INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales fueron inicialmente tratadas por Newton para estudiar el movimiento planetario, luego fue progresando a medida que se afianzo en la ciencia natural, especialmente en la física con problemas importantes como, la ley de Newton, las ecuaciones de Euler para la hidrodinámica, la ecuación de calor por Fourier, etc.

Actualmente las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en el campo de la física, sino también en la Ingeniería, de la química, economía, agronomía, etc. de ahí que su estudio sea indispensable para la especulación de toda ciencia natural.

APLICACIÓN A LA FISICA

1) Determinar el recorrido S por un cuerpo durante el tiempo t, Si su velocidad es proporcional a su trayectoria, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo recorre 100 mts. Y en 15 segs. 200 mts.

SOLUCION

S= el camino recorrido; t=tiempo en segundos

V ¿dsdt = velocidad del cuerpo

La descripción matemática es: dsdt = ks

La solución de la ecuación diferencial es:

S¿ A ekt

Para t = 10seg. S = 100 mts.

Reemplazando se tiene:

100 ¿ Ae10t A ¿100

e10 k ………. (1)

Para t = 15 seg. S=200 mts.

Reemplazando se tiene:

200 ¿ Ae15t A ¿200

e15 k ………. (2)

Igualando 1 y 2 se tiene

K ¿ln (2)5

Reemplazando en 1 y 2 se tiene que A = 25

Luego el camino recorrido es: S = 25.2t5

2) Esbozar la ecuación del recorrido “x” de un cuerpo durante el tiempo “t”, sabiendo que su velocidad es inversamente proporcional al trayecto. Además se sabe que en 20 seg. El cuerpo recorre 300 mts y en 30 seg. 250 mts.

SOLUCIÓN:

dxdt

= kx

xdx=kdt∫ xdx=k∫ dtx2

2=k . t+c

x (20 )=300 x (30 )=250

3002

2=20k+c

2502

2=30k+c

45000=20k+c….. (1) 31250=30k+c…. (2)

Reemplazamos (1) en (2):(-) 45000=20k+c c=45000-20(-13750) 31250=30k+c c=72500 -13750=10k K=-1375

x2

2=k . t+c

x2

2=72500−1375 t

x2=145000−2750tX (t)=√145000−2750 t

APLICACIONES DE MEZCLAS (salmuera)

3) Se tiene un tanque con 500 gal de agua y le entra salmuera con 2 lb de sal por gal a un flujo de 5 gal/min, la mezcla homogénea solo a un flujo de 10 gal/min.Calcule la concentración de sal en cualquier instante “t”.

SOLUCION

F1= 5galmin

C1=2lbgal

F2=10galmin ; C2=

x500−(10−5) t

C2=x

500−5 t

dxdt

=5(2)-10¿)

dxdt

=10 −2 x100−t

dxdt

=10+ 2 x6−100

dxdt

−¿ 2 xt−100

) x=10

X− ∫e

−¿ 2dtt−100

¿

¿ ¿

X= e2 ln (t−100) [ ∫❑

e−2ln ( t−100)

¿10dt+c ]*(t−100 )❑2 ¿

X= ¿ [∫ 10dt

(t−100)2+c ] = (t−100)2 [ −10

t−100+c ]

X= c (t−100)2- 10 (t -100)

500 gal0 lib

X= 1000-10t + C (t−100)2

4) Se tiene un tanque con 300 galones de salmuera y 50 lb de sal disuelta. Otra solución de salmuera entra al tanque con una razón de 3 galón/min; la concentración de sal que entra es 2 lb/gal. Cuando la solución en el tanque está bien mezclada, sale con la misma rapidez con la que entra. Hallar la cantidad de sal “x” en cualquier instante “t”.

SOLUCION

F1= 3galmin

C1=2lbgal

F2=3galmin

C2=x

300gal dxdt

=F1C1-F2C2

dxdt

=3(2)−3 x300

dxdt

=6 - x100

dxdt

−¿ 600−x100

)

dxx−600

=¿ dt100

∫ dxx−600

=−∫ dt100

Ln(x-600) = t100 + C

X-600= ec− t100

X= 600 +ec−et100

300 gal50 lb

X= 600 -ce−t100

Para las condiciones iniales:X (0) =50

50=600 +e0100

C=-550

X (t) =600 -550 +e−t100

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Cierta cantidad de una sustancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kgr. De sal se somete a la acción de 30 litros de agua. Después de 5 minutos se disuelve 1 kgr. De sal. Dentro de cuánto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal?

2) En cualquier instante para una solución que consta inicialmente de 200 litros de agua con 30 gramos de sal. A esta solución le entra una solución de agua con sal a una tasa de 4litros/min con una concentración de 1gramo/litro y le sale la mezcla a una tasa de 4 litros/min. Encontrar la cantidad de soluto en cualquier instante “t”.

3) En cualquier instante para una solución que consta inicialmente de 4000 litros de agua con 40 kilogramos de sal. A esta solución le entra agua pura a una tasa de 12 litros/min y le sale la mezcla a una tasa de 8 litros/min. Encontrar la cantidad de soluto en cualquier instante “t”.

4) La salmuera de un primer recipiente pasa a otro, a razón de 2 decalitros/min. Y la salmuera del segundo recipiente pasa al primero a razón de 1 decalitros/min. En un principio hay un 1 hectolitro de salmuera, conteniendo 20 kgrs. de sal, en el primer recipiente, y 1 hectolitro de agua en el segundo recipiente. Cuanta sal contendrá el primer recipiente al cabo de 5 minutos. Se supone que en todo momento es homogénea la mezcla de sal y agua en cada recipiente.

5) Salmuera que contiene 2 kgr. De sal por decalitro entre un primer tanque a razon de 2 decalitros/min. Del primer tanque pasa la salmuera a un segundo tanque a razón de 3 decalitros/min y sale de este segundo tanque a razón 3 decalitros/min. En un principio, el primer tanque contiene 1 hectolitro de salmuera con 30 kgrs de sal, y el segundo tanque contiene 1 hectolitro de agua pura. Suponiendo las soluciones homogéneas en cada tanque. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 5 minutos.