faro ricardo - ecuaciones diferenciales

8/4/2019 Faro Ricardo - Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones diferencialesRicardo Faro

13 de febrero de 2007


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Indice General

I Ecuaciones diferenciales ordinarias xv

1 La estructura diferenciable de un espacio vectorial 11.1 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 El haz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . 121.4 Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . . . . 241.5.1 Interpretacion geometrica de la diferencial. . . . . 251.5.2 Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.1 Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.1 Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8.2 Ecuaciones diferenciales no autonomas. . . . . . . 371.8.3 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . . . . 38

1.9 Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 391.9.1 Desintegracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.2 Reproduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.3 Ley de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.4 El pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 53

2.1 Grupo uniparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Existencia de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

i


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ii INDICE GENERAL

2.3 Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Unicidad de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5 Grupo Uniparametrico de un campo . . . . . . . . . . . . 66

2.6 Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . . 712.7 Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . . . 73

2.7.1 Clasificacion local de campos no singulares. . . . . 782.8 Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.9 Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 842.10 Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . . . 862.11 Metodo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 Campos tensoriales en un espacio vectorial 107

3.1 Tensores en un modulo l ibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Campos tensoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3 Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . . . . . . . 1123.4 Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.6 El Lema de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.6.1 Aplicacion en Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . 1303.6.2 Factores de integracion. . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7 Apendice. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 1333.7.1 Tensor metrico y tensor de volumen del espacioeucldeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.7.2 Divergencia, rotacional y gradiente. . . . . . . . . . 1343.7.3 Interpretacion geometrica del rotacional. . . . . . . 1373.7.4 Tensores de torsion y de curvatura. . . . . . . . . . 1383.7.5 El tensor de una variedad Riemanniana. . . . . . . 1393.7.6 El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.7.7 La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.7.8 El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4 Campos tangentes lineales 1554.1 Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2 Existencia y unicidad de solucion . . . . . . . . . . . . . . 1594.3 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3.1 El sistema homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.3.2 El sistema no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . 169

4.4 Reduccion de una EDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.5 Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.6 EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 175


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INDICE GENERAL iii

4.7 Clasificacion de campos lineales . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.8 EDL con coeficientes perio d i c o s . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1

4.9 EDL de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . 183

4.9.1 Caso homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.9.2 Caso no homogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.10 EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.10.1 Ecuacion de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.11 EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.11.1 Ecuacion de Riccati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.12 Otros metodos para resolver EDL . . . . . . . . . . . . . . 195

4.12.1 Metodo de las potencias. . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.12.2 Metodo de Frobenius de las potencias. . . . . . . . 196

4.12.3 Metodo de la transformada de Laplace. . . . . . . 197

4.13 La Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.14 Algunas EDL de la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.14.1 Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.14.2 Problemas de muelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.14.3 Problemas de circuitos electricos. . . . . . . . . . . 212

4.14.4 Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5 Estabilidad 225

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.2 Linealizacion en un punto singular . . . . . . . . . . . . . 226

5.3 Estabilidad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . 228

5.4 Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.5.1 Sistemas tipo depredadorpresa. . . . . . . . . . 2395.5.2 Especies en competencia. . . . . . . . . . . . . . . 242

5.5.3 Aplicacion en Mecanica clasica. . . . . . . . . . . . 242

5.6 Clasificacion topol. de las ED lineales . . . . . . . . . . . 245

5.7 Teorema de resonancia de Poincare . . . . . . . . . . . . . 251

5.8 Cuenca de un sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.9 La aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.10 Estabilidad de orbitas cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.11 El Teorema de PoincareBendixson . . . . . . . . . . . . . 2685.12 Estabilidad de orbitas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 273


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iv INDICE GENERAL

II Ecuaciones en derivadas parciales 283

6 Sistemas de Pfaff 285

6.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.2 Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 289

6.2.1 Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2896.2.2 Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.3 El sistema caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2936.4 El Teorema de la Proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . 297

6.4.1 Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 2986.5 El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

6.5.1 Metodo de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

6.5.2 1formas homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3156.6 Aplicacion: Clasificacion de unoformas . . . . . . . . . . 3166.7 Aplicacion: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . 323

6.7.1 El fibrado tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3236.7.2 Variedad con conexion. Distribucion asociada. . . 324

6.8 Aplicacion: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3286.9 Apendice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . 336

6.9.1 Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . . . . 338

6.9.2 Variedades integrales maximas . . . . . . . . . . . 3406.9.3 Otra demostracion del Teorema de Frobenius . . . 344

7 Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 3537.1 Definicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3537.2 El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3557.3 EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

7.3.1 Ejemplo: Trafico en una autopista. . . . . . . . . . 3607.3.2 Ejemplo: Central telefonica. . . . . . . . . . . . . . 361

7.3.3 Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . . . . 3637.3.4 Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . . . . 3647.4 Sistema de Pfaff asociado a una EDP . . . . . . . . . . . . 366

7.4.1 Campo caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 3667.5 Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . 370

7.5.1 Dimension de una subvariedad solucion. . . . . . . 3707.5.2 Existencia de solucio n . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 37.5.3 El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 375

7.6 Metodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . . . . 378

7.6.1 Metodo de las caractersticas de Cauchy . . . . . . 3787.6.2 Metodo de la Proyeccion. Integral completa . . . . 379


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INDICE GENERAL v

7.6.3 Metodo de LagrangeCharpit. . . . . . . . . . . . . 3827.7 Metodo de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

7.7.1 Envolvente de una familia de superficies. . . . . . . 383

7.7.2 Envolvente de una familia de hipersuperficies. . . . 3877.7.3 Metodo de la envolvente. . . . . . . . . . . . . . . 3907.7.4 Solucion singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

7.8 Definicion intrnseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3947.8.1 Fibrado Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 3957.8.2 Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . . . . 400

7.9 Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037.9.1 Metodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.9.2 Ecuacion de HamiltonJacobi. . . . . . . . . . . . 4077.9.3 Geodesicas de una variedad Riemanniana. . . . . . 4137.10 Introduccion al calculo de variaciones . . . . . . . . . . . . 420

7.10.1 Ecuaciones de EulerLagrange. . . . . . . . . . . . 4217.10.2 Ecuaciones de EulerLagrange y Hamilton. . . . . 4247.10.3 Ejemplo. Curva de energa cinetica mnima . . . . 4267.10.4 Ejemplo. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . 4287.10.5 Apendice. La ecuacion de Schrodinger . . . . . . . 429

7.11 Lagrangianas. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . 430

7.11.1 Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 4307.11.2 Ejemplo. Lagrangiana de la energa cinetica . . . . 4347.11.3 Aplicacion: Superficies de revolucion . . . . . . . . 4357.11.4 Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . . 4367.11.5 Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . 4397.11.6 Ejemplo. Curvas de mnima accio n . . . . . . . . . 4 4 17.11.7 El Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . 4437.11.8 Ejemplo. Problema de los dos cuerpos . . . . . . . 445

7.11.9 Ejemplo. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4487.11.10Ejemplo. El cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4497.12 Calculo de variaciones en Jets . . . . . . . . . . . . . . . . 450

7.12.1 Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . 4507.12.2 Distribucion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 451

7.13 Apendice. El Campo geodesico . . . . . . . . . . . . . . . 4597.13.1 Subidas canonicas de un campo tangente. . . . . . 4597.13.2 Variedad con conexion. Campo geodesico. . . . . . 4627.13.3 Campo geodesico en una variedad Riemanniana. . 464

7.13.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4667.14 Apendice. Teora de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . 469


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vi INDICE GENERAL

8 EDP de orden superior. Clasificacion 4958.1 Definicion clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4958.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . 499

8.2.1 Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . . . . 4998.2.2 Restriccion de un ODL. . . . . . . . . . . . . . . . 5018.2.3 Expresion en coordenadas de un ODL. . . . . . . . 5028.2.4 Derivada de Lie de un ODL . . . . . . . . . . . . . 507

8.3 El smbolo de un ODL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5088.4 ODL de orden 2 en R2. Clasificacion . . . . . . . . . . . . 511

8.4.1 Operadores diferenciales lineales hiperbolicos. . . . 5128.4.2 Operadores diferenciales lineales parabolicos. . . . 5138.4.3 Campos y 1formas complejas. . . . . . . . . . . . 5158.4.4 Operadores diferenciales lineales elpticos. . . . . . 518

8.5 ODL de orden 2 en Rn. Clasificacion . . . . . . . . . . . . 5238.6 EDP de orden 2 en R2. Clasificacion . . . . . . . . . . . . 526

8.6.1 ODL asociado a una solucion de una EDP. . . . . 5268.6.2 Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico de

una EDP cuasilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 5298.6.3 Reduccion a forma canonica. Caso hiperbolico de

una EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 533

8.6.4 Reduccion a forma canonica. Caso elptico. . . . . 5408.7 Clasificacion de sistemas de EDP . . . . . . . . . . . . . . 5448.7.1 Reduccion a forma diagonal de sistemas lineales

hiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5478.7.2 Reduccion a forma diagonal de sistemas cuasi

lineales hiperbolicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5478.8 Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

8.8.1 Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 549

9 El problema de Cauchy 5639.1 Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . 5639.2 Curvas caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

9.2.1 Propagacion de singularidades. . . . . . . . . . . . 5699.3 Funciones analticas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

9.3.1 Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5729.3.2 Series multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5739.3.3 Series multiples de funciones. . . . . . . . . . . . . 574

9.4 Funciones analticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . 582

9.4.1 Las ecuaciones de CauchyRiemann. . . . . . . . . 5829.4.2 Formula integral de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 585


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INDICE GENERAL vii

9.4.3 Funciones analticas ndimensionales. . . . . . . . 5879.5 El Teorema de CauchyKowalewski . . . . . . . . . . . . . 5879.6 EDP de tipo hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

9.7 Metodo de las aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . 5979.7.1 Existencia de solucio n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9 89.7.2 Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 6029.7.3 Dependencia de las condiciones iniciales. . . . . . . 6049.7.4 El problema de Goursat. . . . . . . . . . . . . . . . 6079.7.5 El problema de valor inicial caracterstico. . . . . . 608

9.8 Sistemas hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6099.9 La funcion de RiemannGreen . . . . . . . . . . . . . . . 617

9.9.1 Operador diferencial lineal adjunto. . . . . . . . . 6179.9.2 ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 6199.9.3 El metodo de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 620

10 La Ecuacion de ondas 63710.1 La Ecuacion de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . 637

10.1.1 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63910.1.2 Solucion de DAlambert. . . . . . . . . . . . . . . . 64210.1.3 Energa de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

10.1.4 Unicidad de solucion de la ecuacion de ondas. . . . 64810.1.5 Aplicaciones a la musica. . . . . . . . . . . . . . . 64810.2 La Ecuacion de ondas bidimensional. . . . . . . . . . . . . 650

10.2.1 Solucion de la ecuacion de ondas. . . . . . . . . . . 65310.3 La Ecuacion de ondas ndimensional. . . . . . . . . . . . 656

10.3.1 La desigualdad del dominio de dependencia. . . . . 65610.3.2 Unicidad de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 66010.3.3 Ecuacion de ondas en regiones con frontera. . . . . 66210.3.4 El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 663

10.4 El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66610.4.1 La Formula de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . 66610.4.2 El metodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . 67010.4.3 El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . 673

10.5 La Ecuacion de Schrodinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

11 La Ecuacion del calor 68311.1 La Ecuacion del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . 683

11.1.1 El principio del maximo. . . . . . . . . . . . . . . . 686

11.1.2 Solucion general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68811.1.3 Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas. 689


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viii INDICE GENERAL

11.1.4 El problema de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . 70211.2 La Ecuacion del calor ndimensional. . . . . . . . . . . . . 708

11.2.1 Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . . . . . 708

11.2.2 El metodo de separacion de variables. . . . . . . . 70911.2.3 Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . . . . . 71011.2.4 Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

12 La Ecuacion de Laplace 71712.1 El operador de LaPlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

12.1.1 Funciones armonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71712.1.2 Potencial gravitacional y potencial electrico. . . . . 72012.1.3 Problemas de Dirichlet, Neumann y mixto. . . . . 726

12.1.4 Principio del maximo. Unicidad. Continuidad. . . 72612.2 Funciones armonicas en el plano . . . . . . . . . . . . . . 729

12.2.1 Funciones armonicas en variables separadas. . . . . 72912.2.2 Funciones armonicas y funciones analticas. . . . . 73012.2.3 Transformaciones conformes. . . . . . . . . . . . . 731

12.3 Transformaciones que conservan las funciones armonicas . 73312.3.1 Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . . . . . 73312.3.2 Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . 734

12.3.3 Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . . . . . 73412.3.4 Transformaciones en general. . . . . . . . . . . . . 73612.4 Problema de Dirichlet en un rectangulo . . . . . . . . . . 73912.5 Problema de Dirichlet en un disco . . . . . . . . . . . . . 742

12.5.1 Formula integral de Poisson. . . . . . . . . . . . . 74412.6 Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . . . . . . . . . 747

12.6.1 La Ecuacion de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . 74812.7 Unicidad de solucion en problemas con valores frontera . . 75112.8 Propiedades de las funciones armonicas . . . . . . . . . . 754

13 Integracion en variedades 76913.1 Orientacion sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . 76913.2 Integracion en una variedad orientada . . . . . . . . . . . 77213.3 Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77613.4 El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78013.5 Integracion en variedades Riemannianas . . . . . . . . . . 78413.6 Aplicaciones a la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78713.7 La definicion de Gauss de la curvatura . . . . . . . . . . . 790

13.8 El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . . . . . 79113.8.1 El operador de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . 791


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INDICE GENERAL ix

13.8.2 El operador de LaplaceBeltrami . . . . . . . . . . 795


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x INDICE GENERAL


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Indice de Figuras

1.1 Grafica de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 F lleva el campo D al campo E . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Graficas de f y dxf en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Graficas de f y dxf en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Plano tangente a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 271.8 Gradiente de x2 + y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9 Curva integral de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10 Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1 Teorema del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2 Orbitas de D y de f D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3 Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.4 Caso n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1 recta de velocidad mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4 Parabola y elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.5 Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.2 Pulsacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.3 Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.4 Circuito electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.5 Partcula en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

4.6 2aLey de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.7 1aLey de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

xi


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xii INDICE DE FIGURAS

5.1 Casos a > 0 y b < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

5.4 Seccion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605.5 La orbita de p se aproxima a en x . . . . . . . . . . . . 2 6 45.6 Aplicacion de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.1 Sistema de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.2 Interpretacion geometrica de DL . . . . . . . . . . 2966.3 Interpretacion geometrica de D

y DL

. . . . . 296

6.4 < D >= D [P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3006.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.6 Distribuciones asociadas a P, P y P . . . . . . . . . . . 3026.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.1 Cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3567.2 Conos de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3587.4 Construccion de Sk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3737.5 Curva de datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3767.6 Envolvente de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3837.7 Envolvente de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3847.8 trayectorias bala canon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3847.9 ruido de un avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.10 Envolvente de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3867.11 Eleccion de

Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

7.12 Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4087.13 Vector de RungeLenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127.14 Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

9.1 Dominio de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5949.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5989.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6119.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6129.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

10.1 cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638


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INDICE DE FIGURAS xiii

10.2 Posicion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64310.3 Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64410.4 Fuerzas sobre una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . 650

10.5 Membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65110.6 cono caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

11.1 Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68411.2 Calor que entra en I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68511.3 Dominio del problema (hacia el pasado) . . . . . . . . . . 69411.4 Difusion del calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . 708

13.1 Planmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800


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xiv INDICE DE FIGURAS


16/828

Parte I

Ecuaciones diferenciales

ordinarias

xv


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Tema 1

La estructura

diferenciable de un

espacio vectorial

1.1 Conceptos basicos

Por E entenderemos un espacio vectorial real de dimension n, dotadode la estructura topologica usual. A veces tambien consideraremos enEuna norma, siendo indiferente en la mayora de los resultados cual esla que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en E. Por Rnentenderemos el espacio vectorial real R n R.

Dados dos espacios vectoriales E1 y E2 denotaremos con L(E1, E2)el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E1 en E2. Con Edenotaremos el espacio vectorial dual de E, es decir L(E,R).

Con C(E) denotaremos la Ralgebra de las funciones continuas en Ey con

C(U) las continuas en el abierto U de

E. Con

P(

E) denotaremos

la Ralgebra de los polinomios en E, es decir la subRalgebra de C(E)generada por E.

1


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2 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Elegir una base ei en Eequivale a elegir una base xi E. En cuyocaso tenemos la identificacion

E Rn ,n

i=1aiei (a1, . . . , an),

y las xi forman un sistema de coordenadas lineales asociado a las ei dela forma

xi : E R , xi

aj ej

= ai.

A menudo consideraremos sistemas de coordenadas lineales xi y so-brentenderemos su base dual ei correspondiente.

Si en

Etenemos un producto interior < , > consideraremos la norma

x 2 = < x, x >,y eligiendo una base ei ortonormal, es decir tal que < ei, ej >= ij ,y su sistema xi de coordenadas lineales asociado, tendremos que dadosa, b Etales que xi(a) = ai y xi(b) = bi

< a, b >= a1b1 + + anbn.Definicion. Sean E1 y E2 espacios vectoriales reales, U un abierto de E1y V uno de E2. Diremos que F: U V es diferenciable en x U siexiste una aplicacion lineal Fx L(E1, E2), tal que

limh0

F(x + h) F(x) Fx(h) h = 0.

Diremos que F es diferenciable si lo es en todo punto; que F es declase 1 si es diferenciable y la aplicacion

F : U L(E1, E2) , x Fx,es continua ; que es de clase k si existen F, F = (F),. . .,F(k, y soncontinuas. Diremos que es de clase infinita si es de clase k para toda k.

A partir de ahora siempre que hablemos de clase k, entenderemosque k es indistintamente, a menos que se especifique lo contrario, unnumero natural 0, 1, . . . o bien , donde para k = 0 entenderemos quelas aplicaciones son continuas.

Definicion. Dada f : U R R diferenciable en x, llamamos deri-vada de f en x al numero real

f(x) = limt0

f(x + t) f(x)t

.


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1.1. Conceptos basicos 3

Observemos que este numero esta relacionado con la aplicacion linealfx L(R,R) por la igualdad

fx(h) = f(x) h.Regla de la cadena 1.1 a) Sean

F: U E1 V E2 , G : V W E3,

diferenciables en x U y F(x) = y, respectivamente. Entonces H =G F es diferenciable en x y se tiene que

Hx = Gy Fx.b) La composicion de aplicaciones de clase k es de clase k.

Definicion. Para cada abierto U del espacio vectorial E, denotaremos

Ck(U) = {f : U R, de clase k},

los cuales tienen una estructura natural deR

algebra y como veremosen (1.11), tambien de espacio topologico.

Proposicion 1.2 Sea F: U E1 V E2 una aplicacion. Entoncesson equivalentes:

a) F es de clase k.b) Para un sistema de coordenadas lineales yi en E2, fi = yi F

Ck(U).c) Para cadaf C

k

(V), fF Ck

(U), es decir tenemos el morfismode R-algebras.

F : Ck(V) Ck(U), F(f) = f F.

Definicion. Dada una funcion f C1(U), un v Ey p U, llamaremosderivada direccional de f relativa a v en p al valor

vp(f) = limt0

f(p + tv) f(p)t

.


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En particular si en Ehemos elegido un sistema de coordenadas linea-les xi con base dual ei, llamaremos derivada parcial iesima de f, a laderivada direccional de f relativa a ei y escribiremos

f

xi(p) = lim

t0f(p + tei) f(p)

t.

Si Ees de dimension 1, y x es la coordenada lineal correspondiente alvector no nulo e Eescribiremos

df

dx=

f

x.

Proposicion 1.3 f C

k(U) si y solo si para algun sistema de coordena-das lineales xi y por tanto para cualquiera, existen y son continuasen todo U las funciones Daf, para a = (a1, . . . , an) Nn, y

Da =|a|

a1x1 anxn , |a| = a1 + + an k.

Nota 1.4 Si E1 es de dimension n y E2 de m y U y V son sendos abiertosde E1 y E2, entonces si F: U V es diferenciable, biyectiva y F1 esdiferenciable, tendremos que n = m.

Esto se sigue facilmente de la regla de la cadena, pues si A es lamatriz jacobiana de F, en un punto x, y B la de F1, en el puntoy = F(x), entonces A B es la identidad en Rm y B A la identidaden Rn, de donde se sigue que A y B son cuadradas e inversas portanto n = m.

Definicion. Diremos que F: U E1 V E2 es un difeomorfismo declase k , si F es biyectiva, de clase k y su inversa es de clase k. Diremosque n funciones ui : U

R son un sistema de coordenadas de clase k

en U si paraF = (ui) : U Rn,

se tiene que F(U) = V es un abierto de Rn y F: U V es un difeo-morfismo de clase k. Por difeomorfismo a secas entenderemos de clase. Diremos que F: U E1 E2 es un difeomorfismo local de clase ken x U si existe un entorno abierto Ux de x en U tal que F(Ux) = Ves abierto y F: Ux V es un difeomorfismo de clase k. Diremos quen funciones ui : U

R son un sistema de coordenadas locales de clase

k en x U si F = (ui) : U Rn es un difeomorfismo local de clase ken x.


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1.1. Conceptos basicos 5

Nota 1.5 Observemos que si u1, . . . , un Ck(U) son un sistema de coor-denadas, entonces para F = (ui) : U Rn y F(U) = V abierto de Rntenemos que, para cada g

Ck(V),

g F = g(u1, . . . , un) = f Ck(U),

y recprocamente toda funcion f Ck(U) es de esta forma.Si E es de dimension 1, x es la coordenada lineal correspondiente

al vector e E y escribimos f en terminos de la coordenada lineal x,f = g(x), entonces

df

dx (p) = limt0f(p + te)

f(p)

t = limt0g[x(p) + t]

g[x(p)]

t = g[x(p)],

es decir que si f = g(x) entonces df/dx = g(x).

Teorema de la funcion inversa 1.6 Sea F: U E1 E2 de clase ken U. Entonces F es un difeomorfismo local de clase k en x U si ysolo si existen sistemas de coordenadas lineales xi enE1 e yi enE2, talesque para Fi = yi F

detFixj (x) = 0.Teorema de la funcion implcita 1.7 Sean F: U E1 E2 E1 declase k, (x0, t0) U tal que F(x0, t0) = 0 y para un sistema de coorde-nadas lineales xi enE1, el determinante de orden n

det

Fixj

(x0, t0)

= 0,

entonces existe un entorno V de t0 enE2 y una unica funcion g : V E1 de clase k, tal que g(t0) = x0 y para todo t V

F[g(t), t] = 0.


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1.2 El haz de funciones diferenciables

Hemos dicho que los Ck(U) tiene una estructura natural de R-algebra, esdecir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma de las funcionesconstantes. Pero ademas, si consideramos la familia de todos los Ck(U)cuando U recorre todos los abiertos de E, se tiene que la aplicacion

U (abierto) Ck(U) (anillo),es un haz de anillos , es decir satisface las propiedades:

a) Si U V son abiertos deE, entoncesf Ck(V) f(= f|U) Ck(U).

b) Dado un abierto U deEy un recubrimiento suyo por abiertos Ui,se tiene que si f: U R es tal que f Ck(Ui) para cada i, entoncesf Ck(U).

Otra importante propiedad, que veremos en esta leccion, nos dice que

cada funcion de Ck

(U) coincide, en un entorno de cada uno de los puntosde U, con una funcion de clase k en todo E, que ademas se anula fuerade U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones declase k en un abierto de E, nos basta con conocer las funciones de clasek en E. Esto podra parecer obvio en una ingenua primera observacion,pues cabra pensar que las funciones de clase k en un abierto U sonsimplemente las restricciones a ese abierto de las de clase k en E. Peroesto no es cierto considerese la funcion 1/x en el abierto (0, ) R.Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidas

por restriccion, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremosque son los cocientes de funciones de clase k de E, cuyos denominadoresno se anulen en U. Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.Veamos antes la existencia de funciones badenen Rn.

Proposicion 1.8 Sean C un cerrado y K un compacto de E disjuntos.Entonces existe h C(E) tal que Im(h) = [0, 1], h(K) = 1 y h(C) = 0.Demostracion. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en E, bastahacer la demostracion en R

n

, donde consideraremos la norma inducidapor el producto escalar < a, b >=

aibi, para a = (ai) y b = (bi).


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1.2. El haz de funciones diferenciables 7

Figura 1.1. Grafica de e

Consideremos la funcion de C(R)

e(t) = e1/t si t 0,

0 si t < 0.

Veremos en primer lugar que da-do r > 0 y a Rn se puede cons-truir una g C(Rn), positiva enB(a, r) = {x : x a < r}, que val-ga 1 en B[a,r/2] = {x : x a r/2}, y 0 fuera de B(a, r). Sea

g(x) = e(r2

x a 2

)e(r2 x a 2) + e( x a 2 (r/2)2) ,

y tomemos

r = d(C, K) = inf{ x y : x C, y K},entonces existen, por la compacidad de K, a1, . . . , ak K tales que

B(ai, r)

R

n

C , K

k

i=1 B(ai, r/2).Ahora para cada ai, construimos las funciones gi del principio, y

definimos

h(x) = 1 k

i=1

[1 gi(x)],

tal funcion es la buscada.

Corolario 1.9 Sea f C

k(U), con U abierto deE

y sea a

U. Entoncesexiste un abierto V, con a V U y F Ck(E), tales que F = f en Vy

sop(F) = Adh{F = 0} U.

Demostracion. Elijamos V y W abiertos tales que

a V Adh(V) W Adh(W) U,

con Adh(V) = K compacto. Apliquemos ahora (1.8) a K y C = E Wy definamos F = f h.


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Es facil ver que para todo abierto U de Eexiste una coleccion nume-rable de compactos Kn cuyos interiores son no vacos y recubren U. Si

E= Rn basta considerar para cada punto x

U de coordenadas racio-

nales, la bola abierta maxima centrada en x dentro de U y elegir la bolacerrada de radio la mitad si es finita si el radio es infinito entoncesU = E, en cuyo caso basta considerar Kn = B[0, n]. Ademas estoscompactos podemos considerarlos encajados, es decir tales que

Kn Kn+1,sin mas que considerar

K1, K1 K2, K1 K2 K3, . . .Para Eespacio vectorial finito dimensional, basta elegir una base y

repetir el argumento de la forma obvia.En estos terminos damos las siguientes definiciones.

Definicion. Para cada m N definimos la seminorma pm en C(U) dela forma,

pm(f) = sup

{|Daf(x)

|: x

Km,

|a

|m

},

y en Cr(U), para r 0,pm(f) = sup{| Daf(x) |: x Km, | a | r}.

Decimos que una sucesion fn Ck(U), donde k = 0, 1, . . . , , es deCauchy respecto de pm si para cada > 0 existe N N tal que

pm(fN+n fN) < ,

para todo n N.Decimos que una sucesion fn Ck(U) tiene lmite si existe f Ck(U)

tal que para toda m Nlim

npm(fn f) = 0.

Obviamente si el lmite existe es unico, pues para m = 0 vemos quetiene que ser el lmite puntual de las fn.

Observemos que las pm estan ordenadas,

pm pm+1,


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y que podemos definir el sistema fundamental de entornos convexos del0 Ck(U)

Bm =

{f

Ck(U) : pm(f)

1/m

}y que estos definen una topologa en Ck(U) independiente de los Knelegidos!.

Teorema 1.10 Si la sucesion fn Ck(U) es de Cauchy para toda pm,entonces tiene lmite, f = lim fn Ck(U), que para cualquier base {ei}de Ey cada a Nn, con | a | k, verifica

Da(lim fn) = lim(Dafn).

Ademas dada f Ck

(U) existe una sucesion de polinomios gn de Etales que restringidos a U, lim gn = f.

Demostracion. Veremos el caso k = para E= Rn, los demas sesiguen haciendo las oportunas modificaciones.

En primer lugar veamos que para todo a Nn, existe el lmite puntualga(x) = lim(D

afk(x)),

y que ga es una funcion continua en Rn.

Sea m |a|, entonces en el compacto Km se tiene(1.1) | DafN+k DafN | pm[fN+k fN]de donde se sigue que Dafk converge uniformemente en cada compactoKm, para m |a|, a una funcion continua ga. En particular para a =(0, . . . , 0), tendremos que

f(x) = lim fk(x),

es una funcion continua.Veamos por induccion en |a|, que Daf = ga.Para |a| = 0 es obvio. Supongamos entonces que |a| 1 y que

a1 1, donde a = (a1, . . . , an). Entonces, por la hipotesis de induccion,tendremos que Dbf = gb para b = (a1 1, a2, . . . , an). Y como

Da =

x1 Db,

bastara demostrar quegbx1

= ga.


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Sean (t1, . . . , tn) U, t R y m N, tal que para [0, 1] se tenga

(t1 + (1 )t, t2, . . . , tn) Km,

entonces tt1

Dafk(x, t2, . . . , tn)dx t

t1

ga(x, t2, . . . , tn)dx.

Ahora bien

t

t1

Dafk(x, t2, . . . , tn)dx = Dbfk(t, t2, . . . , tn) Dbfk(t1, . . . , tn),

por tanto haciendo k , tendremos quett1

ga(x, t2, . . . , tn)dx = gb(t, t2, . . . , tn) gb(t1, . . . , tn),

lo cual implica que gb/x1 = ga.Tenemos entonces que para cada a Nn,

Dafk Daf,uniformemente en cada compacto Km, para m | a |. De aqu se sigueque

pm(fk f) 0,y f = lim fk. Pero ademas pm(D

afk Daf) 0 por tanto

Daf = lim(Dafk).

Veamos ahora que los polinomios son densos.Dada f C(U) y N N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,

que para a = (N , . . . , N ) Nn existe una sucesion de polinomios queconvergen uniformemente a Daf en KN. Integrando y aplicando denuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva tendremosque existe una sucesion de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi) N

n, con bi N, las sucesiones DbrN,n convergen uniformemente en KNa Dbf. Ahora elegimos gN como cualquier polinomio rN,n , tal que para

toda b, con bi N | DbrN,n Dbf | 1N

,


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en KN. Esta sucesion de polinomios gN satisface lim gN = f, pues paraj N, Kj KN y como bi bi =| b |, se tiene

pj (gN f) sup{| Db

gN Db

f |: x Kj , | b | j}(1.2) sup{| DbgN Dbf |: x KN, bi N} 1

N.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que con esta topologa la suma y el producto deCk(U) son operaciones continuas.

El teorema anterior se expresa diciendo:

Teorema 1.11 Las pm definen en Ck(U) una topologa localmente con-vexa, respecto de la que dicho espacio es completo y los polinomios sondensos.

Teorema 1.12 Para cada abierto U de Ey parak = 0, 1, . . . , , se tieneque

Ck(U) = { g

h

|U

: g, h Ck(E), h = 0 en U}.

Demostracion. Sea {Bn : n N} un recubrimiento de U formadopor bolas abiertas cuyas adherencias esten en U. Y consideremos paracada n N una funcion gn C(E) como la definida en (1.8),positiva en Bn y nula en su complementario.

Sea f Ck(U) y definamos las funciones de Een R

g =

2nf gn

1 + rn + sn, h =

2n

gn1 + rn + sn

,

donde rn = pn(f gn) y sn = pn(gn). Basta demostrar entonces queg, h Ck(E), lo cual es evidente por el teorema anterior, dado que ambasseries son de Cauchy para toda pm. Por ultimo es obvio que h = 0 en Uy que para cada x U, g(x) = h(x)f(x), es decir que g = hf.

Nota 1.13 Observemos que en el resultado anterior hemos probado quetodo cerrado de Ees de la forma

{x

E: h(x) = 0

},

para una h C(E).


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Definicion. Podemos decir en base a estos resultados que la estructuraCkdiferenciable de E, que esta definida por todas las Ralgebras Ck(U),cuando U recorre los abiertos de

E, queda determinada exclusivamente

por Ck(E) y los abiertos de E. Y podemos entender la variedad Ckdiferenciable E, como el par formado por el espacio topologico Ey porCk(E).

1.3 Espacio Tangente. Fibrado Tangente

A lo largo de la leccion Eo E1 seran espacios vectoriales reales de dimen-sion n y E2 de dimension m.

En la leccion 1 hemos visto que cada vector v E define en cadapunto p Euna derivada direccional vp de la forma siguiente

vp : C(E) R, vp(f) = limt0 f(p + tv) f(p)t ,

Es facil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satis-face la regla de Leibnitzdel producto. Esto nos induce a dar la siguientedefinicion.

Definicion. Llamaremos vector tangente en un punto p E, a todaderivacion

Dp : C(E) R

,es decir a toda funcion que verifique las siguientes propiedades:

a) Linealidad.- Dp(tf + sg) = tDpf + sDpg.

b) Anulacion constantes.- Dpt = 0.

c) Regla de Leibnitz en p.- Dp(f g) = f(p)Dpg + g(p)Dpf,

para cualesquiera t, s R y f, g C(E).Este concepto nos permite definir, en cada punto p

E, un espacio

vectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferen-ciable de E.


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1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 13

Definicion. Llamaremos espacio tangente a Een p, al espacio vectorialreal Tp(E) de las derivaciones en p, con las operaciones

(Dp + Ep)f = Dpf + Epf(tDp)f = t(Dpf),

para Dp, Ep Tp(E), f C(E) y t R.

Definicion. Dado un sistema de coordenadas lineales xi, correspondientea una base {ei} en E, consideramos para cada p Ee i = 1, . . . , n, loselementos de Tp(E)

xi

p

: C(E) R,

xi

p

f = limt0

f(p + tei) f(p)t

.

Si no hay confusion usaremos la notacion ip = (/xi)p.

Formula de Taylor 1.14 Sea U E un abierto convexo, a U y xi C(U) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:

a) ma = {f C(U) : f(a) = 0} es un ideal maximal real generadopor x1 a1, . . . , xn an, donde ai = xi(a).

b) Dada f C(U), existen h1, . . . , hn C(U) tales que

f = f(a) +n

i=1

hi(xi ai).

Demostracion. (a) Consideremos el morfismo de Ralgebras

H: C(U) R , H(f) = f(a),

para el que ker H = ma e Im H = R, por tanto C(U)/ma R.Dadas f1, . . . , f n C(U) es obvio que

fi(xiai) ma y tenemos

una inclusion, veamos la otra, que ma (x1 a1, . . . , xn an). Paraello sea f(x1, . . . , xn) ma, x U y definamos la funcion diferenciable

g : [0, 1] R , g(t) = f[tx + (1 t)a].


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Ahora por la regla de la cadena

f(x) = g(1)

g(0) =

1

0

g(t)dt

=

10

n

i=1

f

xi[tx + (1 t)a]

(xi ai)

dt

=

ni=1

hi(x)(xi ai),

donde

hi(x) = 1

0 fxi [tx + (1 t)a] dt C(U).Proposicion 1.15 Las derivaciones (/xi)a definidas anteriormente sonbase de Ta(E).

Demostracion. Que son independientes es una simple consecuenciade que xi/xj = ij . Veamos que son generadores, para ello sea Da Ta(E) y f C(E), entonces f f(a) ma y por (1.14)

f = f(a) +n

i=1

hi(xi ai),

donde a = (ai). Se sigue que xj

a

f =n

i=1

hi(a)xixj

(a) = hj (a),

Daf =

ni=1

hi(a)Daxi =

ni=1

[Daxi]iaf,

es decir Da =

[Daxi]ia.

Nota 1.16 Observemos que al ser E un espacio vectorial tenemos unaidentificacion canonica entre todos los espacios tangentes, pues todos sonisomorfos a Ede la siguiente forma, para cada a E

E Ta(

E) , v va,

siendo vaf la derivada direccional de f relativa a v en a.


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1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 15

Ademas si elegimos un sistema de coordenadas lineales xi en E, co-rrespondientes a la base ei, tendremos que en terminos de las bases eiy ia la aplicacion anterior se representa por la matriz identidad, pues

para cada i, E Ta(E) , ei ia.

Nota 1.17 El espacio vectorial Ta(E) podamos haberlo definido comoel espacio vectorial de las derivaciones

(1.3) Da : C(U) R,con la regla de Leibnitz en a, siendo U un abierto entorno de a. Puesdada una derivacion del tipo (1.3), tendremos por restriccion a U una

derivacion de Ta(E). Y recprocamente dada una derivacion de Ta(E),como es de la forma

tiia fijado un sistema de coordenadas lineales

xi, define una unica derivacion del tipo (1.3).Es facil probar que ambas transformaciones son lineales e inversas,

es decir que es un isomorfismo. Para verlo basta usar (1.9) y que Dafno cambia si cambiamos F fuera de un entorno de a.

Por otra parte, para r 1, toda derivacion con la regla de Leibnitzen a

(1.4) Da : Cr(U) R,define una derivacion de Ta(E), pues C(U) Cr(U). Y recprocamente,toda derivacion (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacersepues segun vimos antes, toda derivacion (1.3) es de la forma

tiia que

esta definido en las funciones de clase 1.Sin embargo estas dos transformaciones no son inversas, pues en el se-

gundo caso no extendemos de modo unico. Es decir que las derivacionesde Cr(U) en el punto a forman un espacio vectorial con demasiados ele-mentos. Pero si solo consideramos las continuas respecto de la topologadefinida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo a Ta(E).

Para r = tenemos la suerte de que toda derivacion es automati-camente continua respecto de la topologa de (1.10), pues es de la forma

tiia y estas se extienden a una derivacion Da en Cr(E) de formacontinua de un unico modo, a saber

tiia, pues los polinomios son

densos y sobre ellos Da =

tiia.

Finalicemos analizando si existiran derivaciones en a

Esobre las

funciones continuasDa : C(E) R.


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La contestacion es que no, pues si f C(E) y f(a) = 0 en ca-so contrario pondramos f f(a), tendremos que existen funcionescontinuas

g = max(f, 0), h = max(f, 0) C(E),tales que f = g2 h2 y g(a) = h(a) = 0. Por tanto

Daf = 2[g(a)Dag h(a)Dah] = 0.Definicion. Sean U E1, V E2 abiertos y F: U V de clase 1.Llamaremos aplicacion lineal tangente de F en x U a la aplicacion

F

: Tx(

E1)

TF(x)(

E2),

tal que para cada Dx Tx(E1), F(Dx) = Dx F, es decir que paracada f C(V) se satisface

[FDx]f = Dx(f F).

Dx x

F(C )

F(C )

F(x) F (D )* x

Figura 1.2.

Ejercicio 1.3.1 Demostrar las siguientespropiedades de la aplicacion lineal tangente:

a) Si V = U y F = id, entonces paracada x E, F = id.b) Regla de la cadena.- Si F: U

V y G : V W son diferenciables,siendoU E1, V E2 y W E3 abiertos,entonces

(G F) = G F.c) Elegir sistemas de coordenadas lineales en cada espacio vectorial Ei y

escribir la igualdad anterior en la forma matricial asociada.

Teorema de la funcion inversa 1.18 Una aplicacionF: U E1 E2,de clase k es un difeomorfismo local de clase k en un punto x U si ysolo si F : Tx(E1) TF(x)(E2) es un isomorfismo en x.

Demostracion. Es consecuencia de (1.6) y de la expresion matricialde F.

Definicion. Llamaremos fibrado tangente del abierto U de E, a la unionT(U) de todos los espacios Ta(E), para a U, con la estructura to-pologica y diferenciable definida por la siguiente biyeccion canonica

T(U) U E, va (a, v),


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1.4. Campos tangentes 17

donde va Ta(E) es la derivada direccional en a relativa al vector v E.Llamaremos aplicacion proyeccion canonica en U a la aplicacion

: T(U) U , (vp) = p,si vp Tp(E).

1.4 Campos tangentes

1.4.1 Campos tangentes

Definicion. Por un campo de vectores en un abierto U de un espaciovectorial Eentenderemos una aplicacion

F: U E.Diremos que el campo es de clase k si F es de clase k.

Figura 1.3. Campo de vectores

La interpretacion de una aplica-cion F como un campo de vecto-res queda patente en la figura (1.3),donde hemos representado en cadapunto (x, y) del plano real el vectorF(x, y) = (cos xy, sen(x y)). Aun-que esta definicion es muy visual ysugerente, tiene el problema de no

ser muy manejable y la desventaja denecesitar la estructura vectorial de Epara que tenga sentido. Por ello recordando que un vector v = F(p) Een un punto p U define una derivacion vp Tp(E), damos la siguientedefinicion equivalente, aunque solo como justificacion para una posteriordefinicion mejor.

Definicion. Llamaremos campo de vectores tangentes , de clase k, enU, a un conjunto de vectores

{Dp Tp(E) : p U},


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que satisfacen la siguiente condicion:Para cada f C(U), la funcion

p U Dpf R,esta en Ck(U).

Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp}pU esequivalente a dar una seccion de : T(U) U

: U T(U), (p) = Dp.

Ejercicio 1.4.1 a) Demostrar que existe una biyeccion entre campos de vecto-res F : U

Ede clase k y campos de vectores tangentes

{Dp

Tp(

E) : p

U} de clase k, que verifica:i) Si a F le corresponde {Dp} y a G {Ep}, entonces a F+ G le corresponde

{Dp + Ep}.ii) Si a F le corresponde {Dp} y f Ck(U), entonces a f F le corresponde

{f(p)Dp}.b) Demostrar que {Dp Tp(E) : p U} es un campo de vectores tangentes

de clase k si y solo si la aplicacion : U T(U), (p) = Dp es una seccionde , de clase k.

Definicion. Llamaremos campo tangente de clase k en el abierto U deEa toda derivacionD : C(U) Ck(U),

es decir toda aplicacion que verifique las siguientes condiciones:

1.- D(tf + rg) = tDf + rDg,2.- Dt = 0,3.- Regla de Leibnitz: D(f g) = f(Dg) + g(Df),

para f, g C(U) y t, r R.Definicion. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integralprimera de D a toda funcion f Ck+1(U) tal que

Df = 0.

Nota 1.19 Denotaremos con Dk(U) el conjunto de los campos tangentesa U de clase k, y por comodidad para k = escribiremos D(U) =

D(U). Observemos que tenemos las inclusiones

D(U) Dk(U) D0(U),


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por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los masgenerales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los camposlocalmente lipchicianos, que denotaremos con

DL(U) y que estan entre

los de clase 1 y los continuos y que seran los que consideremos paraestudiar el problema de unicidad de solucion de una ecuacion diferencial.

En Dk(U) definimos la suma de dos campos D, E Dk(U) y elproducto de una funcion g Ck(U) por un campo D, de la forma,

(D + E)f = Df + Ef,

(gD)f = g(Df),

para toda f C(U). Tales operaciones dotan a Dk(U) de una estruc-tura de modulo sobre la Ralgebra Ck(U), pues se tienen las siguientespropiedades,

f(D + E) = f D + f E,

(f + g)D = f D + gD,

(f g)D = f(gD),

1D = D.

y para cada k, Dk(U) forman un haz de modulos.A continuacion veremos que dar un campo tangente de clase k en U

consiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangenteen cada punto de U.

Proposicion 1.20 Existe una biyeccion entre campos tangentes de clasek y campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene:

a) Si D, E D

k(U) y p

U, entonces (D + E)p = Dp + Ep.b) Si f Ck(U), entonces (f D)p = f(p)Dp.

Demostracion. Dada la D definimos los Dp de la forma.

Dpf = Df(p).

Recprocamente dado un vector Dp Tp(E), en cada p U, defini-mos el campo tangente D Dk(U) de la forma

Df(p) = Dpf.


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Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E, es facil demostrarque los operadores diferenciales

xi: C(U) C(U),

f

xi(p) = lim

t0f(p + tei) f(p)

t,

para cada p U y cada f C(U), son derivaciones /xi D(U).Si no hay confusion usaremos la notacion i = /xi.

A continuacion veremos que Dk(U) es un modulo libre sobre Ck(U)con base las i.

Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas lineales xi en Ey D Dk(U), existen unicas funciones fi Ck(U) tales que

D =n

i=1

fi

xi,

Demostracion.- Que la expresion es unica es inmediato aplican-dosela a las xi. Para ver que existe basta demostrar que D = (Dxi)i,pues Dxi Ck(U). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y(1.20).

Definicion. Dados U W abiertos de Ey D Dk(W), definimos larestriccion del campo D a U como el campo de D(U), correspondientepor (1.20) a

{Dp Tp(E) : p U},o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restriccion a U de laaplicacion de clase k, F: W

E, correspondiente a D.

Es facil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales enE, entonces la restriccion del campo

D =n

i=1

Dxi

xi,

a U es la derivacionn

i=1 fi

xi

,

para fi = Dxi|U, la restriccion a U de Dxi.


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Nota 1.22 Observese que toda derivacion de Dk(U) es automaticamentecontinua, por (1.21), respecto de la topologa definida en (1.10).

Observese tambien que toda derivacion

D : Ck+1(U) Ck(U),define una derivacion de Dk(U), pues C(U) Ck+1(U), es decir deltipo

fii dado un sistema de coordenadas lineales xi, con las fi

de clase k. Recprocamente toda derivacion

fii Dk(U), con lasfi C(U), se extiende no de un unico modo, a una derivaciondel tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extension sea continua respecto de la topologa definida en (1.10), tendremos que s es unicay es fii. Demuestrese eso como ejercicio.Definicion. Dada F: V E2 U E1 de clase k + 1, y dos campostangentes D Dk(V) y E Dk(U) diremos que F lleva D a E, si paracada x V

FDx = EF(x).

Figura 1.4. F lleva el campo D al campo E

Si E1 = E2, U V W abierto y D Dk(W) diremos que F dejainvariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x VFDx = DF(x).

Proposicion 1.23 Sea F: U E1 V E2, de clase k + 1, D Dk(U)y E Dk(V). Entonces son equivalentes:

i) F lleva D en E.ii) FD = FE.iii) D

F = F

E.

Demostracion. Hagase como ejercicio.


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1.4.2 Campo tangente a soporte.

Consideremos una aplicacion de clase infinito

F : V E2 U E1.Definicion. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativoa F, de clase k, a las derivaciones

DF : C(U) Ck(V),con la regla de Leibnitz

DF

(f g) = DF

f Fg + Ff DF

g.

Denotaremos con DFk (U) el Ck(V)modulo de estos campos con lasoperaciones

(DF + EF)f = DFf + EFf, (g DF)f = g DFf.

Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte declase k r como las derivaciones

DF : C(U) Ck(V).

Definicion. Dada la aplicacion F de clase , definimos los morfismosde modulos

F : D(V) DF(U) , (FD)f = D(Ff),F : D(U) DF(U) , (FD)f = F(Df),

Nota 1.25 Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los camposde clase r k.

Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores

{DFp TF(p)(E1) : p V},con la propiedad de que para cada f C(U), la funcion

p V DFp f R,

esta en C(V) y el espacio DF(U), existe una biyeccion verificando las siguien-tes condiciones:


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i) Si DF, EF DF(U), entonces para cada p V(DF + EF)p = D

Fp + E

Fp .

ii) Si f C(V), entonces para cada p V(f DF)p = f(p) DFp .

Ejercicio 1.4.3 Sea F: V E2 U E1, diferenciable. Demostrar quei) Para cada D D(V) y p V

(FD)p = FDp.

ii) Para cada campo D D(U) y p V

[FD]p = DF(p),

y que DF(U) es un modulo libre con base

F

xi

,

para cada sistema de coordenadas lineales xi en U.iii) Que {DFp TF(p)(E1) : p V}, satisface las condiciones de (a) y

por tanto define un campo a soporte DF DF(U) si y solo si

: V T(U) , (p) = DFp ,es una aplicacion de clase , tal que = F.

1.4.3 Campo a soporte universal.

Consideremos en Eun sistema de coordenadas lineales xi y en UElascoordenadas (xi, zi) naturales, es decir

xi(p,v) = xi(p) , zi(p,v) = xi(v),

ahora pasemoslas a T(U) por la biyeccion

T(U) U E,vp (p,v),

xi(vp) = xi(p),

zi(vp) = xi(v) = vpxi,

Es decir que vp T(U) tiene coordenadas (p1, . . . , pn, v1, . . . , vn) siy solo si p = (vp) tiene coordenadas (p1, . . . , pn) y

vp =n

i=1

vi xi

p


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Definicion. Llamaremos campo a soporte universal en U al campo tan-gente a U con soporte en T(U), E D(U), que por el ejercicio (1.4.3)queda determinado por la aplicacion identidad

: T(U) T(U) , (Dp) = Dp,es decir que para cada v T(U) verifica

Ev = v.

Ademas en las coordenadas (xi, zi) de T(U), vemos por el ejercicio(1.4.3), que

E =

ni=1

zi xi ,

pues para cada Dp T(U)Exi(Dp) = Dp(xi) = zi(Dp).

1.5 Espacio cotangente. La diferencial

Definicion. Para cada x Edenotaremos con Tx (E) el espacio vectorialdual de Tx(E), es decir el espacio vectorial real de las formas Rlineales(o 1formas)

x : Tx(E

)

R,

al que llamaremos espacio cotangente de Een x y vectores cotangentes asus elementos.

Definicion. Dada F: U E1 V E2 de clase 1 y dados x U ey = F(x), llamaremos aplicacion lineal cotangente de F en x a

F : Ty(E2) Tx(E1),la aplicacion dual de F

: Tx(

E1)

Ty(

E2). Es decir tal que

F(y) = y F.


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1.5. Espacio cotangente. La diferencial 25

Definicion. Dado un punto x E, llamaremos diferencial en x, a laaplicacion

dx :

C1(

E)

Tx (

E),

tal que para cada f C1(E) y para cada Dx Tx(E)

dxf: Tx(E) R, dxf(Dx) = Dxf.

A la 1forma dxf la llamamos diferencial de f en x.

Ejercicio 1.5.1 Dada F: U E1 V E2, de clase 1, demostrar las siguien-tes propiedades de F:

(a) Si U = V y F = id, entonces F = id.

(b) Si F: U V y G : V W, son de clase 1, con U E1, V E2 yW E3 abiertos, entonces

(G F) = F G.

(c) Si F es un difeomorfismo, entonces F es un isomorfismo.(d) Para x U e y = F(x), F dy = dx F.

Ejercicio 1.5.2 Demostrar que dx es una derivacion en x.

Hemos visto en (1.15), que para cada sistema de coordenadas li-neales xi de E, las derivaciones (ix) son base de Tx(E). Se sigue portanto de la definicion de diferencial, que las dxx1, . . . , dxxn son la basedual en Tx (E), puesto que

dxxi

xj

x

= ij ,

ademas el isomorfismo canonico

E Tx(

E), induce otro que es la

restriccion de dx a EE Tx (E) , xi dxxi.

1.5.1 Interpretacion geometrica de la diferencial.

Veamos ahora el significado geometrico de dxf, para cada x Ey cadaf C1(E). Se tiene que

(1.5) dxf =n

i=1

fxi

(x) dxxi.


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la cual corresponde por el isomorfismo anterior a la funcion lineal

n

i=1 fxi (x)xi,cuya grafica es el hiperplano tangente a la grafica de f en el punto x.En particular en R tenemos que para f: R R, dxf: Tx(R) R

Figura 1.5. Graficas de f y dxf en R

y en R2, f: R2 R, dxf: Tx(R2) R,

Figura 1.6. Graficas de f y dxf en R2

Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para p U y dpf = 0, el hiperplano (verFig.1.7)

H = {Dp Tp(E) : dpf(Dp) = 0},es tangente a la hipersuperficie S = {x : f(x) = f(p)}, en el sentido de quecoincide con el conjunto de vectores Dp Tp(E), para los que existe una curvaX : I U tal que

X(0) = p, X(t) S, X t

0

= Dp.


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1.5. Espacio cotangente. La diferencial 27

Ejercicio 1.5.4 Dar la ecuacion del plano tangente al elipsoide

4x2 + y2 + 5z2 = 10,

en el punto (1, 1, 1).

Figura 1.7. Plano tangente a una superficie

1.5.2 Fibrado cotangente.

Igual que todos los espacios tangentes eran canonicamente isomorfos alespacio vectorial inicial E, tambien todos los espacios cotangentes soncanonicamente isomorfos al dual E de E. Esto nos permite definir unabiyeccion canonica

T(U) U E, p (p,w),

donde T(U) es la union disjunta de los espacios cotangentes de puntosde U.

Definicion. Sea U un abierto de E. Llamaremos fibrado cotangente deU, al conjunto T(U) union de todos los espacios cotangentes Tx (E), parax U, dotado de la estructura diferenciable natural, correspondientepor la biyeccion anterior, a la de U

E, que es un abierto del espacio

vectorial de dimension 2n, E E.Para cada T(U) existira un unico x U tal que Tx (E),

podemos as definir la aplicacion proyeccion

: T(U) U,

tal que () = x. De tal modo que las fibras de cada x U son

1(x) = Tx (E).


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1.6 Uno formas

Definicion. Para cada abierto U E, denotaremos con (U) el dualde D(U) respecto de C(U), y en general con k(U) el dual del modulode los campos tangentes Dk(U) respecto de Ck(U), es decir de las apli-caciones Ck(U)lineales

: Dk(U) Ck(U),

que llamaremos 1formas en U, dotadas de las operaciones de Ck

(U)modulo,

(1 + 2)D = 1D + 2D, (f )D = f(D),

y para cada k, k(U) forman un haz de modulos.

Definicion. Llamaremos diferencial a la aplicacion

d :

Ck+1(U)

k(U) , df(D) = Df,

para cada f Ck+1(U) y D Dk(U) (ver (1.22).)Definicion. Diremos que una 1forma k(U) es exacta si existef Ck+1(U) tal que

= df.

Ejercicio 1.6.1 Demostrar que la diferencial es una derivacion.

Ejercicio 1.6.2 Demostrar que k(U) es unCk(U)modulo libre con base dxi,

para cada sistema de coordenadas lineales xi, y que para toda f Ck+1(U)

df = f

xidxi.

Nota 1.26 Observemos que para una variable, la formula anterior dice

df =df

dxdx.

Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelacion de dife-renciales.


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1.6. Uno formas 29

Nota 1.27 Debemos observar que en Rn aunque la nocion de dx1 tienesentido, pues x1 es una funcion diferenciable, la de /x1 no lo tiene,pues para estar definida necesitamos dar a la vez todas las funciones

coordenadas x1, . . . , xn.Para verlo consideremos en R2 las coordenadas (x, y) y otras coorde-

nadas (x, x + y). En cada caso la /x tiene un significado distinto, puesmientras en el primero (x + y)/x = 1, en el segundo (x + y)/x = 0.

Definicion. Llamaremos campo de vectores cotangentes de clase k en Ua toda coleccion

{x Tx (E) : x U},para la que, dado D Dk(U) y sus vectores correspondientes Dx, laaplicacion

x U xDx R,es de clase k.

Ejercicio 1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorial E, el concepto campode vectores cotangentes de clase k en el abierto U es equivalente al de aplicacion

de clase k, F: U E

.2.- Demostrar que existe una biyeccion entre las 1formas k(U) y loscampos de vectores cotangentes en U de clase k, para la que se tiene:

(1 + 2)x = 1x + 2x,

(f )x = f(x)x,

(df)x = dxf

para , 1, 2 k(U), x U y f Ck(U).

Ejercicio 1.6.4 Demostrar que (U) si y solo si : p U p T(U)es una seccion de .

Teorema 1.28 El fibrado cotangente tiene una 1forma canonica lla-mada unoforma de Liouville.

Demostracion. Para cada p U y Tp (E) definimos w = ,es decir que para cada Dw

Tw[T

(U)],

wDw = [Dw].


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Dado un sistema de coordenadas lineales xi en Ey sus duales zi en E,consideremos el sistema de coordenadas (xi, zi) en T

(U) UE, paralas que, si p se corresponde con (p,), entonces

xi(p) = xi(p), zi(p) = zi() = p(ip),

y en este sistema de coordenadas se tiene que

=n

i=1

zidxi,

lo que prueba su diferenciabilidad.

Ahora veremos una propiedad caracterstica de las funciones y de las

1formas, pero de la que los campos tangentes carecen.Teorema 1.29 Sea F: U E1 V E2, de clase k + 1. Entonces paracada k(V) existe = F() k(U), definida en cada x U dela forma

x = FF(x).

Ademas F : k(V) k(U) es un morfismo de modulos, que conservala diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, para g Ck(V)y i k(V):

F(1 + 2) = F1 + F2,F[g] = [Fg][F],

F(dg) = d(Fg).

Demostracion. Dado un sistema de coordenadas lineales yi en E2,existen gi Ck(V) tales que

=

gj dyj ,

entonces si llamamos Fj = yj F, tendremos que para cada x Ux = F

[F(x)]

=

gj [F(x)]F(dF(x)yj )

=

gj [F(x)]dxFj ,

y si consideramos un campo de vectores tangentes Dx, correspondientesa un campo D D(U), la funcion que a cada x U le hace corresponder

xDx = gj [F(x)]DFj (x),es diferenciable. El resto lo dejamos como ejercicio para el lector.


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1.6. Uno formas 31

1.6.1 Campos gradiente.

Figura 1.8. Gradiente de x2 + y2

Por ultimo si en un espacio vecto-

rial E tenemos un producto interior< , >, entonces Ey E se identificancanonicamente por el isomorfismo

E E , v < v, > .y en todos los espacios tangen-tes Tp(E) tenemos definido un pro-ducto interior, pues todos soncanonicamente isomorfos a

E. Esto

nos permite identificar Tp(E) y Tp (E), para cada p E, mediante elisomorfismo

(1.6) Tp(E) Tp (E), Dp < Dp, >,y tambien nos permite definir para cada dos campos D, E Dk(U), lafuncion < D, E >, que en cada x vale < Dx, Ex >, la cual es de clase k,pues si en Eelegimos una base ortonormal ei, entonces la base dual xitambien es ortonormal y por tanto tambien lo son las bases

xi

x

Tx(E), dxxi Tx (E)),

y se tiene que para D =

fixi, E =

gixi,

< D, E >=n

i=1

figi.

Por tanto podemos definir el isomorfismo de modulos: Dk(U) k(U),

D D,D(E) =< D, E > .

Definicion. Dado en Eun producto interior, llamaremos gradiente deuna funcion f Ck+1(U), al campo grad f = D Dk(U) tal que

D = df,

es decir el campo D que en cada punto p U define el vector Dp corres-pondiente por (1.6) a dpf.


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Ejercicio 1.6.5 Consideremos un producto interior < , > en E, una baseortonormal ei y el sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a estabase. Demostrar que:

1.- Para toda f Ck+1

(U)

grad f = f

xi

xi Dk(U).

2.- Demostrar que el campo D = grad f, es un campo perpendicular a lassuperficies de nivel de f. (Ver Fig.1.8)

3.- Demostrar que si U R2, entonces el campo grad f define en cadapunto x el vector Dx el cual indica la direccion y sentido de maxima pendientede la grafica de f en el punto (x, f(x)).

1.7 Sistemas de coordenadas

Proposicion 1.30 Las funciones v1, . . . , vn Ck

(U) son un sistema decoordenadas locales de clase k en x U si y solo si las dxvi son base deTx (E).

Demostracion. Por el teorema de la funcion inversa sabemos que(vi) es un sistema de coordenadas locales en x U si y solo si, dado unsistema de coordenadas lineales xi, se tiene que

det

vixj

= 0,

y esto equivale a que los vectores cotangentes

dxvi =n

j=1

vixj

(x)dxxj ,

sean base.

Nota 1.31 Observemos que de este resultado se sigue que si las diferen-ciales de un numero finito de funciones diferenciables, son independientes

en un punto, tambien lo son en un entorno del punto, pues pueden ex-tenderse a una base.


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1.7. Sistemas de coordenadas 33

Consideremos un difeomorfismo de clase k + 1

F = (v1, . . . , vn) : U E F(U) = V Rn,entonces las 1formas

dv1, . . . , d vn,

son base de k(U), pues dado un sistema de coordenadas lineales xi enE, tendremos que

dvi =n

j=1

vixj

dxj .

Definicion. En los terminos anteriores denotaremos con

v1

, . . . , vn

Dk(U),

la base dual de las dvi. Si Ees de dimension 1, y v es una coordenadade U E, escribiremos

df

dv=

f

v.

Ejercicio 1.7.1 En los terminos anteriores demostrar que: 1) Para y1, . . . , ynlas proyecciones de Rn, y para cada p

U, se tiene que

F

vi

p

=

yi

F(p)

.

2) Si f = g(v1, . . . , vn), entonces

f

vi=

g

yi(v1, . . . , vn).

3) Para cada f C1(U),

df =n

i=1

fvi

dvi.

4) Para cada k(U),

=n

i=1

vi

dvi.

5) Para cada campo D Dk(U)

D =

ni=1

Dvi vi.


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Ejercicio 1.7.2 Demostrar que si (u1, . . . , un) y (v1, . . . , vm) son sistemas decoordenadas de clase k en abiertos U E1 y V E2 respectivamente, entonces(w1, . . . , wn+m) tales que para (p,q) U V

wi(p,q) = ui(p) , para i = 1, . . . , n ,

wn+j(p,q) = vj(q) , para j = 1, . . . , m ,

son un sistema de coordenadas de clase k en U V.

Ejercicio 1.7.3 Demostrar que las funciones

=

x2 + y2, =

arccos x/x2 + y2 (0, ) si y > 0,arccos x/x2 + y2 (, 2) si y < 0,arcsin y/

x2 + y2 (/2, 3/2) si x < 0.

forman un sistema de coordenadas llamadas polares de clase en elabierto

R2 {(x, 0) R2 : x > 0}.

Ejercicio 1.7.4 i) En los terminos del ejercicio anterior calcular:

x2

,

x,

[log () y]

,xy

.

ii) Escribir en las coordenadas polares los campos

x

x+ y

y, y

x+ x

y,

y dar una integral primera de cada uno.

iii) Escribir en coordenadas (x, y) los campos:

,

,

,

+

.

iv) Escribir en coordenadas polares las 1formas

dx, dy, xdx + ydy,1

ydx x

y2dy.

v) Escribir en coordenadas (x, y) las 1formas

d, d, d + d.


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1.8. Ecuaciones diferenciales 35

Ejercicio 1.7.5 a) Encontrar dos integrales primeras del campo de R3

D =

y

x+ x

y+ (1 + z2)

z.

b) Encontrar una integral primera comun a los campos de R3

D = y x

+ x

y, E = 2xz

x+ 2yz

y+ (x2 + y2 1 z2)

z.

1.8 Ecuaciones diferenciales

Definicion. Llamaremos curva parametrizada en el abierto U de E atoda aplicacion de clase 1, definida en un intervalo real

X: I R U.

Figura 1.9. Curva integral de D

Definicion. Dado D Dk(U) y p U, diremos que una curva parametri-zada X : I U es una solucionde la ecuacion diferencial ordinaria(EDO) autonoma definida por D, ouna curva integral de D, si para cada

t IX

t

t

= DX(t).

Sea xi un sistema de coordenadas en Ey D =

fi(x1, . . . , xn)i. Sidenotamos con

Xi(t) = xi[X(t)],

para X una curva integral de D, tendremos que

Xi(t) = fi[X1(t), . . . , X n(t)].


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Ejercicio 1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de un campo D esconstante en cada curva integral X de D, es decir que f X = cte.

Ejercicio 1.8.2 Encontrar la curva integral en forma implcita, del campode R3

D = y x

+ x

y+ (1 + z2)

z,

que pasa por (1, 0, 0).

1.8.1 Cambio de coordenadas.

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coordena-das xi

Xi(t) = fi[X1(t), . . . , X n(t)],y dado otro sistema de coordenadas v1, . . . , vn, podemos escribir el sis-tema de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que si

D =n

i=1

fi(x1, . . . , xn)

xi=

ni=1

(Dvi)

vi

=

n

i=1

n

j=1 fj (x1, . . . , xn)vixj

vi

=n

i=1

nj=1

hij (v1, . . . , vn)

vi

,

entonces las componentes de X en el sistema de coordenadas vi, Yi =vi X, satisfacen el sistema de ecuaciones

Yi (t) =n

j=1 hij [Y1(t), . . . , Y n(t)].Ejercicio 1.8.3 Obtener la expresion anterior aplicando la regla de la cadenaa Yi = (vi X).

Ejercicio 1.8.4 Escribir los sistemas de ecuaciones diferenciales

x = yy = x

x =x

y2

y =1

y

en el sistema de coordenadas polares.


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1.8. Ecuaciones diferenciales 37

1.8.2 Ecuaciones diferenciales no autonomas.

Si I es un intervalo abierto de R y U es un abierto de E, en IU tenemosuna derivada parcial especial, aunque no hayamos elegido un sistema decoordenadas en E.Definicion. Llamaremos /t al campo tangente de D(I U) tal quepara cada f C(I U)

f

t(t, p) = lim

r0f(t + r, p) f(t, p)

r,

el cual verifica t/t = 1 para la funcion de I

U, t(r, p) = r.

Definicion. Llamaremos solucion de una ecuacion diferencial ordinariano autonoma definida en I U, a la proyeccion en U de las curvasintegrales X de los campos D D(I U), tales que

Dt = 1 , t X = id.

Si en U consideramos un sistema de coordenadas xi y en I U con-sideramos el sistema de coordenadas (t, x1, . . . , xn), entonces los campos

D D(IxU) tales que Dt = 1, son de la formaD =

t+ f1(t, x1, . . . , xn)

x1+ + fn(t, x1, . . . , xn)

xn,

y si X es una curva integral suya y llamamos X0 = t X, Xi = xi X,tendremos que

X0(r) = 1,

es decir que existe una constante k, tal que para todo r,

t[X(r)] = X0(r) = r + k,

y nuestras soluciones (t X = id) son las que corresponden a k = 0. Portanto en coordenadas la solucion X1, . . . , X n de una ecuacion diferencialordinaria no autonoma satisface el sistema de ecuaciones diferenciales

X1(t) = f1[t, X1(t), . . . , X n(t)]...

Xn(t) = fn[t, X1(t), . . . , X n(t)].


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1.8.3 Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Consideremos ahora la aplicacion proyeccion canonica

: T(U) U, (Dp) = p,

la cual es de clase .Definicion. Llamaremos ecuacion diferencial de segundo orden en unabierto U de Ea todo campo tangente en el fibrado tangente de U, D D[T(U)], tal que su proyeccion por sea el campo a soporte universal,es decir

D = E,

o lo que es lo mismo tal que para todo Tp T(U)DTp = Tp.

Veamos como es un campo de estos en las coordenadas (xi, zi) verleccion 4. Por el ejercicio (1.4.3) tenemos que

D = E (D)xi = Exi = zi,

por tanto son los campos de la forma

D =

zi

xi+

Dzi

zi,

y si X es una curva integral suya, tendremos que llamando

Dzi = fi(x1, . . . , xn, z1, . . . , zn),

Xi(t) = xi[X(t)], Zi(t) = zi[X(t)],

entonces

Xi(t) = Zi(t)

Zi(t) = fi[X1(t), . . . , X n(t), Z1(t), . . . , Z n(t)],

o lo que es lo mismo

Xi (t) = fi[X1(t), . . . , X n(t), X1(t), . . . , X

n(t)].


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1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 39

1.9 Ejemplos de ecuaciones diferenciales

1.9.1 Desintegracion.

Se sabeexperimentalmente que la velocidad de desintegracion de unasustancia radioactiva es proporcional a la cantidad de materia. En talcaso la cantidad de materia en cada instante vendra dada por la ecuaciondiferencial

x(t) = kx(t),donde k > 0, por tanto

x(t)x(t)

= k log x(t) = kt + cte x(t) = x(0)ekt .

Observemos que el campo tangente asociado esta en R y en la coordenadax se escribe

D = kx x

.

Ejercicio 1.9.1 Si es cierto1 que en una economa estable la velocidad de dis-minucion del numero de personas y, con un salario de por lo menos x euros,es directamente proporcional al numero de personas e inversamente propor-cional a su salario, obtengase la ley de Pareto, es decir la expresion de y enterminos de x.

1.9.2 Reproduccion.

Se sabe que la velocidad de reproduccion de las bacterias es, cuando no

hay demasiadas, casi proporcional al numero de bacterias, y cuando haydemasiadas estas influyen negativamente y la velocidad de reproduccionse hace negativa. Se plantea as la siguiente ecuacion

x(t) = k1x(t) k2x2(t),con k1, k2 > 0, y k2 pequeno. El campo tangente asociado esta en R yen la coordenada x se escribe

D = (k1x

k2x

2)

x

.

1Como pensaba el economista Vilfredo Pareto


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Ejercicio 1.9.2 Demuestrese que la velocidad de reproduccion es maxima cuan-do la poblacion de bacterias tiene la mitad de su tamano de equilibrio.

1.9.3 Ley de Galileo.

Consideremos un cuerpo de masa 1. La ley de Galileo nos asegura queen cada libre su aceleracion x(t) es constante e igual a g.

Es una ecuacion diferencial de segundo orden en la recta, la cualdefine una ecuacion diferencial en el fibrado tangente de la recta, que encoordenadas (x, z) se plantea de la forma

x(t) = z(t)z(t) = g

z(t) = gt + z(0)x(t) =

1

2gt2 + x(0)t + x(0)

y cuyo campo asociado es

D = z

x+ g

z.

Nota 1.32 La Ley de la atraccion Universal de Newton asegura

que dados dos cuerpos con masas M y m a distancia R, se produce unafuerza de atraccion de m hacia M y otra de M hacia m, de modulo

mGM

R2,

y por la Segunda Ley de Newton, la aceleracion de m vale

GM

R2,

donde G = 6673 1011(N m2/kg2) es una constante Universal.Ahora bien esto nos dice por una parte, que si M es la Tierra y m

esta en las proximidades de su superficie, sufre una aceleracion constante

g =GM

R2= 98(N),

independiente del valor de su masa, donde R es el radio de la tierra. Conlo cual obtenemos la Ley de Galileo.

Pero por otra parte tambien tenemos una explicacion de esa constanteG. Acabamos de decir que un cuerpo con masa M acelera a todos los


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1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales 41

cuerpos que esten a distancia R con la misma aceleracion y que estaaceleracion determina la masa M. Esto nos permite definir a partir deunidades de longitud y tiempo (como metro y segundo) una unidad de

masa canonica.Llamemos kg Natural a la masa de un cuerpo que a 1 metro acelera

a cualquier cuerpo 1 m/seg2.

Naturalmente como el kg es una unidad cuyo origen historico es in-dependiente del metro y del segundo, (es la masa de 1 cubo de agua de1 decmetro de lado es decir de 1 litro), pues no coincide con el kgNatural y la proporcion entre ambos es esta constante Universal G. Esdecir que la naturaleza magica de ese misterioso numero universal estaen la eleccion arbitraria del kg que, tambien es cierto, puede ser masoperativo que el del kg Natural.

Por otra parte en La Teora de la Relatividad la constancia de lavelocidad de la luz nos permite relacionar las unidades de tiempo y delongitud y hablar de anos-luz como unidad de longitud.

Es decir que las unidades de longitud y tiempo se determinan mu-tuamente y con ellas se determina una unidad de masa. Pero habraalguna unidad de longitud canonica?. Es posible que sea as puesto queen el Universo hay protones. Y es posible que alguna de las constantes

universales de la fsica (de Planck, etc.), sea la confirmacion de esto (encuyo caso el numero que define esa constante en unas unidades seraconsecuencia, una vez mas, de la eleccion arbitraria de dichas unidades.Pero esto es hablar por no callar...

1.9.4 El pendulo.

Figura 1.10. Pendulo

Consideremos un pendulo de masa m

suspendido, en el origen de coorde-nadas de R2, por una barra rgida demasa despreciable y de longitud L.

Su posicion, en cada instante t,viene determinada por el angulo x(t)que forma la barra en el instante t conel eje y, medido en sentido contrarioal del movimiento de las agujas delreloj. Tal posicion es

X(t) = L[

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