fascÍculo 08 enem 2011
TRANSCRIPT
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
1/16
U n
i v e r s i
d a d e
A b e r
t a d o
N o r d e s
t e e
E n s i n o a
D i s t n c i a
s o m a r c a s r e g
i s t r a d a s
d a
F u n
d a
o D e m
c r
i t o
R o c h a .
p r o
i b i d a a
d u p
l i c a
o o u r e p r o
d u o
d e s
t e f a s c
c u
l o . C
p
i a n
o a u
t o r i z a
d a
C r i m e .
0 8Matemticae suas TecnologiasMatemticaAlexmay Soares, Cleiton Albuquerque,Fabrcio Maia, Joo Mendes e Thiago Pacfico
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
2/16
114
Ca ro Es t u d an t eA necessidade de compreend
er o compor tamen to de fenmenos, descre ver regularidad
es, es tabelecer relaes de in-
terdependncia, quali ficar, quan ti ficar e generalizar conduz
iu, gradualmen te, a humanidade ao moderno concei to de
funo. Tal concei to uma forma mais precisa e de maior u
tilidade do que a noo comum de frmula ma tem tica.
Nes te fascculo, abordaremos algumas das principais fun
es ma tem ticas: funo quadr tica, funes e xponen-
ciais, funes logartmicas e as trigonom tricas.
Bons es tudos!
Objeto do Conhecimento
Funo Quadrtica
As aplicaes da funo quadrtica abrangem situaesdo meio social, relaes de mercado e capital, engenha-ria, economia, sade, transportes, indstrias, artes, energia,problemas de otimizao etc.
DefnioToda funo f:R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, emquea, b e c so nmeros reais e a 0, recebe o nome defuno quadrtica.Pode-se interpretar a funo quadrtica como sendo umatransformao do nmero realxno nmero real ax2 + bx + c.Em smbolos:
x ax bx c2 + +
Razes da uno quadrticaAs razes de uma funo so os valores que a varivelx pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente, asrazes de uma funo representam as abscissas das coor-denadas dos pontos nos quais o grfico da funo inter-secta o eixo-x. Uma funo quadrtica, cujo grfico umaparbola, pode possuir at duas razes reais, geralmentedesignadas por x1 e x2. Seus valores podem ser obtidosatravs da frmula deBhaskara.
O valor de = b2 4ac determina, portanto, o nmerode razes reais de uma equao do 2 grau e, por esse mo-tivo, chamado discriminante da equao.
Interpretao do discriminante1 caso: se > 0, ento haver duas razes reais diferentes.2 caso: se = 0, ento as duas razes sero reais e iguais.3 caso: se < 0, ento no haver razes reais.
Resumo grfcoCom a > 0 (nesse caso, dizemos que a parbola possuiconcavidade voltada para cima).
y
x x1 = x 2x2x1
< 0 y
x
= 0 y
x
> 0
Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parbola possuiconcavidade voltada para baixo).
xy y y
x xx1 = x 2 x1 x2
< 0 > 0 = 0
Para o traado do grfico de funes quadrticas, tillembrar que as coordenadas do vrtice da parbola sodadas por:
Vrtice =
ba a2 4
,
Forma atoradaSe os valores x1 e x2 representam as razes de umafuno quadrtica y = ax2 + bx + c, ento pode-mos reescrev-la na forma fatorada: y = a(x x1)(x x2),em que a denominado coeficiente dominante.Essa forma especialmente til para determinar a funoquadrtica em estudo quando possumos as suas razes.Determinar as relaes de interdependncia entre as va-riveis uma das habilidades mais cobradas pelo Enem.Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatoradapara obter a funo quadrtica desejada.
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
3/16
115Universidade Aberta do Nordeste
Exemplo:A figura mostra um arco parablico ACB de alturaCM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm.M o pontomdio de AB.
C
A M B
Tomando o pontoAcomo origem de um sistema cartesia-no, teremos a figura abaixo:
y C (20, 16)
A (0, 0) M (20, 0) B (40, 0)
x
Assim, as razes de tal funo so 0 e 40. Dessa forma,pode-se aplicar a forma fatorada:
y = a(x x1) (x x2) y = a(x 0) (x 40) y = a(x2 40x).
Como f(20) = 16, temos:
16 = a(202 40 20) 16 = 400a a =125
Logo, a funo procurada :y x x y
x x=
=
+
125
4025
85
22
. ( )
Mximos e mnimos em unoquadrticaPara a funo f(x) = ax2 + bx + c, temos dois casos a consi-derar com relao ao coeficientea.
1 caso: a > 0
a > 0
Nesse caso, como a concavidade da parbola est vol-
tada para cima, seu vrtice V =
ba a2 4
,
representa umponto de mnimo, o ponto mais baixo da parbola.
Dessa forma, yV representa o menor valor da funo,dado por:
2 caso: a < 0
ponto mximo
Nesse caso, como a concavidade da parbola est vol-
tada para baixo, seu vrtice V =
b
a a2 4,
representa umponto de mximo, o ponto mais alto da parbola.
Dessa forma, yV representa o maior valor da funo,dado por:
Observao importante:Interpretar corretamente o texto essencial para respon-der com sucesso a questo. Assim, observe que a abscissado vrtice da parbola, isto , no representa
nem o mximo, nem o mnimo valor da funo. O valorest relacionado condio necessria para se atingir o
extremo da funo (mximo ou mnimo). Isto ,
a condio (ou circunstncia) para termos o mximo (oumnimo) valor da funo. Acompanhe o quadro-resumoabaixo.
ya
representa o mnimo, se a > 0
mnimo, se a > 0
representaV=
4
o mximo, se a < 0
mximo, se a < 0
a condio para se atingir =
x
ba
representaV 2
oo
a condio para se atingir orepresenta
Por fim, note que se o exerccio cobrar o mximo (oumnimo) valor da funo quadrtica, voc deve calcular
. Entretanto, se a questo perguntar sobre uma
condio (ou circunstncia) em que se obtm o mximo(ou mnimo) valor da funo quadrtica, voc deve calcu-lar
Em qualquer caso, a parbola que representa afuno y = ax2 + bx + c intersecta o eixo-y no pon-to de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetriaem relao reta vertical que passa por seu vrtice(ou seja, a reta cuja equao ). Acompanhe a ilus-trao a seguir.
y
x
yv v
0
(0, c)
x1 xv x2
eixo de simetria: x = b2a
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
4/16
116
Exemplo:Um posto de combustvel vende 10 000 litros de lcoolpor dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietrio percebeu que,para cada centavo de desconto que concedia por litro,eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, nodia em que o preo do lcool foi R$ 1,48, foram vendidos10 200 litros. Dessa forma, considerandoxo valor, em cen-tavos, do desconto dado no preo de cada litro, o valorV, em R$, arrecadado diariamente com a venda do lcool,pode ser obtido pela relao:(1,50 x /100): preo do litro de combustvel, em reais.(1500 + 100x): quantidade vendida diariamente.Ento:
(
Uma vez que o valor arrecadado (receita) umafuno quadrtica com a concavidade voltada parabaixo, a receita ter um valor mximo, e o des-conto necessrio para que a receita seja mxima
, isto , se o proprietrio conce-
der 25 centavos de desconto por litro de combustvel e,consequentemente, vend-lo a R$ 1,25, obter a maiorreceita possvel, ou seja, atingir o valor mximo que
[ ]
Questo Comentada
|C5-H21|Uma pequena localidade abastecida com gua ex-trada de 6 poos, cada um possuindo uma vazo de1 100 litros de gua por hora. Dessa forma, a vazo total de
6 600 litros de gua por hora. A prefeitura dessa cidade pretendeaumentar o nmero de poos. Porm, para cada poo adicionalperfurado, estima-se que a vazo por poo diminui em 25 litros porhora. Por exemplo, com um poo adicional perfurado, a vazo decada um dos 7 poos fica em 1 075 litros por hora, assim, a vazototal passa a ser 7 525 litros de gua por hora.A quantidade de poos adicionais a serem perfurados de modoque a vazo total seja a maior possvel :a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20Soluo comentada: De acordo com os dados, podemos escrever a vazo total como ;Vazototal = (quantidade de poos) (vazo de cada poo). Sejan
a quantidade de poos adicionais, temos:Vazo total = (1100 25n) (6 + n) Vazo total = 25n
2 + 950n + 6 600
Trata-se de uma funo quadrtica e seu grfico uma parbolade concavidade voltada para baixo, assim, haver um ponto demximo. A quantidade de poos adicionais a serem perfuradosde modo que a vazo total seja a maior possvel representa umacondio para se atingir o mximo e, dessa forma, devemos cal-cular o . Logo, n = = 19 poos.
Resposta correta: d
Para Fixar
|C5-H20|01.A luz no influi na respirao das plantas. Mantendo-se
a planta em ambiente com O2 e temperatura constante, arespirao a mesma nas vrias horas do dia. A fotossntese influenciada pela quantidade de luz que a planta recebe.Medindo-se o volume de O2 que a planta produz, obtm-se acurva da fotossntese indicada adiante.
0 6
volume de gs eliminado
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Horas do dia
18 24
Seja t [0, 24), a opo que contm a funo quadrtica quemelhor modela o volume V(t) de O2 produzido atravs dafotossntese ao longo do dia :
a) , em que k uma
constante real e negativa.b) V(t) = k(t2 + 24t + 12), em quek uma constante positiva.
c) , em quek uma cons-
tante real e negativa.d) V(t) = k(t2 + 24t + 144), em quek uma constante negativa.
e) , em que k uma cons-
tante real e positiva.
|C5-H21|02.Uma distribuidora de produtos alimentcios, ainda no im-plantada, deseja fornecer seus produtos para as cidadesA,
B, Ce D, situadas ao longo da mesma rodovia. A cidadeAest situada no quilmetro 10 da rodovia; a cidadeB, no qui-lmetro 20; a cidadeC, no quilmetro 80 e a cidadeD, noquilmetro 130.
km 0 km 10 km 20 km 80
A B C D
km 130
Os custos do transporte da distribuidora para as ci-dades A, B, C e D so dados respectivamente por(x 10)2, (x 20)2, (x 80)2 e (x 130)2, em quex a posio(medida em quilmetros, a partir do Km 0) onde dever serinstalada a futura distribuidora.Considerando que o proprietrio deseja minimizar os custoscom transportes, o quilmetro onde a distribuidora deverser construda :
a) 0 b) 20 c) 60d) 80 e) 100
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
5/16
117Universidade Aberta do Nordeste
aFiq u e d e Olh o
ANTENAS, RADARES, FARIS E PARBOLASQuando um satlite artificial colocado em uma r-bita geoestacionria, ele emite um conjunto de on-das eletromagnticas que podem ser captadas porantenas ou radares na Terra. O que talvez voc nosaiba que esses objetos so construdos tendo a pa-rbola como referncia, isto porque tal curva possuipropriedades geomtricas extremamente teis. Naconstruo de antenas parablicas, radares ou faris,a propriedade mais explorada a reflexiva. Quandoum feixe de raios luminosos incide paralelamente aoeixo de simetria de uma superfcie paraboloide espe-lhada, sua reflexo ocorre de forma a fazer convergiros raios em um nico ponto. Da grande quantidadede calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco(em latimfocus significa fogo). Como os sinais recebidos(ondas de rdio ou luz) so muito fracos, necessrio cap-t-los e concentr-los em um nico ponto para que sejamnaturalmente amplificados. Portanto, a superfcie da ante-na ou do espelho deve ser tal que todos os sinais recebidosde uma mesma direo sejam direcionados para um ni-co ponto aps a reflexo. Aplica-se o mesmo princpio naconstruo de espelhos para telescpios, antenas de radar,antenas parablicas e faris.
guia direcional
O prato curvo focaliza as ondas de rdio que chegam para a guia direcional.
A seco de um farol de um automvel tem o formato deuma parbola (a superfcie espelhada um paraboloide). Almpada situada no foco, quando acesa, emite raios lumi-nosos que, aps incidirem sobre a parbola, sero refleti-dos numa mesma direo, segundo retas paralelas ao eixode simetria da parbola.
F
Sup. espelhada
Farol de um automvel Seco de um farol
Objeto do Conhecimento
Funo Exponencial e LogartmicaAs funes exponenciais e logartmicas ocupam lugarde destaque em todas as reas do conhecimento, desdeestudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos emorte de indivduos de uma populao (animais ou plan-tas) at a propagao de doenas em sistemas epidemio-lgicos, todos constituem casos tpicos de situaes cujamodelagem feita atravs de funes logartmicas e ex-ponenciais.
Defnio da uno exponencialA funo f:R R dada por f(x) = bx (com b 1 e b > 0)
denominada funo exponencial de baseb e definidapara todoxreal.Se x = 0, ento y = b0 = 1, isto , o par ordenado (0, 1) sa-tisfaz a lei y = bx. Isso quer dizer que o grfico de qualquerfuno desse tipo intersecta o eixoyno ponto de ordena-da 1.Com relao baseb, h dois casos a considerar:
1 caso: se b > 1, ento a funo crescente, isto :x > y bx > by
Grficoy
0 x
1
f crescente
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
6/16
118
2 caso:0 < b < 1, ento a funo decrescente:x > y bx < by
Grficoy
0x
1
f decrescenteUma generalizao so as funes com a forma
. Nessas funes o coeficientea frequen-temente associado ao valor inicial da funo, pois
Por sua vez, para cada aumento de k unidadesno valor de x, a funo multiplicada pelo fatorb.
Essa compreenso dos coeficientes das funes do tipo de fundamental importncia para montagem
rpida de modelos exponenciais. Acompanhe o exemploa seguir.
Exemplo:Um agricultor est sofrendo com a infestao dedeterminada espcie de formiga que est des-truindo sua plantao. Aps buscar a ajuda de umespecialista, este recomenda a aplicao de certo in-seticida, explicando que, aps seu uso, a populaodessas formigas ser reduzida metade a cada 5 dias.
A populao inicial de formigas estimada em 30 000espcimes. A partir dessas informaes, podemos escre-ver a populao de formigas em funo dotempo t, medido em dias, transcorrido aps a aplicaodo inseticida. Nessa funo temosa = 30 000 (popula-o inicial), temos tambm (pois a populao
dessas formigas reduzida me tade b =
1
2
). Portan-
to, a populao de formigas poder ser estimada pela leiP(t) = 30 000
LogaritmosDefnioDados os nmeros reaisN,a e a , com N > 0, a > 0 e a 1, oexpoente a que colocamos na basea para obtermos o n-meroN chamado logaritmo deNna base a. Em smbolos:
A nomenclatura usada a seguinte:N logaritmando ou antilogaritmoa base (quando a base omitida, diremos que a base 10)a logaritmo
Exemplos1) log2 16 = 4, pois 24 = 162) log3 9 = 2, pois 32 = 93) log7 1 = 0, pois 70 = 1
Decorrncias da defnioAlguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontr-losmuitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reco-nhecidos. So logaritmos cujos resultados decorrem demaneira imediata da definio.Consideradas satisfeitas todas as condies de existncia,temos:1 decorrncia:loga 1 = 0Pois qualquer que seja a basea elevada ao expoente 0,apresenta resultado igual a 1. 2 decorrncia:loga a = 1Pois qualquer que seja a basea elevada ao expoente 1,apresenta resultado igual aa. 3 decorrncia:loga aa = aPoisa justamente o expoente que devemos colocar nabase a para obtermos o resultadoaa . 4 decorrncia:aloga N= NPois logaN , por fora de definio, justamente o expoenteque devemos colocar na basea para obtermos o resulta-doN.
PropriedadesA partir da definio, podemos desenvolver algumas uti-lizaes frequentes dos logaritmos e transform-las empropriedades que passaremos a estudar.Considerando os nmeros reais positivosa, N e M, com
a 1:P1:
P2:
P3:
P4:
P5:Mudana de Base, ondea uma base convenientemente
escolhida.
Funo LogartmicaDefnio toda funo f:R *+ R na forma f(x) = loga x, em que,a > 0 e a 1.Para a > 1, tal funo crescente. Acompanhe o grfico napgina seguinte.
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
7/16
119Universidade Aberta do Nordeste
y = log ax
(a > 1)
1 a x
y
1
Para 0 < a < 1, tal funo decrescente. Acompanhe o gr-fico abaixo.
y = log ax
(0 < a < 1)
1a x
y
1
Logaritmo naturalO logaritmo natural ou logaritmo neperiano o logarit-
mo cuja base o nmero irracionale, que aproximada-mente igual a 2,718281828459045...Tal logaritmo normalmente representado porLnx. Isto :
n x equivalente a log ex
Questo Comentada
|C5-H21|Admitindo-se que a luminosidade L(x) da luz solar ax metrosabaixo do nvel do oceano seja dada, em luxes, por L(x) = 1 000 e que um mergulhador no consiga trabalhar sem luz artificialquando essa luminosidade fica inferior a 10% de seu valor na su-perfcie, ento a maior profundidade, em metros, que o mergu-lhador pode atingir sem ter de usar luz artificial igual a:Dado: Ln10 2,3a) 4,6b) 2,3c) 0,23d) 23e) 11,5
Soluo comentada:De acordo com a frmula o valor da lumino-sidade na superf cie 1000 luxes. Como o mergulhador noconsegue trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidadefica inferior a 10% de seu valor na superfcie, ento devemos ter:
Resposta correta: d
Para Fixar
|C5-H22|03.O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00,
reduzido metade a cada 15 meses. Assim, a equaoV (t) = 60 000 , ondet o tempo de uso em meses eV(t) o valor em reais, representa a variao do valor desseequipamento. Com base nessas informaes, correto afir-mar que o valor do equipamento aps 45 meses de uso serigual a:
a) R$ 3 750,00b) R$ 7 500,00c) R$ 10 000,00d) R$ 20 000,00e) R$ 15 000,00
|C5-H20 e H-21|04.A inflao anual de um pas decresceu no perodo de sete
anos. Esse fenmeno pode ser modelado por uma funo
exponencial do tipo f(x) = a bx
, conforme o grfico a seguir.y = f(x)
960%
7,5%
0 4 7 x (anos)
A taxa de inflao desse pas, no quarto ano de declnio, foi de:a) 60%b) 50%c) 40%d) 30%e) 22,5%
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
8/16
120
aFiq u e d e Olh o
COMO SE REALIZA A PROVA DO CARBONO-14PARA CONHECER A IDADE DOS RESTOSENCONTRADOS POR PALEONTLOGOS?
Fsseis podem ser datados com o teste do carbono-14
A tcnica do carbono-14 foi descoberta nos anos quarenta
por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de car-bono-14 dos tecidos orgnicos mortos diminui a um ritmoconstante com o passar do tempo. Assim, a medio dosvalores de carbono-14 em um objeto fssil nos d pistasmuito exatas dos anos decorridos desde sua morte.Essa tcnica aplicvel madeira, carbono, sedimentos or-gnicos, ossos, conchas marinhas ou seja todo materialque conteve carbono em alguma de suas formas. Comoo exame se baseia na determinao de idade atravs daquantidade de carbono-14 e que esta diminui com o pas-sar do tempo, ele s pode ser usado para datar amostrasque tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.
A RADIOATIVIDADE DO CARBONO-14Libby, que era qumico, utilizou em 1947 um contadorGeiger para medir a radioatividade do C-14 existente emvrios objetos. Este um istopo radioativo instvel, quedecai a um ritmo perfeitamente mensurvel a partir da
morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de ida-de conhecida (respaldada por documentos histricos) ecomparou esta com os resultados de sua radiodatao. Osdiferentes testes realizados demonstraram a viabilidade domtodo at cerca de 70 mil anos.
O C-14 se produz pela ao dos raios csmicos sobreo nitrognio-14 e absorvido pelas plantas. Quan-do estas so ingeridas pelos animais, o C-14 passaaos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este pro-cesso se detm e o istopo comea a desintegrar--se para converter-se de novo em nitrognio-14.A partir desse momento, a quantidade de C-14 existenteem um tecido orgnico se dividir pela metade a cada
5 730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidadecomea a ser pequena demais para uma datao precisa.
Depois de uma extrao, o objeto a datar deve ser prote-gido de qualquer contaminao que possa mascarar os re-sultados. Feito isso, leva-se ao laboratrio onde se contaro nmero de radiaes beta produzidas por minuto e porgrama de material. O mximo so 15 radiaes beta, cifraque se dividir por dois por cada perodo de 5.730 anos deidade da amostra.Disponvel em: .
Objeto do Conhecimento
Trigonometria e suas aplicaesSituaes relacionadas com a medio de lados e ngulosde tringulos deram incio Trigonometria, que com opassar do tempo, transformou-se numa genuna ferra-menta na resoluo de um considervel nmero de pro-blemas relacionados com a mecnica, a topografia, a na-vegao e sobretudo nos clculos astronmicos. Assim,esta abordagem tem como objetivo principal a aplicaode conceitos trigonomtricos em situaes que envol-
vam tringulos e a explorao de fenmenos peridicosreais, recorrendo s funes trigonomtricas. Vale salien-tar que a eficcia desta ferramenta, nas aplicaes queiremos apresentar, exigir naturalmente um razovel do-mnio algbrico e geomtrico do leitor.
Trigonometria no tringulo retnguloConsidere um ngulo agudoa = med(CB). Construindoperpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C1, C2, C3 etc., os tringulos retngulos obtidos C1B1A, C2B2A, C3B3Aetc. sero semelhantes por terem o nguloa comum.
A
C1
B1
B2
BB3
C2
C3
C
Considerando que amplamente conhecida a propor-cionalidade dos lados homlogos em tringulos seme-lhantes, ento podemos escrever as seguintes propores:
Estas constantes k1, k2 e k3 dependem apenas do nguloa e no dos comprimentos dos lados envolvidos. oportunodar nomes a essas constantes que dependem de a (agudo).
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
9/16
121Universidade Aberta do Nordeste
Assim, considerando o tringulo retngulo ABC e fixandoum ngulo agudoa , podemos definir:
B A
C
ahipotenusa
cateto oposto
cateto adjacente
b
c
Os benefcios que a Trigonometria propicia facilita-o nas resolues de problemas aparentemente difceis incontestvel.
Exemplo 1:Para mostrar uma aplicao, suponha que se quer medir oraior da Terra, que um comprimento impossvel de ser
obtido pelo clculo direto. Um processo, usado desde osgregos, o seguinte:Sobe-se a uma torre de alturah e mede-se o nguloa quefaz a reta BC do horizonte deBcom a vertical BO do lugar.Considerando a Terra esfrica, temos a ilustrao:
Torre
Terra
R
B
R O
h
C
L i n h a
d o h o
r i z o n
t e
Usando as razes trigonomtricas apresentadas, en-contramos:
Logo, se tivermos as medidas deh e a (valores aces-sveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamentedeterminar o raio da Terra:
Exemplo 2:Uma outra situao-problema, para mostrar a importnciada Trigonometria na resoluo de problemas relaciona-dos com ngulos e lados de um tringulo, a questo dotopgrafo que deseja medir a altura de uma montanha epara tal toma como referncia o pontoP, no pico. A partirde um pontoAno solo, calcula a medida do nguloa queo segmento AP forma com a horizontal local e, afastando--se 1 km at o pontoB, mede o ngulo de BP com ahorizontal. Fazendo um desenho ilustrativo, encontramos:
P
h
Px
1B A
Temos que:
Substituindo (I) em (II), encontramos:
Portanto, a altura desejada dada por:
Trigonometria num tringulo qualquerEm vista das numerosas aplicaes em que se consideramtringulos quaisquer, vamos apresentar duas leis de gran-de relevncia na Trigonometria.
Lei dos senos:Em todo tringulo, as medidas dos lados so diretamen-te proporcionais aos senos dos ngulos opostos, onde aconstante de proporcionalidade igual ao dimetro dacircunferncia circunscrita.
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
10/16
122
Demonstrao:
a
R
O
P
A
BC
O teorema dos senos estabelece quea
sen A( ) constante.
Acompanhe:I. SejaOo circuncentro doDABC;II. Prolongando o segmento BO at encontrar a cir-
cunferncia, obtemos o dimetro BP;III. Observe que o tringulo PCB retngulo emC , pois
BP um dimetro;IV. Os ngulos inscritos e P so iguais (arco capaz);V. No tringulo retngulo PCB, temos:
sen = sen P = a
R R
a
sen A22 =
Portanto, podemos escrever:
a
sen A
b
sen B
c
sen CR = = = 2
Exemplo:Para mostrar uma aplicao, suponha que um navio, via- jando em linha reta, avista um farol emF, 45 direita; apster caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direoque forma 75 com sua trajetria, como mostra a figura.
A B
F
20 km
45 75
Nesse ponto, a distncia do navio ao farol pode ser calcu-lada facilmente. Evidentemente, a medida do nguloAFB igual a 60. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos:
Lei dos cossenos:Em todo tringulo, o quadrado de um lado igual somados quadrados dos outros dois lados, menos o dobro doproduto desses dois lados pelo cosseno do ngulo forma-do por eles.
B
C
a
c
b
^
^
^
Lei dos cossenos:a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Ab 2 = a 2 + c 2 2ac cos Bc 2 = a 2 + b 2 2ab cos C
A
Observao:Essas frmulas so de fcil demonstrao e muito teis
na determinao dos ngulos de um tringulo, conhecen-do as medidas dos lados.
Exemplo:Para explorar o potencial turstico de uma cidade, conhe-cida por suas belas paisagens montanhosas, o governopretende construir um telefrico, ligando o terminal detransportes coletivos ao pico de um morro, conforme afigura a seguir.
C
2 0 0
m
50
BN
20
A P
3 0 0 3
m
Para a construo do telefrico, h duas possibilidades: o ponto de partida ficar localizado no terminal de trans-
portes coletivos (pontoA), com uma parada intermedi-ria (pontoB), e o ponto de chegada localizado no picodo morro (pontoC);
o ponto de partida ficar localizado no pontoA eo de chegada localizado no pontoC, sem paradaintermediria.
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
11/16
123Universidade Aberta do Nordeste
Sendo ,BC = 200 m, BP = 20 eCBN = 50, adistncia entre os pontosAe C, pode ser facilmente calcu-lada a partir da lei dos cossenos.
Acompanhe:C
2 0 0
m
50150
20
NB
P
d
3 0 0 3
m
Temos:
Simplificando, obtemos:d = 700 metros.
Pitgoras e a relao undamentalda TrigonometriaA tradio unnime em atribuir a Pitgoras (gemetragrego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Sa-mos) a descoberta independente do teorema sobre tri-ngulos retngulos, hoje universalmente conhecido peloseu nome que o quadrado sobre a hipotenusa de umtringulo retngulo igual soma dos quadrados sobreos catetos. sabido que esse teorema era conhecido pelosbabilnios dos tempos de Hamurabi, mais de um milnioantes, mas sua primeira demonstrao geral pode ter sidodada por Pitgoras. Desde os tempos de Pitgoras, muitasdemonstraes desse teorema foram apresentadas.Vejamos uma demonstrao utilizando as razes trigono-mtricas:
b
C
A
hc
Bnm
a
H
Somando (I) e (II), obtemos:c2 + b2 = na + ma = a (n + m) = a a = a2.Logo, c2 + b2 = a2 (Pitgoras).
Por outro lado, tem-se:
Somando (III) e (IV), obtemos:a2 cos2 a + a2 sen2 a = c2 + b2a2 (cos2 a + sen2 a ) = a2
Logo, cos2 a + sen2a = 1 (R. Fundamental),a agudo.
Funes trigonomtricas:Seno e CossenoAs seis razes trigonomtricas apresentadas at o mo-mento variam conforme o ngulo a que se referem. Soperfeitamente determinadas para cada um dos nguloscompreendidos entre 0 e 90 e a cada ngulo, nesse in-tervalo, corresponde apenas um valor para cada razo. Asrazes trigonomtricas so, pois, funes dos ngulos aque se referem e costumamos nome-las de funes tri-
gonomtricas. No entanto, as definies acima podem sergeneralizadas para qualquer nguloa da seguinte forma:A ampliao do domnio das funes trigonomtricas atoda reta real faz-se recorrendo circunferncia trigono-mtrica. Ela definida por uma circunferncia de raio uni-trio (raio = 1) centrada na origem dos eixos cartesianos.
(0,1) 90
180
270
(1,0)
(0,1)
(1,0) x
y+
(arcos positivos, sentido anti-horrio)
(arcos negativos, sentido horrio)
P(xp,yp)yp
O
1
a xp0 = 360
Dessa forma, podemos definir o seno e o cosseno donguloa para todos os valores dea e no somente paraaqueles entre 0 (ou 0 radianos) e 90 (ou radianos).
Vejamos:
eAssim, as coordenadas do pontoPso:P(xp, yp) = (cosa , sen a ).Consequentemente, temos:
e
De modo semelhante, para o nguloa = p radianos(meia-volta na circunferncia), temos cos(p ) = 1 e sen(p ) = 0,pois o ponto (xp, yp) = (0, 1).
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
12/16
124
Quandoa = 2p radianos, voltamos a ter o ponto (1, 0),o que nos d cos(2p ) = 1 e sen(2p ) = 0. Prosseguindo paraoutros valores, verificamos que as funes trigonomtri-cas se repetem cada vez que adicionamos 2p radianos aongulo primitivoa . Da mesma forma que temos valorespossveis para o seno e o cosseno quandoa > 0, tambm possvel atribuir valores s funes trigonomtricas quan-do a < 0. Nesses casos, temos ngulos descritos no senti-do dos ponteiros do relgio (sentido horrio). Portanto, asduas funes, seno e cosseno, ficam bem definidas paratodos os valores dea na reta real.
Observao: possvel definir a funo tangente do nguloa de
modo semelhante. Representao geomtrica das funes seno, cosse-
no e tangente na circunferncia trigonomtrica.
eixo dos senos eixo das tangentes
eixo dos cossenos
90
II Q
III Q
I Q
IV Q
180
270
O
B(0,1)
P TP
(1,0)
(0,1)
A(1,0)
tg
cos
sen 0 = 360
Para se ter uma ideia do comportamento geral de uma
funo trigonomtrica, conveniente construir o seu gr-fico. A princpio, seria necessrio conhecer todos os pon-tos para obter o grfico, entretanto, o conjunto de pontosnotveis discutidos anteriormente permite construir umafigura bastante prxima do grfico desejado.
Grfico da funo seno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, ondey = sen x, construmos o grfico da funo seno no inter-valo de 0 a 2p .
x y = sen x0 0
p /6 1/2
p /4 2 2/
p /3 3 2/
p /2 1p 0
3p /2 12p 0
Propriedades D(f) =R . Im(f) = {y R | 1 y 1} = [ 1; 1]. f funo mpar, pois sen(x) = sen x, x R . f limitada, pois 1 f(x) 1, x R . f peridica, de perodo p = 2p
Grfico
6
4
3
y1
0
-1
2
23
2x
Grfico da funo cossenoUtilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde
y = cos x , construmos o grfico da funo cosseno nointervalo de 0 a 2p .
x y = cos x0 1
p /6 3 2/
p /4 2 2/
p /3 1/2p /2 0
p 13p /2 02p 1
Propriedades D(f) =R . Im(f) = [ 1; 1]. f funo par, pois cos(x) = cos x, x R . f funo limitada, pois 1 f(x) 1, x R . f peridica, de perodo p = 2p .
Grfico
6
4
3
y1
0
-1
2
23 2 x
Grfico da funo tangenteUtilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde
y = tg x, com x , construmos o grfico da funo
tangente no intervalo de 0 a 2p .
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
13/16
125Universidade Aberta do Nordeste
x y = tg x0 0
p /6 3 3/p /4 1p /3 3
p /2
2p /3 3
3p /4 15p /6 3 3/
p 02p 0
Propriedades
D(f) = .
Im(f) =R . f funo mpar, pois tg(x) = tg x, x D. f no limitada. f peridica, de perodo p =p . Grfico
y
x 2
0 2
3 2
Exemplo:Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante deCincias Exatas, observou o fenmeno das mars em deter-minado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmoera peridico e podia ser aproximado pela expresso:
,
onde t o tempo (em horas) decorrido aps o incio daobservao (t = 0) e P(t) a profundidade da gua (emmetros) no instantet.
Evidentemente, P(t) ser maximizado quando tomarmosConsequentemente, , com k
inteiro. Da, podemos garantir que, depois de 4,5 horas(k = 1), ocorreu a primeira mar alta aps o incio da ob-servao.
Questo Comentada
|C2-H8 e C3-H11|Trs ilhas, I1, I2 e I3, apare-cem num mapa, em esca-la 1:10 000, como na figuraao lado. Das alternativas, aque melhor aproxima a
distncia entre as ilhasI1 e I2 :
a) 2,3 km b) 2,1 km c) 1,9 kmd) 1,4 km e) 1,7 kmSoluo comentada:Para encontrar a distncia entre as ilhas I1 e I2, podemos recorrer lei dos senos, pois claramente a medida do nguloACB = 45, oque nos permite escrever:
Como o mapa est na escala 1:10 000, podemos entender que 1 cmno mapa equivale a 10 000 cm na realidade. Portanto, a distncia
entre as ilhas I1 e I2 igual a 17 vezes 10 000 cm, isto , 1,7 km.Resposta correta: e
Para Fixar
|C2-H8|05.Do alto de prdios cir-
cundantes, foram feitasmedies de ngulose outras, com vista adeterminar a altura daTorre Eiffel.Tendo em conta todas
as medies apresen-tadas na figura, a alturatotal da torre, incluindo a antena, , aproximadamente, iguala: (considere )
a) 217 m b) 279 m c) 301 md) 319 m e) 400 m|C2-H8|06.Um barco navega na direo AB, prximo a um farolP, con-
forme a figura abaixo.
30A 1 000 m B
60
P
No pontoA, o navegador verifica que a reta AP, da embarca-o ao farol, forma um ngulo de 30 com a direo AB. Apsa embarcao percorrer 1 000 m, no pontoB, o navegadorverifica que a reta BP, da embarcao ao farol, forma um n-gulo de 60 com a mesma direo AB.Seguindo sempre a direo AB, a menor distncia entre a em-barcao e o farol ser equivalente, em metros, a:
a) 500 b) 500 3 c) 1 000d) 70 0 3 e) 1 000 3
I2
I1
12 cm
105
30
I3
45
471,4 m
60
2 0 m
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
14/16
126
Fiq u e d e Olh o
FORMULRIO TRIGONOMTRICOFrmulas da adio
sen( b + a ) = sen b cos a + sen a cos b
cos( b + a ) = cos a cos b sen b sen a
tgtg tg
tg tg( )
+ = +
1
Frmulas da subtraosen( b a ) = sen b cos a sen a cos b
cos( b a ) = cos b cos a + sen b sen a
tgtg tg
tg tg( )
=
+ 1
Arco duplosen(2 a ) = 2 sen a cos a
cos(2 a ) = cos 2a sen 2 a
tgtgtg
( ).
22
1 2
=
Saiba que alguns problemas de geometria exigem a utili-zao de algumas dessas frmulas.Constatao:Um farol localizado a 36 m acima do nvel do mar avista-do por um barco a uma distnciaxda base do farol, a partirde um nguloa , conforme a figura:
36 m
x
Admitindo-se que sen(a ) =3
5e que o barco se aproximou
do farol e uma nova observao foi realizada, na qual o n-gulo a passou exatamente para 2a, a nova distnciaxa
que o barco se encontrar da base do farol pode ser calcu-lada facilmente usando a frmula do arco duplo:
tgtgtg
22
1 2
=
.
Ilustrao
36 m
x
sen tg I = =35
34
( )
tgtgtg x
II( ) ( )22
136
2
=
=
Substituindo (I) em (II), encontramos:
23
4
13
4
362
.
= x
x = 10,5 m.
Exercitando para o Enem
|C5-H21|01. Sob determinadas condies, o antibitico gentamicina,
quando ingerido, eliminado pelo organismo razo de me-tade do volume acumulado a cada 2 horas. Da, seK o vo-lume da substncia no organismo, pode-se utilizar a funo
para estimar a sua eliminao depois de um
tempot, em horas. Nesse caso, o tempo mnimo necessriopara que uma pessoa conserve no mximo 2 mg desse an-tibitico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa nicadose, de:
a) 12 horas e meia. b) 12 horas. c) 10 horas e meia.d) 8 horas. e) 6 horas.
|C5-H22|02.O corpo de uma vtima de assassinato foi encontrado s 22
horas. s 22 h e 30 min, o mdico da polcia chegou e imedia-tamente tomou a temperatura do cadver, que era de 32,5 C.Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encon-trou 31,5 C. A temperatura do ambiente foi mantida constantea 16,5 C. Admita que a temperatura normal de uma pessoa vivaseja 36,5 C. O mdico sabe que o resfriamento do corpo da vti-ma segue um modelo exponencial do tipo:
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
15/16
127Universidade Aberta do Nordeste
Em que: t o tempo, em hora; Do a diferena de temperatura do cadver com o meio am-
biente no instantet = 0; D(t) a diferena de temperatura do cadver com o meio
ambiente num instantet qualquer e; k uma constante positiva.
Os dados obtidos pelo mdico foram colocados na tabelaseguinte.
HoraTempe-
ratura docorpo (C)
Tempe-ratura do
quarto (C)
Diferenade tempe-ratura (C)
t = ? Morte 36,5 16,5 D(t) = 20t = 0 22 h 30 min 32,5 16,5 D(0) = D0 = 16t = 1 23 h 30 min 31,5 16,5 D(1) = 15
Considerando os valores aproximados log25 = 2,3 e log23 = 1,6,pode-se estimar a hora em que a pessoa morreu como sendo:
a) 19 h 15 minb) 19 h 30 minc) 19 h 45 min
d) 20 h 00 mine) 20 h 15 min
|C5-H20|03.Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a popula-
o no fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em25 anos, crescendo em progresso geomtrica, ao passoque, dadas as condies mdias da Terra disponveis em seutempo, os meios de subsistncia s poderiam aumentar, nomximo, em progresso aritmtica.Analise os grficos e assinale a alternativa em que a Lei deMalthus est representada.
a)Crescimentopopulacional
Anos Anos
Produo dealimentos N
m e r o
d e p e s s o a s
T o n e
l a d a s
b)Crescimentopopulacional
Anos Anos
Produo dealimentos
N m e r o
d e p e s s o a s
T o n e
l a d a s
c) Crescimentopopulacional
Anos Anos
Produo dealimentos
N m e r o
d e p e s s o a s
T o n e
l a d a s
d) Crescimentopopulacional
Anos Anos
Produo dealimentos
N m e r o
d e p e s s o a s
T o n e
l a d a s
e) Crescimentopopulacional
Anos Anos
Produo dealimentos N
m e r o
d e p e s s o a s
T o n e
l a d a s
|C5-H23|04.A populao de peixes em um lago est diminuindo devi-
do contaminao da gua por resduos industriais. A lein(t) = 5 000 10 2t 1fornece uma estimativa do nmero deespcies vivas n(t) em funo do nmero de anos(t) trans-corridos aps a instalao do parque industrial na regio.Uma ONG divulgou que, se nenhuma providncia for toma-da, em uma dcada (a partir do incio da instalao da inds-tria) no haver mais peixes no lago. Com base nos dadosapresentados, podemos afirmar corretamente que:
a) tal informao no procede, pois sempre haver peixes no lago.b) tal informao exagerada, pois haver um reduo do n-
mero de peixes no lago, mas no a ponto de extingui-los.c) tal informao procede, pois em nove anos j no haver
mais peixes.d) tal informao exagerada, pois levaria mais de 20 anos para
extinguir os peixes.e) tal informao procedente, pois em cinco anos j no have-
r mais peixes.
|C5-H22|05.Uma calha ser construda a partir de folhas metlicas em
formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fa-
zendo-se duas dobras de largurax, paralelas ao lado maiorde uma dessas folhas, obtm-se trs faces de um bloco retan-gular, como mostra a figura da direita.
1 m
40 cm1 m
1 m
xx
xx
I n t e r b
i t s
Com relao ao volume que esse bloco retangular poderter, podemos afirmar corretamente que:
a) seu mximo valor ser 20 000 m3.b) seu mximo valor ser 10 000 m3.c) seu mximo valor ser 40 000 m3.d) seu mnimo valor ser 5 000 m3.e) no depender da varivelx.
|C5-H21|06.Um grupo de estudantes decidiu viajar de nibus para par-
ticipar de um encontro nacional. Ao fazer uma pesquisa depreos de passagens, os estudantes receberam de uma em-presa uma proposta, na qual o preo de cada passagem de-penderia do total de passageiros que as comprassem. Cadapassagem custaria R$ 90,00, mas seria cobrada uma multaindividual no valor de R$ 5,00 por cada lugar que, eventual-mente, ficasse vago no nibus. Considerando que o nibustem 52 lugares, correto afirmar que a mxima receita dessaempresa ocorrer se a viagem for realizada com:
a) 39 passageiros.b) 38 passageiros.c) 37 passageiros.d) 36 passageiros.e) 35 passageiros.
-
8/4/2019 fascculo 08 ENEM 2011
16/16
Ateno!! Inscreva-se j e tenha acesso a outros materiais sobreo Enem no www. dr.com.br/enem2011
Presidente: Luciana Dummar Coordenao da Universidade Aberta do Nordeste:Srgio FalcoCoordenao do Curso:Fernanda Denardin e Marcelo Pena Coordenao Edit orial:Sara Rebeca AguiarCoordenao Acadmico-Admini strativa:Ana Paula Costa SalminCoordenao de Design Grfico:Deglaucy Jorge Teixeira
Projeto Grfico:Dhara Sena e Suzana PazCapa:Suzana PazEdit orao Eletrnica:Antnio NailtonIlustraes:Aldenir Barbosa, Caio Menescal e Joo LimaReviso:Maria Srvia, Rosemeire Melo, Sara Rebeca Aguiar e Tony Sales
Expediente
|C5-H20|07.A foto a seguir mostra um tnel cuja entrada forma um arco
parablico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m.y
xA BO
CC
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianasortogonais, cujo eixo horizontal Ox tangente ao solo e overtical Oy representa o eixo de simetria da parbola.
P
2 , 4
5 m
A
Ao entrar no tnel, um caminho com altura AP igual a 2,45 m,como ilustrado acima, toca sua extremidade P em determi-nado ponto do arco parablico, a distncia do ponto P ao
eixo vertical Oy igual a:a) 3 m b) 3,5 m c) 4 md) 4,5 m e) 5 m
|C2-H6 e H-8|08.Para representar as localizaes de pontos estratgicos de
um acampamento em construo, foi usado um sistema deeixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura abai-xo, em que os pontosFe Mrepresentam os locais onde seroconstrudos os respectivos dormitrios feminino e masculinoe Ro refeitrio.
30 M (30,0) x (metros)
y (metros)
F
R
Se o escritrio da coordenao do acampamento dever serequidistante dos dormitrios feminino e masculino e, no sis-tema, sua representao um ponto pertencente ao eixo dasabscissas, quantos metros ele distar do refeitrio?
a) 10 3 b) 9 3 c) 8 3d) 10 e) 9
|C5-H19 e H-22|09.As mars so fenmenos peridicos que podem ser descri-
tos, simplificadamente, pela funo seno. Suponhamos que,para uma determinada mar, a alturah, medida em metros,acima do nvel mdio, seja dada, aproximadamente, pela fr-mula:
em que t [0, 24) representa o horriode aferio.O perodo do dia em que um navio de 10 m de calado (alturanecessria de gua para que o navio flutue livremente) podepermanecer nesta regio est compreendido entre:
a) 12 e 18 horas. b) 6 e 12 horas. c) 2 e 10 horas.d) 10 e 18 horas. e) 12 e 10 horas.|C2-H8|10.Um rolamento, pea largamente
utilizada na indstria, pode ser des-crito de maneira bem simplificadacomo um conjunto de dois cilin-dros de bases concntricas e mes-ma altura, alm de vrias esferasidnticas, colocadas entre as super-fcies laterais dos dois cilindros.A figura ao lado mostra o esquemade um rolamento: os raios das bases dos dois cilindros me-dem r e R, respectivamente, e as esferas so tangentes entresi e tambm tangentes s superfcies laterais dos cilindros. Asesferas ocupam todo o espao entre os cilindros, mas apenascinco delas esto desenhadas na figura.
a 5 10 15 20 25
sen a1
10
7
40
13
50
1
3
21
50
O total de esferas existentes em um rolamento em quer = 33 mm e R= 47 mm, usando, se necessrio, as aproxima-es fornecidas na tabela, igual a:
a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18
Para Fixar
Exercitando para o Enem
01 02 03 04 05 06a c b a d b
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10b b c c a e a d c e
R r
PromooParceriaApoio Realizao
ISBN 978-85-7529-512-0