fatih sultan erdem tez 4 adet - dokuz eylül...
TRANSCRIPT
TC
DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ
MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
TIMOSHENKO KİRİŞLERİ VE TİMOSHENKO
KİRİŞLERİNDE BURKULMA ANALİZİ
BİTİRME PROJESİ
Fatih Sultan ERDEM
2002508030
Projeyi Yöneten Yrd.Doç.Dr.Evren TOYGAR
OCAK 2007 İZMİR
1
TEZ SINAV SONUÇ FORMU
Bu çalışma 20/06/03 günü toplanan jürimiz tarafından BİTİRME PROJESİ
olarak kabul edilmiştir / edilmemiştir.
Yarıyıl içi basan notu 100 (yüz) tam not üzerinden .........( ...........................) dir.
Başkan Üye Üye
Makina Mühendisliği Bölüm Başkanlığına,
2002508030 numaralı Fatih Sultan Erdem jürimiz tarafından 26/01/07 günü saat
..................................................................................................................................
da
yapılan sınavda, 100 (yüz) tam not üzerinden..............almıştır.
Başkan Üye Üye
ONAY
2
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın başlangıcından bitimine kadar yardımlarını gördüğümüz kıymetli
hocamız Yrd.Doç.Dr.Evren TOYGAR Hanım’a , Araş.Gör. Hasan Öztürk’e ,
Araş.Gör. Yusuf Arman’a , ortak çalışma yürüttüğümüz sevgili arkadaşım Serkan
Kurt’a ve aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
Fatih Sultan Erdem
3
ÖZET
Nârin elemanlarda burkulmanın mühim bir yer tuttuğu bilinmektedir. Bunun için
bu tür elemanların burkulmaya başladığı kritik yükün hesabı makine mühendisliğinde
geniş bir yer tutar. Bu kritik yük hesabı için geliştirilmiş çeşitli formülasyonlar vardır.
Bulunuşu günümüze göre bayağı eskiye dayanan Bernoulli-Euler formüllerinin
yanında 20. asırda Stephan Timoshenko tarafından geliştirilen Timoshenko hesap
usûlü çözüm için yaygın kullanım sahasına sahiptir. Timoshenko’nun hesap yöntemi
Euler hesap yönteminde ihmal edilen kesme kuvvetinin de işe katılmasıyla
geliştirilmiştir. Kesme kuvvetinin de hesaba katılması dolayısıyle , tahmin
edilebileceği üzere Timoshenko’nun yönteminde bulunan kritik yük Euler hesap
yönteminde bulunan kritik yük değerinin altında olacaktır. Bunun için
Timoshenko’nun hesap yöntemini daha emniyetli bir hesap yöntemi addedebiliriz.
Bu projede teorik hesapların yapılmasının yanı sıra, sonlu elemanlar
metoduyla çalışan Ansys 10.0 programı da kullanılmıştır. Hesaplarda kare kesitli
ve lineer değişken kesitli bir ucu serbest bir ucu ankastre kirişler kullanılmıştır.
Teorik hesapta çıkartılan sonucun, Ansys 10.0 programının değerleriyle
karşılaştırılması yapılmıştır.
4
İÇİNDEKİLER
Sayfa
İçindekiler……………………………………………………………………… 4
Şekil listesi…………………………………………………………………….. 6
Giriş……………………………………………………………………........ 7
Bölüm Bir
1.Timoshenko Kirişleri…………………………………………………….. 7
1.1 Bazı Ön Bilgiler ………………………………………………………. 7
1.2 Kesme Kuvvetlerinin Kiriş Sehimlerine Etkisi……………………….. 9
Bölüm İki
2.Burkulmanın Genel Tanımı………………………………………………… 15 2.1 Bir ucu serbest bir ucu ankastre kiriş ………………………………. 16
2.2 Bir Ucu Mafsallı Bir Ucu Ankastre …………………………………. 17
2.3 Elastik Burkulma formüllerinin Geçerlilik Sınırları ………………. 19
Bölüm Üç
3.Burkulmada Kayma Kuvvetinin Kritik Yüke Etkisi………………............. 20
Bölüm Dört
4. Ansys 10.0’da Kare Kesitli Timoshenko Kiriş Modelinin Oluşturulması
ve Burkulma Analizi………………………………………………………... 26
4.1 Problem Tipinin Tanımlanması……………………………………… 26
4.2 Malzeme Özellikleri…………………………………………………. 27
4.3 Modelin Oluşturulması………………………………………………. 29
4.4 Meshing İşlemi ……………………………………………………… 31
4.5 Sınır Şartlarının Belirlenmesi ve Çözüm……………………………. 33
.
Bölüm Beş
5. Ansys Sonucunun Teorik Değerle Karşılaştırılması……………………… 40
5
Bölüm Altı 6. Ansys 10.0’da Lineer Değişken Kesitli Timoshenko Kirişinin Modelinin
Oluşturulması ve Burkulma Analizi…………………………………….. 41
Sonuç……………………………………………………………………. 43
6
ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa
Şekil 1.1 Kesme Kuvveti ve Moment Diyagramları……………… 8
Şekil 1.2 Birbirine Göre Kayan İki Plaka………………………… 8
Şekil 1.3 Kesitlerin Birbirine Göre Kayması…………………….. 9
Şekil 1.4 Yayılı Yük Moment Diyagramları……………………... 10
Şekil 1.5 Kirişin Küçük Bir Kısmına Etkiyen Yayılı Yüklerin Tek Bir Yük Gibi
Gösterilmesi………………………………………………………. 12
Şekil 1.6 Ankastre Kirişin Eğilmesi …………………………….... 14
Şekil 2.1 Bir ucu mesnetli diğer ucu serbest kiriş ……………….. 16
Şekil 2.2 Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre kiriş ……………….. 18
Şekil 3.1 Burkulmada Kesme Yükün Gösterilişi ………………… 21
Şekil 3.2 mn Elemanının Deformasyonu ve Kritik Yük …………. 25
Şekil 4.1 Kare Kesitli Kiriş ve Düzgün Değişken kesitli kiriş …… 43
7
GİRİŞ
Makine ve İnşaat Mühendisliğinde hatanın önceden tahmin edilmesi ,
tasarlanacak yapıların güvenliği açısından önemli , hattâ kritik bir yer tutar. Belki
de en yaygın olarak kullanılan yapı elamanı yüklenmiş kirişlerdir. Bundan dolayı
kirişlerin bükülme ve stabilitelerine dâir malûmata geniş bir ilgi ve bu konulara
dâir bir çok uygulama vardır. Kirişlerin davranışlarını tanımlamak için
geliştirilmiş komplekslikleri ve geçerlilikleri değişik birçok kiriş teorisi vardır.
Bunlardan biri olan Timoshenko Kiriş Teori’si kabûl görmüş Euler-Bernoulli
Kiriş Teorisi’nin , kesme kuvvetlerinden doğan deformasyonun da hesaba
katılarak geliştirilmesiyle doğmuştur.
1.BÖLÜM
TİMOSHENKO KİRİŞLERİ
Düzlemsel bir kiriş parçasını dengede tutabilmek için üç kuvvet elemanına
gereksinim duyulur. Bunlar eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momentidir.
Biz Timoshenko kirişlerinde eğilme momentinin yanında kesme kuvvetlerinin
oluşturduğu kayma gerilmelerini inceleyeceğiz. Eğilmenin sebep olduğu normal
gerilme dağılımı Euler-Bernoulli yöntemindeki gibi hesap edilecektir. Bu normal
gerilme ile kayma gerilmesi, denge denklemi yardımıyla birbirine bağlandığından,
basit bir integrasyonla kayma gerilmesi hemen tayin edilebilir.
1.1 BAZI ÖN BİLGİLER
Önce, bir kirişteki V kesme kuvveti ile M eğilme momentinin değişimi
arasında bir bağıntının olduğunu hatırlamak gerekir.
dM = -Vdx
8
Yani, kirişin bir kesitinde kesme kuvveti mevcut ise bitişik kesitlere etkiyen
eğilme momentleri farklı olmalıdır.
Şekil1.1
Bağlantı civataları ve kirişlerdeki kayma gerilmelerini ifadesini veren
denklemlerin elde edilmesine geçmeden önce, doğruluğu daha çok sezgiye
dayanan bir örnek verelim. Alttaki şekillerde gösterildiği gibi, biri diğerinin
üzerine oturan ahşap bir kalas düşünelim. Bu kalaslar birbiri üzerinden kaydığı ve
içten bir bağlantısı olmadığı için birer bağımsız kiriş gibi davranırlar. Kaymaya
olan bu temayülü hayalimizde canlandırmak hiç de zor değildir.
Şekil1.2
9
Birbirine sıkıca bağlanmayan iki plaka yüklendiği zaman birbirine göre kayar.
1.2KESME KUVVETLERİNİN KİRİŞ SEHİMLERİNE ETKİSİ
Daha önce de bahsettiğimiz gibi klasik çözümlemelerde sâdece eğilme
momentinden doğan sehimler göz önüne alınmıştı. Ancak kesme kuvveti de buna
ilâve olarak bir sehim hâsıl eder. Bu sehim komşu kesitlerin birbiri boyunca
karşılıklı kayması şeklinde baş gösterir. Kayma gerilmeleri uniform olarak
yayılmadıkları için önceden düzlemsel olan kesitler şekilde görüldüğü gibi eğri bir
biçim alırlar .
Şekil1.3
Kesitlerin ağırlık merkezlerindeki elemanlar düşey kalırlar fakat birbirine göre
kayarlar. Onun için yalnız kesme kuvvetinden doğan elastik eğrinin herhangi bir
kesitdeki eğimi bu kesitin ağırlık merkezindeki kayma açısına eşittir. Kesmeden
doğan sehimleri y1 ile gösterdiğimize göre herhangi bir kesitdeki eğim için şu
ifâdeyi elde ederiz :
dy1/dx = τ y x / G = α*V / A*G
burada V/A , τ y x ortalama kayma gerilmesini , G kayma modülünü ve x
kesitin ağırlık merkezindeki kayma gerilmesini elde etmek için ortalama kayma
gerilmesinin çarpılması icab eden sayısal bir faktörü gösteriyor. Dikdörtgen kesit
10
için α = 3/2 , dâiresel kesit için α = 4/3 ‘tür. Sürekli yüklü bir kirişte V kesme
kuvveti de sürekli bir fonksiyon olup bunun x’e göre diferansiyeli alınabilir. Buna
göre yalnız kesmeden hâsıl olan eğrilik şudur :
qAGdx
dVAGdx
yd αα−==
2
21
2
Bununla eğilme momentinin oluşturduğu momentin toplamı
)(12
2
qAGEIM
EIdxyd z
z
α+−=
olur. Kesme kuvveti tesirinin göz önüne alınması icap eden bütün hallerde
sehimleri tayin etmek için bu denklem kullanılır.
Misâl olarak basit mesnetli ve uniform yüklü bir kirişi göz önüne alalım.
Herhangi bir x kesitinde eğilme momenti şudur :
22
2qxxqlM −=
Şekil 1.4
Farazî kirişteki yük şu iki kısımdan oluşur. 1- parabolik eğilme diyagramı
2- uniform yayılmış yük. Herhangi bir kesitde kesme kuvvetinden dolayı husûle
gelen ilâve edilmiş sehim , bu tarzda yüklenmiş olan farazî kirişin aynı kesitindeki
11
eğilme momentinin EIz ile bölümüne eşittir. Netice itibarıyle kirişin ortasındaki
ilâve edilmiş sehim
AG
qllqAGEI
EIz
z 88)(1 22 ααδ ==
dir. Bunu , eğilme momentinin hâsıl etdiği sehime eklersek , toplam sehim için
şu değeri elde ederiz :
)5
481(384
58384
52
2222
GlEk
EIql
AGql
EIql z
zz
ααδ +=+=
Burada )/( AIk zz = , z eksenine göre atalet yarıçapıdır.
Yüksekliği h olan bir dikdörtgen kesitde 22 12/1 hkz = , α=3/2’dir. E/G =
2(1+μ)=2,6 koyarsak üsteki denklemden şu denklemi elde ederiz :
)12,31(384
52
24
1 lh
EIql
z
+=δ
Görülüyor ki l/h = 10 oranı için kesme kuvvetinin sehime tesiri yüzde 3
kadardır. l/h oranı küçüldükçe bu tesir büyür.
I kirişleri için α faktörü çoğunlukla 2’den büyüktür ve bu kirişler kısa oldukları
takdirde kesme kuvvetinin tesiri nispeten büyük olabilir. Sonuç olarak
)](88
[ 1
21
2
1
bbhbhIb
VAV
z
−−=α
Buradan
)](88
[ 1
21
2
1
bbhbhIbA
z
−−=α
Elde edilir. Meselâ h=55 cm , h1= 49 cm , A = 213 cm2 , b=20 cm ,
Iz=99184cm4 , gövde et payı b=1.9 cm ve l=6h olduğunu farzedelim. Bu değerler
12
denklemde yerine taşınırsa kesmenin oluşturduğu sehimin , eğilmeden oluşan
sehimin yüzde 26,8’i kadar olduğu görülür. Onun için göz önüne alınması icap
eder.
Münferit bir P yükü hâlini ele alalım. Bu çeşit bir yük , kirişin çok kısa bir e
parçası üzerine yayılmış olan yüklerin limit hâli gibi göz önüne alınabilir. Buna
göre
P1= α * ( EIz/AG) *P
Şekil1.5
olacaktır. Bu denklemle verilen münferit farazî yüklerin , farazî kirişte hâsıl
ettikleri eğilme momentleri EIz ile bölünürse kesme kuvvetlerinden doğan
munzam sehim elde edilir. Meselâ bir kirişin merkezî yüklenmesinde P1 yükünün
farazî kirişin ortasında hâsıl etdiği eğilme momenti α * ( EIz/AG) *Pl/4
olacağından orta yerde kesme kuvvetinin hâsıl etdiği munzam sehim
41Pl
AGαδ =
olur. Bu sehim yalnız eğilme momentinden hâsıl olan sehime eklenirse toplam
sehim için şu ifâde elde edilir :
)121(48448 2
233
GlEk
EIPl
AGPl
EIPl z
zz
ααδ +=+=
yüksekliği h olan bir dikdörtgen kesitli kirişte
13
2
2
2
2
12lh
lk z = ,
23
=α
olduğundan
)90,31(48 2
23
lh
EIPl
z
+=δ
olur. h/l=10 için kesme kuvvetinin munzam tesiri yüzde 4 kadardır.
Yukarıdaki bütün incelemelerde kiriş kesitlerinin başlangıç şeklinde de
gösterildiği gibi serbestçe biçim değiştirebildiği farz edilmiştir. Bu şart yalnız
uniform yüklü kiriş hâlinde yaklaşık olarak sağlanır. Böyle bir kirişin orta yerinde
kesme kuvveti 0 olduğundan bu yerde şekil değiştirme olmayacaktır. Orta yerden
itibaren kirişin sol veya sağ parçası boyunca ilerlediğimize göre şekil değiştirme
kesme kuvvetiyle orantılı olarak artar. Onun için orta kesite nazaran
deformasyonların simetrik olması şartı da sağlanır. Şimdi orta yerdeki bir tek
yükün hâsıl etdiği eğilmeyi göz önüne alalım. Simetriden dolayı kirişin orta
yerdeki kesitinin düzlemsel kalması icap eder. Aynı zamanda yükün sağ ve
solundaki komşu kesitlerden her biri P/2’ye eşit bir kesme kuvveti taşır. Bu kesme
kuvvetlerinin hâsıl etdikleri şekil değiştirmeyi de hesaba katmak lâzımdır.
Bununla beraber deformasyonların sürekli olacağı şartından biliyoruz ki orta kesit
düzleminden , şekil değiştirmiş olan komşu kesitlere geçerken ani bir değişme
olamaz. Kiriş üzerinde orta yerden itibaren her iki tarafa doğru ilerlerken şekil
değiştirmenin sürekli olarak artması lâzımdır. P/2 kesme kuvveti , yüke yakın olan
yerlerde şekil değiştirme tamamen serbestmiş gibi bir tesir yapabilir. Bu
incelemeden anlaşıldığı gibi , orta kesit civârındaki gerilme yayılışı daha önceki
incelemelerden anlaşılamaz. Şekil değiştirme kısmen önlenecek ve kesme
kuvvetinin hâsıl etdiği sehim yukarıdaki değerden bir miktar daha küçük olacaktır.
Daha kapsamlı bir araştırma ile orta yerde bir tek yükün bulunması hâlinde bu
yerdeki sehimin
14
])(84,085,21[48
32
23
lh
lh
EIPl
z
−+=δ
olduğu gösterilebilir.
Konsol kiriş halinde de buna benzer durumlar vardır. Alttaki şekilde gösterilen
ankastre kirişin sehimi için l/2 yerine l , P/2 yerine P konulursa şeklin altındaki
denklem elde edilir.
)98,01(3 2
23
lh
EIPl
+=δ
Şekil 1.6
Ankastre kesitin düzlemden ayrılmasına tamamen mâni olunursa şartlar (k)
denkleminin çıkarılmasında farz edilen şartların aynı olur ve sehim
])(10,071,01[3
32
23
lh
lh
EIPl
−+=δ
bulunur. Bu da bir önceki denklemde verilen sehimden küçüktür.
15
2.BÖLÜM
BURKULMANIN GENEL TANIMI
Mukavemet ve yapı elemanlarının boyutlandırılmasında üç temel
karakteristik bulunmaktadır. Bunlar, mukavemet (akma veya kırılma), rijitlik ve
buna bağlı olarak deformasyon ve stabilitedir. Stabilitede kritik parametreler
diğerlerinden çok daha farklıdır. Akma ve kopmada sistemdeki gerilmeler belirli
bir değeri aşmışsa sistemde emniyet kalmamıştır denir. Bu tip problemlere
gerilme problemi denir. Burkulmada ise bir denge problemi söz konusudur. Eğer
denge konumu kararlı değilse sistemde doğabilecek en küçük bir farklılık
sistemde çok büyük şekil değiştirmelere sebep olur ve sistemin tekrar ilk
konumuna gelmesi imkansızlaşır. Bu tip problemlere kısaca denge (stabilite)
problemleri ismi verilir. Burkulmada karşılaştırma kriteri kritik burkulma
yüküdür.
Çeşitli mesnet hallerinde formüllemeler farklılık göstermektedir. Biz tek
taraftan ankastre, diğer taraftan serbest kiriş için incelememizi yapacağız. Çeşitli
mesnet halleri;
Klasik haller veya diğer adıyla Euler halleri:
a) Bir ucu serbest bir diğer ucu ankastre kolon
b)Bir ucu ankastre diğer ucu mafsallı kolon
c) iki ucu ankastre kolon
d)İki ucu mafsallı kolon
16
2.1 BİR UCU SERBEST DİĞER UCU ANKASTRE KOLON
Aşağıdaki şekillerde de görüldüğü gibi,
Şekil 2.1 Bir ucu mesnetli diğer ucu serbest kiriş
Eksenel basınç kuvvetlerinin şiddeti, kritik yük denilen, bir limit değere vardığı
zaman, uygulanma noktasının en ufak bir yer değiştirmesine veya eksenel yükün
şiddetinin en ufak bir artışına karşı, kirişin çökmesi son derece hassas bir hale
gelir ve kirişin eğilmesi, birden bire karakteristik yanal bir burkulma halini alır.
Uygulanan bir P eksenel kuvveti için çubuğun çökmesi Q yanal kuvveti ile
orantılıdır.
Çubuğa etkiyen eksenel kuvvet aynı kalmak şartıyla, Q yanal kuvvetine bir Q1
kuvveti ilave edilirse, neticede çökme, Q’dan ve Q1’den dolayı meydana gelen
çökmelerin süperpozisyonu ile elde edilir.
P kuvveti kritik değerin altında oldukça, çubuk ancak eksenel bir basınca
maruzdur diyebiliriz. Bu durumda çubuk doğrusal kalır. Elastik dengenin bu
doğrusal konumu kararlıdır, yani yanal bir kuvvet neticesinde küçük bir çökme
meydana gelirse, yanal kuvvet kaldırıldıktan sonra çubuk tekrar doğrusal
konumuna gelir. Doğrusal denge konumunun kararsız olduğu eksenel yükte
17
uygulanan yanal kuvvet sayesinde ortaya çıkan çökme, yanal kuvvetin
kaldırılmasıyla kaybolmaz. Buda gösterir ki, kritik yük, çubuğun hafifçe eğilmiş
bir şekli muhafaza edebilmesi için kâfi gelen eksenel yüktür.
Bir ucu serbest diğer ucu ankastre bir çubuk için kritik yük değeri,
k2= P/EI
olmak üzere:
kL = (2n+1) π/2 n=0,1,2,… dir.
Bu denklemi sağlayan en küçük n değeri (n=0) yerine konursa,
kL= L P / EI =π/2
olur.
Buradan da,
P=Pcr=π2EI/4L2 elde edilir.
Yani böyle bir çubuğu hafif eğik bir konumda tutabilecek en küçük eksenel yüktür
ve bu da kritik burkulma yükü adını alır.
n’nin diğer değerleri için,
P=9π2EI/4l2 P=25π2EI/4l2
değerlerini alır.
2.2 BİR UCU MAFSALLI DİĞER UCU ANKASTRE KOLON
Kendi ekseni doğrultusunda eksenel bir basma kuvvetinin etkisi altında kalan bir
çubuk bu kuvvetin şiddeti, kopma kuvvetinin altında belirli bir değere eriştiğinde eğer
18
kesit boyutları uzunluğuna oranla küçük ise kararsız durumdadır Bu durumda kuvvetin
veya mesnetleme sisteminin yer değiştirmesi çubuğun ani olarak burkulmasına yol
açar.
Boyu uzun kesiti değişmeyen bir çubuğun bir ucu sabit mafsallı diğer ucu kuvvet
doğrultusunda hareketli kayıcı mafsallı olarak eksenel kuvvetle basmaya
zorlandığını düşünelim.
F basma kuvveti altında bu çubuğun herhangi bir sebeple şekildeki gibi
burkulduğunu ve bu durumda dengede durduğunu kabul edelim.
N = F.cosQ
Q = F.sinQ
Şekil değiştirme malzemenin elastik sınırları altında kaldığı takdirde elastik
eğrinin eğimi çok küçük olacağı için
Şekil2.2 Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre kiriş
cos Q = 1 . sin Q = 0 alınabilir. Q=0, N=F olur Elastik eğrinin
diferansiyel denklemi;
19
Euler burkulma yükü, kritik yük bulunur.
Elastik alanda flambaj (Burkulmadın meydana gelmesi için Fbr A*1σ≤ olması gerekir
brbrbr AF σσ >= / olduğunda Euler formülü kullanılmaz.
Euler formülünün uygulanabilmesi için :
ebr σσ ≤ olmalıdır.
2.3 ELASTİK BURKULMA FORMÜLLERİNİN GEÇERLİLİK SINIRI
Burkulma yükünün tayin edilmesinde, malzemenin lineer elastik davrandığı bölge içinde Euler
formülü kıülandabilinir. Euler formülünün kullanılma alanının belirlenmesi gereklidir. Çünkü
elastik olmayan bölgede Euler formülü kritik yük için doğru sonuçlar vermez.
20
2
2
LEIPcr
π=
I incelenen kesitin en küçük atalet momenti olmalıdır ki Euler formülü en küçük kritik burkulma
yükünü versin. Atalet yarıçapı ( r ), minumum atalet momenti için minumum olmalıdır
ArI =
2
22
LEArPcr
π=
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
rL
EA
pcrcr
πσ
Kritik gerilme kritik yükün A kesit alanı üzerine üniform olarak dağıtılmasından elde
edilmiştir. Kolon uzunluğunun atalet yarıçapına oranı narinlik oranı olarak tanımlanır. Narinlik
oranı burkulma mukavemetinde kolonların kalınlık ve incelikleri ile ilgilidir. Kalın çubuklar için
narinlik oranı ,ince çubuklara göre daha küçük değere sahiptir.
Narinlik oranı
kritik gerilme formülünde yerine konulursa
2
2
λπσ E
cr = elde edilir. Buradan kritik gerilmenin narinlik
oranını karesiyle ters orantılı olduğu görülür.
BÖLÜM 3
BURKULMADA KAYMA KUVVETİNİN KRİTİK YÜKE ETKİSİ
Daha önce kritik yükü belirlemek için çıkardığımız denklemlerde, kayma kuvvetinin
tesirinin ihmâl edildiği bir eğilme eğrisinin diferansiyel denklemini kullandık.
Burkulma meydâna geldiği zaman çubuğun kesitlerinde , bir şekilde, etkiyen kayma
kuvvetleri olacaktır. Bu kuvvetlerin kritik yüke etkisi şimdi gösterilmeğe çalışılacaktır.
21
(c)
Şekil 3.1
dx uzunluğundaki, m ve n kesitleri arasında seçilmiş bir elemana tesir eden kayma
kuvveti Q yukarıda gösterilmiştir. Bu kuvvetin büyüklüğü:
Not: Q kayma kuvvetleri çubuğun eksenine dik olan kesitlere etkir.
A’nın sütunun bütün kesitlerinin toplam alanı, G’nin kayma modülü,ve n’nin kesitin
şeklinin değişimindeki nümerik faktör olduğu kabul edilirse, kesme kuvvetinin etkisiyle
eğilme eğrisinde meydana gelen eğim nQ/AG’ dir. Dikdörtgen bir kesit için n = 1.2, dairevî
bir kesit için n = 1.11. Kesitin minör ekseninden eğilmeğe başlıyan bir I kirişi için ( burda,
eğilme flanşların yüzeyindedir) nümerik faktör n ≈ 1.2A/Af9 , A/Af9 flanşların toplam alanı.
Bu değer normal I kirişleri için 1,4 ile 2,8 arasında değişir. Eğer bir I kirişi major
eksenden eğilmeğe başlarsa nümerik faktör n ≈ A/Aw ‘dir. Burada Aw “web”in alanıdır. Bu
halde , n’nin, rulo çelik kesitler için tipik değerleri 2’den 6’ya kadardır.
Kesme kuvveti Q tarafından meydâna getirilen eğimin değişim oranı kaymaya bağlı olan ek
bir eğrilik derecesini temsîl eder ve şuna eşittir
22
Şimdi eğilme eğrisinin toplam eğrilik derecesi, eğilme momenti tarafından meydâna getirilen
eğrilik derecesine kayma kuvveti tarafından meydâna getirilen eğrilik derecesinin eklenmesiyle
sağlanmış olur. Sonra , yukarıda çizilmiş sütun için , eğilme eğrisinin diferansiyel denklemi şu
hâli alır:
(b)
Bu denklem
Denkleminden çıkartılmışdır. Sadece (1 — nP/AG) faktörü sağ tarafda paydaya konmuştur.
Aynı usûlle burda da devâm edicek olursak , yükün kritik değeri için şu denklemi çıkartmış
oluruz
Pe =π 2EI/412 burada Euler kritik yükünü temsîl etmektedir. Böylece, kayma kuvvetinin
hareketinden ötürü , kritik yük şu oranda azalır:
Bu oran, dikdörtgen kesit sütunu yahut I kesitli bir sütun gibi katı sütunlarda hemen hemen
bire eşittir. Bundan dolayı bu hallerde kayma kuvvetinin tesiri genellikle ihmal edilir. Bağlayıcı
23
çubuklarla veya tahtadan plakalarla bağlanmış payandalardan oluşan sütunlar için kesme
kuvveti pratik bir ehemmiyet sağlıyacak hale gelebilir ve hesaba katılır.
Eğilme eğrisinin, denklem b’ye benziyen uygun bi diferansiyel denklemini kullanarak,
sıkıştırılmış çubukların herhangi bir sınır şartındaki kayma etkileri bulunabilir.
Enerji Metodu ; kritik yükte kayma kuvvetlerinin etkisi hesaba katıldığı zaman, enerji
metodu da kullanılabilir. Bir misal olarak, uçlarından menteşelenmiş bir çubuğu alalım.
Eğilme eğrisinin genel açılımı şöyledir:
Kaymanın enerjisini işe katarsak, şuna ulaşırız:
dxdxdy
AGnPdxy
EIPdx
AGnQ
EIdxMU
llll2
00
22
2
0
2
0
2
)(2222 ∫∫∫∫ +=+=Δ
∑∑∞=
=
∞=
=
+=m
mm
m
mm
amAGl
PaEI
lP1
222
1
2
22 44ηπ
Burkulma esnasında P kuvveti tarafından yapılan iş:
2
1
22
4 m
m
mam
lPT ∑
∞=
=
=Δπ
...3sin2sinsin 321 +++=lxa
lxa
lxay πππ
24
ΔU=ΔT’ den
P’nin en küçük değeri yukardaki denklemden sâdece ilk terimi alarak bulunur.
Burda
Modifiye Edilmiş Kayma Denklemi; daha önceki kesme kuvvetinin etkisi
bahisinde kesme kuvveti denklemi, kesme kuvveti Q’nun değerini tâyin için
kullanıldı. Başka bir çıkartım da, gösterilen sütundan çıkartılmış mn elementinin
deformasyonunun hesaba katılmasıyla yapılabilir. Şekilde gösterilen dθ açısı
M=P(δ-y) eğilme momentine bağlı olan eğimdeki değişmeyi temsîl ediyor. θ ,
burada x ekseniyle kesite indirilen N normalinin arasında kalan açıdır. Böylece
eğilmeğe maruz kalmış eğrinin eğimi :
Eksenel kuvvet P N’nin doğrultusunda P cosθ bileşenine sahiptir, ki bu
yaklaşık olarak P’ye eşittir. Ve bir bileşeni de Q=Psinθ yaklaşık olarak Pθ’ya
eşittir. Buradan:
AGnPl
EIPe
cr
+=
1
12
2π
2
2
lEIPe
π=
AGnQ
dxdy
+=+= θγθ
)1(AGnP
AGnP
dxdy
+=+= θθθ
25
dθ/dx= M/EI=P(δ-y)/EI olduğunu göz önünde tutarsak yukardaki denklemden
şu çıkar:
Daha once yaptığımız çıkartımdaki yolu
takip edersek ;
SONLU ELEMANLAR METODU NEDİR?
Mühendisler uğraştıkları kompleks problemlere doğrudan yaklaşamadıkları zaman ya da
doğrudan yaklaşımla çözümün daha zor olduğu durumlarda ana problemi daha
kolaylaştırılabilen alt problemlere ayırıp, sonra bu alt problemlerin çözümünden orijinal
problemin çözümünü elde etmeleri çoğu zaman kullanılan tabii metodtur.
Problemin çözümünde, iyi tanımlanmış sonlu sayıda eleman kullanarak yeterli bir
model elde edilebilir. Böyle problemler sonlu olarak adlandırılır. Bazı problemler
matematiksel sonsuz küçük kurgusuyla tanımlanabilir. Bu tanım diferansiyel denklemlere
)1()(2
2
AGnP
EIyP
dxyd
+−
=δ
Şekil 3.2
26
veya sonsuz sayıda eleman kullanımına götürür. Bu sistemler sürekli olarak vasıflandırılır.
Gerçekte elastik sürekli ortamda elemanlar arası bağlantı noktalarının sayısı sonsuzdur.
Sonlu elemanlar metoduyla bu sonsuz sayıdaki bağlantı sonlu bir sayıya indirgenir.
Cisim sanki sadece bu noktalardan birbiriyle bağlıymış gibi düşünülür. Sonlu sayıda bu
bağlantı noktaları ne kadar çoğaltılırsa bu metodla yapılan çözümdeki hata oranı o kadar
küçülür. Diğer taraftan bu sayımın çok fazla artması da sayısal çözümlemede büyük zorluk
getirir. Bilgisayarlar yardımıyla bu zorluk bir derece giderilmiştir.
Sonlu eleman metodunun önemli bir öze1liği, tüm problemi temsil etmek üzere
elemanları bir araya koymadan önce, her bir elemanın ayrı formüle edilebilmesidir. Eğer
bir gerilme analizi problemi ile uğraşıyorsa her bir elemana etki eden dış kuvvetler ile
elemanın düğüm noktalarının, yer değiştirme bağıntıları bulunduğunda tüm sistem
çözülmüş olur. Bu şekilde kompleks bir problem oldukça basit bir probleme dönüşür.
BÖLÜM 4
ANSYS 10.0 ‘ DA KARE KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞ MODELİNİN
OLUŞTURULMASI VE BURKULMA ANALİZİ
4.1 Problem tipinin tanımlanması
PREFERENCES tıklanarak aşağıdaki menüden structural seçilir ve OK basılır.
27
4.2 Malzeme Özellikleri
PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD EDIT DELETE / ADD /
STRUCTRAL BEAM / 2D ELASTIC 3
Element tipi BEAM3 olarak seçilir
PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL LIBRARY /
SELECT UNITS / USER
28
Girilecek birimler kullanıcının tercihine bırakılır.
PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD EDIT DELETE /ADD/OK
AREA =900
IZZ =67500
HEIGHT =180 Değerleri girilir.
29
PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL MODELS /
STRUCTURAL/LINEAR / ELASTIC / ISOTROPIC
4.3 Modelin oluşturulması
PROCESSOR / MODELING / CREATE /KEYPOINTS / IN ACTIVE CS
APPLY denir
X=0, Y=90 değeri girilir ve APPLY denir.
30
X=0, Y= 180 değeri girilir ve OK denir.
PROCESSOR / MODELING / CREATE /LINES / LINES /STRAIGHT LINE
1-2 ve 2-3 keypointleri tıklanarak lines oluşturulur.
31
4. 4 Meshing İşlemi
PREPROCESSOR / MESHING/MESHTOOL
Aşağıda çıkan menüden SIZE CONTROLS / GLOBAL.... SET... SIZE=10 değeri
girilir.
32
Mesh boyutunun belirlenmesi
PREPROCESSOR / MESHING/MESHTOOL / MESH / PICK ALL
Mesh Edilmiş Model
33
4.5 Sınır Şartlarının Belirlenmesi ve Çözüm
PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD DOF// UX UY UZ ROTX
ROTY ROTZ
serbestlik derecesinin seçimi
SOLUTION / DEFINE LOADS / APPLY / STRUCTRAL /DISPLACEMENT / ON
NODES .... uç bölgedeki node seçilir.
Ankastre sınır şartının(ALL DOF=0) uygulanması
34
Uç taraftaki nodun seçimi
SOLUTION / DEFINE LOADS / APPLY/FORCE-MOMENT/ON
NODES/ ….uç kısım seçilerek kuvvet uygulanır.
Üst alana birim kuvvet uygulanması
35
SOLUTION/(UNABRIGDEG MENU)/ANALYSIS TYPE/ ANALYSIS OPTIONS
Statik analiz yapılırken prestress ON açık bulunmalı
SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS
Statik analizin çözümlenmesi
Solutıon Done penceresi kapatılır.
36
SOLUTION / NEW ANALYSIS / EIGEN BUCKLING
Burkulma analizi yapmak için EIGEN BUCKLING seçimi
SOLUTION/ANALYSIS TYPE/ ANALYSIS OPTIONS
Subspace, Nmode=1
37
Subspaces working size=1
SOLUTION / LOAD STEP OPTS / OUTPUT CTRLS / SOLUPRINTOUT
All items sekmesine gelinir.
38
SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS
Statik burkulma analizin çözümlenmesi
Solutıon Done penceresi kapatılır.
FINISH
SOLUTION / ANALYSIS TYPE> EXPANSIONPASS
Expansion pass on olarak ayarlanır.
39
SOLUTION / LOAD STEP OPTS / EXPANSIONPASS / EXPAND MODES
NMODE =1 olarak girilir.
SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS
Statik Burkulma analizin çözümlenmesi
40
GENERALPOSTPROCESSOR/ RESULT SUMMARY
Kritik burkulma yükü değeri belirlenmiş olur.
BÖLÜM 5
ANSYS SONUCUNUN TEORİK DEĞERLE KARŞILAŞTIRILMASI
Bu kısımda Ansys programının verdiği sonucun doğruluğunu, teorik formülümüzden
çıkardığımız sonuçla programın verdiği değeri karşılaştırarak test edeceğiz.
Timoshenko kirişlerinde kritik yükün formülü ;
idi.
Bu formüle sayısal değerlerimizi girecek olursak;
AGnPl
EIPe
cr
+=
1
14 2
2π
41
)(80000*)(900)(180*4
(67500*)(200000**11
1*)(180*4
)(67500*)(200000*
2
22
)4222
42
Mpammmm
mmMPammmmMpaPcr π
π
+
=
442.1013619=crP N
çıkar.
Ansys’in bize verdiği değer ise 1028100N idi. Görüldüğü üzere sonuçlar birbirine
yakındır.
BÖLÜM 6
ANSYS 10.0 ‘DA LINEER DEGISKEN KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞİNİN
MODELİNİN OLUŞTURULMASI VE BURKULMA ANALİZİ
Bir önceki analizde yapılandan farklı olarak sadece element type ve real constant
basamaklarında değişiklik yapılarak ANSYS 10 analizinde sonuca ulaşabiliriz. Aşağıdaki
değişiklikler yapılarak analiz tekrar yapılsın.
PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD EDIT DELETE / ADD /
STRUCTRAL BEAM / 2D TAPERED 54
PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD EDIT DELETE /ADD/
OK
42
AREA 1 =900
IZ 1 =67500
HYT 1 =180
AREA 2 =1600
IZ 2 =213333.33
HYB 2 =180 Değerleri girilir
43
GENERALPOSTPROCESSOR/ RESULT SUMMARY
Kritik burkulma yükü değeri belirlenmiş olur.
SONUÇ
Şekil 4.1
1. Model boyutları: 2. Model Boyutları
a=30 mm a1=30 mm a2=40 mm
b =30 mm b1=30 mm b2=40 mm
H=180 mm H=180 mm
Kare kesitli kiriş Lineer değişken kesitli kiriş
44
Teorik çözümün karmaşık şekilli parçalarda uygulanması hayli zordur. Bunun
için birinci modeli basit bir şekilde seçtik. Bu basit şekle teorik formülü
uyguladıktan sonra , çıkan sonucu Ansys ile karşılaştırdık. Bu mukâyese sonucunda
Ansys programının doğru sonuca çok yaklaşık bir değer verdiğini
gözlemlediğimizden dolayı daha karmaşık şekilli ikinci modelde sadece Ansys
çözümlemesi yaptırmakla yetindik. Seçilen tapered kirişin kritik yükünün aynı
boydaki normal kirişin kritik yükünün hemen hemen iki katı olduğu sonucuna
ulaştık.
45
KAYNAKÇA
1. Prof. Dr. Egor P. POPOV “Mukavemet Katı Cisimlerin Mekaniğine Giriş” , 1976 2. S. TIMOSHENKO “ Cisimlerin Mukavemeti” 1960
3. S. TIMOSHENKO, James M. GERE “Theory of Elastic Stability” 1961
4. Saeed MOAVENI “Finite Element Analysis”