de una batería, esto es gracias a las pequeñas oscilaciones que tiene la salida del
voltaje, las cuales son prácticamente nulas.
La primera parte del circuito consta de una fuente de voltaje alterna, seguido de un diodo
que en esta ocasión será ideal (simplemente para facilitar la comprensión del
funcionamiento) y finalmente el filtro RC.
El circuito funciona de la siguiente manera:
1. Entra la señal alterna al circuito, la cual se rectifica con el diodo. (Solo permite
pasar un semi-ciclo de la señal, que en este caso es el semi-ciclo positivo)
2. En el momento que el voltaje sale del diodo el condensador se empieza a cargar y la
caída de voltaje se recibe en la resistencia.
3. En el entender que es lo que está pasando y como calcular el filtro.
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Serie 12 Grafica
Aplicaciones:
Esta función es útil en el procesamiento de la señal y de comunicaciones de ingeniería de
sistemas como una representación de una señal idealizada, y como un prototipo o núcleo
desde el que se puede derivar señales más realistas. También tiene aplicaciones en la
modulación de código de pulso como una forma de impulso para la aplicación de señales
digitales y como filtro adaptado para la recepción de las señales. También es equivalente a
la venta triangular, a veces llamada la ventana de Bartlett
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Ejercicio1.- Realice la aproximación de la siguiente función
Realice la aproximación usando una la señal con referencia a la señal armónica en
el intervalo de . Calcular el error cuadrático medio a los 10 primeros términos.
La constante se calcula mediante siguiente fórmula:
La cual sustituyendo términos nos da como resultado:
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Calculamos los valores en de 1 hasta 10.
r=1 r=2 r=3 r=4 r=5 r=6 r=7 r=8 r=9 r=10
0.8105 0 -0.0900 0 0.0324 0 -0.0165 0 0.0100 0
Por lo que la función queda aproximada como se muestra a continuación
El error producido por cada una de las aproximaciones puede ser calculado utilizando la
siguiente expresión:
De la cual se deduce:
Sustituyendo valores en (2) y factorizando encontraríamos el error para el primer elemento
de la serie.
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Para los demás errores solo se deben de rustir los valores de y así se irán obteniendo
(recordemos que para par es cero)
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Las correspondientes graficas para 5, 10, 15 y 20 armónicos de la serie serian las
siguientes:
Para 5 elementos:
Grafica con 10 elementos:
20
Con n=15elementos:
Y con 20 elementos:
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El código del programa es el siguiente:
clc clear all t=0:pi/180:2*pi; f1=(2.*t)./pi; f2=2-(2.*t)./pi; f3=((2.*t)./pi)-4;
syms x y=zeros(1,length(t)); n=input('Introdusca el numero de elemntos de la serie, n=');
for i=1:n,
a1=double((int((2/pi).*x.*sin(i.*x),x,0,pi/2))); b1=double(int((2-(2.*x)./pi).*sin(i.*x),x,pi/2,3*pi/2)); c1=double(int((((2.*x)./pi)-4).*sin(i.*x),x,3*pi/2,2*pi)); d1=double(int((sin(i.*x)).^2,x,0,2*pi));
c(i)=(a1+b1+c1)/pi;
y = y + c(i)*sin(i.*t);
end plot(t,f1,'--k',t,f2,'--k',t,f3,'--k',t,y,'r');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)');axis([0,2*pi,-1,1]); legend('f_1(t)','f_2(t)','f_3(t)','g(y) Señal con n elementos');
Erik_eje1.m
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Ejercicio 2.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Primero desarrollaremos la serie de Fourier, esta establece que:
Para esto necesitamos encontrar los armónicos de la serie:
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Donde T es el periodo y está definido como la diferencia del límite superior ó t-final menos
t-inicial ó límite inferior:
También utilizarnos algunas propiedades trigonométricas como:
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
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Una vez ya encontrados todos los armónicos sustituimos nuestros resultados en (5)
Calculamos los valores en de 1 hasta 10.
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que se
va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que integrar
nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1 esta sería
nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que encontrar
todos los valores de nuestra formula (2)
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
2 -1 2/3 -1/2 2/5 -1/3 2/7 -1/4 2/9 -1/5
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Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g(t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores:
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Estos serian los 10 peineros errores para nuestra serie.
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de ya que
este fue el único arménico en el que obtuvimos valores, para esto utilizaremos unas
formulas.
De trigonométrico a complejo:
Como en el armónico de no tenemos valores entonces este es cero.
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
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Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 2.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 2.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
28
Ahora se graficara la serie con 5, 10, 15 y 20 electos.
Para 5 elementos:
Para n=10
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Para 15 armónicos:
Para 20:
El código del programa es el siguiente:
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clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de armonicos n='); t=-pi:pi/180:2*pi; g=zeros(1,length(t));
y=t; a0=double(int(x,x,-pi,pi)/(2*pi)); for i=1:n,
an(i)=double(int(x.*cos(i*x),x,-pi,pi)/pi); bn(i)=double(int(x.*sin(i*x),x,-pi,pi)/pi); g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),-min(y)]); legend('Señal con n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje2.m
31
Ejercicio 1.2.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier en su forma compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10
armónicos y simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de sustituyendo en (4)
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Calculamos los valores en de -10 hasta 10 y sustituimos en (3).
0 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
33
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
De complejo a trigonométrico:
Como ya vimos en el ejercicio 2 no se obtuvieron valores an el armonico por lo tanto
calcular estos valores en estos casos es algo absurdo pero por razones didácticas se realizara
el cálculo para compara resultados.
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
Como era de esperarse, el valor es cero. A continuación lo aremos con , de igual forma,
sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar si me salieron bien los cálculos
y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues para seguir
comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores y así se irán
obteniendo los datos.
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Ahora se graficara la serie con 5, 10, 15 y 20 elementos.
Para 5 elementos:
Para n=10
35
Para 15 armónicos:
Para 20:
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El código del programa es en su forma compleja es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=x; y=t;
for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi); cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
figure(1) plot(t,g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),max(y)]); legend('Señal con n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex2.m
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Ejercicio 3.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
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Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
39
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
-4 1
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra formula (2)
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores por elemento:
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A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de ya que
este fue el único arménico en el que obtuvimos valores, para esto utilizaremos unas
formulas.
41
Como en el armónico de no tenemos valores entonces este es cero.
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 3.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 3.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
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A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Con 5 elementos:
Con 10 elementos:
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Con n=15:
Con 20 elementos:
44
El programa para generar las graficas se muestra a continuación.
%t^2 clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de armonicos n='); t=-pi:pi/180:2*pi; g=zeros(1,length(t));
y=t.^2; a0=double(int(x^2,x,-pi,pi)/(2*pi)); for i=1:n,
an(i)=double(int(x^2.*cos(i*x),x,-pi,pi)/pi); bn(i)=double(int(x^2.*sin(i*x),x,-pi,pi)/pi); g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(a0+g),max(a0+g)]); legend('Señal con n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje3.m
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Ejercicio 3.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
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Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
48
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Como ya vimos en el ejercicio 3 no se obtuvieron valores en el armónico por lo tanto
calcular estos valores en estos casos es algo absurdo pero por razones didácticas se realizara
el cálculo para compara resultados.
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
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A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Con 5 elementos:
Con 10 elementos:
50
Con n=15:
Con 20 elementos:
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El programa para generar las graficas en su forma compleja se muestra a continuación.
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie,
n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=x^2; y=t.^2; c0=(pi^2)/3; for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi); cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
figure(1) plot(t,g+c0,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+c0),max(g+c0)]); legend('Señal con n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex3.m
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Ejercicio 4.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
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Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
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Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
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A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de ya que
este fue el único arménico en el que obtuvimos valores, para esto utilizaremos unas
formulas.
Como en el armónico de no tenemos valores entonces este es cero.
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
57
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 4.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 4.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
58
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
59
Para 15 elementos.
Para n=20.
60
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de armonicos n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
y=t.^3; a0=double(int(x^3,x,-pi,pi)/(2*pi)); for i=1:n,
an(i)=double(int(x^3.*cos(i*x),x,-pi,pi)/pi); bn(i)=double(int(x^3.*sin(i*x),x,-pi,pi)/pi); g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),max(y)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje4.m
61
Ejercicio 4.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
62
63
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
64
Desarrollamos nuestra serie en su forma compleja:
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Como ya vimos en el ejercicio 4 no se obtuvieron valores en el armónico por lo tanto
calcular estos valores en estos casos es algo absurdo pero por razones didácticas se realizara
el cálculo para compara resultados.
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
65
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
66
Para 15 elementos.
Para n=20.
67
El programa para las graficas en formato complejo es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=x^3; y=t.^3; for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi); cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
figure(1) plot(t,g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),max(y)]); legend('Señal con n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex4.m
68
Ejercicio 5.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
69
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
70
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
Y la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que en esta
ocasión cuenta con valores de y y funciones y que se van
incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que integrar
nuestra función seno y coseno elevadas al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio
1 estas sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
71
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento, NOTA:
estos 10 errores son utilizando a y a cos(nt)
72
Ahora asemos los cálculos del error de los 10 primeros elementos de la serie g (t) usando el
otro armónico. NOTA: estos 10 errores son utilizando a y a sen(nt)
73
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
74
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 5.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 5.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
75
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Con 5 elementos.
Con 10 elementos.
76
Con 15.
Y con 20
77
El script es el siguiente.
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de armonicos n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
y=exp(t); a0=double(int(exp(x),x,-pi,pi)/(2*pi)); for i=1:n,
an(i)=double(int(exp(x).*cos(i*x),x,-pi,pi)/pi); bn(i)=double(int(exp(x).*sin(i*x),x,-pi,pi)/pi); g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(a0+g),max(a0+g)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje5.m
78
Ejercicio 5.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
79
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
80
Desarrollamos nuestra serie en su forma compleja:
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
81
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
82
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Con 5 elementos.
Con 10 elementos.
83
Con 15.
Y con 20
84
El script en formato complejo es el siguiente.
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie,
n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=exp(x); y=exp(t); c0=sinh(pi)/pi; for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi); cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
figure(1) plot(t,g+c0,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+c0),max(g+c0)]); legend('Señal con n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex5.m
85
Ejercicio 6.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
86
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
87
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
88
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
89
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 6.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 6.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
90
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
91
Para 15.
Para 20.
92
El programa para las graficas es el siguiente:
93
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de armonicos n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=sinh(x); y=sinh(t); a0=double(int(f1,x,-pi,pi)/(2*pi)); for i=1:n,
an(i)=double(int(f1.*cos(i*x),x,-pi,pi)/pi); bn(i)=double(int(f1.*sin(i*x),x,-pi,pi)/pi); g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),max(y)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje6.m
94
Ejercicio 6.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
95
96
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
97
Desarrollamos nuestra serie en su forma compleja:
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
98
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
99
Para 15.
Para 20.
100
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=sinh(x); y=sinh(t);
for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi); cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
figure(1) plot(t,g,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),max(y)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex6.m
101
Ejercicio 7.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
102
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
0
0
0
0
0
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
103
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
104
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
105
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 7.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 7.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
106
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
107
Para 15.
Para 20.
108
El programa para las graficas es el siguiente:
clc
clear all
syms x
n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n=');
t=-pi:pi/180:pi;
g=zeros(1,length(t));
a0=(double(int(1,x,-pi,0))+double(int(0,x,0,pi)))/(2*pi);
for i=1:n,
an(i)=(double(int(1*cos(i*x),x,-pi,0))+...
double(int(0*cos(i*x),x,0,pi)))/pi;
bn(i)=(double(int(1*sin(i*x),x,-pi,0))+...
double(int(0*sin(i*x),x,0,pi)))/pi;
g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end
N=length(t);
y=zeros(1,N);
for k=1:N,
if t(k)<=0
y(k)=1;
else
y(k)=0;
end
end
figure(1)
plot(t,a0+g,'r',t,y,'--b');grid on;
xlabel('t');ylabel('f(t)');
axis([-pi,pi, min(g+a0),max(g+a0)]);
legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje7.m
109
Ejercicio 7.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
110
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0 0 0
1
2 0 0
3
4 0 0
5
6 0 0
7
8 0 0
9
10 0 0
111
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
112
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
113
Para 15.
Para 20.
114
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=1; f2=0; c0=1/2; for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(-j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
N=length(t); y=zeros(1,N); for k=1:N, if t(k)<=0 y(k)=1; else y(k)=0; end end
figure(1) plot(t,g+c0,'r',t,y,'--b');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+c0),max(g+c0)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex7.m
115
Ejercicio 8.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
116
117
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
0
0
0
0
0
118
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
119
120
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Ok, bueno en este caso nos dieron 0 en los dos casos, efectuaremos otro cálculo del
segundo elemento para ver si n0s da otro resultado:
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Ahí está, ahora sí.
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 8.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
121
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 8.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
122
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
123
Para 15.
Para 20.
124
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=-sin(x); f2=sin(x); y=abs(sin(t)); a0=(double(int(f1,x,-pi,0))+double(int(f2,x,0,pi)))/(2*pi); for i=1:n,
an(i)=(double(int(f1*cos(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*cos(i*x),x,0,pi)))/pi; bn(i)=(double(int(f1*sin(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*sin(i*x),x,0,pi)))/pi; g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end
figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),max(y)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje8.m
125
Ejercicio 8.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
126
127
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0
1 0 0
2
3 0 0
4
5 0 0
6
7 0 0
8
9 0 0
10
128
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Se hará con el segundo elemento:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
129
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
130
Para 15.
Para 20.
131
El programa para las graficas en complejo es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=-sin(x); f2=sin(x); y=abs(-sin(t)); c0=2/pi; for i=1:n, k=i*2;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(-j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
figure(1) plot(t,g+c0,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+c0),max(g+c0)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex8.m
132
Ejercicio 9.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
133
134
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
0
0
0
0
0
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
135
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
136
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
137
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Se volverá a realizar l cálculo ya que estos dos primeros nos dieron cero. Ahora seguiremos
con el segundo elemento.
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 9.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 9.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
138
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
139
Para 15.
Para 20.
140
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=-cos(x); f2=cos(x); a0=(double(int(f1,x,-pi,0))+double(int(f2,x,0,pi)))/(2*pi); for i=1:n,
an(i)=(double(int(f1*cos(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*cos(i*x),x,0,pi)))/pi; bn(i)=(double(int(f1*sin(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*sin(i*x),x,0,pi)))/pi; g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=-cos(t(i)); else y(i)=cos(t(i)); end end
figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+a0),max(g+a0)]);
legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje9.m
141
Ejercicio 9.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
142
143
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0 0 0
1 0 0
2
3 0 0
4
5 0 0
6
7 0 0
8
9 0 0
10
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
144
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Ahora con
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
145
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
146
Para 15.
Para 20.
147
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=-cos(x); f2=cos(x);
for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(-j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=-cos(t(i)); else y(i)=cos(t(i)); end end
figure(1) plot(t,g,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g),max(g)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex9.m
148
Ejercicio 10.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
149
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
150
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
0
0
0
0
0
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
151
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
152
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 10.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 10.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
153
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
154
Para 15.
Para 20.
155
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=1; f2=-1; a0=(double(int(f1,x,-pi,0))+double(int(f2,x,0,pi)))/(2*pi); for i=1:n,
an(i)=(double(int(f1*cos(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*cos(i*x),x,0,pi)))/pi; bn(i)=(double(int(f1*sin(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*sin(i*x),x,0,pi)))/pi; g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=1; else y(i)=-1; end end
figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--b');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+a0),max(g+a0)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje10.m
156
Ejercicio 10.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
157
158
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0
1
2 0 0
3
4 0 0
5
6 0 0
7
8 0 0
9
10 0 0
159
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
160
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
161
Para 15.
Para 20.
162
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=1; f2=-1; for i=1:2:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(-j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=1; else y(i)=-1; end end
figure(1) plot(t,g,'r',t,y,'--b');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g),max(g)]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex10.m
163
Ejercicio 11.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
164
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
165
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
0
0
0
0
0
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
166
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
167
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de .
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Como en este caso los dos valores nos dan cero volveremos a hacer el cálculo de otro
elemento de la serie.
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
168
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 11.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 11.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
169
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
170
Para 15.
Para 20.
171
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=sin(x); f2=0; a0=(double(int(f1,x,-pi,0))+double(int(f2,x,0,pi)))/(2*pi); for i=1:n,
an(i)=(double(int(f1*cos(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*cos(i*x),x,0,pi)))/pi; bn(i)=(double(int(f1*sin(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*sin(i*x),x,0,pi)))/pi; g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=sin(t(i)); else y(i)=0; end end
figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--b');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+a0),1]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje11.m
172
Ejercicio 11.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
173
Calculamos los valores en de -5 hasta 5.
0
1 0 0
2
3 0 0
4
5 0 0
6
7 0 0
8
9 0 0
10
174
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Igualmente nos dan cero ambos valores, si comparamos estos datos con la tabla generada
en el ejercicio 11 podemos apreciar que si, efectivamente en esos valores de n el resultado
es cero. Proseguiremos a hacer el cálculo de cuando n vale 2, n=2
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
175
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
176
Para 15.
Para 20.
177
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=sin(x); f2=0; c0=-1/pi; for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(-j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=sin(t(i)); else y(i)=0; end end
figure(1) plot(t,g+c0,'r',t,y,'--b');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(g+c0),1]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex11.m
178
Ejercicio 12.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y simular los 5,
10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Hacemos los cálculos de , y . Sustituimos nuestra en cada formula.
179
180
Una vez encontrados el valor de los armónicos, desarrollamos nuestra serie:
181
A continuación se presenta la tabla con los valores del 1 al 10 del armónico .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10
0
0
0
0
0
Procederemos a desarrollar nuestra serie hasta los 10 elementos.
Se puede observar que el planteamiento es parecido al ejercicio 1; podemos ver que esta
también cuenta con un valor de solo que en este caso es y una función que
se va incrementando. De esto podemos deducir que para encontrar solo tenemos que
integrar nuestra función seno elevada al cuadrado ya que si comparamos con el ejercicio 1
esta sería nuestra , entonces para calcular el error cuadrático medio solo tenemos que
encontrar todos los valores de nuestra ecuación (2)
182
Ya con esto podemos obtener los errores de los 10 primeros elementos de la serie g (t),
sustituimos estos resultados en (2) y obtenemos los 10 errores de cada elemento:
183
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma trigonométrica a la
compleja.
Se realizara el cambio de formato trigonométrico a complejo con los valores de
.
Utilizando y sustituyendo en (6) se tiene la siguiente forma:
Utilizando y sustituyendo en (7) se tiene la siguiente forma:
Estos resultados se pueden comprar con la tabla generada en el ejercicio 12.1 que se
encuentra más adelante. Esta es una forma de poder cambiar de un formato otro sin
necesidad de hacer todo el proceso completo, el hecho de realizar un cálculo ya sea en su
forma compleja o trigonométrica con eso ya podemos nosotros poder cambiar de una forma
a otro y nos puede facilitar el hacer todo los cálculos de nuevo. En el ejercicio 12.1 se
mostrara la forma en la que se pude hacer este proceso de deforma invertida ósea del
formato complejo al trigonométrico pero eso se verá más adelante.
184
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
185
Para 15.
Para 20.
186
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x
n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=x; f2=-x; a0=(double(int(f1,x,-pi,0))+double(int(f2,x,0,pi)))/(2*pi); for i=1:n,
an(i)=(double(int(f1*cos(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*cos(i*x),x,0,pi)))/pi; bn(i)=(double(int(f1*sin(i*x),x,-pi,0))+... double(int(f2*sin(i*x),x,0,pi)))/pi; g=g+(an(i)*cos(i*t)+bn(i)*sin(i*t));
end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=t(i); else y(i)=-t(i); end end
figure(1) plot(t,a0+g,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),pi]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_eje12.m
187
Ejercicio 12.1.- Realice la aproximación de la siguiente función f (t) utilizando la serie de
Fourier compleja, calcular el erro cuadrático medio para los primeros 10 armónicos y
simular los 5, 10, 15 y 20 armónicos a través de una grafica en MATLAB.
Calculamos los valores de
188
189
Calculamos los valores en de -10 hasta 10.
0 0
1
2 0 0
3
4 0 0
5
6 0 0
7
8 0 0
9
10 0 0
190
A continuación se demostrara la igualad que existe entre la forma compleja y la
trigonométrica.
Se realizara el cambio de formato complejo a trigonométrico con los valores de
Primero calcularemos el valor de , para eso utilizaremos los datos de la tabla
anteriormente presentada, los datos son , sustituimos en (8) y obtenemos lo
siguiente:
A continuación lo aremos con , de igual forma, sustituimos valores en (9) y obtenemos:
Muy bien, con esto podemos comprobar que para empezar aquí también si me salieron bien
los cálculos y… que si es igual la forma compleja con la trigonométrica jeje, bueno pues
para seguir comprobando los resultados es solo cuestión de seguir sustituyendo los valores
y así se irán obteniendo los datos.
191
A continuación se presentan las graficas de la grafica con 5, 10, 15 y 20 elementos de la
serie:
Para 5 elementos.
Para 10.
192
Para 15.
Para 20.
193
El programa para las graficas es el siguiente:
clc clear all syms x j=sqrt(-1); n=input('Introdusca el numero de elementos de la serie, n='); t=-pi:pi/180:pi; g=zeros(1,length(t));
f1=x; f2=-x; c0=-pi/2; for i=1:n, k=i;
cn(k)=(double(int(f1.*exp(-j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(-j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
cn2(k)=(double(int(f1.*exp(j*k*x),x,-pi,0))+... double(int(f2.*exp(j*k*x),x,0,pi)))/(2*pi);
g=g+(cn(k)*exp(j*k*t)+cn2(k)*exp(-j*k*t)); end
N=length(t); y=zeros(N,1); for i=1:N,
if(t(i)<=0) y(i)=t(i); else y(i)=-t(i); end end
figure(1) plot(t,g+c0,'r',t,y,'--k');grid on; xlabel('t');ylabel('f(t)'); axis([-pi,pi,min(y),pi]); legend('Señal g(t), n armonicos g(t)','Señal f(t)');
Erik_complex12.m