fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı...
TRANSCRIPT
![Page 1: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/1.jpg)
Fakulta biomedicınskeho inzenyrstvı – Teoreticka
elektrotechnika
Prof. Ing. Jan Uhlır, CSc.
Leto 2017
![Page 2: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/2.jpg)
4. Vypocty v casove oblasti
1
![Page 3: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/3.jpg)
Laplaceova transformace – aplikace v analyze elektrickych obvodu
Obvodove rovnice s integralnım nebo diferencialnım popisem vztahu mezi obvo-dovymi velicinami
Prechodne deje — napetı (proud) v obvodu se skokem budicı veliciny
2
![Page 4: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/4.jpg)
Laplaceova transformace ve vypoctech elektrickych obvodu
Definice Laplaceova obrazu pro casovou funkci f(t)
F (p) =∫ +∞
0f(t)e−ptdt, s = σ + jω
Definice zpetne Laplaceovy transformace pro obraz F (s)
f(t) =1
2πj
∫ σ+∞
σ−∞F (p)eptds
Prakticke pouzitı Laplaceovy transformace je zalozeno na slovnıcıch, ve kterychjsou k dispozici uzitecne dvojice ” predmet – obraz “
Pro prımou a inverznı Laplaceovu transformaci je mozno pouzıvat take matema-ticky software
3
![Page 5: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/5.jpg)
Vlastnosti Laplaceovy transformace – operace
• Linearitan∑
k=1
akfk(t) ⇐⇒n∑
k=1
akFk(p)
• Posunutı v case
f(t− t0) ⇐⇒ F (p)e−pt0
• Obraz derivacedf(t)
dt⇐⇒ pF (p)− f(0+)
• Obraz integralu∫ t
0f(τ)dτ ⇐⇒ 1
pF (p)
4
![Page 6: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/6.jpg)
Vlastnosti Laplaceovy transformace – signaly
• Jednotkovy impuls
δ(t) ⇐⇒ 1
• Jednotkovy skok
1(t) ⇐⇒ 1
p
• Sinusovy signal, kosinusovy signal (viz derivace)
1(t) sin(ωt) ⇐⇒ ω
p2 + ω21(t) cos(ωt)⇐⇒ p
p2 + ω2
• Exponencialnı impuls
1(t)e−at ⇐⇒ 1
p+ a
5
![Page 7: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/7.jpg)
Pro analyzu v casove oblasti nejcasteji pouzijeme impulsove signaly.Nejjednodussı z nich se nazyva napet’ovy (proudovy) skok.
.ot
u(t)U
0
u(t) =
0, t < 0U, t ≥ 0
Laplaceuv obraz
U(p) =U
p
6
![Page 8: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/8.jpg)
Dalsı signal pro analyzu v casove oblasti oznacujeme jako osamely impuls.
.
.tti
u(t)U
0
u(t) =
0, t < 0U, t ≥ 00, t ≥ ti
Laplaceuv obraz
U(p) =U
p(1− e−pti)
7
![Page 9: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/9.jpg)
Periodicky impulsnı prubeh
.
tT T + ti 2Tti
u(t)U
0
u(t) =
0, kT + ti < t < (k +1)TU, kT ≤ t ≤ kT + ti
u(t) =
0, kT + ti < t < (k + 1)TU, kT ≤ t ≤ kT + ti
k = . . . . ,−2,−1,0,1,2, . . . strıda (duty cycle) d = tiT−ti
Laplaceuv obraz U(p) = Up
(1−e−pti)(1−e−pT )
8
![Page 10: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/10.jpg)
Realny impulsnı signal
u
tr
ti
tf
td
t
vrchol impulsu (ui)
pata
ui
10%ui
50%ui
90%ui
celo tyl
9
![Page 11: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/11.jpg)
• tr je doba trvanı cela (nabehu) impulsu (rise time) a merı se jako cas, kteryimpulsnı napetı potrebuje k prechodu mezi 10%ui a 90%ui.
• tf je doba trvanı tylu (poklesu) impulsu (fall time) a merı se jako cas, kteryimpulsnı napetı potrebuje k prechodu mezi 90%ui a 10%ui.
• td je doba zpozdenı cela impulsu (delay time) a muze byt vztazena k jakemukolicasovemu okamziku, obvykle pred prıchodem cela. Obecne muze byt vztazenai k okamziku pozdejsımu, pak ma zaporne znamenko. Pokud se vztahujek jinemu impulsu, byva merena rovnez vuci okamziku, kdy tento impulsprochazı urovnı 50%ui.
• ti doba trvanı impulsu
10
![Page 12: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/12.jpg)
• u periodicky se opakujıcıch impulsu se uvadı
– kmitocet nebo perioda opakovanı impulsu
– strıda (duty cycle), tj., pomer doby trvanı impulsu k dobe trvanı paty, opetmereno v urovni 50%ui
![Page 13: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/13.jpg)
Obvod RC buzeny skokem napetı – integracnı obvod
.
R
C
u1(t) uC(t)
11
![Page 14: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/14.jpg)
V RC obvodu se bude kapacitor pres rezistor nabıjet. Pocatecnı napetı nakapacitoru v case t = 0 necht’ je uC(0).
V case t→∞ pujde uC(t)→ U . Nabıjecı proud klesne k nule tehdy, kdy senapetı na zdroji vyrovna s napetım na nabitem kapacitoru.
Pro proud v obvodu lze napsat rovnici
Ri(t) = U − uC(t) = U −(
1
C
∫ t0i(t)dt+ uC(0)
)
K jejımu resenı pouzijeme Laplaceovy transformace.
Zname obraz skoku (1p ), obraz pocatecnı podmınky pro funkci
(f(t)⇐⇒ 1pf(0)) a obraz integralu funkce (
∫ t0 f(t)dt⇐⇒ 1
pF (p)).
12
![Page 15: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/15.jpg)
Pro Laplaceuv obraz proudu I(s) pak lze napsat
RI(p) =U
p−(
1
pCI(p) +
uC(0)
p
)
a po uprave
I(p) =U − uC(0)
R
1
(p+ 1τ ), kde τ = RC
Ve slovnıku Laplaceovych obrazu nalezneme 1p+a ⇐⇒ e−at
Resenı tedy popisuje casovy prubeh proudu pro t ≥ 0
i(t) =U − uC(0)
Re−
tτ
τ = RC je casova konstanta a ma rozmer v sekundach.
13
![Page 16: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/16.jpg)
Pro obvod lze nakreslit jeho operatorovy model a rovnici zapsat prımo z nej
U.1(t) U/p
R R
i(t)I(p)C
1/pC
uC
I(p) =
U−uC(0)p
R+ 1pC
=U − uC(0)
R
1
p+ 1RC
F (p) =1
(p+ a)⇐⇒ f(t) = e−at
i(t) =U − uC(0)
Re−
tτ , kde a = 1/τ τ = RC
.
14
![Page 17: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/17.jpg)
Normalizovany casovy prubeh proudu
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
cas t/τ
i/i 0
i0 = U−uC(0)R
15
![Page 18: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/18.jpg)
Pro napetı uC(t) dostaneme
uC(t) = U − (U − uC(0)) e−tτ = U(1− e−
tτ ) + uC(0)e−
tτ
a pro uC(0) = 0
uC(t) = U(1− e−tτ )
nebo Laplaceovou transformacı
UC(p) = Up .
1pC
R+ 1pC
= Uτ .
1p (p+1
τ )
Slovnık: F (p) = 1p (p+a)⇐⇒ f(t) = 1
a
(1− e−at
)
a = 1τ , uC(t) = U
(1− e−
tτ
)
16
![Page 19: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/19.jpg)
Graficky prubeh nabıjenı ukazuje obrazek, a to pro prıpad, zeuC(0) = 0, U = 1V , RC = τ = 1 s, napr. R = 100 kΩ a C = 10µF.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
ua
ub
tab
τ
cas t [s]
uC(t)
[V]
17
![Page 20: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/20.jpg)
Z obrazku lze vycıst nektere vlastnosti napetı na kapacitoru:
• smernice tecny exponencialy na pocatku prechodneho deje je rovna casovekonstante τ ,
• po uplynutı doby t = τ dosahne exponenciala priblizne 63% z ustalenehodnoty,
• po uplynutı casu odpovıdajıcıho trem casovym konstantam je napetı na ka-pacitoru vetsı nez 95% ustalene hodnoty,
• po uplynutı casu odpovıdajıcıho peti casovym konstantam je napetı na ka-pacitoru vetsı nez 99% ustalene hodnoty,
• zvolıme-li na exponencialnım prubehu dve libovolne urovne napetı ua a ub,muzeme pri zname velikosti ustalene hodnoty U vypocıtat dobu tab, po kte-rou exponenciala bude probıhat mezi napetımi ua a ub
tab = τ ln
(U − uaU − ub
).
18
![Page 21: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/21.jpg)
Nad vyrazy pro napetı na kapacitoru a proud obvodem lze uvest nasledujıcıprakticke uvahy:
• prechodny dej lze urychlit jenom zmensenım casove konstanty τ = R.C,
• zmensenı casove konstanty lze docılit zmensenım kapacity C, coz v praxinemusı byt vzdycky mozne,
• zmensenı casove konstanty lze docılit zmensenım odporu R; to ale vedek vetsımu proudu i(0) = U/R, coz nemusı snaset zdroj impulsnıho napetı.
Zkracovanı prechodnych deju v elektronickych obvodech je vzdy bojems prırodou.
19
![Page 22: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/22.jpg)
Necht’ napetı u1(t) = U skokem prejde v case ti z hodnoty U na hodnotuu1(ti) = 0. Jedna se o buzenı impulsem:
0,0 1,0 2,0 3,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 1,0 2,0 3,00,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 1,0 2,0 3,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
t [µs]
t [µs]
t [µs]u
[V]
u[V
]u
[V]
20
![Page 23: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/23.jpg)
Pokud bylo uC(0) = 0, vytvorı se v case ti pocatecnı podmınka pronasledujıcı prechodny dej
uC(ti) = U(1− e−tiτ )
Pak z vyrazu pro prechodny dej s pocatecnı podmınkou uC(ti) a nulovymbudicım napetım dostaneme
uC(t) = 0− [0− uC(ti)] e−t−tiτ
uC(t) = uC(ti)e−t−tiτ
21
![Page 24: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/24.jpg)
Buzenı periodickymi impulsy
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,00,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,00,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
t [µs
t [µs]
t [µs]
u[V
]u
[V]
u[V
]
22
![Page 25: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/25.jpg)
Na prvem grafu vystupnıho signalu je casovy prubeh na vystupu z obvodus casovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsnıho prubehu), nadruhem grafu je casova konstanta obvodu nastavena na 5µs (tedy petinasobek
periody). V tomto druhem prıpade se chovanı obvodu da interpretovat jakointegrace. Povsimneme si, ze vystupnı napetı obvodu na konci prechodnehodeje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integralu z periody vstupnıhoprubehu (10 V a 70 % periody). Napetı se ”vlnı“, ale pokud bychom casovou
konstantu zvetsili, zvlnenı by se zmensilo, avsak ustalenı na hodnote integraluby trvalo dele.
23
![Page 26: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/26.jpg)
Obvod RC buzeny skokem napetı – derivacnı obvod
R
C
u1(t) uR(t)
24
![Page 27: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/27.jpg)
Pokud uC(0) = 0 je napetı na vystupu derivacnıho obvodu pro t < 0 rovnouR(0−) = 0. Pro t ≥ 0 platı
uR(t) = Ue−tτ
Normalizovany prubeh
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
τ
cas t/τ
uR/U
25
![Page 28: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/28.jpg)
Pri buzenı osamelym impulsem skocı vstupnı impuls z hodnoty napetıu1(t) = U v case ti zpet na nulovou hodnotu. Pak bude
uR(t) = (0 + uC(ti)) e−t−tiτ = (uR(ti)− U) e−
t−tiτ pro t ≥ ti
Pokud bylo pred prıchodem impulsu v case t = 0 vystupnı napetı nulove, bude
uR(ti) = Ue−tiτ uR(t) = U (e−
tiτ − 1) e−
t−tiτ pro t ≥ ti
A pokud by prechodny dej v prubehu casu ti τ skoncil, tedy uR(ti) ≈ 0,pak
uR(t) = −U e−t−tiτ pro t ≥ ti
26
![Page 29: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/29.jpg)
0,0 1,0 2,0 3,0
0,0 1,0 2,0 3,0
0,0 1,0 2,0 3,0-12,0
-8,0
-4,0
0,0
4,0
8,0
12,0
-12,0
-8,0
-4,0
0,0
0,0
4,0
4,0
8,0
8,0
12,0
12,0
t [µs]
t [µs]
t [µs]u
[V]
u[V
]u
[V]
27
![Page 30: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/30.jpg)
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
-4,0
-4,0
-4,0
-8,0
-8,0
-8,0
-12,0
-12,0
-12,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,0
0,0
0,0
4,0
4,0
4,0
8,0
8,0
8,0
12,0
12,0
12,0
t [µs
t [µs
t [µsu
[V]
u[V
]u
[V]
28
![Page 31: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/31.jpg)
Na obrazku je naznacena situace analogicka k prıkladu buzenı integracnıhoobvodu periodickymi impulsy. Nejprve je uveden prıklad buzenı obvodu impulsys periodou 1µs a strıdou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tım, ze casova konstanta
obvodu je 0,1µs. V druhem prıpade je casova konstanta obvodu 5µs.
V prvem prıpade lze priznat obvodu roli obvodu derivacnıho, protoze generujejednotlive impulsy, ktere svou polaritou a kratkostı trvanı pripomınajı derivaci
skoku (derivace idealnıho skoku je nekonecne kratky impuls).
29
![Page 32: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/32.jpg)
Clanky RL
integracnı obvod derivacnı obvod
R
R L
L
u1(t)u1(t) u2(t)u2(t)
Pro integracnı i derivacnı clanek slozeny z induktoru a rezistoru platı, pri buzenıskokem napetı nebo impulsy, identicke vztahy jako pro clanky RC.
Casova konstanta je τ =L
R.
30
![Page 33: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/33.jpg)
Obvod LR se spınacem
V obvodu s induktorem muzeme vytvorit situaci, kdy se na svorkach nekterychsoucastek muze objevit napetı vyssı, nez ma kterykoli zdroj napetı. Tovyuzıvame v tzv. spınanych zdrojıch a regulatorech napajecıch napetı.
Princip takovych obvodu je zalozen na skutecnosti, ze induktor hromadı energiiv magnetickem poli, ktere je vytvoreno prochazejıcım proudem. Proto ma
prochazejıcı proud setrvacne chovanı. Pokud spınac skokem zmenı odpor vobvodu, prechodny dej bude vychazet z pocatecnı podmınky, dane proudempred prepnutım. Platı tedy, je-li proud pred sepnutım urcen mensım odporem
nez je odpor pripojeny po prepnutı, vznikne na svorkach pripojeneho rezistoruskok napetı s vetsım napetım, nez ma zdroj, ktery do induktoru proud zavedl.
31
![Page 34: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/34.jpg)
Spınanı induktivnı zateze
0,5H
1kW
10V
0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms
0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms
50 ms
150 mA
100 mA
0 mA
50 mA
0 ms 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms
-225V
-150V
-75V
0
75V
150V
2W
sepnuto vypnuto
proud induktoru
napìtí na induktoru
32
![Page 35: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/35.jpg)
Obrazy vztahu mezi obvodovymi velicinami na svorkach elementarnıch dvojpolu
.
uR(t) = RiR(t) ⇒ UR(p) = RIR(p)
iR(t) = GuR(t) ⇒ IR(p) = GUR(p)
uL(t) = LdiL(t)
dt⇒ UL(p) = pLIL(p)− LiL(0+)
iL(t) =1
L
∫ t
0uL(τ)dτ + iL(0+) ⇒ IL(p) =
1
pLUL(p) +
iL(0+)
p
uC(t) =1
C
∫ t
0iC(τ)dτ + uC(0+) ⇒ UC(p) =
1
pCIC(p) +
uC(0+)
p
iC(t) = CduC(t)
dt⇒ IC(p) = pCUC(p)− CuC(0+)
33
![Page 36: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/36.jpg)
Operatorove modely kapacitoru pro obvodove rovnice
oxx
UC(p) = 1pCIC(p) +
uC(0+)p
UC(p) UC(p)
1pC
IC(p)
uC(0+)p
pC
CuC(0+)
IC(p) = pCUC(p)− CuC(0+)
34
![Page 37: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı ...amber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TE_bio_17-4.pdf · Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnika](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052422/5c78826209d3f27b458b557d/html5/thumbnails/37.jpg)
Operatorove modely induktoru pro obvodove rovnice
IL(p)
UL(p) =
= pLIL(p)− LiL(0+)
UL(p)
pL
1pL
LiL(0+)
iL(0+)p
IL(p) = 1pLUL(p) +
iL(0+)p
35