fÍsica 2º bachillerato. t i. gravitación...

FÍSICA 2º BACHILLERATO.

T I. Gravitación Universal.

1. Los orígenes de la Teoría Gravitatoria. El modelo egocéntrico del Universo.

2. Leyes de Kepler.

3. La Ley de Newton de la Gravitación Universal.

4. Justificación de las Leyes de Kepler a partir del concepto de Momento angular o cinético.

5. Campo Gravitatorio.

5.1. Variación de la intensidad del Campo Gravitatorio con la altitud.

5.2. Ídem con la altura.

6. Estudio energético de la interacción gravitatoria.

7. Potencial Gravitatorio.

8. Conservación de la energía.

9. Satélites artificiales y lanzamientos interplanetarios.

INTERNET

El descubrimiento de la Ley de la Gravitación Universalhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler4/kepler4.htmlhttp://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/gravitacion.htm

Basilisa Sánchez . T. Gravitación Universal.1

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler4/kepler4.html

http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/gravitacion.htm

T I. Gravitación Universal.

1. Los orígenes de la Teoría Gravitatoria. El modelo geocéntrico del Universo.

Cosmología: ciencia que estudia la estructura del Universo, su origen, las leyes que lo rigen y su evolución.

Trabajo: Cosmología: de Aristóteles a Kepler.

2. Leyes de Kepler. 1601.

Leyes experimentales basadas en las precisas mediciones de Tycho Brahe (1546-1601)Actualmente estas leyes se deducen matemáticamente a partir de las teorías Físicas de la Dinámica y Cinemática, esto lo haremos en el punto 4.

1ª. Las órbitas de los planetas son elípticas, ocupando el sol uno de los focos.

El sol está en F1.


perihelio

afelio

2ª. Ley de las áreas: el área barrida por el vector de posición del planeta respecto al Sol en la unidad de tiempo (velocidad areolar), es la misma en todos los puntos de la órbita.

ctedtdS =

Si el tiempo que le cuesta ir de P1 a P2

es el mismo que de ir de P'1 a P'2

Las áreas barridas coinciden

3ª Los cuadrados de los periodos de cada planeta son proporcionales a los cubos de los radios medios o semiejes mayores de sus órbitas respectivas.

T2 = k R3

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler4/kepler4.html Ir a Leyes de Kepler

3. La Ley de Newton de la Gravitación Universal.

A mediados del s. XVII René Descartes (1596-1650), para explicar el movimiento de los planetas, propuso que la materia impregnaba todo el espacio, de modo que todos los planetas y satélites eran arrastrados por remolinos de materia interestelar originados por los astros centrales, como el Sol o un planeta. Esta teoría fue posteriormente rechazada.

Las soluciones fueron aportadas por miembros de la Royal Society británica.Robert Hooke (1635-1703) intentó explicar el movimiento de los planetas bajo la acción de una fuerza de atracción entre ellos, que disminuiría con el cuadrado de la distancia.Pero la solución revolucionaria vino de la mano de sir Isaac Newton (1642-1727) con su libro:

“Principios Matemáticos de la Física Natural” conocido simplemente como los “Principia” de Newton 1687. En este texto se autor razonaba lo siguiente:

a) Existe una fuerza que actúa sobre los planetas primarios (giran alrededor del sol) o sobre las lunas(giran alrededor de un planeta) que les obliga a giran alrededor de un punto.

Según el Principio de Inercia (enunciado por el propio Newton anteriormente) todo cuerpo permanece en esto de reposo o MRU si no actúa sobre él ninguna fuerza.



Cómo estos cuerpos describen un movimiento circular uniforme están sometidos a una fuerza la FUERZA GRAVITATORIA.

b) La fuerza gravitatoria actúa sobre todos los cuerpos independientemente de su naturaleza.

Newton unifica la Física terrestre y la celeste. La fuerza que mantiene a los planetas girando es de la misma naturaleza que la que hace que una manzana caiga sobre la superficie de la tierra.


Descripción

En la física anterior a Newton una manzana cae verticalmente hacia la Tierra en una trayectoria rectilínea, mientras que la Luna describe una órbita casi circular, que es una trayectoria cerrada. ¿Cómo estas dos categorías de movimientos pueden estar relacionados?Si la manzana que caía verticalmente es empujada por la fuerza del aire, su trayectoria ya no será rectilínea sino el arco de una curva. Por ejemplo un proyectil disparado desde un cañón describe una trayectoria parabólica tal como se observaba en el siglo XVII en el que vivió Newton . El salto conceptual que llevó a cabo Newton fue el de imaginar que los proyectiles podrían ser disparados desde lo alto de una montaña describiendo trayectorias elípticas (siendo la parábola una aproximación de la elipse).Por tanto, la manzana y la Luna están cayendo, la diferencia es que la Luna tiene un movimiento de caída permanente, mientras que la manzana choca con la superficie de la Tierra.Una misma causa produce, por tanto, los movimientos de los cuerpos celestes y terrestres. Un dibujo que aparece en muchos libros de texto, tomado del libro de Newton "El sistema del mundo", ilustra esta unificación.

"Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fácilmente que los planetas pueden ser retenidos en ciertas órbitas mediante fuerzas centrípetas; pues una piedra proyectada se va apartando de su senda rectilínea por la presión de su propio peso y obligada a describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyección inicial habría debido continuar dicha senda recta, en vez de ser finalmente atraída al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la cual resulta ser proyectada más lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la



velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 millas antes de caer, de forma que al final, superando los límites de la Tierra, pasará al espacio sin tocarla...En la figura, se representa las curvas que un cuerpo describiría si fuese proyectado en dirección horizontal desde la cima de una alta montaña a más y más velocidad. Puesto que los movimientos celestes no son prácticamente retardados por la pequeña o nula resistencia de los espacios donde tienen lugar, supongamos, para conservar la analogía de los casos, que en la Tierra no hubiera aire, o al menos que éste está dotado de un poder de resistencia nulo o muy pequeño. Entonces, por la misma razón que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco menor y, proyectado con más velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminará por llegar bastante más allá de la circunferencia de la Tierra, retornando a la montaña desde la que fue proyectada.Y puesto que las áreas descritas por el movimiento del radio trazado desde el centro de la Tierra son proporcionales a su tiempo de descripción, su velocidad al retornar a la montaña no será menor que al principio, por lo que reteniendo la misma velocidad, describirá la misma curva una y otra vez, obedeciendo a la misma ley".Vamos ahora a cambiar, la imagen estática por un programa interactivo o applet, que nos ilustre la unificación de las causas de los movimientos que ocurren en el espacio exterior y en la superficie de la Tierra.

c) La fuerza de interacción entre los cuerpos es central. La dirección de la fuerza es la línea que une los cuerpos, y por ello es paralela al vector de posición respecto de uno de ellos. En el caso de un sistema planetario, Sol-planeta o planeta-Luna, las líneas de fuerza entre el astro central y los que giran alrededor convergen en un punto.

d) El valor de la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros

22,1

212,1

entrermm

F ∝ rurmm

GF .. 22,1

212,1 −=

z

12F ru

m2

ru 21F m1 y

x


Propiedades de la FUERZA GRAVITATORIA:

- Dirección: línea de unión entre los cuerpos.

- Sentido: por ser una fuerza atractiva, es el sentido que tiende a acercarlas.

- Módulo: proporcional al producto de las masas.Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

- Constante de proporcionalidad, G, constante de gravitación universal:G = 6.67390. 10-11 n.m2Kg-2.

- Si una masa interacciona con varias estará sometida a varias fuerzas gravitatorias, de manera que:

∑=

=n

iiT FF

1

4. El momento angular y las fuerzas centrales. Principio de conservación del momento angular

Las leyes de Kepler son experimentales, fueron deducidas a partir de los datos obtenidos por la observación directa de Tycho Brahe. Actualmente estas leyes se deducen matemáticamente a partir de las Teorías de la Dinámica.

Recordemos las leyes de la dinámica de traslación y rotación

Dinámica de traslación

p=mvdtpdF =

Ecuación Fundamental de la dinámica de traslación(≡ amF .= )

Dinámica de rotaciónprL ∧=

dtLdM = dt

LdFrM =∧=

momento angularEcuación Fundamental de la Dinámica de Rotación


M : Momento de una fuerza agente dinámico de la rotaciónequivalente a la fuerza en la traslación

M=r∧FSe denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector fuerza.

- El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M = d F = F r sen α (α = ángulo que lleva F a r por el camino más corto)

- La dirección es perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca la regla del tornillo o de la mano derecha.

- El sentido viene determinado por la regla del tornillo o de la mano derecha. Se pone el origen del 2º vector sobre el final del 1º y se lleva con la palma de la mano el 2º hacia el 1º, mientras el dedo pulgar indica hacia arriba o hacia abajo el sentido del momento de la fuerza.

α F

r

Momento de una fuerza aplicado a una fuera central (ejemplo de un sistema solar).

En este caso r y F son vectores paralelos, el ángulo que forman r y F es 180, sen 180 = 0.

M = F . r . sen α

M = 0


L : Momento angular caracteriza el estado cinético de un cuerpo en rotación

- El momento angular de una partícula es el vector producto vectorial del vector cantidad de movimiento por el vector de posición.

prL ∧= L=r∧mv

- Se obtiene mediante la regla de la mano derecha. Es por tanto un vector perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v.

4.1. Principio de conservación del momento angular

Si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

dtLdM = si 0=M entonces cteL =

Si 0=∧= FrM Como M = r. F. sen α = 0 sen α = 0

r y F son paralelos tienen la misma dirección.Este tipo de fuerzas se llama Fuerzas Centrales

Consecuencias del Principio de conservación del Momento angular

Si la Fuerza aplicada y el vector de posición son paralelos el momento angular permanece constante.

Si el momento angular es constante la fuerza y el vector de posición deben ser paralelos, es decir estar situados en el mismo plano


http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/centrales/CentralForceOne.html

4.2. Aplicación al Campo Gravitatorio.

Demostración 1ª Ley Kepler- O: Sol- m: planeta- r : vector posición del planeta- F : fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre el planeta- v : velocidad del planeta- L : momento angular de la fuerza gravitatoria.

Si el momento angular es constante la fuerza y el vector de posición deben ser paralelos, es decir estar situados en el mismo plano

LA ÓRBITA DE LOS PLANETA ES PLANA 1º LEY DE Kepler

http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/mangular/AngMomA.html

Demostración 2ª Ley Kepler: ctedtdS =

2 dl 1

r

El área barrida por el planeta al girar alrededor del sol es la sombreada. ds




El producto vectorial de dos vectores = área del paralelogramo que forman. 2ds, dos veces el área barrida.Ésto sólo se puede suponer para un tiempo muy pequeño, por eso trabajamos con diferenciales y derivadas

El producto vectorial de dos vectores = área del paralelogramo que forman

∣r∧dl∣=2dS El área barrida por el planeta para ir de 1 2

por definición la velocidad del planeta es la derivada del espacio recorrido sobre la trayectoria en

función del tiempo v=dldt

dl=v dt

∣r∧dl∣=2dS ∣r∧ vdt∣=2dS dt [r∧v ]=2dS dSdt

=r∧v2

De antes L=cte

r∧m v=cte

prL ∧= L=r∧mv Como m = cte

como p=mv r∧v=cte

2º LEY DE KEPLER ctedtds =


Demostración 3ª Ley Kepler

Un planeta que gira alrededor del Sol está sometido a la fuerza gravitatoria.Pero, como cualquier cuerpo que describe un Movimiento Circular presentará un aceleración en dirección perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el centro de la misma, la aceleración normal, na .

T2 = k R3

Planeta

na gF

SOL

Según el 2º Principio de la Dinámica

∑ F=m an

rva n

2

= ∣F∣=m2 r

rv ω=

Fuerza gravitatoria

rg urMmGF

2−=

∣F∣=−G M mr2

igualando

rmrMmG 2

2ω= 32rGM ω=

Tπω 2= 1 vuelta

32

24 rT

GM π= 32

2 4 rGM

T π= 32 kRT =

Todos estos valores son 3ª LEY DE KEPLER

constantes


5. Campo Gravitatorio.En el siglo XIX Faraday, Thomson y Maxwell, para explicar las fuerzas eléctricas y magnéticas crean un nuevo concepto físico: CAMPO DE FUERZAS.

El campo es un concepto primario (como lo es la materia o el espacio) que actúa de soporte de la interacción entre cuerpos.Según la teoría del campo, la materia no está localizada únicamente en los límites del cuerpo, sino que se extiende por todo el “campo”.El estudio del “campo” admite dos descripciones.

- Escalar: a partir del concepto de potencial.- Vectorial. A partir del concepto de vector intensidad del campo

Aplicaremos este concepto a las fuerzas gravitatorias:

Estas son las fuerzas que se ejercen mutuamente dos masas “M” y “m” separadas una distancia “r”.Nosotros vamos a estudiar únicamente el efecto producido por la masa “M” sobre “m

M m ru

F

r

Recordemos:

rg urMmGF

2−=

Fuerza gravitatoria

- ur es el vector unitario en la dirección de la fuerza, la dirección que une las dos masas interactuantes.- la fuerza es negativa por que se dirige al origen.

Nosotros vamos a estudiar el efecto que produce la masa “M” sobre la masa ”m”, es decir la “perturbación que produce la masa”M” a su alrededor, el “campo gravitatoria que genera M”, por lo tanto, vamos a considerar:

- M: crea el campo, supondremos fija.- m: soporta el campo.

Intensidad del campo gravitatorio.

Es una magnitud que cuantifica la perturbación originada por la masa M

Es la fuerza que actúa por unidad de masa mFg

=

Unidades N/ KggmF

=


Igualando las expresiones

rg urMmGF

2−= rur

GMg 2−= M: crea el campo.

gmF = m: soporta el campo.

módulo

Campo creado por la masa “M” a una distancia “r”. rurGMg

2−= 2rGMg =

Campo soportado, percibido, por la masa “m”. g=Fm

∣g∣=Fm

Líneas de fuerza.

Se llama líneas de fuerza del campo gravitatorio a unas líneas imaginarias que dibujan la trayectoria que seguiría una masa sometida al campo gravitatorio creado por M., es decir muestran la dirección y el sentido de la intensidad del campo gravitatorio a que se vería sometido la masa “m”

Las flechas muestran la dirección del campo gravitatorio y cualquier masa en las cercanías de la Tierra se verá acelerada en la dirección del campo que pasa por esa posición.

En el campo gravitatorio sólo hay sumideros de líneas de fuerza, no hay fuentes


Principio de superposición.

El campo gravitatorio creado por varias masas puntuales es la suma vectorial de los campos individuales creados por cada uno de ellos.

Masas no puntuales.

Hasta ahora hemos supuesto que trabajamos con “masa puntuales”.Que son cuerpos que no tienen volumen y cuya materia está concentrada en un punto. Como es lógico esta es sólo una suposición ideal. En el caso en que los cuerpos estén situados a distancias muy grandes entre sí, caso de los planetas, esta suposición funciona correctamente.Si trabajamos en la superficie del planeta seguiremos aceptando la aproximación. Pero si tuviéramos que trabajar dentro del planeta, en una sima o una cueva, la aproximación ya no sería adecuada, y comprobaríamos que los resultados teóricos se alejan de los experimentales. En esos casos hay que recurrir a mejorar la teoría.

Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta.

m

h

MT

RT

Estudiemos el caso de un cuerpo m que cae sobre un planeta de masa MT desde una altura h.La intensidad del campo gravitatorio es:

rurGMg

2−= 2r

GMg =

la distancia desde m al centro de MT es TRhr +=

( ) 2hRGM

gT

T

+= pero como h <<< RT

2TRMGg = la intensidad del campo gravitatorio de un

planeta depende de su masa y de su tamaño

Como gmF =

La fuerza con que un planeta atrae a un cuerpo depende de la intensidad del campo gravitatorio que genera, y por lo tanto dependerá de sus características físicas, su masa y su tamaño.

Un cuerpo será atraído por cada planeta con diferente fuerza, en función de las características de ese planeta

Si aplicamos el Principio Fundamental de la Dinámica (2º Principio de la Dinámica)

∑ F=ma amgm =La única fuerza que está ag =actuando es la fuerza gravitatoria gmF = aceleración de caída de los cuerpos =

intensidad del campo gravitatorio


Ambos son dos vectores dirigidos hacia el interior del planeta, pero:

a → es una aceleración, se mide en m/s2

g → es la intensidad del campo gravitatorio, se mide en N/Kg

∣a∣=∣g∣

2r

GMa =

2rGMg =

La aceleración con un cuerpo cae sobre la superficie de un planeta depende únicamente de las características de éste, y no del cuerpo.

Todos los cuerpos caen con la misma aceleración en un planeta dado.

En el caso de la Tierra ∣g∣=g=9,8N /Kg ∣a∣=a=9,8m / s2

5.1. Variación de la Intensidad del Campo Gravitatorio con la altitud.

g rot an

r λ λ gefect R g0 λ R

En muchos casos el valor teórico de g no coincide con el experimental. Una de las razones es la rotación de la Tierra sobre su eje.

Cualquier cuerpo apoyado sobre al Tierra gira unida a ella, y por lo tanto está sometido a su aceleración normal, an, esta aceleración debe estar originada por una componente de g en la dirección de an y sentido hacia dentro.

rnrot urag 2ϖ==

Como Rr=λcos λcosRr = rrot uRg λϖ cos2=

La intensidad de la gravedad efectiva será rotteóricaefect ggg −=


Puntos singulares:

- Polos: λ = 90º cos 90 =0 0=rotg teóricaefect gg = Máximo

- Ecuador: λ = 0º cos 0 = 1 ∣ g rot∣=RT 2 Valor máximo de rotg

∣ g efect∣ valor mínimo

El cuerpo es más atraído si se encuentra más cerca de los Polos que del Ecuador.

NOTA: hemos tenido en cuenta dos suposiciones:- geometría, suponemos que los planetas son esferas perfecta, lo cual no es cierto.- Densidad de los planeta, éstos no tienen naturaleza uniforme.

5.2. Variación de la Intensidad del Campo Gravitatorio con la altura.

R RMGg =0

h R

( ) 2hRMGg+

=

Intensidad del campo en la superficie del planeta Intensidad del campo a una altura h

Haciendo operaciones:

( )

2

2

0

RMG

hRM

G

gg += ( ) 2

2

0 hRR

gg

+=

( ) 2

2

0 hRRgg+

=

Si h↓ g↑ La intensidad aumenta, el cuerpo es más atraído cuanto más cerca estoy del nivel del mar.


6. Estudio energético de la intensidad gravitatoria.Hemos hecho un estudio vectorial del campo gravitatorio, ahora vamos a hacer el estudio escalar.

Recordemos una serie de definiciones.

Trabajo: producto escalar de la fuerza ejercida por el desplazamiento que produce.

rdFdW = rdFW

∫=

Propiedades del Campo Gravitatorio:

- Es un campo central por estar creado por fuerza centrales.- En este tipo de campos el trabajo W para ir del punto 1 al 2 es independiente del

camino a seguir.- El trabajo en una trayectoria cerrada, para ir de una punto 1 y volver al mismo, es cero.- A este tipo de campo se les llama “conservativos”.- Por eso se dice que el campo gravitatorio es central y conservativo.

En los campos conservativos se puede definir una nueva magnitud denominada: ENERGÍA POTENCIAL en un punto, de la siguiente manera:

pEW ∆−= el trabajo realizado por un campo conservativo = disminución de la energía potencial.

M ur d r m

r2 2 F 1

r1

La masa M crea un campo gravitatorio. Movemos al masa “m” desde 1 a 2, esto sucede espontáneamente debido a la fuerza gravitatoria atractiva entre M y m. Esta fuerza produce un desplazamiento rd , y por lo tanto un W


rdFW ∫=

2

1 rdu

rMmGW r∫ −=

2

12 drdrurdu rr −== θcos

rurMmGF

2−= 1 -1 180º

∫ −−=2

12rdrGMmW

+−−=

−−=

12

2

1

111rr

GMmr

GMmW

21 rGMm

rGMmW +−=

Por definición2121 ppp EEEW −=∆−=→

11 r

GMmE p −=2

2 rGMmE p −=

rGMmE p −=

CONSECUENCIAS:

1º- Si r =∞ Ep = 0. A esto se le denomina: Origen de potenciales.2º- L energía potencial es cosa de dos o más cuerpos con masa. 3º- El trabajo realizado espontáneamente por un campo gravitatorio, W>0, da lugar a una

disminución de Energía potencial.4º- Las masas abandonadas se aproximan entre sí y evolucionan espontáneamente hacia

posiciones de mínima energía potencial.5º- Diagrama de energía potencial.

Ep

r

Ep< 0


7. Potencial gravitatorio.Es la energía potencial por unidad de masa en un punto.

mE

V p=r

GMV −= - magnitud escalar

- unidades: J/Kg

rGMmE p −= - M: masa que crea el campo

8. Conservación de la energía.

Fuerza conservativas:

Si un sistema se mueve sometida únicamente a fuerzas gravitatorias, su energía mecánica (suma de su energía cinética y potencial), se mantiene constante, independientemente de que haya interconversiones entre ambas.

0=mecánicaE 0=∆ mecE

0=∆+∆ pc EE2211 pcpc EEEE +=+

Fuerzas no conservativas:

Si existe un rozamiento, un intercambio d energía con el exterior:

0≠mecánicaE extmec WE =∆

2211 pcextpc EEWEE +=++

EWext ∆= trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, es siempre negativo, se invierte en variar la energía total o energía mecánica.


9. Satélites artificiales y lanzamientos interplanetarios.

Un satélite artificial girando alrededor de la Tierra lejos de la acción de la atmósfera está sometido a la fuerza gravitatoria, que es una fuerza central aplicando el principio de conservación de la energía:

cteEEE pcmec =+= cter

GMmmvE =

−+= 2

21

El satélite está ligado a la Tierra por lo tanto Ec debe ser menor que la Ep para que no escape:

0<+ pc EE 021 2 <

−+

rGMmmv

haciendo operaciones.planeta

escape

rGMv <

2

2

de la raíz cuadrada se obtienen dos valores. La distancia varía por lo tanto entre esos dos valores:- Uno mínimo r1.

- Uno máximo r2 Tenemos una elipse como nos decía Kepler

En el caso especial de que la elipse fuera una circunferencia:

Recordemos que aplicando la Ecuación Fundamental de la Dinámica, como la única fuerza que actúa es al gravitatoria:

∑ = namF nma

rMmG =

2

rg urMmGF

2−=rvan

2

=rvm

rMmG

2

2=

Despejando

rGMvórbita =

M: masa del planeta

El periodo de giro viene dado por la 3ª ley de Kepler: 32 kRT =

Como R =r: altura a la que se encuentra el satélite. 32

2 4 rGM

T π=


Velocidad de escape.

Hacemos un balance de energía entre los puntos 1 y 2:1: superficie del planeta.2: un punto situado en el infinito, donde el satélite o el cohete ya se ha escapado. En este

punto su velocidad es cero, por lo tanto Ec es cero. La Ep también es cero, ya que por definición en el infinito esta aceleración es cero.

Queda:

2211 pcpc EEEE +=+2

22

1

21 2

121

rMmGmv

rMmGmv −=−

0 0

r1 = R planeta

r2 = R planeta + h (altura)

Queda: 021 2 =−

p

pesc

RM

Gmvp

pesc R

GMv =

Depende únicamente del planeta, no del cuerpo que se lanza.


Gravitación Universal. 1. Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la relación R3 /T2

es constante y su valor es 3,35.1018 m3 /s2, siendo R el radio de sus órbitas y T el periodo de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcula la masa del Sol. Dato: G = 6.67.10-10 S.I.

2. Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio igual a la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su periodo de revolución?. Dato: tomad el periodo actual igual a 28 días.

3. Se determina, experimentalmente, la aceleración con que cae un cuerpo en el campo gravitatorio terrestre en dos laboratorios diferentes, uno situado a nivel del mar y otro en un globo que se encuentra a una altura h = 19570 m sobre el nivel del mar. Los resultados obtenidos son g = 9,81 m/s2 en el primer laboratorio y g´= 9,75 m/s2

en el segundo laboratorio. Se pide.a) Determinad el valor del radio terrestre.b) Sabiendo que la densidad media de la Tierra es ρT = 5523 Kg/m3,

determinad el valor de la constante de gravitación G.

4. Un satélite de 500 Kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita circulas a 6.106 m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio es 3400 Km, se pide.

a) Fuerza gravitatoria sobre el satélite.b) Velocidad y periodo del satélite.c) ¿A qué altura debería de encontrarse el satélite para que su periodo fuera el

doble?

5. Se desea situaren órbita un satélite de comunicaciones, de tal manera que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre (órbita geoestacionaria). Si la masa del satélite es de 1500 Kg, se pide:

a) Altura por encima de la superficie terrestre a la cual ha de situarse el satélite.b) Energía total del satélite cuando se encuentre en órbita.Datos: G = 6.67.10-10 S.I.; MTierra = 5.98 . 1024 Kg; T Tierra = 6370 Km

6. ¿Cuál debería ser la velocidad inicial de la Tierra para que escapara del Sol y se dirigiera hacia el infinito?. Suponed que la Tierra se encuentra describiendo una órbita circular alrededor del Sol.Datos: Distancia Tierra-Sol = 1.5 . 1011 m ; MSol = 2 . 1030 Kg ; G = 6.67.10-10

Nm2 /Kg2 .


Septiembre 04. 1.La órbita de una de las lunas de Júpiter, Io, es aproximadamente circular con un radio de 4,2 . 10 8

m. El periodo de la órbita vale 1,53 . 105 s. Se pide:a). El radio de la órbita circular de la luna de Júpiter Calipso que tiene un periodo de 1,44 . 106 s.b). La masa de Júpiter.c). El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter.

Datos: Radio de Júpiter RJ = 71400 Km; G = 6,67 . 10-10 Nm2/Kg2.Septiembre 04. 2-Un satélite geoestacionario es aquel que se encuentra siempre en la misma posición respecto a un punto de la superficie de la Tierra. Se pide:

a). La distancia sobre la superficie terrestre a la que ha de situarse un satélite geoestacionario.b). La velocidad que llevará dicho satélite en su órbita geoestacionaria.

Datos: Masa de la tierra 6 . 1024 Kg. Radio de la Tierra 6370 Km. G = 6,67 . 10-11 Nm2/Kg2. Septiembre 04. A.Una sonda espacial de masa 1200 kg se sitúa en una órbita circular de radio 6000 km, alrededor de un planeta. Si la energía cinética de la sonda es de 5,4 . 109 J. Calcula.

1. el periodo de la sonda.2. La masa del planeta.

Datos. G = 6,7 . 10-11 Nm/kg2.Septiembre 04. B.Febos es un satélite que gira en una órbita circular de radio 14460 km alrededor del planeta Marte con un periodo de 14 horas, 39 minutos y 25 segundos. Si sabemos que el radio de Marte es de 3394 km, calcula:

a) La aceleración de la gravedad en la superficie de Marteb) La velocidad de fuga de Marte de una nave espacial situada en Febos.

Septiembre 04. C.Si consideramos que las órbitas de la tierra y de Marte alrededor del sol son circulares ¿Cuántos años terrestres dura un año marciano? El radio de la órbita de Marte es 1,486 veces mayor que el terrestre.Septiembre 04. D.Dibuja las líneas de fuerza de campo eléctrico gravitatoria producido por dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto en el que la intensidad del campo gravitatoria sea nula? En caso afirmativo indica en que punto. ¿Existe algún punto en el que el potencial gravitatorio sea nulo? En caso afirmativo indica en que punto?.Septiembre 09. A.Determina la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte sabiendo que su densidad media es 0,72 veces la densidad media de la Tierra y que el radio de dicho planeta es 0,53 veces el radio terrestre. Dato: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre g = 9,8 m/s2.Septiembre 09. B.Dos masas puntuales M y m se encuentran separadas una distancia d. Indica si el campo o el potencial gravitatorios creados por estas masas pueden ser nulos en algún punto del segmento que las une. Justifica la respuesta.Junio 09. B.Hay tres medidas que se pueden realizar con relativa facilidad en la superficie de la Tierra: la aceleración de la gravedad en dicha superficie (9,8 m/s2), el radio terrestre (6.37. 106 m) y el periodo de la órbita lunar (27 días, 7 h, 44 s).

1) Utilizando exclusivamente estos valores y suponiendo que se desconoce la masa de la Tierra, calcula la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.

2) Calcula la densidad de la Tierra sabiendo que G = 6.67. 10-11 Nm2/kg2.


Septiembre 08. A.¿A qué altitud sobre la superficie terrestre la intensidad del campo terrestre gravitatorio es el 20 % de su valor sobre la superficie terrestre? Dato: radio de la Tierra R = 6300 Km.Junio 08. A.Una sonda espacial de 200 kg de masa se encuentra en órbita circular alrededor de la Luna, a 160 km de su superficie. Calcula.

1) La energía mecánica y la velocidad de la sonda.2) La velocidad de escape de la atracción lunar desde esa posición.Datos: G = 6.67. 10-11 Nm2/kg2, masa de la Luna 7.4.1022 kg, radio de la Luna 1740 km.

Junio 08. B.Disponemos de dos masas esféricas cuyos diámetros don 8 y 2 cm respectivamente. Considerando únicamente la interacción gravitatoria entre estos dos cuerpos, calcula:

1) La relación entre sus masas m1/m2 sabiendo que si ponemos ambos cuerpos en contacto el campo gravitatorio en el punto donde se tocan es nulo.

2) El valor de cada masa sabiendo que el trabajo necesario para separar los cuerpos, desde la posición de contacto hasta otra donde sus centros distan 20 cm. es: W = 1.6.10-12 J

Junio 10. A.Un planeta gira alrededor del sol con una trayectoria elíptica. Razona en qué punto de dicha trayectoria la velocidad del planeta es máxima.Junio 10. B.Un objeto de masa m1 se encuentra en el origen de coordenadas, mientras que un segundo objeto de masa m2 se encuentra en un punto de coordenadas (8,0) m. Considerando únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula:

a) La relación entre las masas m1/ m2 si el campo gravitatorio en el punto (2,0) m es nulo.b) el módulo, dirección y sentido del momento angular de la masa m2 con respecto al

origen de coordenadas si m2 = 200 kg y su velocidad es (0,100) m/s.Junio 10. B2.Define el momento angular de una partícula. Calcula el momento angular de una partícula de masa 2 kg que se encuentra en el punto (0,-2) m y cuya velocidad es (3,0) m/s.Junio 10. A2.Se sabe que la Luna realiza una vuelta completa alrededor de la Tierra en 27 días, 7 horas y 44 minutos, y que el radio de su órbita es de 384400km. Calcula la masa de la Tierra utilizando estos valores.Dato: constante de gravitación universal G = 6,67 . 10-11 Nm2 /kg.Septiembre 10. A.Explica brevemente el significado de la velocidad de escape. ¿Qué valor adquiere la velocidad de escape en la superficie terrestre? Calcúlala utilizando exclusivamente los siguientes datos: el radio terrestre R = 6,4 . 106 m y la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2 .Septiembre 10 B.Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de 7,6 . 103

m/s, calcula: a) el radio de la órbita y el periodo orbital del satélite. b) La velocidad de escape del satélite desde ese punto.

Utiliza exclusivamente estos datos: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre g = 9,8 m/s2 ; radio de la Tierra R = 6,4 . 106 m


fÍsica 2º bachillerato. t i. gravitación...

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