facultad de pedagogÍa anÁlisis y estudio de...
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ANÁLISIS Y ESTUDIO DE FUNCIONES ALGEBRAICAS A TRAVÉS DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
TESIS
QUE PRESENTA
ALEJANDRO SALMERÓN JIMÉNEZ
PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
ASESOR DE CONTENIDO
MTRO. ARTURO GONZÁLEZ LARIOS
ASESOR METODOLÓGICO
MTRO. ALAN EMMANUEL PÉREZ BARAJAS
VILLA DE ÁLVAREZ, COLIMA. FEBRERO DE 2012
FACULTAD DE PEDAGOGÍA
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3
4
Agradecimientos y dedicatoria
Concluir mis estudios de posgrado en el campo educativo, significó un gran
reto personal, debido a que la temática relativa al área pedagógica me eran un tanto
desconocidos, seguramente por el perfil de mis estudios de licenciatura, sin embargo
era impostergable conocerlos, apropiarlos y aplicarlos en el proceso educativo del
nivel medio superior.
Por eso es que agradezco a Dios por haberme dado la fuerza y tenacidad
necesarias para finalizar con éxito esta etapa académica y profesional. Agradezco a
mi esposa Sirenia y a mis hijos Montse y Alejandrito(+) por su apoyo y comprensión
incondicionales, sin los cuales hubiera sido muy difícil cursar los estudios; así como a
mis hermanos y hermanas por brindarme su aliento en momentos de flaqueza.
Agradezco también a todos los compañeros y maestros por sus críticas
constructivas, por compartir sus conocimientos y experiencia profesional que me han
servido en mi desempeño laboral, a los maestros que me brindaron sus
conocimientos y acertados comentarios; así como a mis asesores de tesis, el Mtro.
Arturo González Larios y el Mtro. Alan Emanuel Pérez Barajas, por su constante
orientación para concluir el trabajo.
Deseo expresar mi más sincero agradecimiento a nuestra Universidad de
Colima y a sus autoridades, por su constante preocupación por brindar opciones de
actualización y formación docente a propios profesores.
Dedico este trabajo con todo mi amor, cariño y respeto a la memoria de mis
padres:
Luis Salmerón Mesina+
María Jiménez García+
5
Resumen Este trabajo aborda los tópicos del proyecto de intervención educativa
implementado con los alumnos de quinto semestre grupo único, generación 2008-
2009 del Bachillerato Técnico No. 19 de la Universidad de Colima; identificando la
manera como se había desarrollado el proceso enseñanza-aprendizaje en la
asignatura de Cálculo Diferencial en el nivel medio superior, proponiendo y aplicando
estrategias didácticas con base en las corrientes constructivistas y de aprendizaje
significativo y colaborativo, reflejadas en la planeación de las sesiones y cuya
principal finalidad era lograr que los alumnos mejoraran su aprovechamiento escolar.
Las etapas del proyecto de intervención fueron: diagnóstico, identificación y
priorización de la problemática, análisis e interpretación de resultados y la evaluación
del proyecto, las técnicas que se utilizaron para la recopilación de información fueron
la observación participante y la fotografía; además del recurso tecnológico
desarrollado por la propia Universidad de Colima conocido como SICEUC. La
evaluación del proyecto permitió observar un mejor aprovechamiento académico de
los alumnos.
6
ABSTRACT
This paper addresses the topics of the proposed educational intervention
implemented with students in Group One Semester Fifth generation 2008-2009
Technical Baccalaureate No. 19, University of Colima, identifying the way they had
developed the teaching-learning process in Differential Calculus Course at the high
school level, proposing and implementing teaching strategies based on current
significant constructivist and collaborative learning, reflected in the planning of
meetings and whose main aim was to ensure that students improve their
achievement.
The intervention phase of the project were: diagnosis, identification and
prioritization of issues, analysis and interpretation of results and project evaluation
techniques that were used for data collection were participant observation,
photography, also the computer system developed by the same University of Colima
called SICEUC . The evaluation of the project allowed us to observe a better student
academic achievement.
7
ÍNDICE
Introducción…………………..…………………..……………………….. 1
Capítulo I.- Problemática
1.1 Diagnóstico de la situación problemática………………………. 2
Capítulo II.- Diagnóstico
2.1 Contexto de la intervención…………………..………………….. 4
2.2 Técnicas para obtener información…………………..…………. 7
2.2.1 Diario de campo…………………..……………………………….. 7
2.2.2 Cuaderno rotativo…………………..…………………..…………. 8
2.2.3 Encuestas…………………..…………………..………………….. 9
2.2.4 Recursos tecnológicos (audio y fotografía)…..………..……….. 10
2.2.5 Recursos tecnológicos (SICEUC)………….……………………. 10
2.3 Resultados y análisis del diagnóstico…………………………… 11
2.4 Identificación y priorización de problemas……………………… 12
Capítulo III.- Fundamento teórico
3.1 Exposición analítica del tema de funciones algebraicas……… 14
3.2 Origen del cálculo…………………..……………………………... 16
3.3 Estado del arte…………………..………………………………… 16
3.4 Revisión de la lógica de construcción del conocimiento en
Matemáticas……………………….………………..……………...
21
3.5 Propuestas didácticas sobre la enseñanza de la matemática. 29
Capítulo IV.- Plan de intervención
4.1 Definición del problema…………………..………………………. 34
4.1.1 Justificación de la intervención…………………..………………. 34
4.2 Objetivo general de la intervención……………………………… 35
4.2.1 Objetivos específicos de la intervención………………………... 36
4.3 Soluciones alternativas…………………..……………………….. 36
4.4 Planeación de la intervención…………………..………………... 37
4.4.1 Selección de la mejor alternativa………………………………… 38
4.5 Cronograma de actividades…………………..………………….. 39
4.6 Planeación didáctica para la intervención docente……………. 40
4.7 Evaluación de las sesiones intervenidas……………………….. 48
4.8 Matriz concentradora de actividades a desarrollar en cada
8
sesión…………………..…………………..………………………. 49
4.9 Instrumentos para registrar información………………………… 50
4.10 Plan de análisis de datos…………………..……………………. 50
Capítulo V.- Desarrollo de la intervención
5.1 Esquema individual de análisis de acciones, contingencias,
resultados o productos de cada sesión de intervención……….
51
5.2 Plan alternativo y rediseño…………………..…………………… 65
5.3 Resultados y análisis…………………..…………………………. 66
5.3.1 Resultados por cada sesión de intervención docente………… 66
5.3.2 Matriz de categorización de resultados por instrumento……… 91
5.3.3 Fundamentación y recuperación teórica del enfoque
propuesto…………………..…………………..…………………...
93
5.3.4 Explicación y discusión de resultados…………………………... 95
5.4 Resultados de las encuestas aplicadas………………………… 98
5.5 Descripción de evidencias fotográficas tomadas durante
la intervención………………………………………………………
99
5.6 Cuadro comparativo de resultados por parcial entre
generaciones no intervenidas contra resultados por parcial de
generación intervenida…………………………………………….
105
Capítulo VI.- Interpretación de los resultados de la intervención
y evaluación del proceso
6.1 Evaluación de proceso………….……………..…………………. 109
6.2 Evaluación de producto…….…………………..………………... 114
6.3 Sugerencias y recomendaciones…………………..……………. 115
Conclusiones…………………..…………………..……………………….
117
Bibliografía…………………..…………………………..…………………
Anexos
119
1 Encuesta de datos personales…………………..………………. 123
2 Diario de campo y cuaderno rotativo……………..……………... 124
3 Gráfica de volumen máximo…………………..…………………. 125
4 Encuesta……………………………………………..……………. 126
9
Tabla de figuras y cuadros
Figura 1 Distribución física del aula de clase 6
Figura 2 Forma geométrica del Teorema de Pitágoras 18
Figura 3 Incremento de las variables 52
Figura 4 Tendencia de incrementos 53
Figura 5 Recta secante tiende a convertirse en tangente 56
Figura 6 Lugar geométrico de un mínimo 60
Figura 7 Sección rectangular para el volumen máximo 62
Figura 8 Esquema para el área máxima de un corral 65
Figura 9 Calculo del máximo de un corral por tanteo 66
Figura 10 Acciones realizadas por el docente 96
Figura 11 Acciones realizadas por el alumno 97
Tabla 1 Recursos humanos, materiales y financieros 37
Tabla 2 Recursos humanos, materiales y financieros 38
Tabla 3 Recursos humanos, materiales y financieros 38
Tabla 4 Plan de clase, sesión 1 41
Tabla 5 Plan de clase, sesión 1 42
Tabla 6 Plan de clase, sesión 2 43
Tabla 7 Plan de clase, sesión 3 44
Tabla 8 Plan de clase, sesión 4 45
Tabla 9 Plan de clase, sesión 5 46
Tabla 10 Plan de clase, sesión 6 47
Tabla 11 Evaluación de las sesiones intervenidas 48
Tabla 12 Matriz de actividades hechas en la intervención 49
Tabla 13 Tabulación de una función 60
Tabla 14 Clasificación de procedimientos y técnicas 67
Tabla 15 Aspectos generales y de contenido, sesión 1 y 2 68
Tabla 16 Aspectos generales y de contenido, sesión 3 71
Tabla 17 Resultados de la primera encuesta 74
Tabla 18 Porcentajes arrojados por la primera encuesta 79
Tabla 19 Aspectos generales y de contenido, sesión 4 80
Tabla 20 Aspectos generales y de contenido, sesión 5 81
Tabla 21 Aspectos generales y de contenido, sesión 6 82
Tabla 22 Resultados de la segunda encuesta 84
Tabla 23 Porcentajes arrojados por la segunda encuesta 90
Tabla 24 Resultados categorizados por instrumento 91
Tabla 25 Comparativo entre evaluaciones parciales 105
Tabla 26 Comparativo por promedio, porcentaje y puntos 108
Tabla 27 Comparativo de promedio general 108
Gráfica 1,2,3,4 Interés, claridad, aplicación y utilidad de las matemáticas
75
Gráfica 5,6,7,8 Aportaciones del cálculo, libros de texto y software educativo
76
10
Gráfica 9,10,11,12 Solución y gusto por los ejercicios, percepción sobre la clase de matemáticas
77
Gráfica 13,14,15,16 Resultados, motivación, lectura de simbología 78
Gráfica 17, 18 Uso adecuado de la calculadora 79
Gráfica 19,20,21,22 Interés, claridad, aplicación y utilidad de las matemáticas
85
Gráfica 23,24,25,26 Aportaciones del cálculo, libros de texto y software educativo
86
Gráfica 27,28,29,30 Solución y gusto por los ejercicios, percepción sobre la clase de matemáticas
87
Gráfica 31,32,33,34 Resultados, motivación, lectura de simbología 88
Gráfica 35,36,37,38 Uso adecuado de la calculadora, construcción del modelo físico
89
Gráfica 39 Promedio de cada una de las generaciones analizadas
107
Fotografía 1,2 Análisis de la ecuación y socialización 100
Fotografía 3,4 Trabajo colaborativo y uso de la calculadora 101
Fotografía 5,6 Alumno motivado y resultados (incompletos) del análisis
102
Fotografía 7 Resultados correctos del análisis 103
Fotografía 8,9 Trabajando colaborativamente en la construcción del modelo físico y recursos tecnológicos
104
Fotografía 10 Producto obtenido del análisis 105
11
Introducción
En este documento se presentan las metas alcanzadas mediante un proyecto
de intervención, en el que se describe y se analiza cómo se llevaron a cabo las
diferentes fases de dicho trabajo, que fueron desde el diagnóstico, identificación y
priorización de las situaciones problemáticas que se estaban presentando dentro del
salón de clase, hasta la implementación de la intervención y el análisis de los
resultados, simultáneamente se investigó y aplicó la base teórica que sustentara los
hechos, con el fin de justificar y poner en marcha el proyecto de intervención, que a
su vez permitió transformar para bien la práctica docente.
En el capítulo I, se describe la problemática que se estaba presentando dentro
del salón de clase, tanto por parte de los alumnos como por parte del profesor; en el
capítulo II, se detalla el contexto en que se dio la intervención y las técnicas e
instrumentos utilizados para recabar la información, así como los resultados del
diagnóstico y la priorización de la problemática.
Dentro del capítulo III, se describe el fundamento teórico que sustentó al
proyecto de intervención, desde los contenidos analíticos en que se iba a intervenir,
hasta como se da la lógica de construcción del conocimiento en la asignatura de
Matemáticas; en el capítulo IV, se define el problema, se justifica la intervención, se
plantean los objetivos, se planea la intervención y se justifican los instrumentos para
recabar la información.
En lo que respecta al capítulo V, se describe cómo se llevó a cabo el proceso
de la intervención, desde los resultados que se tuvieron en cada sesión, la
categorización de los resultados por instrumento, hasta la explicación y discusión de
dichos resultados, se finaliza con el capítulo VI, donde se evalúa el proceso y los
resultados.
1
2
Capítulo I
Problemática
1.1 Diagnóstico de la situación problemática
García (1997) describió que el proceso de recuperación de la práctica docente
puede iniciar con un registro sistemático de lo que sucede dentro del salón de clase;
para posteriormente analizarla y explicarla; por lo tanto, su finalidad es observar los
hechos que suceden al interior de la escuela, en este caso interesaba
particularmente lo que pasaba dentro del salón de clases; y con ello se obtuvo un
diagnóstico lo más objetivo posible utilizando para ello la técnica de la triangulación
de información, mediante diferentes instrumentos que permitieron recuperar todo tipo
de situaciones que se presentaban durante el desarrollo de las sesiones de clase.
Dicha recuperación se realizó con diferentes instrumentos, a saber: el diario de
campo o autoregistro apoyado con grabaciones de audio digital; cuaderno rotativo,
encuesta, fotografía y el Sistema de Control Escolar de la Universidad de Colima
(SICEUC), los cuales se utilizaron para contar con las evidencias del desempeño
escolar y académico de los alumnos de 5o. semestre durante el semestre agosto 08 /
enero 09, abarcando desde la fase del diagnóstico, registro, identificación y
priorización de los problemas, en el Bachillerato Técnico No. 19, de la Universidad
de Colima.
Este diagnóstico se realizó, como ya se mencionó, a través de la técnica de la
triangulación, cuyo fin es el de reunir observaciones e informes sobre una misma
situación o sobre algunos aspectos de la misma y que se pueden efectuar desde
diversos ángulos o perspectivas, con el objeto de compararlos o contrastarlos (Elliott,
2005). Con esta idea en mente, se emplearon diferentes técnicas que permitieron
identificar la situación problemática y por consiguiente ésta se pudo abordar desde
diferentes puntos de vista logrando con ello un análisis de la información lo más
objetivo posible -es decir, que no dependiera de la visión, sentimientos o afectos
personales de quien hizo las observaciones.
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Esta recolección de información se hizo con la intención de reunir la mayor
cantidad posible de información e interpretar, sistematizar y analizar el proceso
educativo. Desde esta perspectiva, se considera que el profesor puede investigar su
propia práctica, cuestionándose sobre su papel, función y figura, revisa los
contenidos, métodos, instrumentos, procedimientos y llegar a generar conocimiento
a partir de este proceso. Consultado en http://bibliotecadigital.conevyt.org.mx/Servici
os/hemeroteca/ reencuentro/no26/Docencia/invest.htm, el 17 de agosto del 007
En el ámbito educativo se utiliza como una metodología para describir los hechos
ocurridos en el salón de clases, usada como un método de investigación de la
antropología cultural, en la cual se recolectan los datos en el propio terreno de la
investigación y teniendo como informantes a los integrantes de una comunidad dada;
- en este caso particular-, son los alumnos que integran un grupo escolar del
bachillerato técnico no. 19, de la Universidad de Colima.
Las observaciones llevadas a cabo por parte del propio docente, así como por
parte de los alumnos, se apoyaron en la metodología de la etnografía, la cual
consiste en el estudio, observación, descripción y registro de las costumbres, ritos,
prácticas y formas de vida de los grupos humanos y es una rama de la Antropología
cultural y de la Sociología. Consultado en http://www.uam.es/personal_pdi/stmaria/
jmurillo/InvestigacionEE/Presentaciones/Etnografica_doc.pdf el 18 de septiembre del
2007. De acuerdo con Woods (1987), el etnógrafo se interesa por lo que hay detrás,
por el punto de vista del sujeto –que puede contener opiniones alternativas- y las
perspectivas con que éste ve a los demás. Entonces, para el caso del salón de
clases, se trata de describir todas las situaciones que ocurren al interior, como
puede ser si los alumnos hacen el trabajo encargado por el maestro, si lo entregan a
tiempo, que dificultades tienen para realizarlo, la puntualidad , el desempeño escolar,
la conducta y comportamiento de todos los integrantes del grupo (incluyendo al
propio profesor) o qué recursos didácticos se emplean para impartir la clase, entre
otras.
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Capítulo II
Diagnóstico
2.1 Contexto de la intervención
El grupo con el que se aplicó el proyecto de intervención, correspondió al de 5º
Semestre, grupo A, en el periodo semestral agosto 08/enero 09; del Bachillerato
Técnico No. 19, dependiente de la Universidad de Colima. Este plantel se localiza en
la comunidad de Cerro de Ortega; cuenta con edificio propio en la calle Melchor
Ocampo No. 210, colonia El Bordo; esta población se localiza aproximadamente a
25 km de la cabecera municipal de Tecomán, tomando la carretera Tecomán-Playa
Azul, en los límites de los estados de Colima y Michoacán.
De acuerdo con el documento del Informe Anual de Actividades 2008,
presentado por el actual director del plantel, Ing. Julio Ernesto Mesina Escamilla;
este plantel forma parte de la Delegación Regional No. 2, de la Universidad de
Colima, la cual comprende los municipios de Tecomán, Armería e Ixtlahuacán. La
fecha de la fundación de este bachillerato fue el 20 de Julio de 1980, durante la
administración rectoral del Lic. J. Humberto Silva Ochoa. Hasta el semestre febrero
08/julio 08, se laboraba únicamente en el turno matutino, pero a partir del semestre
agosto 08 / enero 09, se abrió el turno vespertino, con un grupo nuevo de primer
ingreso.
En promedio se había mantenido con una matrícula estudiantil de 152
alumnos, incrementándose aproximadamente a 200, en el ciclo escolar 2008-2009,
laborando 10 profesores por horas y uno de tiempo completo, que imparten las 49
asignaturas que comprende el programa educativo con la opción Técnico en
Contabilidad, también colaboran el encargado del centro de cómputo, el secretario
administrativo, una psicóloga, el director, una secretaria y dos personas de servicios
generales.
Este bachillerato es de tipo bivalente con modalidad escolarizada, la misión
del plantel es la de atender la demanda social de nuestra comunidad, formando
5
estudiantes de manera integral, ofreciendo un programa pertinente y de calidad, con
trabajo colegiado de los maestros y apoyados por los padres de familia.
Cabe mencionar que en los últimos 3 o 4 años, una cantidad considerable de
aspirantes a bachillerato tanto de ésta comunidad como de poblaciones vecinas, de
los estados de Colima y Michoacán, se quedaban sin la posibilidad de acceder a este
nivel educativo, debido a que solo se abría un grupo por generación, con la
agravante que dicho grupo al inicio del semestre era bastante numeroso con un
promedio de 58 a 62 alumnos, lo que generaba un cierto ambiente de indisciplina y
falta de tiempo por parte de los profesores para atender en una forma adecuada a los
alumnos.
Hasta el semestre febrero 08 / julio 08, el bachillerato contaba únicamente con
un grupo por cada semestre, es decir, se tenían solo 3 grupos en el plantel, sin
embargo a partir del semestre agosto 08 / enero 09, ante la gran demanda de
alumnos de nuevo ingreso, se tuvo la necesidad de abrir otro grupo de primer
semestre en el turno vespertino, por lo que en los semestres 3º y 5º se continua
trabajando solamente con un grupo de cada semestre.
Por otro lado y para efectos de contextualizar aún más a los sujetos
implicados en el proyecto de intervención, es importante mencionar que de acuerdo a
una encuesta ( Véase Anexo No. 1) diseñada y aplicada con la idea de conocer
algunos datos secundarios que enriquecieron más el diagnóstico; destacando la
siguiente información: se pudo determinar que la edad de los alumnos oscilaba entre
los 17 y 19 años y que aproximadamente el 50% de los alumnos bajó en su promedio
escolar al pasar de la secundaria al bachillerato, además que el 60% de los alumnos
laboraban en actividades propias de la localidad.
También se pudo determinar que solo el 5% de los alumnos tienen
computadora en casa y un 15% cuenta con una enciclopedia, el nivel de escolaridad
de los padres de los alumnos en educación formal en su mayoría es de primaria
6
trunca y sólo unos cuantos (aproximadamente un 3%) han concluido sus estudios en
educación superior. Debido a que esta comunidad cuenta con aproximadamente
8,000 habitantes, se tiene que aproximadamente, solo el 2% de la población accede
al este nivel educativo, dentro de su propia comunidad.
En lo que se refiere a la planta física del bachillerato, está conformada
únicamente por un solo edificio de una planta, dentro del cual se encuentran
localizados los salones de clase, la dirección, el centro de cómputo y la biblioteca. El
salón donde se desarrollan las actividades académicas de 5o. semestre, mide
aproximadamente 7 m de largo por 6 m de ancho, lo que da una superficie de 42 m2,
que albergan a 51 personas; 50 alumnos y el profesor.
Este salón cuenta con escritorio y silla para el maestro, una butaca para cada
alumno, distribuidas en 6 filas de 8 alumnos por cada fila, tiene 4 ventiladores de
techo, 1 ventilador de piso para el profesor, 4 juegos de lámparas fluorescentes, 1
pintarrón, 1 pantalla de vinil para video proyección, 1 regulador de voltaje, 1 PC de
escritorio, bocinas, un proyector multimedia, 1 calculadora graficadora y un view
screen; además cuenta con amplios ventanales que permiten buen flujo de aire;
aunque en época de calor, el aire circulante es bastante caliente. En la figura no. 1
se muestra la distribución de las butacas y la mesa del docente.
entrada
mesa del profesor
distribución de las butacas
Fig. No. 1. Distribución física del salón de clases donde se llevó a cabo la intervención. Fuente: propia
Distribución física del salón de clase
7
Es de resaltar que este espacio resultaba insuficiente para la cantidad de
alumnos que conformaban al grupo, ya que se encontraban demasiado próximos
entre sí, y al no haber suficiente espacio para caminar con facilidad entre los
alumnos, al docente se le dificultaba revisar con alguna frecuencia el trabajo o las
actividades que los alumnos tenían que realizar dentro del salón de clase.
2.2 Técnicas para obtener información
Según Woods (1987) la observación participante es una técnica muy utilizada
para ver la escuela por dentro y con ello registrar a detalle los acontecimientos que
ahí se dan. De acuerdo con García (1997), en la observación participante dos de los
principales sujetos implicados en el proceso educativo interactúan con y sobre el
entorno escolar, es decir, se presentan acciones en los dos sentidos; de los alumnos
hacia el maestro y del maestro hacia los alumnos. A continuación se describen las
técnicas que se usaron durante el proyecto de intervención para obtener la
información.
2.2.1 Diario de campo
Con referencia a la técnica del diario de campo o notas de campo, a decir de
Woods (1987), se trata que el docente vaya registrando los hechos o situaciones
haciendo las respectivas anotaciones u observaciones de lo que sucedió y se vivió
dentro del salón de clase, es claro que estas observaciones debían ser los más
objetivas posible, y es que es el profesor quien se observa a sí mismo, debiendo
estar muy pendiente de lo que hace, en consecuencia; “los principales requisitos de
la observación son, naturalmente un ojo avizor, un oído fino y una buena memoria”
(Woods, 1987, p. 56).
Como apoyo para lograr que estas observaciones fueran más confiables, se
utilizó una grabadora digital de voz, con la cual se pudo hacer una revisión posterior,
no mayor a las 24 horas de levantado el registro, con lo que se tenía la posibilidad de
ampliar y mejorar el registro, al contar con más detalles, revisando la grabación
cuentas veces era necesario.
8
Esta técnica, como ya se ha mencionado debía ser lo más objetiva posible;
porque si no fuera así; no tendría sentido que el maestro registrara su propia
práctica docente, al registrar situaciones que no suceden realmente, o que las
registre modificando lo que observa, solo porque otras personas se pueden enterar
que durante su clase, ocurren algunas conductas poco apropiadas como indisciplina,
poco trabajo de los alumnos y dispersión, entre otras; y es que es realmente difícil
hacer estas auto observaciones, porque el mismo maestro se puede dar cuenta, que
no realiza su labor de la mejor manera, o en todo caso, la labor que desarrolla no
depende únicamente de él, sino también del grupo, el cual, debido a su edad, se
encuentra en el periodo de la adolescencia, el cual es un periodo de cambios físicos
y conflictos emocionales, y por lo tanto, su desempeño académico en la mayoría de
los casos, es muy variable, dependiendo de su estado de ánimo.
Por otra parte, si se hace una observación objetiva, no solo se registran
conductas no deseadas, sino también situaciones de verdadero aprendizaje que el
alumno poco a poco va construyendo por sí mismo y que tienen un significado real
para él; también se dan muestras de compañerismo, de ayuda mutua, de respeto, de
tolerancia, es decir, de valores, que se han ido perdiendo poco a poco, y que también
son fundamentales dentro de la formación integral del ser humano.
2.2.2 Cuaderno rotativo
Cruz (2000) describe al cuaderno rotativo como la técnica de recolección de
información donde se requiere que los alumnos hagan sus propios registros en el
lugar donde se da el fenómeno por investigar (salón de clase), para ello debe
observar el comportamiento durante algún tiempo, teniendo la característica de que
el fenómeno se debe describir tal y como sucede en la realidad. Haciendo dichas
observaciones lo más apegado posible a la realidad del salón de clase, para que de
esta forma se pueda obtener la información que se requiere junto con la recabada a
través de las otras técnicas para su posterior interpretación y análisis.
9
Con la finalidad de dejar más claro, cual era la tarea que iban a realizar los
alumnos, se diseñó un formato, (Véase Anexo No. 2) en el cual se muestran las
características más sobresalientes de lo que se tenía que registrar, como la fecha,
hora de entrada, hora de salida, duración de la sesión, tema visto, técnicas didácticas
utilizadas para la impartición de la clase, las herramientas didácticas que se usan
durante la clase y un apartado, donde ellos tenían la posibilidad de hacer cualquier
tipo de anotación, observación o sucesos relevantes que haya sucedido durante la
sesión. Cabe mencionar, que se utilizó un formato similar, para levantar la
información con el diario de campo.
2.2.3 Encuesta
“La encuesta es una técnica que consiste en obtener información acerca de
una parte de la población o muestra, mediante el uso del cuestionario o de la
entrevista” (Cruz, 2000, p. 87), por lo tanto, para recabar información se utilizan
diversas preguntas que miden los ciertos indicadores que se han determinado de
acuerdo al problema que se desea resolver.
El diseño de la encuesta debe brindar confiabilidad de la información
adquirida, valiendo esto para cualquier instrumento que se utilice para recopilar
información. “La encuesta es una técnica de investigación de campo, cuyo objeto
puede variar, que va desde la recopilación de información para definir el
problema,(estudios exploratorios) hasta obtener información para probar una
hipótesis (estudios confirmatorios (Cruz, 2000, p. 87). En este caso la encuesta se
utilizó como técnica para obtener información sobre las situaciones problemáticas
que se presentaban en el salón de clases.
Esta encuesta se diseñó con la finalidad de registrar la información más
relevante que se generaba durante las sesiones de intervención, en el formato
conocido como de abanico, donde los encuestados, en este caso particular eran los
alumnos del salón de clase, solo tienen que seleccionar una respuesta entre varias
opciones, con esto se logró tener un mayor control sobre los resultados que se
10
deseaban obtener, como fueron: la percepción que los alumnos tenían acerca de la
asignatura de Matemáticas V, la forma en que de abordaban los temas por parte del
docente y que recursos y/o técnicas didácticas utilizaba en las sesiones de clase.
Dicha encuesta se aplicó a la totalidad de los alumnos del grupo de quinto
semestre, en dos momentos diferentes, primero se aplicó a la mitad de alumnos del
grupo al finalizar la primer semana de observación; y después se aplicó a la otra
mitad de alumnos al terminar la segunda semana de observación; es de aclarar que
los alumnos a los que se aplicó la primera encuesta se tomaron aleatoriamente
quedando, en consecuencia la otra mitad también al azar, esto con el fin de que las
respuestas no tuvieran ningún tipo de sesgo y así, observar y analizar las
respuestas.
2.2.4 Recursos tecnológicos (audio y fotografía) Rodríguez, Gil y García (1999) sostienen que los sistemas tecnológicos
resultan muy útiles si lo que se pretende es registrar la información en forma
permanente logrando además, en este caso, situar los acontecimientos dentro del
salón de clase de forma continua, ya sea mediante la grabación de audio digital
llevada a cabo con un reproductor-grabador conocido en la jerga estudiantil
simplemente como un “MP3”; aunque cabe aclarar que el audio se uso solamente
como material de apoyo para el diario de campo y el cuaderno rotativo; las
fotografías se tomaron con una cámara digital, lo cual le permite al investigador
conservar con lujo de detalle lo que se percibe como un todo fijo, con la ventaja de
que pueden ser fácilmente manipulables –en el sentido de revisar y consultar lo
registrado- con la intención de hacer a posteriori un análisis bastante completo de las
situaciones que se presentan dentro del aula.
2.2.5 Recursos tecnológicos (SICEUC)
El Sistema de Control Escolar de la Universidad de Colima (SICEUC) es un
programa informático en línea que fue desarrollado por la propia Universidad de
Colima, con la finalidad de llevar el control de los resultados de las evaluaciones
11
parciales, ordinaria, extraordinaria y de regularización, y así hacer un seguimiento del
desempeño académico de los alumnos. Sin embargo; cabe hacer mención que
existen diferentes versiones del SICEUC, de acuerdo a quien lo va a utilizar.
Por ejemplo, una es para que los alumnos puedan en todo momento revisar
sus resultados parciales, ordinarios, extraordinarios y de regularización y otra para
los responsables de subir a la red los resultados que entregan los maestros,
permitiendo también obtener reportes de diversas índoles, en el caso del presente
proyecto de intervención, se solicitó al secretario administrativo del plantel, quien es
el encargado del manejo del SICEUC, que imprimiera los resultados de las
evaluaciones de la materia de Matemáticas V, de las generaciones 2002-2005 a la
2006-2009, para en su momento hacer su respectivo análisis.
2.3 Resultados y análisis del diagnóstico
En las siguientes líneas se muestran los resultados y el análisis que se
obtuvieron de la fase diagnóstica y del diseño didáctico con relación al proyecto de
intervención, efectuado durante los semestres agosto 07 / enero 08 y agosto 08 /
enero 09. En 1997, Latorre afirmaba que la finalidad del diagnóstico era hacer una
descripción o explicación comprensiva de la situación que se presentaba y que
podía hacerse a través de las evidencias que se obtenían mediante la
observaciones, por lo que el diagnóstico es útil para tener una visión general de la
situación de estudio y ayuda a tener una opinión más clara y objetiva acerca de la
conducta, comportamiento y desempeño académico de los alumnos.
En consecuencia según los resultados obtenidos de los registros, el
profesor/interventor generalmente utilizaba material didáctico tradicional para impartir
las clases, dicho material era a saber, el pintarrón, marcadores para pintarrón de
diferentes colores, regla, escuadra, hojas milimétricas y calculadora científica.
Entonces, este fue uno de los principales problemas que se trató de remediar con la
implementación de este proyecto de intervención a través de técnicas didácticas
12
durante el semestre agosto 08 / enero 09; comprendiendo el periodo del 13 de
octubre del 09 al 22 de octubre del 09.
Así pues, de acuerdo con este diagnóstico, se pudo establecer que la mayoría
de alumnos presentaban algún grado de dispersión, falta de atención e indisciplina
dentro del salón de clase, que según Esteve (2003) es resultado de los diferentes
modelos de enseñanza utilizados en nuestros bachilleratos. También se pudo
determinar -mediante el diagnóstico- que el profesor no contaba con la planeación
didáctica respectiva; y es que dicha planeación resulta básica para lograr resultados
positivos, permitiendo realizar las actividades de acuerdo a un esquema previamente
definido, por unidades, por temas y por clase, este fue otro problema que se logró
remediar una vez llevado a cabo el proyecto de intervención.
2.4 Identificación y priorización de los problemas
Como resultado de las observaciones hechas a través de las diferentes
técnicas e instrumentos, se logró identificar y priorizar las situaciones problemáticas
que se estaban dando y aquellas que presentaban mayor incidencia fueron objeto del
proyecto de intervención.
A continuación se muestra una lista con la problemática identificada a través
del diagnóstico y priorizada de acuerdo la frecuencia de aparición
1.- Material didáctico tradicional
2.- Ausencia de planeación
3.- Indisciplina
4.- Mala instrumentación didáctica
5.- Mala estrategia docente
6.- Falta y déficit de atención, dispersión
7.- No hay material de trabajo
8.- Improvisación
9.- No saben usar la calculadora
10.- Poco interés
13
11.- Problemas de infraestructura física
12.- Falta de calculadora
13.- Pereza de los alumnos
De acuerdo con los resultados del diagnóstico, se llegó a concluir que el
problema a remediar era que el profesor casi siempre utilizaba material didáctico
tradicional para impartir sus clases y una ausencia casi total de planeación; por lo
tanto, con la puesta en marcha del proyecto de intervención, se logró utilizar técnicas
y recursos didácticos encaminados hacia el fortalecimiento de su instrumentación
didáctica y con base en el diagnóstico que se realizó, se llegó a determinar que si se
usaban diferentes técnicas y recursos didácticos de apoyo, se podía mejorar la
práctica docente de las Matemáticas y con ello, reforzar el proceso de enseñanza-
aprendizaje, lo que le permitió, por ende, mejorar la práctica docente, dentro del
salón de clases.
14
Capítulo III
Fundamento teórico
3.1 Exposición analítica del tema de funciones algebraicas
El análisis de funciones algebraicas, se aborda prácticamente durante los
cursos de Matemáticas V y Matemáticas VI, según los contenidos programáticos de
Matemáticas V y VI; vigentes para los bachilleratos de la Universidad de Colima.
Consultados en la red mundial el 15 de agosto del 2007, cuyas direcciones son:
http://www.ucol.mx/acerca /coordinaciones/cgd/DGEMS/planescompletos/mate5.htm
http://www.ucol.mx/acerca/coordinaciones/cgd/DGEMS/planescompletos/mate6.htm
Cabe mencionar que estas dos asignaturas forman parte de una rama de las
Matemáticas conocida como Cálculo, el cual a su vez se divide para su estudio en
los bachilleratos de la Universidad de Colima; en Cálculo Diferencial correspondiendo
con la asignatura de Matemáticas V y en Cálculo Integral que se estudia en la
asignatura de Matemáticas VI.
Según los programas analíticos mencionados, las funciones algebraicas se
analizaron durante la primera evaluación parcial de matemáticas V, haciendo uso de
una de las herramientas más poderosas de las matemáticas, a saber, la derivada de
una función (más adelante solo se mencionará como derivada).
En el curso de Matemáticas V, de acuerdo con el programa de la materia, se
trata de presentar los temas de una manera amena pero sin perder cierto grado de
rigor matemático y a través de situaciones prácticas que se le presentan al alumno
en la vida cotidiana, con el objetivo de encender la flama de la curiosidad e interés
por las matemáticas y las ciencias en general. Como ya se ha mencionado, en el
bachillerato técnico No. 19, el área técnica que se estudia es la de contabilidad, y en
su plan de estudios no se contemplan materias donde la derivada se aplica para
comprender en mayor medida su importancia como la electricidad y el magnetismo,
óptica, análisis químicos, clínicos o la resistencia de materiales, entre otras, y es que
15
a través de la derivada, al alumno se le exponen diferentes situaciones donde se
pueden aplicar conocimientos matemáticos en otras áreas de las ciencias.
De acuerdo con el programa de la materia, éste se compone de cuatro
unidades. Consultado en la red mundial el 15 de agosto del 2007 en
http://www.ucol.mx/acerca/coordinaciones/cgd/DGEMS/ planescompletos/mate5.htm,
dichas unidades están nombradas como:
1.- La derivada de una función
2.- Derivada de funciones algebraicas
3.- Derivada de funciones trascendentes
4.- Máximos y mínimos
Para lograr contextualizar el tema de funciones, bien valen las preguntas:
¿Donde se presentan las funciones? y ¿Que es una función? Para contestar la
primera pregunta y de acuerdo con Stewart (1998) las funciones están presentes en
una gran cantidad de fenómenos físicos cuando se observa que una cantidad
depende de otra. Por ejemplo, en condiciones normales; la estatura de un persona
depende de su edad, la temperatura ambiental depende de la estación del año, el
tiempo que se tarda en recorrer cierta distancia depende de la velocidad con que
esta se recorra, etc., en el primer caso se dice que la estatura está en función de la
edad, en el segundo que la temperatura está en función de la estación del año y en
el tercer caso, el tiempo que se tarda en recorrer una distancia está en función de la
velocidad con que esta distancia se recorra; para responder la segunda pregunta, en
cálculo; “una función f de un conjunto D a un conjunto I es una regla que asigna un
único elemento f(x) de I, a cada elemento x de D”. (Thomas y Weir, 1998, p18).
16
3.2 Origen del cálculo
El origen etimológico de la palabra cálculo, según Stewart (1998) es del latín
calculus, que significa piedra, es decir, el hombre de tiempos antiguos solo contaba
con este tipo de objetos, que le podían auxiliar para llevar un control de sus
pertenencias o cuando sucederían eventos climatológicos importantes para su propia
sobrevivencia, en Baldor (1999) se mencionan los siguientes ejemplos
a) cuánto ganado tenía
b) cuántos días faltaban para que iniciaran las lluvias
c) cuántos árboles tendría que cortar para hacer una choza
Sin embargo, los ejemplos referidos son solo algunas de las tareas que tenían
que realizar los hombres de la antigüedad, pues conforme fue evolucionando en su
conocimiento; las tareas por realizar se volvieron más complejas, y esto le llevó a
desarrollar diferentes sistemas numéricos, de los cuales los más antiguos que se
conocen son los sistemas de numeración sumerio, egipcio, griego, árabe y maya,
hasta llegar al sistema de numeración actual utilizado en la vida cotidiana, conocido
como sistema decimal; además del sistema binario, fundamental en el desarrollo,
funcionamiento y avance de una de las herramientas más poderosas inventadas por
el hombre, útil no sólo en aplicaciones matemáticas sino prácticamente en cualquier
ámbito de la vida humana: la PC.
3.3 Estado del arte
Según se ha comentado, para el hombre antiguo los fenómenos de la
naturaleza obedecían solo a la voluntad de los dioses y conforme éstos se
encontraban en estado de ánimo alegre o de buenas, éstos podían ser benévolos en
su actuación hacia el hombre o por el contrario si se encontraban enfadados o
enojados, entonces actuaban con violencia causando estragos, desastres y
desasosiego entre la población.
17
A pesar de ello, dentro de algunas civilizaciones surgieron dudas acerca de si
algunos de los fenómenos de la naturaleza, como la lluvia, los rayos, los terremotos o
las sequías ocurrían por voluntad divina o era otro su origen. Así tenemos a las
antiguas civilizaciones sumeria, egipcia, griega y árabe; quienes hicieron grandes
aportaciones para el desarrollo del conocimiento humano. Así se tiene por ejemplo,
que en la civilización egipcia, con sus sabios y sacerdotes –quienes eran los que
poseían los conocimientos- ; ya eran capaces de calcular el volumen de una
pirámide; aunque era un proceso bastante complejo y laborioso para su grado de
conocimiento matemático, debido a que aún no se desarrollaba en una forma precisa
el lenguaje del álgebra (Stewart, Redlin, Watson, 2001).
Cuando estas comunidades necesitaban hacer algunas mediciones de
longitud, por ejemplo, terrenos para sembrar o parcelas, usaban medidas arbitrarias
como patrones, generalmente partes o miembros del cuerpo humano como el pie, la
brazada, la pulgada o la yugada, cuyas medidas son bastante imprecisas para los
requerimientos, necesidades y conocimientos actuales, pero bastante válidas para
ellos.
A la civilización árabe se le atribuye el origen de la palabra álgebra, la cual
apareció en el libro árabe del siglo IX; Hisab al-Jabrw’al-Muqabala, y fue escrito por
al-Khowarizmi, (Stewart, 2001); ya latinizado el término fue abreviado como Aljabar,
de donde derivó, finalmente la palabra álgebra. En ese libro se aborda la
transposición y combinación de términos, los cuales se utilizan en la resolución de
ecuaciones.
La antigua y gran civilización griega, tuvo filósofos y matemáticos de gran
importancia para el desarrollo y progreso en el conocimiento de la humanidad, tanto
en las ciencias y tecnología como en el aspecto cultural; los siguientes matemáticos
son de los más representativos:
Pitágoras, se sabe que vivió alrededor del los años 580-500 A.C. y fundó en
Cretona, Italia, una escuela donde se estudiaba aritmética, música, geometría y
18
astronomía. Según Aristóteles -otro gran filosofo griego- los pitagóricos afirmaban
que “los principios de las matemáticas eran los fundamentos de todas las cosas”. Su
lema era “todo es número”, pero limitándose a los números enteros, lo que les llegó a
ocasionar no pocos conflictos, ya que de acuerdo con su más grande contribución; el
propio teorema de Pitágoras, aparecían otro tipo de números, con los que no estaban
de acuerdo y se expresa en forma matemática como
222 cba
el cual sostiene que en todo triangulo rectángulo se cumple: la suma de los
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, según se observa en
la figura no. 2
Diofanto, vivió en Alejandría aproximadamente en el año 250 A.C. Escribió una
obra llamada Aritmética, el cual se considera como el primero acerca del álgebra y
permaneció inalterable por más de mil años; en la cual ya se plantean soluciones
enteras de ecuaciones algebraicas, a través del uso de símbolos para representar las
incógnitas en un problema.
Euclides, sólo se sabe que vivió alrededor del año 300 A.C. y enseñaba en
Alejandría, su obra llamada Los Elementos, es el libro científico de mayor influencia
en la historia. Durante 2000 años, fue introducción obligada a la geometría, y por
muchas generaciones se consideró la mejor manera de desarrollar el razonamiento
lógico. La importancia de la obra, radica en el tratamiento preciso, lógico y
a2
b2
c2
Figura no. 2. Forma geométrica del Teorema de Pitágoras, donde se observan los cuadrados de los catetos y el cuadrado de la hipotenusa. Fuente: Propia
19
sistemático de la geometría, en la que incluyó cinco axiomas o postulados, es decir,
ideas que se aceptan sin demostración, por ser evidentes y que sirven de andamiaje
para el resto del aparato teórico y que de acuerdo con (Stewart, 2001) se pueden
enunciar como sigue:
1. Por dos puntos se puede trazar siempre una línea recta
2. Toda línea recta finita puede prolongarse infinitamente
3. Dado un punto cualquiera, siempre se puede trazar un círculo de cualquier
radio a su alrededor
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí
5. Dada una recta y un punto que no pertenece a la recta, sólo se puede trazar
una línea paralela a la primera que pase por ese punto
Estos cinco axiomas, han servido de base para construir toda la matemática
moderna y especialmente con la negación del quinto axioma, el gran Físico Alemán
Albert Einstein fue capaz de sustentar la Teoría de la Relatividad.
Otros grandes matemáticos, filósofos, físicos y alquimistas (precursores de los
químicos) de épocas más recientes, que han contribuido enormemente en el
desarrollo y construcción del conocimiento humano, según (Stewart, 2001) son:
René Descartes, (1596-1650) nació en la ciudad de La Haye, Francia y su
afición por las matemáticas desde temprana edad, se debió, según afirmaba a “la
certidumbre de sus resultados y a la sencillez de su lógica”. Creía también, que para
llegar a conocer, uno debe empezar por dudar de todo, incluyendo la propia
existencia –escepticismo-. En su libro Discurso del Método, describe lo que
actualmente se conoce como plano cartesiano; consistente en dos rectas
ortogonales, formando dos ejes coordenados, el eje horizontal o de abscisas, donde
se localiza la variable independiente x, y el eje vertical o de ordenadas, donde se
localiza la variable dependiente y.
20
Con esta aportación, los matemáticos pudieron analizar con mayor detalle las
ecuaciones que estudiaban, incluso el filósofo John Stuart Mill dijo que esta invención
era “el paso individual más grande alguna vez realizado en el avance de las ciencias
exactas”, ya que permitió localizar gráficamente la posición exacta de las partículas
(o puntos) y con ello, lograr un análisis más profundo. En términos actuales se puede
describir de la siguiente forma “Un punto (x,y) pertenece a la gráfica de una ecuación
si y solo si sus coordenadas satisfacen a ésta”.
Isaac Newton (1642-1727) nació en Lincolnshire, Inglaterra y es considerado
uno de los más grandes científicos y matemáticos, además fue filósofo, alquimista y
hasta político, una de los mas grandes libros científicos, fue escrito por él, titulado
Philosophiae naturalis principia mathematica, o Principios Matemáticos de Filosofía
Natural. Descubrió las leyes del movimiento, de la gravedad y de la óptica; desarrolló
el teorema del binomio y se le atribuye junto con Leibniz, el descubrimiento de una
nueva y poderosa rama de la matemática, el Cálculo.
Gottgried Wilhelm Leibnitz, nació en Leipzig, Alemania (1646-1716), fue un
genio universal, experto en leyes, religión, filosofía, literatura, política, geología,
historia y por supuesto, en matemáticas, investigó un método universal que le hiciera
llegar a la verdad y comprender su naturaleza, Comparte con Isaac Newton el crédito
del descubrimiento del cálculo. La cuestión de quién fue el primero en llegar a estos
resultados, ocasionó numerosas controversias entre los seguidores de estos dos
grandes hombres.
La historia ha determinado que Newton fue el primero en concebir las
principales ideas, alrededor de los años 1665-1666, pero que Leibnitz las descubrió
independientemente durante los años 1673-1676; aunque no se le reconoció tanto
como a Newton. Quizá fue el mayor inventor de símbolos matemáticos, a él se deben
los nombres de cálculo diferencial e integral, así como los símbolos estándar dy/dx
para la derivada y para la integral, el término función y el uso constante del símbolo
= para la igualdad.
21
Donalt Knuth, nació el 10 de enero de 1938 en Milwaukee, es profesor de
ciencias de la computación en Stanford University, cuando aún era estudiante, en
Caltech, escribió la obra titulada The Art of Computer Programing, siendo una de las
más respetadas referencias en el campo de las ciencias de la computación; le
fascinan las gráficas de las funciones y cuando era estudiante de secundaria, trazó
laboriosamente cientos de ellas para observar su comportamiento, también es
creador de un sistema tipográfico por computadora, conocido como TEX que se
puede usar para la creación de libros, especialmente de matemáticas. Es el creador
del sistema de diseño de tipos MetaFont y del estilo de programación conocido como
programación ilustrada (Literate programming).
3.4 Revisión de la lógica de construcción del conocimiento en Matemáticas
Según García (2008), la matemática como actividad posee una característica
fundamental: la matematización. Matematizar es organizar y estructurar la
información que aparece en un problema, por tanto, consiste en identificar los
aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras,
con el fin de llegar a la solución de dicho problema.
Treffer (1978), distingue dos formas de matematización: la matematización
horizontal y la matematización vertical. La matematización horizontal lleva del mundo
real al mundo de los símbolos y se caracteriza mediante los siguientes procesos:
identifica, esquematiza, formula, visualiza, descubre, reconoce y trasfiere un
problema real a un modelo matemático conocido. La matematización vertical consiste
en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones y se identifica con
los siguientes procesos: utiliza, refina o ajusta, combina o integra, prueba, formula y
generaliza los modelos matemáticos. Estos componentes de la matematización
proveen características para los diferentes estilos o modelos en la enseñanza de la
matemática.
22
De acuerdo con García (2008), consultado el 28 de abril del 2008 en
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm; y Jacobo (2008), en
la enseñanza de las matemáticas se han utilizado a lo largo del tiempo diferentes
estilos de enseñanza, entre los cuales, los más representativos han sido: el
tradicional, el de transición, el estructuralismo, el mecanicismo, el empirismo, el
realista y el constructivismo, enseguida se describen cada uno de estos estilos,
señalando sus características principales:
Estilo tradicional
En consonancia con Jacobo (2008), el estilo tradicional fue un estilo educativo
que prevaleció en el currículo escolar durante la década de los sesentas y la década
de los setentas. Dentro de este modelo, se pone especial atención en los
conocimientos acabados y formalizados en las teorías, que consideran la resolución
de problemas como un aspecto secundario dentro del proceso didáctico. Por tanto, el
desarrollo de estos problemas se pone en segundo plano y solo se toma en
consideración el resultado final de la actividad.
Este modelo, se posa en los extremos, por un lado, es demasiado formal,
abandonando el pensamiento geométrico, que es muy despreciado y se puso
demasiado énfasis en la teoría de conjuntos y el rigor lógico, mientras que, por otro
lado, cayó en un excesivo instrumentalismo al plantear solamente aquellos ejercicios
que sirven para dominar los procesos algorítmicos.
De acuerdo con Gascon (1994), algunos de los aspectos formales e
instrumentales que constituyen el modelo tradicional en la enseñanza de la
matemática comparten conceptos psicológicos del proceso didáctico, que tienen en
el conductismo su principal referente, considerando al alumno como un recipiente
vacío que debe llenarse a lo largo de un proceso o como un autómata que puede
mejorar el dominio de las técnicas mediante la repetición de alguno determinado
proceso.
23
En efecto, de acuerdo con la propia experiencia docente de quien esto
escribe, se puede decir que este modelo todavía es ampliamente utilizado por un
gran porcentaje de docentes, en casi todos los niveles educativos, tanto en
instituciones privadas como públicas, el cual ha dado como resultado, altos índices
de reprobación y deserción, incrementando la creencia que la matemática es una
materia difícil de aprobar y además se aprende poco y lo poco que se aprende, se
olvida pronto.
Estilo de transición
Este modelo alcanzó su máximo esplendor a finales de la década de los
setentas y principios de los ochentas, en oposición a los extremos del modelo
tradicional, surge ante la imperiosa necesidad de rescatar la actividad de resolución
de problemas por sí misma y junto al poco éxito que tienen los alumnos de
seleccionar el teorema o técnica adecuada para resolver un determinado problema.
Entonces, este estilo tiende a identificar la actividad matemática junto con la
exploración de los problemas, es decir, brinda cierta relevancia a las tareas que se
realizan, sin conocer aún los resultados, después se ensayan diferentes técnicas
para comprobar a donde conduce, se buscan problemas semejantes o se intenta
aplicar diferentes técnicas para su solución. Así mismo, brinda total prioridad al
momento exploratorio, identificando el “enseñar” y “aprender matemáticas”, con esta
actividad.
Según Gascon (1994) a través del estilo de transición se pretende superar al
conductismo clásico, colocando en su lugar una especie de activismo con lo que se
pretende superar lo establecido acerca del recipiente vacío del estilo tradicional, no
obstante, sigue presentándose como otra modalidad de psicologismo ingenuo
fundamentada en una interpretación muy superficial de la psicología genética. Desde
este punto de vista, el aislamiento y la descontextualización de los problemas -de por
sí, ya muy preocupantes en el modelo tradicional- no hace más que agravarse aún
más.
24
Estructuralismo
Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese
carácter es el que debe imperar en la enseñanza de la misma. El origen del
estructuralismo se remonta a las raíces históricas en la enseñanza de la geometría
euclidiana y en el concepto de la matemática como logro cognitivo, que se
caracteriza por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Por eso,
a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se le debe enseñar la matemática
como un sistema bien definido, donde la estructura del sistema es la guía del
proceso de aprendizaje.
Ese fue y sigue siendo, de acuerdo con García (2008), el principio
fundamental de la reforma conocida como con el nombre de Matemática Moderna.
Obtenido de la web http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm, el
28 de abril del 2008.
Mecanicismo
Dentro de este estilo se considera a la matemática como un conjunto de
reglas, que se deben seguir para llegar al resultado correcto. A los estudiantes se les
enseñan estas reglas, las cuales deben aplicar a problemas similares a los que
expuso el maestro. Casi nunca se toman ejemplos reales o cercanos a la realidad del
alumno, más aún, no se pone atención a las aplicaciones como génesis de los
conceptos y procedimientos –en el mejor de los casos, poca-.
Además, este estilo pone demasiado interés en la memorización y
automatización de algoritmos de uso restringido. En efecto, Freudenthal (1991),
ataca este modelo fuertemente, afirmando “De acuerdo con la filosofía mecanicista,
el hombre es como una computadora, de tal forma que su actuación puede ser
programada por medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las
operaciones aritméticas y algebraicas (incluso geométricas) y la solución de
problemas que se distinguen por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es
25
en este, el más bajo nivel dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores,
donde se sitúa al hombre”.
Obviamente que esta situación es poco deseable, por que la intención de
educar es formar personas con la capacidad de analizar, reflexionar y resolver
situaciones y problemas en diferentes ámbitos que se les presenten, tanto en su vida
escolar como cotidiana.
Empirismo
Este modelo parte de la realidad cercana al alumno, de las cosas concretas, la
enseñanza es, más que nada, utilitaria. Los alumnos adquieren experiencias y
contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje.
Por tanto, este modelo, se debe usar con mucha cautela y solo en casos muy
concretos o como reforzador de otro modelo, cuando los alumnos ya posean ciertos
conocimientos previos al tema que se va a analizar. Consultado en http://concurso.
cnice.mec.es/cnice2006/material003/Recursos%20Materiales/Terminos/Empirismo.p
df, el 24 de abril del 2008.
Realista
Este estilo de enseñanza, también parte de la realidad cercana al alumno,
pero en contraste con el modelo empírico, este sí profundiza y sistematiza los
aprendizajes, poniendo atención en el desarrollo de modelos, esquemas y símbolos.
El principio didáctico en que se basa, es la reconstrucción o invención de la
matemática por el estudiante así, las construcciones hechas por los alumnos son
fundamentales. Es una enseñanza orientada, básicamente a los procesos, este estilo
surgió en los Países Bajos, partiendo de las ideas de Freudenthal. Consultado en
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm, el 24 de abril del
2008.
26
Constructivismo
Los psicólogos e investigadores de la conducta humana Jean Peaget, Lev
Vygotsky y David Paul Ausubel son considerados como los pioneros de la corriente
educativa conocida como constructivismo y como el término lo sugiere, se concibe al
conocimiento como algo que se construye, algo que cada individuo elabora a través
de un proceso de aprendizaje. Para el constructivismo, el conocimiento no es algo
fijo y objetivo, sino algo que se construye y por consiguiente, es una elaboración
individual relativa y cambiante. El supuesto fundamental del constructivismo es que
los seres humanos construyen su propio conocimiento y no simplemente reciben la
información procesada para comprenderla y usarla de inmediato. Consultado en
http://www.monografias.com/trabajos16/teorias-piaget/teorias-piaget.shtml#DEFIN, el
15 de noviembre del 2009.
Peaget hizo estudios sobre Psicología genética y de Epistemología que
buscaban una respuesta a la pregunta fundamental de la construcción del
conocimiento. Las distintas investigaciones llevadas a cabo en el dominio del
pensamiento infantil, le permitieron poner en evidencia que la lógica del niño no
solamente se construye progresivamente , siguiendo sus propias leyes, sino que
además se desarrolla a lo largo de la vida pasando por distintas etapas antes de
alcanzar el nivel adulto. Así mismo, Piaget reconoce tres tipos de conocimientos que
un sujeto puede poseer:¡ físico, lógico-matemático y social.
Por su parte, Vigotsky consideraba que el medio social es crucial para el
aprendizaje, debido a que pensaba que lo produce la integración de los factores
social y personal. El fenómeno de la actividad social ayuda a explicar los cambios en
la conciencia y fundamenta una teoría psicológica que unifica el comportamiento y la
mente. El entorno social influye en la cognición por medio de sus " instrumentos", es
decir, sus objetos culturales ( autos, máquinas) y su lenguaje e instituciones sociales
(iglesias, escuelas). El cambio cognoscitivo es el resultado de utilizar los
instrumentos culturales en las interrelaciones sociales y de internalizarlas y
transformarlas mentalmente. La postura de Vigotsky es un ejemplo del
27
constructivismo dialéctico, porque recalca la interacción de los individuos y su
entorno. Consultado en http://www.monografias.com/trabajos14/vigotsky/ vigotsky.
shtml, el 15 de noviembre del 2009.
Así mismo, Ausbel desarrolló la teoría del aprendizaje significativo la cual
sostiene que los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la
estructura cognitiva del alumno. Esto se logra cuando el estudiante relaciona los
nuevos conocimientos con los anteriormente adquiridos; pero también es necesario
que el alumno se interese por aprender lo que se le está mostrando. Algunas de las
ventajas más representativas del aprendizaje significativo son:
Produce una retención más duradera de la información.
Facilita el adquirir nuevos conocimientos relacionados con los anteriormente
adquiridos de forma significativa.
La nueva información al ser relacionada con la anterior, es guardada en la
memoria a largo plazo.
Es activo, pues depende de la asimilación de las actividades de aprendizaje
por parte del alumno.
Es personal, ya que la significación de aprendizaje depende los recursos
cognitivos del estudiante.
Consultado en http://www.monografias.com/trabajos10/dapa/dapa.shtml, el 15 de
noviembre del 2009.
Este estilo se ha propuesto como una alternativa para tratar de aliviar las
debilidades que muestran algunos estilos de enseñanza de la matemática, y es que
se tiene la necesidad de acabar con la ingenua idea, pero bastante extendida, de que
enseñar es sencillo o cuestión de personalidad, hasta de sentido común; por lo se
que debe terminar con esa práctica pedagógica de la pura transmisión de
conocimientos, que concibe a la enseñanza de la matemática como un producto ya
terminado y que únicamente debe ser trasladado al estudiante mediante una
mediana exposición, demostración o resolución de algunos problemas que terminen
con su falta de conocimiento matemático.
28
Ante este panorama un tanto desolador, la psicología de la enseñanza de la
matemática, provee una teoría que trata de facilitar la intervención del proceso
educativo de la matemática, por eso, los investigadores matemáticos ven, en el
constructivismo, una alternativa bastante prometedora. Actualmente, este modelo
desempeña un papel integrador, tanto en las investigaciones de diferentes aspectos
de la enseñanza-aprendizaje de la matemática, como de las aportaciones
procedentes de los campos de la sociología, la epistemología y la psicología del
aprendizaje. En otros términos, el constructivismo se ha convertido en el eje de una
trasformación radical de la enseñanza de la matemática.
Para los investigadores, el constructivismo es un marco teórico que guía el
desarrollo de las actividades instruccionales que, faciliten al alumno una construcción
progresiva de los conceptos y procedimientos matemáticos cada vez más abstractos.
A pesar de esto, según Jacobo (2008), no hay una unificación de lo que significa el
constructivismo en la enseñanza de la matemática. El origen, no muy claro del
constructivismo, se encuentran en la filosofía, la sociología y en la psicología.
De acuerdo con Ernest (1992), se pueden distinguir dos tipos de
constructivismo; a saber, el Constructivismo Radical, el cual se fundamenta en La
Teoría Piagetiana de la mente y el Constructivismo Social, que se basa en La Teoría
Vigotskiana de la formación social de la mente.
Sin embargo, Kilpatrick (1987), afirma que los dos tipos de constructivismo tienen
en común lo siguiente:
El conocimiento es construido por el que conoce, no se puede recibir
pasivamente del entorno.
El proceso de conocer es una acción de adaptación del sujeto al mundo de su
propia experiencia, por tanto, no es posible descubrir un mundo
independiente y pre-existente afuera de la mente del que conoce.
29
El primer rubro parece claro, ya que el conocimiento no se puede construir por
alguien que no conozca el objeto de estudio. La segunda afirmación y sus diferentes
interpretaciones, ha surgido la bifurcación del constructivismo (en radical y social),
porque lo primero que se cuestiona es ¿que se entiende por “proceso de adaptación
al mundo de la experiencia”?. Según esto, el alumno debe ser capaz, de ir
construyendo su propio conocimiento apoyado en sus conocimientos previos, así
como de su propia experiencia.
3.5 Propuestas didácticas sobre la enseñanza de la matemática
Una de las creencias que se tienen sobre lo que el docente concibe como
matemática, influye en su forma de enseñarla, llegando, incluso a ser un obstáculo
muy difícil de salvar. Algunos docentes que ven su tarea de enseñar como una mera
transmisión de conocimientos acabados y abstractos, suelen adoptar una técnica
expositiva para impartir sus clases, llena de definiciones y símbolos en abstracto y de
procedimientos algorítmicos. Solo en algunos casos, se analizan problemas
cotidianos, como una aplicación de los conocimientos supuestamente adquiridos.
Esta forma de entender la enseñanza tiene nombre: mecanicismo. En psicología esta
tendencia se le conoce como conductismo.
Por el contrario, si se considera que el conocimiento matemático (y de
cualquier otra ciencia), no es algo totalmente acabado, sino que es un proceso en
plena creación y transformación, más que conceptos que se aprenden, existen
estructuras conceptuales que se amplían y enriquecen a lo largo de toda la vida,
entonces ya no basta con la simple exposición por parte del docente. Habrá que
hacer que el alumno partícipe activamente en su propio aprendizaje, dando
significado a todo lo que se enseña, permitir que los alumnos participen en la
construcción de conocimiento es más importante que exponerlo.
Entonces, se debe convencer a los estudiantes con más dificultades para
comprender que la matemática es interesante y que tiene aplicación real, práctica e
inmediata en su vida cotidiana, y que no solo es un juego para sus compañeros más
30
aventajados. Esto se va a lograr motivando a los alumnos a desarrollar el hábito de
pensar, y darles a conocer que solo hay un camino para hacerse de este hábito,
pensar por uno mismo. Ante este panorama, diversos investigadores se han dado a
la tarea de desarrollar algunas teorías desde la Psicología Educativa, habiendo
hecho dos contribuciones claras a la didáctica de la matemática.
Una conforma lo que se ha dado en llamar la corriente conductista o
neoconductista, donde se inserta el asociacionismo de Thorndike y el aprendizaje
acumulativo de Gagné; y la otra se ha llamado corriente cognitiva, teniendo a sus
principales exponentes en las teorías desarrollada por Jean Piaget, Ausbel, Vigotsky
y el procesamiento de la información, brevemente se exponen estas teorías.
Asociacionismo de Thorndike
A principios del siglo, E.L. Thorndike (1913), inició una serie de
investigaciones en educación que caracterizarían con el paso de los años, a lo que
se ha dado en llamar como corriente conductista en educación matemática. Este
investigador se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de
respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de entrenamiento en el que los vínculos
establecidos entre estímulos y respuestas quedaran reforzados mediante ejercicios
en los que se recompensaba el éxito obtenido. El propio Thorndike llamo
conexionismo o asociacionismo a este tipo de psicología. Según esto, el aprendizaje
es el resultado de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas conexiones o
asociaciones entre estímulo y respuesta en la mente de los individuos.
Por tanto, los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse sobre
la base de estímulos y respuestas sucesivas, de tal forma que los resultados de este
proceso se podrían objetivar en cambios observables en la conducta de los alumnos.
En 1922, publicó el libro The Psychology of Arithmetic, donde presentaba el principio
básico de su teoría de aprendizaje: todo conocimiento, incluso el más complejo está
formado por relaciones sencillas, vínculos entre estímulos y respuestas, yendo de las
tareas más sencillas a las más difíciles.
31
En cuanto más se recompensaba la respuesta, más fuerte se hacía el vínculo
y por lo tanto, sugería que una de las formas más importantes del aprendizaje
humano, era la práctica seguida de recompensas, conocida como ley del efecto.
Thorndike sugirió como aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética, afirmando
que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado de
vínculos que conformaban la disciplina a enseñar. Una vez formados los vínculos, la
práctica sujeta a recompensas, sería el medio para poner en funcionamiento la ley
del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos. Aunque
Thorndike solo aplico su teoría para la aritmética, se puede implementar para
cualquier rama de la matemática, como el álgebra, la geometría, la trigonometría o el
cálculo.
Aprendizaje acumulativo de Gagné
Un aspecto cuestionable de la teoría de Thorndike, es que no explica el por
que si se aprendían primero los problemas más fáciles se facilitaba el aprendizaje de
los más difíciles. Es decir, no explica cómo se da la transferencia desde un
aprendizaje a otro. Thorndike sugirió que tal transferencia podía ocurrir siempre que
ambas tareas contuvieran elementos comunes, sin embargo, la mayor parte de las
investigaciones se hicieron dentro de un laboratorio en condiciones más controladas,
donde se analizaban con cierto detalle una o más tareas. Una tarea mucho más
compleja y difícil de controlar, era realizarla dentro de un salón de clases.
Robert Gagné (1982) con su teoría del aprendizaje acumulativo dio este paso.
En su teoría, las tareas más sencillas funcionan como elementos de las más
complejas. Así, al estar las tareas más complejas formadas por elementos
identificables, se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. Gagné
propuso analizar las habilidades separándolas en subhabilidades ordenadas,
llamadas jerarquías del aprendizaje. Estas jerarquías permiten plantear objetivos
perfectamente secuenciados desde una lógica disciplinar, pero ¿cómo se puede
estar seguro de que alguna jerarquía de habilidades es una jerarquía de
transferencia, que resultara útil para la enseñanza y el aprendizaje?
32
Por lo tanto, la práctica educativa se centra, en la ejecución y repetición de
determinados ejercicios secuenciados, en pequeños pasos, realizados
individualmente y que más tarde se combinan con otros, formando grandes unidades
de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemática. En otros términos,
se presta toda la importancia al producto, respuesta de los alumnos, y no al proceso
en sí; el cómo y porque se ha dado esa respuesta. Definitivamente, existe poco o
nulo interés en la exploración de las estructuras y los procesos cognitivos. La
enseñanza programada, las fichas y las secuencias largas de objetivos y
subobjetivos caracterizan la corriente más radical dentro del conductismo.
Teoría desarrollada por Jean Peaget
Según Freudenthal (1991), la cognición no comienza con los conceptos, sino
todo lo contrario, los conceptos son el resultado del proceso cognitivo. Las
matemáticas permiten dar definiciones explícitas desde muy temprano, más que en
ningún otro dominio científico; por ejemplo, los números pares e impares se pueden
definir a partir de los números naturales y estos se generan a su vez, mediante el
proceso de contar, en vez de a partir de una definición, pasando a formar parte del
sentido común.
Para explicar situaciones semejantes a la anterior, Jean Peaget, desarrolló
una teoría sobre la construcción del conocimiento por los individuos y la denominó
epistemología genética. (Peaget,1990,García,1997). Él se interesa en la descripción
del desarrollo de los esquemas cognitivos de los individuos a lo largo del tiempo y de
acuerdo con ciertas reglas generales. El principio central de su teoría es la
equilibración, esta equilibración se lleva a cabo mediante dos procesos, íntimamente
relacionados y dependientes, conocidos como la asimilación y la acomodación.
Cuando un individuo se enfrenta a una situación particular, por ejemplo un
problema matemático, intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos ya
existentes y los intenta resolver a través de los conocimientos que ya posee, y como
33
resultado de la asimilación, el esquema cognitivo existente se reconstruye o expande
para acomodar la situación, es decir, aparece la acomodación. De esta forma, el
binomio, asimilación-acomodación, produce en los individuos una reestructuración y
reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes. Así los individuos construyen
su propio conocimiento, la equilibración expresa el proceso mediante el cual se
produce tal construcción, señalando el carácter dinámico en la construcción del
conocimiento por los individuos.
Peaget acuñó el término abstracción reflexiva, el cual es un eje central en su
teoría, y se refiere a la abstracción que parte de las acciones u operaciones y no
meramente de los objetos. La abstracción reflexiva conlleva dos momentos
inseparables, a saber: a) un proceso de reflexión o proyección que hace pasar lo que
es abstraído de un plano inferior a otro superior (por ejemplo de a acción física a la
representación mental) y b) un producto de la reflexión, esto es, un reflejo en el
sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción cognitiva, sobre el
nuevo plano de la que ha sido extraída del plano precedente.
Peaget señaló el carácter constructivo, no de descubrimiento, pues la
abstracción reflexiva consiste en traducir una sucesión de actos materiales en un
sistema de operaciones interiorizadas, cuyas leyes o estructuras se comprenden en
un acto simultáneo.
34
Capítulo IV Plan de intervención
4.1 Definición del problema
De acuerdo con los resultados del diagnóstico, se llegó a concluir que los
principales problemas a remediar eran que el profesor casi siempre utilizaba material
didáctico tradicional y una clara ausencia de planeación para impartir sus clases; por
lo tanto, con la puesta en marcha del proyecto de intervención, se buscó que se
utilizaran técnicas y recursos didácticos de apoyo con el propósito de lograr que el
maestro reforzara el proceso de enseñanza-aprendizaje, encaminados hacia el
fortalecimiento de su instrumentación didáctica lo que le permitió por ende, mejorar
su práctica docente dentro del salón de clases, en el tema de derivadas de funciones
algebraicas en la asignatura de Matemáticas V; y cuyo objeto de intervención en la
práctica docente fue nombrado como:
Estrategias didácticas para el análisis y estudio de funciones algebraicas a través de
la derivada de una función.
4.1.1 Justificación de la intervención
Para brindar una educación de mayor calidad, se hace necesaria la
transformación de la práctica educativa, en la que el docente ya no sólo se dedique a
impartir y transmitir conocimientos y valores, sino que pueda llegar a convertirse en
investigador de su propia práctica docente; y es que en los últimos años, se han
desarrollado en diferentes partes del mundo y con diferentes enfoques y
procedimientos, propuestas que tienden a la transformación de la práctica docente a
partir del propio docente. (Davini, 1995).
Algunas de las razones que se tuvieron para realizar este proyecto de
intervención, era tuviera impacto directo en dos de los principales actores que
intervienen en la práctica docente, a saber: los alumnos y el profesor de la materia.
35
Por lo tanto, directivos, profesores y alumnos, deben trabajar en conjunto en
una forma organizada, sistemática, profesional y sobre todo con aspecto humano,
para alcanzar las metas que se proponen los propios alumnos, “la enseñanza pasiva
debe de concluir para dedicar un mayor tiempo tanto al trabajo individual como
colectivo, así como a actividades de análisis y discusión de problemas”, Barnés de
Castro (1998).
En lo que se refiere al profesor titular de la materia, el proyecto le hizo
reflexionar acerca de su propia práctica docente y preguntarse ¿Cómo ha
desarrollado su labor docente en la materia de matemáticas?; es decir, que métodos
y técnicas de enseñanza ha usado para impartir las clases; si son las únicas formas
de enseñar o si son las mejores; o si existen otras alternativas para el desarrollo de
la práctica docente. También se dio cuenta que la mayoría de las clases se habían
impartido en forma tradicional, donde el maestro únicamente se encargaba de
transmitir conocimientos y de resolver unos cuantos ejercicios o problemas y el
alumno se limitaba a tratar de imitar la forma en que el maestro había resuelto los
ejercicios, con la agravante de que si se cambia un poco la estructura del ejercicio, el
alumno ya no sabe qué hacer.
Sin embargo, con la puesta en marcha de la intervención, el docente deseaba
lograr que los alumnos desarrollaran una visión más objetiva y de aplicación práctica,
del proceso de resolución de derivadas de funciones algebraicas.
4.2 Objetivo general de la intervención
Mejorar el aprovechamiento escolar mediante la implementación de una
planeación didáctica pertinente, que contribuya a generar un mayor interés y
motivación por la comprensión y aprendizaje del tema de derivadas de funciones
algebraicas en los alumnos de quinto semestre grupo A, generación 2006-2009; en la
asignatura de Matemáticas V del Bachillerato Técnico No. 19.
36
4.2.1 Objetivos específicos de la intervención
1.- Identificar la forma en que se ha desarrollado la práctica docente y establecer
acciones para su mejora, con base en las propuestas constructivista y colaborativa.
2.- Elaborar la planeación didáctica para el tema de derivadas de funciones
algebraicas.
3.- Analizar la situación académica de los alumnos con el fin de proponer e
implementar estrategias para mejorar dicha situación.
4.- Impartir la clase con eficiencia para distribuir los tiempos adecuadamente en el
tema de derivadas de funciones algebraicas.
5.- Promover entre los alumnos una forma de aprendizaje significativo, constructivo y
colaborativo al trabajar en forma grupal o individual
6.- Valorar la importancia de una aplicación real y práctica de la derivada de una
función algebraica
4.3 Soluciones alternativas
Con base en el diagnóstico se determinó que se podía hacer uso de diferentes
técnicas y recursos didácticos de apoyo, para mejorar la práctica docente dentro del
ámbito de aprendizaje de la asignatura de Matemáticas V y con ello lograr que el
maestro reforzara su proceso de enseñanza-aprendizaje, lo que le permitió por ende,
aumentar el rendimiento escolar de los alumnos.
Dentro de las técnicas y recurso didácticos que se implementaron para llevar a
cabo la intervención, se tuvieron en consideración las siguientes opciones:
1.- Dibujar en la cancha de basquetbol, rectángulos de diferente tamaño y obtener el
perímetro como función de su área.
2.- Tabular y graficar funciones algebraicas, con apoyo de la PC usando la hoja de
cálculo Excel y Graphmatica en dos momentos: primero, dentro del salón con técnica
37
expositiva y demostrativa y segundo, en el modulo de cómputo, mediante una
práctica de laboratorio.
3.- Construir un modelo de cartón para obtener una caja sin tapa de volumen
máximo, desperdiciando la menor cantidad de material.
4.4 Planeación de la intervención
En este apartado se describen tanto las actividades que se realizaron como
los recursos que se emplearon en cada una de las sesiones de la intervención. Para
cada una de las actividades que se propusieron, se detalla su descripción y el tipo de
recursos utilizados entre los que se pueden mencionar: humanos, materiales,
didácticos y financieros, cabe hacer la aclaración que en el rubro financiero se trató
de evitar gastos fuertes o excesivos para los alumnos y se hizo todo lo posible para
utilizar materiales que ya existían en la misma escuela.
Actividad No. 1
Para esta actividad se propuso que los alumnos, trabajando por equipos,
dibujaran en la cancha de basquetbol, rectángulos de diferente tamaño para que
pudieran obtener el perímetro de cada rectángulo en función de su área, los recursos
a utilizar se muestran en la tabla no.1
Recursos propuestos
HUMANOS MATERIALES DIDÁCTICOS FINANCIEROS Alumnos del grupo, organizados por equipos, el profesor organiza y dirige la actividad.
Regla o flexómetro, escuadra, gises o crayolas, calculadora científica, libreta.
Aprendizaje basado en la solución de problemas prácticos, trabajo colaborativo.
Este rubro prácticamente sería nulo, debido a que casi todo el material se encuentra disponible en el laboratorio de física o en la bodega y los otros materiales son de uso común para los alumnos
Tabla No.1. Recursos humanos, materiales, didácticos y financieros, propuestos para llevar a cabo la actividad no. 1. Fuente: propia
38
Actividad No.2
En esta actividad, se pretendía que los alumnos tabularan e hicieran las
gráficas de algunas funciones algebraicas, con apoyo de la PC, usando el software
de hoja de cálculo Excel, como se indica en la tabla no. 2
Recursos propuestos
HUMANOS MATERIALES DIDÁCTICOS FINANCIEROS Alumnos del grupo, pasarían por equipos al centro de cómputo, el profesor organiza y dirige la actividad,
Computadoras, proyector multimedia, , calculadora científica, marcadores para pintarrón
Técnica expositiva y demostrativa, práctica llevada a cabo en el centro de computo
Este rubro prácticamente debía ser nulo, debido a que se llevaría a cabo en el centro de computo
Tabla No. 2. Recursos humanos, materiales, didácticos y financieros, propuestos para llevar a cabo la actividad no. 2. Fuente: propia
Actividad No. 3
Para llevar a cabo esta actividad, el alumno debía construir una caja sin tapa
de volumen máximo, a partir de una pieza de cartón, previo análisis matemático de
las funciones involucradas, utilizando los recursos señalados en la tabla no. 3
Recursos propuestos
HUMANOS MATERIALES DIDÁCTICOS FINANCIEROS El profesor explica la metodología para obtener un volumen máximo, a través del análisis de la derivada de una función, los alumnos construyen un modelo físico a partir de los resultados obtenidos de acuerdo a la derivada de la función.
20 pliegos de cartulina, cualquier color, tijeras, pegamento blanco, hojas milimétricas, escuadra graduada o regla graduada, calculadora científica y graficadora.
Se utilizaron algunos aspectos de diferentes corrientes educativas como el constructivismo, el trabajo colaborativo y por proyectos. El alumno debía construir un modelo real.
Los pliegos de cartulina, las tijeras y el pegamento, se obtuvieron de la cuota de talleres y laboratorio, ya que también es un material que se utiliza en las prácticas de física y química, el material restante ya lo tenían los alumnos, ya que es de uso cotidiano por ellos.
Tabla No. 3. Recursos humanos, materiales, didácticos y financieros, propuestos para llevar a cabo la actividad no. 3. Fuente: propia
4.4.1 Selección de la mejor alternativa
La actividad número 1 se descartó debido a que se consideró que no cubría
los requisitos técnicos suficientes para hacer un análisis detallado con la derivada de
una función.
En lo que se refiere a la actividad número 2, también se descartó porque se
tomó en cuenta la relación cantidad de alumnos-cantidad de computadoras y se
39
concluyó que hacer esta actividad llevaría demasiado tiempo además que tampoco
reunía con las características técnicas que se deseaban mostrar a los alumnos.
Por lo tanto, se seleccionó la tercera opción, porque con esta actividad se
pudieron realizar varias acciones casi simultáneamente, logrando que los ejercicios
se desarrollaran de una forma más sencilla, confiable y amena, ya que la parte que
se refiere a la tabulación de la función, -proceso mediante el cual se obtienen los
valores numéricos de la función-, se pudo hacer con el software Excel, usando un
incremento más pequeño para obtener una gráfica con mayor definición y así,
realizar un análisis completo.
Con el uso de esta técnica, la tabulación no se hizo en forma repetitiva ni
enfadosa –según los alumnos-; como cuando se utiliza la calculadora científica;
donde el alumno tiene que realizar muchos cálculos; pero con el apoyo de la PC,
este proceso se hace en un tiempo más corto, es decir, lo que se tarda en construir
la fórmula en Excel. Cabe hacer mención que se optó por hacer lo siguiente: primero
se hace la explicación de cómo se construye la fórmula y la gráfica en Excel y
aprovechando estos resultados, se induce la construcción de la fórmula utilizando la
calculadora científica, luego se obtiene la tabla de valores, la gráfica en el plano
cartesiano y finalmente se construye el modelo de cartón.
4.5 Cronograma de actividades a desarrollar
A continuación se muestra el cronograma de actividades, que se llevó a cabo
durante el semestre agosto 08 / enero 09, con el grupo de 5º Semestre del
bachillerato Técnico No, 19 de la Universidad de Colima.
Cronograma antes de la intervención
Fecha de inicio Fecha de término Temas y/o actividades realizadas
11-ago-08 20-ago-08
Se analizó el concepto de función, su
clasificación y las operaciones matemáticas que
se pueden realizar con las funciones.
Se estudió el concepto de la derivada de una
función como un límite, así como su
interpretación.
40
Cronograma durante la intervención
Fecha de inicio Fecha de término Temas y/o actividades realizadas
21-ago-08 29-ago-08
Se realizaron las actividades programadas,
levantando el registro sistemático de dichas
actividades, mediante las técnicas e
instrumentos que con este fin, se
implementaron. También se hizo el análisis e
interpretación de la información que estos
instrumentos arrojaron.
Después de la intervención
Fecha de inicio Fecha de término Temas y/o actividades realizadas
01-sep-08 08-sep-08
Se estudiaron otras aplicaciones de la derivada,
así como la elaboración de un formulario de
derivadas algebraicas; se continúo con el
análisis e interpretación de la información
obtenida con los instrumentos que se usaron
4.6 Planeación didáctica
La planeación didáctica es un elemento clave para mantener una dosificación
adecuada tanto del contenido programático, como de la distribución del tiempo y la
evaluación objetiva de dichos contenidos, no obstante, en la materia de Matemáticas
V, del nivel medio superior de la Universidad de Colima, no existe dicha planeación
como tal, por lo que no se ha llevado hasta el momento, un seguimiento adecuado
mucho menos sistematizado; en consecuencia; con esta propuesta de planeación se
intenta remediar esta debilidad y que se pueda convertir en fortaleza, y es que la
planeación es una exigencia que se impone en el día a día, y no nada más en el
ámbito educativo, sino en todas las actividades humanas y especialmente en el
ámbito educativo. En las tablas 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 se muestran las planeaciones que
se utilizaron durante las sesiones de intervención.
41
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 13-oct-08
Unidad I: Derivada de funciones algebraicas No. Sesión: 1
Tema: Incrementos y diferenciales No. Hrs: 2
Contenido: Mostrar el incremento como una diferencia y el diferencial como un objeto tan pequeño como se desee
Objetivo: El alumno será capaz de definir e identificar en una gráfica un incremento y un diferencial
Aprendizajes Identificar y definir el incremento y el diferencial y obtener las gráficas de algunas funciones algebraicas esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos
Primera sesión Actividad de inicio (se toma lista) El maestro expone brevemente los conceptos de incremento y diferencial, en una gráfica, mediante una lluvia de ideas, se pide a los alumnos que describan los conceptos de incremento y diferencial. Actividad de desarrollo El maestro solicita a los alumnos que tracen la gráfica de la
función 2)( xxf en el intervalo [-5,5], usando x=0.5
Mientras los alumnos hacen los cálculos correspondientes, el docente mediante el uso de la PC, el cañón digital y el software Excel, obtiene la gráfica de dicha función Actividad de cierre Observando la gráfica, a través de una lluvia de ideas se discuten y establecen los conceptos de incremento y diferencial.
15 min 20 min 15 min
Hojas impresas con información relativa al tema Computadora Cañón Digital Pintarrón Plumones Cuaderno de notas Calculadora científica Hojas milimétricas
Fijar un mapa mental que permita reconocer cuando se está hablando de incrementos y cuando de diferenciales Obtener el trazo de una gráfica y observar el incremento y el diferencial
Tabla No. 4. Plan de clase, sesión 1. Fuente: propia
42
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 13-oct-08
Unidad I: Función derivada No. Sesión: 1
Tema: Cálculo de incrementos No. Hrs: 2
Contenido: Resolución de incrementos de la variable independiente
Objetivo: El alumno será capaz de calcular el incremento de funciones algebraicas
Aprendizajes Obtener el valor numérico del incremento en algunas funciones algebraicas
esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos
Segunda sesión Actividad de inicio (se toma lista) El maestro previamente ha seleccionado 3 funciones algebraicas y muestra como se calcula el incremento de la variable dependiente Actividad de desarrollo Se solicita a los alumnos que pasen a su cuaderno de notas, 3 ejercicios para que calculen el incremento, motivando a los 15 primeros en terminar los ejercicios obtendrán un ¼ de punto, sobre calificación; para todos los demás el ejercicio vale 1/5 de punto. Actividad de cierre Se revisan los cuadernos de todos los alumnos y se dejan 3 ejercicios más para que los realicen en su casa, en el cuaderno de tareas
15 min 20 min 15 min
Computadora Cañón Digital Pintarrón Plumones Cuaderno de notas Calculadora científica
Obtener el valor numérico de algunos incrementos
Tabla No. 5. Plan de clase, sesión 1. Fuente: propia
43
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 14-oct-08
Unidad I: Función derivada No. Sesión: 2
Tema: Cálculo de incrementos No. Hrs. 1
Contenido: Resolución de incrementos de la variable independiente
Objetivo: El alumno será capaz de calcular el incremento de funciones algebraicas
Aprendizajes Obtener el valor numérico del incremento en algunas funciones algebraicas
esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos
Actividad de inicio (se toma lista) Por filas, se solicita a los alumnos entreguen el cuaderno de tareas, posteriormente se muestran 3 ejercicios más para que los alumnos calculen el incremento Actividad de desarrollo Los alumnos deben realizar los ejercicios propuestos, motivando a los 15 primeros en terminar los ejercicios, obtendrán un 1/5 de punto, sobre calificación; para todos los demás el ejercicio vale 1/6 punto. Actividad de cierre Se revisan los cuadernos de todos los alumnos y se deja de tarea que investiguen el tema “derivada de una función algebraica, usando límites”
10 min 25 min 15 min
Archivo digital Computadora Cañón Digital Pintarrón Plumones Cuaderno de notas Calculadora científica
Cuaderno de tareas, para su revisión Obtener el valor numérico de algunos incrementos
Tabla No. 6. Plan de clase, sesión 2. Fuente: propia
44
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 15-oct-08
Unidad I: Función derivada No. Sesión: 3
Tema: Definición formal de derivada y ejercicios No. Hrs : 2
Contenido: Haciendo uso de los teoremas sobre límites, se induce el concepto de derivada
Objetivo: El alumno será capaz de definir la derivada; así como calcular la derivada de funciones algebraicas
Aprendizajes Obtener la derivada de funciones algebraicas mediante su definición así como su valor numérico
esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos Primera sesión y segunda sesión Actividad de inicio (se toma lista) Induciendo la participación de algunos alumnos, se revisa la tarea dejada en la sesión anterior, y con ello se logra destacar y definir la función derivada Actividad de desarrollo Una vez establecido el concepto formal de derivada, se muestra por parte del docente, mediante el software Excel; el archivo derivada.xls, las graficas de algunas funciones primitivas y derivadas El docente a través de 3 ejemplos, utiliza la definición de derivada y calcula el valor numérico de la derivada en un punto dado En el pintarrón se ponen 3 ejemplos, para que los alumnos los realicen y se motiva a todo el grupo, ofreciendo 1/6 de punto sobre calificación a los que terminen los ejercicio Actividad de cierre Se comienza a revisar el cuaderno de notas, conforme van terminando los ejercicios y se deja como tarea que revisen las notas de la clase, aplicación de encuesta de intervención
15 min
25 min 20 min 25 min 15 min
Cuaderno de notas Pintarrón Plumones Computadora Cañón Digital Calculadora científica
Mapa mental que integre los contenidos revisados Obtener la derivada de los ejemplos propuestos, utilizando la definición de límites
Tabla No. 7. Plan de clase, sesión 3. Fuente: propia
45
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 20-oct-08
Unidad I: Función derivada No. Sesión: 4
Tema: Puntos óptimos No. hrs: 2
Contenido: Optimización de funciones
Objetivo: El alumno será capaz de encontrar la derivada de funciones, establecer y explicar los puntos óptimos de una
función algebraica, utilizando el criterio de la primera derivada
Aprendizajes Identificar y obtener los puntos óptimos de una función algebraica.
esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos
Primera sesión y segunda sesión Actividad de inicio (se toma lista) El profesor hace una breve exposición conceptual, acerca de lo que es optimizar una función haciendo uso de la primera derivada, sus fines y aplicaciones prácticas Actividad de desarrollo El docente, ejemplifica mediante 3 ejercicios, como se logra la optimización de funciones algebraicas, usando el criterio de la primera derivada, también se usa el software Excel, para graficar, señalar y ubicar la relación que existe entre la función primitiva y la derivada, de acuerdo con el siguiente proceso 1.- Encontrar la derivada de la función y calcular el valor donde la derivada es cero Actividad de cierre El docente revisa los cuadernos y aclara posibles dudas de los alumnos y solicita que para la siguiente sesión lleven el siguiente material: 1 pliego de cartulina 1 tijeras 1 frasquito de pegamento blanco 1 regla o escuadra graduada Calculadora científica
25 min 20 min c/ejercicio (60 min) 15 min
Cuaderno de notas Pintarrón Plumones Computadora Cañón Digital Calculadora científica
Mapa mental que integre los contenidos revisados Obtener la derivada de los ejemplos propuestos,
Tabla No. 8. Plan de clase, sesión 4. Fuente: propia
46
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 21-oct-08
Unidad I: Función derivada No. Sesión: 5
Tema: Ejercicios de optimización No. Hrs: 1
Contenido: Optimización de funciones
Objetivo: El alumno será capaz de encontrar los puntos óptimos de una función algebraica, mediante el
criterio de la primera derivada y establecer si es un máximo o un mínimo
Aprendizajes Identificar y obtener los puntos óptimos de una función algebraica.
esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos Actividad de inicio (se toma lista) El profesor hace una breve retroalimentación del tema de la sesión anterior Actividad de desarrollo Se solicita a los alumnos que resuelvan un ejercicio de optimización, con una función algebraica del tipo
cbxaxxf 2)(
El docente revisa el trabajo que van desarrollando los alumnos a lo largo de la sesión y aclara posibles dudas por parte de los alumnos Actividad de cierre El profesor explica un ejercicio práctico de optimización, conocido como: construcción de una caja de volumen máximo
10 min 15 min 25 min
Cuaderno de notas Pintarrón Plumones Calculadora científica Regla de madera
Ejercicio de optimización resuelto correctamente
Tabla No. 9. Plan de clase, sesión 5. Fuente: propia
47
PLAN DE CLASE Materia: Matemáticas V Fecha: 22-oct-08
Unidad I: Función derivada No. Sesión: 6
Tema: Aplicación de la derivada No. Hrs: 2
Contenido: Optimización de funciones
Objetivo: El alumno construirá una caja de cartón sin tapa de volumen máximo, usando el criterio de la
primera derivada
Aprendizajes Aplicación de la derivada en una situación real y práctica
esperados:
Actividades para los alumnos/docente Tiempo Recursos Productos Actividad de inicio (se toma lista) El profesor asigna a cada uno de los alumnos, las dimensiones de un rectángulo de cartón, y a partir de ellas, realizan el análisis para encontrar los puntos óptimos y construir la caja Actividad de desarrollo Se solicita a los alumnos que resuelvan el ejercicio de optimización, con la función algebraica resultante del tipo
dcxbxaxxf 23)( , encontrando su derivada y los puntos
óptimos. El docente revisa el procedimiento, aclara dudas y revisa el trabajo desarrollado por los alumnos a lo largo de la sesión, indicando como debe ser construido el modelo de cartón Actividad de cierre El profesor revisa las cajas construidas por los alumnos y comprueba si se elaboraron correctamente las cajas
Se aplica encuesta sobre la intervención
15 min 50 min 25 min 10 min
Cuaderno de notas Pintarrón Plumones Calculadora científica Regla Cartulina Pegamento blanco Tijeras
Construcción de caja de cartón con volumen máximo
Tabla No. 10. Plan de clase, sesión 6. Fuente: propia
48
4.7 Evaluación de las sesiones intervenidas
Número de sesión
Tema Criterios a evaluar
1 Incrementos y diferenciales
Desempeño en clase Trazado de gráficas en papel milimétrico Participación activa en lluvia de ideas Destreza en el uso de la calculadora científica Resolución de ejercicios
2 Cálculo de incrementos
Desempeño en clase Destreza en el uso de la calculadora científica Resolución de ejercicios
3 Definición formal de derivada
Desempeño en clase Resolución de ejercicios Trabajo colaborativo
4 Puntos óptimos (1a. derivada)
Trazado de gráficas en papel milimétrico Proceso mediante el cual encuentra la derivada Proceso mediante el cual encuentra los puntos óptimos Desempeño en clase
5 Ejercicios de optimización
Trazado de gráficas en papel milimétrico Proceso mediante el cual encuentra la derivada Proceso mediante el cual encuentra los puntos óptimos Desempeño en clase
6 Aplicación de la derivada
Trazado de gráfica en papel milimétrico Proceso mediante el cual encuentra la derivada y los los puntos óptimos Construcción del modelo de cartón con volumen máximo Desempeño en clase
Tabla No. 11. Criterios de evaluación utilizados en las sesiones intervenidas. Fuente: propia
49
4.8 Matriz concentradora de actividades a desarrollar en cada sesión de intervención
No. de Sesión
Actividades especificas a realizar Tiempo Responsables Instrumentos para rescatar la información
1 y 2
Exposición de conceptos Manipulación de los programas excel y graphmatica Trazado gráficas Manipulación del programa excel y graphmatica Lluvia de ideas Cálculo de incrementos
15 min 20 min 15 min
Docente Docente y alumnos Alumnos Docente y alumnos Docente y alumnos Docente
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo
Cálculo de incrementos en funciones algebraicas Ejercicios de incrementos Revisión de cuadernos Ejercicios de tarea
15 min 20 min 15 min
Docente Alumnos Docente y alumnos
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo
Retroalimentación con incrementos Ejercicios de incrementos Revisión de cuadernos Tarea
10 min 25 min 15 min
Docente y alumnos Alumnos Docente
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo
3 Revisión y retroalimentación del tema de tarea Exposición visual de la función derivada y primitiva Calculo de derivadas Ejercicios de derivadas Revisión de cuaderno
15 min 25 min 20 min 25 min 15 min
Docente y alumnos Docente Docente Alumnos Docente
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo Encuesta
4 Optimización de funciones (primera derivada) Ejercicios de optimización Aclaración de dudas, revisión de cuaderno y encargo de material para la siguiente sesión
25 min 60 min 15 min
Docente Docente y alumnos Docente y alumnos
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo
5 Retroalimentación del tema anterior Ejercicio de optimización Aplicación de optimización
10 min 15 min 25 min
Docente Alumnos Docente
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo
6 Asignación de ejercicio de optimización en forma individual Construcción de caja de volumen máximo, previo análisis Revisión del producto obtenido y aplicación de encuesta
15 min 50 min 35 min
Docente Alumnos Docente y alumnos
Cuaderno rotativo Diario de campo Cuaderno de trabajo Encuesta
Tabla No. 12. Matriz concentradora de actividades durante la intervención. Fuente:
propia
50
4.9 Instrumentos para registrar información
Los instrumentos utilizados para recabar la información son los que ya se han
mencionado y descrito en secciones anteriores y estos son: cuaderno rotativo, diario
de campo, encuestas, fotografía y el SICEUC.
4.10 Plan de análisis de datos
En la siguiente tabla, se muestra el cronograma que se siguió para realizar el
análisis de datos obtenidos durante las sesiones de intervención
FECHA DESCRIPCIÓN
23/oct/08 al 23/nov/8
Análisis de la información obtenida
con el cuaderno rotativo y el diario de
campo
24/nov08 al 15/dic/08 Análisis de la información obtenida
mediante las encuestas
20/ene/09 al 25/mar/09
Análisis de las fotografías que se
tomaron durante las sesiones de
intervención.
02/abr/09 al 24/may/09
Análisis de los resultados de las
evaluaciones obtenidos a través del
SICEUC
51
Capítulo V Desarrollo de la intervención 5.1 Esquema individual de análisis de acciones Dentro de este capítulo, se describen las acciones, contingencias, resultados y
productos obtenidos de cada sesión de intervención llevada a cabo, así como las
gestiones que se realizaron y algunos resultados de esas gestiones realizadas; para
ello se tomaron en cuenta los siguientes aspectos:
a) descripción de los temas, acciones o actividades que se efectuaron
b) fortalezas de las acciones o actividades
c) debilidades de las acciones o actividades y
d) propuesta de mejora, en su caso
Sesión 1 y 2 Materia: Matemáticas V Fecha: 13 y 14 de octubre del
2008 Unidad I: Derivada de una función No. Sesión: 1 y 2
Tema: Conceptos de incremento y diferencial
No. hrs: 3
Descripción:
Para llegar a la definición de estos conceptos, de acuerdo con el cronograma
de actividades, en las sesiones previas a la intervención, ya se habían analizado los
siguientes temas:
1.- Concepto de función
2.- Tipos de función
3.- Graficación de funciones
4.- Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición
5.- Límites y sus propiedades
Desarrollo de las actividades
Una vez que se tuvieron claros los temas anteriores, se expusieron y
presentaron los conceptos de incremento y diferencial; en primera instancia se dio la
52
f(x2)
f(x1)
X=h
y
f(x1)
definición formal de incremento, tanto para la variable independiente “x”, como para
la variable dependiente “y”. Por lo tanto, “y” es una cantidad que depende de otra
cantidad “x”, entonces, se dice que y está en función de x, lo cual se denota por
y=f(x), mientras que el cambio en x se conoce como incremento de x que se
representa con la letra griega delta (∆), el cual se expresa como
lo cual representa que la variable independiente ha experimentado un cambio o
desplazamiento, de una posición inicial a otra final.
Así, el cambio correspondiente en y es
)()( 12 xfxfy
y como xxx 12
sustituyendo; queda que el incremento en y es
)()( 11 xfxxfy ,
como se puede observar en la figura no. 3
X1 X2=X1+h
12 xxx
Figura no. 3.- Incremento de la variable independiente y dependiente, Fuente: Stewart (1998)
53
f(x+x)
f(x)
X=h
y
f(x)
De acuerdo con Purcell (2000); Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz,
fueron dos de los principales fundadores del cálculo, siendo quizá el mismo Leibniz el
mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de cálculo
diferencial y cálculo integral, así como los símbolos dy/dx para la derivada y para la
integral; así como el término función y el uso constante del símbolo = para
representar la igualdad.
Analizando la figura no. 4, se puede observar que si se va haciendo cada vez
más pequeño el incremento en x, tan pequeño que se pueda aproximar cada vez
más a cero, pero sin hacerlo llegar a éste valor, es decir, la variable independiente
cambia de x a x+x, por tanto, el incremento en y también experimenta sus propios
cambios, es decir:
En consecuencia, en el triángulo rectángulo que se forma con los incrementos
se tiene que:
x
xfxxf
x
y
CA
CO
)()(tan
x x+x
secante tangente
)()( xfxxfy
Figura No. 4.- Tendencia del incremento de la variable independiente y dependiente, Fuente: Stewart (1998)
54
x0 x0
dxxfdy )´(
)´(xfdx
dy
donde se ha establecido que esta razón de cambio representa en términos de x, la
pendiente de la secante que pasa por (x,f(x)) y por (x+x, f(x+x). Ahora bien,
cuando x0, la pendiente de esta secante tiende a la pendiente de la tangente y
para ésta; Leibniz uso el símbolo dx
dy ; por lo tanto,
)´()()(
limlim xfx
xfxxf
x
y
dx
dy
En consecuencia, los incrementos se pueden hacer tan pequeños que Leibniz
llamó a dy/dx cociente de dos infinitesimales, término que actualmente se considera
ambiguo y está cayendo en desuso. No obstante, la notación dy/dx continúa siendo
un símbolo estándar para la derivada. Asimismo la expresión d/dx se debe entender
como un símbolo operador que tiene el mismo significado que Dx y que se lee
“derivada con respecto a x”.
Por otro lado, para que una función y=f(x) sea diferenciable en x, debe cumplir
que:
La función f sea continua en el intervalo cerrado [a,b], es decir
cx
cfxf
)()(lim
El límite por la izquierda sea igual al límite por la derecha, es decir
cx
Lxf )(lim y
cx
Lxf )(lim
al símbolo dx se le conoce como diferencial de la variable independiente, al que se le
puede asignar el valor de cualquier número real, luego la diferencial dy se puede
obtener de la expresión y haciendo el despeje respectivo queda
finalmente como:
es decir, el diferencial de y es igual al producto de la derivada por el diferencial de x;
como lo muestra la ecuación 1.
ec. 1
55
Fortalezas
Con el apoyo de las tecnologías de información, que fueron desde el uso
adecuado de diferentes tipos de calculadora (básica, científica y graficadora); hasta
la PC, el proyector multimedia y los software Excel y graphmatica, se logró que el
docente hiciera su práctica más fluida, con más y mejores recursos que le
permitieron mostrar claramente, mediante varias gráficas, los conceptos de
incremento y diferencial, así mismo se consiguió atraer un mayor interés y
entusiasmo por parte de los alumnos, quienes adquirieron una mayor capacidad y
habilidad; primero, para identificar visual y gráficamente que es un incremento y
segundo, calcular analíticamente incrementos y diferenciales.
Debilidades
Algunos alumnos comentaron que les gustaría hacer estos ejercicios
personalmente en la PC, desafortunadamente no tienen un manejo aceptable del
software Excel o graphmatica, en menor escala, se presenta un manejo inadecuado
de la calculadora científica y prácticamente desconocen cómo se utiliza una
calculadora graficadora.
Propuesta de Mejora
Gestionar con el director algunos cursos extra clase del programa Excel y de
manejo de la calculadora científica.
56
P
Sesión 3 Materia: Matemáticas V Fecha: 15 de octubre del
2008 Unidad I: Derivada de una función No. Sesión: 3
Tema: Definición formal de derivada y ejercicios
No. hrs: 2
Descripción: En esta sesión se analizó el concepto formal de derivada, el cual se llevo a
cabo mediante límites, esto es, se comenzó analizando la gráfica de la figura 2,
donde se observa que la pendiente de la recta secante lPQ a una curva con ecuación
y=f(x) en un punto a, se define como la tangente del triangulo rectángulo que se
forma con la recta y los segmentos resultantes, es decir ax
afxfmPQ
)()( , como se
puede observar en la figura no. 5
Fig. 2
Q
a a+h x
f(a)
lPQ
t
x-a =h
f(x)
Figura No. 5.- La recta secante tiende a convertirse en tangente. Fuente: propia
57
Ahora bien, en primer lugar se observa que dicha recta toca en dos puntos a la
gráfica de la función, si la recta secante lPQ se hace girar hacia la izquierda, se puede
observar que el punto Q se va acercando cada vez más al punto P, y se nota que
dichos puntos están cada vez más próximos entre sí a la gráfica; de tal forma que
podría llegar un momento en que la recta lPQ casi toca solo en un punto a la gráfica
de a curva, entonces se define la tangente t como la recta que pasa por P con
pendiente m. Esto equivale a decir que la tangente es la posición límite de la recta
secante PQ, se dice que Q tiende a P, por tanto se tiene la siguiente definición de
recta tangente:
La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa
por P, cuya pendiente m es:
ax
afxfm
axlím
)()(
si dicho límite existe Por otro lado, el cambio que experimenta la variable x, se puede representar
con una nueva literal, por ejemplo h, entonces a+h=x, de donde se puede obtener h,
realizando el despeje respectivo, entonces h=x-a, por lo tanto la expresión para la
pendiente de la recta tangente, queda:
h
afhafm
hlím )()(
0
Esta notación se interpreta como una razón de cambio o fenómenos de
variación, en cualquiera de las ciencias o la ingeniería, y se le da un nombre y una
notación especial, a saber: la derivada de una función
La derivada de una función f en un número a, denotada por f’(a) o dy/dx -en
notación de Leibniz- si este límite existe, es:
58
h
afhaf
dx
dyaf
hlím
)()()('
0
En consecuencia; como se está considerando un punto particular (a, f(a)) esto
se puede hacer extensivo para todo el dominio de la función, ya que se asume que
dicha función es continúa, al existir tanto el límite por la izquierda como por la
derecha, entonces; si en la ecuación anterior se reemplaza la literal a por la variable
x, si el límite existe, se obtiene
h
xfhxfxf
hlím )()(
)('0
Por lo tanto, dado cualquier número para el cual el límite exista, se asigna a x
el número f’(x), de tal forma que se puede considerar f’ como una nueva función,
llamada derivada de f, definida por medio de la ecuación 1. Entonces, el valor de f’
en el punto (x, f(x)) se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto (x,f(x)).
A la función f’ se le conoce como derivada de f, porque se ha obtenido o mejor
dicho “derivado” de f por medio de la operación de encontrar el límite en la ecuación
1. Ahora que ya se conoce la definición de la derivada de una función, se procedió a
encontrar la derivada de algunas funciones, tanto con la definición formal de derivada
como usando la fórmula de derivación 1)( nn anXaXDx
Fortalezas
Con el apoyo visual de la PC y el proyector multimedia, se logró que los
alumnos observaran de una forma más clara, como la recta secante se va
pareciendo cada vez más o “transformándose” en una línea tangente, con lo cual
fijaron con mayor profundidad el contenido analizado en las clases, se logró un
mayor aprovechamiento de los tiempos, con la distribución que se planeó.
ec.. 1
59
Debilidades
Como es un tema un tanto complejo para algunos alumnos, se necesitó dar un
repaso sobre límites, tema que ya se había analizado en clases anteriores.
Propuesta de mejora
Mejorar la planeación de los temas sobre límites y diseñar instrumentos de
evaluación que permitan comprobar si realmente se han entendido estos temas.
Sesión 4 Materia: Matemáticas V Fecha: 20 de octubre del
2008 Unidad I: Derivada de una función No. Sesión: 4
Tema: Puntos óptimos No. hrs: 2
Descripción:
Como ya se ha analizado en sesiones previas, la derivada de una función
representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en un punto dado a la
función, entonces cuando la derivada vale cero, esto significa que la pendiente de la
recta tangente en ese punto de la función también vale cero, por lo tanto, esto indica
que en la función puede haber un máximo o un mínimo local, a esto se le conoce
como criterio de la primera derivada.
Esto es, si se tiene la función y=f(x) y se encuentra su derivada denotada por
y’=f’(x), es necesario igualar a cero la derivada y’=0 y resolver la ecuación resultante,
con la finalidad de encontrar, primero, el valor de x que satisface y’=0 y segundo,
este valor, se sustituye en la función original, y se determina si es un máximo o un
mínimo, ya se sustituyendo valores más pequeños o más grandes, que el valor de x
obtenido, y de acuerdo con los resultados se infiere si es un máximo o un mínimo; o
bien se traza la gráfica de la función y observando su comportamiento, se puede
determinar en qué punto puede haber un máximo o un mínimo.
60
Para explicar este caso, se optó por utilizar la función relativamente sencilla
y=x2 y su derivada y=2x, con la finalidad de mostrar el tema de puntos óptimos, para
ello se usó el intervalo [-5,5] con ∆x=0.5, iniciando con la tabulación de ambas
funciones, mostrada en la tabla no. 13, de estos valores en la función original y en la
derivada de la función; y posteriormente se obtienen las gráficas respectivas (Fig.
No. 6)
Fortalezas
El haber utilizado tres métodos para mostrar cómo se localizan los valores
máximos y mínimos, ya sea mediante una tabla de valores, utilizando la gráfica de la
función y localizando en qué punto se encuentra el máximo o el mínimo, así como el
método analítico de resolver y’=0.
Debilidades
Los métodos de la tabla de valores y el de la gráfica, son sólo aproximados, ya
que sería muy tedioso y cansado con el uso de la calculadora, construir una tabla
X Y=X2 Y'=2X
-5 25 -10
-4.5 20.25 -9
-4 16 -8
-3.5 12.25 -7
-3 9 -6
-2.5 6.25 -5
-2 4 -4
-1.5 2.25 -3
-1 1 -2
-0.5 0.25 -1
0 0 0
0.5 0.25 1
1 1 2
1.5 2.25 3
2 4 4
2.5 6.25 5
3 9 6
3.5 12.25 7
4 16 8
4.5 20.25 9
5 25 10
y=x2
y'=2x
Tabla No. 13. Tabulación de la función y=x2 en [-5,5] con ∆x=0.5 Fuente: Propia
Figura no. 6.- Gráfica que muestra el lugar geométrico de un mínimo. Fuente: Propia
61
con 100 valores ó más y su respectiva gráfica, por lo tanto, aprovechando el uso de
algunas tecnologías de información, es útil para obtener una mejor aproximación, sin
embargo, se observó poca habilidad y destreza en el manejo del software Excel y de
la calculadora científica por parte de los alumnos.
Propuesta de mejora
Implementar junto con los directivos del plantel, dos cursos: uno sobre
graficación de funciones usando la hoja de cálculo Excel y el segundo, sobre cómo
mejorar el uso de la calculadora científica.
Sesión 5 Materia: Matemáticas V Fecha: 21 de octubre del
2008 Unidad I: Derivada de una función No. Sesión: 5
Tema: Ejercicios de optimización No. hrs: 1
Descripción:
Se desarrolla una aplicación de máximos mediante un proyecto de aplicación,
conocido como construcción de caja con volumen máximo, donde se desarrolla todo
el proceso; desde cómo se llega a la función, como se obtiene la derivada de dicha
función, su igualación a cero, la selección del valor adecuado y cálculo del volumen
máximo. A continuación se describe el proyecto, mediante un ejemplo concreto.
Se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo, cortando en cada
esquina un cuadrado y doblando hacia arriba esa sección; a partir de una sección
rectangular de cartón cuyas medidas son: 20 cm de largo y 13 cm de ancho,
determina la medida del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener dicho
volumen, como se muestra en la figura no. 7 y cuál sería el volumen de dicha caja.
62
X
Al doblar la pestaña que resulta de recortar el lado del cuadrado hacia
arriba, se forma entonces un paralelepípedo o una figura cuyo volumen se puede
encontrar con la multiplicación de cada uno de los tres lados que lo forman, es decir:
V=l*a*h, donde l=largo, a=ancho y h=altura
Resulta entonces, que el volumen de la caja, una vez que se quita o recorte el
cuadrado; expresado en función de x, las dimensiones de los lados quedan: l=20-
2x; (debido a que a lo largo son dos lados del cuadrado); a=13-2x (debido a que a lo
ancho son dos lados del cuadrado); y h=x; (coincide porque es la distancia que se
dobla hacia arriba); por lo tanto que el volumen que se busca de la caja en función de
x, resulta de la sustitución en la fórmula del volumen V=l*a*h
V(x) = (20-2x)(13-2x)(x)
y luego realizando las operaciones correspondientes y desarrollando queda
20-2x
13-2x
260-26x
-40x+4x2
260-66x+4x2 ahora este resultado se multiplica por x
x
260x-66x2+4x3 ordenando en forma descendente el volumen es
X X
13 cm
20 cm
Fig. No. 7.- Esquema de la sección rectangular para obtener el volumen máximo. Fuente: Propia
63
xxxxV 260664)( 23 y su derivada es:
26013212)(' 2 xxxV
en el Anexo No. 3 se muestran las gráficas de la función de volumen y su derivada; y
resolviendo esta ecuación con la fórmula general de segundo grado
a
acbbX
2
42
2,1
, donde a=12, b=-132 y c=260
da: x1=8.43 y x2=2.57, y aunque una ecuación de segundo grado tiene dos raíces, se
descarta el valor de 8.43 debido a que tenemos un cartón con medidas de 20cm x
13cm, claramente se observa que este valor no es congruente con los valores
físicos, ya que faltaría cartón en lo ancho, por tanto, se elige el valor de 2.57 y
sustituyéndolo en la ecuación, resulta que el volumen máximo es:
Vmáx= 300.17 cm3
Fortalezas
Este proyecto muestra una aplicación completa, práctica e inmediata de la
derivada de una función algebraica, debido a que primero se hace al análisis
matemático, después se grafican las dos funciones, la primitiva y la derivada y
finalmente se explica cómo se construye un modelo físico.
Debilidades
Una sesión de una hora resultó insuficiente para mostrar con mayor detalle el
proceso de optimización de una función.
Propuesta de mejora
Planear una sesión de dos horas, con la finalidad de poder hacer más
ejercicios y resolver con mayor profundidad las dudas que surgieron durante la clase.
64
Sesión 6 Materia: Matemáticas V Fecha: 22 de octubre del
2008 Unidad I: Derivada de una función No. Sesión: 6
Tema: Aplicación de la derivada No. hrs: 2
Descripción
Tomando como base el análisis de la sesión anterior, a cada alumno se le
asignaron las dimensiones de un rectángulo, con el que debe hacer su propio
análisis, encontrar la función del volumen, su derivada, su igualación a cero, la
selección del valor adecuado, cálculo del volumen máximo y construcción física de la
caja.
Fortalezas
El alumno construye una caja de volumen máximo, cortando un cierto valor, -
que resulta del análisis matemático-; en cada una de las esquinas de un rectángulo,
previamente dado; haciendo uso de una de las aplicaciones de la derivada de una
función.
Debilidades
Se generó un poco de confusión al asignar las dimensiones del rectángulo a
cada alumno, ya que al principio del trabajo, los alumnos mostraron cierta
incertidumbre, por lo que se les volvió a explicar que era un trabajo individual, pero
que se podían ayudar entre ellos, desde el momento de obtener la función de
volumen, expresado en términos de x, obtener su derivada y sus raíces o a la hora
de recortar los rectángulos o construir la caja.
Propuesta de mejora
Asignar en un primer momento, que todos los alumnos construyan una caja
con las mismas dimensiones, y una vez que les haya quedado más claro de qué se
trata el proyecto, en un segundo momento, asignar un ejercicio individual para cada
alumno.
65
5.2 Plan alternativo y rediseño
Con objeto de retomar algunos conceptos y hacer una retroalimentación de los
temas analizados durante las sesiones de intervención, se llevaron a cabo dos
sesiones extras, donde se analizaron algunos ejemplos prácticos con otras
aplicaciones de la derivada, en una de esas sesiones se hizo el siguiente ejercicio.
Se desea construir un corral de forma rectangular para animales, teniendo una
barda ya construida como un lado del corral como se indica en la figura no. 8; si se
tienen 200 m de alambre ciclón. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para
tener un área máxima y poder encerrar el mayor número de animales posible?
Se desea resolver este problema de una forma aproximada, por lo tanto se
solicita a los alumnos que hagan una tabla como la que se muestra en la figura no. 9,
donde se va a ir asignando valores tanto a lo largo como a lo ancho, haciendo la
observación de acuerdo con el diagrama que se dibujó, que se puede comenzar con
un ancho de cero y por tanto el largo debe valer 200, así pues, si se va
incrementando el ancho, el largo va disminuyendo, presentando también un
incremento, así mismo se va calculando el área y observando la tabla, se llega en
cierto momento a determinar, cuando se presenta el área máxima.
barda
x
y
x
Figura No. 8.- Esquema para obtener el área máxima de un corral. Fuente: Propia
66
5.3 Resultados y análisis
5.3.1 Resultados y análisis por cada sesión de intervención
De acuerdo con Campechano (1997), un proceso de intervención, conduce a
una consecuencia esencial: la transformación del proceso docente educativo,
iniciando esto con la recuperación de la práctica docente, utilizando para ello,
Fig. No. 9.- Ejercicio para calcular el máximo de un corral mediante aproximaciones. Fuente: Cuaderno escolar de un alumno.
67
diversos instrumentos y técnicas como las que se muestran en la tabla no. 14,
tomada de Rodríguez, Gil y García (1999).
Tabla de instrumentos y técnicas para recuperar información
Procedimientos, técnicas e instrumentos de registro
Finalidad del registro
Registro de anécdotas, cédula, hoja de respuestas
Conservar lo significativo
Notas de campo, transcripciones de entrevistas
Conservar con todo detalle toda la información
Grabaciones en audio Conservar la producción verbal (incluso ruidos)
Fotografía, diapositivas, vídeo
Conservar lo que el investigador percibe como un todo fijo Nota del interventor: considero que el vídeo no debe estar en esta categoría, ya que se contradice así mismo en el siguiente instrumento.
Vídeo Conservar lo que el investigador percibe como un todo en movimiento
Diario, incidentes críticos, registro de muestras, notas de campo
Conservar lo que el investigador o los participantes se ven a sí mismos
Tabla No. 14.- Clasificación de los procedimientos y técnicas, según el modo en que se registra la información recogida
Con base en la tabla mostrada, los instrumentos que se utilizaron para
registrar los hechos sucedidos durante las sesiones de intervención fueron varios
instrumentos diferentes, a saber: el cuaderno rotativo, el diario de campo,
grabaciones de audio, fotografías, encuestas, cuestionarios y un software diseñado
por la Universidad de Colima, llamado SICEUC; en el anexo no. 4 se muestra el
formato de una encuesta que se utilizó para la recolección de información; diseñada
para obtener información relevante de los sujetos intervenidos acerca de su
percepción en cuanto al enfoque que se le dio a materia de Matemáticas V durante la
intervención; cabe mencionar que esta encuesta se aplicó en dos momentos, con la
premisa de obtener información justamente cuando la intervención se estaba
llevando a cabo.
Teniendo en cuenta que dicho proyecto tuvo una duración de dos semanas, se
tomó la determinación de aplicar la primera encuesta al final de la primera semana
de intervención el día 15 de octubre del 2008, a una muestra aleatoria de 25
68
alumnos, y la segunda encuesta se realizó al finalizar la segunda semana de la
intervención el día 22 de octubre del 2008, a otra muestra de 26 alumnos; y
finalmente se tomaron algunas fotografías de la última sesión de intervención, que
permitieron observar claramente las acciones y desarrollo del trabajo que se llevó a
cabo.
Sesión 1 y 2
En la tabla no. 15 se muestran los datos generales de la materia, los
instrumentos utilizados para recabar información, temas, contenido y propósito de las
sesiones intervenidas
Aspectos generales y de contenido
No. Sesión 1 y 2 Fecha 13 y 14 oct/2008
Interventor Ing. Alejandro
Salmerón Jiménez
Tiempo 3 hrs
Escuela Bach. Téc. No. 19 Grado y Grupo 5o sem Gpo A T.M.
Localidad Cerro de Ortega, Col Unidad y Parcial 1
Instrumento de
registro
Cuaderno rotativo
Diario de campo
Tema:
Conceptos y cálculo de incremento y
diferencial
Contenido:
a)Mostrar el incremento como una diferencia y el diferencial como un objeto tan
pequeño como se desee
b)Resolución de incrementos de la variable independiente
Propósito:
El alumno será capaz de definir los conceptos de incremento y diferencial e identificarlos en
una gráfica.
Tabla No. 15. Aspectos generales y de contenido de las sesiones 1 y 2. Fuente: Propia
Cuaderno rotativo
La clase inició a la hora programada, respetando el horario, tanto de entrada
como de salida, para impartir estos temas, se utilizó el pintarrón, marcadores, la PC,
proyector multimedia y la calculadora científica, mientras se tomaba lista, algunos
69
alumnos empezaban a platicar y otros apenas iban llegando, cuando se terminó de
tomar lista se explicó y se mostraron los conceptos de incremento y diferencial y
mediante algunas gráficas hechas en Excel, se reforzó visualmente lo discutido,
después se dejaron algunos ejercicios y también se hicieron las gráficas
correspondientes, la clase estuvo interesante pero a la vez algo complicada.
Algunos de los compañeros platicaban y discutían con el maestro del tema y
otros (como el 10%) se distraía con otros asuntos, no hacían nada, copiaban la tarea
dejada y no ponían la atención debida, un alumno de los que hicieron las
observaciones dijo: “que la clase debería ser más dinámica, con menos teoría, y que
espera que las demás clases no sean tan aburridas y que se mejoren en este
aspecto para el bien del proceso educativo”; sin embargo, en otras observaciones, se
resaltaba el hecho de la utilización de las tecnologías de información, con lo que se
logró hacer más original y entendible el tema.
El maestro revisó los ejercicios y tareas que dejó, también el maestro hizo un
repaso breve del tema previo, algunos de los compañeros colaboraban con el
maestro para hacer los ejercicios, la mayoría sí ponía mucha atención, participaban y
realizaban los trabajos que se dejaban para la clase, cuando teníamos duda, el
profesor nos ayudaba a resolverlas, solo era cuestión de escuchar con atención al
maestro para poder comprender el tema, cuando el maestro revisaba los ejercicios y
se daba cuenta que algo se había hecho mal, nos lo hacía saber para corregirlos, y a
la mayoría, cuando hacíamos bien los ejercicios nos motiva con fracciones de punto
que nos servían para la calificación de la parcial.
Diario de campo En esta sesión, se entró y se salió a la hora programada, respetando el
horario, para impartir esta clase, se utilizaron el pintarrón, los marcadores, la PC,
proyector multimedia y la calculadora científica, se pudo observar que mientras se
tomaba lista, algunos alumnos empezaban a platicar y otros apenas iban llegando,
terminando de tomar lista se explicó y expusieron brevemente los conceptos de
70
incremento y diferencial, y en una gráfica, mediante una lluvia de ideas, se solicitó a
los alumnos que describieran los conceptos de incremento y diferencial.
Después se dejaron algunos ejercicios numéricos y se solicitó además que
hicieran las gráficas correspondientes, algunos alumnos estaban muy interesados en
la clase, sin embargo comentaron que es un tema un tanto complicado, algunos
alumnos se distraían con facilidad (ya estaban detectados quienes eran), algunos
casi no trabajaban, copiaban la tarea dejada; aún así, se pudo observar que
utilizando algunas tecnologías de información, se logro hacer más dinámica la clase,
con más participación de los alumnos, logrando una retroalimentación más objetiva.
Después se revisaron los ejercicios y tareas que se habían dejado en otras
sesiones, la mayoría de los alumnos continuaban poniendo mucha atención,
participaban y hacían los ejercicios que se les dejaron para la clase, cuando algunos
de ellos presentaban dudas, se les apoyó en su solución, y se les invitó a poner más
atención para que comprendieran con mayor claridad el tema, luego se revisaron los
ejercicios y a los que tenían ciertos errores, se les hacía saber para que los
corrigieran, como motivación extra, se ofreció 1/5 de punto a los primeros 15
alumnos en terminar, los que terminaron después se les dio 1/6 de punto, los cuales
les servirían para la calificación de la parcial. Finalmente, cuando se termino de
revisar todos los cuadernos, se les dejo de tarea que investigaran el tema “derivada
de una función algebraica, usando límites”
Sesión 3
En la tabla no. 16 se muestran los datos generales de la materia, los
instrumentos utilizados para recabar información, temas, contenido y propósito de la
sesión intervenida
71
Aspectos generales y de contenido, sesión 3
No. Sesión 3 Fecha 15/oct/2008
Interventor Ing. Alejandro
Salmerón Jiménez
Tiempo 2 hrs
Escuela Bach. Téc. No. 19 Grado y Grupo 5o sem Gpo A T.M.
Localidad Cerro de Ortega, Col Unidad y Parcial 1
Instrumento de
registro
Cuaderno rotativo
Diario de campo
Encuesta
Tema:
Definición formal de derivada y ejercicios
Contenido:
Haciendo uso de los teoremas sobre límites, se induce el concepto de derivada; como base
para su definición formal
Propósito:
El alumno será capaz de definir la derivada de una función, así como encontrar algunas
derivadas de funciones algebraicas
Tabla No. 16. Aspectos generales y de contenido de la sesión 3. Fuente: Propia
Cuaderno rotativo
En esta sesión, el maestro utilizó el pintarrón, marcadores, la PC, proyector
multimedia y la calculadora científica, como recurso para darnos la clase, entró a la
hora programada y salió 3 minutos después de la hora señalada, de cualquier forma,
casi nunca salía después de la hora, el maestro dio un repaso del tema anterior y la
mayoría de los alumnos participaban en la clase para hacer los ejercicios pendientes.
Después comenzó a explicar en el pintarrón el tema de la clase, también pidió que
algún compañero encendiera el proyector multimedia mientras el prendía la “compu”,
luego presentó más cosas del tema utilizando la PC y el proyector; con los ejercicios
que él hizo y con los que comenzamos a hacer nosotros, algunos compañeros se
dieron cuenta de manera informal, que para encontrar la derivada de una función, se
multiplica el exponente por el coeficiente y al exponente se le resta 1.
Luego que hicimos ésta deducción, el maestro nos explicó que la fórmula para
encontrar la derivada de un término de una función es 1)( nn anXaXDx y
aplicándola sucesivamente a todos los términos que conforman a una función, se
72
obtiene su derivada. Después el maestro nos explicó otros ejercicios empleando la
fórmula de derivación, luego nos dejó más ejercicios para nosotros, al principio
teníamos algunas complicaciones pero con la ayuda del maestro, a todos nos fue
quedando más claro, como que algunos compañeros le entendieron muy rápido a
este tema y terminaban pronto los ejercicios que dejaba el maestro, uno de los
ejercicios que hicimos es el siguiente:
Encuentra la derivada de la función 5668)( 34 xxxxf ; aplicando la fórmula de
derivación:
10111334 5*06*16*38*4)(' xxxxxf
61832)('
061832)('
23
023
xxxf
xxxxf
En otra observación se destacó lo siguiente, que habíamos encontrado la
derivada de una función usando dos formas diferentes, pero que finalmente nos
debería dar el mismo resultado, cosa que efectivamente así sucedió, (si se hacían
las operaciones correctamente), por lo que la mayoría de los alumnos obtuvimos
resultados aceptables, como teníamos mucho que hacer durante la clase, casi todos
los compañeros estuvieron controlados y ocupados con los ejercicios, la clase se
tornó muy interesante, ya que los ejercicios expuestos por el profesor fueron muy
buenos para complementar la teoría que nos dio al principio de la clase, en general la
clase fue muy buena.
Diario de campo
Entré al salón a la hora prevista, luego tomé lista y revise la tarea que les
había dejado en una sesión previa, una vez que terminé de revisar la tarea, mediante
el mediante el proyector expuse el concepto de función derivada, con apoyo del
software Excel, se graficaron algunas funciones así como su derivada.
En esta parte, se hace la aclaración que cuando se presenta x0, esto es igual a 1.
73
Después les mostré con algunos ejemplos, como se encuentra la derivada de
una función a través de su definición de límites, así mismo se encontró el valor
numérico de dichas derivadas, luego les puse otros ejercicios para que ellos las
hicieran en el salón de clase, mientras hacían el trabajo, algunos mostraban ciertas
dudas, las cuales se resolvieron de la mejor manera posible, motivé a los alumnos
ofreciéndoles 1/6 de punto a todos los que logren terminar los ejercicios, al final de la
clase apliqué una encuesta para conocer su percepción de la forma en que se estaba
impartiendo la clase durante la intervención.
Encuesta
De acuerdo a lo señalado en párrafos anteriores este instrumento se aplicó al
final de la primera semana de intervención, es decir, en la tercera sesión, a una
muestra conformada por 25 alumnos del grupo de 5o semestre, grupo A,
obteniendo los resultados que se muestran en la tabla no. 17.
74
Concentrado de resultados de la primera encuesta de intervención aplicada el 15/oct/08
ITEM nada o no
suficiente o poco
regular a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Total
1.- La clase de matemáticas se me ha hecho más interesante 5 1 6 8 5 25
2.- Con el tipo de ejercicios que he realizado, me quedan más claros los conceptos de la clase 6 2 4 7 6 25
3.- Con este enfoque, he comprobado que las matemáticas tienen aplicación práctica 6 1 1 12 5 25
4.- Las matemáticas me sirven en mi vida cotidiana 3 0 2 3 17 25
5.- El cálculo ha contribuido al avance tecnológico de la humanidad 4 2 2 7 10 25
6.- Me gustaría tener un libro de Cálculo Diferencial que analice los temas de una forma más comprensible para mí 6 1 4 9 5 25
7.- Me gustaría tener un libro de trabajo o cuaderno de trabajo de Cálculo Diferencial 5 7 1 5 7 25
8.- Si el profesor utilizara con más frecuencia algún software para explicar la clase, considero que la clase sería más entendible 6 4 5 2 8 25
9.- He podido hacer los ejercicios en forma correcta 4 2 5 6 8 25
10.- Me gusta la clase de matemáticas, porque he podido hacer los ejercicios correctamente 6 2 6 3 8 25
11.- Me gusta resolver ejercicios de matemáticas 6 2 3 6 8 25
12.- He podido comprobar que las matemáticas son no son tan difíciles como creía 5 0 2 10 8 25
13.- En esta parcial espero obtener buenas calificaciones en matemáticas 4 0 4 6 11 25
14.- El maestro me ha motivado para hacer los ejercicio 5 4 5 5 6 25
15.- Me ha quedado más claro la simbología que se usa en cálculo 5 6 3 7 4 25
16.- He sido capaz de leer correctamente esta simbología 5 2 4 8 6 25
17.- Puedo utilizar correcta y eficazmente la calculadora científica 6 1 2 4 12 25
18.- Me gustaría que hubiera más sesiones de este tipo 7 0 3 5 10 25
Tabla No. 17. Resultados de la encuesta aplicada al final de la primera semana de intervención. Fuente: Propia
En las gráficas 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15,15,16,17 y 18, se aprecian en forma porcentual estos resultados.
75
20%
4%
24%32%
20%
1.- La clase de matemáticas se me ha hecho más interesante
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
2.- Con el tipo de ejercicios que he realizado, me quedan más claros los
conceptos de la clase
24%
8%
16%28%
24%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
3.- Con este enfoque, he comprobado que las matemáticas tienen
aplicación práctica
24%
4%
4%
48%
20%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
4.- Las matemáticas me sirven en mi vida cotidiana
12%
0%
8%
12%
68%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.2. Claridad en los conceptos dados en clase.
Gráfica No.3. Aplicación práctica de las matemáticas. Gráfica No.4. Utilidad de las matemáticas en la vida diaria.
Gráfica No.1. Interés mostrado por los alumnos.
76
5.- El cálculo ha contribuido al avance tecnológico de la humanidad
16%
8%
8%
28%
40%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
6.- Me gustaría tener un libro de Cálculo Diferencial que analice los temas
de una forma más comprensible para mí
24%
4%
16%36%
20% nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
7.- Me gustaría tener un libro de trabajo o cuaderno de trabajo de Cálculo
Diferencial
20%
28%
4%
20%
28%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
8.- Si el profesor utilizara con más frecuencia algún softw are para
explicar la clase, considero que la clase sería más entendible
24%
16%
20%
8%
32%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.6. Deseo de contar con un libro de texto más comprensible para la materia de cálculo diferencial.
Gráfica No.5. Aportaciones del cálculo en el desarrollo tecnológico.
Gráfica No.7. Deseo de contar con un libro o cuaderno de ejercicios para la materia de cálculo diferencial.
Gráfica No.8. Uso más frecuente de software educativo en las clases.
77
9.- He podido hacer los ejercicios en forma correcta
16%
8%
20%
24%
32%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
10.- Me gusta la clase de matemáticas, porque he podido hacer
24%
8%
24%
12%
32%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
los ejercicios correctamente
Gráfica No.9. Solución de ejercicios en forma correcta. Gráfica No.10. Gusto por la clase de matemáticas.
20% 0%
8%
40%
32%
12.- He podido comprobar que las matemáticas son no son tan difíciles como creía
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
24%
8%
12% 24%
32%
11.- Me gusta resolver ejercicios de matemáticas
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.11. Gusto por la solución de ejercicios. Gráfica No.12. Percepción acerca de la dificultad de las matemáticas.
78
13.- En esta parcial espero obtener buenas calif icaciones en
matemáticas
16%
0%
16%
24%
44%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
14.- El maestro me ha motivado para hacer los ejercicios
20%
16%
20%
20%
24% nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.13. Esperanza de obtener buenas calificaciones en la parcial.
20%
24%
12%
28%
16%
15.- Me ha quedado más claro la simbología que se usa en cálculo
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.15. Uso de la simbología utilizada en cálculo. Gráfica No. 16. Lectura correcta de la simbología.
Gráfica No.14. Motivación del maestro hacia los alumnos.
20%
8%
16% 32%
24%
16.- He sido capaz de leer correctamente esta simbología
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
79
Como se puede observar en la tabla no. 18, solo en 5 ítems (7,8, 10, 14 y 15) se tuvieron porcentajes por abajo del 50%
de aceptación de un sí o mucho; lo que refleja que los alumnos percibieron un cambio positivo en la forma de impartir la
clase por parte del docente.
Tabla No. 18. Concentrado de porcentajes arrojados por la encuesta aplicada al final de la primera semana de intervención
Ítem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Porcentaje % 52 52 68 80 68 56 48 40 56 44 56 72 68 44 44 56 64 60
17.- Puedo utilizar correcta y eficazmente la calculadora científ ica
24%
4%
8%
16%
48%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
18.- Me gustaría que hubiera más sesiones de este tipo
28%
0%
12%
20%
40%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.17. Uso correcto y eficaz de la calculadora científica. Gráfica No. 18.Deseo de más sesiones usando esta metodología para la impartir la clase.
80
No. Sesión 4 Fecha 20/oct/2008
Interventor Ing. Alejandro
Salmerón Jiménez
Tiempo 2 hrs
Escuela Bach. Téc. No. 19 Grado y Grupo 5o sem Gpo A T.M.
Localidad Cerro de Ortega, Col Unidad y Parcial 1
Instrumento de
registro
Cuaderno rotativo
Diario de campo
Tema:
Puntos óptimos
Contenido:
Optimización de funciones
Propósito:
El aluno será capaz de encontrar la derivada de algunas funciones algebraicas, así como
establecer y explicar en que consisten los puntos óptimos de una función algebraica
Tabla No. 19. Aspectos generales y de contenido de la sesión 4. Fuente: Propia
Cuaderno rotativo
Al entrar al salón de clases se tomó lista, luego para esta sesión se utilizó el
pintarrón, los marcadores, la PC, proyector multimedia y la calculadora científica, con
el objetivo de mostrar que una de las formas para encontrar los puntos óptimos de
una función es utilizar el criterio de la primera derivada, la cual debe ser cero o bien
puede no existir, esto es: f’(x)= o f’(x) no existe, en consecuencia se analizó la teoría
correspondiente y mediante unos ejercicios se mostró en la pantalla mediante el
programa Excel, luego se hicieron las gráficas de algunos ejercicios y entre todos se
discutieron los resultados que se fueron encontrando, algunos compañeros tenían
pequeñas dudas, las que fueron resueltas con mucha claridad por parte del maestro.
Después el maestro nos dejo varios ejercicios para optimizar la función haciendo el
análisis con el criterio de la primera derivada y las gráficas correspondientes.
Finalmente nos encargo un material que deberíamos llevar para la próxima sesión.
Diario de campo
Se entró puntualmente al salón de clases, luego de pasar lista, se hizo una
retroalimentación sobre los conceptos acerca de la optimización de funciones,
usando el criterio de la primera derivada, después mediante unos ejemplos se
continuo explicando cómo se hace la optimización de funciones, también se utilizó el
81
software Excel, para graficar las funciones primitivas y derivadas, observando que
donde la derivada vale cero, en la función “original” o primitiva hay un máximo o un
mínimo. También se les recordó, casi al final de la clase, que llevaran consigo el
material que se les había solicitado en sesiones anteriores.
Aspectos generales y de contenido, sesión 5
No. Sesión 5 Fecha 21/oct/2008
Interventor Ing. Alejandro
Salmerón Jiménez
Tiempo 1 hr
Escuela Bach. Téc. No. 19 Grado y Grupo 5o sem Gpo A T.M.
Localidad Cerro de Ortega, Col Unidad y Parcial 1
Instrumento de
registro
Cuaderno rotativo
Diario de campo
Tema:
Ejercicios de optimización
Contenido:
Optimización de funciones
Propósito:
El alumno será capaz de encontrar los puntos óptimos de una función algebraica, mediante el
criterio de la primera derivada y determinar si es un máximo o un mínimo
Tabla No. 20. Aspectos generales y de contenido de la sesión 5. Fuente: Propia
Cuaderno rotativo
El maestro entra y sale de la clase a la hora programada, como el tema de la
sesión era continuación de la anterior, dio un repaso breve y luego nos dejo otros
ejercicios para nosotros, despejando dudas de algunos compañeros; como nos había
encargado un material para una aplicación práctica de la derivada, se pudo observar
que algunos compañeros no lo habían llevado y corrían a la papelería en busca de
él, aunque no lo llegamos a utilizar porque no ajusto el tiempo, a lo que el maestro
dijo que lo dejáramos en el centro de computo que al cabo lo íbamos a ocupar en la
siguiente sesión. La mayoría de los compañeros hicimos los ejercicios, pero a veces
incompletos; porque no entendían completamente lo que solicitaba el profesor,
algunos recurrían a él para preguntarle y otros le preguntaban a sus propios
compañeros, que ya habían entendido, al maestro parecía que le agradaba que
también le preguntaran a otros compañeros. También sentimos que trataba de
82
motivar a los compañeros que iban terminando los ejercicios, asignando fracciones
de punto que servían para la calificación de la parcial.
Diario de campo
La clase inicio a la hora programada, luego se hizo un repaso del tema visto
en la sesión anterior, después se solicito a los alumnos que resolvieran por ellos
mismos, un ejercicio de optimización de una ecuación cuadrática, se reviso por filas
el trabajo que iban desarrollando los alumnos y se aclararon las dudas que se
presentaban, motivando a los alumnos con la asignación de fracciones de punto a la
calificación de la parcial, después se dio una explicación sobre un ejercicio práctico
de optimización.
Aspectos generales y de contenido, sesión 6
No. Sesión 6 Fecha 21/oct/2008
Interventor Ing. Alejandro
Salmerón Jiménez
Tiempo 2 hr
Escuela Bach. Téc. No. 19 Grado y Grupo 5o sem Gpo A T.M.
Localidad Cerro de Ortega, Col Unidad y Parcial 1
Instrumento de
registro
Cuaderno rotativo
Diario de campo
Tema:
Aplicación de la derivada
Contenido:
Optimización de funciones
Propósito:
El alumno construirá una caja de cartón sin tapa de volumen máximo, usando el criterio de la
primera derivada
Tabla No. 21. Aspectos generales y de contenido de la sesión 6. Fuente: Propia
Cuaderno rotativo
El maestro entró puntualmente a la clase, tomó lista y preguntó si ya teníamos
con nosotros el material que había solicitado en sesiones previas, algunos dijeron
que sí, otros pidieron permiso para ir al centro de computo por el material, el maestro
dio las facilidades para que todos los alumno contaran con el material en su butaca,
después nos dijo como se iba a trabajar en esta sesión y nos dio a cada uno de
nosotros las medidas de un rectángulo de cartón, con el que se iba a construir la caja
83
de volumen máximo. Con la función de volumen que se obtuvo, se derivó, se igualó a
cero y se resolvió la ecuación de segundo grado, luego se seleccionó el valor
adecuado para poder construir la caja y finalmente se encontró el volumen máximo.
En cuanto al desempeño de los compañeros, todos trabajaron muy bien y casi no
hubo desorden, ya que el tema fue muy interesante y divertido, porque utilizamos
diferentes materiales, como tijeras, cartulina, pegamento y mucha imaginación; luego
hicimos algunos recortes para poder construir la caja de volumen máximo, finalmente
sustituimos en la ecuación de volumen el valor que obviamente era la sección de
cartón que habíamos recortado, para saber cuántos cm3 podía contener la caja.
Con estas medidas, primero se obtiene la función de volumen que resulto ser
una función cúbica, luego se derivó y se obtuvo una nueva función, esta función se
igualo a cero, ya que en el punto donde la primera derivada vale cero, quiere decir
que la pendiente de la recta tangente en ese punto es horizontal, por lo tanto, indica
la presencia de un máximo o un mínimo.
Encuesta
De acuerdo a lo señalado en párrafos anteriores este instrumento se aplicó en
la sexta sesión de intervención a una muestra conformada por 26 de los alumnos del
grupo de 5o semestre, grupo A, obteniendo los resultados que se muestran en la
tabla no. 22.
84
Concentrado de resultados de la segunda encuesta de intervención aplicada el 22/oct/08
nada o
no suf. o poco
regular a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Total ITEM
1.- La clase de matemáticas se me ha hecho más interesante 0 2 9 10 5 26
2.- Con el tipo de ejercicios que he realizado, me quedan más claros los conceptos de la clase 1 4 4 12 5 26
3.- Con este enfoque, he comprobado que las matemáticas tienen aplicación práctica 0 2 5 11 8 26
4.- Las matemáticas me sirven en mi vida cotidiana 0 1 5 4 16 26
5.- El cálculo ha contribuido al avance tecnológico de la humanidad 0 3 4 8 11 26
6.- Me gustaría tener un libro de Cálculo Diferencial que analice los temas de una forma más comprensible para mí 5 3 2 7 9 26
7.- Me gustaría tener un libro de trabajo o cuaderno de trabajo de Cálculo Diferencial 3 4 6 6 7 26
8.- Si el profesor utilizara con más frecuencia algún software para explicar la clase, considero que la clase sería más entendible 0 2 9 9 6 26
9.- He podido hacer los ejercicios en forma correcta 2 1 7 9 7 26
10.- Me gusta la clase de matemáticas, porque he podido hacer los ejercicios correctamente 1 4 7 9 5 26
11.- Me gusta resolver ejercicios de matemáticas 5 2 7 6 6 26
12.- He podido comprobar que las matemáticas son no son tan difíciles como creía 5 1 3 10 7 26
13.- En esta parcial espero obtener buenas calificaciones en matemáticas 0 2 2 3 19 26
14.- El maestro me ha motivado para hacer los ejercicio 2 2 7 9 6 26
15.- Me ha quedado más claro la simbología que se usa en cálculo 3 3 6 10 4 26
16.- He sido capaz de leer correctamente esta simbología 3 3 7 8 5 26
17.- Puedo utilizar correcta y eficazmente la calculadora científica 1 0 4 9 12 26
18.- Fue fácil la construcción del modelo de cartón 0 1 1 8 16 26
19.- Con la construcción del modelo, comprendí mejor el tema de optimización 1 2 7 6 10 26
20.- Me gustaría que hubiera más sesiones de este tipo 5 0 5 6 10 26
Tabla No. 22. Resultados de la encuesta aplicada al final de la segunda semana de intervención. Fuente: Propia
En las gráficas 19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37 y 38 se aprecian en forma porcentual estos
resultados
85
1.- La clase de matemáticas se me ha hecho más interesante
0%
8%
35%
38%
19%nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
2.- Con el tipo de ejercicios que he realizado, me quedan más claros los
conceptos de la clase
4%
15%
15%
47%
19%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
0% 8%
19%
42%
31%
Gráfica No.19. Interés mostrado por los alumnos.
0% 4%
19%
15% 62%
4.- Las matemáticas me sirven en mi vida cotidiana
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
3.- Con este enfoque, he comprobado que las matemáticas tienen aplicación práctica
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.20. Claridad en los conceptos dados en clase.
Gráfica No.21. Aplicación práctica de las matemáticas. Gráfica No.22. Utilidad de las matemáticas en la vida diaria.
86
5.- El cálculo ha contribuido al avance tecnológico de la humanidad
0% 12%
15%
31%
42%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
6.- Me gustaría tener un libro de Cálculo Diferencial que analice los temas
de una forma más comprensible para mí
19%
12%
8%
27%
34%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
12%
15%
23%
27%
23%
Gráfica No.23. Aportaciones del cálculo en el desarrollo tecnológico. Gráfica No.24. Deseo de contar con un libro de texto más comprensible para la materia de cálculo diferencial.
0% 8%
34%
35%
23%
8.- Si el profesor utilizara con más frecuencia algún software para explicar la clase, considero que la clase sería más entendible
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
7.- Me gustaría tener un libro de trabajo o cuaderno de trabajo de Cálculo Diferencial
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.25. Deseo de contar con un libro o cuaderno de ejercicios para la materia de cálculo diferencial.
Gráfica No.26. Uso más frecuente de software educativo en las clases. Fuente: Propia
87
9.- He podido hacer los ejercicios en forma correcta
8%
4%
27%
34%
27%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
10.- Me gusta la clase de matemáticas, porque he podido hacer
4%
15%
27%
35%
19%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
los ejercicios correctamente
Gráfica No.28. Gusto por la clase de matemáticas.
19%
8%
27%
23%
23%
11.- Me gusta resolver ejercicios de matemáticas
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
19%
4%
12%
38%
27%
12.- He podido comprobar que las matemáticas son no son tan difíciles como creía
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.27. Solución de ejercicios en forma correcta.
Gráfica No.29. Gusto por la solución de ejercicios. Gráfica No.30. Percepción acerca de la dificultad de las matemáticas.
88
13.- En esta parcial espero obtener buenas calif icaciones en matemáticas
0%
8%
8%
12%
72%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
14.- El maestro me ha motivado para hacer los ejercicio
8%
8%
27%
34%
23%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.31. Esperanza de obtener buenas calificaciones en la parcial.
12%
12%
23% 38%
15%
15.- Me ha quedado más claro la simbología que se usa en cálculo
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
11%
12%
27% 31%
19%
16.- He sido capaz de leer correctamente esta simbología
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica No.32. Motivación del maestro hacia los alumnos.
Gráfica No.33. Uso de la simbología utilizada en cálculo. Gráfica No. 34. Lectura correcta de la simbología.
89
17.- Puedo utilizar correcta y eficazmente la calculadora científ ica
4%
0%
15%
35%
46%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
18.- Fue fácil la construcción del modelo de cartón
0%
4%
4%
31%
61%
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
4%
8%
27%
23%
38%
19.- Con la construcción del modelo, comprendí mejor el tema de optimización
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
19%
0%
19%
23%
39%
20.- Me gustaría que hubiera más sesiones de este tipo
nada o no
suficiente o poco
regular, a veces
muy bien o sí
excelente o mucho
Gráfica no.35. Uso correcto y eficaz de la calculadora científica. Gráfica no. 36. Facilidad para construir físicamente el modelo.
Gráfica no.37. Mejor comprensión del tema, mediante la construcción Gráfica no. 38. Deseo de más sesiones usando esta metodología para del modelo. impartir la clase.
90
Como se puede observar en la tabla 23, ahora solo en 1 ítem se tuvo un porcentaje por abajo del 50% de
aceptación de un sí o mucho; además que los otros ítems considerados en la encuesta muestra un valor promedio del
65%, resultado que refleja los alcances obtenidos al finalizar el período de la intervención, entre los que se pueden
mencionar: un cambio positivo en la forma de impartir la clase por parte del docente, se redujo la dispersión, se aumento
el interés de los alumnos por el estudio de las derivadas y también se logro que trabajaran en forma colaborativa.
Resultados arrojados por la segunda encuesta
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Porcentaje %
57 65 73 77 73 62 50 58 61 54 46 65 84 57 53 50 81 92 61 62
Tabla No. 23. Concentrado de porcentajes arrojados por la encuesta aplicada al final de la segunda semana de intervención
91
5.3.2 Matriz de categorización de resultados por instrumento
En la tabla no. 24 se muestra una matriz de categorización de resultados en la
que se pueden observar en forma concisa los resultados que se obtuvieron con los
instrumentos utilizados.
Resultados por cada instrumento utilizado
Fecha de la sesión
No. de sesión
No. de Hrs.
Instrumento Observación Categoría
13/10/09 1 y 2 3
Cuaderno rotativo
Unos cuantos alumnos llegan tarde al salón de clase, platican de otros temas, se distraen con facilidad. Indisciplina
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Cuaderno rotativo
El maestro explico ampliamente y de forma clara el tema los conceptos
de incremento, diferencial, llevamos a cabo varios ejercicios de este tema, se encontró de manera informal la fórmula de derivación, se encontró la derivada de algunas funciones algebraicas, el maestro mostró como se optimiza una función.
Instrumenta-ción
didáctica
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Cuaderno rotativo
Se revisaba la tarea dejada en la
sesión anterior, se preguntaba a los alumnos si había dudas o si deseaban hacer más ejercicios, en todos los casos se aclararon las dudas, se hacían preguntas abiertas a todo el grupo.
Retroalimen-tación
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Cuaderno rotativo
Se llevo a cabo el registro de las
sesiones, se utilizo la pc, cañón, software de graficación, y el material necesario para la aplicación de la derivada, de forma voluntaria algunos alumnos trabajaron en equipos, las clases fueron mas dinámicas, el profesor grababa la clase con un MP3. También utilizo pintarrón, marcadores y calculadora científica.
Recursos didácticos y estrategias
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Cuaderno rotativo
Los alumnos en algunas sesiones
mostraron una gran disposición a trabajar, tanto individualmente con en equipo, el maestro motiva con participaciones (fracciones de punto) que sirven para la evaluación parcial, todos los alumnos llevaron el material solicitado.
Interés y motivación
de los alumnos
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Algunos alumnos llegan tarde y
platicando a la sesión, al entrar comienzan a empujar las butacas
15/10/09 3 2
92
20/10/09 4 2 Diario de Campo
generando un tanto de desorden, situación que fue cambiando paulatinamente, en una forma positiva, conforme pasaban las sesiones de la intervención, observando que al final de la intervención prácticamente este comportamiento había desaparecido.
Indisciplina
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Diario de campo
Se utilizaron frecuentemente las
tecnologías de información adecuadas para la materia objeto de estudio, se explicaba las veces que fuera necesario, se dejaban ejercicios para hacer tanto en el salón de clase como para su casa.
Instrumenta-ción
didáctica
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Diario de campo
Se hacían preguntas de las tareas
que se dejaban hacer o de los temas a investigar, se comentaban los temas de las sesiones anteriores, para saber si había dudas o si era necesario hacer más ejercicios de determinado tema.
Retroalimen-tación
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Diario de campo
Se hizo un diagnostico de los temas
para saber si los alumnos ya tenían algún grado de conocimiento previo, se audio-grabaron las sesiones con un MP3, en algunas sesiones se trabajo de forma individual y en otras en equipos, con ayuda de monitores. El maestro utilizo la pc, cañón, software de graficación, pintarrón, marcadores y calculadora científica. Los alumnos llevaron material para construir una caja de volumen máximo.
Recursos didácticos y estrategias
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
13/10/09 1 y 2 3
Diario de campo
Se les invita a trabajar y a poner toda
su atención con el fin de que obtengan buenas notas en la evaluación parcial, ofreciendo para ello participaciones extras (fracciones de punto) a todo el grupo. Algunos alumnos realmente se muestran muy atentos y hasta sorprendidos con la potencia del Cálculo y con las aplicaciones que se le han dado en diferentes ciencias.
Interés y motivación
de los alumnos
15/10/09 3 2
20/10/09 4 2
21/10/09 5 1
22/10/09 6 2
15/10/09 y
22/10/09
3 2
Encuesta
El cálculo se puede aplicar en la vida
cotidiana, en la industria y en diferentes ciencias, así también se puede afirmar que ha contribuido al gran avance tecnológico de la humanidad, en los últimos años.
Aplicación práctica
15/10/09 y
22/10/09
3 2
Encuesta
El maestro logro motivar a los alumnos,
ofertando diferentes fracciones de punto, con mayor participación a los primeros en terminar correctamente y un tanto menor conforme van finalizando los trabajos encomendados.
Motivación
15/10/09 y
22/10/09
3 2
Encuesta
Con esta forma de impartir la clase,
los alumnos dicen que les quedan más claros los temas vistos en clase, el profesor utilizo con más frecuencia la pc, el cañón, software de graficación, sin dejar de lado en clásico pintarrón,
Instrumentación y
recursos didácticos
93
los marcadores y la calculadora científica. Todos los alumnos llevaron el material necesario para construir una caja de volumen máximo.
Tabla No. 24. Resultados categorizados por cada instrumento utilizado durante la intervención. Fuente: Propia
5.3.3 Fundamentación y recuperación teórica del enfoque propuesto
Con el objeto de contar con una base teórica que sustente el enfoque
constructivista, conocido también como paradigma cognitivo; así como algunos
elementos del aprendizaje significativo, sobre el cual se desarrolló el proyecto de
intervención, y que de acuerdo con la literatura especializada, tienen en Jean Piaget,
Vygotski y Ausubel, a sus principales exponentes y por ende, defensores de estas
teorías del aprendizaje. Estas teorías ya se han explicado en el capítulo III.
Enfoque de enseñanza.- Constructivismo, aprendizaje colaborativo y por proyectos
Aunque a la fecha actual, en los bachilleratos de la Universidad de Colima, no
se tiene implementado un estilo o teoría de enseñanza específico, más bien se
utilizan varios, -claro que mal ejecutados-, ya que la mayor parte de los profesores,
no tienen formación pedagógica, entre los más usados están el tradicional, el
mecanicismo, el ABP, el ABC, aprendizaje colaborativo y el constructivismo; siendo
este último el que usó durante la intervención.
Este estilo se ha propuesto como una alternativa para tratar de aliviar las
debilidades que muestran algunos estilos de enseñanza de la matemática, -como el
tradicional- que se basa en la pura transmisión de conocimientos, que concibe a la
enseñanza de la matemática como un producto ya terminado y que únicamente debe
ser trasladado al estudiante mediante una mediana exposición, demostración o
resolución de algunos problemas que terminen con su falta de conocimiento
matemático.
94
Ante este panorama un tanto desolador, la psicología de la enseñanza de la
matemática, provee una teoría que trata de facilitar la intervención del proceso
educativo de la matemática, por eso, los investigadores matemáticos (Killpatrick,
Freudhental, Shulman,); ven en el constructivismo, una alternativa bastante
prometedora. Actualmente, este modelo desempeña un papel integrador, tanto en las
investigaciones de diferentes aspectos de la enseñanza-aprendizaje de la
matemática, como de las aportaciones procedentes de los campos de la sociología,
la epistemología y la psicología del aprendizaje. En otros términos, el constructivismo
se ha convertido en el eje de una trasformación radical de la enseñanza de la
matemática
Para algunos investigadores, el constructivismo es un marco teórico que guía
el desarrollo de las actividades instruccionales que facilitan al alumno una
construcción progresiva de los conceptos y procedimientos matemáticos cada vez
más abstractos. A pesar de esto, según Jacobo (2008), no hay una unificación de lo
que significa el constructivismo en la enseñanza de la matemática. El origen, no muy
claro del constructivismo, se encuentran en la filosofía, la sociología y en la
psicología.
Ernest (1992), distinguió dos tipos de constructivismo a los que llamó
constructivismo radical y constructivismo social, de los cuales, el primero se
fundamenta en la teoría piagetiana de la mente y el segundo se basa en la teoría
Vigotskiana de la formación social de la mente.
Así, de acuerdo con Kilpatrick (1987) se ha considerado que los dos tipos de
constructivismo tienen en común lo siguiente:
El conocimiento debe ser construido por el que conoce.
El proceso de conocer es una acción de adaptación del sujeto al mundo de su propia
experiencia, por tanto, no es posible descubrir un mundo independiente y pre-
existente afuera de la mente del que conoce.
95
El primer rubro parece claro, ya que el conocimiento no se puede construir por
alguien que no conozca el objeto de estudio. Del segundo principio y sus diferentes
interpretaciones, ha surgido la bifurcación del constructivismo (en radical y social),
porque lo primero que se cuestiona es ¿qué se entiende por “proceso de adaptación
al mundo de la experiencia”?. Según esto, el alumno debe ser capaz, de ir
construyendo su propio conocimiento apoyado en sus conocimientos previos, así
como de su propia experiencia.
5.3.4 Explicación y discusión de resultados
De acuerdo con la información que se obtuvo a través de los diversos
instrumentos utilizados para tal fin, durante el período de intervención; se puede dar
la siguiente explicación y discusión de los resultados que se obtuvieron, en el
mencionado período de intervención.
Esto a su vez, permite hacer un análisis objetivo y con ello determinar si con la
puesta en marcha del proyecto de intervención, se logro transformar en forma
positiva el proceso docente-educativo, si continúo igual o por el contrario, inclusive
que se hubiera dado un retroceso. Sin embargo, se esperaría observar un cambio
favorable, de tal forma que se debe ver reflejado principalmente en dos de los
principales actores que participan en dicho proceso: los alumnos y el profesor.
En los aspectos que se refieren al alumnado, estos cambios deben ser en
actitud, interés, motivación y disposición por comprender y aprender de forma
significativa los contenidos programáticos de la materia de Matemáticas, en cuanto al
profesor interventor, esta modificación de su forma de impartir la clase lograda a
través de la intervención, lo debe conducir a un mejor desempeño profesional, con
una planeación didáctica adecuada, con la implementación de técnicas de
enseñanza innovadoras, con el empleo de instrumentos didácticos modernos, como
las TIC, sin dejar de lado, el material didáctico tradicional, que no ha perdido
vigencia, ya que se ha usado desde tiempos antiquísimos hasta nuestros días.
96
A continuación se explican y discuten los resultados que se obtuvieron durante
el periodo de intervención; en primer lugar se muestra un diagrama con las acciones
llevadas a cabo por el profesor y su respectiva explicación y discusión, en forma
similar, se muestra un diagrama para las acciones que realizaron los alumnos,
también con su respectiva explicación, luego se discuten los resultados obtenidos
mediante las encuestas y se analizan una serie de fotografías tomadas en la última
sesión de intervención; finalmente se hace el análisis de los resultados obtenidos de
las tres evaluaciones parciales de la materia de Matemáticas V, tomando como
referencia a las cuatro generaciones anteriores que no participaron en el proyecto de
intervención; así como la generación actual con la que se implementó dicho proyecto.
Como resultado del análisis de la información registrada mediante los
instrumentos utilizados; en la figura no. 10, se muestran las acciones llevadas a cabo
por el profesor.
Acciones hechas por el profesor
Fig. No. 10. Acciones realizadas por el docente. Fuente: Propia
INSTRUMENTACIÓN
DIDÁCTICA 10
CONCEPTUA-LIZACION 8
EXPLICA / ANALIZA
14
RETROALIMEN- TACIÓN 8
PLANEACIÓN
6
INTERACCIÓN
MAESTRO- ALUMNO
20
ACCIONES
LLEVADAS A CABO POR EL
PROFESOR
97
De acuerdo con estos resultados. El profesor llevó a cabo seis acciones de
planeación, diez de instrumentación didáctica, ocho de conceptualización, catorce de
explicación y análisis, ocho de retroalimentación y en veinte ocasiones se hubo
interacción entre el maestro y el alumno, lo que le permitió mejorar diversos
aspectos, como disminuir la indisciplina, aprovechar el tiempo de una forma mas
eficiente y aumentar el rendimiento académico de los alumnos.
De forma análoga, en la figura no. 11 se muestran las acciones emprendidas
por los alumnos, durante la fase de intervención.
Acciones hechas por el profesor
Fig. No. 11. Acciones realizadas por los alumnos. Fuente: Propia
De acuerdo la figura no. 11 y con el número de acciones efectuadas por los
alumnos, se puede observar un mejor aprovechamiento de las clases y un cambio
positivo en la actitud y disposición al trabajo, dentro del aula.
INDISCIPLINA
3
RESUELVE TAREAS EN
EQUIPO 14
USO CORRECTO DE LA CALCULADORA
CIENTÍFICA 25
MOTIVACIÓN
8
PARTICIPACIÓN
11
RESOLUCIÓN DE
EJERCICIOS 10
ACCIONES LLEVADAS A CABO POR
LOS ALUMNOS
98
5.4 Resultados de las encuestas aplicadas
Con respecto a los resultados arrojados por las encuestas aplicadas a los
alumnos de quinto semestre, se pudo determinar lo siguiente:
El 55% de afirma que la clase de matemáticas se le ha hecho más interesante,
por las técnicas que se usaron para analizar los temas, mientras que el 61% dice que
con este tipo de ejercicios les han quedado más claros los conceptos, así mismo, el
71% sostiene que ha logrado comprobar que las matemáticas tienen aplicación
práctica y el 65% piensa que las matemáticas les sirven en su vida cotidiana, ya que
pudieron hacer algunas prácticas que les permitieron comprobar esto; también el
71% considera que el cálculo ha contribuido en el avance tecnológico de la
humanidad, ya que le ha brindado las herramientas que le permiten calcular, predecir
y simular diversos eventos.
Por otro lado, al 59% y al 49% de los alumnos les gustaría contar con un
cuaderno de trabajo, ya que actualmente solo usan los apuntes que toman en clase o
utilizan diferentes libros que encuentran en la biblioteca, pero algunos libros les
resultan prácticamente incomprensibles, porque están dirigidos para nivel superior;
así mismo el 49% afirma que el profesor debería apoyarse con más TIC para explicar
la clase, ya que permiten que las clases sean más dinámicas, según su percepción,
también el 58%, el 49% y el 51% sienten que han podido hacer los ejercicios,
analizar algunos modelos matemáticos y resolver ejercicios de cálculo diferencial; de
una forma más adecuada y comprensible, logando con ello un aprendizaje
significativo.
Continuando con el análisis de las encuestas, el 69% y el 70% han podido
comprobar que las matemáticas no son tan difíciles como ellos creían, porque
poniendo la atención necesaria y haciendo los trabajos que se les encargan, es
relativamente fácil aprobar la materia e inclusive pueden mejorar sus calificaciones,
similarmente el 51% y 49% sostienen que el profesor los ha motivado a estudiar con
99
más interés los temas de cálculo diferencial y que han comprendido de mejor manera
la simbología que se utiliza en el cálculo, ya que el 57% de los alumnos afirma que
ya son capaces de leer e interpretar con mayor claridad estos símbolos.
Así mismo, el 65% de los alumnos considera que ya son capaces de utilizar
correcta y eficazmente la calculadora científica, ya que en semestres anteriores
tenían serias dificultades en su empleo, sin embargo el profesor ha puesto mucho
énfasis en que la sepan usar con mucha destreza, por que es una herramienta
básica e importantísima para comprender el desarrollo de los temas de cálculo.
En lo que respecta a la construcción física de la caja de cartón, obtenida
mediante el modelo matemático, específicamente como una aplicación de la
derivada, el 76% afirmó que la construcción de dicho modelo, fue relativamente fácil,
una vez que ya tenían los cálculos previos a su elaboración, así mismo el 61% y el
62% de los alumnos consideran que al pasar de “algo abstracto” como las
ecuaciones, funciones y derivadas a “objetos reales” comprendieron de una forma
más palpable el tema de optimización, con lo que se logra fijar el conocimiento de
forma permanente y que les gustaría que la mayoría de las sesiones a lo largo del
curso, tuvieran un enfoque como este, es decir, con más “cosas” que ellos puedan
pasar o traducir de ecuaciones en situaciones prácticas.
5.5 Descripción de evidencias fotográficas tomadas durante la
intervención
A continuación se muestran unas fotografías tomadas durante algunas
sesiones de la intervención, describiendo y explicando brevemente en cada imagen
las acciones efectuadas por los alumnos.
100
Fotografía No. 1. Los alumnos del grupo, se encuentran haciendo el análisis de la ecuación, que resultó de la multiplicación de los lados que conforman la caja, con el objeto de encontrar la derivada para poder determinar los puntos óptimos. Fuente: Propia
Fotografía No. 2. Los alumnos del grupo socializan entre sí, con el fin de poder hacer la tarea de una forma más eficiente. Fuente: Propia
101
Fotografía No. 3. Los alumnos continúan colaborando entre ellos, comentando los detalles del diseño y construcción de la caja de volumen máximo. Fuente: Propia
Fotografía No. 4. Aquí se muestra con más detalle, a un alumno en particular, realizando el análisis matemático, haciendo un uso eficiente de la calculadora científica. Fuente: Propia
102
Fotografía No. 5. Aquí se muestra un alumno motivado y podría decirse que hasta alegre, en la tarea que está realizando, donde se muestra dispuesto a marcar las líneas para hacer un corte preciso. Fuente: Propia
Fotografía No. 6. Análisis matemático realizado por un alumno. Fuente: Propia
103
Aunque el análisis llevado a cabo por este alumno en términos generales está
bien, aún se observan algunos detalles, entre los que se pueden mencionan a
continuación: el lado del cuadrado que se va a recortar, debería estar expresado en
cm, por lo que debería estar expresado como x1=7.94 cm y el de x2=2.39 cm y el
volumen de la caja en cm3, lo que se indica con flechas. Otro detalle que no explica
en forma adecuada, es que aunque los dos valores son raíces de la ecuación, no se
debe usar cualquiera de los dos, determinando que x2 es el valor adecuado para
recortar, debido a que si se selecciona el otro valor, las dimensiones físicas de la
sección rectangular de cartón impedirían el corte; además de resultar un volumen
negativo, cosa inadmisible para este ejercicio.
Fotografía No. 7. Aquí se observa lo realizado por otro alumno que sí expresó correctamente el resultado obtenido para volumen máximo, es decir en las unidades físicas correspondientes (cm
3).
Fuente: Propia
104
Fotografía No. 8. Aquí se observa como los alumnos continúan colaborando entre sí, para alcanzar el objetivo propuesto. Fuente: Propia
Fotografía No. 9. Recursos didácticos y tecnológicos usados en el análisis matemático y caja de volumen máximo. Fuente: Propia
105
Fotografía No. 10. Finalmente, en esta fotografía se observa el producto obtenido durante la práctica. Fuente: Propia
5.6 Cuadro comparativo de resultados por parcial entre
generaciones no intervenidas contra resultados por parcial de
generación intervenida
Como parte de los resultados que arrojó el proyecto de intervención, en esta
sección analizaron los resultados obtenidos en cada una de las evaluaciones
parciales por las generaciones señaladas; en la materia de Matemáticas V, mismos
que se muestran en la tabla no. 25
intervención
No. Alum.
Gen. 2002-05 Gen. 2003-06 Gen. 2004-07 Gen. 2005-08 Gen. 2006-09 Gen. 2006-09
1a. 2a. 3a. 1a. 2a. 3a. 1a. 2a. 3a. 1a. 2a. 3a. 1a. 2a. 3a. 1a. 2a. 3a.
1 9 10 10 7 8 6 10 10 10 10 10 10 9.4 9.7 9.5 9 10 10
2 6 6 5 8 7 6 7 5 4 6 4 4 10 10.0 10 10 10 10
3 5 4 4 7 4 6 9 7 10 9 6 10 6.7 9.0 8 7 9 8
4 7 6 5 8 8 7 3 0 4 10 9 10 9.5 10.0 10 10 10 10
5 8 6 7 6 8 7 10 7 8 9 6 7 8 9.1 8.2 8 9 8
6 10 10 8 8 9 7 9 5 6 6 5 6 8.8 10.0 8.5 9 10 9
7 10 10 10 7 5 7 7 6 7 8 5 6 9 10.0 10 9 10 10
Resultados por cada evaluación parcial
106
8 10 10 10 7 7 7 6 5 6 4 3 5 7 7.4 7.2 7 7 7
9 9 9 8 8 8 7 6 5 5 7 7 8 7.4 8.9 7 7 9 7
10 10 10 10 5 6 6 10 9 10 8 6 8 9 7.4 7.3 9 7 7
11 7 7 7 5 5 5 7 6 7 10 7 9 6 7.3 7 6 7 7
12 10 8 5 10 10 10 7 5 4 5 6 8 9.1 9.4 9.5 9 9 10
13 7 6 6 7 7 6 10 9 10 9 6 9 10 9.8 10 10 10 10
14 9 10 10 10 10 10 8 6 8 8 5 6 10 10.0 10 10 10 10
15 10 10 7 6 7 6 5 5 3 7 7 7 4 7.8 6 4 8 6
16 7 8 10 4 6 7 10 8 10 10 10 10 9.2 9.0 10 9 9 10
17 10 8 7 6 7 6 4 5 4 7 7 6 6.8 8.8 7 7 9 7
18 5 6 6 6 6 6 8 6 9 8 6 6 8.2 10.0 9.2 8 10 9
19 9 5 7 7 9 8 10 8 10 10 6 9 5 6.0 6.5 5 6 7
20 10 10 10 9 7 7 8 6 6 10 10 10 7.6 8.7 8.4 7 9 8
21 8 7 9 3 4 0 9 8 10 10 10 10 8.4 9.0 9 8 9 9
22 8 10 9 8 8 7 5 0 3 6 6 9 8.3 8.0 8.4 8 8 8
23 8 8 6 3 4 5 8 6 4 10 10 9 10 10.0 10 10 10 10
24 9 6 6 6 6 6 8 6 7 10 10 10 9.7 10.0 9.6 10 10 10
25 9 7 6 7 7 6 8 6 8 5 6 6 8.8 9.2 9 9 9 9
26 6 6 6 9 10 8 5 5 4 8 5 10 8.1 9.0 9.2 8 9 9
27 10 10 10 7 9 7 8 6 7 4 5 5 8.8 9.2 9.2 9 9 9
28 10 9 10 9 8 7 8 7 9 9 6 9 5 6.0 0 5 6 0
29 8 7 5 8 7 6 10 10 9 9 8.2 6 9 8 6
30 7 6 6 6 6 6 8 5 7 8.9 8.3 8.7 9 8 9
31 8 9 9 8 6 9 6 9.0 8 6 9 8
32 8 7 8 9 6 9 10 10.0 10 10 10 10
33 10 10 7 10 10 10 10 10.0 10 10 10 10
34 6 5 5 10 9 10 6.4 8.3 9 8 8 9
35 8 8 7 7 6 7 8.7 8.2 8.6 9 9 9
36 9 6 6 10 7 8 6.3 8.0 7.3 6 7 7
37 4 5 6 4 0 0 6 8.2 7 6 7 7
38 5 5 5 6 6 6 6 7.0 6 6 6 6
39 9 5 9 7.9 8.0 8.3 8 8 8
40 6 5 7 5 7.0 6 5 6 6
41 10 6 9 9.5 9.6 9.4 10 10 9
42 9 10 10 7 6.6 6 7 7 6
43 10 10 10 9 9.0 9.2 9 9 9
44 7 5 4 7.2 8.8 8 7 9 8
45 6 6 8 10 10.0 10 10 10 10
46 8 6 4 8.7 10.0 9.5 9 10 10
47 8 7 8 10 10.0 10 10 10 10
48 10 5 9 7 6.5 7.4 7 7 7
49 10 10 10 9 8.5 9 9 9 9
50 9.2 9.3 9.4 9 9 9
Prom. 8.4 7.8 7.5 7 7.1 6.5 7.6 6 6.9 8.1 6.7 7.9 8.1 8.7 8.3 8.1 8.7 8.3
Tabla No. 25.- Cuadro comparativo por cada evaluación parcial entre cuatro generaciones sin intervenir contra un intervenida. Fuente: Siceuc
107
En la gráfica no. 39 se observan en forma visual estos resultados
Promedio de la segunda evaluación parcial
Gráfica No. 39. Promedio obtenido por cada una de las generaciones analizadas.
Fuente: Propia
De acuerdo con los resultados obtenidos, se procedió a realizar un análisis
comparativo entre los promedios de la segunda evaluación parcial obtenidos por las
generaciones no intervenidas con el promedio de la segunda evaluación parcial
obtenido por la generación intervenida, en la tabla no. 26 se muestran estos
resultados
PROMEDIO SEGUNDA EVALUACION PARCIAL
7.8
7.1
6
6.7
8.7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2002-
2005
2003-
2006
2004-
2007
2005-
2008
2006-
2009
GENERACION
CA
LIF
ICA
CIÓ
N
PROMEDIO
108
Comparativo de promedios por cada generación
Generación no
intervenida Promedio
Generación
intervenida Promedio
Incremento en
Porcentaje
Incremento
en puntos
decimales
2002-2005 7.8
2006-2009
8.7 11.5% 0.9
2003-2006 7.1 8.7 22.5% 1.6
2004-2007 6 8.7 45% 2.7
2005-2008 6.7 8.7 29.8% 2
Tabla No. 26. Comparativo de resultados entre cuatro generaciones no intervenidas contra la generación intervenida, tomando en cuenta tres factores: promedio, porcentaje y puntos decimales. Fuente: Propia
Como puede observarse, el promedio de la generación intervenida aumentó
con respecto a las generaciones no intervenidas., observándose un incremento
porcentual bastante significativo y por ende, se nota un aumento sustancial en
puntos decimales.
Después se procedió a comparar el promedio de las cuatro generaciones no
intervenidas con el promedio obtenido por la generación intervenida, con el fin de
determinar el incremento en el promedio, como se aprecia en la tabla no. 27
Comparativo de promedio general
Promedio generaciones no intervenidas
Promedio generación intervenida
Incremento en Porcentaje
Incremento en puntos decimales
6.9 8.7 26% 1.8
Tabla No. 27. Comparativo de promedio general de las cuatro generaciones no intervenidas contra el promedio de la generación intervenida. Fuente: Propia
109
Capítulo VI
Interpretación de los resultados de la intervención y evaluación del
proceso
6.1 Evaluación de proceso
Para la puesta en marcha de un proyecto, a decir de Martinic (1997), existen
algunos conceptos claves entre los que se pueden mencionar: recursos, actividades,
productos, objetivos y supuestos externos, por lo tanto, en el contexto en que se
desarrolló la intervención, las situaciones más frecuentes que se presentaron fueron:
la suspensión de clases para ensayar algún desfile, el contestar encuestas
institucionales, campañas de vacunación y apoyo psicológico, entre otras, y tomando
las debidas consideraciones, el proyecto se efectuó de acuerdo con el cronograma
establecido.
La evaluación de proceso estudia la conexión que existe entre las actividades
y los productos o resultados que se pudieron alcanzar por las mismas actividades y
que se pueden expresar en cambios de actitud, en los conocimientos o información
que se tiene sobre un tema o problema, entonces, la evaluación de un proyecto debe
brindar información de los resultados obtenidos como consecuencia de las
actividades realizadas.
Por tanto, la evaluación de proceso validará la problemática detectada, es
decir; si se han producido cambios en los indicadores o línea de base definida, y así,
se podrá decir que el proyecto ha sido efectivo; por el contrario, si no se verifican o
no se presentan los resultados esperados, esto indicará que el proyecto no fue
exitoso.
Este proyecto se desarrolló específicamente en el ámbito educativo; por lo que
se buscó, que éste incidiera principalmente en uno de sus actores principales que
110
participan en el proceso docente educativo, por tanto, fue en el profesor donde se
vieron reflejados algunos cambios significativos; entre los que se pueden mencionar:
mejoras en el desarrollo de su práctica docente, mediante la implementación de la
planeación didáctica, así como la puesta en práctica de diversos modelos y teorías
educativas innovadoras, que tuvieron algunas consecuencias directas y positivas.
Por ejemplo, se logró reducir en gran medida la situación de mayor
problemática que se presentaba con más frecuencia, ya que la intervención que se
hizo, coadyuvó a disminuir conductas no deseadas de los alumnos como:
indisciplina, falta de motivación, apatía, dispersión y poco interés por el aprendizaje y
compresión del cálculo diferencial, específicamente en el tema de derivadas
algebraicas; asimismo contribuyó sustancialmente a mejorar el promedio de
aprovechamiento académico, en la segunda evaluación parcial de la generación
intervenida, que corresponde a la 2006-2009; y de acuerdo con la planeación
diseñada e implementada, se obtuvieron los alcances mostrados a continuación.
En las sesiones 1 y 2 se expuso por parte del profesor el tema sobre los
conceptos de incremento, de diferencial y cómo se calculaban numéricamente dichos
objetos matemáticos; después se le pidió a los alumnos que graficaran en su
cuaderno algunas funciones algebraicas, para identificar y mostrar en ellas tanto el
incremento como el diferencial; aunque usaron relativamente pocos puntos para
elaborar la gráfica, el profesor también hizo las gráficas usando la PC y un software
de graficación; usando más puntos y luego se proyectaron en la pantalla, con la
finalidad de comparar la gráfica que ellos habían obtenido en su cuaderno, y la que
arrojó el software y finalmente explicar en que consistía un incremento y que era un
diferencial.
Uno de los resultados más palpables en los alumnos, fueron sus comentarios
sobre las ventajas de usar la PC para la graficación, entre las que se mencionaron:
a) Se utilizaron más puntos para hacer la gráfica.
b) La gráfica se hizo en una forma rápida.
111
c) Se puede acercar o alejar la gráfica, para observar con detalle sus
características.
De acuerdo con Aravena, Caamaño y Jiménez (2008), en la comunicación
matemática los elementos que realizan esta función, aparecen en todo el ciclo de
aprendizaje y ponen en juego la descripción, interpretación y clarificación de
resultados a partir de gráficas, por lo que se explicó didácticamente a partir de tres
ejemplos, cómo se calculaba el incremento de la variable dependiente, luego se dejó
a los alumnos que ellos resolvieran tres ejercicios en su cuaderno de notas, haciendo
un recorrido por el salón de clases, resolviendo dudas y/o errores que detectaba,
finalmente solo 10 alumnos terminaron a tiempo y correctamente.
Cabe mencionar que se revisaba continuamente los ejercicios que los
alumnos estaban realizando, corrigiendo errores y aclarando dudas, que aún seguían
presentando algunos alumnos, debido seguramente a que se trataba de un tema
relativamente nuevo y complejo, por lo tanto, los alumnos que no lograron terminar la
actividad que se le había asignado, se la llevaron de tarea.
En la sesión 3, el maestro hizo una retroalimentación del tema que se había
discutido en las sesiones anteriores, se revisaron los ejercicios de tarea para
comprobar que se había aclarado el tema de incremento, diferenciales y el cálculo de
ellos, después de esto, se hizo otra retroalimentación de un tema que se había
analizado varias sesiones anteriores y relacionado con la derivada de una función, a
través de su definición formal como un límite.
Pues bien, después, mientras los alumnos hacían los ejercicios, se preguntó si
notaban algún patrón o modelo que se repitiera con cierta regularidad, es lo que
Piaget describe cuando se intenta asimilar una situación nueva a esquemas
cognitivos ya existentes y los intenta resolver a través de los conocimientos que ya
posee, y como resultado de la asimilación, el esquema cognitivo existente se
reconstruye o expande para acomodar la situación, es decir, aparece la
112
acomodación; esto es, los alumnos comenzaron a notar que al encontrar la derivada
de una función mediante límites, el exponente de la variable independiente de un
término de la función disminuía en uno y que el nuevo coeficiente era el producto del
exponente por el coeficiente original de la función.
Con esta idea en mente se pudo mostrar que la fórmula para la derivada era
1*)( nn xnaaxDx , y cuando se comenzó a utilizar esta fórmula, se observó que
aproximadamente unos 15 alumnos no lograban recordar ni identificar en la función
algebraica cual era el exponente y cual el coeficiente; sin embargo después de un
breve repaso, este escollo quedo superado, aún así, la mayoría de alumnos,
aproximadamente unos 36 mostraron cierta dificultad para aplicar esta fórmula, pero
mediante los ejercicios hechos se fueron apropiando de su aplicación y luego
expresaron cierto asombro de que hubiera una manera relativamente sencilla para
encontrar derivadas, que evita casi todo el trabajo algebraico requerido, que aunque
es un poco tedioso, es necesario para analizar de donde se obtiene la derivada.
Por lo que respecta a la sesión 4, se explicó a los alumnos que uno de los
métodos que se utilizan para determinar los puntos óptimos de una función es el
criterio de la primera derivada, mostrando a través de la PC y un software de
graficación, la función original y su derivada, entonces, los alumnos mostraron su
interés por conocer para qué sirven y en dónde se aplican los puntos óptimos, a lo
que se respondió que; encontrar estos puntos es de suma importancia en algunas
áreas de la ciencia exactas y aplicadas.
En efecto, una vez que se tiene el modelo matemático de algún proceso, éste
se puede aplicar en diferentes contextos, resultando, por tanto, que una de sus
aplicaciones fundamentales está en la industria alimenticia, en la de construcción, en
la química, biología y de la economía, entre otras, demostrando con ello su
pertinencia en la vida cotidiana.
113
Con apoyo del maestro, los alumnos hicieron algunos ejercicios con funciones
algebraicas, siguiendo la secuencia: tabulación, graficación, análisis de las gráficas,
derivación de la función dada y con ello determinar los puntos óptimos, observando
que, donde la derivada de la función vale cero, en la función original se presenta un
máximo o un mínimo.
En la sesión 5, se hizo una retroalimentación del tema visto en la sesión
anterior en la cual, se dedicó principalmente a resolver dudas y corregir errores
cometidos por los alumnos, con la finalidad de que quedara completamente claro,
como se optimiza una función algebraica usando el criterio de la primera derivada.
La sesión número 6, se dedicó al análisis de una aplicación de la derivada
muy utilizada, principalmente en la industria alimenticia, ya que permite aprovechar al
máximo el material con que se va a fabricar una lata o empaque de diversos
productos. Por lo tanto, en esta sesión se dieron las instrucciones del trabajo que se
iba a desarrollar y el producto que se deseaba obtener, para lo cual se asignó a cada
uno de los alumnos las medidas de un rectángulo con el que se iba a construir una
caja de volumen máximo, cuyo proceso para hacerlo ya se ha descrito en otros
párrafos, obteniendo así de cada alumno, el análisis respectivo y con ello determinar
la sección que se debía recortar y calcular dicho volumen.
Cabe mencionar que algunos alumnos mostraron cierto desconcierto al inicio
de la sesión, sin embargo, el profesor siempre estuvo atento y dispuesto a brindar el
apoyo, explicaciones y comentarios necesarios para llevar a buen término la
actividad planeada. Del mismo modo, algunos alumnos que entendieron más pronto
lo que se solicitaba y terminaron correctamente su trabajo, apoyaron a sus
compañeros desde como se obtenía la función de volumen, como se tenía que
derivar, igualarla a cero, obtener sus raíces, y como se calculaba el volumen máximo
para finalmente construir la caja mencionada.
114
En lo que se refiere a los recursos didácticos, la mayoría de alumnos,
aproximadamente el 95% llevaron el material para trabajar durante las primeras 5
sesiones, los que no lo hicieron, acudieron con sus compañeros de los otros salones
a conseguir la calculadora científica. Sin embargo, para la última sesión, el 100% de
los alumnos llevaron todo el material solicitado. Los otros recursos didácticos que
cotidianamente se utilizan para impartir las clases como proyector digital,
computadora, pintarrón, marcadores y copias fueron proporcionados a través de la
dirección del mismo bachillerato, ya que son recursos con los que se cuenta de
forma permanente en el aula.
6.2 Evaluación de producto
Con respecto a este tipo de evaluación, se puede afirmar que se cumplieron
satisfactoriamente los objetivos planteados al inicio del proyecto de intervención, se
logró cambiar favorablemente la forma de impartir las clases del profesor, mediante
la aplicación sistemática de una planeación didáctica eficaz, alcanzando a distribuir
los contenidos programáticos así como el tiempo asignado para cada actividad
diseñada, también se logró utilizar adecuadamente las tecnologías de información y
de la comunicación, además del material didáctico tradicional que generalmente es
de uso común en el proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Otro resultado favorable fue que aproximadamente el 90% de los alumnos
intervenidos se mostró muy interesado por conocer con mayor detalle en el nivel
medio superior, en que ramas de la ciencia se puede aplicar el concepto de derivada
de una función; el profesor volvió a dar otra explicación sobre la derivada
argumentando que la derivada ha sido una de las herramientas más poderosas de
las matemáticas, desde que el Cálculo se desarrolló y aplicó por Newton y por
Leibniz, en la década de 1650-1660; quienes estaban interesados solamente en
encontrar la tangente a una curva y en problemas de movimiento de partículas.
115
Posteriormente, con el avance de otras ciencias y las propias Matemáticas, las
aplicaciones de la derivada se extendieron a otras ramas yendo desde la economía,
la biología, la química, la física, las comunicaciones, la industria hasta el crecimiento
poblacional.
También se pudo observar un incremento en el rendimiento académico de los
alumnos, ya que de acuerdo con el sistema de calificaciones de la Universidad de
Colima, la generación 2006-2009, es la que ha tenido el mejor promedio de las
últimas cinco analizadas, obteniendo un 8.7 de promedio grupal en la segunda
evaluación parcial, período en que se llevó a acabo la intervención docente;
correspondiendo dicho promedio a un 35% del contenido programático de la materia.
Cabe mencionar que este mismo comportamiento se presentó en las otras dos
evaluaciones parciales, es decir, la primera evaluación parcial arrojó un promedio de
8.1 y en la tercera parcial el grupo obtuvo un promedio de 8.3.
Sin embargo, no se puede asegurar que los resultados que se presentaron
hayan sido “producto real” de la intervención, ya que si bien, en esta última
generación de las que fueron analizadas y en que se aplicó el proyecto de
intervención, se observó un mejor promedio en su aprovechamiento académico,
haría falta ver y analizar los resultados que obtendrán generaciones posteriores a
éstas, y entonces sí; se estará en condiciones de hacer un análisis y determinar si
seguirán presentando los mismos promedios, más bajos o mejores.
6.3 Sugerencias y recomendaciones
Dentro de este apartado, se considera que las sugerencias y
recomendaciones son consecuencia de la revisión exhaustiva, tanto de los
resultados que arrojaron los instrumentos utilizados para la recolección de
información como de la propia experiencia docente de quien esto escribe. Por tanto,
estas recomendaciones van encaminadas en dos ejes: en el primero se abordan las
acciones que se podrían implementar para el mejoramiento del programa de la
116
Maestría en Educación Media Superior y en el segundo las acciones que tiendan a
mejorar los resultados académicos de los alumnos.
Por tanto, las recomendaciones que se hacen con la finalidad de mejorar el
programa de la maestría son:
a) Que la facultad adquiera bibliografía suficiente y actualizada, referente a
proyectos de intervención; para que los estudiantes de dicha maestría
cuenten con las fuentes bibliográficas necesarias, que les permitan
desarrollar sus proyectos de una manera más eficiente.
b) Que la planta docente de la maestría reciba una mayor capacitación sobre
el diseño e implementación de proyectos de intervención educativa.
117
Conclusiones
Debido a los grandes cambios y avances en todas las ramas de conocimiento,
el desarrollo cultural, tecnológico y socioeconómico de los individuos, las
comunidades y las naciones, no pueden ser ajenos a estas transformaciones, so
pena de quedar estancados y fuera del contexto global, donde los países que logren
destacar serán aquellos que dominen y apliquen el conocimiento, aprovechando las
fuerzas y beneficios de un entorno cambiante, es decir, el desarrollo de las naciones
dependerá en gran medida de la capacidad de generación y aplicación del
conocimiento por sus habitantes. Consultado en la red mundial el día 20/08/2008, en
http://www.anuies.mx/servicios/d_estrategicos/documentos_estrategicos/21/1/2.html
En el caso particular del nivel medio superior, éste debe proporcionar a los
adolescentes todas las herramientas, habilidades, actitudes y conocimientos
necesarios, para que bien puedan continuar con sus estudios de licenciatura o
incorporarse a la planta laboral, que en su momento les permita continuar en un
proceso de superación educativo, cultural y socioeconómico, lo que a su vez, debería
incidir en una mejor convivencia humana, donde todas las personas tengan los
mismos derechos y obligaciones.
Por otro lado, la etapa de la adolescencia por la que atraviesan la gran
mayoría de alumnos del bachillerato técnico No.19, es un período de transición de la
niñez a la vida adulta, asimismo se considera que es un tiempo difícil para los
adolescentes, ya que sienten no pertenecer a ninguna de las etapas de la vida
mencionadas, por lo tanto presentan una serie de conflictos y problemas, tanto con
sus pares como con adultos, entre los que se pueden mencionar: padres, maestros o
aquellas que representen para ellos algún tipo de autoridad.
Dicha problemática quedó ampliamente plasmada en la fase de diagnóstico
del proyecto de intervención. Entre las problemáticas presentadas con más
regularidad se pueden mencionar: indisciplina, falta de atención a la clase, déficit de
118
atención a la clase, dispersión, poco interés y hasta pereza para ejecutar los trabajos
encomendados.
Sin embargo, haber diagnosticado con precisión la situación problemática que
se estaba dando dentro del salón de clases y poner en marcha un proyecto de
intervención, se presentó la oportunidad de ver y analizar el proceso docente-
educativo desde otra perspectiva, donde el profesor ya no se considera un simple
trasmisor de conocimientos, sino que debe ir mucho más allá, motivando al alumno a
que sea él mismo quien vaya construyendo su propio conocimiento, apoyado en el
profesor quien le debe brindar todas las facilidades, recursos y confianza, con la
finalidad de que puedan obtener los mejores resultados posibles.
Este proyecto contribuyó a modificar la forma de dar las clases de
Matemáticas, desde la planeación didáctica hasta innovar con varios enfoques y
estilos de enseñanza, logrando con ello una amalgama por demás interesante y
provechosa, tanto para la práctica docente como para el mejor aprovechamiento
escolar de los alumnos. Lo anterior se vio reflejado en varios aspectos positivos y
que incidieron de la misma forma en el proceso docente educativo, entre los avances
más significativos que se alcanzaron fueron:
a) Aprovechar al máximo el tiempo disponible para impartir las clases.
b) Despertar un mayor interés por la comprensión y aprendizaje de la derivada
de una función algebraica.
c) Mejorar el rendimiento académico de los alumnos.
d) Lograr un aprendizaje con algunos aspectos tomados del constructivismo,
aprendizaje colaborativo y por proyectos
e) Comprender la importancia de una aplicación práctica de la derivada.
f) Si bien, no se logró eliminar totalmente las conductas no deseadas, sí se
llegaron a disminuir en un porcentaje elevado.
119
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http://www.definicionabc.com/ciencia/etnografia.php el 22/sep/2007
123
Anexos
Anexo No. 1 Encuesta sobre datos personales UNIVERSIDAD DE COLIMA
FACULTAD DE PEDAGOGÍA MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
BACHILLERATO TÉCNICO No. 19
Encuesta para alumnos de 5° Sem Cerro de Ortega, Col. I.- Datos personales y académicos Nombre Edad Lugar de Lugar donde vives nacimiento actualmente Secundaria de egreso Promedio general de secundaria Promedio general de bachillerato hasta 4° sem Calificaciones de la asignatura de Matemáticas V (no llenar, sino hasta el final del semestre primera segunda tercera promedio parcial parcial parcial semestral ordinario sí no calificación aprobó el sí no de ordinario semestre realizo examen sí no calificación de aprobó el sí no extraordinario extraordinario semestre II.- Datos familiares Cual es la ocupación de tu papá Cual es la ocupación de tu mamá Grado máximo de Grado máximo de estudios de tu papá estudios de tu mamá Tienes enciclopedia sí no Cuantos libros tienes en tu o libros en tu casa casa ( aproximadamente) Cuentas con PC sí no Tiene acceso a sí no en tu casa internet Número de Tienes cuando menos un hermano Hermanos que haya terminado la prepa
124
Anexo No. 2 Formato para observación (diario de campo y cuaderno rotativo)
UNIVERSIDAD DE COLIMA FACULTAD DE PEDAGOGÍA
MATERIA: SEMINARIO DE INTERVENCIÓN OBSERVACIONES HECHAS POR LOS ALUMNOS
DATOS GENERALES DE LA ESCUELA Nombre de la escuela: Bachillerato Técnico No. 19 Ubicación: Cerro de Ortega, Col. Materia: Matemáticas V (Cálculo Diferencial) Grado y grupo: 5º A Instrucciones: Tomando como guía el siguiente formato, registra las actividades que
se realizan durante la clase; así como las observaciones correspondientes
Fecha: Hora de entrada: Hora de salida: Sé nombró lista: Tema visto: Subraya los recursos utilizados por el maestro: pintarrón, marcadores, PC, cañon
multimedia, proyector de acetatos, calculadora científica, calculadora gráficadora,
screen view, etc.
Que actividades han sido realizadas por el maestro y por los alumnos, durante la sesión Tiempo utilizado en el (los) temas vistos: Comportamiento de los alumnos (realizan el trabajo, platican o discuten el tema que
esta tratando, platican de otros temas, hacen otras tareas, etc.)
En forma general realizar las anotaciones que consideres más relevantes (si no te
alcanza el espacio de abajo, continúa al reverso de la hoja o en otras hojas)
¡¡ gracias por tu participación !!
125
Anexo No. 3 Gráficas de función volumen y su derivada, para el ejercicio de
dimensiones 20cm X 13cm
x V(x) V'(x)
-4 -2352 980
-3.75 -2114.0625 923.75
-3.5 -1890 869 -3.25 -1679.4375 815.75
-3 -1482 764
-2.75 -1297.3125 713.75
-2.5 -1125 665
-2.25 -964.6875 617.75
-2 -816 572
-1.75 -678.5625 527.75
-1.5 -552 485
-1.25 -435.9375 443.75
-1 -330 404
-0.75 -233.8125 365.75
-0.5 -147 329
-0.25 -69.1875 293.75
0 0 260
0.25 60.9375 227.75
0.5 114 197
0.75 159.5625 167.75
1 198 140
1.25 229.6875 113.75
1.5 255 89
1.75 274.3125 65.75
2 288 44
2.25 296.4375 23.75
2.5 300 5
2.75 299.0625 -12.25
3 294 -28
3.25 285.1875 -42.25
3.5 273 -55
3.75 257.8125 -66.25
4 240 -76
Como los valores de la derivada pasan de positivos a negativos, se puede determinar que en algún punto del intervalo 2.5-2.75, la derivada vale cero, siendo este valor cuando x=2.57 y el volumen máximo es Vmáx=300.17 cm3
126
Anexo No. 4 ENCUESTA ACERCA DEL NUEVO ENFOQUE DE LA CLASE DE MATEMÁTICAS V
UNIVERSIDAD DE COLIMA FACULTAD DE PEDAGOGÍA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR BACHILLERATO TÉCNICO No. 19
Valora cada una de las siguientes expresiones, asignando en el paréntesis respectivo el número que tú
que de acuerdo a tu percepción, se ha modificado la forma de impartir la materia por parte del maestro
La escala de valores es la siguiente:
nada (1) suficiente (2) regular (3) muy bien (4) excelente (5)
no poco a veces sí mucho
1.- La clase de matemáticas se me ha hecho más interesante ( )
2.- Con el tipo de ejercicios que he realizado, me quedan más claros los
conceptos de la clase ( )
3.- Con este enfoque, he comprobado que las matemáticas tienen aplicación
práctica ( )
4.- Las matemáticas me sirven en mi vida cotidiana ( )
5.- El cálculo ha contribuido al avance tecnológico de la humanidad ( )
6.- Me gustaría tener un libro de Cálculo Diferencial que me analice los
temas de una forma más comprensible para mí ( )
7.- Me gustaría tener un libro de trabajo o cuaderno de trabajo de Cálculo
Diferencial ( )
8.- Si el profesor utilizara con más frecuencia algún software para explicar
la clase, considero que la clase sería más entendible ( )
9.- He podido hacer los ejercicios en forma correcta ( )
10.- Me gusta la clase de matemáticas, porque he podido hacer ( )
11.- Me gusta resolver ejercicios de matemáticas ( )
12.- He podido comprobar que las matemáticas son no son tan difíciles
como creía ( )
13.- En esta parcial espero obtener buenas calificaciones en matemáticas ( )
14.- El maestro me ha motivado para hacer los ejercicio ( )
15.- Me ha quedado más claro la simbología que se usa en cálculo ( )
16.- He sido capaz de leer correctamente esta simbología ( )
17.- Puedo utilizar correcta y eficazmente la calculadora científica ( )
18.- Fue fácil la construcción del modelo de cartón ( )
19.- Con la construcción del modelo, comprendí mejor el tema de
optimización ( )
20.- Me gustaría que hubiera más sesiones de este tipo ( )
Gracias