FAZI LOGIKA

Mentor:prof. dr Milorad Banjanin

Student:Jelena Arnaut

Fuzzy logika

FAZI LOGIKA

„Što se bliže posmatra realan problem, njegovo rješenje

postaje sve više fazi.“ Lotfi Zadeh

U svijetu nauke i tehnologije, riječ fazi

prvi put je upotrijebio u svom radu profesor

Lotfi A. Zadeh sa univerziteta u Berkliju,

SAD, 1965. godine.

Fazi tehnologije omogućavaju računaru, koji inače radi sa

preciznim ciframa da radi sa neodređenostima čime on postaje

prilagođen ljudskom načinu razmišljanja.

razvoj matematičke

teorijske misli

razvoj fazi logike

Razlikujemo dva pravca razvoja

fazi teorije:

Fazi logika predstavlja proširenje klasične logike u kojoj promjenljive mogu da

imaju samo dvije vrijednosti: tačno i netačno,

tj. vrijednosti 0 i 1.

U fazi logici zastupljene su sve

realne vrijednosti na intervalu između 0 i

1, [0, 1].

FAZI SKUPOVI

Fazi skupovi su osnovni elementi za obradu

nejasnoća i neodređenosti u fazi logici.

2 0,1L

310, ,12

L

1 20, ,..., ,11 1n

nLn n

.

Prve radove vezane za fazi

skupove objavio je Lukasiewicz 1920. godine.

On je posmatrao logike:

.

.

.

Pored pomenutih, uveo je i dvije posebne

viševrijednosne logike: , kod koje se na intervalu [0,1] nalaze racionalni brojevi i logiku sa realnim brojevima

na intervalu [0,1].

L

1L

predstavlja kolekciju različitih objekata sa istim

svojstvima

predstavlja kolekciju elemenata sa sličnim

svojstvima

Klasičan skup Fazi skup

dijeli sve elemente univerzalnog skupa u dvije

kategorije: one koji pripadaju skupu i one koji

ne pripadaju istom.

granice nisu jasne i precizne

može definisati putem karakteristične funkcije.

može predstaviti svojom funkcijom pripadnosti.

1:

0A

ako x Ax X x

inače

: 0,1A X

x

μ

0 70 80 90

1

x

μ

0 70 80 90

1Klasičan skup Fazi skup

Fazi podskup

Kaže se da je fazi skup A podskup fazi skupa B akko za svako x ϵ X važi:

A Bx x Za dva fazi skupa A i B kaže se da su jednaki ako važi:

x X A Bx x

1 2

11 2

...n

A A A A I

I I

x x x xA

x x x x

A

X

xA

x

Načini predstavljanja fazi skupova

Prebrojivi

Nerebrojivi

FAZI SKUPOVI

visina skupa (heigt)

Osnovne karakteristike fazi skupa su:

supremum (suport)

jezgro (kernel)

X

μ

α

1

Jezgro

αA

Supremum

A

Visina

α-nivo skup (α-presjek)

Matematički, može se zapisati na sljedeći način:

AA x X x

maksimalna vrijednost funkcije (realan broj

između 0 i 1) pripadnosti i obilježava se sa hgt(A). Za fazi skup kod koga

važi hgt(A)=1 kaže se da je normalizovan, a u

suprotnom je subnormalizovan.

visina skupa (heigt) supremum (suport)

klasičan podskup univerzalnog skupa sa

svojstvom

0A x Supremum se može

izraziti i kao

sup 0Ap A x X x

jezgro (kernel)

je skup svih elemenata za koje važi

1A x

Kao i supremum, i jezgro je klasičan

podskup univerzalnog skupa X.

FAZI SKUPOVIkonveksnost fazi skupa

X0

μ

1

Subnormalizovan

Normalizovan

X0

μ

1

Za fazi skup se kaže da je konveksan ako se α-presjeci ne sastoje iz više segmenata.

konveksni skupovi nekonveksni skupovi

standardni komplement (fazi NE operacija)

Min-max teorija fazi skupova

Matematički, može se izraziti na sljedeći način:

1 AA x x

Funkcija pripadnosti fazi skupa Komplement funkcije pripadnosti

standardni presjek (fazi I operacija) min ,A B A Bx x x x

Fazi presjek se može izraziti i kao

algebarski proizvod dva fazi

skupa: A B A Bx x x x

Presjek dva fazi skupa

standardna unija (fazi ILI operacija)

max ,A B A Bx x x x

Standardna unija se može zapisati i

na algebarski način:

Unija dva fazi skupa

Pored navedenih pravila, u fazi teoriji ne važe dva zakona koja važe u klasičnoj teoriji skupova:

zakon kontradikcije zakon isključenja trećeg CA A CA A X

X X

μ μ

Min-max teorija fazi skupova

Osnovni oblici fazi funkcije pripadnosti

Trougaona fazi funkcija pripadnostiμ (x)

Xa – b a + ba

1

μ (x) =

0 ,

Trapezoidna fazi funkcija pripadnosti

μ (x)

1

Xa – c a + ca b

μ (x) =

0 ,

1,

Pravolinijska fazi funkcija pripadnosti

μ (x)

1

Xa b

μ (x) =

0 ,

1,

Zvonasta fazi funkcija pripadnostiμ (x)

1

Xa – b a + ba

μ (x) =

Pojam lingvističke varijable

predstavlja promjenljivu čija su stanja izražena fazi skupovima za koje se vezuju lingvistički izrazi.

omogućava da se dobije kvalitativna

ocjena kvantitativnih podataka.Primjer jedne lingvističke varijable je „starost“ i

za nju se može definisati term-skup koji je skup njenih lingvističkih vrijednosti:

mladT(starost) = + star + veoma mlad + nije mladveoma star+ + veoma veoma mlad +prilično mlad manje-više mlad+ + ...

loša dobra odlična

Efikasnost0 100

1

Lingvistička varijabla za pojam efikasnost sa vrijednostima: loša, dobra i odlična.

Primjer:

Fazi brojevi i fazi intervali

Fazi broj Fazi interval

X

1

0

Fazi brojevi i fazi intervali moraju da budu:

Da su konveksni

Da su normalizovani

Da imaju neprekidnu po dijelovima funkciju pripadnosti .

Da bi se došlo do zaključaka, u sistemu

moraju da budu definisane:

funkcije pripadnosti pojedinih lingvističkih

varijabli

pravila zaključivanja

Fazi pravila povezuju ulazne promjenljive sa

zaključkom i nazivaju se AKO-ONDA pravila.

AKO dio pravila se naziva još i hipoteza (premisa) pravila i

sadrži uslov za primjenu istog.

Na osnovu tvrdnje, donosi se zaključak koji je definisan

ONDA dijelom pravila.

Sistem zaključivanja u fazi logici

Pravilo 1:Pravilo 2:

Pravilo n:Tvrdnja:

Zaključak: Y je B’

X je A’

Opšta šema pravila zaključivanja

Zaključivanje u fazi logici je blisko ljudskom načinu donošenja zaključaka jer postoji

određena mjera neizvjesnosti.

Proces zaključivanja u fazi logici

se sastoji od četiri koraka:

Sistem zaključivanja u fazi logici

fazifikacija

zaključivanje

kompozicija

defazifikacija

min

max

Pravilo 1

Pravilo 2

N P S M L S M L

S M L

S M LS M LN P

Premisa 1 Premisa 2 min/max zaključivanje

Superpozicija pravila 1 i 2

PRINCIP ZAKLJUČIVANJA - DVA FAZI PRAVILA SA PO DVIJE PERMISE

ulazna lingvistička

varijabla

Fazi podskupovi

(stanja)

ulazna lingvistička

varijabla

Fazi podskupovi

(stanja)izlazna

varijabla

Fazi logika i ekspertni sistemi

Principi zaključivanja u fazi logici se mogu implementirati u

ekspertske sisteme (ES) u vidu računarskih programa čime se

obezbjeđuje rješavanje složenih problema iz neke oblasti.

Ekspertni sistem ne vrši numeričke proračune sa ulaznim promjenljivim

kako bi došao do rješenja, već donosi

zaključke kao ekspert.

Tipičan ekspertski

sistem se sastoji iz tri osnovna

dijela:

Baza podataka

Baza znanja

Sistem za donošenje zaključaka

Sistem za donošenje odluka Baza znanja

Radna memorija

Korisnik

Ulazni podaci (baza podataka)

Ekspert

Inžinjer znanja

Ekspertni sistem

Osnovni dijelovi ES sa međusobnim vezama

HVALA NA PAŽNJI!

Kompozicija

Svi fazi podskupovi dodijeljeni izlaznim varijablama u pojedinim

pravilima kombinuju se u jedinstven fazi podskup za svaku

izlaznu varijablu.

Obično se koriste

MAX SUM

metode kompozicije

MAX metoda podrazumijeva standardnu uniju zaključaka iz pojedinih

pravila zaključivanja – funkcija max.

Defazifikacija

Opcioni korak kojim se iz rezultujućeg fazi skupa,

dobijenog kompozicijom, izdvaja jedan klasičan, realan broj.

Najčešće se CENTROID metodom pronalazi centar mase

ili gravitacije rezultujuće fazi funkcije pripadnosti izlazne

varijable na apscisi.

Formula kojom se pronalazi navedena

vrijednost je:

RY

RY

Y Y dYY

Y dY

vrijednost izlazne

varijable na apscisi

funkcija pripadnosti rezultujućeg

fazi skupa

Zaključivanje

Najprije je potrebno odrediti stepen konzistentnosti između činjenice (podatka) i premise

svakog AKO-ONDA pravila.

Stepen konzistentnosti predstavlja maksimalnu visinu presjeka između date činjenice (ili fazi

skupa) i ulazne (lingvističke) varijable.

Samo ona pravila za koje je stepen

konzistentnosti veći od nule, koriste se za

određivanje zaključka.

Zatim se svaki fazi skup koji odgovara izlaznoj varijabli

„odsijeca“ na visini koja odgovara stepenu konzistentnosti premise

tog pravila funkcijom min.

Fazifikacija

Fazifikacija je proces pretvaranja klasičnih vrijednosti u fazi vrijednosti.

U ovom koraku

potrebno je:

izabrati ulazne i izlazne varijable

izabrati odgovarajuće funkcije pripadnosti

definisati fazi pravila odlučivanja

Njegova teorija se zasnivala na tome da se umjesto stroge rigoroznosti i preciznosti u rješavanju složenih problema dozvoli rad sa određenim stepenom nepreciznosti.

Lotfi A. Zadeh

„Pojam fazi skupa daje polaznu tačku za konstruisanje konceptualnog okvira koji u

mnogim aspektima odgovara običnim skupovima, ali je opštiji i, potencijalno, ima

mnogo širu primjenu, posebno u oblasti klasifikacije i procesiranja informacija.“