:مقدمه ) ۱‐۱

به اين گستردگی درتقريب امواج الکترومغناطيسی بکارمی رودکارراشروع FDTDچراماباسئواالتی نظيراينکه

.هم دربارة کارافرادوهم عملکردآن : سپس بعضی ازاطالعات بنيادی دربارة اين روش رابيان می کنيم .می کنيم

FDTD روش : روشی مهم وگسترده به چنددليل استFDTD يادگرفته می شود ؛ نيازبه جايي درکمترين زمان

.ندارد وجهت مطالعة پديده ای مانندتعامل وکوپله شدن موج ازشبيه سازی می توان استفاده نمود

Maxwell.James T بودکه۱۸۷۰تقريباًدرسال .مطالعه کرد مولفه های الکتريکی ومغناطيسی درموردتعامل بين

الگوريتمی جهتYee.Kane S ۱۹۶۶درسال .رفتارالکترومغناطيس ارائه نمود ون معادالت معروف خودراپيرام

راه حلهـای عـددی مـسائل مقداراوليـةمرزی بامعـادالت " بـاعنوان مقالـة او . تقريب اين معادالت بدسـت آورد

خـاطرکم بـودن ظرفيـت بـه . رامعرفی نمـود Yee وسلول FDTDبود که روش "درمحيط ايزوتروپيک ماکسول

ظرفيت محاسباتی کامپيوترها۷۰بهرحال ، درنيمة دهة .،ازمقالة خودش چشم پوشی کرد کامپيوتراتی محاسب

درسـال . برروی طيف وسيعی ازمسائل به اندازة کافی توسـعه يافتـه بـود Yeeجهت بکارگيری عملی الگوريتم

۱۹۷۵ Tafloveو Browdin مقاله ای جهت نشان دادن ارزش روشFDTDک هاراارائه نمودند درالکترودينامي

اين شروع محاسبات الکتروديناميکی است که امروزه آنرا.واولين شرايط مرزی جذبی رانيزمطرح کردند

.می شناسيم

ــسط ــة ب ــبات ال تاريخچ ــده اســت محاس ــه آم ــاميکی درادام ــانی دوم ، .کترودين ــگ جه ــول جن خاصــيتدرط

الکترومغناطيسی رادر دورة اتمی رفتارپالسهای.الکترومغناطيسی بخاطروابستگی اش به رادارمطالعه شده بود

رابه همـراه به منظورتخريب زيربنای کشور الکتريکی جهت راههای اطراف اتسطحی بااليي ازحرارت زيادقطع

.مورد نظرية موج الکترومغناطيسی درطول جنگ سردبانام دفاع ملـی بوجودآمـد دری پيشرفت بسيارزياد .داشت

اطيسی درحوزه هاي مهمی نظيرسرعت باالدرمحاسبه وپزشـکی مانندبـه همـان خـوبی الکترومغن درادامه ، ميدان

.عملکرداين روش راشروع نماييم داريم اجازه بدهيدFDTDحاالکه پيش زمينه ای دربارة .ظهورکرد دفاع ملی

٢

:شبيه سازی الکترومغناطيسی درفضای آزاد ) ۱‐ ۲

:بسط رياضی ) ۱‐ ۲‐۱

بامعـادالت معادالت اين امـواج . می گردند شبيه سازی الکترومغناطيسی بايک پالس امواج، Sullivanدرکتاب

:معادالت ماکسول چنين هستند .داده می شود ماکسول وابسته به زمان درفضای آزاد

)۱(

)۲(

Eو Hبطورمتوالی ميدان الکتريکی وميدان مغناطيسی می سازند بردارهای سه بعدی هستندکه ، هردو.

درابتدا ،.برای شروع معادالت ماکسول رابه يک بعدکاهش می دهيم رداری ازاين الگوريتم ،جهت بهره ب

:اينگونه است " nabla" يا " del" بردارعملگرتفاضلی ، . رابه فرم برداری می نويسيم )۲(و)۱(معادالت

E=(Ex,Ey,Ez) . و ∇فرم ماتريسیE چنين است :

.نيزهمين کارراانجام می دهيم ∇× Hبرای

: قرارمی دهيم )۲(و)۱(حال اين بيانات رادر

)۳(

4 )۴(

نوسانz ودرراستای xzميدان الکتريکی فقط درصفحة برای ادامة ساده سازيهای معادالت بايدفرض کنيم که

٣

بطورعمودی نوسان zنده اند ودرراستای بنابراين امواج الکترومغناطيس امواجی رو .Ey=0پس .می کند

همچنين می دانيم که ميدان الکتريکی وميدان مغناطيسی . E=(Ex,0,0) وازاين روداريم Ez=Hz=0پس .می کنند

: بايدصفرباشد ، ياE.Hپس .يکديگرحرکت می کنندبابصورت عمودی

xE≠0 است Hz=0 ؛ وهنگاميکهHx=0لة باالصحيح بوده ومی بينيم که است درمی يابيم که معادبافهميدن اينکه

H=(0,Hy,0) . داريم )۴(و)۳ (برای معادالت :

ويا

)۵(

)۶(

: هستندکه اينگونه ديده می شوند zشبيه حرکت امواج رونده درصفحة دوقطبی ودرراستای )۶(و)۵(معادالت

EM قطبيدة وانتشارامواج متقاطع:۱‐۱شکل

٤

:الگوريتم ) ۱‐۲‐ ۲

. دارد Hy و Exحاالسيستمی داريم ومی خـواهيم بـاآن کـارکنيم کـه احتيـاج بـه روشـی بـرای تقريـب عـددی

x∆تغييردرراستای محور رابرایz و t∆ باهردومـشتق مرکـزی تقريب تفاضل . رابرای تغييردرزمان بکارمی بريم

: اينگونه بکارمی بريم )۶(و)۵(معادالت مکان وزمان را در

n+1 وn+1/2 درگـام زمـانی HyوEx .نـشان داده مـی شـود k وگـام مکـانی بـا nدراين تقريبها، گـام زمـانی بـا

.بطورمتوالی توليدمی شود

)۷(

)۸(

xt

∆∆

−=0

1µ

υ دراينجا xt

∆∆

=0

1ε

ν بايدبـه آن بپـردازيم اماقبـل ازآن وجودادردکهفيزيکی کمی رابطة . است و

.نگاهی به عملکردمعادالت اين سيستم که به هم مرتبط اندياکوپله شده اند بياندازيم اجازه بدهيد

رانشان می دهددرحاليکه مثلثهای بنفش Exمثلثهای نارنجی تقريبهای . رانشان می دهد FDTDزيرروش شکل

باخوداختصاص می دهد ؛ بطوريکه هرستون نصف زمان به باگامهای هررديف زمان خاصی را .Hyتقريبهای

شبکه بانصف گام زمانی متوالی کل شبکه رادر آبی وخاکستری خطوط.نقطة مجزای زمانی درشبکه قراردارد

مقاديراوليه ای که بايدداده شوندبادايره های سبزمشخص اندومرزهاهم.می گيرند برهم زمان وهم مکان در

.نفش اند دايره های نارنجی وب

٥

FDTDتقريب شبکة :۱‐۲شکل

ازنـصف ؛ ديگریيکی ازگام زمانی قبلی می آيد،پيکانازاين سه .ه برای هرمثلث سه پيکان وجودداردمی بينيم ک

زمان ومکانی حرکتباازآن درمی يابيم که الگوريتم ما. گام پايينی ويکی هم ازنصف گام سمت راست ياچپ

.درمکان وزمان مزدوج اند معادالت تفاضلی جزئی می کندکه فقط به عنوان

.تصوراينکه شروع حرکت قورباغه ازهرمثلثی ساده است .شبيه پرش قورباغه است FDTDروش همچنين

2بعنوان مثال 1

2)(+

+

n

kxE2کردن پاهايش جهت پرش به باالی مثلـث باز و3

2)+

+

n

kxE( . درابتدابـه سـمت بيـرون پيکانها

درشـروع مثـال .يک مثلث حرکت می کنندوجای پاهايش بعنوان پرش قورباغه می باشد داخل وسپس به سمت

2درمثلث 1

2)(+

+

n

kxE1تا پاهايش رابه سمت بيرون بازمی کند ،قورباغه)( +

+

n

kxH21 درسمت چپ و 3

25)( +

+

n

kxH درسـمت

2راست ؛ ودرآخردريک گام زمانی به جلوترروی 3

2)(+

+

n

kxE

0

. فرودمی آيد

)۵ (مقـادير . قبل ازبررسی الگوريتم ، آدرس برخی ازنشريات رابايدبـدهيم همانگونه که درباالبه آن اشاره شد ،

ضريب نفوذپذيری ری الکتريکی وضريب نفوذپذي.يکی نيستند اماجهت محاسبات خودبه آنهااحتياج داريم )۶(و

0µ :مقاديرآنهادرزيرآمده است . هستند وεدرفضای آزادبترتيب مغناطيسی

٦

.جهت تثبيت کردن اين اختالف يک تغييرالزم است . هانری درهرمتراست H/m فاراددرهرمتروF/mدراينجا

:بااين تغيير

EE ~0

0

εµ

گزين کردن وباجاي :داريم )۸( و)۷( درمعادالت=

)۹(

)۱۰(

. است دراينجا

. بيان گرديدمی توانيم الگوريتمی رابسازيم )۲(و)۱(حاالکه طرزکار هريک از 21

=η اين بـا . راانتخاب می کنـيم

بااسـتفاده ازايـن فـرض حلقـة اصـلی .انيکه شرايط مرزی رامطرح کنيم می توانيم آنراتوضيح دهيم زمηانتخاب

:الگوريتم ما چنين است

٧

سئوالی که بوجودمی آيداينکـه گامهـای نـصف زمـان .ممکن است عجيب بنظربيآيد اين حلقه 21

±n ونـصف

مکان 21

±k م درابتدا ، اجازه بدهيدنگاهی به مقداردهی اوليه درشروع برنامـه بيانـدازي .به می شوند درکجامحاس

: مهم داريم مادوآراية

E آرايةهرمقدار . می باشد ۲۰۰ است وشبيه سازی مابه طول max_space يک بعدی آرايه هایهريک ازاين

گامهـای نـصف .مشخص مـی گـردد j(Hy) هاتوسط j برای همة H آرايةمقدارهر و k(Ex)توسط ها kبرای همة

راباصفرشروع می کنيمE.بدست می آيد H وEبادوتفاضل حلقه های داخلی برای مقاديرجديدرديفهای مکانی

2بااتصال همة گامهای مکانی شبکه وآنرابه 1

)~(+n

kE آرايةبه E(k) مـا همچنين .توسعه می دهيم H شـروع ۵/۰ رابـا

1بااتصال گامهای مکانی شبکهوآنرابه همة کنيممي

21)( +

+

n

jyH آرايـة به H(j) منـصفانه بنظر کـه ه مـی دهـيم توسـع

.اختالف زمانی ممکن است کمی پديدارگردد اگرچه،رسدمي

تکرارn+1/2گام زمانی با E آرايةمقاديراول اينکه .جهت مقايسه بامعادالت دوچيزدردرک الگوريتم مهم است

.n+1گام زمانی با H آرايةمقاديرمی شودحال آنکه

بنابراين. می گيرد جاH وE آرايه هایدررقرارگيری پالس است ؛ که بين مقاديرجديد ،زمان معادلهفاکتورديگردر

زيرنمايي ازاين مراحل درشکل. است n+1/2 وnبترتيب درگام زمانی H وE آرايه هایعامل مشترک پالس ،

.شده است داده

FDTDحوة قرارگيری پالس درشبکة ن :۱‐۳شکل

٨

t بايدبه دقت انتخاب∆گام زمانی. گام زمانی بياندازيم ۱۰۰درنهايت ، اجازه بدهيدنگاهی به شبيه سازی بعداز

.دربخش بعدی راجع به اين موضوع بحث خواهيم کرد . گردد

)الف(

)ب(

=۱۰۰nغناطيسی باگام زمانیشبيه سازی پالس الکتريکی وم:۱‐۴شکل

شبيه سازی پالس مغناطيسی )ب(شبيه سازی پالس الکتريکی )الف(

:CFLپايداری ، همگرايي و شرط ) ۱ ‐۲ ‐۳

حاالبايـدنگاهی بـه انـدازة سـلول وچگـونگی ارتبـاطش بـه .مادرمقدمة الگوريتم ازيک مفهوم مهم عبـورکرديم

.عادالت برمی گرديم برای تحقق آن به م. الگوريتم داشته باشيم

)۱۱(

)۱۲(

تضمين کننـدة همگرايـي روش Laxقضية تساوی . پايداری رانشان می دهيم يکباربعنوان يک مشخصة اضافی ،

. پايداراست راانجام می دهيم FDTDحاالتجزيه وتحليل پايداری فوريه را برای تعيين شرايطی که روش .است

: مدهای فوريه

)۱۳(

)۱۴(

٩

:چنين داده شده اند بازنويسی شده اند )۱۰( و)۹(عادالتکه فقط م

تابينهايـت n بـاافزايش سپس مـدهای فوريـه بشودλ⟨1اگر . فاکتورمعروف است افزايش با عنوان مد λپارامتر

.رشدخواهدکرد

:داريم )۱۳(باجايگزينی درمعادلة

:حذف می کنيم راسپس تمام بخشهای

)۱۵(

:بااستفاده ازاين واقعيت که

:داريم باداشتن. راکاهش خواهيم داد ما

:باتفريق کردن اين معادالت معادله راايجادمی کنيم

: می بينيم که تبديل می شودبه )۱۵(بابازگشت به

: معادالت سيستم رابدست می آوريم )۱۴(يک تبديل مشابهبعداز

يا

١٠

:اين سيستم هيچ راه حلی نداردتازمانيکه

:بابکارگيری فرمول توان دوبدست می آيد بنابراين داريم ريشه های معادلة اخير

.با

باگرفتن قدرمطلق مربع .داشته باشيم آنرا يا معادل ، بايد حاالدررابطه باراه حل محدودآن

:داريم

:به نامساوی زيرمی رسد

:به نتيجة زيرمی رسيم زهردوطرف وسپس با تقسيم بر ا باکم کردن

1)21sin(0 ≤∆⟨ xk وازاين روپايداری بـا داريم ما توجه داريم که باشد k برای همة η≥1پس زمانيکه 1≥σ

η≥1دراين حالتنهايتاً ، .تضمين می گردد

xE

نيزروش بااين Lewy(CLF)و شرط Courant،Friedrichs برای

.صادق است

:شرايط مرزی جذبی ) ۱ ‐۲ ‐۴

مسالهمکاندراين حالت ، .زمساله می رسيم سرانجام ، به مرباافزايش زمان چه اتفاقی برای مدل ما می افتد ؟

:شبيه سازی زيررامالحظه کنيد . است ۲۰۰ و۰بين مقادير

درگامهای زمانی مختلفنمودارهای :۱‐۵شکل

١١

دوسـت داريـم مکـان مـسالة مـابعنوان مرزهـای .می بينيم وقتيکه پالس به مرزمساله می خوردمنعکس می شود

E(1)زيرامرزهای ، بدون انعکاس حرکت می نمايد ؛ واين اتفاق نيزمی افتدسپس پالس درمرز.ل کند محدودعم

. بعنوان ديوارهايي محکم عمل می کند MATLAB درآرايه های E(200)و

يک راه سادة . راهی بيابيم E(max_space) و E(1)بايدبرای تقريب مقادير مرزدرجهت عبورازآن جهت کارکردن

سپس آراية.درطول يک گام زمانی است که درفضای آزادکارمی کند ، پيداکردن فاصلة حرکت موج دردسترس

.جهت مقدارمرزدرزمان جاری را بکارمی بريم گام زمانی قبلی

تاتکراررخ می دهدتااينکه موج پيش ندچبه مامی گويدکه زمان ؛ و × سرعت = فاصله: چنين است فاصلهفرمول

يـادآوری اينکـه . حرکت مـی کنـد باگام زمانیپالس باسرعت نور. حرکت کند رونده درطول يک سلول 0C∆t

t∆ چنين02cxt ∆

:درفرمول فاصله به کارمی رود ∆=

فاصله

21

=ηx∆ توجه . راطی می کنند که دراين حالت دوگام زمانی موج مسافت قراردادی است ،Sullivanدرکتاب

داريم که21

=ηشرايط هردوراپايدارنگه می داردوCFL.

:راتحريک می کند ؛بطوريکه درسمت چپ مرزSullivan شرايط مرزی ηاين مقدار

:بطورمشابه برای شرايط مرزی درسمت راست نيز داريم

بااين مقداروهمچنين بـرای E(1) برای دوگام زمانی وجايگزينی شرط مرزی E(2)باذخيره کردن مقدار الگوريتم

. درشکل زيرآنرا نشان داده ايم . سمت راست مرزتکميل می گردد

١٢

شرايط مرزی جذبی درسمت چپ شبکه :۱‐۶شکل

=t ۲۷۵ تا=۲۰۰tدرابتداحرکت موج از. هنگاميکه شرايط مرزی نداريم شکل زيرشبيه شکل داده شده درباالاست

.نشان می دهيم راتايي گام زمانی۲۵ باافزايش

xE باشرايط مرزی جذبینمودارهای :۱‐۷شکل

:آنسوی فضای آزاد )۱ ‐۳

:محيط دی الکتريک ) ۱ ‐۳ ‐ ۱

کنيم درمحيط دی الکتريک شبيه سازی می ؛ پالسی راباحرکتحاالکه شرايط مرزی جذبی درفضای آزادراداريم

:رابه آن اضافه می کنيم بابازگشت به معادالت ماکسول ، ثابت دی الکتريک

)۱۶(

)۱۷(

rε=1 .ابت دی الکتريک فضای آزاد يک است، يعنی ثاست معادالت ماکسول درفضای آزادرا داريم هنگاميکه

ماپالس رااز.درابتدافقط آراسته بودن مهم است .دوتغيير بااضافه شدن ثابت دی الکتريک الزم است برای کدما

١٣

ازعرض فضایبااين روش مافقط پالسی را می بينيم که .م می دهيحرکت فضای مساله به سمت چپ وسط

. مساله عبورمی کند

به منظورتماشای تغييرات ثابت دی الکتريک.نقشه کشي محيط دی الکتريک هستيم روش ديگراينکه مجبوربه

.بايدازحلقة زيراستفاده نماييم

: راايجادمی نمايدچنين است Eمقاديرآراية سپس حلقه ای که

. شروع می شود ۷۵وبا دی الکتريک واردوازآن خارج می شود ،پالسی رامی بينيم که به محيطدرشکلهای زير

ودر۱۲۵درمحيط دی الکتريک . عبورمی کند =۲۰۰tدرشکل می بينيم که پالس درمحيط دی الکتريک درلحظة

بخشی انعکاس يافتـه موج بين محيطهاحرکت می کند ؛ توجه داشته باشيدکه .پايان می يابد =۴۰۰tرلحظةشکل د

.است =۴۰۰tاين بدليل برآمدگی درسمت چپ پالس درلحظة .است کرده وبخشی نيزعبور

xE ۴بين فضای آزادومحيطی باثابت دی الکتريک درباحرکتنمودارهای :۱‐۸شکل

١٤

درمسالة شرايط مرزی جذبیتوجه داريم که منعکس شده وعبورکرده بياندازيم قبل ازاينکه نگاهی به دامنه های

بايدبدانيم اثرات محيط در رادرمحيط جذبی بخواهيم شرايط مرزی جذبی اگر.رای فضای آزاد بودند اخيرب

.چگونه است جبران کدموج و سرعت

:ميزان موفقيت ما )۱‐ ۳ ‐ ۲

ی انعکاسـ ضـريبهای مامعادالتی برای . مامی دهد ، نويسنده روشی جهت صحت شبيه سازی ۱درضميمة بخش

0µµ ،درروش ما ، هنگاميکه .وعبوری رامی دهد ی دامنة امواج انعکاساديرکوچکی ازمقی می دهيم که انتقالو =

Γضريب انعکاس وτ اين معادالت بدين گونه اند . ضريب انتقال است :

refEincEtransE .ی است تصادف وی ، انتقالیعالئم دامنة امواج الکترومغناطيسی انعکاس بترتيب و ،دراينجا

Γ مقايسهτوداشته وآنهارابامقادير پالسهای انعکاسی وانتقالی رابطة دامنه های نگاهی به نويسنده ازما می خواهد

: چنين اندτ و Γ رادارد ، ۴ومحيط ثابت دی الکتريک رادارد ۱ ثابت دی الکتريک فضای آزاد گاميکههن.نماييم

.چگونگی اين ارتباط رانشان می دهد صفحة بعدشکل

یکمحيط دی الکتريپالس درفضای :۱‐۹شکل

١٥

.ضريبهای انتقال وانعکاس مقداردامنه ميدانهای انعکاسی وانتقالی راپديدمی آورند بنابراين می بينيم که

:محيط پراتالف دی الکتريک و يک منبع سينوسی ) ۱‐ ۳‐ ۳

:شبيه سازی يک منبع سينوسی ) ۱‐ ۳‐ ۳‐۱

:کدخودراتغييرمی دهيم از جهت شبيه سازی يک پالس سينوسی

به

همچنين مقدارآراية.دراينجاپالس باتوجه به مشخصات مادرفضای مساله قرارگرفته است داشته باشيدکه توجه

فرکانس موج به همان خوبی گامبه سرانجام ، برای پالس سينوسی .به مقدارجديدپالس اضافه می نماييم قبلی

.ة خوداحتياج خواهيم داشت زمانی احتياج داريم ، درنتيجه به پارامترهای اندکی جهت جمع کردن برنام

:يادآوری اينکه

:اين معادله برابربا

وباثابت۴۲۵ راشبيه سازی می کنيم که درگام زمانی Mhz ۷۰۰حااليک پالس سينوسی بافرکانس .درکدمااست

. به آن اضافه می شود Mhz ۶۰۰ ودرهرمرحله است۴دی الکتريک

١٦

وسی درمحيط دی الکتريکافزايش فرکانس يک پالس سين :۱‐۱۰شکل

هنگاميکه.به پايداری برسد وبدون محيط دی الکتريک بين فرکانس ودامنة پالس بنظرمی رسدباافزايش فرکانس

. نيزافزايش می يابد آشفتگیفرکانس بيشترمی شود

:يک محيط پراتالف ) ۱‐ ۳ ‐ ۳‐۲

سـپس مايـک ثابـت دی .مـی کنـيم شـروع ايک شبيه سازی معادله ماکسول درفضای آزاد ب، خوددرساخت مدل

کلـی اتالفی درمحيط دی الکتريک برای يک مـدل حاال.به آن اضافه می کنيم الکتريک جهت پايداری بيشترمدل

.تربه آن اضافه می کنيم

معادالت ماکسول. اينکه يک ماده چقدرخوب قادربه حمل بارالکتريکی باشد،رسانايي ناميده می شود اندازة

:ل رسانا چنين است يک بعدی دروساي

)۱۸(

١٧

xxدراينجا EJ σ=

xE

. دوباره مشتق بگيريم درميدان الکتريکیمابايدازمعادله تفاضلی. است

، در σوقراردادن تغييرمتغيربعـداز .خواهيم داشت متغيرمافقط بامعادلة بااليي کارمی کنيم امادرهردو،تغيير

:چنين می شود )۱۸( معادلة

xJ

،ميانگين مقاديردرزمانهایآخراگرچه برای بخش .مادوباره تقريب تفاضل مرکزی را درمکان وزمان بيان می کنيم

:متفاوت رخ می دهدوبدست می آوريم

کردن باجايگزين 211

0

=∆∆xt

µε :ودوباره نوشتن بخش آخرداريم

21

)~(−n

kxE 2 باترکيب بخشهای1

)~(+n

kxEداريم و :

:وبافاکتورگيری داريم

رابرطرفين r

tεε

σ

02∆

: تقسيم می کنيم وداريم 1+

0εبه يادداشته باشيدکه.درکد ضروری می باشد : ک درفضای آزاد چنين استثابت دی الکتريدادن مقداری به 0ε

١٨

:می کنيم رادرکداضافه آن

بخش بااتالف درمحيط دی الکتريک چنين. می ناميم loss_term را برای تعيين آنچه که ماآنرا به مااين اجازهو

:اثرمی گذارد

: درحلقه های مکان و زمان کد چنين است H وEمقادير

.است۴ وثابت دی الکتريک ۵۰۰ ، درگام زمانیMhz ۷۰۰فرکانس شبيه سازی پالس سينوسی با صفحة بعدشکل

هنگاميکه بـه سـمت آخرفـضای مـساله درحرکـت انتقال دهندة خوبی نيست و دی الکتريک محيط می بينيم که

.توان خودراازدست می دهد ،پالساست

شبيه سازی درمحيط پراتالف :۱‐۱۱شکل

١٩

:نتيجه گيری ) ۱‐ ۴

هاراشبيه سازی Dennis Sullivan کتاب . انجام گرديد FDTDيه سازی است که باروش اين فقط تعدادی شب

برای . به خواننده معرفی می کند FDTDوجهت بکارگيری متنوع ازوسايل ديگربادرحالت دوبعدی وسه بعدی

ريان ودرجSullivanجهت جستجودرکتاب راههای گوناگونی عالقة برنامه نويسان ، مهندسان ورياضيدانان

.تحقيق بااستفاده ازاين روش وجوددارد

:کد ضميمه ) ۱‐ ۵

۱‐ ۵ ‐۱ (FDTD:

.درفضای آزادبدون شرايط مرزی جذبی FDTDکد

٢٠