Revista Mateinfo.ro ISSN 2065 6432 nr. februarie 2010

STUDIUL NUMERELOR REALE

ALGEBRPERIODICE

1.FORME DE SCRERE A UNU NUMR RAONAL 2.FRAC ZECMALE

LICEUL TEORETIC CALLATIS MANGALIA

8

1. FORME DE SCRERE A UNU NUMR RAONAL

Orce numr raonal nenegatvm ....... = , n a0 a1 a2 a3

m ,poate n

f reprezentat sub

forma une frac zecmale nfnte:

Numrul a0 se numete partea ntreag a lui0, a0 a1 a 2 a3 ........ partea

m ,iar n1 2 3

fracionar a sa.Numerele a , a , a ,...... sunt0 ai 9 ,pentru

cuprinse ntre 0 si 9,adic EXEMPLU

i=1,2,3,.. este partea

Pentru numrul

5 = 0,151...... ,0 33

ntreag,iar 0,151..este partea fracionar a sa.

a a a a

0

=0 = 1; = 5; = 1;

1 2 3

...........

Numerele raionale negative au i ele o astfel de reprezentare.Partea ntreag a unui numr negativ se trece cu semnul minus deasupra.

9

EXEMPLU Analog

Numrul forma

5 1 = 3 + 2 2 3,5000 ...

se poate scrie sub

0,321 = 1 + 0,679000... = 1,679000...

TEM S se formeze echipe de 2 sau 3 elevi i s se rezolve n grupe exerciiul:

S se scrie sub form de fracie zecimal infinit,numerele:15 ; 8 1 ; 4 1 ; 4 2 ; 5 29 ; 11 121 . 16

S se precizeze partea ntreag i partea fracionar a fiecrui numr.

10

TMP DE LUCRU 10 MNUTE.

2. FRAC ZECMALE PERODCE

DESCOPER

DEFNE.O fracie zecimal infinit a , a a a ....... se numete periodic,dac exist numerele naturale k i p astfel nct a = a ,pentru orice n k.0 1 2 3

n+ p

n

O fracie zecimal periodic se noteaz,pe scurt,prin a , a a a ...... a (a a ... a ). Mulimea cifrelor scrise n aceast ordine n parantez se numete perioada fraciei zecimale.0 1 2 3 k 1 k k +1 k + p 1

11

Daca k=1,adic perioada ncepe imediat dup virgul,avem de-a face cu o fracie zecimal periodic simpl;n caz contrar avem de-a face cu o fracie zecimal periodic mixt.

Pentru 0,333 avem k=1,p=1 si a = a = 3 ,pentru orice n 1. Scriem 0,333=0,(3),aceasta fiind o fracie zecimal periodic simpl. Fraciile zecimale finite,dup cum am observat pot fi considerate ca fracii zecimale infinite(prin adugare de zerouri)sunt periodice. EXEMPLUn +1 n

EXEMPLU

Avem 0.25000=0.25(0); 0,625,000=0,625(0). Acestea sunt fracii periodice mixte.TEM

S se rezolve n grupele formate exerciiul:S se scrie sub form de fracie zecimal infinit periodic,numerele:12

-2/3

-29/11

-12/17

25/13

43/15

S se precizeze partea ntreag i partea fracionar a fiecrui numr.

TMP DE LUCRU 10 MNUTE.

TEOREMA 1.Orice numr raional se reprezint sub forma de fracie zecimal infinit periodic,care nu are perioada (9). TEOREMA 2.Orice fracie zecimal periodic,care are perioada diferit de (9), reprezint un anumit numr raional,din care se obine prin algoritmul de mprire. 1.Dac k=1,adic fracia este periodic simpl,avem: a a ... a ; , (a a ... a ) = a + a 99...91 2

p

0

1

2

p

0

pori

2.Dac k>1,adic fracia este periodic mixt,avem:

13

a0 , a1 a2 ... ak 1 (ak ak +1... ak + p 1) = a0 +

a a ... a k 1a k a k +1...a k + p 1 a1a 2...a ;1 2 k 1

99...900...0pori ( k 1) ori

EXEMPLE

0,(43)=43/99;1,2(75) = 1 +

275 2 273 91 421 = 1+ = 1+ = ; 990 990 330 330

sau 1,2(75)=(1275-12) /990=1263/990=421/330; 5,0(3) = (5 +

151 3 1 ; ) = (5 + ) = 90 30 30

sau -5,0(3)=-(503-50)/90=-453/90=-151/30.

OBSERVAE:0,(9)=1=1,000=1,(0)

TEM

S se rezolve individual exerciiul:

14

S se scrie sub forma de fracie ordinar,numerele:0,(3); 2,45(3); 0,027(45); -1,12(23); -31,(35).

TMP DE LUCRU 15 MNUTE

NUMERE REALE CA FRAC ZECMALE NFNTE

Nu exist nici un numr raional al crui ptrat s fie 2. Presupunem prin absurd c exist un numr raional m 1n

m astfel nct = 2 .Putem presupune c fracia m este n n ireductibil,adic m i n sunt numere ntregi prime ntre

2

15

m ele.Din = 2 rezult m = 2 n .Cum 2 n este par,atunci i n m este numr par i deci m este par.Fie m=2k,k un numr ntreg.nlocuind pe m=2k n relaia precedent ,rezult 4 k = 2 n ,de unde 2 k = n ,adic n este par.Deci m i n sunt numere ntregi pare ,ceea ce contrazice ireductibilitatea m fraciei m .Prin urmare presupunerea noastr c = 2 . n n este fals i deci ecuaia cu coeficieni ntregi x 2 = 0 nu are,ca soluii,numere raionale.2 2 22

2

2

2

2

2

2

2

TEM

Nu exist nici un numr raional al crui ptrat s fie 3.

S se rezolve individual exerciiul:

TMP DE LUCRU 5 MNUTE

2

Fie un triunghi dreptunghic isoscel ABC(fig.1)Fie AB=1.

16

S se demonstreze c nu exist un numr raional m care s reprezinte lungimea lui BC,adic a n-an

parte din AB s se cuprind de m ori n BC. Daca BC=a,rezult c a este o rdcin a ecuaiei x 2 = 0 .Notm a = 2 ,care reprezint lungimea ipotenuzei.2

Am vzut c a nu este un numr raional,deci el va fi un numr de natur nou.Un astfel de numr,care nu este raional l numim iraional.n acelai mod numerele 3; 5 s.a. care sunt rdcini ale ecuaiilor x 3 = 0 ; x 5 = 0 s.a. sunt numere iraionale.(exist i numere iraionale care nu sunt rdcini ale unor ecuaii,de exemplu numrul care este egal cu raportul dintre lungimea unui cerc i diametrul su.). Mulimea numerelor raionale mpreun cu mulimea numerelor iraionale formeaz mulimea R a numerelor reale.Deoarece 2 este numr iraional rezult c fracia zecimal care-l reprezint este o fracie zecimal infinit neperiodic. Astfel orice numr real a se reprezint printr-o fracie zecimal infinit a , a a a ....... .2 2 0 1 2 3

Ordonarea numerelor realeFie a= a , a a a ....... i b= b , b b b ....... dou numere reale,unde fraciile a , a a a ....... i b , b b b ....... nu au perioada (9). Spunem c dou numere sunt egale dac oricare ar fi i=0,1,2... avem a = b .0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3i i

17

DEFNE Spunem c numrul real a = a , a a a ....... este mai mic dect numrul real b = b , b b b ....... i scriem a