fale - if.pw.edu.plakraw/dydaktyka/fo/wyklad_fale.pdf · rÓwnanie falowe w jednym wymiarze...
TRANSCRIPT
FALE
•Równanie falowe w jednym wymiarze
•Fale harmoniczne proste
•Zasada superpozycji
•Równanie falowe w trzech wymiarach
• Interferencja
RÓWNANIE FALOWE W JEDNYM WYMIARZE
Przykład: drgania poprzeczne struny
ψ(z,t) - wychylenie pionowe z połoŜenia
równowagi elementu struny ∆z w punkcie
z w chwili t
ρ0 - gęstość liniowa masy struny
∆m= ρ0 ∆z - masa elementu struny
T(z) - napręŜenie struny w punkcie z przy
wychyleniu z połoŜenia równowagi
T0 - napręŜenie struny w połoŜeniu
równowagi
Zakładamy, Ŝe ruch elementu struny
odbywa się tylko wzdłuŜ osi pionowej Ox.
T(z+∆z)
T(z)
θ(z)
θ(z+∆z)x
z
ψ(z,t)
T0T0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx
z
mazzTzzzzTzT
TzzTzzzzT
zzTzzzzTzT
∆=−∆+∆+=∆
==∆+∆+
=−∆+∆+=∆
θθ
θθ
θθ
sinsin
coscos
0coscos
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0
2
2
22
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
00
000
,1
tgtg
tg
tgtgtgtg
tgcostgcos
sinsin
ρψψ
ψρψ
ψθψθ
ψρ
θ
θθθθ
θθθθ
θθ
Tv
tvz
tTz
zdz
d
z
tdzmadz
dz
dT
zz
zzzTzTzzT
zzzTzzzzzzT
zzTzzzzTzT
x
x
=∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=⇒∂∂
=
∂∂
=∆=
≈∆∆
−∆+=−∆+
=−∆+∆+∆+
=−∆+∆+=∆
Ogólna postać równania falowego w
jednym wymiarze
v - prędkość fali (prędkość fazowa)
FALE HARMONICZNE PROSTE
ψ(z,0)
ψ(0,t)
T
λλλλ
Szczególne rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej.A - amplituda
λ - długość fali - najmniejsza odległość przestrzenna miedzy dwoma punktami, w których w tej samej chwili faza drgań jest jednakowa z dokładnością do 2π.k - liczba falowa (wektor falowy)T - okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2π.ω- częstość
( ) ( )λππ
ωωψ2
,2
,sin, ==−= kT
kztAtz
Aby ψ(z,t) było rozwiązaniem równania falowego, musi byćspełniona relacja dyspersji
vk=ω
vkt
zkztconst
kzt
==⇒=−⇒==
−=
ωωφ
ωφ
00
Faza
Prędkość fazowa -
prędkość przemieszczania się stałej fazy
ZASADA SUPERPOZYCJI
Zaburzenie falowe osrodka, pochodzące od układu źródeł, równe jest sumie
(wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł.
Równanie falowe jest liniowym równaniem róŜniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezaleŜnych rozwiązań jest równieŜ jego rozwiązaniem.
Przykład: fale stojace w jednym wymiarze
2π/k=λ( ) ( )
( ) ( ) ( )kztAtztztz
kztAtzkztAtz
cossin2),(),(,
sin),(,sin),(
21
21
ωψψψ
ωψωψ
=+=
+=−=
t=T/4
t=3T/4
t=0.1T
t=0.05T
t=0
węzeł
strzałka
ψ(z,t)
A(z,t) obwiednia
Prędkość grupowa -
prędkość przemieszczania
się obwiedni = predkości
przepływu informacji
dk
dvgr
ω=
2π/dk
Przykład: prędkość grupowa
( ) ( ) ( )( )
+−
+
−=+=
+−+=−=
zdk
ktd
zdk
td
Atztztz
zdkktdAtzkztAtz
tzA
22sin
22cos2),(),(),(
sin),(,sin),(
),(
21
21
ωω
ωψψψ
ωωψωψ
444 3444 21
RÓWNANIE FALOWE W TRZECH WYMIARACH
Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych.KaŜda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe.
[ ][ ]
( ) ( )
01
,,,,,
,,,
,,
2
2
22
2
2
2
2
2
=∂
∂−
∂∂
+∂
∂+
∂∂
===
=
=
tvzyx
zyxizyxr
zyxr
iiii
iii
zyx
ψψψψ
ψψψ
ψψψψr
r
r
Operator Laplace’a (laplasjan) 2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
≡∇
zyxitv
ii ,,,0
12
2
2
2 ==∂
∂−∇
ψψRównanie falowe w trzech
wymiarach
Przykład: fale płaskie
z
x
λ
k
r
constrk =⋅ rr
Płaszczyzny stałej fazysą prostopadłe do kierunku propagacji danego wektorem falowym k i odległe od siebie o λ
ψx(z,0)
( )
[ ] ( )tkzAkkkk
zyxitrkA
iizyx
ii
ωψλπ
ωψ
−=⇒
==
=−⋅=
cos2,0,0,,
,,,cos
r
rr
Przykład: polaryzacja fal płaskich
z
x
y
ψx(z,0)ψ
Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuŜ jednej osi.
[ ] ( )[ ]0,0,cos0,0, tkzAx ωψψ −==r
ψψψψ
ψx
ψyωt
Superpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą
płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z=const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę.
[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]0,cos,cos0
0,cos,00,,0
0,0,cos0,0,
21
21
22
11
ϕωωψ
ψψψ
ϕωψψ
ωψψ
−=⇒=
+=
+−==
−==
tAtAz
tkzA
tkzA
y
x
r
rrr
r
r ωt
A
2
,21
πϕ =
== AAA
A
ωt
0
,21
=
==
ϕ
AAA
Przykład: Fale kuliste
( ) ( )
( ) ( )krtr
Ar
zyxirr
i
ii
−=
==⇒=
ωψ
ψψψψ
cos
,,,rr Zasada Huyghensa: kaŜdy punkt, do
którego dociera zaburzenie, staje sięźródłem nowej fali kulistej. Zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal kulistych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka.
NatęŜenie fali kulistej: energia, przepływająca przez jednostkępowierzchni w jednostce czasu
22 rAI =
Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali kulistej, nie zaleŜy od odległości constA
IrE
==
==2
2
4
4
π
π
a) b)
INTERFERENCJA
Przykład: Interferencja fal kulistych
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )tPtPtP
krtr
AtP
kdkrtr
Akrt
r
AtP
,,,
cos,
sincoscos,
21
2
2
2
2
2
1
1
1
ψψψ
ωψ
θωωψ
+=
−=
−−≈−=
⇒<<
=≅
21,
2
rrdk
dπ
λ
d
ψ1
ψ2
P
r2
r1
ΘΘ
dsinΘ
Θ1,max
Θ0,max
Θ2,max
Θ0,min
Θ1,min
Maksimum interferencyjne
Minimum interferencyjne
( )
=
−−
=
2
sincos
4)(
2
sincos
2
sincos
2,
2
2
2
2
2
2
θ
θω
θψ
kd
r
API
kdtkr
kd
r
AtP
Maksima interferencyjne
,...2,1,0,sin
,...2,1,0,2
sin1
2
sincos
max, ±±==
±±==⇒±=
nnd
nnkdkd
n λθ
πθθ
,...2,1,0,2
1sin
,...2,1,0,22
sin0
2
sincos
min, ±±=
+=
±±=+=⇒=
nnd
nnkdkd
n λθ
ππθθ
Minima interferencyjne
Efektywne natęŜenie
d=4λr 2,min=100λ
Interferencja fal kulistych na powierzchni wody (u dołu) i światła przechodzącego przez dwie szczeliny (z prawej)
Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie
Przy przechodzeniu fali płaskiej przez szczelinę na ekranie ustawionym za wąską szczeliną obserwuje się obraz dyfrakcyjny. Jest on związany z interferencją fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny (odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest róŜna, a róŜnice sąrzędu długości fali)