feigenbaum, chaos und die...
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Feigenbaum, Chaos und die RG
Bildquelle: [7]
[2] [4] [6] [5]
19. Juli 2017 | Lara Becker | 1
Nichtlineare Systeme und Chaos
I nichtlineare Systeme in letzter Zeitwieder reges Forschungsgebiet
I Ermöglichung der Untersuchungnicht-integrabler Systeme durchComputer
I Anfänge der Chaostheorie:Arbeiten von Edward Lorenz (um1960)
I math. Modell der AtmosphäreI sensitive Abhängigkeit von den
Anfangsbedingungen
I heute: Untersuchung eines„Phasenübergangs“ ins Chaos
Bildquellen: [2, 3]19. Juli 2017 | Lara Becker | 2
Logistische Abbildung
Die logistische Abbildung ...I ist definiert als:
f (x) = rx(1− x), r ∈ [0, 4]
I zeigt unterschiedliches Verhalten:I 0 ≤ r ≤ 1: x∗ = 0 stabilI 1 < r ≤ 3: x∗ 6= 0 stabilI 3 < r ≤ 3.45: Oszillationen mit
Periode 2I 3.45 < r ≤ 3.54: Oszillationen
mit Periode 4I ...I r > rc ≈ 3.57: chaotisches
Verhalten
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
x
r = 0.8
f(x)id
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
f(x)
Zeitschritt
f(x)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
x
r = 2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
f(x)
Zeitschritt
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
x
r = 3.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
f(x)
Zeitschritt
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
x
r = 3.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
f(x)
Zeitschritt
19. Juli 2017 | Lara Becker | 3
Logistische AbbildungPeriodenverdopplungen
I für r → rc durchläuft dielogistische Abbildung eine Reihevon Periodenverdopplungen
I Periodenverdopplung: stabilerOrbit der Länge 2k wird instabilund ein stabiler Orbit der Länge2k+1 entsteht
I geschieht, wenn |f ′(x∗, r )| = 1I für alle Punkte gleichzeitig:
ddx f (2n )(x)|x=x∗ =
∏2n−1k=0 f ′(x∗k )
I Periodenverdopplungen als„Weg ins Chaos“
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
x
r = 2.5
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(f(
x))
x
f(f(x))
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
r = 3.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(f(
x))
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x)
, f(f
(x))
x
r = 3.25
19. Juli 2017 | Lara Becker | 4
Logistische AbbildungFeigenbaum-Konstanten
I logistische Abbildung vollziehtÜbergang zum Chaos durchPeriodenverdopplungen
I Chaos beginnt bei rc ≈ 3.57
I Feigenbaum-Konstanten:I δ = limn→∞
rn−rn−1rn+1−rn
≈ 4.6692
I α = limn→∞dn
dn+1≈ −2.5029
I charakterisieren horizontale bzw.vertikale Längenskala desBifurkationsdiagramms
Bifurkationsdiagramm der logistischen Abbildung.
Bildquellen: [6, 7]19. Juli 2017 | Lara Becker | 5
Logistische AbbildungUniversalität
I α und δ nicht speziell fürlogistische Abbildung!
I andere Abbildungen:I fr (x) = r sin(πx), 0 ≤ r ≤ 1I fr (x) = r (1− x2)(2x − x2),
0 ≤ r ≤ 916
I physikalische Systeme:I Experimente zur Rayleigh-
Bénard-Konvektion in Hg [5]→ δ = 4.4± 0.1
I Universalität?→ mit RG-Methoden untersuchen
Bifurkationsdiagramm der Sinus-Abbildung.
Periodenverdopplung im Experiment.
Bildquellen: [1, 5]19. Juli 2017 | Lara Becker | 6
RG-FormalismusPräliminarien
I U : Raum von Familieneinparametriger Abbildungen {fr}mit „guten“ Eigenschaften
I U = {f : I → I, f regulär,unimodal, quad. Maximum}
I setze: I = [−1, 1] und fr (0) = 1
I Universalität sollte Eigenschaft vonU unter Anwendung einesrenormierenden OperatorsR : U → U sein
19. Juli 2017 | Lara Becker | 7
RG-FormalimusRenormierungsoperator R
Eigenschaften von R:I Abbildung von Zyklen mit Periode
2n auf Zyklen mit Periode 2n−1
I coarse-graining der Zeitskala -f → f ◦ f
I R : U → UI Reskalierung notwendigI R(f ) = αf ◦ f ( x
α)
I untersuche dynamisches SystemR : U → U
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x),f(f(x))
x
r=3.2361
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(f(x)),f(f(f(f(x))))
x
r=3.4986
Funktionsweise des Renormierungsoperators R.
Bildquelle: [6]19. Juli 2017 | Lara Becker | 8
RG-FormalismusBestimmung von α
I betrachte den Fixpunkt φ∗ von R
I an dieser Stelle gilt: φ∗(x) = R(φ∗)(x) = αφ∗(φ∗( xα ))
I wissen: φ∗(0) = 1
I Ansatz: φ∗(x) = 1 +∑N
n=1 cnx2n +O(x2N+2)
I Einsetzen in die Fixpunkt-Gl. und Lösen liefert Näherungen für αI N = 3 : α ≈ −2.479, c1 ≈ −1.522, c2 ≈ 0.073, c3 ≈ 0.046
I N = 6 : α ≈ −2.502897
I vergleiche: α ≈ −2.502907875→ Näherung für N = 6 auf 10−6 genau!
19. Juli 2017 | Lara Becker | 9
Zusammenfassung
I Übergang der Dynamik eindimensionaler Abbildungen fr (x) ins Chaos fürr → rc via Periodenverdopplung
I Phasenübergang zwischen nicht-chaotischer und chaotischer DynamikI kritischer Punkt: rc
I Auftreten des Attraktors mit Länge 2∞ ↔ unendliche Korrelationslänge
I Abfolge der Periodenverdopplungen (asymptotisch) selbstähnlichI charakterisiert durch Feigenbaum-Konstanten α, δI α, δ universell für bestimmte Klassen von Abbildungen
I Phasenübergang + Selbstähnlichkeit + Universalität→ RG-MethodenI Untersuchung des RG flow ermöglicht sehr gute Näherung von α und δI für andere Klassen von Abbildungen: andere Werte von α und δ
I z.B. quartisches Maximum: α ≈ −1.69030297 und δ ≈ 7.28486622
19. Juli 2017 | Lara Becker | 10
Ende
Geschafft!Fragen?
19. Juli 2017 | Lara Becker | 11
Quellen I
AGUIRRE, L. A., UND FURTADO, E. C.Building dynamical models from data and prior knowledge: the case of the first period-doubling bifurcation.Physical Review E 76, 4 (2007), 046219.
BOEING, G.Visual analysis of nonlinear dynamical systems: Chaos, fractals, self-similarity and the limits of prediction.Systems 4, 4 (2016), 37.
CCREWEB.Darstellungen des Lorenz-Attraktors.http://ccreweb.org/documents/physics/chaos/lorenz-circuit-2.png.[Stand: 14. Juli 2017].
CRESWICK, R., FARACH, H. A., UND POOLE, C.Introduction to renormalization group methods in physics.John Wiley & Sons, 1992.
LIBCHABER, A., LAROCHE, C., UND FAUVE, S.Period doubling cascade in mercury, a quantitative measurement.Journal de Physique Lettres 43, 7 (1982), 211–216.
SFONDRINI, A.An introduction to universality and renormalization group techniques.arXiv preprint arXiv:1210.2262 (2012).
WIKIMEDIA (NUTZER: PAR).Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung (eigene Überarbeitung).https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LogisticMap_BifurcationDiagram.png.[Stand: 11. Juli 2017].
19. Juli 2017 | Lara Becker | 12
RG-FormalismusKonzept: superstabile Zyklen
I Lyapunov-Exponent: Maß für dieGeschwindigkeit, mit der sichbenachbarte Punkte im Phasen-raum voneinander entfernen
I am Bifurkationspunkt: λ = 0
I zwischen zwei Bifurkationen:an einer Stelle λ(r̃n) = −∞→ superstabiler Zyklus
I Werte r̃n konvergieren wie die rn
mit Rate δ gegen rc ≈ 3.57 Lyapunov-Exponent der logistischen Abbildung für r > 3.
Bildquelle: [6]19. Juli 2017 | Lara Becker | 14
RG-FormalismusAnalyse von R : U → U
I untersuche dynamisches SystemR : U → U
I nehme zur Vereinfachung an:I ∃φ∗ ∈ U so, dass R(φ∗) = φ∗
I nur ein EW von R(φ∗) relevant→ δ
I Annahmen ermöglichenVorstellung der Struktur von U Struktur des Raums U unter Anwendung von R.
Bildquelle: [6]19. Juli 2017 | Lara Becker | 15
RG-FormalismusBestimmung von δ
I betrachte die Stelle fr∞ ∈ U
I R(fr )(x) ≈ R(fr∞ )(x) +(r − r∞)Rfr∞ ( dfr
dr |r=r∞ )(x)
I wissen: fr∞ ∈ Ws ∩ {fr}→ Rn(fr )(x) ≈ φ∗(x) +
(r − r∞)Rnφ∗ (
dfrdr |r=r∞ )(x)
I entwickle ϕ(x) = dfrdr |r=r∞ in
Eigenfunktionen von Rφ∗
I für superstabile Abbildungen:φ∗(0) + (r̃n − r∞)cδδnφδ(0) ≈ 0
I (r̃n − r∞)δn ≈ − φ∗(0)cδϕδ (0) = const.
Struktur des Raums U unter Anwendung von R.
I die r̃n konvergieren mit Rate δ
I löse also Rφ∗ϕδ(x) = δϕδ(x)I N = 6 : δ ≈ 4.66914I vergleiche: δ ≈ 4.669201609
Bildquelle: [6]19. Juli 2017 | Lara Becker | 16