feladatok kombinatorika

65

Upload: johnnybacsi

Post on 30-Nov-2015

85 views

Category:

Documents


14 download

DESCRIPTION

kombinatorika feladatok magyar

TRANSCRIPT

Page 1: feladatok kombinatorika

��������������

��������������������������� ���!�#"$����%�&'%)(!*�+

,.-/,.-/,.-10'243�57698!:<;=3?>@;.ACB7D4E!FHGJI?KHLM3ON!PQAR2=S�6?TCPQAMUVFQWOLMFQB�XY6?TMFZ>@LMF�[�>@B=:\TCP]3OTM^=5_P�AR2=Sa`QLC^=5b>@B=:dcQe,.-/,.-gf9-10'243�5ih@j=3bFHj.PHD43kWlD4Fm`QLC^=59[nPQAR2=Spo=D43qDrFQU<ACLCP]PQAR2=SrKHLM3ON!PQACL$K�>@LM3�s

D?c7WlDto4D4:<G.N�u\WlD4Fv`QLC^=59[qP�AR2=Sp3OLCS�6?LMACN!B.N�WOLMF'wxIbo4D4:ve>yc{z�P]WlDtStTC^|D=A$F]u<P}StLC^=6?;=o?LMFHLM: `�8!6~sOWOj.^=573OL�:<LC^=5?LM3,�wxI�AMLM:\j.PQAMFQWlD4FHGbe

,.-/,.-���-�0'243b5��vT$:/LM6?T�h!h@LM3��vLCP�FQWOL$Fm`�8!6�LC^=5���I�LCStLM:/L$FHLCP�Wl2=A|P�AMu<3bFm`QLMuVFr�vLMWOT$KQKHL=s�N9K�DJh!h!K�DnTCP�>�DJKH3l2JK�D�sWlDtP�ACj.S�PQAMTCN!j.PaPQAMuV3bFHLM6k3OLMS�:<LMWOLMFQ3OL$6nLC^=59PQAMUV3�[OLM6!e

,.-/,.-��!-���^=5�,x��F�D=^=�_69:VE�>�LM:V3O;=6?;=FRs!FQuVFQ6=2JKQF}TCP�`QLC^=5�AMB=F]o424:dD=P�AMFR-D?c{0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h~LM3�FHLMWOLMF�u<6_LCAMF�e>yc{z�P#WlD�D'3OT�hlPQACL$KH[���j�o=2=�MP#��KH3lD46rSru<3ON!LM3!6?T�h!h@LM37PQAML$K�LMFQ3OT$3OLM6to4D4:/D=StuV:<5?LM3�FQu/P�AMFHPQTC^.L$F�D=N�3!ude

,.-/,.-g�9-���^=5ro?L$K�P�LM3�5?L$3q�.��I�LM37uV3ON�E!:<3lD46y�OD=A}�x`QPH2=^.j=67D=A}LM:/P�BrWlD4F�WOL$:<5?LCAMLMFQFZ3OLMo?TMF�6?;.AM:VuV6~-�0'243b5��vTM:<L:<LMWOLMF�LCA�Dr:Vu<P�F�D?e

,.-/,.-���-��q698!:<;=3b>~;.ACB�o9u K�2=^.j=F]¡�698!:<;=3b>~;.ACBro42=AR2J>�D¢Wl243b5��vTM:<LM6?T$h!h~LM3qj.PQAMF�WlD4FQE!3!67LM:de|XY��^=5?LMP�o=2=AC2468�K�LCP�LM6_u<P}S�DJK�D=N�WlD4FQ3lD46y-gc

,.-/,.-g�9-10'243�5{NODJK�DJ>�£¥¤n��I�LCP}¦'§©¨Mª«S�24F�KHu ¬{o=D43�e7XY��:/LCStLMuV6_FHL$Wl24Fa¦xIb6io4D=^=5�¨$I�LCPQLM6y-gc,.-/,.-�­�-10'243�57698!:<;=3?>@;.ACBiPQAC2=S�PQj4K�j.ACD4FHj=FZ6=DJhOWlD4FQE!3!6yslWlD�FQU<ACPQACL$K�N!j4>OE!3!6

D?c{N!j4>~G=6?j9�H6=24o4D4:>yc7h~TM3OACNODJK�DJ>!>�D4:de

,.-/,.-�®�-10'243�5bD43no4D43!3lD46D?c{LC^=5{��I�LM:<LCS¢[qWlD4:<S|D=A�;.PQPQACLCPZK�TCPQA$WlD4:/S�D=ARD4uve>yckD=A���WOj.PQPQA$�OPH2=^=��¦'§©¨$I�PQj4K�j.ARD4FHj=6!e

¨�¯?°

Page 2: feladatok kombinatorika

����� ������� ��������c��qu<T$KHFZLC^=5?LM3!:<BrD¢�vLM3bFQuy6?TMF�L$K�LCN!StTM3�5!e��qE!F�D=PQP�6?;=:/�CP�;=3O;.PQLM3_LC^=5?T$KHFHL$:/S¢[7FHL$KHS�TCPQAMLMFHLCPZS�LM^4ª

�vLM:<LM:VFHLMFHTMP�F��,.-/,.-/,�w�- 0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h©:<LMWOLMFrLM:VWOLM:V5?LCAM3!u}DqPHD4696�F�2J>O:d243�­k>�2=P�F 5b24FRs�WOj.^=5�PQLCS�L$:<5�u<66?LMF�FHB�PQLi8OPQPQL

LC^=59S|2=P�F�e,.-/,.-/,.,.-�0'243b5�j=:<5bD43�WlD4Fv`QLC^=59[P�AR2=S o4D43�s\D=S�LM:V5�>~LM3�D=A�LM:<PQBnWl2JK�j.S `QLC^=5�D=ACj=3Oj.P¢D=ArE!FHj=:/P�GnWl2Jª

K�j.StS|D4:de

� *�������+ +a��% �l*�������%)("!

,.-/,.-/,xf9-10'243�57FHL$KHS�TCPQAMLMFHLCPaP�AR2=SpFHLM: `QLCP�UVFQu)D=A¢°�#%$©�&$ ¨.¨('r�vLM:VFHTMFQLM:<F�e,.-/,.-/,���-10'243�57WlD4Fm`QLC^=5�[nFHL$KHS�TCPQAMLMFHLCP]PQAR2=S�o=D43�eiX*)�Sru wxIbo=D4:@6?LCAMN!B.N�u<6ysyD=A�3OLCSpWlD4Fm`QLC^=59[�-�c,.-/,.-/,R�!- ��j9�H6=24o4D4:�FQU<ACPQACL�K|N!j4>�o=DqWl243b5j=:<5bD43�PQj4K�j.ACD4FHj=F 6=DJhOWlD4F�E!3!6~s)D=SruV>~LM3�o4D43 :/LC^?D4:/2J>!>©LM^=5

WlD4FHj.P�e,.-/,.-/,x�9- ��^=5�,x��F�D=^=�q69:VE�>�LM:V3O;=6?;=FRs�FQuVFQ642JKHFRsJ`QLC^=5�AMB=FaTCP]h~TM3OAMF�2JKHj.P�Fao424:dD=PQA$FR-+) 3OT�hlPQACL$KH[���jxo42=�CP

��KH3lD46{StuV3ON!LM3!6?T$h!h~LM3�PQACL$K�L$FQ3OTM3OLM6_o=D4:/D=StuV:<5?L$3qFQu/P�AMFHPQTC^.L$F�D=N�3!u -�0'243b5��vTM:<L�:<LMWOLMF'D�o?LCACLMFQB.PQTC^be

,�,�,.- �0/'%�(.1��2�'���31������_�p�54��������p*�� (.�'+�6

,.-/,.-/,���-���uV:/LM3O��LM^=5��vj4K�S�D��CTCN�E!:/D�6?;.AM8!:l3OTC^=5�KHL}LC^=5?I�LC^=587|IbF#U KHE!3!6thOu K�j.PCs?6?TM6~s?AC;=:<N�uV:<:<LMFQo?L��vL$6?LMFHLFQuV3�FH24o=D4: �yD�FH;4>!>OuV3�D:9<;>=?;A@B;DC�TCPFE >~LMFQ[!67F�D4:/24:<WlD4FQG=6_�vL$6?LMFHTMo?LM: -D?c{0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h~LM3qK�D469WlD4Fv`�E!6kDr�CTCN�E!:/246=D4F}PQj4KQ>�D�LM^=5�S|2=PZE!F�243�e>ycHG9AMuV:/2JK�N@s�PQACLC^.T$3�5?s�P�AMU<3bo4D46~��LC^=5b24:VF�D4:/243�3OLMS FQEON�`HDS�LC^=6�8!:/;=3?>@;.A$FHLMFQ3!u'DPQA$U<3OLM6?L$FR-�0'243b5

j=:V5bD43�PQj4KQK�LM3ON�`QL�o4D43�D|�MTCN�E!:d246�3lD46~s�D=Sru<6?j4K'B7�CPQD46qD=AMF�:/24Fm`HD�syWOj.^=50)JILK PQACL�KHu<3bF�PQj4KQ>�D43o4D43!3lD46Oe�z�P]Wl243b5_j=:V5bD43�s�D=StuV6?j4Ka�CPQD46kD8987M=%7M@N7MC27ME1PQj4K�K�LM3ON!LMF]:d24Fm`HD?e

��c_0'243b5{PQj4KQK�LM3ON!L$FaFQEONkStLC^=698!:<;=3?>@;.AMFHL$FQ3!uOG9A$u<:/2JK�Nle,.-/,.-/,x�9-©0a�OP�AaLC^=5��vj4KHS|D¢�CTCN�E!:/D¢6?;.AM8!:l3�5?j=:<�$K�DQPC,�RJI�LMFCs�;=F�KHL?P�fSRJIbF�TCP�WOTMF�KHLNPH�TRJI9D4F�U KHFQE!3!6qX StuV3ON9ª

LC^=5�u<6?LMF]�vLM6?LMFQTMo?LM:*�gc$-l0'243�59�vTM:<LM6?T$h!h@L$3�K�D469WlD4Fm`�E!6{PQj4KQ>�DrB=6?LMF�e,.-/,.-/,�­�- 0'243�59�vTM:<L�D43lD=^4K�D=StS|D�X D>~LMFQ[!6�PQj4K�K�LM3ON�`QTM3OLM61S�LC^=o424:VFHj.AMF�D4F�2=PQ24o=D4:�6?LM:<LMFQ6?LMACB!sZLCPQLMFQ:<LC^

T$KHFQLM:/StLMFQ:<LM3�PQACGbc�6?TCPQAMUVFQWOLMFQBiD:UV7�WXC2UV7�WXY[ZQ7 >~LMFQ[!u >@B=:de

Page 3: feladatok kombinatorika

������� ������ �����

��� %�+�* �y���©"�� � %�&�%)(!*�+

,.-/,.-/,�®�- ) 6=D43lD=NOD4u~u K�243b59UVFHG.PQAR2=Stj=6������������qD4:/D469�lD46ys!D4WOj=:�D=A�nI�LM6iLM^=5bI�LC^=5qX LCPQLMF�:/LC^r698!:<;=3�ª>@;.AMBbc�>~LMFQ[!FRslD=A���I�LM6{LC^=5bI�LC^=57P�AR2=Sa`QLC^=5?L$F)`QLM:<LM3bFHLM3OLM6y-~0'243�57uV:<5?L$3quVK�243b59UVFHG.PQAC2=S�:<TMFHLCA$WOLMF�e

,.-/,.-gf=w�-&)�A)u/P�6?j=:/D4u�D4FQ:<TMFQuV6=DZo?L$K�PQLM3b5�KHL�S�D=^?D=P�EO^4K�2=P >~G=: sRF�24o?j=:VEO^4K�2=P >~G=: s��.w�u<:V: -J�?w.wZS�TMFQL$K�LCP\�dE!F�2=P >~G=:TCP}6�u/P :dDJ>~NOD|N!j4>�2=P >@G=:\6?LM:V: LC^=5{j.PQAMFH24:<5nf.�rF�D43bE!:/G�`HD�6?;.A$8!: 6�ud24:V:<UVF�D43!u)LM^=5?LMF I�LC^=5?LMFC-��^=5bD43lD=A�D=ALCS�>~L$KaFH;4>!> X D46=2JK}D=A�;.PQPQACLCPHc P h~j4KHF�2=^4>�D43ku<P]uV3ON�E!:VWlD4FR-y0'243b5��vTM:<L�:<LMWOLMF'D�3OLMo?LCACTMP�u :Vu<P�F�D?e

,.-/,.-gf9,.-�� �O�!FZTMP��n:d243b59F�LC^=5�P�j4KQ>�D D46=DJKQE!3!6i24:V:<UVF�D43!u~�O^=5?s?WOj.^=5|Sru<3ON�u<^��vLM:<o424:VFQo=D�LC^=5r:d243b5tIrLM^=5�O�n6?;=o?LMF�6?LCACACLM3�-l0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h~LM3qFHLMWOLMFv`�8!6kLCA$F�e

,.-/,.-gf.f9-�0'243�59�vTM:<LM6?T$h!h@L$3i698!:<N�WOLMFQ8!3!6tLM:lLC^=5 3�5b2JKHj=37f=®�698!:<;=3b>~;.ACB�6?T$h~LCP�:/DJh@j=F�3OTC^=5 u/P�S�L$K�B.P 8!3!6�ª3OLM6!eiX*��LC^=FHLMWOLMFv`�8!6~sOWOj.^=5{o4D4:/D469u\LC^=5?LMF]PQL�64DJh\�lD46=2JK}StuV3ON!LMF]698!:<N�WOLMFm`�8!6kEO^=5bD43lD43!3lD46y-gc

,.-/,.-gf=��-10'243�57Wb�OPQAMF�D=^=����������� ����� � ��� ��¦'§©¨$I�PQj4K�j.ACD4F o4D43�e7X S|2=P�j9N�uV6_�vL$:/L D=A�LM:<PQB|FQ8!6?;4KH6?T�h@L�c,.-/,.-gf4�!- ) o9uVFHj4KH:/2=P >�D `�3Oj=6�PQ2=^.j=31�?��WlD `QG u<3ON�E!:VFR-��yD46?LCAM[��bD43O�CP�u<T�LCN!N�u/^ StuV3ON�u<^ E!FHj=:<PQG=3lD46©T�KHF

�CTM: >�D�� K�TM^=u�o42=^=5bD�s\WOj.^=5�LM:/B4>!>!KHLiKQE!696?j=: `Qj=3�- ) o?L$K�P�LM3�5�E!F�243 :d24Fm`�E!6ys D=Sru<3bF�PQACTM:<LCP�S�j.P�j=:<:V5bD4:S�LM^=5|WlD=ARD=�vLM:<T �!P�uV6?L$KH8!:VF��O0'243�59�vTM:<L�:<LMWOLMFHL$FQF]D¢>~LC�dE!F�2=P�u~PQj4KQK�LM3ONleiX ��TM^tD=A�P�LCS 69u<AR2JKHFRs�WOj.^=5�!G4KHu/2=P�u PQACL$K�L$3O�CPQTMo?LM:"! N!j4>~j.^.G4K�D�6?L�KH8!:<F}o=D=^=5{D4642JK}3b5?L$KHF]u/P��gc

,.-/,.-gf.�9- ��^=5��yj4K�S�D$# I�LCPt�CPHDJh�D4F�K�G=:]D=AkD�W!UVK�`H2JKY`HD�s WOj.^=5�LM:<PQB�P�AR2=S¢�©o?L$K�PQL$3�59ACB�`�8!6?LMFRs&%|I�LMF�DS|2=P u<6ys(' 3OLCS LM:<B.AMWOLMFQu}S�LC^!s WlD)% D=A ��� �+*7WOLM:V5?LM3�o=D43��#PQB=FRs)WlD�B�o?LCACLMF�TCP�% �vLM:<AR2JKH6?G.AMuV6S�;.^.T `QL=s~6?;=FHLM:<LCP'LM:<B4K�L�LM3O^.LCN�3!u -���2=P�WOLM:V5?LCACTCP�LM6?T$KHF,! WlDi3OLMS B=6no=D43!3lD46qD=A TM:/L$3$! PQARDJ>�D=NLC^=59S|2=PQPHD4:]�CPHD4FH2=AM3!u<E!6y-�0'243b5��vTM:<Lk:<LMWOLMF7D�PQj4KQK�LM3ON�D�N!j4>@j.^.G=3 X L$:/PQB�Wl2JKHj.S WOLM:V5OcrLC^=5�j=:V5bD43�dE!F�D=Stj=3�s�D4WOj=:�WbEOPQACj=3!3b5?j=:/�CD43�uV3ON�E!:V3lD46Oe

,.-/,.-gf=��-.-�U/A�LM^=5��vj4K�S�Da�CPQj=69uVFRsxWlD4F)LC^=5��vj4KHS|D]K�2=^.G.^=EOSru<F)TMP 69uV:/LM3O�ZLC^=59�vj4K�S|D)`QTM^=6�K�TCStLMF)j.PQA$FQE!3!6¢69uf.�]^=5?L$KHLM6�6?;.AM;=FQF��O^=5?sRWOj.^=5�StuV3ON!LM3!69u9h~j=3�FQj.PHD43�LC^=59o4D4:/D=StuVF 6=DJhM`Qj=3�-J0'243�59�vTM:/L$6?T$h!h@LM3rFHLMWOL$Fm`�8!6LCAMF�e

/ +)% ( ��� � �#+10 � (!��% 4�*�+32 /'�54 � �9�\* �q�������p*��60�%�+}�74'��� �l����(+6

,.-/,.-gf.�9- 0'D4F|h�2JK_�vLM6?LMFHL�TCP7EO^=5bD43lD43!3�5�u�6?TM6©ACj=6�3!u/N8! D=S�LM:V5?LM6?LMFRsZPHD `�3Oj.PCs,9 � � K�D46�F�24:a;.P�PQACL

Page 4: feladatok kombinatorika

����� ������� ������h�2JK�j.PH24o4D4: ! ;.PQPQACL$6?LMo?L$K�LCN!L$FQF¢D �lG=6b>�D43�-"-�LM: `QLCP�P�;=FHTMFHPQTM^4>@LM3�Wl243�5�NODJK�DJ>~j=F�6?LM:V: LM:/B=o?L$3!3OLCNDf4�JI?>@B=: s!WOj.^=5i>Ou/AMFQj.PHD43n:<LC^=5?LM3q6?;.AMFQ8!67LM^=5_;.P�PQACLMuV:<:<B|h�2JK$e

,.-/,.-gf=­�-�X �vj=:<5�F�D4F�2=P�c�z�PZWlDtLM^=5 ��� � h�2JKQK�Dro4D43qPQAM8!69PQTC^.LCNle,.-/,.-gf=®�-�0'D�LC^=5�S�24F�KHu ¬rStuV3ON!LM37PQj4K�2J>�D43|D=A]L$:/LCStLM6t24FQ:/D=^?D�:<LC^?D4:d2J>!>q,�w.w�s?D4696?j4K o4D43|j=:V5bD43 � ��� �D���

u<PCsyD4WOj=: D=A�24FQ:/D=^�PQAMuV3bFHTM3q:<LC^?D4:d2J>!> ,�w.w�-,.-/,.-��.w�-���^=5{;.PQPQACL `Q;=o?LMFHLM:<LM3qFQU<ACLM3qo?LMF�FHLM6iK�TCPQA$FR-!z�KH6?LCAMTCP�6?j4K

3OTC^=5 S�2=P�u<6�6=D4:\�vj.^.j=FQF 6?LCACL$F�� LCS�>~L$K;=F S�2=P�u<6�6=D4:\�vj.^.j=FQF 6?LCACL$F�f LCS�>~L$K

WlD4F S�2=P�u<6�6=D4:\�vj.^.j=FQF 6?LCACL$Fa�pLCS�>~L$K0'243b5{6?TMAC�vj.^?2=P]FH;4KQFHTM3bF};.PQP�ACLCPQLM3�e

,.-/,.-���,.-10'243�5{S�T�KH6?B.ACTCP�F `H24FHPQARD43lD46{LC^=5{��K�TCPQAMF�o?LMo?B.P]6�u/LCP�TCPQLCP]hOuV3O^JI?h@j=3O^to?L$K�PQLM3b5?LM3�e,.-/,.-��?f9-���^=5�3OTC^=5�ACL$F{D4:dD46�� '�¤ 'Jª«D=PiF�2J>O:d2=ACD4F7StuV3ON D ®S�LCACB�`QT�>@Lq>@LMU KY`�E!6�D #�������PQAR2=Stj=6

o4D4:dD=StLM:<5�u<6?T$FR-@��uVFH;=:VFQWOLMFHB4ª L�DiF�2J>O:/2=ARD4F'�O^=5?syWOj.^=5qStuV3ON!LM3P�j4KQ>�D43�TMP�Sru<3ON!LM3�j.PQAM:<j4h!>�D43TCP�D6?TMF}24FQ:<G4>�D43nu/P]�CP�E�h�Dt6�8!:/;=3?>@;.AMBiL$K�LCN!StTM3�5�F�D=N�`Qj=3�D >@LMU KHF}PQAR2=S�j=6{;.PQP�ACLC^.L�e

,.-/,.-��.��-���^=5|^=u/Sr3l2=AMu<EOSru\j.PQAMF�24:V5�>~G=:),�­Jª D43�`H2JKH3lD467D S�D4FHLM6~s�6?TCStu/DrTMP�uVK�j�NOD4:/j.S�PQACD4696?;4KQ>~B=:y:<LC^4ªD4:/2J>!>�LM^=59uV6�K�L=-") 6?TCStu/DqPQARD46�6?;4K�;.PQ;=6�PQAR2=S|D�­�s�D=A�uVKHj9NOD4:<j.S PQARD46�6?;4K�;.PQ;=6?Tn,xf9-���^.^=5?LM:�FH;4>!>`H2JK}S|D4FHLM6bK�D�sOStuV3�FaD4Wl243�5bD43nStuV3ON�Wl2JK�j.S P�ARD4696?;4KQKHL�`H2JKH3lD46y-O0'243�5bD43�`H2JKQ3lD46_S�D4FHLM6bK�D?e

,.-/,.-��=�!- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s.WOj.^=5�LC^=57,�w.w��vB.P#FH2JK�PHD=PH2=^4>�D43�StuV3ON�u/^¢o4D43�:<LC^?D4:/2J>!>{®�s?D469u!EO^=5bD43lDJ>!>�D43DrWOG=3lDJh!>�D43nPQAM8!:<LMFHLMFQF[�

� � 4�*���� ���Q� ���54 � � (9( /�%)( ��+

,.-/,.-��?�9-10'243�59�vTM:/L$6?T$h!h@LM3�:<LMWOLMF}PQj4KQ>�DrK�D46�3!u�6?TMF�¨$I�LMP�F}TMP}�{§��rN9>\-�¦xIbF�e,.-/,.-��.��-�0'243�57j=:V5bD43n�yª LM:<LCS¢[�¦}§�¨�PQj4KHj.ARD4FZo=D43�s!StLM:<5{LC^=5iD=N!j=FQF PQj4K�j.ARD4FQFQG=:yh@j=3bFHj.PHD43_6?TMF�[email protected] ª

�Mu<G4>�D43n698!:<;=3?>@;.AMuV6Oe,.-/,.-��?�9-�0'243b5ij=:<5bD43_�yª«L$:/LCS¢[n¦]§ ¨'PQj4K�j.ARD4F�o4D43�s�StLM:<5b>@LM3{h@j=3bFHj.PHD43��¢N9>nLC^=5?LMP�o=D43_TCPZStuV3ON�6?TMF

LC^=5?LCP 3OTM: 6?;.A$o?LMFQ:<LM3�8!: LM:<B=FQFHL�u/PCsOE!F�243lD�u/PaAMT$KHEOPa24:V:de,.-/,.-��.­�-��^=5bD43OLCA�D�6?T$K�N!TCPaD P�6?;.AMo?LMF�:/LM3b8!:DRiPQACGt3OT$:<6�8!: -,.-/,.-��.®�-��r0'D4F�2JKHj.ACAME!6�StLC^�D=A�j=:V5bD43�s)¡�N9>�LC^=5?LMP >@B=:�TCP��ZN9>�ACT$KHEOP >~G=:Z24:V:/GqPQj4KHj.ARD4FHj=6�PQAR2=S|24FCs

S�L$:<5b>@LM3q3!uV3O�CPQLM3OL$6nPQACj.StPQACTCN!j.P}ACT$KHEOPQj=6+�

Page 5: feladatok kombinatorika

������� ������ �����,.-/,.-��?w�-���^=5�6?;4K�S�T$KQ6?B.ACTCPQLCP#>�D `�3Oj=69PH2=^.j=37�n�CPQDJh�D4F�uV3ON�E!: - �quV3ON!LC^=59uV6iSru<3ON!LC^=5�u<6�6?LM:.`H24FQPQAMuV6|LC^=5bª

PQACL�K�LC^=5�u<6�8!6~sOLC^=5�P�ACL$K�S�2=P�uV69E!6ih�24:<5b2 `H243�-l0'243�5{StLC�C�CP >~B!: 24:V: D�>�D `�3Oj=6�PH2=^be,.-/,.-��!,.- �^=5bD43OLMA Dt6?T$K�N!TMPCs�WlD�Sru<3ON!L$3�StT$KH6?B.ACTCP F'D���T$hlP�FHD=N�u/j=3?>�D43qK�LM3ON!LCAM3OL$6 X Dt3lD=^=5_T$K�N!LM6bª

:<B9N!TCP]Stu/D4FQF�c$sOTCP U/^=5ih@L�K�PQACL¢Sru<3ON!L$3!69u StuV3ON!LM3!69uVo?LM: �MPHD46{LC^=5�PQAML$K `H24FHP�AMu<6y-,.-/,.-��bf9- ��^=57��F�D=^=�_F�2JK�PHD=PH2=^4>�D43nStuV3ON!LM3!69u�StuV3ON!LM3!69uVFa6?TCAC�vj.^?2=P�PHD4: 8ON�o?;.AM;=:<FR-l0'243b5_6?TCAMPQACj4KHUVF�2=P

FH;4KHFQTM3�F];.PQPQAMLCPQLM3�e,.-/,.-��?��- ��u�6?;.ACL�LC^=5�S�2=P�WOj.A�D=A�LM:<B.ACB�3OTC^=5{�vLM:/D=NOD4FQ3lD46!e,.-/,.-��.�!- ��G.N!j.P�UVFHP�E!6_D���������PQARDJ>�24:V5?j=6=D4F[� -�LC^=5�8!6i�vLM: s�WOj.^=57D�®.w�P�AR2=S�>@G=:@Wl2JK�S�D4F�W��OA$3lD46i69u -

0'243b5_P�ACLM:Vo?TM3�5_6?LM:V: D >Ou/AMFQj.P]FHLM:VuVF�D4:d24:/D4FQWOj.A�e,.-/,.-��b�9- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5� �� ������ �������� ���� ��!���©¡�" �7§ ¡$#�StuV3ON!LM3�¦ $�¡<$©�yª K�LT�,.-/,.-��?��- )�N�`�E!3!6_WlD=PQj=3!:<Gi�vj4K�S¢E!:/24F � % � ª K�Dtu<P[�,.-/,.-��b�9- )�A& �'()� `QL$:/;=:<TCP�F�WlD=PQAM3l24:Vo=DiU K�N��vLM: s~Wl243b5qj=:V5bD43�¡?I�LM:/LMS¢[�K�TMPQACL o=D43�D=A+*?¨ � ��� ,�,�, �H�-, WlD4: ª

S|D=A$3lD46~sD?c_D=SruV>~LM3�D=A���>@LM3!3OL�o=D43�e>yc{z�PaD=Stu >@L$3n3!u<3O�MP]>@LM3!3OLRe

,.-/,.-��?­�- 0'243�59�vTM:/L$6?T$h!h@LM3 j=:Vo=D=P WlD4FHj9N16�u�D � )5-Z� �B)5- # � ) P�ACG=FnD 6?;=o?LMFQ6?LCAMB�2J>!K�D>�D4:��vL$:/PQBPHDJKH642J>@G=: D]`Qj4>!>�D4:/P�G=u/^�WlD4:/D=N�o4D?e

� ) -q�B� ) -)$-q�&� )$- #-n�&�B)$- #���B�B) - #��X)

,.-/,.-��?®�-��^=5�3OTC^=59ACLMF�K�2=�CP." ¦��¦/#yh@j=3bFm`H2J>@G=:bK�2=�CPQLM^=5?LM3OLCPQLM6�StLM3bFHTM3]`Qj4>!>!K�D}o4D=^=5��vLM:<�vLM:<T :<T$h�o?L�Wl243�5bª�vTM:<LM6?T$h!h~LM3t`�E!FQWlD4FHPQA�LM: D=A0"21 �435#�h~j=3�F�>�D?eiX61 �43+7�¦?c

,.-/,.-g�=w�-98�LC^=5?L$3�:nh!KHU<S TMP�¨�$�¡<;=:\- �qE!F�D=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5 ?> � � j.P�AMFQWlD4FHG@:!ª o?LM:*�,.-/,.-g�9,.- ��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5{LCA�3OLMS �vLM:VFHTMF�:/LM3b8!:�FQLM: `QLMP�8!: s�WlD@:�;.PQP�ACLMFHLMF�F}PQAC2=S0�,.-/,.-g�.f9- ��G9B=FRs�S¢E!FHD=PQP�E!6_S�LC^�WOj.^=5_StuV3ON!LM3�£ ;.PQPQACL$FHLMFQF}PQAR2=StWOj.A�o=D43qj=:V5bD43¨ $ ¡A;�£�sOWOj.^=5

�B � � 3OLCS�j.PQAMFQWlD4FQG�£iª«S�L$: �,.-/,.-g�=��- �qE!F�D=PQN�StLC^!s�WOj.^=5_StuV3ON!LM3�3OLCSrª 8�K�LCP�WlD4:/S�D=AM3lD46nEO^=5bD43lD43!3b59u\h�2JK�j.P�LM:<LCS�PQAC2=S¢��K�TMPQACL

o4D43�s�D4Wl243b5ih�2JK�D4FQ:/D433�,.-/,.-g�4�!-� � ¦ �Z§C � ¨ �D�� � � � § ,�,�, �E" §�¨F# � �� �G��e

Page 6: feladatok kombinatorika

� ��� ������� ������

,.-/,.-g�.�9- � ¡ � � �¡

�7§©¨¡ §©¨ � -

,.-/,.-g�=��-1� �� � � ��" ¡ �1¨F# ������ � ��¡ �� � � -,.-/,.-g�.�9- ��

���� ¡��¡ � �1� � � ��� -

,.-/,.-g�=­�- �� ��¡ �) ��{§ ¡ �G�� � � �� ��-

,.-/,.-g�=®�- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5�� ��� B �� � ���� B �������� �.-,.-/,.-��.w�-���3!3OLM6_�vLM:VWlD=PQAM3l24:/2=PH24o=D4: D=N�`�E!3!6k�vj4KHS¢E!:d24F � � � ª K�LT�,.-/,.-���,.- ��L$3!3�5�u � � �� � � e,.-/,.-��?f9-©��^=5�TMo9�vj=:<5bD=S �=w�:/243�5�TCPZ�.w �O�iWlD4:V:/^?D4FHG�`HD ;=FQFHD=^=�|698!:<N!;=FQFHPQTM^.LMF�o424:dD=PQA$FRs9TCP h@LCN�u<^rWl2JKHj.S

:/243�5�FaTCPZ6?TMF7�O�!FR-�0'243b5��vT$:/LM6?T�h!h@LM3�FHLMWOL$FQu<6{LCA$F�e,.-/,.-��.��-�XY�vj=:<5�F�D4F�2=P�cJ)a3O�CPHDkTMP IZL$K��Mu#T$h!h~LM3WlDJK�D=^4>�D43�o4D43!3lD46~�@3OLCS D46=DJKQ3lD46�LM^=598!FQF'>@LM6?L�KH8!:<3!u -

0'243b5��vTM:<L�:<LMWOLMF�DrN!LM:<LC^?2=�Mu<Gbe,.-/,.-��=�!-���^=5t­ �O��>@G=:�TCPZ��:d243b5�>~G=:~24:V:<G¢F�2JK�PHD=PH2=^4>~G=:OWl243�59�vTM:/L$6?T$h!hko424:/D=PQAMFQWlD4FQE!3!6����vB=F��O^=5?s=WOj.^=5

:<LC^?D4:d2J>!>�f :d243b5{:/LC^=5?L$3n6?;.AMFQ8!6!e,.-/,.-��?�9- ) >!KHu/N!AMP >@LM3qWl243b5��vT$:/LM6?T�h!h�6=DJhOWlD4FHj=6iD=A��.f�:/[email protected]=2JKQF 5bD=�MPQj.S|D=^4>~G=:),��¢:dDJh~j=F �O^=5?s�WOj.^=5

D?c_�t2=PQAMFRs>yc_�r6?B4KHFRs��ck�t2=PQAMFaTMP]�r6?B4KHF]64DJh@j=6!e

,.-/,.-��.��- 0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h:<LMWOLMF�¯iLM:<LCS�LMF'6?TMF 'Jª LM:/LMS¢[��CPQj4h~j4KHF�K�Dij.PQA$F�D43!uvetz�P'24:<FHD4:d2J>�D43 �.¡qL$:/LCStLMF6?TMFa¡bª«LM:<LCS¢[�K�LRe

,.-/,.-��?�9-10'243�59�vTM:/L$6?T$h!h�:/LMWOL$F2#rL$:/LCStLMF�LC^=5��4ª LM:<LCS¢[�TCP]LM^=50'Jª LM:<LCS¢[��CPQj4h~j4KHF�>�D�j.PQA$F�D43!uve,.-/,.-��.­�-�0'243b5ij=:<5bD43�s@¨�¦ ���4ª 3OTM:~6�u/PQL�>!>[email protected]$u<FQUVo7LC^.TCP�A�P�AR2=S o=D43�s!StLM:V5<'rN9>_698!:<;=3?>@;.ACB �xª WlD4FQo4243b5

;.PQPQAMLC^.LM6?TM3bF'24:V: L$:/Bbe,.-/,.-��.®�- � ��^=5��yª«L$:/LCS¢[�WlD4:<S|D=AM3lD46�:/LC^.�vL$: `QL$>!>�Wl243�5�K�TCPQAMWlD4:<S|D=ACD�D=N�WlD4FQG�S�LC^a�O^=5?s�WOj.^=5�>�2JKHS�LM:V5

6?LMFQFQB�S�LMPQPQL�LM^=5�S|2=P F�e

� %©�"4 � � � � � (.1��2�'���31������{�����5�l��� � � /���(

,.-/,.-g�=w�- ��E!FHD=PQP]6?;=:<�CPQ;=3O;.PQL$3�LC^=5?T$KHFHL$:/S¢[�StLC^.�vLM:<LM:<FQLMFHTCP�F

Page 7: feladatok kombinatorika

������� ������ � ���D?c_D=Ai,�TCP�f|PQAR2=S}`QLC^=5?LM6�>~B=: 6?T$h~LCAMWOLMFHB{;=FQF�D=^=��Stj=3Oj=FHj=3�3O;=o?B7PQj4K�j.ARD4FHj=6kTCP�D=Ai,.sgf9s���s��!sg��TCP

�]`QLC^=5?LM6�>~B=: 24:<:<G!slEO^=5bD43O�MPHD46{;=FQF�D=^=�)������� � ���. 9tS�j=3Oj=FHj=3_3O;=o?B�PQj4K�j.ACD4FHj=676?;.AC;=FQF��>yckD=Ai�©F�D=^=��� � ��� � � ,�,�, ��� � " ¨Q$���X$p¡$#�Stj=3Oj=FHj=3 3O;=o?B�TCP�D=A|EO^=5bD43O�CPHD46�©F�D=^=�� � �� � �,�,�, �� � " ¨ $ �� $�¡ ���{§©¨F#,� ����� � ��� 9tS�j=3Oj=FHj=3_3O;=o?B�PQj4KHj.ARD4FHj=676?;.AC;=FQF��

��c��qE!F�D=PQNkS�LC^!s!WOj.^=5_D�>ycZD4:dD4F�FQudD46b>@G=: �+��¡�§©¨� � N9>\-!o4D433�,.-/,.-g�9,.- ��L$:<5�u<6_6?TCPQAM:<LMF�>~LM3qo=D43_FH;4>!>�N!j.Sru<3OG|TMP}Stu<T$KHF+�

D?c_wxIbFHG=:\­xIbu<^|PQAC2=S�j.AMo4D�sON�E�hO:d246{u/P o=D43!3lD46y�>yckwxIbFHG=:\®xIbu<^|PQAC2=S�j.AMo4D�sON�E�hO:d246{3!u<3O�MPQLM3OLM6y-

,.-/,.-g�.f9-���^=5�^=5?L$K�LM6�3OLM6�,�w�K�2=^.G.^=EOSru<F]D464DJK�PQAao?LM3!3!u �!^.j=:<5?G!s���j=3lD4:<N{TCP�:dDJh~j.PZo4D43�-�0'243b5��vTM:<LM6?T$h!ho424:/j.^?D4FQWlD4FQPQA�e

,.-/,.-g�=��-���FH�mD `�F�Dr6?T$h@LCP :dDJh~j=F�2JKHE!:V3lD46~-l0'243�59�vTM:<LM6?T$h!h�o?LMWOLMF�8!3!6�,xf¢ª F�e

� �"4 � � �{"�� � %�&�%)(!*�+

,.-/,.-g�4�!- )©PHD46�69F�2J>O:/243 Wl243b5i,$I�,�PQACj.StPQACTCN!j.P)o9uV:/2=^.j.P)TCP)PQ;=FHTMF�3OTC^=5�ACL$F�>@B=:�24:<:<G�FHTC^=:/D4:dDJhtF�D4:/24:<WlD4FHGbe,.-/,.-g�.�9- ��6?;=3b59o98!3!6io4D43qD43lD4:VU<AMu/P K�B!: s@��N�u<PQAM6�KHTMFaS�D4FHLCS|D4F�u<642JK�G=:\TCP]­�DtP�AR2=StUVFHG.^.T$h~LM6�K�B!: -O0'243�5bª

�vTM:<LM6?T$h!h�WOLM:<5?LMAMWOLMFm`�8!6�LM:�B=6?L$FrD_h@j=:<�ME!3!6?j=3�s WlD�D=AiLC^=5��vj4K�S�DnFHTCS|2 `��lD46�3lD46LC^=5�S�2=P S�LM:V:<LMFQF6?LM:V: :<LM3!3!uV8!6Oe

,.-/,.-g�=��- ) �vj.^.j4KHo?j.P K�D|o42JK�G_�t>@LMFHLM^7Wl243b5��vT$:/LM6?T�h!ho=24:/D=PQAMF�WlD4Ft,$I�, j=:Vo4D=P�3!u<o4D4:<G=F¢D|o42JK�G.PQACj4>�2J>�D43:<TMo?Bn,�wr6�8!:/;=3?>@;.AMB|�vj=:<5?G=u K�D4F�>~G=: sOWlD�LC^=57�vj=:V5?G=u K�D4FHj=Fa�MPHD46{LC^=5i>@LMFHLM^to424:dD=PQA$FQWlD4F�e

,.-/,.-g�.�9- IZL$KH^.LM3O^.G.�Mu/2J>�D�T$KHo?L]>~LMo424:<FHj=F�FQE!6r�vj4KHu<3bFm`HD4uV3!6=D4F+�.'=����¨aNODJK�DJ>7WOLM:<5�ulh~TM3OACT$KHS�TMF�64DJhOFQE!3!6 ��{N9>q,Mª hOu<�ME!3!642=PHD4FRs?FHj�o=2J>!>�2�,$I�,]NODJK�DJ> ��� � ���� ,�,�, � � � � ��� ª��OF 5�u<3O^.LMPQLMFR- )8�OF 5�u<3O^�� ��¨ZhOu/�$E!3!6=24FT$K�-O0'243b5��vTM:<L¢;.PQP�ACLC^.LMF]FQEON�E!3!6_6�u �lAMLMFQ3!u�h@j=3bFHj.PHD43q��NODJK�DJ>kh~TM3OACT$K�StTMFaWlD=PQA$3l24:<o4D?e

,.-/,.-g�=­�- ) :<u<�dF�>@LtWlD4F�D43PQAR24:V:VF�D46�>~LiD_�v;=:<N!PQAMuV3�FQLM3�-O) :Vu/�dFrD=A_,.-/s f9-/s\��-�TCP¢�!-�LCStLM:/L$FHLM3 LC^=5bDJK�243bFS�LM^?24:<: -�0'243b5��vT$:/LM6?T�h!h�P�AR24:<:VWlD4FQ3lD46{69u D=A'E!F�D=PQj=6Oe

,.-/,.-g�=®�- � )�:Vu/�dF�>~LM3{LCACLM3!6�U<o�8!:~LM:<^=E�KHE!:VF D��v;=:<N!PQAMuV3�F K�B=:~o4D4:/G�uV3ON�E!:/2=P�6?j4K]��N9>{LC^=59�vj4K�S|D'8!o?LC^.^.j=:V5?G!-�qu<3ONn6�u/^=E�KQE!:<F]o=D4:/D=S�LM:V59uV6nLMS�LM:<LMFHLM3qo4D4:<G�S�LM^?24:<:/2=P�6?j4K�-O��A�Wl243�59�vTM:/L$6?T$h!h�FH;4KHFHTM3!WOL$FHLMFQF�e

,.-/,.-�­.w�-�8 LC^=5?LM3��nK�;.^.AMUVFHLMFQF�[email protected]^.TCP�A=-5�qE!F�D=PQP E!6S�LC^!s�WOj.^=5�StuV3ON!LM3�3OLMSt3OLC^?D4FQUVo��LM^.TCPQAPQAR2=SrWOj.A�F�D4:d24:VWlD4FHG?D46�j=:V5bD43|¦%$�� � ;�� � ; ,�,�, ;�����LC^.TCPQAMLM6~s=WOj.^=5 � � ����� � � ������� � ,�,�, � ����� �FHLM: `QLCP�8!: `Q;=33�

Page 8: feladatok kombinatorika

� ��� ������� ������,.-/,.-�­�,.- �2)�AMF u/P]S¢E!F�D=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5{��LM^=5?T$KHFHLM:<S¢[OLM3qWlD4F�2JKHj.ACARDtStLC^iD=A ��� PQAR2=Stj=6=D4F[�,.-/,.-�­?f9-�0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h1o=24:/D=PQAMF�WlD4F7LC^=5�¡.�O��>~G=:�TCP|� :/243�5b>@G=:�24:V:<G 6�:<E�>1LM:V3O;=6?;=FRs�D4:<LM:V3O;=6?;=F7TCP

FQuVFQ642JKHFRs!WlD�D=A�LM:V3O;=6kTCP}D=A�D4:<LM:V3O;=6k3OLCS�:<LMWOLMFaLM^=593OLCS¢[�e,.-/,.-�­.��- 0'243�59�vTM:<LM6?T$h!h�`QLM:<;=:VWOLMFQ8!3!6�S�LC^�D�:<j=FQFHG.P�ACLM:Vo?TM3�5?L$3�F�D4:/24:<WlD4FHG�®.wqPQAR2=S 6?;.AM8!: �xª ;=Fr�O^=5?s

WOj.^=5ih�2JK�j.PZ:/LC^=5?L$3D?c_D=A¢�rPQAR2=S�PQAMj4K�ARD4F�D?e>yckD=A¢�rPQAR2=S�;.PQP�ACLC^.L�e

,.-/,.-�­=�!-p��^=5 >OEONODJh~LCP�FQu s�LC^=5�o�u/N!T$69uaTMPiLC^=5�6�8!:/�v;=:<N�ua>�DJK�24FQE!3!6�3lD46�PQAML$K�LMFQ3OT$3!6�fxª f�6?T$h~LCP�:/DJh@j=F698!:<N!LM3!u\�O^=5?s9WOj.^=57LC^=5�u<67PQL'64DJhC`Qj=3qf�LM^=5��vj4K�S�24FR-!0'243�59�vTM:<LM6?T$h!hqFHL$WOLMFHB�LMA�StLC^!s�WlDtD¢>@j=:VF�>�D43;.PQPQAMLCPQLM3��xª �vTM:/L�:dDJhq64DJhOWlD4FHGbe

,.-/,.-�­?�9- 0'243�59�vTM:/L$6?T$h!h�`�E!FQWlD4FQE!3!6�LM:�D��Jª N�u/StLM3OAMu<G.Pn6?j9j4K�N�uV3l24F�DJK�LM3ON!P�ACL$K " ¦��¦��¦/# h@j=3bFm`H2J>@G=:�D" ¡ � � �H£ #�h@j=3bFm`H2J>�D�X ¡ � � �H£ 7 ¦7LM^.TCPQACLM6!c$s~WlDiStuV3ON!LM3�:<T$h@TMP >@LM3�o=D4:/D=S�L$:<5�FHLM3O^.L$:<:V5?LM:)h�2JKHWbEOARDJªS�j.PQD43n:/T�hO8!3!6kLC^=5{LC^=59PQTC^=3b59uVF]h~j.AMu<F�U<o{uVK�243�5b>�D43�e

,.-/,.-�­.��- 0'243�56�8!:/;=3?>@;.ACB!s 3OLCS LM:<�mD `�E!:<FiWl2JK�j.StPQAC;.^�D4:<6?j=FQWlD4FQG�D=A_2J>!K�243�StLC^C`QLM:<;=:VFth@j=3bFHj=6b>@G=: sStuV3bFa�CP��O�MPQj=6�>~G=:ve{X2��LCS�LM:<�mD `�E!:<F'LC^=57Wl2JK�j.StPQAC;.^!s!WlDt�MP��O�CPHD4u 3OLCS�LCP�3OLM6_LC^=5{LC^=5?LM3OLCP >@L=-�c

� � ����

������

���

��

��

,.-/,��}>!K�D

,.-/,.-�­?�9-���^=5q,R�rS�T�KH6?B.ACTCPQLMP -�� -�� LM:<PQBt3OTM^=5iS�T$KQ6?B.ACTCPQT$KHBO:@F�EON�`�E!6~s!WOj.^=5|3OLCSpo?TC^.ACB�N�WOLMF N!;=3�ªFHLMF�:/LM3!3OL$: - 8�LC^?D4:/2J>!>nWl243b5{PQACLM:Vo?TM3b59F]6?LM:<:�6�u<FH;=:VFHLM3!u sOWOj.^=5|>Ou/AMFQj.PHD43n:<LC^=5?LM3k6?;.AM;=FQFQ8!6iFHLM:VuVF�D4:d24:/DJªFHj.P�e

,.-/,.-�­.­�-10'243�5{j=:V5bD43q��WOj.PQP�AM��¦'§©¨�PQj4K�j.ACD4F]o4D43�slD=S�LM:V5�>~LM3nEO^=5bD43lD43!3b59u�D�¦Jª«PMslSru<3bF�D=Ar¨Mª«LMP�e,.-/,.-�­.®�-98�LC^=5?L$3q��h�2JK�j.P]PQAR2=S_- I�u<ACj=3b59UVFHP�E!67>@L=sOWOj.^=5

��� ��� ��

���� � � � ��� ���

Page 9: feladatok kombinatorika

������� ������ � ���,.-/,.-�®.w�-�0'243b5�j=:V5bD437WOTMFm`QLC^=5�[iFHLM:<LC�vj=3OPQAR2=S 6?TMPQAMUVFQWOLMFHB!s�StLM:V5�>@L$37>�2JKHS�LM:V5�6?TMF�PQACj.S�P�ACTCN!j.P�PQAR2=S�ª

`QLC^=5{PQACj4KHARD4F�Drh!KHU<S�P�AR2=Sie7X �)u<^=5?LM:<LCS¥Dt¦tTCP}D=At¨�3OLCS�h!KQU/StPQAR2=S�j=6+�gc,.-/,.-�®�,.- �yj=FQG.AR2=P�WOj.A{PQACL$K�L$FQ3OTM3!6 6?TMFr��WOj.PQP�AM�OPH2=^=�©PQj4K�>�D��vLM:/24:<:VUVF�D43!u �4��698!:<;=3b>~;.ACB�S�D=^?D=PQPH2=^=�

LCS�>~L$KHF �O^=5?sJWOj.^=5¢D=A�LM:/P�B�PQj4K#LM^=5?LMFQ:<LM3tFHD=^C`HD�PQL�F�D464DJKY`HD'D=AMFRs4D469u!D�S�2=PQj9N�uV6 PQj4KQ>�D43tS�;.^.;=F�FHL�24:V:XYo4D=^=59u<P DrS�2=PQj9N�uV67PQj4K]StuV3ON!LM3nF�D=^M`HD S|D=^?D=PHDJ>!>_:/LM^=5?LM3qD=A'T$h!hnLM:/B=F�FHL�24:V:<G=3l24:vc$-O0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h:<LMWOLMFHPQTM^.LCPaLCA�e

,.-/,.-�®?f9-���^=5qo42JK�j.P >�D43�¨�¦.¦.¦.¦i6?L$K�T$6�h�2JK�o=D43�,Mª FHB=:Z¨�¦.¦.¦.¦Jª u/^_S�LC^.PQAC2=S�j.AMo4D�-3��u#D7o=D4:<G.PQAMUV3b[OPQTC^.L=sWOj.^=5{LM:<B.PQAC;4K�j=:V5bD43n6?L$KHTM6�h�2JKHF :/2=PQP�E!3!6~s�D=S�L$:<5?LM3q3OLMS�P�ACL$K�L$h~LM:)D �Jª D=P�e

,.-/,.-�®.��-��aD46R`�E!6�69u�D �)� G -Zz�� PQACG=F{69uVo=2=^.j=FQF7>@L$FQ[!6�>~BO: s S|D `QN16?LMo?L$Km`�8!61;.PQP�ACLD >~LMFQ[!6?LMFkTCPo?TM:<LMFQ:<LM3OPQACL�KH[OLM3�LM^=5?LM3!6?TM3bF}o424:dD=PQP�AME!3!6k6�u\6?;.A$8!:<8!6��4ª«LMF]TCP}WOLM:V5?LCACA$8!6nLM: LCACLM6?L$F�Dr6�u<Wb�OAR2=P�PQj4K�ªK�LM3ON�`QT�>@LM3�- �qu\D o4D4:<G.PQAMUV3�[OPQTM^.L=s�WOj.^=5iT�h!h�D �)� G -1P�ACG=FZ6=DJhM`�E!6Oe�z�PZStu�D WOLM:V5�ACLMF}D -Z��-Z�&�.�TCP}D=A���-Z��- PQARDRo=D46{LCPQL$FHTM3�e

,.-/,.-�®=�!- 0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h��vLCN�WOLMFHBq:<L7D �{¤�¡bª D=P¢FHTC^=:/D4:/DJh©¡�N9> �7¤�¨Mª«LMP N!j.StuV3OG=o=D4:de�XmK�L$69E�K�AMu<G=o4D4:h!K�G4>�24:V6?j.ACAME!3!6+�gc

� �l�#"$���Q� - ����(

f9-/,.-/,.-���D439I�L�j=:<5bD43 XY:/LM^?D4:d2J>!>�6?TMFZh@j=3bFQ��c�^4K�2=�«slD=Stu >@LM3�Sru<3ON!L$3nh@j=3bF}�vj=64Dt698!:<;=3?>@;.ACBbef9-/,.-gf9-���D43�ª L�j=:V5bD43nLC^=59PQACL$KH[n^4K�2=�«sOS�LM:V5�>~LM3�D�h~j=3�FHj=6{�vj=64D�K�L$3ON9K�L

D?c�,.s�f9sgf9s���s���s��>yc�,.s<,.sgf9sgf9s���s��!s ���cn�9s��9sg�9s���s���s���s��9sg�9sg�Nlc�,.s�f9sgf9s���s �!s��!s��9s���s��L�c�,.s<,.s���s���s���s���s��9s���s�­�s�®�Qckf9s���s���s��!s��9s���s��^bc�,.s���s���s��!s��9s���s��?e

f9-/,.-���- )aWOj=:~3OLCSr:/LC^.LMP o?j=:VF]D o424:/D=PQA=sON!;=3�FQP�8!67LM: s�WOj.^=5|FH;4>!>lPQAC;4KH;.P TMP WbE�K�j=6?TM:<LM6?LMF u/P�F�DJKQF�D4:/S�D=ACG^4K�2=�vj=676?;4K�T$>~LM3nF�D4:/24:VWlD4FHG4ª«L�S�LC^.j=:<NO2=P[�

f9-/,.-��!- -�LMFHPQAMB=:/LC^.LMPa^4K�2=�/>�D43�D h�2JK�D4FQ:/D43q�vj=69�{h@j=3bFHj=6{PQAR2=S|D h�2JK�j.PC-

Page 10: feladatok kombinatorika

� ��� ������� ������f9-/,.-g�9-10'D4F�2JK�j.ACAME!6{StLC^|D=A�;.PQPQACLCP]j=:<5bD43�s�h�2JK�j=3!6?T$3�F]3OLCS�u<ACj.Stj4K��)LC^=5�P�ACL$KH[q^4K�2=�vj=FRs!S�LM:V5�KHL

D?c7o�� �!s!L�� �>yc{o�� �9s!L������c{o�� �9s!L�� �Nlc{o�� �9s!L���­L�c{o�� �9s!StuV3ON!LM3qh@j=3bF}�vj=64D 7 '

f9-/,.-���- )�A#� ��¨ h@j=3bFQ���CP�uV:V:dD=^�LC^=5��yª LCN!�vj=69��TCP ��LM:<PQB.�vj=6��¢h@j=3bF�>@G=:�24:V:/G�LC^=59PQACL$KQ[ ^4K�2=�«-x0'D4F�2JK�j.ACAME!6S�LM^!sOWl243b57h�2JK�j=3!6?TM3bF]3OLCS�u<ACj.S�j4K��D?ciK�TMPQAC^4K�2=� `HD�sOu<:V: ->yc_�vLCP�AMU<FQLMFQF}K�TMPQAC^4K�2=� `HDto4D433�

f9-/,.-g�9- �qE!F�D=PQN�S�LM^!syWOj.^=5kWlDiLC^=5 �4��h@j=3bFQ��^4K�2=�#Sru<3ON!L$3�h~j=3�Fm`H243lD46n�vj=6=D|:<LC^?D4:d2J>!>��)s~D46�6?j4K�D^4K�2=� ;.PQPQACLC�d8O^.^.B.�

f9-/,.-�­�- X �vj=:V59F�D4F�2=PHc # ^?D=A�S�DJK�D=N�I�L�D=A�LM:<B.ACBi24:V:<UVF�2=PCsOWlD��{§�¨��vj=6��kh@j=3bFHj=64D4F]u<P}StLC^.LM3O^.LCN�8!3!6!ef9-/,.-�®�- # ^?D=A�I�L=s!WOj.^=5{o4D=^=5��tsOo4D=^=5{Dr6?j.SrhO:<LCStLM3�FQL$K�L�>Ou<AMFHj.PHD43q;.P�PQACLC�d8O^.^.Bbe

��� %�+�* �y���©"�� � %�&�%)(!*�+

f9-/,.-/,�w�-3# ^?D=A�I�L=sbWOj.^=5|StuV3ON!LM3k;.PQPQACLC�d8O^.^.Br^4K�2=�~F�DJKQF�D4:/S�D=A ��� � � � 9 � � �#;.P�PQACLC�d8O^.^.Br�vLCPQAMUVFHB K�TCPQAM^4K�2Jª�vj=F�e

f9-/,.-/,.,.- ��L$:<5?LM6kD=ACj=6_Dt^4K�2=�vj=6~sOD=S�L$:<5?LM6b>@LM3n>�2JKHS�LM:V5_6?T$F}TM:V3OLM6{o=D43k6?;.AC;.PZh~j=3�Fv`HD?ef9-/,.-/,xf9-10'DtLC^=5{;.PQPQAMLC�d8O^.^.B|^4K�2=� Sru<3ON!L$3nh@j=3bFm`HDtS�2=PQj9N!�vj=6���syD46�6?j4KaDr^4K�2=��LM^=5?LMFQ:<LM3q6?;4KQ>@B=:\24:V: -f9-/,.-/,���- ��uV:V5?LM3�6?j.Srh@j=3OL$3OPQLM6�>~B=: 24:<:VWlD4FaLC^=5{^4K�2=�«s!WlD�Sru<3ON!L$3nh@j=3bFm`H243lD46{�vj=6=Dt:<LC^.�vLM: `QL$>!>�f�ef9-/,.-/,R�!- 8 LC^=5?LM3��� 0"�� # TMP!`QLM:<;=: `�8!6�¡bª o4D4:9Da^4K�2=�OD=ACj=3�TM:<LMuV3OLM6�PQAR2=S�24FRsJStLM:V5?LM6 LC^=5�u<6�o?TC^4h@j=3bFm`HD}ª >�D43�o=D43�s\D_S�2=P�uV6�3OLCS_-"�qE!F�D=P�P�E!6�StLC^!s@WOj.^=5�¡�D4696?j4K�TCP��CPHD46�D4696?j4K'h�2JK�j.PCs�WlD�}ª >�D43 Dh�2JK�D4FQ:/D43q�vj=6��_h@j=3bFHj=6{PQAR2=S�D�h�2JK�j.P��

f9-/,.-/,x�9-��bL$:<:<LCS�LMACAM8!6�D=ACj=64D4F}Dt^4K�2=�vj=64D4FRs!S�L$:<5?LM6b>@LM3�Sru<3ON!L$3q6?;4K]h�2JK�D4F�:dD43nWOj.P�PQAM�OPH2=^=�3�f9-/,.-/,���- # AMj.S�j4K��mD46bª«L¢D=A�f9-/,.-O2J>!K�DruV:<:<LMFQo?L�D�f9-gf9-O2J>!K�Dr^4K�2=� `HD4uvef9-/,.-/,x�9- )�N�`�E!3!6�h~TM:<NO24F�j=:V5bD43�u<ACj.S�j4KH��^4K�2=�vj=6bK�D�s~S�L$:<5?LM6qh~j=3�FQWlD4:<S|D=ACD4u�6?;.AC;=F�F�D=A_,$I�,�T$KHFQLM:/S¢[

S�LM^.�vLM:/L$:<FHL$FHTCP��CPHD46{LC^=59�vTM:<LM6?T$h!h�6?TCPQAMUVFQWOLMFQB|LM: s�TCP]j=:<5bD43Oj=6bK�Dru<PCslD4WOj=:�3OLCSk-

Page 11: feladatok kombinatorika

������� ������ � ���

� �

��

� �

��

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������

��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������

���������������������������������������

���������������������������������������

����������������������� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� �������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � �

� � � � � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � � � �� �� � � � � � �� � � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � �� � � � � � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � �� � � � � � �� �� �

f9-/,.- �}>!K�D

� � � � � ��

��

���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������� ��������������� ��������������� �������������� ��������������� ��������������� �������������� ��������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��� � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � �� � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �

�� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � �

� �� � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � �� � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � �� � � � ��� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��

� � � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � �� � �� � � � � � � ��� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� �

� � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � �� � �� � � � �� � � � � �� � � � ��� � � � � � �� � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � �� �� � � � � �� � � � � � ��� � � � � � �� � � � �� � � �� � � � � � � �� � �� � � � � �� � �� � � �� � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� � � � �� �� � � � � � �� � � � �� � �� � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � �

f9-gf9- �}>!K�D

f9-/,.-/,�­�- ��^=5 ��^4K�2=� h@j=3bFm`HD4u#:/LC^=5?L$3OLM6�LC^=5��xª LM:/LMS¢[ WlD4:<S|D=A�LM:/LMS�LMu >@B=:�6?T$h@LCA$WOLMFHBkh�2JK�j=6�TCP�6?TMFh@j=3bF'D46�6?j4K�TCPa�MPHD46nD46�6?j4Ka:<LC^=5?LM3�PQACj.StPQACTCN!j.P'D|^4K�2=�/>�D43�s�WlD|D|StLC^.�vLM:<LM:/Bih�2JK�j=6_N�u/P�A«`�E!3!69F�D46y-)�f9-���-O2J>!K�Dr6?T$F}^4K�2=� `HDr6?;.AM8!:\S�LM:V59uV6_u<ACj.Stj4K�� �'ª o?LM:de

� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������������������������������������������������������������������������������������

���

��

��

�� �

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �

f9-���- �}>!K�D

f9-/,.-/,�®�-���D `QACj=: `�E!3!6�Dr6?j.S�hO:/LCStLM3bFHL$K�TMo?L$:�u<ACj.S�j4K��D?ck�xª h@j=3bFQ��sluV:V: ->yck�Jª h@j=3bFQ�q^4K�2=�vj=F��

f9-/,.-gf=w�-10'243�5{LC^=59S|2=PQPHD4:�3OLCS�u<ACj.S�j4K�� ¯.¦�h@j=3bFQ�qTMP�¨ #=¯ �rTM:<[nLC^=5�PQAML$KH[�^4K�2=�\:/TMFQLCAMuV6Oef9-/,.-gf9,.- I�u<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s?WOj.^=5rLC^=5rLM:<o42=^.G¢TM:lo?TC^4h~j=3�Fm`HD'o=D=^=5rLM:<PQB.�vj=6���s�o4D=^=5tL$:<o42=^.G�h~j=3�F�� # ^?D=A$ª«L4s

Page 12: feladatok kombinatorika

� � � ������� ������WOj.^=5{StuV3ON!LM3�LM:Vo=2=^.Grh@j=3bFQWOj.A�uV:<:<LCPQA$6?LCN�u<6k:/LC^?D4:/2J>!>�LC^=5{LM:Vo=2=^.G�TM:ve

f9-/,.-gf.f9-���^=5{TM:\StuV3ON�6?TMF}o?TM^4h@j=3bFm`HD�LM:Vo=2=^.G�h@j=3bFR- IZu<AMFHj.P ª«L=s!WOj.^=5{B�LM:Vo42=^.G|TM:def9-/,.-gf=��-���^=5i^4K�2=�/>�D43kSru<3ON!LM3_h@j=3bF]�vj=64Dr��-.IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6i>@L4s�WOj.^=5iStuV3ON!LM3qLM:Vo42=^.G�h~j=3�FZ:<LC^?D4:d2J>!>

LC^=5{LM:Vo=2=^.G�TM:<WOLMA�u<:V:<LCPQAM6?LCN�uV6��f9-/,.-gf4�!-98�LMWOL$F�ª«L¢LM^=57h~j=3�F}Dt^4K�2=�/>�D43nu/P]TCPaD�6?j.SrhO:<LCS�L$3�FHL�K�T$>@L$3�u<P}L$:<o42=^.Gbef9-/,.-gf.�9-�8 LC^=5?LM3�D � LC^=5�P�ACL$KH[�^4K�2=�/>�D43�Sru<3ON!LM3�h@j=3bF|�vj=64D�:<LC^?D4:d2J>!> ¡y- ��E!FHD=PQP�E!6�StLC^!s WOj.^=5�'ª >@LM3ko=D43qLM^=5{:<LC^?D4:/2J>!>�¡7WOj.PQP�AM�OPH2=^=�q�!F��

f9-/,.-gf=��-�X �vj=:<5�F�D4F�2=P�c I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6{>~L=s!WOj.^=5{:<TMFHLMAMu<6kLC^=57:/LM^?D4:d2J>!>�¡ �1¨�WOj.PQP�AM�n6?;4K]u/P[�f9-/,.-gf.�9- 8�LC^=5?L$3�D � LC^=59PQACL$KH[�h�2JK�j.Pt^4K�2=�/>�D43©StuV3ON!LM3�h@j=3bFt�vj=6=D�:/LC^?D4:/2J>!> �!-O�qE!F�D=PQP�E!6�S�LM^!s

WOj.^=5��'ª >@LM3no4D43qLC^=57:<LC^?D4:/2J>!> �rWOj.PQPQA$�OPH2=^=�n�!F��f9-/,.-gf=­�- 8�LC^=5?L$3�� ;.PQP�ACLC�d8O^.^.B¢TCP�¡<; 3"�� #�-�I�u<ACj=3b59UVFHP�E!6t>~L=s.WOj.^=5 �'ª 3OL$6to4D43�h@j=3bFHj.PHD437¡bª h@j=3bFQ�

;.PQPQAMLC�d8O^.^.BtK�TCP�AC^4K�2=� `HD �f9-/,.-gf=®�- # ^?D=A�ª«L=s!WOj.^=5{StuV3ON!LM3�TM:VF}F�DJKQF�D4:/S�D=A�:<LC^?D4:/2J>!>�LC^=57o=2=^?2=PHef9-/,.-��.w�-���^=5{�CP�uV:<:/D=^�XY:<N@-yD�f9-/,.-���-��vLM:/D=NOD4FHj=F�c T$:/LMu\o42=^?2=P�FaD4:V6?j=FQ3lD46!ef9-/,.-���,.- �qE!F�D=P�P�E!3!6�h~TM:<NO24F¢6?TMF�j=:<5bD43o42=^?2=P K�D�s@FHLMWl24F|XYF�DJKQF�D4:/S�D=AR2=P K�D73OTCAMo?L�c�StuV3!u/S�24:<u<P�LM:<o42=^.G

TM: K�LM3ON!PQAML$KQK�L=s�StLM:V5?LM6�TM:<PQAR2=S�D�698!:<;=3b>~;.ACB!s�FQLMWl24F|StLM:<5?L$6�6?;.AM8!:]:/LM^?D4:d2J>!>�D=AnLM^=59uV6 X StT$K�LMF K�L3OTCAMo?LRcZ3OLCS�StuV3!u/S�24:<u<P[�

f9-/,.-��?f9-���^=5 � ^4K�2=���G"�� #�T$:/^4K�2=� `H24F{�O^=5©N!L��O3!u/24: `�E!6~s]WOj.^=5���"�� #rh@j=3bFm`HD4u � TM:<LMu<3OL$6��vL$:/LM:V3OLM6S�LM^�TCP�6?TMF h@j=3bF�D4696?j4K�o4D43�;.PQP�ACLM6?;=FQo?L���"�� # ª >~LM3�s WlD�D�S�LM^.�vLM:/L$:/B�T$:/LM6�3OLM6 �'ª >@LM3�o4D43 6?;4ªAC;.P�o?TM^4h@j=3bFm`�E!6~- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>~L=s WOj.^=5�3!uV3O�CPij=:<5bD43�� ^4K�2=�«s�StLM:V593OLM6�TM:/^4K�2=� `H2J>�D431�vLCP�AMU<FQLMFQFK�TCP�AC^4K�2=�d6?TM3bF�S�LM^C`QLM:<LM3!3OL D�� ��� % KHTCPQAC^4K�2=� �

f9-/,.-��.��- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6r>@L=s?WOj.^=5rLC^=5r;.PQPQACLC�d8O^.^.B ¡?I?K�LC^=E!:/2JKHu/P#h�2JK�j.P�^4K�2=�l>�2JK�S�LM:V5�h@j=3bFm`H24F�LM:VWlD=^=59o4DDt^4K�2=��;.PQPQAMLC�d8O^.^.BiS|DJK�D=N �

f9-/,.-��=�!- )�N!j=FQF�LC^=5�¡�h~j.AMuVFQU<o¢LC^.TCPQA�PQAC2=Sk-S��LM:V5 �iT$KQFHTM6?LM6bK�L�:<TMFHLCAMuV6���h@j=3bFQ�t¡?I?K�LM^=E!:d2JKHu<P LC^=5�P�ACL$KH[^4K�2=�Qe

f9-/,.-��?�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6k>@L4slWOj.^=5_WlD|LC^=5k��h~j=3�F���LC^=5�PQAML$KH[�^4K�2=�/>�D43q:<LC^?D4:d2J>!>��+� ¨ T$: o4D43�s~D46�6?j4Ko4D43qDt^4K�2=�/>�D43qLC^=57:/LM^?D4:d2J>!>&'r�vj=69�kh~j=3�F��

Page 13: feladatok kombinatorika

������� ������ � � �

�'��+

f9-gf9-/,.- ��D `QACj=:<N �vLM:�D=A�;.PQP�ACLCP)��sR� u<:V: -4��h~j=3�F�� �m24F��bX*)�A u/AMj.S�j4K��mD464D4F"! D=S�LM:V5?LM6�DZh~j=3�FQj=6'�CPQL$K�T `QTMo?LM:LC^=59S|2=P >�DrS�LM3!3OLM6�! �MPHD46{LC^=5�PQAML$K�-gc

f9-gf9-gf9- 0'243b5kj=:V5bD43qh�2JK�j=3!6?TM3bFa3OLCS u<ACj.Stj4K��#­Jª h@j=3bFQ���mD�o4D43�syStLM:<5{h@j=3bFHj.PHD43�f�N9>�WlDJK�S�D=N!�vj=69�h@j=3bFHj=F F�DJKHF�D4:<S|D=ARe

f9-gf9-���- 0'243�5�j=:<5bD43 h�2JK�j=3!6?TM3bFt3OLMS u/ACj.Stj4K���¡bª h@j=3bFQ���mDqo4D43�s S�LM:V5F�DJKHFHD4:/S�D=A=" ¡{§ '/# ª«D=N!�vj=69�h@j=3bFHj=F�e

f9-gf9-��!- # ^?D=A�I�L=s!WOj.^=5_Sru<3ON!L$3��m2J>�D43no=D43_h@j=3bFHj.PHD43nL$:/PQB.�vj=6��nh@j=3bF�ef9-gf9-g�9- # ^?D=A�I�L=s!WOj.^=5_��h@j=3bFQ��s!:/LM^?D4:d2J>!>���TM:<[�^4K�2=�/>�D43no=D43_6?;4K$ef9-gf9-���- # ^?D=A�I�L=s!WOj.^=5_�m2J>�D43nStuV3ON�u/^|o4D43k:<LC^?D4:/2J>!>�6?TMF}L$:/PQB.�vj=6��nh@j=3bF�ef9-gf9-g�9- 8�LC^=5?L$3�� LC^=5r�m2J>�D437D�S�DJ¬�u<S|24:Vu/P��vj=6�PQAR2=S_- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6r>@L=s.WOj.^=5rD��mD�:/LC^?D4:/2J>!>�� NODJK�DJ>

LM:<PQB.�vj=69�_h@j=3bFHj=F]FHDJKHF�D4:<S|D=AT�f9-gf9-�­�- 0a�OACAR24:�>@L{LC^=5 �m2J>�D�StTC^�LM^=5 TM:<F[� I�u<ACj=3b59UVFHPQN�>~L=s)WOj.^=5U/^=5 Sru<3ON�u<^�h@j=3bFHj.PHD43�LC^=56?;4K

6?LM:<LMFQ6?LCA$u<6+�f9-gf9-�®�- IZu<ACj=3b59UVFHPQN�>~L=s@WOj.^=5�;.PQPQACLM�d8O^.^.Bn^4K�2=�/>@G=:#Sru<3ON�u<^nLM:VWlD=^=59WlD4FHG_LC^=5qh@j=3bFiX Di>~LM:/B=:<L�uV3ON�E!:/G

TM:<LM696?L$:�LC^=5�8!FQF�c��O^=5?s!WOj.^=57;.PQPQACLM�d8O^.^.Bi^4K�2=��S�DJK�D=N�`Qj=33�f9-gf9-/,�w�- ��L$:<5�;.PQPQACLC�d8O^.^.B�^4K�2=�vj=6�>~G=:ZK�D=N�UVK�j.A$WlD4FQE!3!6�6�u LC^=5 �[�D��� X N!L7h@j=3bFHj=6=D4Fr3OLCS��gc$s)WOj.^=5�D=A

;.PQPQAMLC�d8O^.^.B.PQTC^|3OL�PQAM[!3x`Q;=3�S�LM^bef9-gf9-/,.,.- # ^?D=ACj=:<N@s�WOj.^=5�>�2JK�StLM:<5?sb:/LM^?D4:d2J>!>_;=F�h~j=3�F��7^4K�2=�/>�D43io=D=^=5�D�6?j.S�hO:/LCStLM3bFHL$K�T$>~LM3{o=D43i6?;4K(�f9-gf9-/,xf9- IZu<ACj=3b59UVFHPQNk>~L=s!WOj.^=57>�2JKHS�LM:V5k��h@j=3bFQ�q;.PQP�ACLC�d8O^.^.B|^4K�2=�d3lD467:<LC^?D4:/2J>!>��_§©¨�TM:/L�o=D433�f9-gf9-/,���- I�u<ACj=3b59UVFHP�E!6�>~L=sbWOj.^=5tLC^=5r:/LM^?D4:d2J>!>{6?TMF�h~j=3�F��7LC^=5�PQAML$KH[7^4K�2=�@D46�6?j4K�TCP��CPHD46�D4696?j4K��mD�s?WlD

>�2JK�StLM:<5{6?TMFZh@j=3bFm`H24FZh@j=3bFHj.PHD43qLC^=57�!F 6?;=FQu\;.PQPQACLS�f9-gf9-/,R�!-98�LC^?D4:/2J>!>�Wl243b5_T$:/L�o4D43nLM^=5_j=:V5bD43q^4K�2=�d3lD46ysOD=Stu >@LM3q3!uV3O�CPaL$:<o42=^.Gth@j=3bF��f9-gf9-/,x�9-��bL$:<:<LCS�LMACAM8!6qD=AMj=6=D4F}D=A'TM:/L$6?LMFRslS�LM:V5?LM6{StuV3ON!LM3��vLCPQA$U<FHB��m2J>�D43k>@LM3!3OL�o=D43!3lD46ys!TCPaD=AMj=6=D4FRs

S�L$:<5?LM6_LC^=5�u<6b>@LM3qP u<3O�CP�LM3OLM6_>~LM3!3OLT�f9-gf9-/,���- �qE!F�D=P�P�E!6 StLC^!s WOj.^=5�Sru<3ON!LM3�s]o=2=^?2=P�F{3OLCS F�DJKHF�D4:<S|D=ACG�TM:<WlD4:<S|D=A�6�u/LM^.TCPQAMUVFQWOLMFHB©LM^=5

69u<�vLCPQA$U<FHBiL�K�N!B�6?j.SrhO:<LCStLM3�FQL$K�TMo?TT�

Page 14: feladatok kombinatorika

� � � ������� ������f9-gf9-/,x�9- 8�LM^=5?LM3��¥LM^=5 ^4K�2=� 6?;4KHLiTCP�� ����6?TMF 6�8!:/;=3?>@;.ACB�TM:��'ª >@LM3�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6>@L=s�WOj.^=5o4D43

j=:V5bD43no=2=^?2=PMs!S�LM:V593OLM6_T$h!h��¢TMP���D�6?TMF�'ª o?L$:\6?;.AM;.P]TM:<LT�f9-gf9-/,�­�- )�Ar� WOj.PQPQAM�OPQ2=^=� ¦¢§1¨rPQj4K�j.ARD4FQj=6q:/LC^=5?L$3OLM6�LM^=5�^4K�2=�#h~j=3�Fm`HD4u s�6?TMF�h@j=3bF¢D46�6?j4K�TMP��CPQD46

D4696?j4K':<LC^=5?LM3�;.PQPQACLM6?;=F�o?L=s~WlDkDi6?TMF�PQj4K�j.ARD4F�h~j=3�FHj.PQD43�LC^=5n6?j�j4K�N�uV3l24F�2H`H2J>�D43�FHT�K¢LM: -�8�LM^?D4:d2J>!>Wl243b5kTM:<LMF]6?LM:<:\L$>!>~B=: Dr^4K�2=�/>@G=:\LM:VWlD=^=593!u sOWOj.^=5{6?;4KHS�LM3bFHLCPQP�T�o=24: `Qj=3�e

f9-gf9-/,�®�-���^=5 �4ª K�LC^=E!:/2JKHu/PMs ;.PQPQACLM�d8O^.^.B�^4K�2=�/>@G=:#FH;4K�;=: `�8!6�69u�LC^=5��mDnTM:/L$u<FR-5IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>~L=s WOj.^=5�DS|DJK�D=N!TM6{^4K�2=� :<LC^?D4:/2J>!>�6?TMF]6?;4KQF]F�DJKQF�D4:/S�D=AT�

f9-gf9-gf=w�-���^=5�LC^=5�P�ACL$KH[1^4K�2=�'StuV3ON!LM3�h~j=3�Fm`HD:<LC^?D4:d2J>!> ¡bª D=N!�vj=6���-�I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6�>~L=s�WOj.^=5©L$3!3OLM6FHLMFQPQACB=:<LC^.LCP'¡ ��¨�h~j=3�F��q�mDrK�TCP�AC^4K�2=� `HD �

f9-gf9-gf9,.- 0'243�5 TM:<L7o=D43�LC^=5 ��h~j=3�F���s#LM^=5�PQACL�KH[©^4K�2=�d3lD46ys WlDqh~j=3�FHj.PQD43 'q698!:<;=3b>~;.ACB��vLCPQA$U<FHB.�m2H`HDo4D43�e

f9-gf9-gf.f9- ��L$:<5_�m2467u/ACj.Stj4K��mD46_PHD `H24F}6?j.SrhO:<LCStLM3�FQL$KH8!696?L$:vef9-gf9-gf=��- ��L$:<5_�mD��KQ8O�vL$K�Ib6?G.N�`HD|D � ��#�#��!¨�PQj4KHj.ARD4F�ef9-gf9-gf4�!-���^=5��©�MU<St6?TMACLMFQF¢h~j=3�FQ� �m243lD46�Wl243�5�j=:<5bD43K�TMPQAC^4K�2=� `HDno4D43�s�S�L$:<5�:/LC^.�vL$: `QL$>!> 'k6?j.Srh~j4ª

3OLM3OP >~B!: 24:V:ve7XY��^=57LCPQLMF�:/LC^.LMP}u/AMj=:d24:VF}h@j=3bF}u<P]6?j.S�h@j=3OLM3OP��gcf9-gf9-gf.�9-©��^=5 � �mD�#KH8O�vL$K�Ib6?G.N�`HD �CP E�h�D�6�8!:/;=3?>@;.ACB�PQAC2=S�j=6�>~G=:~24:V: -�0�j.^=5bD43�`QLM:V:/LCStLCAMWOLMFv`�8!6��'ª«LMF�ef9-gf9-gf=��- ��^=5�� �mD �KQ8O�vL$K�Ib6?G.N�`HD7�CP�E�h�D7LC^=5��vj4K�S�D|PQAR2=Stj=6�>@G=: 24:<: -@0'243b5nTM: >@B=: 24:V: D|:<LC^=WOj.PQPQARDJ>!>

�!F�ef9-gf9-gf.�9-!8 LC^=5?LM3�� � ��� � � ,�,�, ��� � j=:V5bD43�[email protected]�LC^.TCPQACL$6�PQj4K�j.ARD4F�D�sJS�LM:V5?LM6�;.PQP�ACLC^.L �4�}§ �9-T�qE!F�D=P�P�E!6

S�LM^!sOWOj.^=57o4D43nj=:V5bD43q�yª h~j=3�F��q�mD�sOS�LM:V593OLM6_T$h!h�LMACLM6kDt�vj=6�P�AR2=S|D4u*�f9-gf9-gf=­�-���L$KHLCPQP�8!3!6�������������������;.PQP�ACP��!:V59���m24F}D|f9-��!-l2J>!K�DrLM:<PQB|^4K�2=� `H2J>�D433�f9-gf9-gf=®�-10'243�57698!:<;=3?>@;.ACB|Sru<3!u<S|24:Vu<P�;.P�PQACP��!:V59���mD�o=D43�D�f9-��!-O2J>!K�DrS|2=PQj�N�u<6_^4K�2=� `H2J>�D43�e

� � �

� �

��

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � ��� � � �� ��� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

' �

' � �� °

� °

°#

¯° °

¯

¯¯

#

# �° ¯#

f9-��!- �}>!K�D

Page 15: feladatok kombinatorika

������� ������ � �)�f9-gf9-��.w�-©��L$K�LCP�P�8!3!6{LC^=5|Sru<3!u<S|24:Vu/P ;.PQPQAMP��!:<5��n�vLCP�AMU<FQB.�m24F}D�f9-��9-92J>!K�D�^4K�2=� `HD4uV>�D43{TCPZD=AMF�u<P�WlD4F�2JK�j.A�ª

AME!6{S�LM^!sOWOj.^=57Wl243b5_6�8!:/;=3?>@;.AMB|StuV3!u/S�24:<u<P�;.PQPQAMP��!:<5����mDto4D433�

� �

� �

��

� � � �

����

� � � �

� � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � �

� �'�

¨ � '

¯

°¯

°

° ¯

¨¨ �

�¯

°¨

¯ �

¯

' � ¨ ¨

¨ '' �

' �

#

��

#

� ¯

###

¨¨ � ''�¨ '

�� ¯

f9-g�9- �}>!K�D

f9-gf9-���,.- - DJKHF�D4:<S|D=AMWlD4Fv`HDJª«L�LM^=5{6?;4K]:<LC^.j=:/�MPQG4>!>�TM:<TMFaLC^=5{S�DJ¬�u<S|24:Vu/Pa;.P�PQACP��!:V59���mD?ef9-gf9-��?f9-98�LMWOL$FHPQTC^.LCP�LM6�ª L�D=A�D4:/2J>!>OudD46!e

D?c7��^=5t;.P�PQACLC�d8O^.^.B¢^4K�2=�/>�D43i�CPHD46tLC^=5?LMFQ:<LM3|:<LC^.j=:<�CPQG4>!>_TM:Oo4D43iTCP�D=AZ3OLCS PQACL$KHL$h@LM:~D�Sru<3!u<S|24:Vu/P;.PQP�ACP��!:V59���m2J>�D43�-

>yc{��^=5�;.P�PQACLC�d8O^.^.Bq^4K�2=�/>�D43 �kNODJK�DJ>:<LC^.N9K�2=^?2J>!> TM:#o=D43�TCP�Sru<3ON!LC^=5�u<6�PQACL$K�L�h@LM:�StuV3ON!LC^=59uV6Sru<3!u<S|24:Vu/P';.PQP�ACP��!:V59���m2J>�D43�-

��c{��^=5i;.PQPQACLM�d8O^.^.Bt^4K�2=�/>�D43_��NODJK�DJ>_:/LC^.N9K�2=^?2J>!>nTM:yo=D43_TCPZStuV3ON!LC^=59uV67PQACL�K�L$h@L$:\o4D4:/D=S�LM:V5?s�N!L3OLCS�StuV3ON!LM3�Sru<3!u<S|24:Vu/P';.PQP�ACP��!:V59���m2J>�D43�-

f9-gf9-��.��- 8�LC^=5?L$3�� o=2=^?2=P�LC^=5 ;.PQPQAMLC�d8O^.^.B � ^4K�2=�/>�D43�- ) � §��¥6?TMFt6?j.S�h@j=3OLM3OP�T$>@LM3�� � s uV:<: -� � LC^=5�ª LC^=5qSru<3!u<S|24:Vu/P�;.PQPQACP��!:V59��69u<�vLCPQAMUVFHBn�mD�- 8 LC^=5?LM3���D���ª F�D4:V6?j=FHG7TM:/L$6�6?;.A$8!:#D7:<LC^=69u<PQL$>!>P��!:V59��- �qu Stj=3ON�WlD4FHG � ��� � � � * � ,Cª K�B=:ve

f9-gf9-��=�!-¥��^=51�1¤��yª«LCPkS|24F�KHu ¬!j=FkPHD4696�F�2J>O:/243lD46�6?T$hlAMLM:<8!3!6 TCPnLM:�6?LM:<:�WOLM:V5?LCAM3b8!3!6 K�D `�F�D�� N9>P >�2=P�F 5b24F R��O^=5?s9WOj.^=57PQLCStLM:V59uV6{6?L$FQFHB�3OL�8OPQP�L�LC^=59S|2=P�FC-.��uV3ON!LM3nuV:V5?LM3n6?j=3 �l^=E�K�2=�Mu<G=WOj.A�WOj.AMAR2JªK�LM3ON!L$:<8!3!6iLM^=5t;.P�PQACP��!:V59F ��D=ACj=3i�_NODJK�DJ>7S�24F�KHu ¬�I�LM:<LCS ;.PQPQACLC^.T$FRs�StLM:V5?LM6?LM3{DHP >�2=P�F 5b246�R�24:V:<3lD46y-

Page 16: feladatok kombinatorika

��� � ������� �������qE!F�D=PQP�E!6nS�LC^!slWOj.^=5q24:VF�D4:d2J>�D43�D|S|DJ¬9u/S�24:<u<P';.PQPQACP �!:<5���6?j=3 �l^=E�K�2=�Mu<Gi3OLCS 64DJhOWlD4FHG7S�LC^iLM^=5S�j=WOG}`QLM:V:/LC^=[�D4:<^.j4KHuVFHS¢EOPQPHD4:*�

f9-gf9-��?�9- 8 LC^=5?LM3OLM6iD¢^4K�2=� � � ��� � � ,�,�, TM:<LMu@LM^=5�S|2=P FHG=:y�d8O^.^.L$FQ:/L$3�8!:~K�L$3ON9K�L�: � ��: � � ,�,�, o=D4:<G.PQAMUV3b[OPQTC^.^.LM:S�LM^=W!uV>�2=PQj�N!G�FHLM:<LC�vj=3bo?j=3lD4:dD46y- )�6�u/�vLCP�AMU<FQB¢�m246 6?;.AM8!:O6?L$K�LCP�P�8!6rS�LC^�D=AMFRs.StLM:<5�3OLM6tD':<LC^=3lD=^=5?j4>!>D¢S�LM^4>OU/AMWlD4FQG.PH2=^?D{XYFHLMWl24F�S�LM:V5�K�L�S�DJ¬�u<S|24:Vu/P D43!3lD46|D�o=D4:<G.PQAMUV3�[OP�TC^.L=s�WOj.^=5|LM^=59uV6|TM:yPQLCS W!u >�2JªPQj�N�u<6_S�LC^bc�-

/�� +L�'% ��%��9�\*�� /'% ( � 4 ���#"$*�+10)&J�'%���� (!�#�

f9-���-/,.- G�U<6b>�DJK�D `QACj=:<WlD4FQG?D46�ª«L¢D|f9-���-l2J>!K�243_:d24F�WlD4FHG�^4K�2=�vj=6!eiX K�PHD46_Dr64DJKHu<64246_Dt^4K�2=��h@j=3bFm`HD4u*�gc

� �

��

� �

� �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� �

� � �

���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

��

��

��

��

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������������

����������������������������������������������

��������������������������������������������

����������������������������������

����������������������������������

����������������������������������

������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � �

� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � �� � � � �� �� ��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� �� � � �� � ��� �� ��� ���� ������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������� ������ ����� �� ��� ��� � �� �� �� � � � � �� �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �

f9-���- �}>!K�D

f9-���-gf9-��^=5�WlD4FHLM:<LCS¢[�WlD4:<S|D=A�6?TMFHLM:<LCS¢[ K�TCP�AMWlD4:/S�D=ARD4u!:<LC^=5?LM3OLM6 LM^=5¢^4K�2=�9h~j=3�Fm`HD4u -4��TMF h@j=3bF D46�6?j4K:<LC^=5?LM3 ;.PQPQAMLM6?;=FQo?L�LM^=5�T$:<:<LM: s]WlD�D 3OLM69uV61StLC^.�vLM:<LM:<B©KHTCPQAMWlD4:<S|D=ACj=61N�u/P�A«`�E!3!69F�D46�X S�L$FHPQACLMF�8!68�K�LCPHc$-�G�UV6�>�DJK�D `QAMj=:<WlD4FHG4ª L¢LCA�Dt^4K�2=�Qe

f9-���-���- ) � � ^4K�2=� h~j=3�Fm`HD4u\�vLM:<LM: `QLM3OLM6�StLC^�LC^=5 �4�yª LM:/LMS¢[qWlD4:/S�D=A��{§©¨�LM:<LCS¢[nK�TCP�AMWlD4:/S�D=ARD4uV3lD46~-��TMF�h@j=3bF�D46�6?j4K�:<LC^=5?LM37;.PQP�ACLM6?;=FQo?LaLM^=5�TM:V:<LM: s�WlD�D�S�LC^.�vL$:/LM:<B K�TCPQAMWlD4:<S|D=AMj=6iN�u/P�A«`�E!3!69F�D46y-���LM:V5�yª«L$6�K�L':/LMPQA�� � P�UV6�>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHGbe

Page 17: feladatok kombinatorika

������� ������ ���3�f9-���-��!- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5{LC^=5 �JI?K�LC^=E!:/2JKHu<PCs�LM^=5�PQACL�KH[kh�2JK�j.P]^4K�2=� 3OLCS�:<LMWOLMFaP U<6b>�DJK�D `QACj=:<WlD4FQG.�f9-���-g�9- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6|>@L=s9WOj.^=5tWlD�D�^.;.S�>!KHL}K�D `QACj=:<FCs���NODJK�DJ>{F�DJKQFHj.S|243b5�>~G=:@24:V:/G�FHT$KH6?T�hk^4K�2=� `H243lD46�¢TM:<L�o4D43nTCP}Dt^4K�2=� �Jª K�LC^=E!:/2JKHu<PCs�D4696?j4Ka¯�� � � � ��¨ �<�

f9-���-���- �qE!F�D=PQP�E!67StLC^!s9WOj.^=5tWlDrLC^=5�LC^=5�P�ACL$KH[�s!P�UV6�>�DJK�D `QAMj=:<WlD4FHG!s�Wl2JKHj.S WOj.PQPQAM�_6?;4KHF�3OLCS FHDJKHF�D4: ªS|D=AMG�^4K�2=�d3lD467:<LC^?D4:d2J>!>�� h@j=3bFm`HDto4D43�slD4696?j4K� $ �4�{§ �0�

f9-���-g�9- )�A��yª h~j=3�FQ��s���TM:V[�s!P�U<6b>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG|^4K�2=�~>�2JK�StLM:<5_° TM:<TMFZ69uVo=24:/D=PQAMF�o=D :/T$FHLCAMuV6��'ª 3OL$6_j=:V5bD43�vLCPQA$U<FHB.�m2H`HD�syD=S�LM:V5{StuV3ON�D=A¢°�TM:<LMFaF�DJKHFHD4:/S�D=ACARD�- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!67>@L4sOWOj.^=5{LM6�6?j4K�� $ % � �{§ '��

f9-���-�­�- )�N�`�E!3!6��vLM:<PQB�>~LC�CP�:<TCP�F|LC^=5 P�U<6b>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG^4K�2=�}T$:/LMuV3OLM6�PQAR2=S|2JK�D�s WlD�StuV3ON!LM3©6?;4K�TM3OL$6WOj.PQPQACDt:/LM^?D4:d2J>!>�¡�X D4WOj=:�¡<7 '�KH;.^.AMU<FQLMFQF]LC^.TCPQA�c �

f9-���-�®�- ��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5_Dr6?TMF ��E�K�D4FHj��}P�6�uVª ^4K�2=�)�vLM: K�D `QACj=:VWlD4FHG7DrFHG4KQEOPQA$K�D �

���

��

��

�� �

� �

�� � � �

� � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ��

������������������������������������������������

���������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������� ��� ��� �� � �� ��� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � �� � � �� � � � � � �� � � � � � ��� � � � � �

� � � � � � �� � �� � � �� � � � � � ��� � � � �� � � � ��� � � � � �� � � �� � � � � � �� � � �� � � � � �� � � � �� � � �� � � � � � ��� � � � � � � �� � � �� � �� � � � � � �� � � � � ��� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �

� �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � ��

� � � � � � � � � �� � � � � � �� �� � � � � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� �� � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � �� � �� �� �� �� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � �� � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � ��� �� �� ����� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������

f9-g�9- �}>!K�D

f9-���-/,�w�- G�U<6b>�DJK�D `QACj=:<WlD4FQG4ª«L�D=A�f9-g�9-O2J>!K�243n:/24FQWlD4FHGtLM:<PQB|^4K�2=�«slD=A���- 3�- LMFHL$K�P�LM3�ª«^4K�2=�Qef9-���-/,.,.- �aD `QACj=: `�E!6k:/L DtP�U<6b>�D43�D=A f9-��9-O2J>!K�D�S|2=P�j9N�uV6nTCP WlDJK�S|D=N�uV6n^4K�2=� `H24F]�O^=5?s!WOj.^=5_Sru<3ON!L$3�T$:

LC^=5?LM3OLMP}PQARD464D=PQA�:/LC^=5?L$33�f9-���-/,xf9- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s�WOj.^=5�LC^=5�LC^=5�PQAML$KH[P�UV6�>�DJK�D `QAMj=:<WlD4FHGq^4K�2=�/>�D43�3OLCS :/LMWOL$F StuV3ON!LM3h@j=3bF

�vj=64Dr:<LC^?D4:d2J>!>���-f9-���-/,���- X �vj=:V59FR-�c-�LC^=598!6n�vLM: s@WOj.^=5qLM^=5�LC^=5�PQAML$KH[�P�U<6b>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHGn^4K�2=�/>�D43�D{Sru<3!u<S|24:Vu<P¢�vj=6�PQAC2=S

�9- �qE!F�D=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=57LM6�6?j4K}:<LC^?D4:/2J>!> ,xfrN9>�;=FQ;.N!�vj=69�_h~j=3�F o4D433�f9-���-/,R�!- X �vj=:<5�FR-gc z�:<LCP ª L�D��vL$3�FQu!>~LC�CP�:<TCPCsbo=D=^=5�u/P#o=D43�ª L}j=:V5bD43|LC^=59PQACL$KH[�sbP�UV6�>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG ^4K�2=�«s?StLM:<5bª

>@L$3kh@j=3bFHj.PHD43,xf�N9>q;=FH;�N!�vj=69�{h@j=3bF}o4D43nTCP 3!u<3O�CP]69u<PQL$>!>��vj=69�{h@j=3bF�ef9-���-/,x�9- 8�LC^=5?L$3���h@j=3bFm`HD4uV3lD46¢DZPQAR2=S�D :<LC^.�vLM: `QL$>!>|�9-�IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6'>@L=sRWOj.^=5 �©TCP D 6?j.S�hO:/LCStLM3bFHL$K�L

6?;.AM8!:�:<LC^?D4:d2J>!>�D=A�LC^=5�u<6_P�UV6�>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG.�f9-���-/,���- G9ARDJ>�24:V5?j.P�;=FQPQAC;.^.LM6b>@B=:)TCP�WlD4FHP�AC;.^.LM6�>~B=: D464DJKHE!3!6n:/DJ>@NO24F'6?TCPQAMUVFHLM3!u��\StuV3ON!LM3�;=FHP�AC;.^.LMF��

Page 18: feladatok kombinatorika

��� � ������� ������WlD4FHPQAM;.^7WlD4FH2JK�j=: s�StuV3ON!LM3�WlD4FQPQAC;.^.LMF��Jª«�7;=FQPQAC;.^iTCPaWlD4FHP�AC;.^�X �vLM:Vo=24:VFQo4D?c$- ��LC^i:/LMWOL$F�ª«L��CP�uV3l24:V3!u sTCP WlDru<^.LM3�s�LM^=5?T$KHFHLM:<S¢[OLM3�StLC^=WlD4F�2JK�j.AMWlD4FQG4ª«L�L�>!>@B=: D=A�;=FHP�AC;.^.LM67TCP}DrWlD4FHPQAM;.^.LM6{PQAR2=S|D?e

f9-���-/,x�9-�0'D=P�j=3!:/Gn6?T$KHN!TCP¢PQARDJ>�24:V5?j.P�Wl2JK�j.StPQAC;.^.LM6�6?LM:�TCP�3OTC^=59ACLMFHLM6�6?LM:aX StuV3ON!LM3 3OTC^=5�AMLMFHLMF �_Wl2JªK�j.StPQAC;.^!sOStuV3ON!LM3qWl2JK�j.StPQAC;.^.LMF�f�3OTC^=59ACLMF]TCP�,�Wl2JK�j.S�PQAM;.^tWlD4F�2JK�j=: `Qj=3�c$-) 6?;=o?LMF�6?LCACB��vL$:dD=NOD4FHj=6�WOj.A �]6?T$Fn^4K�2=�¢^=5?L$3O^.TM3 u<ACj.S�j4K��«s WlD�TM:VWlD4:/S�D=ARD4uV6 6?;.AC;=FQF{:/T$FHLCP�UVFQWOLMFHBj=:V5bD43�sO6?;=:<�CPQ;=3O;.P�LM3�LC^=5?T$KHFQLM:/S¢[�StLC^.�vLM:<LM:VFHLMFHTCPMs~S�LM:V576?;4KHF 6?;4KQ>@L'o9u<PQA=-

f9-���-/,�­�-���L$KHLCPQP�8!3!6_u/ACj.Stj4K��)TCP ^=5?LM3O^.TM3nu<ACj.Stj4K���h�2JK�j=64D4F}D�f9-�­�-l2J>!K�Dr^4K�2=� `HD4u�6?;.AC;=FQF��� � �

� � ��

� � �

����

� �

��

���

�� �

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

f9-�­�- �}>!K�D

f9-���-/,�®�- -�LC^=598!6|�vLM: sOWOj.^=5���LC^=57;.PQPQAMLC�d8O^.^.B|^4K�2=�«s ' TCP ( 6?TMF 3OLCS�LM:Vo=2=^.G�h@j=3bFm`HD�sON!L �1§ * ' � ( ,6?TMF#6?j.Srh~j=3OLM3OP K�L]LCP�uV6tP�ACTMFR- ��D=^?D=PQP�AME!6��x` K�D�;.PQP�ACL}LCA$F�D'6?TMF�6?j.S�h@j=3OLM3OP FRs?N!L]LM:<B=FQFHL}D=A]LM^=59uV6?LMF�vj4K�N�UVFHP�E!6k24F X f9-�®�-O2J>!K�D?c$- �qE!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5kD=A'�x`}^4K�2=� ^=5?LM3O^.TM3nu<ACj.Stj4K��)D�KHTC^=u<o?L$: �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � �� � �� � � � �� � � � � �� �� � � � � � � �� � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � �� �� � � � � � � � �� � � � � � � � �

� �

��

� �

� �

��

� �

��

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����

����������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������������������

f9-�®�- �}>!K�D

f9-���-gf=w�-��'5?LM3O^.TM3ku/ACj.Stj4K��mD46�ª L D|f9-<,�w�-O2J>!K�Dt^4K�2=� `HD4uvef9-���-gf9,.-���TCP�AMU<FQP�8!6nLM:�D=A�f9-g�9-O2J>!K�D�f9-lTMPa��-!^4K�2=� `H243lD46kDtN�El24:Vu/PQ24F��f9-���-gf.f9- ��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5_Dr��E�K�D4FHj��}P 69u ª«^4K�2=�vj=6�3lD46_3OLCSp:<LMWOLMF�N�El24:Vu<PHD �f9-���-gf=��-���L$KHLCPQP�8!3!6kj=:<5bD43q^4K�2=�vj=6=D4FRs!StLM:V5?LM6_u<ACj.Stj4K��mD46nDrN�El24:<u<PQj=6�6=D4:*�f9-���-gf4�!- � P�UV6�>�DJK�D `QAMj=:<WlD4FHGiTMP]o4D43k��E!:<L$K�Ib6?;4KHL=-�I�u<ACj=3b59UVFHP�E!67>@L=s!WOj.^=5�� �ah�2JKHj.P}^4K�2=� �f9-���-gf.�9- )�N�`�E!3!6{h~TM:/NO24F}j=:<5bD43ku/^?D=A�^4K�2=�vLM:<S�TM:<LMFQu 24:<:VU<FH2=P K�D�slS�LM:V5 PQN�ElD4:Vu<AR24:<o4DTR|WlD=Stu<PQPH2�o424:Vu<6+�

Page 19: feladatok kombinatorika

������� ������ ��� ��

� �

� �

� �

� � � �

� � � �

� � �

��f9-/,�w�- �}>!K�D

) 6?;=o?LMFQ6?LMACBi�vLM:/D=NOD4FHj=69WOj.A ��) � ^4K�2=� � � * 1 �43 , T$:/TM3OL$6q;.PQPQACL$W��OAR2=PQ243D=AMF�T�KHFm`�8!6~slWOj.^=5qD=A 1TCP�3ih@j=3bFHj=64D4F'D=ACj=3Oj.P�UVFm`�E!6~s�D=A�U/^=5_W�E�K�j=6?T$:<:<Tro424:VF �rTM:VF'LM:VWlD=^=5R`�E!6ys~TCP�StuV3ON!LM3�S|2=P�j=:V5bD43�TM:<FCsS�L$:<5 1Oª >�D�s!o=D=^=5<3.ª >@L'o?LCACL$FHLMFQFRslD=A��x` h@j=3bF�>�Dro?LMACLMFm`�8!6y-�) 6?LM:/L$FQ6?LCACB|^4K�2=�vj=F ��� �Cª o?LM:�`QLM:<;=: `�8!6y-

f9-���-gf=��- ��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5="���� �F#�� �<��"���� ��#�� �:�f9-���-gf.�9-3�?LM:<;=: `�8!6�� "�� # ª o?L$:~D��^4K�2=�\�vLMPQAMUVFHBtL�K�N!B=u<3OL$67PQAR2=S|24FC- -�LC^=5�8!6��vL$: s�WOj.^=5|D=A���T$:~PQLCS 3OLCS

WbE�K�j=6~sOPQLCS�3OLCS�LM:Vo=2=^.G|T$: - �qE!F�D=PQP�E!6_S�LM^!sOWOj.^=57uV:<5?L$3!6?j4K � "�� # � � "�� §�� # ��� "���� �F# �f9-���-gf=­�-C8�LM^=5?LM3 TCP���D�� ^4K�2=��TM:VWlD4:<S|D=AR243lD46�6?TMF'N�u<PQA«`�E!3!6�F�K�TCP�AMWlD4:/S�D=ARD�- -�LC^=5�8!6q�vLM: s~WOj.^=5�6?;4K�S�L$3�FHLMPCs���o42=^?2=PQS�L$3�FHLMPC- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6q>~L=s~WOj.^=5no4D43 ��ª 3OLM6�j=:V5bD43��vLCP�AMU<FQBkL$K�N!B�`QL4s@S�LM:V5}ª F F�DJKHFHD4:/S�D=ACARDtTMP���ª FHB=:�N�u<PQA«`�E!3!6�F��

f9-���-gf=®�- X �vj=:V59FR-�c 8 2=P�P�E!6i>@L=s9WOj.^=5|LC^=5����<"�� #�TM:VWlD4:/S�D=A¢D46�6?j4KZTCPZ�CPHD46{D46�6?j4KZu<:V5?LM3kF�E!:dD `QN!j=3�ªPH2=^=�k�vLCPQAMUVFHBiL$K�N!B!sOWlD�� § �vLMPQAMUVFHBiL$K�N!B "�� §�� #�� }ª >~LM33�

f9-���-��.w�-���^=5�^4K�2=��P�U<6b>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG.PH2=^?243lD46�3�5�u<:Vo=243 P�AM8!6�PQTM^.LCP¢�vLM:VFHTMFHL$:/L=s\WOj.^=5�TM:<LM6�L$:<WlD=^=5b2=PHD{TCP;.PQPQAMLMW��OAC2=PHD�PQj4K�243t3OL\`�E!FQWlD=PQP E!3!6�LM:�>@LM:<B=:<L}Da��E�K�D4FHj��}P�6�uVª ^4K�2=�vj=6 o4D4:dD=StLM:<5�u<6?T$WOLCA=-.��E�K�D4FHj �]P�6�uFHTMFQLM:/T$3OLM6k�vL$:<WlD=PQA$3l24:d2=PH24o4D4: :/2=PQP�E!67>@L=sOWOj.^=57LCA�Dt�vLM:VFHTMFHL$:�LM:<TC^.PQTM^.LCPau/P��

f9-���-���,.- � XY�vj=:<5�FR-gcO)�N�`�E!3!6th~TM:/NO24F�j=:<5bD437^4K�2=�/K�D�sbStLM:V5�>@B=:�TM:<LM6|;.P�PQACLMWb�OAR2=PH24o4D4:@LM:l:/L$WOLMF�`�E!FQ3!u~D �� ^4K�2=�dWOj.A=slD=ACj=3?>�D43�Dt^4K�2=� 3OL�FHDJKHF�D4:<S|D=ACACj=3 �� �ª FHLM:�FHj4h@j=:<G.^=uV69EOPHD43nu<ACj.Stj4K�� K�TCP�AC^4K�2=�vj=F��

�Q�����5��� - � � %����Q� (�*�4��4+�1�� 1�+ - ���S�a(!%#+

f9-��!-/,.- I�u<ACj=3b59UVFHP�E!6t>~L=s?WOj.^=5tLM^=5�;.PQP�ACLC�d8O^.^.B ^4K�2=�~T$:/LMul>@L«`H2JKQWlD4FHG=6t�O^=5?s.WOj.^=5rStuV3ON!LM3{TM:<LM37StuV3ON9ª6?TMF uVK�243�5b>�D43kh@j=3bFHj.PHD43qLM^=5�PQACL�K�S�LM^=598!3!67o?TC^=u<^.�

f9-��!-gf9- ��E!FHD=PQP�E!6�S�LC^!s)WOj.^=5 WlD�LC^=5 ;.PQP�ACLC�d8O^.^.B^4K�2=�Zh�2JK�D4FQ:/D43©�vj=69� h@j=3bFm`HD4u<3lD46�D�P�AR2=S|D �.¡ys

Page 20: feladatok kombinatorika

��� � ������� ������D4696?j4K}Dr^4K�2=� TM:VWlD4:/S�D=ARDt:<LC�vLCN�WOLMFQBk¡7NODJK�DJ>�TM:<PQj4K�j.ACD4FaN�u<PQA«`�E!3!69FaLC^=5?LCP�UVFHTCPQT$o?LM: �

f9-��!-���- 8 LC^?D4:/2J>!>7Wl243�5tTM:<LMF�6?LM:V:lWOj.ACAR2.D=N�3!uyD LMFHL$KHPQLM3�ª«^4K�2=�dWOj.A=s�WOj.^=5tD�6?LM:<LMFQ6?LMACB¢^4K�2=�/>�D43i:<LC^=5?LM3��E!:<L$KQª �!F�e

f9-��!-��!- # ^?D=ACj=: `�E!6~s�WOj.^=5_WlDiLC^=5n^4K�2=�)Sru<3ON!L$3�h@j=3bFm`H243lD46k�vj=6=Di�!s~D46�6?j4K�TM:<LMu PQA$U<3OLCA$WOLMFHB=6nhOu K�j.P�TCP6?TM6iP�AMU<3OL$696?LM:@�O^=5?sbWOj.^=5iStuV3ON!LM3nT$:~FHLM: `QLCPZWOj.PQPQAR2J>�D43_LC^=5�P�AMU<3b[k:<LC^=5?LM3kTCP�StuV3ON!LM3{h@j=3bFQWOj.A�6?TMFhOu K�j.P}TCP 6?TMF 6?TM6{TM:�u<:V:/LMPQAM6?LCN�`QTM6y-

f9-��!-g�9- ��uV:V5?LM3���T$KHFQTM6?LM6�KHL�F�DJKQF�D4:/S�D=A�D=A��yª h~j=3�FQ�_FHLM: `QLCPa^4K�2=� ��E!:<L$K�Ib6?;4KHF o=D=^=5|IbE!F�D4F�ef9-��!-���- �?LM:<;=: `�8!6�� " � �� # ª o?LM: D=A �kLC^=5�P�TC^iWOj.PQPQAM��s �LC^=5�PQTM^{P�ACTM:<LCP�FQTC^=:dD4:/DJh�D4:dD46��BR=6?j9�H6=2=P Rih�DJhOU K

24:VF�D4:�S�LC^=WlD4F�2JKHj.ACj=FQF_^4K�2=�vj=F�� ��D43�ª L �.ª 3lD46�TCP �ª 3OLM6�j=:<5bD43 T$KHFHTM6?L4s}D=Sru<6?j4K�� " ���� # ª 3OL$6�o4D43��E!:<L$K�Ib6?;4KHL�o4D=^=57ª �!Fm`HD?e

f9-��!-g�9- �qE!F�D=PQP E!6S�LC^!s�WOj.^=5�WlDnLM^=5�^4K�2=�/>�D43o4D43��E!:<L$K�Ib6?;4K�s D4696?j4K�StuV3ON!LM3�o42=^?2=PH243lD46�h�2JK�j.PPQj=6{TM:<L�o4D433�

f9-��!-�­�-�X �vj=:<5�FR-gc�# ^?D=A�LMA¢D=A�24:<:VU<FH2=P}o9u<PQPQARD=�vL$:/T�ef9-��!-�®�-10'243�57698!:<;=3?>@;.ACBi0'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4KQFRs!u<:V: -lE!F�D4F F�DJKHF�D4:<S|D=A�D=A���PQAC;.^4h~j=3�FQ�kFHLM: `QLCPa^4K�2=�«s � � ef9-��!-/,�w�-�0'243�5�6�8!:/;=3?>@;.ACB}0'D=StuV:<FHj=3�ª 6?;4KHF\F�DJKHF�D4:<S|D=A�D=A�D=A �tPQAC;.^4h@j=3bFQ� ^4K�2=�«s�D=StuVF � � ª >@B=:?64DJhOE!3!6

LC^=5{TM:<TM3OLM6kLM:<WlD=^=5b2=PQ24o=D4:def9-��!-/,.,.-10'243�57698!:<;=3?>@;.ACB|0'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4KHFRsOu<:V: -lE!F�D4FZF�DJKHF�D4:<S|D=A�D=A�� � � � ef9-��!-/,xf9- )�N�`Qj=3�j=:V5bD43 ����iT�KHFHTM6?LM6?L$FRs�StLM:<5?L$6�K�LqD=Anf9-��!-���-#�vL$:dD=NOD4F�>�D43�N!L �O3!ud24:VF�� " ���� # ^4K�2=�d3lD46

o4D43�sOuV:V: -l3!u<3O�CP}0'D=StuV:<FHj=39Ib6?;4KHL�o4D=^=5�Ib�!Fm`HD �f9-��!-/,���-98�TMFQLCAMuV6�ª«L�j=:<5bD43�� h@j=3bFQ�nTMP�,.,�uV:V: - ,xfrTM:V[q^4K�2=�«slD=S�L$:<5�3OLM6_3!uV3O�CPa0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4K�LRef9-��!-/,R�!- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s@WOj.^=5�WlDkLC^=5�� h~j=3�F��LC^=5�P�ACL$KH[^4K�2=�d3lD46�:<LC^?D4:/2J>!> ������ � � �_TM:<Lto4D43�s

D4696?j4K o4D43k>@L$3!3OL�0'D=StuV:VFHj=39Ib6?;4K(� # ^?D=A$ª«L�LCA ���� �� �D�1¨�TM:\LCPQLMFQTM3qu/PHef9-��!-/,x�9- ) � � � � ^4K�2=�\h~j=3�Fv`HD4u�LC^=5{�yª«LM:<LCS¢[nWlD4:<S|D=A�¡bª«LM:<LCS¢[nK�TMPQAMWlD4:<S|D=ARD4uV3lD46k�vL$:/LM:V3OLM6kS�LC^!-���TMF

h@j=3bF D46�6?j4K�o=D43;.P�PQACLM6?;=FQo?LrLC^=5�TM:V:/L$: s�WlD_D{h@j=3bFHj=6�3lD46�S�LC^.�vLM:<LM:<Bq6?TMF�KHTCPQAMWlD4:<S|D=A|N�u<PQA«`�E!3!6�FR-��D43�ª«L � � � � ª 3lD467��E!:<L$K�I�sOu<:V: -l0'D=StuV:VFHj=39Ib6?;4K�L�WlDD?c{� � ¯��¡ � '?e>yc_� � ¨�¯��¡ � '?e

f9-��!-/,���-���D43�ª L�0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4K�L�D|f9-/,.,.-O2J>!K�243n:d24F�WlD4FHG�^4K�2=�d3lD46!ef9-��!-/,x�9-���D43�ª L�0'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4K�D��xI|u<:V: -��JI�N�u/StLM3OAMu<G.Pa6?j9�H64DtTM:<LMu >@B=:�24:<:<Gi^4K�2=�/>�D43�e

Page 21: feladatok kombinatorika

������� ������ ��� ��

� �

��

��

��

� �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �

f9-/,.,.- �}>!K�D

f9-��!-/,�­�- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6�>~L=s�WOj.^=5�WlDLC^=5�;.PQPQACLC�d8O^.^.B � ^4K�2=� � 6?;4K�T�>@B=:aLM^=5©TM:VF{FQ;4K�;=:<o?L � LM^=5:<LC^=WOj.PQPQARDJ>!>��!Fm`H24F 64DJhC`�E!6ysyD46�6?j4K � 0'D=StuV:<FHj=39Ib6?;4K]o?j=:VF �'ª >�D433�

f9-��!-/,�®�- �qE!F�D=PQP E!6qS�LC^!sOWOj.^=5kWlD|LM^=5k�yª h@j=3bFQ��^4K�2=�)LC^=59uV6nS�DJ¬�u<S|24:Vu/PaWOj.P�PQAM�OPH2=^=���!Fm`HD�6?TMFao?TM^4ªh@j=3bFm`H243lD46��vj=6?;.PQPQAMLC^.L 7©�)s�D46�6?j4K�o=D43¢D ^4K�2=��S|DJ¬9u/S�24:<u<P �!Fm`HD4u?6?;.AMF\j=:V5bD43�sxD=S�LM:V593OLM6'o?TC^4h~j=3�Fv`HD4uPQACj.StPQACTCN!j.PQD46��

f9-��!-gf=w�- 8 2=P�P�E!6�>@L=s�WOj.^=5�D� LMFQL$K�PQLM39I�^4K�2=��3OLCS F�DJKHFHD4:/S�D=A�0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4KHF[��z�PiWlD LM:<WlD=^=5C`�E!6o4D4:dD=StLM:<5�u<67h@j=3bFm`H24F�e

� ���(4 � � (!*#(9(�4��l��"�*�+

f9-g�9-/,.-�8�2=PQP�E!6�>~L=s�WOj.^=5�D�^4K�2=�}h@j=3bFm`HD4uV3lD46�>@L�I��vj=6=D4uVFio=D=^=5 69ugI��vj=64D4u<F7;.PQP�ACLRD=N�o4DEO^=5bD43lD=A$F7D=AT$KHFQTM6?LMF 6=DJhM`�E!6�� ��LM3!3b59u LCA¢D�6?;.AC;.P]T�KHFHTM6!e

f9-g�9-gf9- ��D `QACj=: `�E!6��vLM: D=A¢;.P�PQACLCP'j=:V5bD43�s�h�2JK�j=3!6?TM3bF'3OLCS u<ACj.S�j4K��«s�'|h~j=3�F���TMP �{T$:<[�syWbE�K�j=69S�LM3bFHLCPu K�243�5�U<FQj=FQFa^4K�2=�vj=FCs!S�LM:V593OLM6{o4D43qj=:<5bD43{h@j=3bFm`HD�s�D=S�LM:V593OLM676�u I��vj=64D�TCPZ>@L�I��vj=64Dru<P�f��

f9-g�9-���-98�LC^?D4:/2J>!>�Wl243b5_T$:/L�o4D43nLM^=5_��h@j=3bFQ�qL$KHB.PQLM3q;.PQP�ACLC�d8O^.^.Bi^4K�2=�d3lD46!ef9-g�9-��!- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6n>@L=syWOj.^=5_WlDiLC^=5no?TC^.LCPau K�243b59UVFHj=FQF'^4K�2=�/>�D43�3!uV3O�CP�u K�243b59UVFHj=FQF�6?;4K�syD4696?j4K�o4D43

�vj4KQK�2=P]TCPZ3�5?LM:<B.�

Page 22: feladatok kombinatorika

����� ������� ������f9-g�9-g�9- # ^?D=A�ª«L¢D=A�LM:<B.ACBi24:V:<UVF�2=PaStLC^.�vj4K�N�UVF�2=PHD?ef9-g�9-���- ��u<T$KHF}6?LM:<:<LMFQFaD P�o?TC^.LMP R�PQAMGiD|f9-��9-��!-!�vLM:/D=NOD4F�24:V:<UVF�2=PH2J>�D43�ef9-g�9-g�9-10'243�57u K�243�5�U<FQj=FQF}6?;4K]:/L$WOLMFRsOWlD�Dt^4K�2=� StuV3ON!LM3nh@j=3bFm`H243lD46�,¢D�69ugI��vj=6=D?ef9-g�9-�­�- )©f9-gf9-<,�w�-R�vLM:/D=NOD4F)D43lD4:<G.^=ud2H`HD]3OLMS u<^?D=A �xS¢E!F�D=PQP�E!3!6'h@TM:<NO24F j=:V5bD43 L$KHB.PQLM3 ;.PQP�ACLC�d8O^.^.Ba^4K�2=�/K�D�s

D=S�L$:<5�3OLM6{>�2JKHS�LM:V5{h~j=3�Fv`H24F}LM:VWlD=^=59o4D�LM: K�j.Sr:<uV6qD=A�L$K�B.P];.PQPQACLC�d8O^.^.B.P�TC^.�f9-g�9-�®�- 8�2=PQP�E!6�>~L=s�WOj.^=5 � D46�6?j4KZTCP��CPQD467D4696?j4K�L$K�B.PQLM3{;.PQP�ACLC�d8O^.^.B!s9WlD�FHL$FHPQACB=:<LC^.LCP �� <" � # ª K�L

o4D43 }ª >~G=: § }ª >�DtS¢E!F�D4FHGtTM:*�f9-g�9-/,�w�- )�A � A"�� #ah~j=3�FHj=64D4F�D § }ª >@LM:Vu#h~j=3�FQj=69FHG=: LM:Vo424:dD=PQA$FHGno=2=^?2=P F¢D46�6?j4K�W!UVoR`�E!6�u K�2Jª

3b59UVFHj=FQF}o42=^?2=P�3lD46ysOWlDro=D=^=5{StuV3ON!LM3�TM:<L }ª >@G=: § }ª >�DrS¢E!F�D4FRsOo=D=^=5{Sru<3ON!LM3�TM:<L § }ª >~G=:}ª >�D�S¢E!F�D4FC-TI�u/ACj=3b59UVFHP�E!6¢>~L=s=WOj.^=5¢LM^=5 ;.PQPQACLM�d8O^.^.B�u K�243�5�U<FQj=FQF ^4K�2=��D4696?j4K TCP �CPQD46�D4696?j4K L�K�B.PQLM3;.PQPQAMLC�d8O^.^.B!slWlD�3!u<3O�MP}>@LM3!3OL�uVK�243b59UVFHj=FQF]o=2=^?2=P��

f9-g�9-/,.,.- ��E!FHD=PQP�E!6tS�LC^!s?WOj.^=5�StuV3ON!LM3{TM:VF�o4D=^=5ru K�243b59UVFHj=FQF#6?;4K�s.o=D=^=5�u K�243b59UVFHj=FQF#o=2=^?2=P F�DJKHF�D4:<S|D=AS�f9-g�9-/,xf9-�0'D=^=5C`�E!6�LM:aD=AnuVK�243b59UVFHj=FQF � ^4K�2=���vj4KQK�2=PQD4u<F7TCP|3b5?LM:<B=u<FC-�# P�S�TMFHL$: `�8!6�StLC^ D=AqLM: `H2JK�2=P�F{D

6?LM:<LMFQ6?LCAMB�^4K�2=�/K�D�s.S�D `QN|D=AZLCAME!F�243t6?LM:<LMFQ6?LCACB4KHL]P�F >\-/s?D=StU<^�PQL]�vj4K�K�2=P�FRs.PQLZ3b5?LM:/B=F#3OLCS F�DJKQF�D4:/S�D=ACG^4K�2=�dWOj.A�3OLCS©`�E!F�E!3!6~- 8�2=PQP�E!6¢>@L4s4WOj.^=5�D4696?j4K)TCP)�CPHD46rD46�6?j4Kl`�E!FQE!3!6 U<^=5�D}h@j=3bF)3OTM:<6�8!:<ul^4K�2=�dWOj.A4sWlD ��3OLCS�F�DJKHF�D4:<S|D=AMj=FQFZuVK�243b59UVFHj=FQF]6?;4KHF��

f9-g�9-/,���-���D43�ª L�u K�243b59UVFHj=FQF}6?;4KaD|f9-<,xf9-O2J>!K�243k:/24FQWlD4FHG�^4K�2=�/>�D43�e

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

�������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

��������������������������������������

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � �� � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � �� � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � �� � �

f9-/,xf9- �}>!K�D

f9-g�9-/,R�!- 0a�OAMAME!6n;.PQP�ACL¢LC^=5{uVK�243�5�U<FHj=F�F�^4K�2=� L$KHB.PQLM3�;.PQPQACLM�d8O^.^.B�� � ��� � � ,�,�, 6?j.S�h@j=3OLM3OPQL$u<F�LM^=5�ª«LM^=5: � ��: � � ,�,�, h@j=3bF�>�D7TCP'D=A¢�x`'^4K�2=�/>�D43�D4696?j4K'TCP��MPHD46�D4696?j4Ka:/LC^=5?L$3 " : � ��: �F# TM: s~WlD7D=A L$KHLCN!LMFQu >@LM3 0"�� ��# ª >~B=: 0"�� � # ª >@L�o?LCACLMFHL$FQF7:/LC^?D4:/2J>!> LM^=5�TM: - �qE!F�D=P�P�E!6�S�LC^!s�WOj.^=5�D=Aq�x`{^4K�2=�/>�D43�3!uV3O�CPu K�243�5�U<FQj=FQF}6?;4K(�

Page 23: feladatok kombinatorika

������� ������ �����f9-g�9-/,x�9- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6�>~L=syWOj.^=5nWlD7LC^=5q;.P�PQACLC�d8O^.^.B�� ^4K�2=�#StuV3ON!LM3�h~j=3�Fm`H243lD46qEO^=5bD43lD=ArD|69ugIkTCP

>@L�I��vj=6=D�slD4696?j4K � L$K�B.PQL$3q;.PQPQACLM�d8O^.^.B.�)�6?;=o?L$FQ6?LCACBt�vLM:dD=NOD4FQj=69WOj.A �O6?;4K�S�T�KH6?B.ACTCP ª ^4K�2=�d3lD467W!U<o�E!3!6kLM^=5{u K�243b59UVFHj=FQF]FHLM: `QLCPa^4K�2=�vj=FR-

f9-g�9-/,���- �qE!F�D=PQP E!6�S�LM^!s#WOj.^=5�StuV3ON!LM3�u<:V5?LM3�^4K�2=�/>�D43©o=D43©:<LC^?D4:/2J>!>�LC^=5�j=:V5bD43�h@j=3bFRs�S�LM:V5�>~B=:StuV3ON!LM3�S�2=P h@j=3bF�,�o4D=^=5nf WOj.PQPQAM�kuVK�243b59UVFHj=FQF]�!FHj=3nL$:/T$KQWOLMFHB!-

f9-g�9-/,x�9- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!67>@L=s!WOj.^=5{LC^=5{L$K�B.P�LM3q;.PQPQAMLC�d8O^.^.B�6?;4K�StT$KH6?B.ACTCP]^4K�2=�d3lD46i:<LC^?D4:d2J>!> ��� �� � 6�8�ª:<;=3b>~;.ACB�u K�243�5�U<FQj=FQF}6?;4K�L'o4D433�

f9-g�9-/,�­�- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5{StuV3ON!LM3quV:<5?LM3�^4K�2=�d3lD46{o4D43ku K�243b59UVFHj=FQF}0'D=StuV:<FHj=39Ib�!Fv`HD �f9-g�9-/,�®�- #«K�243b59UVFQWlD4FHG=6bª«L��O^=5�Dqf9-<,���-�2J>!K�243�:d24FQWlD4FQGq^4K�2=�vj=6�T$:/LMu��O^=5?s\WOj.^=5�L$KHB.PQLM3 ;.PQPQACLM�d8O^.^.B.LM6

:<LC^=5?LM3OLM6ys�N!L�3OL�:<LC^=5?LM3k>~LM3!3�8!6{u K�243�5�U<FQj=FQFa0'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4K�e

� � �

���

� �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������

��������������������������������������

��������������������������������������

��������������������������������������

���������������������������������������

�������������������������������������

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � �� �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� �� � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � �� � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

f9-/,���- �}>!K�D

f9-g�9-gf=w�- )�A$F�u<P�:/2=PQP�E!6�>~L=s@WOj.^=5�WlD_LC^=5�6?;4K�S�T$KQ6?B.ACTCP ª ^4K�2=��L$K�B.P�LM3 ;.PQPQACLM�d8O^.^.B!s D4696?j4K�u K�243�5�U<FQj=FQF0'D=StuV:VFHj=39Ib6?;4K�L�u<P]o4D433�

f9-g�9-gf9,.- -�LM^=598!6{�vLM: syWOj.^=5kLM^=5_6?;4K�StT$KH6?B.ACTMP ª«^4K�2=�)3OLCS L$K�B.PQL$3�;.PQPQACLC�d8O^.^.B!-+��E!FHD=PQP�E!6nStLC^!sOWOj.^=5uV:<5?LM3!6?j4Kno=D43 j=:V5bD43 TM:<L=s]S�LM:V593OLM61D=A�u K�243b59UVF�2=PH24FqStLC^.�vj4K�N�UVFQo4D�L$K�B.PQL$3 ;.PQPQACLC�d8O^.^.B=o?T�FQEON�`�E!6FHLM3!3!u*�

f9-g�9-gf.f9-�0'D=^=5R`�E!3!6�LM:#LC^=5nTM:<F�LC^=5�� h@j=3bFQ��FHL$: `QLCP�^4K�2=�/>@G=: - I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6�>~L=s~WOj.^=5�LCAMF�S|2JK�:<LMWOLMF�O^=57uVK�243�5�U<F�D43!u s�WOj.^=573OL':/LM^=5?LM3n>@LM3!3OL�uVK�243�5�U<FHj=F�Fa0'D=StuV:VFHj=39Ib�!F��

f9-g�9-gf=��- -�LC^=5�8!6�vLM: s WOj.^=5�LC^=5L$K�B.P�LM3�;.PQP�ACLC�d8O^.^.B�^4K�2=�]LM:Vo?LCPQA$FQu LCAMFtDnFQE!:dD `QN!j=3OPH2=^?24Fr:<LC^.�vLM: `QL$>!>¡�T$: LM:<WlD=^=5b2=PQ24o=D4: -"�qE!F�D=P�P�E!6�S�LC^!s~WOj.^=5�:<LC^.�vLM: `QL$>!>�¡�TM: u K�243b59UVF�2=PH243lD46�D_StLC^.�vj4K�N�UVF�2=PH24o4D4:#u<PLM:<T$KHWOLMFv`�8!6nLCAMF[�

f9-g�9-gf4�!-©��TM6~s�AC;=:<N{TMP�hOuVK�j.P�P�AMU<3!3OL$:�PQAMUV3OLCAMFQ8!67LC^=5tuVK�243�5�U<FHj=F�F�^4K�2=�@TM:<LMuVFR-58�LM^=5?LM3 �'AM;=:/N@- I�u<ACj=3b59UVF�ªP�E!6�>@L=s@WOj.^=5�o4D=^=5�o4D43j=:V5bD43 �Mª F�F�DJKHF�D4:<S|D=ACG{6?;4K�s�S�LM:V5�>~LM36?TM6�TM: 3!uV3O�CP TCP�Sru<3ON!L$3 AC;=:/NT$:

Page 24: feladatok kombinatorika

����� ������� ������EO^=5bD43Oj=:V5bD43quVK�243b59UVF�2=P���Dt6?;4K'StLM3bFHTM3�s�o4D=^=5{o=D43�j=:V5bD43��Mª FaF�DJKQF�D4:/S�D=ACG|o42=^?2=PCs�StLM:V5�>@L$3�3!uV3O�CPhOu K�j.P}TM: TCP StuV3ON!LM3�AC;=:<NnTM:�EO^=5bD43Oj=:<5bD43kuVK�243b59UVF�2=P���D�o=2=^?2=P S�L$3�FHT$33�

f9-g�9-gf.�9- ��E!FHD=PQP�E!6{S�LC^!s!WOj.^=5|>�2JK�StLM:V5k^4K�2=� TM:<LMu<F}S�LC^r:/L$WOLMF}�O^=57u K�243�5�U<FHD43!u sOWOj.^=5{StuV3ON!LM3nh@j=3bF>@L�I��vj=6=D�TMP 6�u I��vj=64Dt:<LC^.�vLM: `QL$>!>�LC^.^=5?LM:�698!:<;=3b>~;.ACACTM6kLC^=5�S�2=P�FHG=: -

f9-g�9-gf=��- ��D43�ª L=s�TCPiWlDo=D43�S�L$:<5�u<6�D=A�D�:/LM^=69u<PQL$>!> h~j=3�FHP�AR2=S¢�1FHL$: `QLCP_^4K�2=�«s�StLM:<5bK�L�u/^?D=A=s�WOj.^=5>�2JK�StLM:<5�Wl2JK�j.S TM:<TM3OLM6tLM:VWlD=^=5b2=PHD�E!FH243�StTC^�u K�243b59UVFQWlD4FHG��O^=5?s=WOj.^=5�L�K�B.PQLM3�;.PQPQACLC�d8O^.^.B�:/LC^=5?L$3�e

f9-g�9-gf.�9-&) �©P�UV6�>�DJK�D `QAMj=:<WlD4FHG}^4K�2=�9Sru<3ON!LM3¢TM:/T$F�u K�243�5�U<FQP�E!6'o=D4:/D=S�LM:V59uV6�uVK�243b5�>�DZ�O^=5?sCWOj.^=5�DZ64DJh@j=F�F����^4K�2=�ZL$K�B.PQLM3�;.PQPQAMLC�d8O^.^.B�:<LC^=5?LM3�-5IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>~L=s�WOj.^=5�:<TMFHLMAMu<6 ��ª 3OLM6 j=:V5bD43 F�DJKHFHj.S�243�5bD�sD=S�L$:<5?LMF ��� ª >@L$3nuVK�243�5�U<FHj=F�F}6?;4K]WlD4F�2JK�j=:*�

f9-g�9-gf=­�- ��DJ¬�u<S¢EOS Wl243�5|TM:/L':<LMWOLMF LC^=5i�kh~j=3�FQ��s�u K�243b59UVFHj=FQF�6?;4KHF�3OLCS F�DJKHF�D4:<S|D=AMGrLM^=5�PQACL�KH[k^4K�2=�/ª3lD46Oe

/ ��*��p��� - &�*������ 4��Z�p� ( �y���

��-/,.-/,.-!8 LC^=5?LM3 �LM^=5 LC^=5�P�ACL$KH[tuVK�243b59UVF�D4FQ:/D43t^4K�2=��P�ACj.S�PQAMTCN!j.PQPH2=^=uOS�24F�KHu ¬OD�-TI�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6¢>@L=sJWOj.^=5D4696?j4K�TCP��MPHD46iD46�6?j4K�u<^?D=A=s�WOj.^=5 �>�2JK�StLM:V5�6?TMF�P�j4K�243lD46|D�P�6=D4:/2JKHu<P�PQACj4K�ACD4F�D�:<LC^.�vLM: `QL$>!>qLC^=5?s?WlDDt^4K�2=� 3OLCS�F�DJKHF�D4:<S|D=A��tWOj.P�PQAM�OPH2=^=�q6?;4KHF[�

��-/,.-gf9- 8�2=PQP�E!6r>@L=sbWOj.^=5�LM^=5�LC^=59PQACL$KQ[iuVK�243b59UVF�D4FQ:/D43{^4K�2=�@D46�6?j4K�TCP��CPHD46�D4696?j4K�h�2JKHj.PCsbWlD¢P�ACj.S�PQAMT$ªN!j.PQPH2=^=u\S�24F�KHu ¬O243lD46{StuV3ON!LM3nh�2JK�D4FQ:/D43n6�u<FHL$o?B�`�[nWlD4FQo4243�5b2J>�D43kStuV3ON!LM3�N�udD=^.j=3l24: ª«LM:<LCS¥AMT$KHEOP[�

� �Q�����9�\+�� & - �!�Z�p�)(.�����

��-gf9-/,.- ��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5_D=A��yª h@j=3bFQ� XYu K�243b59UVF�D4FQ:/D43�c �mDtuV:V:/LCP�AM6?LCN!TCP�u S|24F�KHu ¬O243lD46_D�o=D4:<G.P]FHLMP�F�vLM:<LMFQF]u/Pa�7§©¨�D�K�D43O^M`HD �

��-gf9-gf9- )�N�`�E!3!6�h@T$:/NO24FnWbE�K�j=6?TM:gI�S�L$3�FHLMPq;.PQPQACLC�d8O^.^.B�u K�243b59UVF�D4FQ:/D43 ^4K�2=�/K�D�sZS�L$:<5�3OLM6�uV:V:/LCP�AM6?LCN!TCP�uS|24F KHuV¬!D�D�o=D4:<G.P]FHLMP�F}�vL$:/LMF�F�" �{§©¨F# ª 3OT$:\3lD=^=5?j4>!>_K�D43O^=�3�

��-gf9-���- � I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6_>@L=syWOj.^=5nD=A¢LM:<B.ACB7�vLM:/D=NOD4F�F�E!:dD `QN!j=3OPH2=^?24o4D4: LC^=5n^4K�2=� D4696?j4K'TCP��MPHD46qD46�6?j4KK�LM3ON!L$:<6?LCA$u<6ys�WlDt3OLCSph�2JK�j.P[�

��-gf9-��!- 8 LC^=5?LM3 TCP � LC^=5�WbE�K�j=6?TM: ª«S�L$3�FHLMP�u K�243b59UVFHj=FQFn^4K�2=�¢PQACj.StPQACTCN!j.PQPQ2=^=u sauV:<: -]uV:V:/LCP�AM6?LCN!TCP�u

Page 25: feladatok kombinatorika

������� ������ �����S|24F KHuV¬!D�- ��u\Stj=3ON�WlD4FHG|D ��§ S|24F�KHu ¬9KHG=:ve

� 1 �y�p�)(.�����

��-���-/,.- )�A¢D4:/2J>!>Ou S�24F�KHu ¬!j=676?;.AM8!:\S�L$:<5?LM6k24:V:<3lD46_LM:<B|^4K�2=�vj=676?;4K�S|24F KHuV¬!D46?TM3bF�e�� ¨ ¨ ¨ ¦

¨ ¨ ¦ ¨¨ ¦ ¨ ¨

�� �� ¨ ¨ ¨¨ ¨ ¦¨ ¦ ¨

�� �� ¨ ¨ ¦¨ ¦ ¨¦ ¨ ¨

��

��-���-gf9- )�N�`�E!3!6�h~TM:/NO24F���§�: � ¨�NODJK�DJ> j=:<5bD43 6?;4K�K�L=s�S�L$:<5?LM6�3OLM6 D 6?;4K�S|24F KHuV¬�>�D43 StLC^.�vLM:<LM:/Bo?LM6�FHj4K�D4ul:<uV3OLR2JKHu<PHD43n�d8O^.^.L$FQ:/L$3OLM67TCPZD=S�L$:<5?LM6|LC^=5?LMFQ:<LM3{69u<�vLCPQAMUVFHBr�m24WOj.AaF�DJKHFHj.ACG�D4:/DJhO6?;4KQK�L$3ON!PQACL$KLM:<LCS�L$u<6?TM3bF'PQLCS 24:V:<3lD46_LM:<B.�

��-���-���- � ) �9-��vLM:/D=NOD4F�S|24F�KQuV¬!D4u 6?;.AM8!:�S�LM:V5?LM6n24:<:V3lD46nLM:<B7^4K�2=�vj=6{6?;4K�S|24F�KQuV¬!D4u<3lD46kD4:<64D4:<S|D=P}K�TCP�A$ªS|24F KHuV¬!D46?TM3bF�e

��-���-��!- ��z�:\LM:VWlD=^=5b2=PHD46?j4KaWOj.^=5bD43_o=24:VFHj.AMuV6_LC^=57^4K�2=��6?;4K�I|TCP o=2=^?2=PQS�24F�KHu ¬OD?e

�Q4 � - �V4��l��" �l���2��� ��� 4�(!���\� ��+

��-��!-/,.- ��8 LC^=5?LM3 � LM^=5�w_TCP�� ¨iLM:/LMS�LM6b>@B=:�24:<:<G�S|24F�KHu ¬@s�StLM:<5�3OLM6�Sru<3ON!L$3�P�j4K�2J>�D43�h�2JK�j.P�P�j=63OLCStACT$KHEOPaL$:/LCS�F�D4:/24:<WlD4FHG!- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=5��� � h�2JK�j.P[�

��-��!-gf9- 0�j.^=5bD43�u<PQS�L�KHWOLMFHB�vLM: LC^=5WbE�K�j=6?TM: o4D=^=5 LC^=5 LM:<o42=^.G�T$:]LM^=5 ! o4D4:dD=StLM:<5�u<6�S|24F KHuV¬!24o=D4:D=N!j=FQF ! ^4K�2=�/>�D43�e

��-��!-���- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>@L=s#WOj.^=5�LC^=5�uVK�243�5�U<FHj=F�Fi^4K�2=�auV:<:<LCPQAM6?LMN!TCP�u�S|24F�KHu ¬O243lD46�StuV3ON!LM3�3OTC^=5�ACL$FHLCPK�TCP�ACS|24F�KQuV¬!2JK�D|DtN!L$FHL$K�Sru<3l243OP�w�o=D=^=5�� ¨��

��-��!-��!-� T$:/NO243{S¢E!F�D=PQP E!6|S�LM^!sbWOj.^=5�D�6?;4KQª�TCP�D�o42=^?2=PQS�24F�KHu ¬!j=6�K�D�EO^=5bD43OLCA}3OLMS �vLM:VFHTMFQ:<LM3b8!:@u/^?D=AS�

/�� +L�'% ��%��9�\*�� /'% ( � 4 ���#"$*�+

��-g�9-/,.- )�N�`�E!3!6{h~TM:/NO24Faj=:<5bD43_FHT$KH6?T$h!KHL=syD=StLM:V5k�rPQAMUV3!3OLM: 3OLCS�PQA$U<3OLCA$WOLMFHB7S�LC^.���-g�9-gf9- 0'D�D�6?;.AC;.P WlD4F�2JK I?h@j=3bFQF�D4:�K�L$3ON!LM:<6?LMACB�j4K�PQAC2=^.j=6=D4F u<PtP�ACj.S�PQAMTCN!j.P�3lD46 3OLMo?LCAM3OT$3!6 XmhO: - D

��-��!-l2J>!K�D >�D4:/j=:<NOD4:/243�D���-lTMP��9-!F�DJKHFHj.S�243�5?j=64D4F�c$sOD46�6?j4K�24:VF�D4:/2J>�D43nFH;4>!>�P�AMU<3�KHL¢:/LM3!3OL�PQAM8!6�P�TC^!-

Page 26: feladatok kombinatorika

��� � ������� ������)�N�`�E!3!67h@TM:<NO24Faj=:V5bD43q^4K�2=�/K�D�sOStLM:<57uV:<5?L$3!6?j4K'S�TC^|�rPQA$U<3!3OLM: PQLCS�PQAMUV3OLCAMWOLMFQB{StLC^.�

��-g�9-���- )�P�UV6?j=F)o?TC^.LCP PQj=6 Sru<3ON�6?TMF u K�243b5�>�D43ro?TC^=FHLM:<LM3tLC^=5?LM3OLCP LM:VWOLM:V5?LCACTCPQT$o?LM: PQj4K�P�AR2=^.j=6�K�DTR}>~j=3�F ª`�E!6~- �qE!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5_LMA¢D P�FQT$KH6?T$h R|frPQAMUV3!3OLM:�S�LC^.PQA$U<3OLCA$WOLMFHB.�

��-g�9-��!-pX �vj=:<5�FR-gcaz�KQo?TM3�5?LMP�S|DJK�D=N9ª«LtD=A�LM:<B.ACBq24:V:<UVF�2=PCs�WlD_LM^=5?LM3OLCPQLM6?L$369UVo98!: 6?;4K�;=6?LMF�u/P�S�LC^.L$3O^.L$ªN�8!3!6Oe�z�P WlD��vT$:<6?;4K�;=6?L$F]u<P�e

��-g�9-g�9-���TCP�AMU<FQP�8!6qLM: D=A�f9-g�9-O2J>!K�D�f9-lTMPa��-O^4K�2=� `H243lD46_DtN�El24:Vu/PQ24F����-g�9-���- ��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5_Dr��E�K�D4FHj��}P 69u ª«^4K�2=�vj=6�3lD46_3OLCS�:<LMWOLMFaN�El24:Vu<PHD ���-g�9-g�9-���L$KHLCPQP�8!3!6qj=:V5bD43n^4K�2=�vj=6=D4FRsOStLM:<5?L$6{u<ACj.Stj4K��mD46nDrN�El24:<u<PQj=6�6=D4:*���-g�9-�­�- )�N�`�E!3!6{h~TM:/NO24Faj=:<5bD43_u/^?D=A�^4K�2=�vLM:<S�TM:<LMFQu 24:<:VU<FH2=P K�D�slS�LM:V5 PQN�ElD4:Vu<AR24:<o4DTR|WlD=Stu<PQPH2�o424:Vu<6+���-g�9-�®�- ��L��O3!ud24: `�E!6k6?T$F�� ���nTM: PQP�j4K�j.P R�WOLM:<59ACLMFHT$F]�O^=5?s9WOj.^=5 * � ���,'o42=^?2=P�F D4:V6?j=FR- # ^?D=ACj=: `�E!6{Dr��-gf9-

- 2J>O:/2=ARD4F];=FH;.N�u<6_PQj4K�243lD46iWOL$:<5?LCP�PQTC^.TMF����-g�9-/,�w�- X �vj=:V59FR-�c:��LC^.LC^=5?LCAMuV6�ª L�D=A�LM:<B.ACB N!L��O3!U<�Mu/G�Do�u<:V:/D=S�j.PQPH2=^=FHD43b>�D43 P�ACj=6=2=P�j.P{N!L �O3!U/�Mu<G=o4D4: s

S�L$:<5�PQACL$KHuV3bF ��TMP �1D46�6?j4K|TCP��CPHD46©D46�6?j4K|P�j4K�j.P�TM:<LM6ys�WlD�LC^=5�u<6�PQLCS W�E�K�j=6?T$:}TCP�StuV3ON�6?LMFQFHBuV:<:<LCPQAM6?LMN�u<6�LC^=5{S�2=PQj9N!�vj=6��_h@j=3bFQWOj.A�e

� �"��� � - �

�!-/,.-/,.- -�LM^=598!6��vLM: sxWOj.^=5�LC^=5�PQAR2=SrU<FQG.^.T$h�LC^=59StuV:<:Vu/G'S¢[!o?LM:<LMFHL$F�FQEON¢L$:<o?TC^.LMAM3!u�LC^=5�S�2=PQj9N9h~L$K���D4:/D4FQFR-0'D�,�h~L$K��r^.T$hOu/N!Bn24:<:)K�LM3ON!L$:<6?LCAMTCP�8!3!6�KHL=s D46�6?j4K¢Di6?L$K�LMPQTCP K�LtS�LC^=u<PQStL$KHF�6?T$F�D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�6?;.A$8!:D=A|LM:<PQB=F�:<LC^.�vLM: `QL$>!>�� ��¯��9¨�¦ � T$KHFHTM6�LCPQLMFQTM3�D4:V64D4:/S�D=AMWlD4Fm`�E!6~- ��696?j4K�DnS|2=PQj�N�u<6 D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP:<T$h@TCP�PQAR2=S|D������ � ¯�.¨�¦ � - ��LM3!3b59u\u<N!LMu/^|FHDJKHF}LMA�e

�!-/,.-gf9- �'j=3ON!j=:<F�D=S�LM^=5 PQAR2=Stj=F#w'TMP���,�6?;.AM;=FQFR- �a5�u<:Vo4243t6�u�:/L$WOLMF)>�DJKH6?j9�HW?>�2=AM3!u��}6?T$K�N!TCPQP�LM: - )�N�`Qj=3S�LM^�LM:<B4K�L�� 6?T$KHN!TCP�F�XmFHLMWl24FZ3OL�D=A'LM:<PQB�o424:/D=PQA�E!FH243qD=N�`HDtStLC^|Dtf9-�6?T$K�N!TMP�FRslD�f9-�o424:/D=PQA�E!FH243qD��-!6?T$K�N!TCP FaP�F�>\-�c��O^=5?s�WOj.^=5_D=A�D=ACj=6�K�D�D=N!j=FQFZo424:dD=PQAMj=6�>@G=:�6�u<F�D4:/24:VWlD4FHG�:<LC^=5?LM3�Dt^.j=3ON!j=:VFaP�AR2=Sk-

�!-/,.-���-',��_:/24FHPQACD4F�K�DnLC^=59�vj4K�S|D{h~TM3OACNODJK�DJ> 6?;.AC;=F�F¢LC^=5�u<6�WlD=Stu<PCs 6?;=3!3b5?L$>!>�D_FH;4>!>OuV3OTM: -���^=5�LC^=5bª64DJKH��s�P�6424:/2=P S�T$KH:<LC^.LM3 6?;.AM8!:V8!6 D4642JKHWl243b5�T$K�StL|;.PQPQAMP��!:<5b24FrStLC^nFQEON�`�E!6�WlD4FH2JK�j.AM3!u s TCP¢L$>!>~B!:S�LM^?24:<:/DJhOU<FHD43!u s~WOj.^=5_6?;.AMFQ8!6ko4D43�ª«L¢D�WlD=Stu<PC-y��L$K�LCPQP 8!6�S�LC^7D�WlD=Sru/P}h~TM3OAMF'StuV3!u<S|24:Vu/P�PQAR2=S¢�S�T�K�TCPQPQL$: -�0'D=PQj=3!:<UVFHP�E!6k;.PQPQACL��vLM:/D=NOD4FQE!3!6=D4FaD�>~LCPQAM��K�2=P u �vLM:/D=NOD4FQF�D4: -

�!-/,.-��!-]f.�{:/24FHPQACD4F�K�DkLC^=59�vj4K�S|D7h@TM3OACNODJK�DJ>�6?;.AM;=FQF�LM^=59uV6�WlD=Stu<PCs\6?;=3!3�5?L$>!>�D{FH;4>!>Ou<3OT$: -���L$K�LMPQP�8!6S�LM^ D�WlD=Stu<PHD4FZD�:<LMWOLMFQB¢:/LC^=6?L$o?LCPQL$>!>kS�T$KHTCPQPQLM:yWlD�LC^=5r6?TMFQ64DJKH�7S�T$KQ:/LC^=8!3!6to=D43�s�P��!:V5?j=6t3OTM:V698!:*�

Page 27: feladatok kombinatorika

������� ������ ���3�8 LC^?D4:d2J>!>�Wl243b5{S�T$KHTCP]6?LM:V: s�WlD_¨�¦%$©� $ �=¯rT$K�StTM3!6_o4D43�e

�!-/,.-g�9-]�tT�K�S�TM3!6{o4D43�s��ro=D4:<G.N�u�TMPaLC^=57WlD=Stu<PCs~D=SruVKHB=: �MPHD46nD=A$F}FQEON�`�E!6yslWOj.^=5_D�P��!:V5bD�698!:<;=3?>@;.AMuV6D�o4D4:/G.N�u}T$K�StTM6�P �!:<5b24FHG=: s�N!LqD=A$F�3OLCS FQEON�`�E!6~s#WOj.^=5�6?;=3!3b5?L$>!>�o4D=^=5�3OLMWOLMACL$>!>�3l24:<E!6y-���^=56?TMFQ64DJKH�kS�T$KH:<LC^.LM3q:<LC^?D4:/2J>!>�Wl243�5{S�T�K�TCP�F]6?LM:<:\o?TC^.LCA$3�8!3!6yslWOj.^=5{S�LM^=F�D4:d24: `�E!6~s�S�LM:V59uV6kDrWlD=Stu<PTCP]S�LC^=WlD4F�2JKHj.ACAME!6~s!WOj.^=576?;=3!3b5?L$>!>qo4D=^=5{3OL$WOLCACL$>!>�D�FH;4>!>Ou<3OT$:ve z�PZWlD_,x�rT�K�S�TM3!6{o4D43�e

�!-/,.-���-�X �vj=:V59FHD4F�2=P�cZz�P}Wl243b5nS�T�K�TCP K�L¢o4D43qPQA$8!6�PQTC^iWlD|�CPQD46k�|T�K�S�TM3!6ko=D43�slN!L�3OLCS�6?LM:<:�S�LC^.Stj=3�ªNOD43!u slWOj.^=5_DrWlD=Sru/P 6?;=3!3�5?L�>!>�o=D=^=5i3OLMWOLMACL$>!>\s~�CPQD46kD=A$FRsOS�LM:V59uV6nD�WlD=Stu<P�e

�!-/,.-g�9-Z�T$KHS�T$>~B=:)LC^=5kWlD=Sru/PMs~6?;=3!3�5?L$>!>�D�FH;4>!>OuV3OTM: -~��^=5k6?T$FQ6=DJKQ��StT$KH:<LC^.LM3�:/LM^.�vLM: `QL�>!> �|S�T$KHTCP�Fo?TC^.LCA$WOLMFQ8!3!6~- ��D4:/D469u�D=A|LM:<PQB�S�T�K�TCP�3OTM: �r§ �qNODJK�DJ>@j=F�FHLCPQAiSru<3ON�6?TMF�P�L$KQh@L$3�5?B4>~LiTCP�DkS�T�K�TCP>�2JK�StLM:<5{69u<S�L$3OLMFHLM:<L¢LCPQL$FHTM3�S�LM^tFQEON�`HDtFHD4:d24:V3!u D�WlD=Stu<PHD4FR-)8�LM^.�vLM: `QL�>!>�StLM696?j4K�D�:<LMWOLMF��\e

�!-/,.-�­�-Z� T$K�StT$>@B=: LC^=5qWlD=Sru/PMs\N!L�3OLCS FQEON�`�E!6ys�WOj.^=5k6?;=3!3�5?L$>!>�o=D=^=5n3OL$WOLCACL$>!>�DiFH;4>!>OuV3OTM: -���^=56?TMFQ64DJKH��S�T$KQ:/LC^.L$3�:<LC^.�vLM: `QL$>!>��{StT$K�TCP�F'o?TC^.LMAMWOLMFQ8!3!6y- ��D4:/D469u)D=A�LM:<PQB_S�T$K�TMP�3OTM: '¢§ 'iNODJK�DJ>~j=FFHLCP�A|StuV3ON�6?TMF�PQL$K�h@LM3b5?B4>@L=-"�qE!F�D=PQP�E!6StLC^!s�WOj.^=5�� ��Jª K�L|StLC^k:<LMWOLMF F�D4:/24:V3!u�DkWlD=Stu<PHD4FRs\N!L� ��¨.¨Mª K�L'3OLCS�>Ou<AMFHj.P��

�!-/,.-�®�- IZL$K�^.L$3O^.G.�Mud2J>�D43�¨ � ��� '7TMP¢°|h@LMF�246?j.P�T$K�StTM6?LMF�WlD=PQAM3l24:V3lD46~-��qu<3ON!LC^=5�u<6�D43!3b59u#^4K�D=S�S¥FQ;4ªS�LM^=[�s!D4Wl243�5rh@LMFH246?j=F�T$K�- ��D43�¨#§�¨�T$K�StTM3!6iStuV3ON!LC^=5�u<6b>@B!: s!N!L'D=A�LM^=59uV6�WlD=Stu<PCs!LCAMT$KHF�FH;.StLC^.LLM:VFHT$K�Dro4D4:/G�N�u/TMFQG=: -l��TMF�6=DJKH�nS�T$KH:<LC^.^.LM:\Wl243b5_StT$K�TCP�PQLM:)24:V:/DJhOU<FQWlD4Fv`�E!6nS�LM^!sOWOj.^=5D?c{StLM:<5�u<6kDrWlD=Sru/PHe>yc_StLM:<5�u<6kDrWlD=Sru/P}TCP 6?;=3!3b5?L$>!>�o4D=^=5i3OLMWOLCACL�>!>�Sru<3bF�D�o=D4:<G.N�ude

�!-/,.-/,�w�-�X �vj=:V59FHD4F�2=P�c�)uV>~j=3lD=�C�Mu/DJ>�D43�¨ � ��� '��°iTMP��7h~LMF�246?j.P�T$K�StTM6?LMF�WlD=P�AM3l24:<3lD46y- �a:<N�`�E!6�S�LM^qD=ALM:<B.ACB|�vLM:/D=NOD4F�D43lD4:<G.^C`HD4uVF��

/ *�� ��% �l� 4�&���� - �

�!-���-/,.- )�A��!-/,.-/,.-R�vL$:dD=NOD4F�>�D43rPQAML$K�L$hO:<B�¯ �m¨�¦ � S¢[!o?LM:<LMF)S�DJ¬�u<S¢EOS StLM696?j4K�D �yª K�L�LM:<TC^'D=A�� � � �9sRuV:<:<LMFQo?L� � � ����� � ��:<T$h~TCPQPQAR2=Stj=6nLCP�LMFHTM3 XmE!FHG4>!>Ou\LCPQLMF�>~LM3nh!K�G4>�24:V6?j.ACAME!3!6 � � ¨ �R¨�¦�R¨�¦.¦�T�KHFHTM6?LM6�6?LM:dcQe

�!-���-gf9- -�LM^=598!6��vLM: s�WOj.^=5�D=A � � ��� � � ,�,�, ��� � PQj4K�j.ARD4Ftu/PCs�D � �� � � ,�,�, �� � PQj4K�j.ACD4F�u<P|3lD=^=5�PH2=^PQAML$ªKHuV3�F'3O;�o?LM6?LCN!B�LM3�o4D43�KHLM3ON!LCAMo?L=- )�N�`�E!3!6�D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FRs�StLM:<5�LMAMF�D �4� NODJK�DJ>�PQAC2=S�j=F�LC^=5?LMFQ:<LM33O;�o?LM6?LCN!B|PQj4KHj.ARD4F�>�Dt�vTMP�8!:<u�;.PQPQACL4-

Page 28: feladatok kombinatorika

��� � ������� ������/ ��*��p��� - &�*������ 4��Z�Q���b(!�#+

�9-/,.-/,.- �qE!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5{DtPQACj.StPQACTCN!j.P�PH2=^=u�:Vu/P F�D|24F�D4:/D469UVFQWlD4FHG K�LM3ON!LCAMLMFQF�PQAMj.S�PQACTMN!j.PQPH2=^=u\:<u<P ªF�2Ro=2 " ����3�# � ��� �=ª o?LM: DJK�243b5?j.P]:<T$h@TMPQPQAR2=S�>�D43�X � ��S|DJ¬9u/S�24:<u<Pa�vj=69PQAR2=Sic �

�9-/,.-gf9- � )�A�LM:<B.ACBi24F�D4:/D469UVF�2=P�F " � � 35# ª o?LM: DJK�243b5?j.P :<T$h@TMPQPQAR2=S�>�D43�u<Pa�CP�uV3l24: `�E!6kS�LC^.��9-/,.-���- I�u<ACj=3�5�U<FQPHDr>@L�D=A¢�9-<,.- - 2J>O:/2=ARD4FaLM:<PQB�Wl2JKHj.S�j.P�AM:/j4h�2J>�D43�24:V:VU<FHj=F�F�D46=D4F[�

� �(4 �@*�� (_����*��p��� - &�*����9� 4���������(!�#+

�9-gf9-/,.- I�u<ACj=3�5�U<FQPHDr>@L�D=A¢�9-<,.- - 2J>O:/2=ARD4F}E!FHj=:<PQG|j.P�AM:/j4h�2J>�D43nPQACL$K�L�hO:/B7LM:<PQB7�r24:<:VU<FH2=P�F���9-gf9-gf9- I�u<ACj=3�5�U<FQPHDr>@L�D=A�E!FQj=:/PQG�j.PQAM:<j4h�E!FHj=:/P�Gi24:<:VUVF�2=PH24F}u<PC-�9-gf9-���-

X D?c7��^.TCPQAMUVFHPQL¢6�u D=A¢�9-/,.- - 2J>O:d2=ACD4FHj=F�D=A�u<3bFHL$KHo4D4:V:<EOS�K�LM3ON!PQACL�KQK�LM:�S�LC^?D=N!j=FQF]u<3bFHL$KQo=D4:V:<EOSt^4K�2=�vj=6XY:<N@-�®?�9-!j=:/NOD4:dc]^4K�2=�vj=67LCP�LMFHT$K�LS�

Xm>ycM�qE!F�D=PQPQD{StLC^!s~WOj.^=5nWlD " : � : � : % ,�,�, : � #}LM^=5nu<3bFHL$KQo=D4:V:<EOSt^4K�2=��6?;4K�L<" ¡&7 � #$s~D46�6?j4K�Di6?;4K�ª3OLM6 :<LC^?D4:/2J>!>�LC^=5 24FQ:<G `HD�u/Pro=D43 XYFHLMWl24F�:<LC^?D4:d2J>!>�LM^=5 * : � ��: � ,kTM:Z�O^=5?s WOj.^=5 ��TCP ��3OLCSPQAMj.S�PQACTMN!j.PaPQAR2=Stj=6_TMP]3OLCS�u/P *�� � �$,�� *?¨ ��¡�,Jc �

� * 4 � %(4 �9� ��� � 4'+ � � 4 ���#"$*�+)% (+6

��-/,.-/,.- ��D43�ª«L�j=:<5bD43n^4K�2=�«sOS�LM:V593OLM6{o4D4:dD=StLM:<57h@j=3bF�>~G=: �MPHD46{LC^=5��vTM:<L�>~L«`H2JK�2=PHDt:<LMWOLMFQPQTC^.LCP�e��-/,.-gf9- �quV:<5?LM3�DrFHLM: `QLCP}^4K�2=��S�TM:V5�PQTM^=u sOu<:V: -yPQACT$:/LCP�PQTC^=u�>~L«`H2JK�2=PHD?e��-/,.-���- �qE!F�D=PQP E!6 S�LM^!s WOj.^=51D ����^4K�2=��FHLMFHPQAMB=:/LC^.LMPq�m2H`HD�LM:<B?24:<: LM^=5�StTM:V5�PQTC^=u�o=D=^=5�PQACT$:/LCP�PQTC^=u

>@L `H2JK�2=P}�m2H`HD46?TM3bFR- # ^?D=A$ª«L'EO^=5bD43OLCA �� aª K�L�u/PHe��-/,.-��!-���TCPQAMUVFHP�8!3!6kj=:<5bD43 � � � � � � ,�,�, ^4K�2=�vP�j4K�j.ARD4FHj=FRs!StLM:V593OLM67F�D=^M`HD4uVK�DrD�S�TM:V5�PQTM^=u\6?L�K�LCPQTCP F�D4:V6=D4: ª

S|D=A$o=DnD7F�D4:/24:<F �mD{:/LC^=WOj.P�PQARDJ>!> �!Fm`H243lD46�D_WOj.PQPQARD � ��FHLMSrh@G4>�D43�3O;xo?LM69PQAMuV6~s StU<^qDkPQACT$:/LCP�PQTC^=u6?L$K�LMPQTCP}�m2 `H2J>�D43q6?j=3OP�FHD43OP}S|DJK�D=N@-

��-/,.-g�9-Z0�j.^=5bD43¢`H2JKH3lD�>~L�LC^=5�XYu<PQS�L�K�LMFQ:<LM3�D4:/DJh!K�D `QAM��c :/DJ>OuVKHuV3bFQEOP�F�e��-/,.-���- -�LM^=598!6r�vLM: sbWOj.^=5rLC^=5r^4K�2=�/>�D43iSru<3ON!L$3|h@j=3bF��vj=64D�:<LC^?D4:d2J>!>k¡y- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6t>~L=s.WOj.^=5�D�^4K�2=�

StuV3ON!LM3�¡ �1¨�h~j=3�FQ�n�m24F]F�DJKQF�D4:/S�D=A'KHTCPQAC^4K�2=�d6?T$3�F����-gf9-/,.- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6r>~L=s.WOj.^=5rLC^=5 uVK�243�5�U<FHj=F�F � ^4K�2=�~D46�6?j4K�TCP��MPHD46tD4696?j4K�L$K�B.PQL$3i;.PQPQACLM�d8O^.^.B!sbWlD �

Page 29: feladatok kombinatorika

������� ������ ��� �>�2JK�StLM:<5�h@j=3bFm`H2J>@G=:buV3ON�U<FQo4D'D}S�T$:<59PQTC^=u9o4D=^=5�D}PQACTM:<LCPQP�TC^=u�6?L$K�LMPQTCP�FRsJStuV3ON!LM3�h@j=3bFQWOj.A�LM: `�E!FQE!3!6~-

� ���54�� 1��a�Q&��5�2���a(k+��5�l��� - ��� - ������� � *���% (!��%(4 4��l�#" �'%(4

�9-/,.-/,.-���TCPQAMUVFHPQL$3�j=:V5bD43�D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FRslS�LM:V5{LC^=5�X TM:<P��!:V5?j.ARD4FQ:/D43�c]^4K�2=�/>�D43qStLC^=WlD4F�2JK�j.ACACD�sOWl243b5��vT$:/L:<LC^4K�;=o9u<N!L$>!>��!F]o=D43 � ª >@B=: �«ª >@L4-

�9-/,.-gf9- 8 LC^=5?LM3 �©LM^=5�^4K�2=� � h~j=3�Fm`H2J>~G=:?69uVu<3ON�E!:<G�PQACTM:<LCPQP�TC^=u96?L$KHLCPQTCP PQj4K�243�:<TMF�KHL«`Q;=FQF �mD�-��«KY`�E!6�Sru<3ON!LM3

'�� � h@j=3bF¢StLM:<:<T7D=A � ª >~B=: ' ª >~L�o?LCACL$FHBn:/LM^4K�;=o9u<N!L$>!> �!F�WOj.PQP�AR24F{XYo4D=^=59u<P¢D=A|LM^=5?LMFQ:<LM3 ��ª >@LM:Vu

� TCP ' 6?;.AC;=FQF�u��!FtWOj.PQP�AR24F�c$- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6 >~L=s)WOj.^=5 LC^=5 � � � TM:Z6?TMFro?TC^4h@j=3bFm`H24WOj.A7UVKHF ����PQAR2=Stj=6�K�Dt¦8$�� �¢§ � $ ¨�TCPaD=N�`�E!3!67h@TM:<NO24FaSru<3ON�Dtw�s!StuV3ON�D=At,�LM:<B.�vj4K�N�E!:d2=PQ2JK�D �

�9-/,.-���- )�N�`�E!3!6qh@j=:VuV3Oj.S KHLM3ON�[D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FRs@StLM:<5�StLC^=WlD4F�2JK�j.AMARD{LM^=5q^4K�2=� :/LC^4KH;=o9u<N!L$>!>6?;4K�TM3OL$6XY6?;4K�L$u<3OLM6!cZWOj.PQP�AR24F��

�9-/,.-��!- ) � ^4K�2=�/>�D43�>�2JKHS�LM:V5©6?TMF�h~j=3�Fi6?;.AC;=F�F7D�:/LM^4K�;=o9u<N!L$>!> �!F�WOj.PQPQARD:/LM^.�vLM: `QL�>!>�f9- �quV:<5?LM3WOj.PQPQA$�q:/LMWOL$F �'ª >@LM3�D�:/LM^4K�;=o9u<N!L$>!>�6?;4K$e

� � �9+}��( ��%©%�� 4�* �y� (!� �'��%

�9-gf9-/,.-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6qStLC^kD �'u `�6�P�F�K�DkD4:<^.j4KHu<FQS¢EOPQPHD4:�D|:/LC^4KH;=o9u<N!L$>!>E!F�D4F � TCP � 6?;.AC;=FQF�D{�9-<,.-@2J>!K�D^4K�2=� `H243qTMP}S¢E!F�D=PQP E!6kStLC^|D=A�D4:/^.j4KQu<FHS¢EOP Fa:/T�h@TCP KHB=: :<T$h@TMP K�LT�

� �

� �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� �

��

' ��

¨

°¨

��

'�9-/,.- �}>!K�D

�9-gf9-gf9-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6�S�LC^nD{:<LC^4K�;=o9u<N!L$>!> �!F�WOj.PQPQAR24F � ª >~B=: � ª >@LtTCP 1!ª >�DnDk�9-gf9-\2J>!K�D{^4K�2=� `H243 D=A 'h�DJK�D=StTMFHL$K}FHLMFHPQAMB=:/LC^.LMP [email protected]$u<FQUVo~sOo4D4:/G.P]T$KHFHTM6?L�LCPQL$FHTM33�

�9-gf9-���-���j=3OP�F�KHEl24: `�E!3!6©j=:V5bD43�Sru<3!u<S¢EOS �qh~j=3�F���u K�243�5�U<FHD4FQ:dD43�^4K�2=�vj=Frh~j.AMu<F�U<o�TM:<P��!:<5?j=6�6=D4: s WOj.^=5

Page 30: feladatok kombinatorika

��� � ������� ������

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � ����������������������������� ��������������������������������������

1' °

� �'�°

�9-gf9- �}>!K�Do4D4:dD=StLM:<5 � � �)h@j=3bF�h�2JK 6?;.AMFQu~:<LC^4K�;=o�u/N!L�>!>nE!F�D4F D �'u `�69P�F�K�DrD4:<^.j4KHu<FQS¢EOPZh~j=3�FHj.PQD43nD �!-OP�6?;4KQ>~LM3 RPQACj=:<^?24:VF�D4Fm`HD �

�9-gf9-��!- �'u `�6�P�F�K�DqD4:/^.j4KHuVFHS¢EOPHDn�MPHD46�D=A � ª >@B=:)>�2JK�StLM:<5 ' ª >@Lro?LCACLMFHB_:/LC^4KH;xo�u/N!L$>!>��!F�WOj.P�PQAR24F�WlD4FH2JªK�j.AMFHDrStLC^!-.��G9N!j.P�UVFHP�E!6_D=A�D4:/^.j4KQu<FHS¢EOP F}�O^=5?s9WOj.^=5{D :/LM^4K�;xo�u/N!L�>!>qE!F�D4F�XYo4D=^=57D=ACj=67LC^=5�u<6?TMF�c�u<PS�LM^=6=DJhOWlD=PQP E!6��

�'*���&�%�� 4�*���� (O� �'��%

�9-���-/,.- ��TC^.LCACA$8!6�LM:�EO^=5bD43lD=AMF#D�S�G.N!j.P U<F�2=P F �yj4K�NrD4:<^.j4KHuVFHS¢EOPH2JK�D�s?D=Sru<F�D��9-gf9- �!-J�vLM:/D=NOD4F�>�D43 ��u `�6�P F�ªK�D_D4:/^.j4KHuVFHS¢EOPH2JK�D_o?TC^.LCAMF�8!3!6�LM:*����LM^=F�D4:d24: `HDJª«L|D_S�G.N!j.P U<FHj=F�F¢D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP¢D=AtLCPQLMFQ:<LC^.LCP�3OLC^?D4FQUVo;.PQPQA$WOj.PQPQAM�OPH2=^=��u K�243b59UVFHj=FQF 6?;4K�;=6?LMF u/P�e

�9-���-gf9- )�N�`Qj=3qh@T$:/NO24F'u K�243�5�U<FQj=FQF'^4K�2=�vj=6nj=:V5bD43 � � PQj4KHj.ARD4F�2JK�D�s�D4WOj=: 3"�� � # � �TCP � � u K�243�5�U<FQj=FQF6?;4K�LMuV3OLM6_PQAR2=S�Dr:<LC^?D4:d2J>!>��yª >@LM3nL$¬9h~j=3OLM3O�Mu/24:<u<P�FHLCSrh~G4>�D43kF�DJKQF]o?TC^=FQLM:/L$3!WOLCA=-

�9-���-���- ��LM6�6?j4K�D�D�:/LC^4KH;=o9u<N!L$>!>�uVK�243�5�U<FHj=F�F}�!F WOj.PQPQARD }ª >@G=:��ª >~L�D��9-���-O2J>!K�Dt^4K�2=� `H243�e

� �

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �

� � �� �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� �� ������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

'

¨ � °

� �§ �

§ � ¨

¨ �

'�9-���- �}>!K�D

�9-���-��!- �quV:<5?LM3 TM:/P�j4KQK�LM3ON LMPQLMFHTM3�o?TC^.AMu'D)��j4K�N�D4:/^.j4KHuVFHS¢EOP_D :<LMWOLMFQB :<LC^=FH;4>!>1u<:V: - D:/LM^=6?LMo?LCPQL$>!>

Page 31: feladatok kombinatorika

������� ������ ��� �:<T$h@TCP F'D|�9-���-O2J>!K�Dt^4K�2=� `H243�e

�_��* � & %�� 4�*��y� (O� ���9%

�9-��!-/,.-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6 StLC^�Da:<LC^4K�;=o�u/N!L$>!>�uVK�243�5�U<FHj=F�F#�!F WOj.PQP�AR24F�D=A�;.PQPQACLCP :<LMWOLMFHPQTM^.LCP#h~j=3�F�h�2JK#6?;.AC;=F�FD|�9-���-O2J>!K�Dt^4K�2=� `H243�e

� � ��*�� � (!�#��*�+

­�-/,.-/,.-���^=5|o=24:V:/D4:dD4FQ3l24:@WOT$FZh�24:V5b2=ACG `QLM:<LM3bFQ6?LCACLMF�F}WlD4F�8�K�LCPZS¢E!3!64D4WOLM:V5�K�L�X PQAR2=Stj.ACAME!67LCAMLM6?LMF�,Mª FHB=:�Jª u<^bc$�OLC^=5{LCS�>~L$KaFH;4>!>nWOLM:<5bK�L�u<P+�)a:/D=NO2JK'D=Ar,Mª«LCP]S¢E!3!6=D4WOL$:<5bK�LIZTM:/D|D=Ar,.s��Jª«j.P S¢E!3!64D4WOLM:<5bK�LK�PHDJ>�D|D�f9s���s��4ª LCPZS¢E!3!6=D4WOL$:<5bK�L��D43!u D|f9s��xª«;.P S¢E!3!6=D4WOLM:V5�KHL�#K�ACP�u�D���s �!sg�xª«;.PZS¢E!3!64D4WOLM:V5�K�L��L$KHu D_,.s��Jª«j.P S¢E!3!6=D4WOL$:<5bK�L�'TCARD|Dt�Jª«j.P S¢E!3!6=D4WOLM:V5�KHL

X D?c �}>!K�2=AMj=: `�E!6kDtWOLM:V5�ACL$FHLMF]h�2JKHj.P]^4K�2��~D4: �Xm>yc ��;=3bFHP�8!6{LM: sOWOj.^=5|>~LMFH;=:VFQWOLMFHB4ª L�Sru<3ONnDt�rS¢E!3!6=D4WOLM:V5�X LC^=5iLCS�>~L$K��MPHD467LC^=5iWOLM:V5�K�L�6?L$KH8!: ª

WOLMF�c$-O0'Dr3OLCS�StuV3ON@syD46�6?j4K Wl243�5{FH;=:VFQWOLMFHB�>@L�e1# 3ON!j=6?j=: `HDru/P}Dro424:dD=PQA$F��XY��c �bDRo9UVF�ª«L o=D4:/D=StuVFRs.WlD ��L$KHuOStLC^.^.j=3ON!j=: `HD�S|D=^?24F#TCP�D¢f9-.S¢E!3!64D4WOLM:<5?L$F�u<P�WlD `�:dD43ON!G L$:/�vj.^?D=N�3!ude

­�-/,.-gf9-�X �vj=:V59FHD4F�2=P�c���^=57S¢E!3!64D46?;.AMo?LMFQUVFHB=3OTM:\WlD4FaLCS�>~L$K `QL$:/LM3bFQ6?LCAMLMFQFR-��a5?j=:/��24:<:/2=P)`Q;=WOLMF}PQACG4>�D ��a6?j.P�,.sgf9s���s��!sg�9s�� S¢E!3!6=D4WOLM:V5I D43ON�u�f9sg�9s�­rS¢E!3!64D4WOLM:V5K�P�uV:<:/D{f9sg� S¢E!3!6=D4WOLM:V5��G4K�D�f9s�­tS¢E!3!64D4WOLM:V5�#KH3OBi�9s�­tS¢E!3!64D4WOLM:<5��L$KHu#,.sgf9s���s��!s�� S¢E!3!64D4WOLM:V5

Page 32: feladatok kombinatorika

����� ������� ������)�N�`Qj=3�StLC^�LM^=5:/LMWOL$FHB�:<LC^=3lD=^=5?j4>!>��d8O^.^.LMF�:/LM3�TM:VKHLM3ON!PQACL$KQF��(# 3ON!j=6?j=: `HD�S�LM^!s)Stu<T$KHFr3!u<3O�CPt3lDJª^=5?j4>!>��

­�-/,.-���-���^=5{WlDJKHS|D=N�uV6_�MTC^=3OTM:\WOTMF}WOLM:V5�KHL��CPHD467WlD4F�D43_h�24:<5b2=AM3lD46 �)a3!uVF�Dk,.s�f�S¢E!3!64D4WOLM:V5�K�LIZLRD�f9s��tS¢E!3!64D4WOLM:V5�K�LK�uVKQu<:V:)��s ��S¢E!3!64D4WOLM:<5bK�L�'u/D43lD��!sg��S¢E!3!6=D4WOLM:V5�KHL��:/LCStT$K��9s��rS¢E!3!64D4WOLM:V5�K�L�OKHu<�Mu ��s���S¢E!3!64D4WOLM:V5�K�L

) �vB=3O;=6_S�2JKZ>@LM:<LM3b59EO^.j9N!j=F�FRs!WOj.^=5{U<^=5i3OLCS�:/L$WOLMFaD=A�;.PQPQAMLCP]WOLM:V5?LMF >@LMFH;=:VFHLM3!u -O��:@u<P]N!;=3bFH;=FQFHL4sWOj.^=5�D|WlD4F'LCS�>~L$KQ>@B=:)6�u�WOj�o=Di6?L$KH8!:�� )�,.s+I f9s3K���s � �!sy� �9s ����-���6�6?j4K�T$KH6?LCA$u<6�D�[email protected] F�2=PLC^=5�F�24o9u K�D4FQF�D4:�� PQS�LC^4h�D.D4:V5bD.D=ACj.S D fxª LCPiS¢E!3!64D4WOLM:<5?L$F_P FHj4h�^.LCLCARDP�FQj4h�P�FHj4h\- R ) �vLM3�F�uaWlD4F�d8O^.^.LMFQ:<LM3�TM: >@B=: S�L$:<5?LM6?L$Fa�CPQL�K�TM:Vu�69u\Dr�vB=3O;=6{TCP}StLM:<5_S|2=P u<64D46�K�D?e

­�-/,.-��!-���L$K�LCP�P�8!3!6nS�DJ¬�u<S|24:Vu/P]h�2JKHj.P�U<FH2=P�F�Dt­�-/,.-O2J>!K�Dr^4K�2=� `HD4uV>�D433�

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � �

� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������

­�-/,.- �}>!K�D

­�-/,.-g�9-���^=5�h�2JK�j.P7^4K�2=�'LC^=59uV6�h@j=3bFHj.PQA$F�24:<5b2J>�D43�o4D431j=:V5bD43 � K�TCP�AMWlD4:/S�D=A=s D=S�LM:V5�KHL � � " �=# �L$� � �R§ �9- I�u<ACj=3b59UVFHP�E!6_>~L=s!WOj.^=573!u<3O�CPaDt^4K�2=�/>�D43q0'D=Sru<:VFHj=3�ª �!F��

­�-/,.-���-���^=5�u<P�6?j=:d2J>�D43�D�N�ud246?j=6�698!:<;=3O�vTM:<LZ>Ou<ACj=FQFHPQ2=^.j=6=D4F)o424:dD=P�AMFHj=FQF�D46iX LC^=5�LCS�>@L$K FQ;4>!>r>Ou<ACj=FQFQPH2=^4ª3lD46{u/P F�D=^C`HDt:<LMWOLMF�c]TCP}Stj.P�FaSru<3ON!L$3�>Ou<ACj=FQFQPH2=^iD�PHD `H24F]F�D=^C`HD4u�6?;.AM8!: LC^=5�ª LC^=5{LM:V3O;=6?;=FaPQACL�K�LMFQ3OL69uV3OLMo?LCA$3!u - I 2JK�S�L$:<5¢>Ou<ACj=FQFHPQ2=^'>�2JK�StLM:V5 F�D=^C`HD'D4:V6=D4:<S|D=P):<LM3!3OL}LM:V3O;=693OL$6~s.N!L�3OLCS D464DJKY`H246~sxWOj.^=5o4D4:dD46�u LM^=5�PQACL�KQK�L�FQ;4>!>k>Ou<ACj=FQFHPH2=^=3lD46{u<P}LM:V3O;=6?L�:<LC^=5?LM3�- �qu<6?j4K}o=D4:<G.P�UVFQWlD4FHG|LCA�S�LC^be

­�-/,.-g�9- �qE!F�D=PQPQD�S�LC^!s!WOj.^=5iKQª K�LC^=E!:/2JKHu/P h�2JK�j.P}^4K�2=��>Ou/A$FHj.PHD43nFHL$: `QLCP U<FQu D�0'D4:V: I��vLM:VFHTMFQLM:<F[�Z������������ �� ���� � � I?K�LC^=E!:/2JKHu<P]h�2JK�j.P ^4K�2=�d3lD46{StuV3ON�u/^|o4D43nFHL$: `QLCP h�2JK�j.P�UVF�2=PHD�-

Page 33: feladatok kombinatorika

������� ������ �����­�-/,.-�­�-���^=5�h�2JKHj.P�^4K�2=�@Sru<3ON!LM37�MP��O�CPH2J>�D�h@j=3bFHj.PHD43 � TM:��dE!FR- ��T$:/LMF�:/LM3b8!:@T$h!h~LM3 � NODJK�DJ>i698!:<;=3?>@;.ACB

PQAMUV3b[��CL$KHEOAR243!6{o4D43 X D��vLM6?LMFHT$3n69UVo98!: slD=StuVo?LM: D=A�L$KHLCN!LMFQu 2J>!K�D�6?TCPQAM8!:VF�c$- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!67>@L4s�WOj.^=5D=A�TM:/L$6_6�u<Wb�OAMWlD4FHG=6_PQAMUV3OLCPQPQL$: �O^=5?s�WOj.^=5{StuV3ON!LM3��CP��O�CP >�D|�CP�E�h�Dt6�8!:/;=3?>@;.ACBiP�AMU<3b[�S�L$3x`QLM33�

­�-/,.-�®�-�X �vj=:V59FHD4F�2=P�c�)�N�`�E!3!6�h@TM:<NO24F j=:V5bD433OLCS�I?h�2JK�j.PMs�N!L�K�LC^=E!:/2JKHu<P ^4K�2=�/K�D�s D4WOj=:�Dk�vL$3�FQu�PQAMUV3OLCACTCP:<LMWOLMFHLMF�:/LM33�

­�-/,.-/,�w�- �qE!F�D=PQP E!6�S�LC^!s4WOj.^=5�WlD�LC^=5�h�2JK�j.P)^4K�2=�/>�D43tStuV3ON!LM3rh@j=3bF �vj=6=D $ � s=D4696?j4K h~j=3�FHj=6¢TCP)TM:<LM6WOj.ACAR24o?T$FHLM:<TMo?LM:�6�u/LM^.TCPQAMUVFQWOLMFHBij=:V5bD43!3l2�slD=S�LM:V5�>~LM3qSru<3ON!LM3��CP �O�CP K�Drh~j=3�FQj.PHD43 � TM:�u<:V:<LCPQAM6?LCN�uV6��

­�-/,.-/,.,.- 8 LC^=5?LM37D � LM^=5�PQACL�KH[�s?h�2JKHj.P�^4K�2=�/>�D437D�S|DJ¬9u/S�24:<u<P��vj=6�P�AR2=S ¡y- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6r>~L=s?WOj.^=5ro4D43j=:V5bD43kh�2JK�j.P�UVF�2=P ��ª >~LM3�syD=StLM:V5{:<LC�vLCN�u D=A�;.PQP�ACLCP�¡7�vj=69�kh~j=3�FQj=F��

­�-/,.-/,xf9- 8 LC^=5?LM3�� LC^=5 � ª K�LM^=E!:d2JKHu<P|h�2JK�j.P|^4K�2=�«s � 7 �9- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6 >@L=s#WOj.^=5 � h@j=3bFQWlD4:<S|D=ARD:<LC�vLCN�WOLMFHBiN�u<PQA«`�E!3!6�F�6?;4K�;=696?L$: �

­�-/,.-/,���- 8 LC^=5?LM3�� LC^=57LC^=59PQACL$KH[�s!;.P�PQACLC�d8O^.^.B!s9h�2JK�j.PZ^4K�2=�«sOD=StLM:V593OLM67Sru<3ON�6?TMFZh@j=3bFHj.PQA$F�24:<5b2J>�D43_�h@j=3bF�o4D43�-�)�A¢LC^=5�u<6qj.P�AMF�24:V5�>�D43�StuV3ON!LM3�h~j=3�F'�vj=64D|698!:<;=3b>~;.ACB!- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6n>@L=slWOj.^=5 �'ª >@LM3o4D43kFHLM: `QLCP]h�2JKHj.P�U<FH2=P[�

­�-/,.-/,R�!- # ^?D=A$ª L=s WOj.^=5�WlD LC^=5�;.PQPQACLC�d8O^.^.B�h�2JKHj.Pk^4K�2=�/>�D43 o4D43 0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4K�s D4696?j4K_o4D431FHLM: `QLCPh�2JK�j.P�UVF�2=P u/P�e1# ^?D=A$ª L¢D=A�24:<:VU<FH2=PaS�LC^.�vj4KHN�U<F�2=PQD?e

­�-/,.-/,x�9-���^=5kj.PQA$F�24:<5b>�D43�o?LC^=5?LCP}h�2JK�j.PQj=64D4F�PQAML$K�LMFQ3OT$3OLM6�;.PQPQACLC24:<:VU<FHD43!u�D=A�u/P�6?j=:/D4u FHj=:V:/D=P�:dDJ>lNODxI?>�D ` ª3Oj=6�PQ2=^4K�D�- �aF|:/243�5�TCP|;=F �O��FQEON�`H24FQPQARD43!u s�N!Ln3OLCS Sru<3ON!L$31PQAMG4>�D{`Q;=WOL$FHB�h�2JK{D464DJKiLC^=5�8!FQFPQACL�K�L$h@L$:<3!u��2)a3ON9KHu/P 3lD46 StuV3ON!LC^=5y�)`H24FHPQARD43lD �):<G4K�24o4D4: s ��DJ>OuVo=D4: sa0�LM:<^?24o4D4: s # :<N�uVo?LM:¢o4D=^=5 D4642JK�.E!FQ6424o=D4:@u<PC- I]D4:/2=ACPCs�K�PHDJ>�D�s ��D43!u\TCP ��N!L�o�u/P�ACj=3�F}�CPHD46 �.E!FQ6424o=D4:@WlD `�:/D43ON!GiLC^=5|h�2JKQ>�Dr6?L�KH8!:<3!u -0'243b5rh�2JKHF�FQEONiD=A]j.PQAMF�24:V5t6�ud24:V:VU<F�D43!ude|X��aFQ:<LMF �?:/L$WOLMF�ª«L�j=:V5bD43|h�2JK�sbD=S�L$:<5�u<6b>@LM3{PQLCS )a3ON9KHu<PCs9P�LCS�.E!FQ64Dr3!uV3O�CP}>@LM3!3OLReJc

­�-/,.-/,���- )�A�D=P�AMF�D4:Vu<FHL$3!u/PQAZ>�D `�3Oj=6�PH2=^�O� h�2JK�j.PHD4uV3lD46 ;.PQPQAMLR24:<:VUVF�2=PHD�P�LCS S�LM^=5 P�u<S|243"�.D}FQU<A�hOuV3O^4h@j=3�ª^.j.AM3!ulFQEON!G �O��>~G=:+)a3ON9KHu<P�TCP I]D4:/2=ACP��CPHD46 ��DJKH�Mu<o4D4:@D464DJK�LC^=5rh�2JK�>�D�:/L$3!3!u - K�PHDJ>�D�TMP ��D43!u��j4K�ª>OuVo=D4: s!��N!L�TCP���DJK��CP�u~h~LCN�u/^ �'P�AMu<WOj.A�K�D=^?D=PQA$6?j9N�3lD46~- 8 D=�Muy:/LM3!3OL ��DJK��MuVo=D4: s$��j4KQ>OuVo=D4:@o4D=^=5iD4642JK��PQAMuVo=D4:�u<PC-.)�A�E!FHG4>!>Ou@Wl2JK�j.S >�2JKH6�u@j=:/NOD4:/243k6�ud24:V:V3lD�s�D46�u<6|B=6?LMFZo=24:/D=PQAMFHj=F�F�246~- ��PQPQAMLR24:<:VUVFQWlD4FHG4ª«L;=F o=D=^=5i:<LC^?D4:/2J>!>�3OTC^=5ih�2JK$e7X ;=FQ:<LMF �!69uV6_D=ACj=6~sOD46�u<673OTM:V698!:\3!u<3O�MP]h�2JK�j.P�exc

­�-/,.-/,x�9-���^=5tj.P�AMF�24:V5tSru<3ON7D�f=w �O�iF�D43bE!:<G `HD¢P�ACL$K�LMF#hOu<3O^4h~j=3O^.j.AM3!u -���^=5?T$3!uV>~LM37StuV3ON�3�5b2 `HD437uV3ON�E!:Vª3lD46�u/P�D=A]u<P�6?j=:/D4ul>�D `�3Oj=6�PQ2=^.j=3�s�N!L�,�w'h�2JK�j.P�F#u<P�69ulD464DJKH3lD46t24:<:VUVF�D43!u -.G�D `�3Oj.PMsb��DJK��CP�uV3{TCP ��DJK��$u<369UVo98!:~ª�D46�u<6|StuV3ON!LM3!69uVo?LM:9`QG=:@69u `Q;=3!3OLM6iª�DrS�DJK�D=N!TM6q,�­�^=5?L$K�LM6�3OTC^=57�CPQj4h~j4KHF�K�D¢>@j.Sr:<uV6~-!��^=5�u<6

Page 34: feladatok kombinatorika

����� ������� ������uV:<5?LM3kF�2JK�PHD=PH2=^rWOTMFZF�D=^4>@G=:\24:V: s�DrS|2=P�uV6{;=F�>@B!: sODrS�DJK�D=N!TM676?LMFQFQB!>~LM3{Wl2JK�S|D43�ª Wl2JK�S|D43_o=D43!3lD46y-G9LM3!6�u]P u<3O�CP'`QG4>�D43©D�FH;4>!>Ou �CPQj4h~j4KHFrF�D=^C`HD4uVo=D4: s#j=:<5bD43!3b59u K�D�s WOj.^=5 3OLMS u<PiD464DJKH3lD46o?LM:V8!6�LM^=5h�2JKQ>�Dt6?L�KH8!:<3!u -���u/24:<:VU<F�WlD4FHG4ª«L�D=ACT�KHF}StTC^|D�FQU<A�h�2JK$e

­�-/,.-/,�­�- ) � ;.PQPQACLC�d8O^.^.B�^4K�2=�@FHL$FHPQACB!:<LC^.LCP�h@j=3bFm`H24F�L$:<WlD=^=5�o=D D�64DJh@j=FQF�^4K�2=�d3lD46t:<TMFHLMAMu<6iFQLM: `QLMP�h�2JKHj4ªP�UVF�2=PHD�- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!67>@L4sOWOj.^=5���ª >@L$3n3!u<3O�MP�LM:<o42=^.G�T$: �

­�-/,.-/,�®�-���^=5 �4��h@j=3bFQ��FHLM: `QLCP|^4K�2=�/>~G=:ZLM:<WlD=^=5C`�E!6�LM^=5FHLM: `QLCPth�2JK�j.P�UVF�2=PtTM:/L$u<FR-#0'243b5698!:<;=3b>~;.ACB 'WOj.PQPQA$�q6?;4K]FHD4:d24:VWlD4FHGiDrS|DJK�D=N!TM6{^4K�2=�/>�D43�e

­�-/,.-gf=w�- �qE!F�D=PQP E!61StLC^!s�WOj.^=5 �4��§ ¨��CPHDJh�D4F_LC^=5�FHLM: `QLCP{>�D `�3Oj=69PH2=^.j=F_:<L�F�EON`H24FHPQARD43!u �4� § ¨�vj4K�N�E!:<G4>�D43�X StuV3ON!LM3!6�u�Sru<3ON!LM3!6�u<o?L$:)LC^=5�P�ACL$K `H24FHPQAMuV6Oc$-

­�-/,.-gf9,.- �qE!F�D=PQPQD�S�LC^!s!WOj.^=5{LC^=57�m243lD46{3OLCS�:/LMWOL$F}6?TMF 698!:<;=3b>~;.ACB�FHL$: `QLCP h�2JK�j.P�UVF�2=PHD �­�-/,.-gf.f9-Z0'243b5�6�8!:/;=3?>@;.ACB FHL$: `QLCP�h�2JKHj.P�U<FH2=PHD¢o=D43{D 'Jª N�u/StLM3OAMu<G.P 6?j���64D¢TM:VWl24:/G `HDr24:<FHD4:@D4:V6?j=FHj=FQF�^4K�2=�/ª

3lD46Oe­�-/,.-gf=��- � 0'243b5�6�8!:/;=3?>@;.ACBFHL$: `QLCP|h�2JK�j.P U<F�2=PQD�o=D43�D43!3lD46�D�^4K�2=�d3lD46~s�D=Stu}LC^=5�� �vj=6��©:/T$F�K�24WOj.A

WlD=PQj=3!:VU<F�e­�-/,.-gf4�!-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6_S�LC^7D��d8O^.^.L$FQ:/L$3�T$:/LM6nS|DJ¬�u<S|24:Vu<P�PQAR2=S|24F�D|­�-gf9-�2J>!K�D�^4K�2=� `HD4uV33��I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6

>@L4sOWOj.^=573OLCS�:<LMWOLMF}FQ;4>!>@LMF]F�D4:d24:V3!u*��

� �

��

� �

� �

��� � �

�� �

� �

� � � � �

� �

��

� �

� �

� �

� �

��

�����������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������

�������������������� �������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������

�������������������� �����������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������

���������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �

���������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �����������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �����������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � ����������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������

­�-gf9- �}>!K�D

­�-/,.-gf.�9- ��LM3!3b59u�� " � � � B #�e­�-/,.-gf=��- 8 LC^=5?LM3�� LC^=5 �4�kh@j=3bFQ�{^4K�2=�«s9StLM:V5iLC^=5 �4��§�¨�h~j=3�F�� � �!F�>@G=:~TCP�LC^=5 � h@j=3bF�>@G=:~24:<: s!D=Sru��StuV3ON!LM3nh@j=3bFm`H24o4D4:\;.PQPQACL�o4D43k6?;=F�o?L=-.��LM3!3�5�u�� " � #Qe

Page 35: feladatok kombinatorika

������� ������ �����­�-/,.-gf.�9- 8 LC^=5?LM3 � � TCP � � 6?T$F��d8O^.^.LMFQ:<LM3nT$:<WlD4:<S|D=A'LC^=5 � ^4K�2=�/>�D43�- �qE!F�D=PQP E!6iS�LC^!s�WOj.^=5iD=A�"�� � �� � #�§&"�� ��� � � # TM:VWlD4:/S�D=A�24:VF�D4:lS�LC^=WlD4F�2JKHj.ACj=FQF)K�TCPQAM^4K�2=�~StuV3ON!LM37;.PQP�ACLC�d8O^.^.B�6?j.S�h@j=3OLM3OPQL o=D=^=5�!Fm`HDto4D=^=5i6?;4K�L �'ª 3OLM6�� �qu<F}S�j=3ON�WlD4FQE!3!6kD=A�LMPQLMFQ:<LC^.LCP}6?;4KH;=6iWOj.PQPQAR2JK�G=:de

­�-/,.-gf=­�-�X �vj=:V59FHD4F�2=P�cLI�u/AMj=3�5�U<FHP E!6n>@L=syWOj.^=5nLC^=5q�d8O^.^.LMFQ:<LM3�TM:<WlD4:<S|D=A�o4D=^=5nS|DJ¬9u/S�24:<u<PCs@o4D=^=5 `HDRo9UVF�ªWlD4FHGtLC^=5iK�2r3OTCA$o?L¢D4:VFHL$KH3l24:<G��!FQF�D4:*�

­�-/,.-gf=®�-�X �vj=:V59FHD4F�2=P�c5I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6�>~L=s=WOj.^=5�LC^=5 FHL$FHPQACB=:<LC^.LCP#�d8O^.^.LMFQ:<LM3iTM:VWlD4:<S|D=A h~j=3�Fv`HD4u!:/LC�vj.^=WlD4FQG=6LC^=5_D4:V6=D4:<S|D=P]S|DJ¬�u<S|24:Vu<Pa�d8O^.^.LMFQ:<LM3�TM:VWlD4:/S�D=ACARD4: u/P[�

­�-/,.-��.w�- 8 LC^=5?LM3 � "�� #'LC^=5�^4K�2=�/>�D43 D{S|DJ¬�u<S|24:Vu<P �vj=6�PQAR2=S_-3IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s@WOj.^=5 � "�� # � "�� # 7� <" � # � �

­�-/,.-���,.- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=sOWOj.^=57LC^=57W�E�K�j=69S�LM3bFHLCP � ^4K�2=�/>�D43�� "�� # � "�� # 7�� <" � # �.�­�-/,.-��?f9- 8 LC^=5?LM3 ��LC^=5�S�DJ¬�u<S|24:Vu/P �d8O^.^.LMF�:/LM3 h@j=3bFQWlD4:<S|D=A7D=A|LM^=5�PQACL�KH[ � ^4K�2=�/>�D43 TCP�:<LC^=5?LM3 ���

LC^=5{�d8O^.^.LMFQ:<LM3nh~j=3�FQWlD4:<S|D=A 0"�� # § �'ª >@L$3�-�I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=5�� "�� # 7�� � � � �

� ��������%)(O��"�*�� � %��p*�+

­�-gf9-/,.-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6_S�LC^iDtS|DJ¬�u<S|24:Vu<P��vj=:<5bD=S T$KHFHTM6?T$F'D|­�-���-l2J>!K�243q:/24FQWlD4FHGtWl24:/G.ARD4F�u �vj=:V5bD=S�j=6?j=3TCPZ>Ou/ACj=3b59UVFHP�E!6_u/PZ>@L=s!WOj.^=5{LCA�S|DJ¬�u<S|24:Vu<P[�

� �

� �

�� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � ���������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � ���������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ���������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � ����������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � ��� � � � � � � ����������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ���������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������� � � � � � � � � � � � � �� � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �� � � � � � ��

��������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������

�������

� �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������

#

° �

° �

#

°

'

'

�¨ ° ¦ ¯

¨¨

¨ ¨�

'

'

¨

¯¯

¦ '

'

� �

� ���

­�-���- �}>!K�D

­�-gf9-gf9-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6¢StLC^�Da3OLCSt3OLC^?D4F�U<oys=o=D4:<G.P ' �d8O^.^=o?TM3b5?T$>~LM3iD'­�-��!-42J>!K�243�:d24F�WlD4FHG�Wl24:/G.ARD4FQj=6�>�D43

Page 36: feladatok kombinatorika

� � � ������� ������

� �

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� ���

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � �����������������������������

��' °

''

���

�°

�'

'­�-��!- �}>!K�D

DtS�DJ¬�u<S|24:Vu/P}�vj=:<5bD=S�T$KHFHT$6?TMF��­�-gf9-���-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6tS�LC^ D�3OLCSt3OLC^?D4F�U<oys�o4D4:/G.P ' TMP ( �d8O^.^=o?T$3�5?T$>~LM3_D¢­�-g�9-b2J>!K�243�:d24FQWlD4FQG�Wl24:/G.ACD4F�ª

>�D43�DrS|DJ¬�u<S|24:Vu<Pa�vj=:<5bD=S�T$KQFHTM6?TMF��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

°'

" ' #

" ( #

'��

­�-g�9- �}>!K�D

­�-gf9-��!-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6_S�LC^7D�S�DJ¬�u<S|24:Vu/P'�vj=:V5bD=S T$KQFHTM6?TMF'D�­�-���-�2J>!K�243q:d24F�WlD4FHGth@j=3bF I_TCP}TM:<64DJh�D=�MuVF�2JªPQj=6�6=D4:�LM:V:/24FHj=FQF}Wl24:<G.ARD4FQu\�vj=:V5bD=S�j=3qTMP >Ou<ACj=3�5�U<FQP�E!6ku<P]>@L4sOWOj.^=5{LCA�S|DJ¬9u/S�24:<u<P[�

� �

������������������������������������������������������������������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ���

������������������������������������������������������������������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ���

������������������������������������������������������������������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������

����

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

� � � � � � � �� �� � � � � �� � � �� � �� � � � � � ��� � � � �� � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � �� � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� �������������������� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� � �� � �� � � � � � � � � �� � � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � ��� � � � � �� � � � � ��� � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � ��� � � � � �� � � �� � �� � � � � � ��� � � � � � �� � �� � � � ��� �� �� ����� ��� �� ����������������������

� � � � � � �� � � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �� � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

¨

'

�� �

°

'

'

°

­�-���- �}>!K�D

­�-gf9-g�9- ) ­�-g�9-�2J>!K�243�:d24FQWlD4FQGkLM:<PQBn^4K�2=��TM:<LMu 6?;.AM8!: UVKY`�E!3!6�Wl2JK�j.S�K�D�¨r6=DJh�D=�MuVF�2=P�FCs�Wl2JKHj.SrK�D �xª F�TCPWl2JK�j.S�K�D:'Jª«D4F]�O^=5?s!WOj.^=5{D�S�DJ¬�u<S|24:Vu/Pa�vj=:V5bD=S Dr:<LMWOLMFHB�:<LC^=3lD=^=5?j4>!>�uV:<:<LMFQo?L¢Dr:<LMWOLMFHB|:<LC^=69u<PQL$>!>:<LC^=5?LM33�

­�-gf9-���- ) ­�-��9-�2J>!K�243q:d24FQWlD4FQGiS|2=PQj�N�u<6k^4K�2=� TM:<LMu 6?;.AM8!: UVKm`�E!3!6nWlD4F�K�Dk¨ TMP}WlD4F�K�D �t64DJh�D=�MuVF�2=P�Fa�O^=5?sWOj.^=5_DtS�DJ¬�u<S|24:Vu/Pa�vj=:V5bD=S�Dr:<LMWOLMFHB|:<LC^=3lD=^=5?j4>!>quV:V:/LMF�o?L Dr:<LMWOLMFHB|:<LC^=6�u/PQL�>!>�:/LC^=5?L$33�

­�-gf9-g�9- # ^?D=A$ª L=syWOj.^=5nWlDiStuV3ON!LM3�TM: 64DJh�D=�Mu<FH2=PHD�h�2JK�j.P'PQAR2=Sks~D4696?j4K�o4D43�j=:<5bD43�S|DJ¬9u/S�24:<u<P��vj=:<5bD=S_sD=StuV3OLM6_StuV3ON!LM3�TM:<TM3�Dt�vj=:V5bD=S�T$KHFHTM6?L�h�2JK�j.P]PQAR2=Sie1# ^?D=A$ª L�EO^=5bD43OLCA'h�2JK�D4FQ:/D43qPQAR2=Stj=6964D4:ve

Page 37: feladatok kombinatorika

������� ������ � ���

��

� �� �

���

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

�������������������������������������� ���������

�����������������������������

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������

���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������

­�-g�9- �}>!K�D­�-gf9-�­�- 8 LC^=5?LM3OLM6 LC^=5 ^4K�2=�Zh~j=3�Fm`HD4u]D=A7��WOj.PQPQAM�OPH2=^=�©¦t§ ¨_P�j4K�j.ARD4FHj=6y- ��LMACLCPQPQL$3©LC^=5u K�243�5�U<FQj=FQF

TM: �.ª >@G=: �ª >~L=s WlD��?ª >�D43 6?LMo?LCP�L$>!> ¨Mª LCPro4D43�s Sru<3bF �ª >~LM3�s)TCP�:/LC^=5?L$3�LC^=5�uV:V5?LM3©TM:�64DJh�D=�MuVF�2=PHDD=ArLC^=5?LCPQLM6�PQAC2=S|243lD46�698!:<;=3b>lP�TC^.L=- 8�LC^=5?L$3 � � D_S|DJ¬9u/S�24:<u<P��vj=:V5bD=S T$KHFHTM6?L � � " ¦� ,�,�, ��¦/#}TCP� ��" ¨ � ,�,�, �R¨F#�6?;.AC;=FQFR-.��LM3!3b59u � % eX��LM3!3b59u�24:<FHD4:d2J>�D43 � � e

­�-gf9-�®�- 8 LC^=5?LM3OLM6�LC^=5 ^4K�2=�]h~j=3�Fm`HD4u}D=Ak��WOj.PQPQAM�OPQ2=^=�1¦t§ ¨kPQj4K�j.ARD4FHj=6y- ��LCAMLCPQPQLM3�T$: �.ª >@G=: �ª >@L4sWlD �ª F�S�LM^=6=DJhM`�E!6 �?ª >@G=:)�O^=5?s~WOj.^=5�D=A �?ª >@LM:Vu#LC^=59uV6�¦Jª Fr¨Mª K�Lr�CPQL�K�TM: `�8!6~-\0'D{LCAtD7�CPQL$K�L�D=A � ª uV66?j9j4KHN�u<3l24F�2J>�D43�FH;4KHFHTM3bFRs D4696?j4K¢D{64DJh�D=�MuVF�2=P�:<LC^=5?LM3 �Q- 8�LM^=5?LM3 � � DkS|DJ¬9u/S�24:<u<P¢�vj=:V5bD=S T$KHFQTM6?L

� � " ¦� ,�,�, ��¦/#�TCP � ��" ¨ � ,�,�, �R¨F#�6?;.AC;=F�FR-.��LM3!3�5�u � % e I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5�� � $ � ��� � �­�-gf9-/,�w�- � ��^=5©o42JK�j.P_P�ACLM3!3b59o9U<AC�CPQD4FHj4KH3l2H`H2J>�D�PQAR2=Stj.P{WOL$:<5?LM3�>@LC�vj=:V59WlD4FkD=A�LMPQB=o9U<A�TCP{�CPHD46�LM^=5

WOLM:V5?LM3 �vj=:V59WlD4F\69u - �'D=^=5��vLM:VWOB.PQARD464D=NO2=PQj=6¢LCP�LMFHTM3�D�K�LM3ON!P�ACL$K 3OLMS 6?T$h~LCP\StuV3ON!LM3 o9u<ACLMF\:/L$o?LCACLMFQ3!u -0'D¢u/P�S�L$KY`�8!6{D=A�LM^=5?LCPZPQARD464D=PQACj=6|64DJh�D=�MuVF�2=PH24FRs9WOj.^=5bD437WlD4F�2JKHj.AMWlD4Fm`�E!6iStLC^rD 6�uV>~B=o9UVFHLM3ON!B=6?LMF�e

­�-gf9-/,.,.- ��8\uV:<u hOE!F�>�D43��CPHD46{Wl2=ARD=PQPH2=^=6?;.AMo?L$FQU<FQB=3n6?L$K�LCP�AMFQ8!:\6?;=FQWOLMFQ3OLM6{Wl2=ARD=PQPQ2=^.j=FaDrh�2JKHj=6_TMP}LC^=5bªLC^=5 Wl2=ARD=P�PH2=^=6?;.AMo?LMFQUVFHB�TMo?LM3bFHL :<LC^.�vLM: `QL$>!> £ LCP�6�8!o?B=F�PQACL$KHo?LMAMWOLMFR-'��^=5bª«LC^=5 FQ;4KQh@L�I �O��FH;4>!>FH;4KQh~L�Ib:/243�5�6?;.AM;=FQF�u<P o=24:/D=PQAMFQWlD4FC� TCP¢WlDnLC^=5�FH;4KQh@L�ª �O� FH;4>!> Wl2=ARD=PQPH2=^=6?;.A$o?LMFQUVFHBxo?L$:�u/P¢64DJh@�MPQj4ª:/D4F�>�D¢:/T$h\sOD46�6?j4KZStuV3ON!LC^=5�u<6�3OLM6{LM:/Stj=3ON�`HD >�DJK�24FQ3OB!uyFHLM: `QLCPZ:<u<P�F�2 `H24FR-.)�N�`�E!3!6{D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FRs9S�LM:V5S|DJ¬9u/S�D4:<u<AR24: `HD7D=A�LC^=5{TMob>@LM3kPQACL$KQo?LCAMWOLMFHBiLMP�698!o?B!6?LMFR-

­�-gf9-/,xf9- � �a:/N�`�E!6 S�LC^�D=A�LM:/B.AMB©�vLM:dD=NOD4F ��TM: ª :VuV:<u hOE!FQu�o=24:VFHj.ARD4FH24Fku<P X D4WOj=:�S�TC^�StLC^.LM3O^.LCN!L$FQF�DFH;4>!>O3OL«`�[OP�TC^bcQe

­�-gf9-/,���- �qE!F�D=PQP E!6 S�LC^!s WOj.^=5LM^=5 ¡?I�PQACj4K�j.PQD43�;.PQPQAMLC�d8O^.^.B��yª h@j=3bFQ��^4K�2=�d3lD46�:/LM^?D4:d2J>!>�¡9��� �nTM:<Lo4D43�-

­�-gf9-/,R�!- 8 LC^=5?LM3©¡ $p��§ ¨.-OI�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6>@L=s)WOj.^=5�WlD�LC^=5 �yª h~j=3�FQ��LC^=5�P�ACL$KH[�^4K�2=�/>�D43�Sru<3ON!LM3h@j=3bF]�vj=6=Dt:<LC^?D4:/2J>!>�" � �©¡�§ � # � �9sOD4696?j4K}Dt^4K�2=� ¡bª«PQAMj4K�j.PHD43nh@j=3bFH;.PQP�ACLC�d8O^.^.B.�

­�-gf9-/,x�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6_>~L=s�WOj.^=5_�xI?K�LC^=E!:/2JKHu<P�^4K�2=�vj=6�K�D|Drh@j=3bF I{TMPaTM:<;.PQPQACLC�d8O^.^.B.P�TC^=u)PQAR2=Stj=6kLM^=5?LM3�ª:<B9LM6y-

Page 38: feladatok kombinatorika

� � � ������� ������

� ��% �'+�1�� ��� 4�&'�9�\�"�n+��"��� � - ���

®�-/,.-/,.- 8 LMWOLMF�ª L¢WlD=PQj=3!:<G?D43�LC^=5�PQAML$KH[�D4:/^.j4KQu<FHS¢EOP F'D=N�3!u D=A¢D4:dDJhO6?;4KQKHLM3ON!PQACL$K�L$:/B?24:V:<UVF�2=PH2JK�D_D�P�ACTM:<LCP ªPQTC^=u�6?L$KHLCPQTCPaP�LC^=U<FQPQTC^.TMo?LM:de

®�-/,.-gf9-Z0'DnLC^=5���h@j=3bFQ� FHLM: `QLCP�^4K�2=�ZD4:/DJhO6?;4KQK�LM3ON!P�ACL$K�TMF�WlD4F�2JKHj.ACAME!6�StLC^!s�StLM3!3b59u�D=A7D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP:<T$h@TCP�PQAR2=S|D?e

� ���(4 � � (!*#(9(_+�1�� 1�+ "�� �Q�������"� - ���

®�-gf9-/,.- ) ®�-/,.-)2J>!K�243�:d24F�WlD4FHG�u K�243b59UVFHj=FQFt^4K�2=�d3lD46 D=N�`HD�StLC^�LC^=5?s D=A ��h@j=3bF�>~G=: uV3ON�E!:<G�S�TM:V5�P�TC^=u�m2H`H24FRsOTCP]L$KQK�L�o?j=3lD4FQ6?j.ACG?D43kD=A�LM:<B4K�L$ªQslo�u/PQP�ARDJª�TMP]6?L$K�LMPQAMFHTM:<LM6?LMF[�

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � ��������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � �� � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � ��� �� � �� � �� �� � �� � ����������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � �� � �� � �� � ��� � �� � �� ���������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � �� � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �� �� � �� �� � �� ��

��������������������� � �� �� � �� � �� � �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������

��������������������������������������������

�������������������������������������������

�����������������

� � � � � � � � � � � � � �� � � � �������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������

�����

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

®�-/,.- �}>!K�D

®�-gf9-gf9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6q>@L=s@WOj.^=5nWlD{LC^=5quVK�243�5�U<FHj=F�F�^4K�2=�/>�D43�3!uV3O�CP�u K�243b59UVFHj=FQF�6?;4K�s@D4696?j4K'o4D43��vj4K�K�2=PTCP 3�5?LM:<B.�

®�-gf9-���- TM:<NO243quV:<:VEOPQAMF�K�24: `�E!6ysyWOj.^=5_D=A�LM:<B.ACBi24:V:VU<F�2=P]o?TC^=FHLM:<LM3�^4K�2=�vj=6bK�D�3OLMS �vLM:VFHTMF�:/LM3b8!: u<^?D=A=-®�-gf9-��!-���:<:<LM3�h@T$:/NO24o4D4:)S¢E!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5kDt®�-gf9-�f9-!24:<:VUVF�2=P}3OLCS��vj4K�N�UVFQWlD4FHG|StLC^!-®�-gf9-g�9- � ��^=5�u K�243b59UVFHj=FQF 6?;4KHF\3OLCS F�DJKHF�D4:<S|D=ACG ��^4K�2=�!LCStLM:<LMFHLM6bK�L�>@j=3bF�2=P >�D43 6?TMF 1 �43ah~j=3�F 3�5�u<:Vo=243

�CPHD46|D4696?j4K�6?L$KH8!:VWOLMF�EO^=5bD43lDJ>!>�D�D� � KHTCPQAMWlD4:<S|D=A$>�D�s�WlD¢PQLCS 1!ª >~G=: 3.ª >@L4s9PQLCS 3?ª >@B=:1Oª >�D�3OLCS

Page 39: feladatok kombinatorika

������� ������ � � �o?LCACL$Fru K�243b59UVFHj=FQF �!FR-5��E!FHD=PQP�E!6 S�LM^!s�WOj.^=5LCA{Dq�vLM:VFHTMFHLM:ZL$:/TC^.P�TC^.LCP�u/PCs o4D=^=59u<P¢FHLMFQPQACB=:<LC^.LCP�6?TMFuV:<5?LM3nh~j=3�F�WOj.A�o4D43nj=:V5bD43qLCS�L$:/LMFQLM6�K�L�>@j=3bF�2=PCsOS�LM:V5�>~LM3qLC^=5iK�TMPQAMWlD4:<S|D=A$>�D�F�DJKQFHj.AM3lD46~-

®�-gf9-���- � )�®�-gf9-\PQARD464D=PQAio?TC^.TM3 :d24FHj=F�F�D4:/^.j4KQu<FHS¢EOPtDk:<LMWOLMFHB�:/LM^=FH;4>!> XmEO^=5bD43!u/P�3�NODJK�DJ>yc�K�TCPQAMWlD4: ªS|D=A�K�D >~j=3�FQj=FQF�D �ª FR-.�qu@:<LMWOLMF}D=A'LCS�LM:<LMFHL$6�K�L�>@j=3bFQWlD4FHG�uVK�243�5�U<FHj=F�F]^4K�2=�vj=693l24:�D¢K�TCPQA$WlD4:/S�D=ACj=6PQAR2=S�243lD46{StuV3!u/S¢EOS�D?e

®�-gf9-g�9- 8 LC^=5?LM3{LC^=5t�yª«LM:<LCS¢[7WlD4:<S|D=A � � NODJK�DJ>iKHTCPQAMWlD4:<S|D=ARD LC^=5 � � uVK�243b59UVFHj=FQF�^4K�2=�yh@j=3bFQWlD4:<S|D=ARDTCP�D=A�� ���pK�TCP�AMWlD4:/S�D=AR243lD46�S�LC^.�vLM:<LM:<B ' � ( h@j=3bFHj=6q6?;.AC;=FQF�D4696?j4K�TMP��CPHD46�D46�6?j4K�o?LCACLCPQP�LM3TM: sWlD � ��� TCP � � � ��¨ � � � ��- �qE!F�D=PQP�E!6{S�LM^!s9WOj.^=5�� � ª >@LM3_3!u<3O�MP u K�243b59UVFHj=FQF 6?;4K�s�S|D `QN_D=N�`�E!6S�LM^�StuV3ONqS|DJ¬9u/S�24:<u<PaPQAC2=S¢��s�Sru<3ONnSru<3!u<S|24:Vu<P�P�AR2=S¢�qLCStLM:/L$FHLM6�KHL�o4D4:/Gt>~j=3�FH2=PH24FR-

®�-gf9-�­�- -�L$69uV3�FHP 8!3!6kLM:�D=A�LM:/B.AMB|�vLM:/D=NOD4F�>�D43�PQACL$KHL$hO:/B � � ^4K�2=�/>�D43qD=A�TM:<LM6{uVK�243�5�U<F�2=PQ24FHG=: -X D?c{0'D4F�2JKHj.ACAME!6{S�LC^�Dr6?LM:<LMFQ6?LMACB�u K�243�5�U<FHD4FQ:dD43�^4K�2=��TM:<LMuV3OLM6qPQAR2=S�24F��Xm>ycM�qE!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5kDr^4K�2=�\h�2JKHj.P[�XY��cMI�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6_>~L=s!WOj.^=5{o4D43_>~LM3!3OL�FHL$: `QLCP h�2JK�j.P�UVF�2=P[�

®�-gf9-�®�- � �KHG4>�24: `HD�StLC^N!L��O3!u/24:<3!u'LC^=5�P�UV6�>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG uVK�243�5�U<FHj=F�Fi^4K�2=�aN�El24:Vu/PQ243lD46©uVK�243b59UVF�2=PH24FC-8 LMWOLMFQ3OL$ª L Dt^4K�2=��u/PMslN�El24:Vu<PHD|u/P]j=:<5bD43�s!WOj.^=5{LC^=59uV6{PQLCS�F�DJKHF�D4:<S|D=A'u K�243�5�U<FQj=FQF}6?;4KHF�e

� �5�!(��]� ��&'�9�\�"�

®�-���-/,.-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6|StLC^�D ®�-gf9-�2J>!K�2437:/24FQWlD4FHG ^4K�2=�vj=6�24:<FHD4:~PQACLMSt:<TM:<FQLMFHLMFQF FHLMo?T$6?LM3�59PQTC^.LM6�WOLCA�PQAM8!6bªPQTC^.LMP]u<N!B=F��

®�-���-gf9-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6�S�LC^ ' �d8O^.^=o?T$3�5?T$>~LM3 Dn®�-���- 2J>!K�243�:d24F�WlD4FHGk^4K�2=�vj=6�24:VF�D4:�PQACLCSr:/TM:VFHLMFQLMFQF FHLMo?T�ª6?LM3b5�PQTM^=WOLCA¢PQAM8!69PQTC^.LCP u/N!B=FC--" ' 7�¦/#

� �

��

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ���

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �����������������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �

� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

'�¨

� ¨�� � �

'

�¨

' �¯

� ��

°�

°

®�-���- �}>!K�D

®�-���-���-Z0'D4F�2JKHj.ACAME!6�S�LC^�X � TCP _�d8O^.^=o?TM3�5?T�>@LM3�ciD�®�- �!-�2J>!K�243©:/24FQWlD4FHG^4K�2=�'24:<F�D4:}PQACLCSr:/T$:<FHL$FHLMFQFFHLMo?T$6?LM3�59PQTC^=WOLCA�PQAM8!6�P�TC^.LCP}u<N!B=FR-" ���� 7�¦/#

Page 40: feladatok kombinatorika

� � � ������� ������

��

� �

��� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

�� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ���

��������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

��������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � ������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �����������������������������

'

¨

¨

¯�

'

� �

'

'�

� � ¨

#

��

� �

� �

� �

� �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ���

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

�� � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

��������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

� �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� � ��� �� � �� � ��� �� � �� � ���

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������

������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � �����������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

�'

°�'

¯

��

¨

'

#

¯

� °

¨° ¯

®�-gf9- �}>!K�D

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � �� ��� �� ���

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �� ���

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �� ���

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �� ���

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

¨

¨

®�-��!- �}>!K�D

®�-���-��!-�X �vj=:V59FC-gc ��L$:<57K�TCPQAM�vLM:dD=NOD4FQj=6_6bKHu<F�u<6�EOPHD46Oe®�-���-g�9- � # PQStTMFHLM: `�8!6nStLC^|D=A�LM:<B.ACB�6?TMFZh@TM:<NO24FRsOWlD � " � � �<#�T$KHFHT$6?TMF¢,Mª K�B=: �Jª K�D�o=24:VFHj.AMF�D4Fv`�E!6~-®�-���-���-���S�LM:<LMFHLM6bK�L�>~j=3�F�WlD4FHG4ª«L�D�®�-g�9-O2J>!K�243n:d24F�WlD4FHGtu K�243b59UVFHj=FQFa^4K�2=�He

� �l�#"$*�+ �9� � 4�� � - ���

,�w�-/,.-/,.- 8 LC^=5?LM3 0"�� # � * 3 � � ,�,�, �43 � ��� ,?- 3 ��TCP3���6?;.AC;=FQF�D4696?j4K�TCP �CPHD46�D4696?j4K o=D43�TM: sxWlD � ��§ � � $ #9-��LM3!3b59u � 6bK�j.S|D4FQuV69EOP PQAR2=S�D�s���"�� #Qe

,�w�-/,.-gf9- 8 LC^=5?LM3OL$6 � �CP��O�CPHD4u�D=Ak;.PQPQAMLCP�FHL$KHS�TCPQAMLMFHLCPiPQAC2=S�j=6�TCP�:<LC^=5?LM3�D=Ak�1TCP|£ �CP��O�CP|T$:<:<LM:;.PQPQAMLM6?;=FQo?L�h~j=3�FQj.PHD43qD46�6?j4K�s�WlD�����£¥h�2JK�D4FQ:/D43�-l0'D4FH2JK�j.ACARDrS�LC^���"�� # ª F[�

Page 41: feladatok kombinatorika

������� ������ � � ��

���

��

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� �

����������������������������������

����������������������������������

����������������������������������

����������������������������������

����������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � ��������������������

��������������������������������������� � � � � � � � � � � �� � � � � � �

��������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������� �����������������

���������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������

���

����������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������

�������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������

�������������������������������� �������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� � � � � � � � ���������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � ��������������������

®�-g�9- �}>!K�D

,�w�-/,.-���- # ^?D=A�ª«L=s�WOj.^=57WlD�LC^=5�� ^4K�2=� �D"�� #�6�KHj.S|D4FQuV69EOP PQAR2=S�2JK�DrTMP � "�� #�6�:<uV6969PQAR2=S|2JK�DrFHLM: `QLCP�8!: sWOj.^=5 ��" � #�� � " � #$s?D46�6?j4K#>~LMWb�OAMWlD4FHG=6 �'ª >~L}�x`�TM:<LM6r�O^=5?s=WOj.^=5tD�6?LM:<LMFQ6?LCAMB����l^4K�2=�/K�D ��"�� #���D"�� � #�� � "�� � #�FHLM: `QLCP�8!: `Q;=3�e

,�w�-/,.-��!- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6q>~L=syWOj.^=5�StuV3ON!LM3�� h~j=3�FQ��^4K�2=�/K�D �D"�� #J$ ¨ ���n§ � "�� #$s@D4WOj=: � " � #aD��^4K�2=� S|DJ¬�u<S|24:Vu<PaLM:<LCS�PQAC2=S¢���d8O^.^.L$FQ:/L$3kh@j=3bFQWlD4:<S|D=AR24F `QLM:/;=:Vu*�

,�w�-/,.-g�9- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5{StuV3ON!LM3�^4K�2=�/>�D43 ��"�� # �D"�� # 7 � +"�� #����,�w�-/,.-���-�0'D=^=5R`�E!6�LM:bLC^=5 �4� h@j=3bFQ��FHLM: `QLCP ^4K�2=�/>~G=:?LC^=5'0'D=StuV:<FQj=39Ib6?;4K�TM3OLM6�TM:<LMuVF�����LM3!3b59u9D�6?LM:/L$FQ6?LCACB

^4K�2=�\6�K�j.S�D4FQu<6�EOP]P�AR2=S|D?e�z�PZWlD�LC^=5 �4���1¨�h~j=3�F��q^4K�2=�/>@G=:�uV3ON�E!:<E!3!6_69ude,�w�-/,.-g�9- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5{StuV3ON!LM3���h~j=3�F�� ��^4K�2=�/K�D��D"�� #.7©��� � " � #J�,�w�-/,.-�­�- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=5{StuV3ON!LM3���h~j=3�F��q^4K�2=�/K�D ��"�� # �D" � # 7©� �,�w�-/,.-�®�-�8 LC^=5?LM3�D ��^4K�2=��h@j=3bFm`HD4uV3lD46�vj=6�PQAC2=S�PQj4K�j.ACD4F�D � � 7 � � 7 � � � 7 � � -5I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>@L4s

WOj.^=5 ��" � # $ ¨������� � *���� * � � � �@§©¨ , ,:�,�w�-/,.-/,�w�- -�LC^=5�8!6��vLM: s WOj.^=5 � Sru<3ON!L$3�TM:<L{:<LC^.�vLM: `QL$>!>�LM^=5�6?;4KQ>@L$3 o4D43 >@LM3!3OL=-OI�u<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L4s

WOj.^=5{LM696?j4K �D"�� # $ '��,�w�-/,.-/,.,.- )�N!j=FQF'DiP�UV6?j=3�LC^=5?LM3OLCP�LM6�LC^=5nWlD4:<S|D=ARD�s~D=S�LM:V5?LM6n6?;.AM8!: PQLCS�L$:<5�u<6B'|3OLCS¥StLC^=5�24F�LM^=5

h@j=3bFHj=3�- 8�LC^=5?L$3OLM6 D � ^4K�2=��h@j=3bFm`HD4u D=A�LC^=5?LM3OLCP�LM6 S�L$FHPQACTCP h@j=3bFm`HD4u sa6?T$FkuV:<5?LM3 h@j=3bF�D46�6?j4KPQACj.StPQACTCN!j.PMsbWlD�LC^=5�LC^=5?LM3OLCP�LM37PQACj.StPQACTCN!j.P�S�LMFHP�ACTCP h~j=3�FHj=6y- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s.WOj.^=5 �D"�� # $ '%�

,�w�-/,.-/,xf9-p��^=5 � � � " � � #tTCP � � � "� � � #r^4K�2=�aE!3!u/G�`HD D � � � � � � " � � � � #t^4K�2=�«-I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6{>~L=slWOj.^=5 �D"�� � � � � # $ �D"�� � # ��" � � #J�

,�w�-/,.-/,���- I�u<ACj=3b59UVFHP�E!6�>~L=s WOj.^=5�Sru<3ON!LM3�^4K�2=�d3lD46 PQj4K�>�D�K�LM3ON!LCAMWOL$FHB=6��O^=5�D�h~j=3�Fm`HD4u s�WOj.^=5 WlD

Page 42: feladatok kombinatorika

� �+� ������� ������L$>!>~LM3�DtPQj4K�K�LM3ON9>@L$3�PQAMUV3OLCACAM8!6nDt^4K�2=�vj=F]S�j=WOG�D4:/^.j4KHuVFHS¢EOPQPQD4: syD4696?j4K ��"�� #ZP�AMU<3bFaWlD=PQA$3l24:<E!3!6+�

� �5�l"���+ (�4��l�#"$*�+

,�w�-gf9-/,.- )�N�`�E!3!6kj=:V5bD43n3OLCSph@L$KH�vLM69F]^4K�2=�vj=FRslD=S�L$:<5bK�L �D"�� # � � "�� # �,�w�-gf9-gf9-98 2=PQP E!6{>~L=s!WOj.^=5_LM^=57h�2JK�D4FQ:dD43k6?;4K}6?j.S�hO:/LCStLM3bFHL$K�L�3OLMS�h~L$K��vLM6�F��,�w�-gf9-���- ��^=5�^4K�2=�vj=F � � � � ��� ������� ��� � ��� ���� �� � � 3OLMo?LCAM8!3!6ys�WlD{TM:<LMu F�K�D43OAMuVFQUVo=D43�u K�243b59UVFQWlD4FHG?D46ys

D=ARD=A WlD " ' � ( # �TCP�" ( � �/# is�D4696?j4K�" ' � �/# �u<P�FQLM: `QLMP�8!: `Q;=3�-"I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6q>~L=s~WOj.^=5�D=A;.PQPQAMLMWlD=PQj=3!:VU<F�2=P u)^4K�2=�vj=6|h@L�K��vLM69FQLM6��

,�w�-gf9-��!-���^=5 ��^4K�2=� �G"�� # ����� ���� ��� � rh@j=3bFm`HD4u�:/LC^=5?L$3OLM6 D ��^4K�2=��TM:<LMu - ��" � # ª >@LM3¢6?T$F h@j=3bF D46�6?j4KTCP��CPHD46�D46�6?j4K�o4D43�;.P�PQACLM6?;=FQo?L4s~WlDkDi3OLM69uV6�S�LC^.�vLM:<LM:<BqTM:<LM693OLM6 ��ª >@L$3�o=D43�6?;.AC;.P'o?TC^4h@j=3bFm`�E!6y-I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6{>~L=slWOj.^=57Sru<3ON!L$3 � h�2JK�j.P]^4K�2=� �G"�� #�TM:<^4K�2=� `HDrh~L$K��vLM6�F��

,�w�-gf9-g�9- 8 LC^=5?LM3�� � TMP � � h~L$K��vLM6�FZTCP�FHLC^=5�8!6��vLM: s9WOj.^=5 � � � � � LC^=5rFHLM: `QLCPZ^4K�2=�«- 8�2=PQP�E!6r>@L=sbWOj.^=5� ��� � � h@L�K��vLM69F}^4K�2=���

/�� +L�'% ��%��9�\*�� /'% ( � 4 ���#"$*�+ +L�l*��p% (!��+L�'�i�������p%

,�w�-���-/,.-C8�LM^=5?LM3 �pLC^=5�P�UV6�>�DJK�D `QAMj=:<WlD4FHGk^4K�2=�«- �qu<:V5?LM3T$KQFHTM6?LM6?LMF�o?LMWOLMF��vLM:�Di6�K�j.S�D4FQuV69EOP'PQAR2=S�D�s�D"�� #QeiX TM:/NO2464D4F}u<P}S¢E!FHD=PQPQj=3�D�:/LMWOL$FHPQTC^.LCP�T�KHFHTM6?LM6�WOLCAT��c

,�w�-���-gf9- I�u/AMj=3�5�U<FHP E!67>~L=s9WOj.^=5iLM^=57P�U<6b>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG�^4K�2=�@F�DJKQFHj.S|243b5bD4uyh@j=3bFHj.PHD43kD4696?j4K�PQAMUV3OLCAMWOL$ªFHB!6 �rP�AMU<3!3OL$: syWlDrStuV3ON!LM3nh@j=3bFa�vj=64D�h�2JKHj.P[�

,�w�-���-���- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!61>@L©X D �JI�PQAMUV3 FHTMFHL$:�3OTM:V698!:dc$s}WOj.^=5�WlD�LC^=5 P U<6b>�DJK�D `QACj=:<WlD4FQG�^4K�2=�/>�D43 o4D430'D=StuV:VFHj=39Ib6?;4K�slD4696?j4K F�DJKHFQj.S|243b5bD4u �JI�PQAMUV3!3OLM: PQA$U<3OLCA$WOLMFHB=6��

,�w�-���-��!- )�N�`�E!3!6�j=:<5bD43�h~j=:<uV3Oj.Stu/24:<u<P_D4:/^.j4KHuVFHS¢EOP�FCs�D=Stu]LC^=5�P�U<6b>�DJK�D `QACj=:VWlD4FHG�^4K�2=�}h@j=3bFm`HD4u<F��O^=5K�LM3ON!LMAMu�P�j4KQ>�D�slWOj.^=57L�>!>@LM3�DrPQj4KQK�LM3ON9>~LM3�DtStj=WOG�PQA$U<3OLCAMTCPa:/LM^.�vLM: `QL�>!>¯rPQAMUV3�FaWlD=P�AM3l24: �

� ��+F��*��p%)(O��+F�'�|�������

,�w�-��!-/,.- ��L$3!3�5�u ��� " � � � #ZTCP ��� " � � � ��� #Qe

Page 43: feladatok kombinatorika

������� ������ � � �,�w�-��!-gf9- ��L$3!3�5�u D=A�TM:V6�K�j.S�D4FQu<6�EOPaPQAR2=S�DtLC^=5 � I?K�LC^=E!:/2JKHu/P h�2JK�j.P]^4K�2=�d3lD46Oe,�w�-��!-���- IZu<ACj=3b59UVFHP�E!6{>@L=s!WOj.^=57WlD � h�2JK�j.P]^4K�2=�«slD4696?j4K � � "�� # � � " � #J�,�w�-��!-��!- ��L$3!3�5�u D LMFHL$K�P�LM39I�^4K�2=� XY:<N@-�f9-���-O2J>!K�D?c�TM:V6�K�j.S�D4FQu<6�EOP}PQAC2=S|D?e,�w�-��!-g�9- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6 >~L=snWOj.^=5¥WlD � K�LC^=E!:/2JKHu/PMs�N!L 3OLCS ��I�PQAML$K�LCPQL$3 ;.PQPQACLM�d8O^.^.B!s�D4696?j4K��� "�� # � � "�� #J�

� � �F� � �Q� �2�l*���� - �p�#+

,.,.-/,.-/,.- )�N�`�E!3!67h@j=:Vu<3Oj.S�K�LM3ON�8�D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�F'D43!3lD46{LM:<N!;=3bFHTCPQT$KHL=s�WOj.^=5�� "�� #.7 '�FHLM: `QLCP�8!: ª«L=-,.,.-/,.-gf9- �qE!F�D=PQP E!6�S�LC^!s�WOj.^=5�D©,.,.-<,.- - 2J>O:/2=ARD4F ��� ��� � � � � � �� � �� � � PQAML$K�L$hO:<B��vLM:/D=NOD4F����I

FHLM: `QLCPC-,.,.-/,.-���- 8�2=PQP�E!6�>@L=s�WOj.^=5�D�,.,.-<,.- -�2J>O:d2=ARD4F �� ��� � � � � � �� � �� � �©PQACL�K�L$hO:<B��vL$:dD=NOD4F����I?>@L$:<u�TCP

WOj.^=573OLCS�:/LMWOL$F}3OLMWOLCAML$>!>\s~StuV3bF�D|f9-!StLC^C`QLM^=5�ACTCP >@LM3�PQAML$K�L$hO:<B!-,.,.-/,.-��!- ��LCACLCP�P�8!6�o9u<PQPQACD D�0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4K7:<TMFHLCAMTCPQT$K�L�o?j=3lD4FQ6?j.ACG�h!K�j4>O:/TMS|24F{D=A�D=N!j=FQF|6?T$F�h@j=3bF

6?;.AC;=FQF�u�0'D=StuV:<FHj=39Ib�!F]:/T$FHLCACTCP�T$K�L¢o?j=3lD4FQ6?j.ACG h!K�j4>O:<TCS|2JK�DqXYu K�243�5�U<FHD4FQ:dD43�^4K�2=�vj=6{6?;4KHT$>@LM3�c �,.,.-/,.-g�9- ��LCACLCP�P�8!6¢o9u<PQPQACD�D=A�D=N!j=FQF 6?TMF\h@j=3bF 6?;.AC;=FQF�u90'D=Sru<:VFHj=39Ib�!F):<TMFHLCACTMPQT$K�L�o?j=3lD4FQ6?j.ACG h!K�j4>O:/TMS|24F

Dt0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4K}:/TMFQLCACTCPQT�K�L�o?j=3lD4FQ6?j.ACG�h!K�j4>O:<TCS|2JK�DnXYuVK�243�5�U<F�D4F�:dD43q^4K�2=�vj=6{6?;4KHT$>@LM3�c �,.,.-/,.-���- ��LCACLCP�P�8!6�o9u<PQPQARDnD=A u K�243b59UVF�D4FQ:/D43^4K�2=�vj=6�0'D=StuV:VFHj=39Ib6?;4K�TM3OLM6�:<TMFHLCACTMPQT$K�Lro?j=3lD4FQ6?j.ACGih!K�j4>!ª

:<TCS|24FaD=A�u K�243b59UVFHj=FQFa^4K�2=�vj=6iuVK�243b59UVFHj=FQF}0'D=StuV:<FQj=39Ib6?;4K�TM3OLM6{:/T$FHLCACTCP�T$K�L¢o?j=3lD4FQ6?j.ACG h!K�j4>O:<TCS|2JK�D�-,.,.-/,.-g�9- � ��LCACLMPQP�8!6{o9u<PQPQARD|D=A'u K�243�5�U<FQj=FQFaLCP�LMFHLMF]u/P}D=A�u K�243b59UVF�D4FQ:/D43�K�D �,.,.-/,.-�­�- -�LM^=598!6�vLM: s)WOj.^=5�o4D43�LC^=5 LM: `H2JK�2=P�E!3!6ys S�LM:V5 LC^=5�FHL$FHPQACB=:<LC^.LCP �¥^4K�2=�/K�DqS�LC^.Stj=3ON�`HD�s

WOj.^=5�o4D43�ª«L ��ª 3OLM670'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4KHL=- ��LCACLCPQP 8!6io9u<PQPQARD �ª K�LaD=AMF D �vLM:dD=NOD4FQj=FRs9WOj.^=5 ��o4D4:/D=S�LM:V59uV60'D=StuV:VFHj=3�ª 6?;4K�T$FaS�LM^tu<P]6?LM:V: FHD4:d24:V3!u -

,.,.-/,.-�®�- 8 LC^=5?LM3¡ � '�- �qE!F�D=P�P�E!6�S�LC^!s~WOj.^=5qWlDi:/L$3!3OL�j=:V5bD43�h@j=:VuV3Oj.S K�L$3ON�[D4:<^.j4KHu<FQS¢EOPCs�S�LM:V5LM:<N!;=3�FQLM3OT�LC^=5k^4K�2=�/K�G=: slWOj.^=5k¡kPQAMUV3!3OLM:)PQAMUV3OLCAMWOL$FHB4ª«L=s�D46�6?j4K�j=:V5bD43�D4:<^.j4KHu<FQS¢EOPau/Pa:<LM3!3OL=s@D=StLM:V5D��rPQAMUV3!3OLM: P�AMU<3OLMAMWOLMFHB.PQTM^.LMF'N!;=3�FQLM3OT¢LM: -

,.,.-/,.-/,�w�- 8 LC^=5?LM3 � LC^=5�j=:V5bD43 PQAME�>!KHE!F�u<3�s S�L$:<5�FHLMFHPQAMB=:/LC^.LMPr��h~j=3�F���^4K�2=�/K�G=:�StLC^.S�j=3ON�`HD�s\WOj.^=5o4D43�ª«L >~LM3!3OLa��� ��N9>7�d8O^.^.LMFQ:<LM3ih@j=3bFR-.��TCPQAMUVFHP�8!3!6�j=:<5bD437D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FRs�D=S�L$:<5���h@j=:Vu<3Oj.S�ª«PQAC2=S¢�W!UVo=2=PH24o4D4:\F�D4:d24:\LC^=57uV:<5?L$3��d8O^.^.LMFQ:<LM3kh@j=3bFQWlD4:<S|D=AMFCslWlD�LM^=5b24:<F�D4:/243n:<TMFHLCA$u<6+�

,.,.-/,.-/,.,.- -�LM^=598!6r�vLM: s�WOj.^=5ro=D43iLM^=5�j=:V5bD43�� h!K�j.^4K�D=S¢E!3!6~sbS�L$:<5�LC^=5r�nPQAC;.^4h~j=3�FQ��� uVK�243�5�U<F�D4F�:dD43

Page 44: feladatok kombinatorika

� � � ������� ������^4K�2=�/K�G=: � u/N!B.LM^=5�PQTC^nD4:dD4FQF�S�LM^.S�j=3ON�`HD�s@WOj.^=5�69u<PQAMUV3OLCAMWOLMFHB4ª L7�{P�AMU<3!3OL$: - - L$KHo?LCACAMLM3j=:V5bD43 ��ª FWlD=PQAM3l24:<GD4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FRs#S�LM:V5 h@j=:Vu<3Oj.S u/N!B4>~LM3�S�LM^=F�D4:d24: `HD � LC^=5 �Jª«P�AMU<3OLMACTCPQTMF�XmWlD�o4D43�uV:<5?LM3LC^=5b24:VF�D4:/243�c �

,.,.-/,.-/,xf9-���^=5 � uVK�243�5�U<F�D4F�:dD43�^4K�2=�vj=F�f�Ib:/L�>@j=3bFQWlD4FHG=3lD46q3OLMo?LCA$8!3!6~s@WlDih~j=3�F�WlD4:/S�D=ARDkD=A¢8�K�LMP�WlD4: ªS|D=AMAR2�K�LCN�E!6424:<WlD4FQG�D=AnD4:d2J>!>Oua:<T$h~TCP|u/P�S�TMFHL$:<F7o?TC^4K�L$WlD `�FH2=PH2�o4D4:�� P ��ª >@B=:aLM^=5�FHL$FHPQACB!:<LC^.LCP|:<LC^4ª�vLM: `QL$>!>�S|2=PQj�N!�vj=69��h@j=3bF D_�MPHD4FQ:/D46?j.ACGkTM:<LM6�6?LM:�LM^=598!FQF'FH;4K�;=:VWOLMFHB!- R��3��E!FHD=PQPHDkStLC^!s@WOj.^=5�Dnf�I:<L$>@j=3bFQWlD4FHG¢^4K�2=�vj=6�h~j=:<uV3Oj.S u<N!B�>@LM3|�vLM:<u<PQStL$KHWOLMFHB!6y- �bD�o4D=PQj=: `Qj=3iFHj�o=2J>!>�2�WlD4FQTM6?j=3�5tD4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FD=A'u<:V5?LM3�^4K�2=�vj=6_�tP�AMU<3!3OL$:�o4D4:/G|P�AMU<3OLMACTCPQT$KHLT�

,.,.-/,.-/,���-8P ��D43�ª«L'LC^=5{^4K�2=�/>�D43q¡?I?h@j=3bFQ�nFHLM: `QLCPZK�TCPQAC^4K�2=�He�R?�qu�LM3!3OLM6kD�h!K�j4>O:<TCS|243lD46kD¢>@j=3b5?j=:<E!:VF�ªPH2=^?D�s!WlD|¡ �!¬le�z�P]WlD|¡iu/PZK�TCPQAML D=A�uV3�hOE!FQ3lD46!e

,.,.-/,.-/,R�!- -�LM^=598!6��vLM: s4WOj.^=5�o4D43 LC^=5 ��LM: `H2JK�2=P�E!3!6~s=StLM:V5¢LC^=5�u<3�hOE!F ^4K�2=�/K�D�,�6?;=:VFHPQTC^.^.L$:9StLC^.S�j=3ON�`HDD�^4K�2=�/>�D43�:<LMo?B�S�DJ¬�u<S|24:Vu/Pr69:Vu<6�6�X L$6Oc�S�T�K�LMFHTMFC- -�L$KHo?LCAMACLM3©LC^=5 j=:V5bD43�s D � LM: `H2JK�2=P�F�WlD=PQA$3l24:/GD4:<^.j4KHu<FQS¢EOP�FRslS�LM:V5{h~j=:<uV3Oj.S u<N!B4>@L$3nF�D4:/24: LM^=5_S�DJ¬�u<S|24:Vu/P]69:Vu<6�6?LMFaD=A�u<3�hOE!F}^4K�2=�/>�D433�

,.,.-/,.-/,x�9- � # ^?D=ACj=: `�E!6~s@WOj.^=5�D P�WlD4FH2JK�j.ACARD{S�LC^_LC^=5 ��^4K�2=�/>�D43 D_S�DJ¬�u<S|24:Vu/P�FQLM: `QLMP�K�TCP�AC^4K�2=��StT$ªK�LMFQTMF R{�vLM:dD=NOD4F|XY:<N@-),.,.-/,.-<,���-�u<P�c]h@j=:Vu<3Oj.S u<N!B!>~LM3�StLC^.j=:<N�WlD4FHG!s~WlD�� LM^=5qu<3bFHL$KHo4D4:V:<EOSt^4K�2=��XY:<N@-�9-gf9-��?c �7 ������� � � ��� � � � � ��� � � � � � ��� ��� ��� ��� � � � ����� � ��� � � � ����� ���

,.,.-/,.-/,���-# 3�hOE!F � ��^4K�2=�«slD=S�L$:<5b>@LM3n3!uV3O�CPa0'D=Sru<:VFHj=39Ib6?;4K�slTCP LC^=5�� LC^.TCPQA�PQAR2=S

��T�K�N!TCP+�a��DJhOWlD4FHG4ª«L ��ª >@B=:�:<LC^.�vLM: `QL$>!> � TM:@WOj.AMAR24o?TMFHLM:<TMo?LM:\j=:V5bD43n^4K�2=�«sOD=StLM:V5�>@L$3ko4D43k0'D=Sru<: ªFHj=39Ib6?;4K�e

,.,.-/,.-/,x�9-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #

��T�K�N!TCP+�G8 TMFHLCA$u<6bª«L�j=:V5bD43 ��ª >@L$:<u\6?;4K�slD=Stu ��StuV3ON!LM3nh~j=3�Fm`H243q24FHS�LC^=5!e,.,.-/,.-/,�­�-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #��T�K�N!TCP+�G8 TMFHLCA$u<6bª«L�j=:V5bD43 ��ª >@L$:<u\6?;4K�slD=Stu 0"�� #)§ ��Sru<3ON!L$3nh@j=3bFm`H243�24FHStLC^=5Oe

,.,.-/,.-/,�®�-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #

��T�K�N!TCP+�G8 TMFHLCA$u<6bª«L�j=:V5bD43 ��ª >@L$:<u\6?;4K�sOS�LM:V593OL$6kSru<3ON!LM3nh~j=3�Fv`HD � ª >@LM:Vude

Page 45: feladatok kombinatorika

������� ������ � ��,.,.-/,.-gf=w�-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #��T�K�N!TCP+�G8 TMFHLCA$u<6bª«L�j=:V5bD43 ��ª >@L$:<u\6?;4K�slD=S�LM:V5_StuV3ON!LM3 � ª >@LM:Vu�h@j=3bFHj=F]FHDJKHF�D4:<S|D=A�e

,.,.-/,.-gf9,.-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � h~j.AMu<F�U<o_LC^.TCPQA�PQAR2=S

��T�K�N!TCP+�G8 TMFHLCA$u<6bª«L�j=:V5bD43n6?;4K�slD=StLM:<5{Sru<3ON!LM3nh~j=3�F�FHG=:�:/LC^.�vL$: `QL$>!> � F�24o?j=:<PH2=^4K�D�WlD4:dD=Nle,.,.-/,.-gf.f9-

# 3�hOE!F�� � ^4K�2=��TMP 1 �43 0"�� #��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L�j=:<5bD43k0'D=StuV:<FQj=3�ª 6?;4K ��ª >~LM3�s�StLM:V5�>@L$3&1qTCP 3|3OLCS�PQACj.StPQACTCN!j.PQD46Oe

,.,.-/,.-gf=��-# 3�hOE!F � ��PQPQACLM�d8O^.^.B!s�� � °.¡ih@j=3bFQ�q^4K�2=�

��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L �'ª >@LM3kh~j=3�FQj.PHD43�¡7WOj.P�PQAM�q6?;4K$e,.,.-/,.-gf4�!-

# 3�hOE!F � ��PQPQACLM�d8O^.^.B!s�� � °.¡ih@j=3bFQ�q^4K�2=���T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L �'ª >@LM3n:<LC^?D4:/2J>!>�¡7WOj.PQP�AM�q6?;4K$e

,.,.-/,.-gf.�9-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � <"�� #

��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L �'ª >@LM3qj=:V5bD43n6?;4K�s!StLM:V5��Mª F]F�DJKHF�D4:<S|D=AMARD?e,.,.-/,.-gf=��-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � <"�� #��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L �'ª >@LM3qj=:V5bD43n6?;4K�s!StLM:V5��Mª F]3OLCS�F�DJKHF�D4:<S|D=ACACD?e

,.,.-/,.-gf.�9-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #

��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L ��ª 3OLM6|j=:<5bD43{�vLCPQA$U<FHB.�m2H`HD�sOStLM:<5�3OLM6iLM:<PQB.�vj=6��{h~j=3�Fm`HD4uV3lD46 WlD4:<S|D=AR2JK�D � ��e,.,.-/,.-gf=­�-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L ��ª 3OLM6|j=:<5bD43{�vLCPQA$U<FHB.�m2H`HD�sOStLM:<5�3OLM6iLM:<PQB.�vj=6��{h~j=3�Fm`HD4uV3lD46 WlD4:<S|D=AR2JK�D � ��e

,.,.-/,.-gf=®�-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � �� 0"�� #

��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L ��ª 3OLM6|j=:<5bD43{�vLCPQA$U<FHB.�m2H`HD�sOStLM:<5�3OLM6iLM:<PQB.�vj=6��{h~j=3�Fm`HD4uV3lD46 WlD4:<S|D=AR2JK�D �� ��e

Page 46: feladatok kombinatorika

�+��� ������� ������,.,.-/,.-��.w�-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � h~j.AMu<F�U<o_LC^.TCPQA�PQAR2=S��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L �'ª >@LM3qj=:V5bD43q�vLCP�AMU<FQB.�mD�syS�L$:<5b>@LM3�D h�2JK�j.P}�vj=6��_h~j=3�FHj=6{PQAC2=S|Dr:<LC^?D4:/2J>!> ��e

,.,.-/,.-���,.-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � h~j.AMu<F�U<o_LC^.TCPQA�PQAR2=S

��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L �'ª >@LM3qj=:V5bD43q�vLCP�AMU<FQB.�mD�syS�L$:<5b>@LM3�DrS|DJ¬9u/S�24:<u<Pa�vj=6�P�AR2=Sp:/LC^.�vL$: `QL$>!> ��e,.,.-/,.-��?f9-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP ' � ( 0"�� #��T�K�N!TCP+�a��u/P�AMU<3OLMAMWOLMFHB.LM6bª«L���h~j=3�Fm`HD4u�Wl2JK�j.S P�AMU<3!3OL$:\`QG=:��O^=5?s�WOj.^=5 ' TCP ( 698!:<;=3b>~;.ACB�PQAMUV3�[

:<LC^=5?LM3�e,.,.-/,.-��.��-

# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP ' � ( 0"�� #��T�K�N!TCP+�a��u/P�AMU<3OLMAMWOLMFHB.LM6bª«L ��h~j=3�Fv`HD4u�Wl2JK�j.S PQAMUV3!3OLM:C`QG=:��O^=5?sRWOj.^=5 ' TMP ( D=ACj=3Oj.P PQA$U<3b[�:/LC^=5?L$3�e

,.,.-/,.-��=�!-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP ' � ( � � 0"�� #

��T�K�N!TCP+�a��u/P�AMU<3OLMAMWOLMFHB.LM6bª«L���h~j=3�Fv`HD4u@Wl2JK�j.SpPQAMUV3!3OLM:9`QG=:@�O^=5?s9WOj.^=5 ' � ( TCP �r6�8!:/;=3?>@;.ACBtPQAMUV3�[:<LC^=5?LM3�e

,.,.-/,.-��?�9-# 3�hOE!F � � u K�243�5�U<FQj=FQFa^4K�2=� TCP � h~j.AMuVFQU<o_LC^.TCP�A�PQAR2=S

��T�K�N!TCP+�G8 TMFHLCA$u<6bª«L �'ª 3OL$6 � j=:V5bD43{h~j=3�Fm`HD�sOD=StLM:V57PQACL$K�L�h@LM:�XY3OLMSp�vLM:<FQTMFQ:<LM3�8!: EO^=5bD43lD=ACj=3�c�u K�2Jª3b59UVFHj=FQF 6?;4KQ>@L$3�e

,.,.-/,.-��.��-# 3�hOE!F � ��^4K�2=� TCP � h~j.AMu<F�U<o_LC^.TCPQA�PQAR2=S

��T�K�N!TCP+�# ^?D=A$ª L=s�WOj.^=5 � 24FHStT$K�B�`QLq3lD=^=5?j4>!> ��ª 3l24:ve©X )�A�24FHS�T$KHB�D�6?TMFi:<LC^=F�24o?j=:/DJ>!>Ou�h@j=3bFF�24o?j=:<PH2=^?D�sOD4WOj=: DrFH24o?j=:/PH2=^�Dr:<LC^4K�;=o�u/N!L$>!>��!F]WOj.PQPQARD�-�c

,.,.-/,.-��?�9-# 3�hOE!F � ��^4K�2=�

��T�K�N!TCP+�# ^?D=A$ª L=s�WOj.^=5 � >�2JK�S�L$:<5|6?T$F�h@j=3bFm`H243_24F�o?LCACL$F�6?;4K$etX ��2=P�h�2JKHj=6�K�D¢LCP�LMFQ:<LC^�S|2=P�6?;4K�-�c,.,.-/,.-��.­�-

# 3�hOE!F � � u K�243�5�U<FQj=FQFa^4K�2=�

Page 47: feladatok kombinatorika

������� ������ �+�����T�K�N!TCP+�# ^?D=A$ª L=s!WOj.^=5�� >�2JK�StLM:V5_6?TMFZh@j=3bFm`H243�24F o?LCACL$F]u K�243b59UVFHj=FQF}6?;4K�e

,.,.-/,.-��.®�-# 3�hOE!F �a��¤n�yª«LMPa¦'§�¨�LM:<LCStLM6�>~B=: 24:V:/G S|24F KHuV¬

��T�K�N!TCP+�a��u<o424:/D=PQAMFQWlD4FHG4ª L }ª >~G=:��kN9>�¨Mª«LCP��O^=5?s.WOj.^=5tStuV3ON!LM3{PQj4K�TMP�StuV3ON!LM3{j.PQAM:<j4hih@j=3bFHj.PHD43LC^=5?L$F]F�DJKQF�D4:/S�D=ACACj=3_6?;.AM8!:<8!6!e

,.,.-/,.-��?w�-# 3�hOE!F � � ^4K�2=�«s.StLM:V593OLM6tTM:<LMu : � ��: � � ,�,�, o4D4:/G.P�AMU<3b[OPQTC^.^.L$:~S�LM^=W!uV>�2=PQj�N!G�FHLM:<LC�vj=3bo?j=3lD4:dD46ys ' � (

0"�� #ZTMPa¦�; � ; ¨�o=D4:<G.P}P�AR2=S��T�K�N!TCP+� ��D43�ª«L�j=:<5bD43_�!F ' TCP ( 6?;.AC;=FQFRsOD=Sru�:/LC^.�vL$: `QL$>!> ��o=D4:<G.PQAMUV3b[OPQTC^.^.LM: W!u >�2=PQj�N�u<6kS�LC^be

� ��� � *��Q��4'*�� ��� 4�&���%�� 4�*���� (!� �'�i���_���"/���(2� �

,.,.-gf9-/,.-���L$K�LCP�P�8!3!6©S|DJ¬9u/S�24:<u<Pi�d8O^.^.LMFQ:<LM3©h@j=3bFQWlD4:<S|D=AMFth@j=:Vu<3Oj.S u<N!B�>@LM3�j=:V5bD43©^4K�2=�vj=6b>�D43�s�StL$ª:V5?LM6�>~LM3qStuV3ON!LM3qh@j=3bF]�vj=6=D�:/LC^.�vL$: `QL$>!>f��

,.,.-gf9-gf9-7�?LM:<;=: `QL ��D=A ��� ����

� ¨}LM^=5?LM3!:/L$F�[email protected]$u<FQUVotS�LC^.j=:<NO2=PH24FG" ����¨ � ' ��¨F#$-T)�N�`�E!3!6�6?j=3OP�F�D43OP�PQACj4K� � :<T$h@TMPQPQAR2=S¢�nD4:/^.j4KHuVFHS¢EOP�FCs!S�LM:V5i�nh@j=3bFQ�{^4K�2=�/>�D43{S�LC^=FHD4:d24:@LM^=5|S|DJ¬9u/S�24:<u<PZ�d8O^.^.LMFQ:<LM3_h~j=3�F ªWlD4:<S|D=AMFR-

,.,.-gf9-���- �qE!F�D=PQP E!6tStLC^!s=WOj.^=5�D�:d2=NODJh�D46?j=:/2=P�ugI?h!K�j4>O:<TCS|2JK�D�>~LCS¢E!F�D4FHj=F�F PQP u/LMFQB.P R¢D4:<^.j4KHuVFHS¢EOP�FHT$3�5bª:<LC^�:<LC^.�vLM: `QL$>!>�,�w.w�� W!u >�2Ro=D4:�N!j=:/^.j.AMuV6~-

/ �����p� ��� - ���\(

,xf9-/,.-/,.-FG9AR2=SrU<FQP�E!6|69u~D=AaLME!6�:<u<N!LCPQAMu D4:<^.j4KHuVFHS¢EOPZPQLC^=UVFHPQTC^.TMo?L$:\�=w=� TCPZ�?�.f�:<LC^=3lD=^=5?j4>!>_6?;.AC;.P�j.PQAMFQG4ª`H24F��

,xf9-/,.-gf9-Z0'D aj.P�AMFHG�`HD �?ª 3lD46~s9Sru<6iD :<LMWOLMFQPQTC^.LCP T$KHFHT$6?LMu�D �" ������� #$s9TMP]D ��" � � ���}§ ##:<LC^=3lD=^=5?j4>!>6?;.AC;.P j.PQAMFHG=6�3lD46Oe

,xf9-/,.-���- )�A � � ��� � � ,�,�, P�AR2=S�j=6 K�LM:/D4FQUVo h!KHU/StLM6~s?WlD�3!uV3O�CP�j=:V5bD43|LM^=593OTM:O3lD=^=5?j4>!>iP�AR2=Sks?S�L$:<5rStuV3ON9ªLC^=5�u<6�3OLM67j.PQAMFHG `HD�:/LM3!3OL4-��qE!F�D=PQP�j=3kWl2JK�j.Spj=:V5bD43_K�L$:dD4FQUVoih!KHU<S�PQAR2=Stj=FRsOS�LM:V5?LM676?;.AM8!:�PQLMS�LM:V59uV66?LMFQFQBt3OLCS K�LM:/D4FQUVo{h!KQU/S��

Page 48: feladatok kombinatorika

�+� � ������� ������,xf9-/,.-��!- I�u<ACj=3�5�U<FQPHDr>@L4sOWOj.^=57WlD ��" � � � #-� �" � � #-� �tD46�6?j4K �@���j.P�AMFQWlD4FHGt�4ª«^=5?LM: -,xf9-/,.-g�9- 8 LC^=5?LM3 �iTCP ah�2JK�D4FQ:/D43�- ��LM3!3b59u ��" � � �

�� � #Qe

,xf9-/,.-���- ��D43�ª«L�j=:V5bD43 �����h�2JK�s~WOj.^=5��" ���� # � '_TCP � �� �p¨�¦.¦?e�z�P�j=:<5bD43�s~WOj.^=5���" ���� #.� °iTCP�@� � ¨�¦.¦?e )aWOj=:@u<^.LM3�s�j=F�F]Wl243b5��vTM:<L�e

,xf9-/,.-g�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6i>@L=s9WOj.^=5�3OLCS :/T$FHLCAMuV6{j=:<5bD430'Z`QLC^=59[_PQAR2=S_s!S�LM:V593OLM67j.P�AMFHG=uV3lD467PQAR2=S|D�j.PQAMF ªWlD4FHGro?j=:<3lDk¨.¨Mª ^=5?LM:*�

,xf9-/,.-�­�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=sOWOj.^=5io?TC^=FHLM:<LM3�PQj=6{�yª KHL�FHL$: `QLCP 8!: syWOj.^=5 ��" � �1¨F#�7 � �" � #�-,xf9-/,.-�®�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>~L=s#WOj.^=5 Sru<3ON!LM3 � ��iLC^.TCPQA$KHL �" �� #<$ ��" ��# �" #¢TCP�LM^=5?LM3!:/B.P�TC^�h@j=3bFHj.PHD43

D4696?j4K FHL$: `QLCP 8!: syWlD �iTCP aK�LM:/D4FQUVo{h!KQU/StLM6��,xf9-/,.-/,�w�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=5{StuV3ON!LM3��iLC^.TCPQA$KHL �" �5# $ ��� �Q�,xf9-/,.-/,.,.- 8 LMWOLMF�ª L=sOWOj.^=5 �rLC^=5�S�2=P�F 6?;=o?LMFHB h!KHU/StPQAR2=S ;.PQPQACLC^.L�u/PZh!KHU<Sie,xf9-/,.-/,xf9-���TMF [email protected]$u<FQUVo LC^.TMPQAZPQAR2=S ;.PQP�ACLC^.L�h!KHU<Sks.D=A�LC^=5�u<6¢D�S|2=P�uV6%'.¦Jª«P�ACj4K�j.PHD�-���uV6¢:<LMWOLMFQ3OL$6tLMACLM6Oe,xf9-/,.-/,���- ��LM:V5?LM6kD=ACj=6_D@:kh!KQU/StPQAR2=S�j=6ysyD=StLM:V5?LM6�K�L.:��1¨�¦�TCP :��1¨��ru/PZh!KHU/StPQAR2=S|e,xf9-/,.-/,R�!- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=57WlD � � §�¨�h!KHU<Sks�D4696?j4K}��h!KQU/S��,xf9-/,.-/,x�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=57WlD � � ��¨�h!KHU<Sks�D4696?j4K}��6?L$FQFHB=WlD4FQo4243�5+�

� % �l%�& - +�*����~(���� � *�+

,xf9-gf9-/,.- 8 LC^=5?LM3 � � � � - 0'D ���}69u<PQAR2=SrU<F�2=PQ24WOj.AqLM:/TM^ ��P�ACj4K�AR2=PCs�D4696?j4K|D�,xf9-gf9- PQACD46=D=PQA�>�D43�:<LMU KHFLM: `H2JK�2=P�D4:V6=D4:<S|D=AC2=PHD�Stu<T$KHF]3OLCS�o?LCACLMFHL$FQF h~j=:<uV3Oj.S�KHLM3ON�[�D4:<^.j4KHu<FQS¢EOP�WOj.A D_,xf9-<,.-!PQARD464D=PQA$>�D43�e

,xf9-gf9-gf9- )�A '�� � " � � '/#�TCPaD=A '�� ° " � � ¯/#Z24:<:VU<FH2=PQj=6_6?;.A$8!: StLM:V59uV6_6?;=o?LMF�6?LCAMuV6nDrS|2=P�uV6�>~G=:ve,xf9-gf9-���- ��;=3bFHP�8!6{LM: sOWOj.^=5{StLC^.j=:/N�WlD4FQG?D46�ª«L�D=A�D4:d2J>!>Ou\6?j=3O^4KHEOLM3O�$ud246yslTMP}DrS�LC^.j=:<N�WlD4FHG=64D4F}j=:<N�`�E!6

S�LM^ �D?c�' '�� ° " ��� L# #�s>yc�¨�� '�� � " ��� �9¨F#�s��c�¨.¨ '�� ¨ �<" ��� �¨ �/#�sNlc '�� ��� " ��� .¯/#�sL�c � '�� ° " � � '?° #�WlD ��� °���¯ro4D=^=5�#9s�Qc � '�� ' " � � �9¨F#�WlD ��� ¯� #�o4D=^=5 ��s^bc � '�� �" ��� '¨ � #�WlD ��� �ro=D=^=5k°9s � ��o4D=^=5�'�-

Page 49: feladatok kombinatorika

������� ������ �+� �,xf9-gf9-��!-.��TMWl243b57o?L$K�T$>kK�;4hO6?;.NnLC^=57�mDt6?;4KQ8!: -O0'DtSru<3ON!L$3�2=^4K�D_¨ §�¨�o?L�K�T$>q8!: syD46�6?j4K]��o?L$K�T�>O3OLM6

3OLCS `�E!FaWOLM:V5?s�WlDto�u/PQAMj=3�F'�2=^t8�K�LCPaS�DJK�D=N@syD46�6?j4K'DtFQ;4>!>Ou 2=^.j=3��{§ ��o?L$K�T$>�8!: -y0'243b5k2=^|TCPWl243b5_o?L$KHT$>no4D43�e

,xf9-gf9-g�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=sOWOj.^=5M' � � §�¨�j.PQAMFQWlD4FQGi°xª FQLM: �,xf9-gf9-���- " � � # � ¨�TCP �§ � j.PQAMF�WlD4FHGi°xª FHLM: -�I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=5=" � � � � � # � # � ¨�FHLM: `QLCP�8!:*�,xf9-gf9-g�9-���L$K�LCP�P�8!6nStLC^7��[email protected];4>!>lPQAM;4K�;.PQLMuVFRsyStLM:V5?LM6�,��Jª S|D4:\j.PQAMFQo4Dk,.,Mª LMFaD=N�3lD46_S|DJK�DJª

N!TM6�E!: �,xf9-gf9-�­�-Z0'Dr,�w.­.�.®Jª«LMF�TCP},.,�­.�.�Jª«D4F#LM:/j.P�AMFm`�E!6�EO^=5bD43lD=AMARD4:~D'Wl2JK�j.Sa`QLM^=59[iPQAC2=S�S|D4: s�D4696?j4K�EO^=5bD43lD=AMF

DtS�DJK�D=N!TM6?j=F 6=DJhM`�E!6y-���LM:V59uV6kLMA¢DtS�DJK�D=N!TM6!e,xf9-gf9-�®�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=sOWOj.^=5iFHLMFHPQAMB=:/LC^.LMP]h!KHU<SrK�LA" ��� # > � � > � > " � � -:#J�,xf9-gf9-/,�w�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=57FHLMFHPQAMB=:/LC^.LMP]h!KHU<SrK�L � >> � � � " � � :#2�,xf9-gf9-/,.,.- �qu�:/L$WOLMF ��s�WlD � ����� % � ° " � � �9¨F#Qe,xf9-gf9-/,xf9- �quV:<5?LM3�S�DJK�D=N!TM6?j=F}D=N�,��Jª S|D4:\j.PQAMFQo4D � � � � � e,xf9-gf9-/,���- �quV:<5?LM3�S�DJK�D=N!TM6?j=F}D=Nn®.®Jª �CLM: j.PQAMFQo4D_¨ .¯ � � e,xf9-gf9-/,R�!- �quV:<5?LM3�S�DJK�D=N!TM6?j=F}D=N�,�w.�Jª S|D4:\j.PQAMFQo4D �=¦?° � ��� ����� e,xf9-gf9-/,x�9- �quV:<5?LM3�S�DJK�D=N!TM6?j=F}D=N�,�wJª ACLM: j.PQAMFQo4D?# ��� �� � e,xf9-gf9-/,���- ��LM3!3b59u ' e

D?ck° ����� � � ' " ��� '¨ # #$s>yc � � � � ' " ��� �¨x° #�s��c�¨�¦ � �� � � ' " ��� '¨ /#$sNlc ' � ������� � ° " ��� '¨('/#$-

,xf9-gf9-/,x�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6>@L=s�WOj.^=5WlD�D=Ai��LC^.TCPQA{PQAR2=S 3OLCS j.P�AMFQWlD4FHG ,x�xª FHL$: s D46�6?j4Kr� § ¨7o=D=^=5� ��¨�j.PQA$FQWlD4FHGk,x�xª FHLM:*�

,xf9-gf9-/,�­�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=5{� � � ��¨�¦=��j.PQAMFQWlD4FQGk¨.¨Mª«^=5?L$: s!WlD���FHLMFHPQAMB=:/LC^.LMP}LC^.TCP�A�PQAR2=S��,xf9-gf9-/,�®�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=s!WOj.^=5{� � §���j.PQAMFQWlD4FQG � �xª o?LM: s!WlDt��FHLMFHPQAMB=:/LC^.LMPaLC^.TCPQA�PQAR2=S��,xf9-gf9-gf=w�- �quV:<5?LM3�S�DJK�D=N!TM6?j=F�D=N ' #xª FHLM: j.PQAMFQo4D|D=A DtPQAR2=S¥D=Sru<3OL$6�¨�¦Jª«LMP}PQAR2=S�K�LM3ON!PQAML$KQ>@L$:<u�D4:/D46R`HD' #rN9>qLC^=5?LCP >~B=:�24:V:de

,xf9-gf9-gf9,.- 8 LC^=5?LM3 :�h!KQU/S_s���h~j.AMuVFQU<o�LC^.TCPQA4s�WOj.^=5 : � " ¨�¦=��§�¨F#�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>~L=s#WOj.^=5�¨�¦ > � � �� " ��� -:#J�

Page 50: feladatok kombinatorika

�+� � ������� ������,xf9-gf9-gf.f9- �XIZu<ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L=s~WOj.^=5qWlD{� FQLMFHPQACB=:<LC^.LCP�LC^.TCPQArPQAR2=S_s5:�FHL$FHPQACB=:<LC^.LCP'h!KHU/StPQAR2=S_s�D46�6?j4K

� >�� §���j.PQAMFQWlD4FHG :!ª o?LM:*�,xf9-gf9-gf=��- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>@L=s WOj.^=5�FHLMFHP�ACB=:/LM^.LCPt�9��� :����� LMPQLMFHTM3� " � # ��� ����.¨ § �> � � s)D4WOj=:ZD

h!K�j�N�E!69FQEOS�ª 6?T$hlACTMP�D=A���PQAR2=S�StuV3ON!LM3+: �)h!KHU/Stj.PQAMFHG�`H2JK�D�T$KHFHL$3ON!B!-

,xf9-gf9-gf4�!-�X �vj=:V59FC-gc��qE!F�D=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=57WlD �|TCP aK�LM:/D4FQU<o7h!KHU<S�LM6ysyD46�6?j4K�� " �� # ��� " �5# ��� " #$-,xf9-gf9-gf.�9- �qE!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5�� " : � #�� : " :|§©¨F#$-,xf9-gf9-gf=��- �quV:<5?LM3��yª LM6�KHL�FHL$: `QLCP 8!: ��� " � # � �\e

,xf9-gf9-gf.�9- �quV:<5?LM3��yª LM6�KHL�FHL$: `QLCP 8!:�� " #4� # � #�� " � #Qe� � � � (!���9�@(�� � - �

,xf9-���-/,.- I�u<ACj=3�5�U<FQPHD�>~L=s�WOj.^=5{�=��, K DJK�Sru/�HWlD=LM:\PQAC2=S X PQLC^=UVFHPQTC^=8!:��!h!KHU/S¢FQTM3�5?LMACB.P}�vLM: >@j=3bF�2=PHD ' �J¨.¨ �¨ #.c �

� � (!+�*�� � �l���

,���-/,.-/,.- )©WlD `QG�2JKQ>@j��RD4u<3lD46¢PQAR2=S|24FCs.Da6=DJhOuVF�243b5 TM:<LMFQ6?j4K�24F TCP ^=5?L$KHS�LM6?LMuV3OLM6�PQAC2=S|24F ;.PQPQAMLCPQACj4K�j.A$o=Df.�=­Jª D4FZ64DJhOFQE!3!6~-l0'243b57TMo?LCPaD�6=DJhOuVF�243b5Oe

,���-/,.-gf9- ) h�2JK�j.P�PQAR2=Stj=6�u<Pr^=5�[�KH[!FtD4:<6?j=F�3lD46~s�L�>!>@LM3 hO: - �qo=D=^=5�,�­nu/P&P h!KHU<S�PQAR2=S R!s)S�L$KQF 3OLCS>@j=3bFQWlD4FHGt69u<PQL$>!>qh�2JK�j.P]PQAR2=S�j=6_PQACj4KHARD4F�2JK�D�- TM:<NO243�S¢E!F�D=PQP�E!6kS�LC^!s!WOj.^=5{L$>!>~LM3�Dt^=59[�KQ[�>@LM33OLCS�FHLM: `QLCP�8!: DtPQAR2=StLM:<S�TM:<LMF'D4:/DJhOFHTMFHL$:/L=-

,���-/,.-���- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>~L=s#WOj.^=5 WlD � � ¡ � X � �� ��¡TCP��1FQL$K�S�TMPQACLMFHLMP|PQAR2=Stj=6OcrTMP ��" ���� #�� ¨.sD4696?j4K �iTCP 'u<P]FQL$K�S�TMPQACLMFHLMPaPQAR2=Stj=6_�yª LCN�uV6_WlD4FQo4243b5bD4u �

,���-/,.-��!-Z0�j.^=5bD43�:/LMWOL$F�6?TMF\FHL$K�StTCPQACL$FHLCP PQAC2=S 64D43Oj=3!u<6�EOP D4:/D46R`H243lD46'u<PQS�L$KHLMFHT$>~LM3�:/LC^=3lD=^=5?j4>!>¢6?;.AC;.Pj.PQAMFQG�`�E!6~s!u<:V: -�:<LC^=69u<PQL$>!>�6?;.AC;.PZFH;4>!>lPQAC;4KH;.P�8!6_64D43Oj=3!uV69EOPaD4:/D46R`H24F]LM:<B?24:<:VUVF�D43!uve

,���-/,.-g�9- �qE!F�D=PQP E!6S�LC^!s�WOj.^=5�FQLMFHPQACB=:<LC^.LCP¢6?T$F �����PQAR2=S �" � �� #a:/LM^=3lD=^=5?j4>!>�6?;.AM;.P�j.PQAMFQG�`H2JK�DnTCP£=" ���� #�:<LC^=6�u/PQL�>!>�6?;.AC;.P]FH;4>!>lP�AC;4K�;.PQT$KHL ��" ���� # �R£ " ���� # ��� � J-

Page 51: feladatok kombinatorika

������� ������ �+� �

� ��&'*������ - �n&���+���&'*������

,���-gf9-/,.- )a:Vu/ArTCP2IZTM:/D7FHL$:/LC�vj=3Oj=3�6?L$K�LCPQA$FQ8!: PHD4696?j.A$3lD46~-~0'D7D�`H24FHPQACS�D{�d8O^.^.B�>@L$3�S�DJK�D=N�TMP�Stj=3ON9ª`�E!6&)a:<u<A|6?;xo?L$FQ6?LCAMuV6~s D=AtE!FHj=:<PQGn:<T$h@TMP�FBP >@j4KHUVFHTM6?j=:V3!u/DTRn6?LM:<: -�XY0'D_3OLCS FQLM3!3OTM6~s D4696?j4K�o4D4:dD=StL$ª:V59uV698!693OL$6�LC^=5�L$¬9F�K�D{3lDJh^.j=3ON!j=:<6?j�NO2=P�u�u<N!L«`QL|:<LM3!3OL=-�c�0�j.^=5bD43�:<LMWOLMF P >~j4KHUVFHTM6?j=:V3!uARnFHL$:/LC�vj=3Oj=36?L$K�LMPQAMFQ8!:de�Xm��^=5�KHTCPQAMF IZTM:dD�3OLCS F�EON�WlD4Fm`HD�S|2=P�3lDJhOu<^!s WOj.^=5�Sru]D�:/T�h@TCPC- ��2=P K�TCP�AMFN)a:Vu/Ak6?;.A�ª>@L$3{K�2 `Q;=WOLMF�3OL=s�WOj.^=5iS|2=P F�6?LM:<:<LMFQFZo?j=:V3lD�:<T$hO3!u<L=slLCACT$KHF IZTM:/D�S|2=P�3lDJhkLC^=5?)a:Vu<AMFHG=:@64DJh@j=FQF��x`HDJ>!>uV3O�vj4K�S|2=�Mu<G�o=D4: S|2JK P�6�u�FQEON�`HD�3�5�u<FQ3!uDR�Dq>~j4KHU<FQTM6?j=FR-gciX G9LC^=U<FQPQTC^ � -�LMFQPQACB!:/LM^.LCPr3OTM^=5R`QLC^=5�[�PQAC2=S�vj=:V59F�D4FQWlD4FQG|D4:V6=D4:<S|D=P�,�®.�rFHj�o=2J>!>Ou�`QLC^.^=5?L$:\�O^=5?s!WOj.^=57LC^=5kf=w.w]`QLC^=59[kh!KQU/SrWOLCA�`�EOPQP�E!3!6y-gc

,���-gf9-gf9- ) FQuVFQ6?j.P�U K�2=PQPHD4: 6?j.S�S¢E!3!uV6424:/GqPQAML$K�L$hO:<B!6�LM^=5?LMFQ:<LM3�6?;.AC;.Pah!KHU<S�LMF�o=24:/D=PQAMFHD43lD46~- �qu<3ON!L$3!69uLC^=5?I�LC^=50:n§�¨Mª WOLCA�K�L$:dD4FQUVo�h!KQU/S ���]PQAR2=Stj=F�o424:dD=PQA$F TCP D=A���� ' � ¨&" � � :k§1¨F#�6?j=3O^4KHEOL$3O�MudDLC^=5?LMF�:/LM3�S�LC^.j=:<NO2=PH24F���mª o?LM:l`QLM:<;=:Vu -�X*��j.P�F�h~L$K�PQAML�D=A � ª«LMN�u<6�K�TCPQA$FQo?LMo?B�� �Yª F�TCP�� � ª F'u/P�FQu<FQj=6�>�D43F�DJKHFv`HD�-gcO)�A ( � � � " ' # 6?G9N!j=:<G.�d8O^.^=o?TM3�5r:<LC^=5?LM3 (

� ' � � " � � -:##TCP�D � � � �4" ( #)N!LM6?G9N!j=:<G.�d8O^.^4ªo?TM3b5{S�j.P�F]:/LC^=5?L$3 � � (�� � " ��� -:#D?cM�qE!F�D=PQP E!6kStLC^!s!WOj.^=5_Stj.P�F u/P FHLM: `QLCP�8!: Sru<3ON!L$3 � ª K�L � �4" � �4" ' # # � ' " ��� :#J�>yc��qE!F�D=PQP E!6 S�LC^!s�WOj.^=5�S�j.P�F)Sru<3ON!L$3 � � �}h�2JKQK�D�� � " � � " ' # # � � �/" � �4" ' # #D" ��� -:#\u<P FHLM: `QLCP�8!: -

,���-gf9-���- ��LMWOT$KH6?TMS �aFQuVFQ6?j.P#uV3O�vj4K�S�2=�Mu/G�o4D4:�K�LM3ON!L$:<6?LCA$u<6ys�D=S�L$:<5?LM6�6?;.AM8!:�D=A LC^=59uV6?LMF�PQAMUVo?LCPQLM37L$:dD=N�3l2��LM6?LMFHLM6?TMSt3OLM6y- )�A�uV3O�vj4K�S|2=�$u/G=64D4F ��LMWOT$KH6?TMS LC^=5?I�LC^=5�>~j4KHU<FQTM6�>�D43nFHDJKHFm`HD�s�Sru<3ON9K�L��vLM:�o=D43{UVKQo=DStu K�B!:OPQACG=: - ��LM6?LMFHLM6?TMS D=A LM^=59uV6¢>@j4KHUVFHTM6?j=F PQA$U<o?LCP�LM37S�LC^=o?L$3!3OT=s.N!L]�vT$: s=WOj.^=5�S�2=P�3lDJh ��LMWOT$KQ6?TCSS|2JK)� >@j4KQU<FHT$6?j=F 2JKHE!:V3lD�s4D=A�E!FQj=:/PQG=F)D=ACARD4:9D}�vLM:VuVK�D4F�F�D4: sJWOj.^=50P �qu9T$K�N!LM6�:<u �yLM6?L$FHLM6?TCStLMF�e�R!-�) `H243!: ª`�E!3!6q3OLM6�u<6�j=:V5bD43�LM: `H2JK�2=P�FCs@S�LM:V:<5?L$:(��LM6?LMFQLM6?TCS¥WOj.ACAR2 `�E!F'h@j=3bFHj.PHD43�LC^=5k>~j4KHU<FQTM6qF�DJKHF�D4:<S|24WOj.A4sN!L ��LMWOT$KQ6?TCS�3OLMS�FQEON�`HD�sOStLM:<5�u<6�WOLCAT�

� � �\*&4 � � (!�#�{��4'"$*����p� ������+�1��\� - ��4 - ��+ � �

,���-��!-/,.- -�LM^=598!6��vLM: sJWOj.^=5�WOLMFQu��Z3lDJh\sJ3lDJhOu9­}G4K�2J>�D43¢;=F�h@L$KH�CLM3!6?TM3bF 69u<PQACj=:<^?24:V3lD46�8O^=5��vL$:/LM6?L$F D�,���-��!-PQARD464D=PQA$>�D43{:<LMUVKQF]6?T$hlAMLM:/L$F�>@LM:VuFP >�D43!6?j=6�>�D43 R�TCP�FHLC^=5�8!6|�vLM: s�WOj.^=57D�o�u<:/2=^.j=3�¨�¦ uV:V5?LM3_>�D43!6 �lG=6S¢[!6?;.N�uV6~- ��LM3!3b59u)u<N!BnD4:/D4FQF�o?TC^.LCAM3OL$6 � � � � 8O^=59�vTM:V:/LM:}XYFQLMWl24F'S�LM3!3b59u)u<N!B_D4:dD4FQF'o42JKHWlD4FHG!slWOj.^=5

Page 52: feladatok kombinatorika

�+� � ������� ������o4D4:dD46�u9`Qj.^.j.P E!:dD4FQ:/D43bE!:!`�E!F]h~TM3OAMWOLCARcQe

� ��* � *��O(�*�+

,R�!-/,.-/,.- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>@L4s#WOj.^=5�StuV3ON!LM3��1FHL$K�StTCPQACL$FHLCPiPQAR2=SrWOj.AkF�D4:/24:<WlD4FQG� LM:/LMS¢[��MPQj4h@j4KHF�TCPWOj.^=57o?TC^=FHLM:<LM3qP�j=6_�yª K�L�FQLM: `QLMP�8!: slWOj.^=5_D=A���LM:/LMS¢[��CPQj4h@j4KQFHj=67u/ACj.Stj4K��mD46��

,R�!-/,.-gf9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>~L=sJWOj.^=5�WlD}LC^=5 ���CP�j4h@j4KHF�>�D43�Sru<3ON!L$3tL$:/LCS K�LM3ON�`QL �9sJD4696?j4K ��6?j.StS¢E!F�D4FQUVo�CPQj4h~j4KHF��

,R�!-/,.-���- 8 LC^=5?LM3���6?j.StS¢E!F�D4FQUVo|�CPQj4h~j4KHFZTCPZD=A � �� ��L$:/LCStLM6|K�LM3ON�`QL�:<LC^=5?LM3��5" ��# �1� ���5" # � ¡y-I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6{>~L=slWOj.^=57L$696?j4K��5" � #�j.PQAMFm`HDr��TCPa¡7:<LC^=69u<PQL$>!>�6?;.AC;.PZFH;4>!>lPQAC;4KH;.PQTMF��

,R�!-/,.-��!- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>@L4s#WOj.^=5�StuV3ON!LM31¡ [email protected]�LC^.TMPQAnPQAR2=SrWOj.An:/T$FHLCAMuV6©j=:V5bD43�o?TC^.LCP|�MPQj4h@j4KHFCsS�L$:<5�3OLM6{h~j=3�FQj.PHD43�¡{N9>no=D4:<G.N�u@K�TCPQAC�MPQj4h@j4KHFv`HD�o=D433�

,R�!-/,.-g�9- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6{>~L=sOWOj.^=57�Mu<6�:<uV69EOP��MPQj4h@j4KHF]StuV3ON!LM3nK�TMPQAC�CPQj4h~j4KHFm`HD�3Oj4K�S�24:/j.P�AMFHG.�,R�!-/,.-���-Z0'243b573Oj4K�S|24:Vu/P K�TCPQAC�MPQj4h@j4KHFv`HDqXY3Oj4K�S�24:/j.PQA$FHG�`HD?cZo4D43qD{¨x° K�LM3ON�[��$u<6�:<uV69EOPa�MPQj4h@j4KHF�3lD46Oe

,R�!-/,.-g�9- 8 LC^=5?LM3 � LC^=5�:<LC^?D4:d2J>!>76?T$FHLM:<LCS¢[io?TC^.LCP#�CPQj4h~j4KHFR- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6r>@L=s.WOj.^=5 �'ª 3OLM6ro=D43ij=:V5bD43LM:<LCS�L4s�StLM:<5�3OLM67K�LM3ON�`QL�h!KHU<S�P�AR2=S0�

,R�!-/,.-�­�- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6�>@L=s�WOj.^=5�LC^=5©�CP�j4h@j4KHF{D46�6?j4K{TCPi�CPHD46�D46�6?j4K7o?TC^.LCPCs�WlD�KHTCPQAC�CP�j4h@j4KHFm`HD4uV3lD46PQAR2=S�Dro?TC^.LMP[�

,R�!-/,.-�®�-���^=57�CPQj4h@j4KQF K�L$3ON�`QL���¨�TCP]o4D43nj=:V5bD43nLM:<LCStL=s�StLM:V593OLM6 ��# � WlD4FQo4243�5bD�3OLCS�D=A�LM^=5�PQTC^.L$:/LCS_-I�u/AMj=3�5�U<FHP E!6{>~L=slWOj.^=5{Dr�CPQj4h~j4KHF}6?j.StS¢E!F�D4FQUVo��

,R�!-/,.-/,�w�- -�L$69uV3�FHP 8!3!6�LC^=5qh�2JK�D4FQ:/D43�K�LM3ON�[ )}>~LM: ª«�CPQj4h~j4KHFHj=FRs S�LM:V5�>~LM3 DkS¢[!o?LM:<LMFHL$F ;.PQPQACLCD=NO2=P�3lD463OLMo?LCAMAM8!6~- I�u/ACj=3b59UVFHP�E!67>@L4slWOj.^=5{D=A�;.PQPQACLCP]LM:<LCS ;.PQP�ACLC^.L¢¦M�

,R�!-/,.-/,.,.-7�?LM:<;=: `QL "�� � ��� #�TCP "�� � ��� #�D "�� ��� #��CPQj4h~j4KHF 6?TMF)698!:<;=3b>~;.ACB�KHTCPQAC�CP�j4h@j4KHFm`H24FC-lX��}D'S¢[!o?L$:/LMFC-gc# ^?D=A$ª«L4sOWOj.^=5="�� � � � � ��� #�u/PZK�TCPQAM�CPQj4h@j4KQF�e

,R�!-/,.-/,xf9-���^=5t:<LM6?T$h~LCACTCPZLC^=5t�CPQj4h~j4KHF�StuV3ON!LM3_LM:<LCS�TMWOLMA�D=A]u<:V:/L$FHB�LM:/LMS u<3bo?L$K�AMTMF�K�LM3ON!LM:Vu -.I�u<ACj=3b59UVF�ªP�E!6 >@L4s?WOj.^=5�LMAaD�:/LM6?T�h@LCACTMP�D4696?j4K�TCP��CPHD46rD4696?j4K#WOj.Stj.S�j4K��lACS¢EOPMsbWlD�D��CPQj4h~j4KHF#6?j.S�S¢E!F�D4FQUVo��

Page 53: feladatok kombinatorika

������� ������ �+� �

��� �2� �'+10 (�����(���+10 /'��� ��+

,x�9-/,.-/,���-���^=5 ' �� ¦�^=59[�KH[OLM:<LCS >�D4:<j=:<NOD4:<u~3bE!:V:/j.PQA$FHG!s9WlD�o4D43ij=:<5bD43 ( �� ¦�sbS�L$:<5bK�L ' ( � ¦�- 8 LC^=5?LM3

' � TCP ' � >�D4:/j=:<NOD4:Vu�3bE!:<:<j.PQAMFHG!-"I�u/ACj=3b59UVFHP�E!6�>@L4s\WOj.^=5 ' � ' � u/P'>�D4:/j=:<NOD4:Vu�3bE!:<:<j.PQAMFHG!s N!L ' � � ' �3OLCS��vLM:VFHTMFQ:<LM3b8!: D=AT�

,x�9-/,.-/,R�!- I�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6i>@L=s�WOj.^=5i6?j.StS¢E!F�D4FQUVo|FHLCP�F >@LM3kStuV3ON!LM3qLM:<LCSt3OL$6_:<LC^.�vLM: `QL$>!>�6?TMFZ698!:<;=3?>@;.ACB3OTC^=59ACLMFH^=5?;=6?L':/L$WOLMF�� # ^?D=A�ª«L�LMA�3OLCSp6?j.S�S¢E!FHD4FQU<o7FHLMP�F�>@L$3�e

,x�9-/,.-/,x�9- ��LM:V59uV6 D=AD�:/LM^=69u<PQL$>!> FQL$K�S�TMPQACLMFHLMP�P�AR2=SksaStLM:V593OLM6 j.P�AMFHG=Wl24:<G `HD©u<ACj.S�j4K��tD �Jª«L$:/LCS¢[IZj9j=:<L$ª D4:<^.L$>!K�24o4D4:de

,x�9-/,.-/,���- �quV:<5?LM3�Wl24:<G4K�Dtu<^?D=A=sOWOj.^=5_FHL$FHPQACB!:<LC^.LCP}3OLCS¢8�KHLCP}K�TCPQA$WlD4:/S�D=AR24FaFHLM6�u<3bFQo?L�u<PQStTMFaWl24:<G=F}64DJªhOE!3!6Oe

,x�9-/,.-/,x�9- IZj9j=:<L$ª«D4:/^.L$>!K�24FZD4:<6?j=F�3lD46�ª«L}D�WlD4:/S�D=ARD4:<^.L$>!K�D PQACj=642=PQj.P�S¢[!o?LM:<LMFHL$uVK�L�3OTCA$o?L�D�FHL$KHS�TCPQAMLMFHLCPPQAR2=Stj=6qWlD4:/S�D=AR243lD46�D=ACj=3�� KHTCPQAMWlD4:<S|D=ARD4u s\S�LM:V5?LM6�KHLru<^?D=A=s~WOj.^=5�� o=D=^=5qD76?j.S�hO:/LCStLM3bFHL$K�Lo?TC^.LCPHe

,x�9-/,.-/,�­�- 8 LC^=5?LM3 �pD=A WlD4:<S|D=A ;.PQP�ACLCP}K�TCP�AMWlD4:/S�D=AR243lD46 IZj9j=:<L$ª D4:<^.L$>!K�2H`HD�-+)�N�`HD|S�LC^{D=A¢;.PQP�ACLCPj=:V5bD43 � � LM:<LCStLMFRslS�LM:V5?LM6�KHL�StuV3ON!LM3 � LMPQLMFHTM3ku/^?D=A=sOWOj.^=5iWlD ��� �� ¦tD4696?j4K �?$ %�

Page 54: feladatok kombinatorika

�+�� ������� ������

Page 55: feladatok kombinatorika

� ��� �� ������������ �

���� � �O( /'� � � �

,.- ��^=5|>OEONODJh@LCP�F�u s�LC^=5io9u<N!TM69u\TCP]LC^=5i698!:<�v;=:<N�u >�DJK�24FQE!3!6�3lD467PQACL$KHLMFQ3OTM3!6_6?TMF Ib6?TMFZ6?T$h~LCP�:/DJh@j=F6�8!:/N!LM3!u��O^=5?s�WOj.^=5�LM^=59uV698!6�P�L|6=DJhM`Qj=3 6?TMF LC^=59�vj4K�S|Dk:/DJh@j=FR- 0'243�59�vTM:<LM6?T$h!h�FQLMWOLMFm`�8!6LMAMFStLC^!s!WlD|D�>~j=:<F�>�D43�slD4WOj=:�o42=PH2JK�j=:VE!3!6~sl;.PQPQACLCP�LM3�;=FH�vTM:<L�6?T$h~LCP�:/DJh�6=DJhOWlD4FQGbe

f9-]0'243b5��vTM:<LM6?T$h!h�`�E!FQWlD4FQE!3!61LM: D 'Jª N�u/StLM3OAMu<G.Pq6?j9j4K�N�uV3l24F�DJK�LM3ON!P�ACL$K " ¦��¦��¦/#th@j=3bFm`H2J>@G=:¢D" ¡ � � �H£ #�h@j=3bFm`H2J>�D " ¡ � � �H£ 7�¦/#$sJWlD'StuV3ON!LM3|:<T$h@TMP >@LM3�o=D4:/D=S�LM:V5 FHLM3O^.L$:<:V5?LM:!h�2JKHWbEOARD=S�j.PHD43:<T$hO8!3!6nLM^=5_LM^=5�PQTC^=3b59uVF]h~j.AMuVFQU<o{u K�243�5b>�D43�e

��-F)�AZ�7WOj.PQPQAM�OPH2=^=�i¦ §_¨ZPQj4K�j.ACD4FHj=693lD46 �vL$:/LM:VFHLCP�P�8!3!6|StLC^�^4K�2=�/h@j=3bFHj=6=D4FCs=S�LM:V5?LM6�6?;.AM8!:!6?LMF�FHBh~j=3�FHj.PQD43kD46�6?j4K�:<LC^=5?LM3{LC^=5�TM:<:<LM:@;.P�PQACLM6?;=FQo?L4s�WlD D�6?TMF�P�j4K�j.ARD4F�h~j=3�FHj.PQD437LC^=5�6?j�j4K�N�u<3l24FH2Jª`H2J>�D43nFQT$KaL$: LM^=5�S|2=P FHG=: - )�A'U/^=5764DJh@j=FQF ^4K�2=�/>~G=:@:/LM^?D4:d2J>!>�Wl243b5kT$:<F 6?LM:V:�LM:VWlD=^=5R`�E!3!6ys!WOj.^=56?;4K�StLM3bFHLCPQPQT�o=24: `Qj=3�e

�!- 8 LC^?D4:/2J>!>kWl243b5iTM:VFZ6?LM:<:yWOj.ACAR2.D=N�3!u�D� LMFQL$K�PQLM39I�^4K�2=�dWOj.A=s�WOj.^=57D�6?LM:<LMFQ6?LCAMBt^4K�2=�/>�D437:<LC^=5?LM3��E!:/L$K Ib6?;4K$e

�9-F) � LC^=59PQACL$KQ[nuVK�243�5�U<F�D4F�:dD43q^4K�2=�d3lD46k¯ h@j=3bFm`HD�TCP�¨ ��T$:/L�o4D43�- �qE!F�D=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=57LM6�6?j4Ko4D43 �'ª >@LM3n0'D=StuV:<FHj=39Ib6?;4K�� # ^?D=A$ª L�LCA�D4696?j4K u<PCslWlDr�CPHD46�¨.¨�T$:/L�o4D43�e

��-F) � ^4K�2=�/>�D43i>�2JK�StLM:<5i6?T$F�h@j=3bF�6?;.AC;=FQF�o?LCACL$F�:/LC^.�vL$: `QL$>!>�6?T$FZTM:V>~B=:�24:V:/Gr�!FR-��quV:<5?LM3kWOj.PQPQAM�:<LMWOLMF'Dr^4K�2=� :<LC^4K�;=o�u/N!L�>!>�6?;4K�L�eX)�N�`�E!3!6{h~j=3�FQj.P]�vLM:<PQB|6?j4KH:/24FHj=F��

�9- ��^=5 � �mD �KH8O�vL$K Ib6?G.N�`HD��CP�E�h�D�6�8!:/;=3?>@;.ACB�PQAR2=S�>@G=: 24:V: -l0�j.^=5�`QLM:V:/LCStLCAMWOLMFv`�8!6 ��ª LMF�e­�- # ^?D=A$ª L¢Dr6?;=o?L$FQ6?LCACB�24:<:VU<FH2=P�e

0'D'LC^=5 � ^4K�2=� �D"�� #)6bK�j.S|D4FQuV69EOP#PQAR2=S�2JK�D�TMP � "�� # 6�:<uV696?I�PQAR2=S�2JK�D'FQLM: `QLMP�8!: sbWOj.^=5 ��"�� # �� "�� #$sbD4696?j4K#>@LMWb�OAMWlD4FHG=6 �'ª >~L}�x`�TM:<LM6r�O^=5?s?WOj.^=5�D�6?LM:<LMFQ6?LMACB���l^4K�2=�/K�D �D"�� #�� �D"���� #��� "�� � #�FHLM: `QLCP�8!: `Q;=3�e

�9¨

Page 56: feladatok kombinatorika

� ��� � ��9 � ��� � ��� ����� � �

� ��� � �O( /'� � � �

,.-]0'243b5�j=:V5bD43 WOTMFm`QLM^=59[ FHLM:<LC�vj=3OPQAC2=S 6?TCPQAMUVFQWOLMFQB!s=S�LM:V5?LM6b>@LM3¢>�2JK�StLM:V5�6?TMF�PQACj.S�P�ACTCN!j.P)PQAR2=S�ª`QLC^=5_PQACj4KHARD4F�D�h!KQU/StPQAR2=Sie{X �)u<^=5?LM:<LCS0� ) ¦rTCPaD=Ar¨�3OLCSph!KHU<S�PQAC2=S�j=6���c

f9- ��^=5���^4K�2=�\698!:<;=3b>~;.ACBi�vLCPQA$U<FHB.�m24uV3lD46nP�AR2=S|D?'�-!0'243b5{TM:<L�o=D43 �'ª 3OLM6Oe��- ��^=5 � � " � � # h�2JK�j.P�^4K�2=�/>�D43�:<TMFHLCAMuV6�j=:<5bD43 � ���h@j=3bFQWlD4:<S|D=A=s\D=S�L$:<5bK�L � ��"�� #���7� � �C§ �9-.��E!FHD=PQP�E!6_S�LC^!s!WOj.^=5���>Ou<AMFHj.PQD43n3OLCS�F�DJKHF�D4:<S|D=A�0'D=StuV:<FQj=3�ª E!F�D4F��

�!- ��^=5t6?j=3bo?L$¬|FQLCP�F�:/DJhM`HD4u@PQARDJ>�24:V5?j.P�;=FHPQAC;.^.L$6|TCP�PQACDJ>�24:<5?j.P�WlD4FHP�AC;.^.LM6~-�) FHLCP FQ3OLM6i¯.¦¢�MP��O�CPHDo4D43�TCP|Sru<3ON!LM3��CP��O�MP|6?TMF�WlD4FHP�AC;.^=:dDJh�TMP|LC^=5�;=FQPQAC;.^=:/DJh�F�D4:d24:V6?j.AR2=PH243l24:]WOLM:V5?LCAM6?LCN�uV6©LM: -X �'j=3ON!j=: `�E!3!6Dk�dE!F�>�D4:V:�:/DJ>@NO2JK�D ��c�0'243b5�:/DJhM`HDqo4D43LM3!3OL$6D_FHLMP�FQ3OLM6�TCP¢LCAMLM6�6?;.AM8!:#Wl243b5;=FHP�AC;.^�TCP Wl243�5{WlD4FHPQAM;.^be

�9- ��^=5 �4� P�AC;.^4h@j=3bFQ� FHLM: `QLCPq^4K�2=�/>~G=:¢LM:VWlD=^=59F�E!61LC^=5�0'D=StuV:VFHj=3�ª 6?;4K�T$:/LMuVFR- ��LM3!3b59u¢D=A�U<^=564DJh@j=FQF]^4K�2=�\6�K�j.S�D4FQu<6�EOP]P�AR2=S|D?e

��-F�qu D�>~j=3�5?j=:VE!:<FQPH2=^?DiDr6?;=o?LMF�6?LCACBrh!KHj4>O:/TCS�243lD46OeIZLCStLM3OLMF �lLC^=5���^4K�2=��TCP]LC^=5k¡7FHL�K�S�TCP�ACLMFHLCP}PQAR2=S��T$K�N!TCP6� # ^?D=A$ª«L4sOWOj.^=5�� 24FHStT$K�B�`QL�3lD=^=5?j4>!>�¡bª 3l24:deXY��^=5 � ^4K�2=�~24FHStT$K�B�`QL]6?T$F�:<LC^=F�24o?j=:/DJ>!>Oulh~j=3�Fv`H243lD46tF�24o?j=:<PH2=^?D�s?D4WOj=:�D�FH24o?j=:/PH2=^¢D�6?TMF h@j=3bF6?;.AC;=F�FQu@:/LM^4K�;=o9u<N!L$>!>��!F]WOj.P�PQAR24F)`QL$:/LM3bFQu -gc

�9-FI�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6q>@L=s@WOj.^=5n3OLCS :<TMFHLCA$u<6�j=:V5bD43�Wl2JK�j.S}`QLC^=59[�PQAR2=S_s\StLM:V593OLM6�j.PQA$FHG=u<3lD46�PQAC2=S|Dj.PQA$FQWlD4FHGto?j=:V3lDk¨.¨Mª ^=5?LM: �

­�-FI�u<ACj=3�5�U<FQP�E!6_>~L=s!WOj.^=5_�$u<6�:<uV69EOPa�MPQj4h@j4KHF]StuV3ON!LM3nK�TMPQAC�CPQj4h~j4KHFm`HD�3Oj4K�S�24:/j.P�AMFHG.�

� ��� � �O( /'� � � �

,.-FI�u<ACj=3�5�U<FQPHDr>@L4slWOj.^=5{StuV3ON!LM3�� 7 ¨�LC^.TMPQA$K�L

������

�¡ � �

�_§ ¡�� � �4���� �f9- # ^?D=A$ª L=slWOj.^=5{D=A�2J>!K�243k:/24FQWlD4FHGt^4K�2=� h�2JK�j.P ^4K�2=�Qe

Page 57: feladatok kombinatorika

� ��9 � ��� � ��� ����� � � � ���

��-FI�u<ACj=3�5�U<FQPHD�>@L4s WOj.^=5 Sru<3ON!LM3��4ª 3OTM:ZFH;4>!>�h~j=3�FHj=FrF�DJKHFHD4:/S�D=ACG�LM^=5�PQACL�KH[©^4K�2=�/>�D43�o4D=^=5 D6?j.S�hO:/LCStLM3bFHL$K�T$>~LM3�o=D43k6?;4K(�

�!-F��LM6�6?j4K�D�DrS|DJ¬�u<S|24:Vu<Pa�vj=:<5bD=S�T$KHFQTM6?L�D=A�2J>!K�243k:/24FQWlD4FHGrWl24:/G.ACD4F�>�D43 � ª >@B=: �«ª >~L�e

4

2

22

32

2

3 4

3

25

5

5

53

3

1

5

5

5

3

5

s

t

5

5

1����� �[� � �� ��� � ��� � ��� ��� � �� ��� � ���

�9-]0'243b57698!:<;=3b>~;.ACB|StuV3!u<S|24:Vu/P'P��!:V59�q�vLMPQAMUVFHB.�mD�o=D43qD=A�2J>!K�243k:d24FQWlD4FQG�^4K�2=�/>�D43�e��-F)�N!j=FQF]LC^=5_LC^=5�P�ACL$KH[�;.PQP�ACLC�d8O^.^.Bi^4K�2=�«slD=S�L$:<5�3OLM6nSru<3ON!LM3�TM:<L�6?TM6bK�L�o4D=^=5ihOuVKHj.P K�Dto4D43�PQAMU ª

3OLCA$o?L=- )�N�`�E!3!6�j=:V5bD43 LM: `H2JK�2=P�FRs D=S�LM:V5�StLC^=F�D4:/24:�LC^=5�j=:<5bD43 �vLMPQAMUVFHB.�m24FRs)D=StLM:<5�:/LM^?D4:d2J>!>�f6?TM6{TM:<LMF]F�DJKHF�D4:<S|D=A'o=D=^=5{StLC^.S¢E!F�D4Fm`HD�s!WOj.^=573!u<3O�MP}u<:V5?LM3��mD�-

�9-F��LC^.j=:<N�WlD4FHG4ª«L¢D_¨ # '�� ¨.¨+" S�j�N�¨ /#�6?j=3O^4KHEOLM3O�Mu/D?e¢0'Dru<^.LM3�syD46�6?j4K]j=:/N�`HD|StLC^.�­�- 8 LC^=5?LM3 � LM^=5i�CPQj4h~j4KHFRs � 3Oj4KHS|24:<j.PQAMFHGnX � �¢c$s � h@LCN�u<^rKHTCPQAC�CP�j4h@j4KHF �'ª >@LM3 X � $ �¢c�-I�u<ACj=3�5�U<FQPHDr>@L4slWOj.^=5 � � K�TCP�AC�CPQj4h~j4KHF ��ª >@L$3 X � � $��¢c �

� ��� � �O( /'� � � �

,.- ��^=5|�vj.^?D=N!G=u K�j9NOD�^=59[x`�FHB=:/2=NO2H`H2J>�Di,�w¢69uVFH;=:<FQ;=FQF�:<j=FQFHG.PQACL$:<o?TM3b5io4D437>~LCN!j4>�o=D_X ®.w¢PQAR2=S�>~G=:\�>~L�o4D43�`QLM:<;=:<o?L�c�-y0'243b5��vTM:<L�:<LMWOLMF'D�69uVFH;=:<FQTCP�8!6?LMF �l^=5?L$:/LCS�>~L�o?TMo?L�LCA¢Dk,�wrPQACLM:Vo?TM3b5�>~B=:)24:V:/GWlD4:<S|D=A�e7XY��TMF}PQACLM:Vo?TM3b5nLC^=59�vj4K�S|D�s!WlDrEO^=5bD43lD=AMj=6kDrPQAR2=Stj=6{o4D43!3lD46iK�D `�FQE!67>@L«`QLM:<;=:Vo?L=-gc

f9- 8 LC^=5?LM3 ��D LMFHL�K�PQLM39I�^4K�2=� XY:/N@-#D=A_2J>!K�243�c LC^=5 �vLCPQAMUVFHB.�m2 `HD�TCP}`QLM:/;=: `QL�� "��G# L$3!3OLM6�D�:<LC^4ªWOj.PQP�ARDJ>!>{�!Fm`H243lD46tWOj.P�PQAR24FR-yXY��^=5 �!F�WOj.PQPQARD D'>@LM3!3OLaP�ACL$K�L$hO:<B�TM:<LM6�P�AR2=S|D�-�c )�N�`�E!3!6|j=:V5bD43

Page 58: feladatok kombinatorika

� ��� � ��9 � ��� � ��� ����� � �

�vLCP�AMU<FQB.�m24FRs~D=StLM:<5bK�L � "��G# � ��TCP j=:<5bD4F u<P�D=S�LM:V5�KHL � "���# � ���- 8 LC^=5?LM3 �'D � ^4K�2=�@LC^=5tj=:<5bD43iT$:/L=s9S�LM:V5?LMF�LM:VWlD=^=59o4D�� LC^=5i¡�TMP�LC^=5 �@h~j=3�F��i6?j.Srh@j=3OL$3OP K�L

LCP u<6�PQACTMFR- I�u/ACj=3b59UVFHPHD�>~L=s WOj.^=5�WlD ��ª 3OLM6�o=D43©D=A��qTM:<LMF|F�DJKHFHD4:/S�D=ACG�FHLM: `QLCP�h�2JK�j.P U<F�2=PQD�sD46�6?j4K'¡�� h�2JK�D4FQ:dD43nPQAR2=S0�

�!-F)�N!j=FQF�6?T$F Wl24:<G.ARD4FQu��vj=:V5bD=Sks!StLM:V5?LM6�>~LM3�D StuV3!u/S�24:<u<P}o42=^?2=PZT$KHFHTM6?L � � uV:<:<LMFQo?L �� - ��LM6�6?j4K�D

:<LCPQArD�S�DJ¬�u<S|24:Vu/P��vj=:V5bD=S¥T$KHFQTM6?L DJ>!>�D43�D�Wl24:<G.ARD4FQu �vj=:V5bD=S�>�D43�s@D=Sru<F'Dr6?TMF��vj=:V5bD=S PQj4K�j.PMsuV:<:<LMFQo?L�h�2JKQW�EOARD=Stj.P}LC^=59S|2=P�WOj.A�6=DJh~�CPQj=:/2=PH24o4D4:\64DJhOE!3!6Oe

1 21

tt ss

c

c cc

2�9- ��^=5{u K�243b59UVFHj=FQF]^4K�2=� h~j=3�FQWlD4:<S|D=ACD �- IZu<ACj=3b59UVFHPHDr>~L=s!WOj.^=5

������

� ������"23�# § ��� "23�# �

h�2JK�j.P�P�AR2=S0�~X # FQF ������"23�#$sbuV:V: -����F"235#�D 3?ª >@B=:y6�u/StLM3OB!s�uV:V: -$3.ª >~L}>@LCStLM3OB�TM:/L$6iPQAR2=S�24F�`QLM:<;=:<u -gc��-F�qu]Dq>~j=3�5?j=:VE!:VFHPH2=^?D�Dq6?;xo?L$FQ6?LCACB�h!K�j4>O:/TMS|243lD46�� )�N!j=FQFrLC^=5 � ^4K�2=� TCPrLC^=5��aFHL$KHS�TCPQAML$ª

FHLMP¢PQAR2=S_- ��D43�ª«L ��ª >@L$3 6?T$F�FHLM: `QLCP �vª«LCP�KHTCPQAC^4K�2=��X � � c�s�D=StLM:<5?L$693OLM6�h@j=3bFHj.PHD43 LC^=5�6?;.AC;.Ph~j=3�Fm`�E!6{o4D43�e

�9-F�qu �=¦.¦�' � � E!FQj=:/PQGt6?TMF}P�AR2=Sa`QLC^=5?LRe­�-FI�u<ACj=3�5�U<FQPHDt>@L=slWOj.^=57WlDiD � �MPQj4h@j4KHF >�D43�StuV3ON!LM3�LC^=5�PQTM^.LM:/LMS¢FHB=:�6�8!:/;=3?>@;.ACBiL$:/LCS�K�LM3ON�`QL

EO^=5bD43lD=A=slD46�6?j4KaLCA�D�KHLM3ONkh!KHU<S�PQAR2=S��

Page 59: feladatok kombinatorika

� �������!� ������ � � ��� �� ��� �r������ � �� �

���� � �O( /'� � � �

,.-FI�EONODJh@LMP�FQu�>�DJK�24FQE!3!6�3lD46 D=A7;=FH�vTM:<Li6?T$h@LCP :dDJh!>~G=:+ � �$I��vTM:<LM6?T$h!h�o=24:/D=PQAMFQWlD4F�E!3!66?TMF 698!:<;=3�ª>~;.ACB=FR- �^=5bD43OLCAn24:V:Zo9u<N!TM69u]TCPr698!:<�v;=:/N�u]u/PQStL$K�B.P�8!3!6bK�Lnu<P�TCP�>�2JK�StuVF�u<P�o424:dD=PQA$FQE!3!6�LM^=59uV6>�DJK�24F�E!3!693lD46~s�DtS�2=P�uV693lD46kD4696?j4K]u/P � � ª �vTM:/L$6?T$h!h�o=24:/D=PQAMFQWlD4F�E!3!6~- � ^=5_D=A�;.P�PQACLCP}:<LMWOLMFQB.PQT$ª^.LM6{PQAC2=S|D � �

%-

f9-F)p�vLM:VFHTMFQLM:/L$6�>@B=:�o9uV:d2=^.j.PCs\WOj.^=5 ¡�:<T$h@TMP�F 6?LM:V:�FHLM3!3b8!3!6 D=A ' FHLM3O^.L$:<:V5?LM:�h�2JKHWbEOARD=Stj.PHD43�s �vªLMF ( ª 3lD4:}TCP7£7ª LMF �Jª o?LM: -���:<TC^FHLMWl24F7Sru<3ON�u<^��vL$: `QLC^=5?LMAM3!u sZWOj.^=5�hO: -�D©,��Jª uV6�:<T$h@TMP >@LM3 D=A

' FHLM3O^.LM:V:V5?LM:�h�2JKHWbEOARD=Stj.PHD43 :/T$hOF�8!3!6~- 8�24FQWlD4FHG{FHLMWl24FRs�WOj.^=5�D43!3b59u<�vTM:<LM6?T$h!hq`�E!FQWlD4FQE!3!6�L$:" ¡ � � �H£ # ª >~L=s)D4Wl243b5 6�8!:/;=3?>@;.AMB�PQj4K�j.ACD4Ft:<TMFHLCA$u<6�¡ N9> ' ª >@B=: s ��N9> ( ª >@G=:ZTCPr£ N9> �Jª >@B=: -��ACLM6ih@LCN�u<^iT$h!h~LM3�¡ � �)��£ LM:<LCS u<PQS�T$FQ:/TMPQLCP}h@L�K�S¢E!F�2=�Mu<G=u s�S�LM:V5?LM6�3OLM6kP�AR2=S|D

" ¡ � �)��£ #��¡���� �����R£� � ¡ � �)��£

¡ � �)��£� � �

��-F)p^4K�2=�d3lD46�3�5�u<:Vo4243�3=� � � h@j=3bFm`HDno=D43�-"��uV3ON!LM3 h@j=3bFQ3lD46�h~j=3�FHj.PQD43��©P�ACj.S�PQAMTCN�`HD�o4D43X LM^=5�ª«LM^=5�6?j�j4K�N�u<3l24FH24F ¦Jª KHG=:}¨Mª K�L�o4D=^=5�¨Mª K�B=:�¦Jª K�Dko424:<FQj.AMF�D4FQo4D{64DJhOE!3!6�LC^=5�PQACj.StPQACTCN!j=F�c$-�quVo?LM: D=A�TM:/L$6_P�AR2=S|DrD �vj=6�PQAR2=Stj=6i;.PQPQAMLC^.TM3OLM6{�vLM:<L=slDr^4K�2=�d3lD46 ��� � ��� �1� � ��� � TM:/L'o4D43�-��^=5&3kh@j=3bFQ��6?;4K�StLM3�FQLCP�^4K�2=�/>�D43�:/LM^.�vLM: `QL�>!>�3r§1¨tTM: :/L$WOLMFRs\LCACT$KHF�:<LC^?D4:d2J>!> �'§ 3 � ¨��" �{§ � # � ��� � �1¨�TM:<LMF]6?LM:<: LM:VWlD=^=593!u -

�!- ��^=5�^4K�2=�/>�D43 D4696?j4K)TMP��CPHD46�D4696?j4K�o=D43���E!:<L$K�Ib6?;4K�s�WlDaStuV3ON!LM3 h@j=3bF �vj=64D]h�2JK�j.PC- ) LMFHL�K�PQLM3^4K�2=�/>�D43 Sru<3ON D�¨�¦7h@j=3bF �vj=64DH'�s@o=D=^=5�u/P'h�2JK�D4FQ:/D43�- ��^=5�T$:�WOj.ACAC2.D=NO2=PH24o=D4: h@j=3bFHj.PHD43�6?TMFh~j=3�F �vj=64D_3OBqLC^.^=5?L$: -\0'D_FHLMWl24F�StuV3ON�u/^q6?TMF�h�2JK�D4FQ:/D43�vj=69��h~j=3�FHj=F�6?;=FQ8!3!6�;.PQPQACL|LM^=5��x`TM:V:<LM: s~D4696?j4K]T$h!h@L$3�°rTM:<LMF}6?L$:<:@>@L$W��OAM3bE!3!6~-���LMo?LMPQL$>!>�3b59uV:<o4243q3OLCS�:/LMWOL$FaLM:<TC^!-

�9-F)�¯{h~j=3�F�� FQLM: `QLMP ^4K�2=�d3lD46�¨x°kTM:<L|o4D43�s\U<^=5 ��ª >@L$3�T�h!h@LM3 'kTM:�3!u<3O�CP¢>~LMW��OA$o=D�- IZLM:/24Fm`�E!6ys

� �T'

Page 60: feladatok kombinatorika

� ��� � � � �S�� � � ��� ����9 � ��� ��� �.����� � � � � �WOj.^=5���ª K�L�FHLM: `QLCP�8!:�D=A �}K�L�I��vLM:VFHTMFHL$: - 8�LC^=5?L$3 1nTMP 3t6?TMF�3OLCS�PQACj.StPQACTCN!j.P�h@j=3bF �'ª >~LM3�- )�A"21 �43�#ZTM:<LM3q6�U<o�8!:�StTC^�6?TMF}TM: W!u/243b5�AMuV6~slU/^=5��"61 # ����"235# 7 �G� ��§ � � ¯�7��)- - LMWl24F �}K�LFHT$FHLM:<L�PQACL�KHu<3bF�:<TMFHLCAMuV6_0'D=StuV:<FHj=39Ib6?;4K �'ª >@LM3�-��D43|j=:V5bD437¯'h~j=3�F��|^4K�2=�«sbD=StuV3OLM6_¨.¨}TM:<L]o4D43|TMP�3!uV3O�CP�>@L$3!3OLa0'D=StuV:<FQj=39Ib6?;4K�-?0'D�D�¯'h@j=3bFQ�FHL$: `QLCP�^4K�2=�/>@G=:lLM:VWlD=^=59E!3!6 ��j=:V5bD43iTM:<LMFRs�D=StuOLM^=5�h~j=3�F >@G=:Oo?LCACLMF#69u sbD4696?j4K�LM3!3OLM6�D'h~j=3�F�3lD46Dr�vj=6=Dk¨�:/LMPQA=sOU/^=5_DtS�DJK�D=N!TM6{^4K�2=�/>�D43n3b59uV:Vo=243q3OLCS�:<LMWOLMF�0'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4KR-

��-]0'DtD�^4K�2=� ;=3OS�D=^?DtLC^=5k°rWOj.PQP�AM�q6?;4K�slD4696?j4K}L$KQK�L�FHLM: `QLCP�8!: D��vLM:VFHTMFHLM:�TCPaD�:/LM^4K�;=o9u<N!L$>!>�6?;4K3b59uV:<o4243�°rWOj.PQPQA$��-+)�A�o�u/P�ACj=3�F}3OLCS�:<LMWOLMFQPQTC^.LCPCs�WOj.^=5nDt:<LC^4K�;=o�u/N!L�>!>�6?;4K]WOj.PQPQACDi¯t:/LM^=5?LM3�-8 LC^=5?LM3OLM6 Dk:<LC^4K�;=o�u/N!L�>!>�6?;4K¢h~j=3�Fm`HD4u�PQj4KQK�LM3ON9>~LM3 3 � � ,�,�, �43 � -�0'Dko4D43 TM:ZDk6?;4K�6?TMF�3OLCSPQAMj.S�PQACTMN!j.P�h@j=3bFm`HD_6?;.AC;=F�F|XvhO: - * 3 � �43 % ,Jc$s\D4696?j4K�o?j=:V3lDn¡bª 3l24: KH;=o9u<N!L$>!> 6?;4K�u<P¢D7^4K�2=�/>�D43XmhO: - "23 � �43 % �43 ��� ,�,�, �43 � #Qc�- ��2=P K�TMPQAMF D¢�vLM:VFHTMFHL$:@PQACL$KQu<3bFZo=D437LC^=5t:/LM^.�vLM: `QL�>!> ��WOj.PQPQAM�7�!F 3 � TCP3 �]6?;.AC;=FQFCs.D=ARD=AZo=D43�j=:<5bD43�1�h@j=3bFaX D=A]LM:<B4>!>Ou<LM6|PQAML$KHuV3�F�D'6?;4K#h@j=3bFm`HD4uVFHG=:O698!:<;=3b>~;.ACB�h~j=3�F�c�sWOj.^=5 * 3 � �41 ,ZTCP�* 1 �43 � ,Zu/P TM:<LZD�^4K�2=�d3lD46~-x��6�6?j4K)o9u<PQACj=3bF#�vLM:<FQLMo?TCP�8!3!6�3OLM6�LM:V:/LM3bFHStj=3ON�o=D�o4D43LC^=5k¡ §©¨�WOj.PQP�AM�q6?;4K u/P�Dr^4K�2=�/>�D43"�"23 � �41 �43 � �43 � ,�,�, �43 � #$-

�9- �p�CPQD46qLC^=5n�!F�:<LMWOLMFR- �a5�u<:Vo=243�;.PQPQAMLC�d8O^.^.BkTCP�WlD|:<LM3!3OL 7 'i�vj=69��h@j=3bFm`HD�s@D46�6?j4K�D43!3lD46�DPQj4KHPQAR2=S|Dr:/LC^?D4:/2J>!> �xª«P�ACL$K�P�ACL$K�L$h~LM:V3OL�D �KQ8O�vL$K�Ib6?G.N9>�D43�-

­�- # ^?D=A=-8 LC^=5?LM3 � � � � ,�,�, � ��������ZD=A LM:<PQB!s�S|2=PQj�N�u<6ys ,�,�, s ��"�� # ª«LMN�u<6�PQAMUV3!3OLM:#PQAMUV3OLCACL$FQF�h~j=3�ªFHj=6�WlD4:/S�D=ARD �'ª 3OL$6�LC^=5 �D"�� #�PQA$U<3!3OLM:'o4D4:/G PQAMUV3OLCACTMPQTM3OTM: -}0a�OACA$E!6�>@L�D=Aq;.PQPQAMLCP_j=:V5bD43TM:<LMFRs D=Sru�LC^=5 �aTCP�LC^=5 �$ª >~LM:Vu�h@j=3bFHj=F 6?;=F�;.PQPQACL7WlD � ����l-5)�A|U/^=564DJh@j=FQF � �Vª 3OLM6 D=AL$KHLCN!LMFQu�PQA$U<3OLCAMTCP]FHj�o42J>!>!K�D�u<P\`QGtP�AMU<3OLMACTCPQL=sOFHLMWl24F �D"�� � # � ��"�� #$-.��2=P K�TCP�AMFRs�WlD StuV3ON!LM3 �WlD4:<S|D=A$>~G=:�o=24:/D=PQAMF�E!3!6 LC^=5�h@j=3bFHj=FRs D4696?j4K�LCAMLM6 ��� ª >@L$3�LC^=5�FHLM: `QLCP�KHTCPQAC^4K�2=�vj=FtD4:V6?j=FQ3lD46~so4D=^=59u<P � "�� � # � ��" � #$-

� ��� � �O( /'� � � �

,.-F)p6?TMF�PQAMj.S�PQACTMN!j.P]`QLM^=5PQACj4K�ACD4F�Dq�CPHD46 D46�6?j4K :/LMPQA|h!KHU/S_s WlD�D=AiLC^=59uV6©¨.s DqS�2=P�u<6���� '��°o4D=^=5 #9-3) �vL$:<FHT$FHLM:��CPQD46�D46�6?j4K¢�vj.^nFHL$Wl24F�FHLM: `QLCP�8!:V3!u s WlDko=D=^=5�D=A|LM:<PQB!s�WlDJK�S|D=N�uV6~s ;=FH;.N�uV6TCPZWOLMFHLMN�u<6{WOLM:V5?LM6kSru<3ON!LM^=59uV6?TM3¨�24:<:\TCP]DrFH;4>!>Ou@WOL$:<5?LM3nLC^=5|h!KHU<S�PQAR2=S_slo4D=^=5{D�S|2=PQj�N�u<6ys3OLC^=5?LMN�u<6�TCP�WlD4FHj�N�u<6rWOLM:V5?LM3{24:V:�¨aTMP�D�FQ;4>!>Ou�WOLM:V5?LM3|h!KHU<Sk- )�A]L$:/PQB LMPQLMF � % ª �vTM:<LM6?T$h!hk24:<:VWlD4FLM:<B!sOD S|2=PQj�N�u<6�� � ª«�vTM:<LM6?T$h!h\sOW!u/P�ACLM3kWl2JKHj.Sks9uV:<: -!3OTC^=5|WOLM:V5{StuV3ON!LC^=59uV6?T$K�L'o424:dD=PQA$FQWlD4FQE!3!6{D

Page 61: feladatok kombinatorika

� � � �S�� � � ��� ����9 � ��� ��� �.����� � � � � � � ���

��� '��°�� #�PQAR2=Stj=6'6?;.AM8!: sJLC^=5�S�2=P�FHG=:?�d8O^.^.LMF�:/LM3b8!: -�)�A�;.PQP�ACL�:<LMWOLMFHB.PQTM^.LM6¢PQAC2=S|D]FHL$Wl24F � % � � � -f9- � 3�5�u<:Vo=243�;.P�PQACLC�d8O^.^.BiTCP]3OLCS LM^=5k�mD�sOW!u/P�ACLM3�LM696?j4K}�vLCPQA$U<FHB.�m24uV3lD46�PQAR2=S�D|¦ro4D=^=5�¨�:<LM3!3OL=-��24:dD=P�PQAME!6769u ��LC^=5iFHL$FHPQACB=:<LC^.LCP � �vLMPQAMUVFHB.�m2H`H24FaTCPZo?LC^=5�8!6iWOj.ACAR2 ��ª 3OLM6{LC^=57j=:V5bD43 ��TM:/T$FRsD=Srub3OLMS�PQAML$K�L$h~LM:9L�>!>@LM3rD �m2J>�D43�- )�A U<^=5�64DJh@j=F�F�^4K�2=�?h@j=3bFHj.PHD43i¨�N9> 6?;4KHF\�vj.^]FHDJKHF�D4:<S|D=AM3!u sD=Sru�LC^=5?T$>O6?TM3bF]FHDJKHF�D4:<S|D=ACARD �Mª FZu<PC-O0'D�LMA�D 6?;4KZ:/LM^?D4:d2J>!> ��WOj.PQPQA$��s�D46�6?j4K]D�6?;4K�>�2JKHS�LM:V5TM:<TMF�LM:VWlD=^=59o4D�LC^=5bª«LC^=5�698!:<;=3b>~;.ACB��vLCP�AMU<FQB.�m24F�64DJhOE!3!6~- ��D=^=59u<P)LCA D'6?;4K#�MPHD468'aWOj.PQPQAM�t:/LMWOL$FRsLM6�6?j4K ��ª LM3 69UVo98!:�S�TC^n6?TMF¢S|2=P�uV6��vLCP�AMU<FQB.�mD�o4D43�s�Sru<3ON�6?LMF�FHBqF�DJKHF�D4:<S|D=ACACD �Cª FR-�0'Dko?j=:V3lDS�2=P�u<6��©TM: <"�� #�§ <"�� #�§ �Mª >@L$3�s�D46�6?j4K��'ª WOLCA��lª«LMFrWOj.ACAR24o?T$o?L_TCP�D�6?L$:/LMF�6?LCACLMFQFt6?;4KLC^=5�u<6{TM:<TMF}j=:<5bD43k�vLCPQAMUVFHB.�m24F}64DJhO3l243!6~slD=Sru@F�DJKHF�D4:<S|D=ACACD �lª«L$F}N!L'3OLCSpF�DJKHF�D4:<S|D=AMARD��Mª FC-O��A6�8!:/;=3?>@;.AM3OLaD=A]LM:<B4>!>Ou+'��vLCPQA$U<FHB.�m24FQG=: - -�LMWl24F#3OLCS�:/LMWOL$F�u<:V5?LM3iT$: s?o=D=^=5�u/P �'ª 3OLM6tLC^.^=5?LM:OFH;4>!>TM:<L�o4D43nSru<3bF�Dr�vLCPQAMUVFHB.�m243lD46~slo=D=^=5�u/P]D=A���h@j=3bFQ� � ^4K�2=�d3lD46{�yª«T$:/L�o=D43�-

��- -�LM^=598!67�vLM: s!WOj.^=5io=D43 �'ª >~LM3n0'D=Sru<:VFHj=3�ª �!FR- ��LC^=5�8!67Dr0'D=Sru<:VFHj=3�ª �!FaLM:<PQB!s!WlDJK�S|D=N�uV6~s!;=FQ;4ªN�uV6~s�P F�>\-�TM:<TMFR-9��ACLM6�N!L��O3!U/�$u/GtPQACL$KHuV3bF}�d8O^.^.LMF�:/LM3_TM:<LM6~s�� ��� � � ���� o=D=^=5�� ��� � � ��� � �� o=D43i>~LM:/B!:V8!6TCP_StuV3ON!LC^=59uV61:<LC�vLCN LM^=5 }ª >@LM:Vu'h@j=3bFHj=FR- � ^=5�o=D=^=5�Sru<3ON!LM3 }ª >@LM:Vu sZo4D=^=5�LM^=5©69uVo?TMFHLM:<T$ªo?LM:#Sru<3ON!LM3 }ª >@LM:Vu h@j=3bFHj=F�:<LC�vLCN!Bkh�2JKHj.P�U<FH2=P�F�64DJhOFQE!3!6~- # :V5?LM3 D=ACj=3?>�D433OLCS :/T$FHLCAMWOLMFCs WlD� ��"�� #��-7 � � �.§ �9s W!u<PQACL$3©LC^=5�6�u<o?TMFQLM:/T$o?LM: StuV3ON!LM3 �qª >~LM:<uV3OLM6 :<LM3!3OL_6�8!:/;=3?>@;.ACB�PQACj.S�ªPQAMTCN�`HD�-

�!-F)�ArTM:<LM6�PQAR2=S|D{D7�vj=6�PQAR2=Stj=6�;.PQPQACLM^.TM3OLM6�D{�vLM:<L=-���>!>~LM3D7^4K�2=�/>�D43�Sru<3ON!L$3�h@j=3bF��vj=64D0'�sU<^=5 �+� % �� � .¦�-~��E!:<L$K¢�vj4K�S¢E!:d2H`HDnP�ACL$KHuV3�F¢�q§�� � �G� �9s�LCACT�KHF � � ��§�¯.¦<� ' �9-@0'D¡bª o=D4:O`QL$:/;=: `�8!6�D=A ;=FHPQAC;.^=:/DJh@j=6qP�AR2=S|24FRs~D4696?j4K�°.¡ �©¯)" � §�¡$#.� � �.syW!u<PQACLM3�StuV3ON!LM3�TM:�6?TMF:/DJh�WlD4FH2JK�243qo=D43qK�D `�F�D�-l��>!>~B=: °.¡ �©¯ � ' ��§ ¯?¡A� �� .¦�sOFHLMWl24F�¡A� ¯ �S' �'§ �� .¦ � ¨ �9--�L$Wl24F�¨ ��;=FHPQAC;.^tTCP �=¦�WlD4FHPQAC;.^ro=D43nD:' ��:/DJhq6?;.AC;=F�FR-

�9- �?LM:<;=: `�8!6 D��CP �O�CPQj=64D4FqD�0'D=Sru<:VFHj=3�ª 6?;4KqPQACL�KHu<3bFqPQj4K�>�D43E3 � �43 � � ,�,�, �43 � � ª 3OL$: - �a59uV:<o4243bo=D4:<G!sWOj.^=5 3 � �43 % �43 � ,�,�, �43 � ��� � LC^=5���h~j=3�FQ�©FQLM: `QLMP�K�TCPQAC^4K�2=� `HD D�^4K�2=�d3lD46~- ��ACT�KHF �D"�� # 7¥�)-��2=P K�TMPQAMFZWlD 3 � � ��� ª LMFZTCP�3 � �Yª FZLM^=5bDJK�243�F�D=A � ª«LMN�u<67PQA$U<3!3OLM:�P�AMU<3OLMACAM8!6�X � � ¨ � ,�,�, �H�\c�s9D46�6?j4KD�^4K�2=�vj=Fn��PQAMUV3!3OLM:Z`QG=:�69u<PQAMUV3OLCAMF�8!6~s}W!u<PQACLM3�LCACL$6 D h�2JK�j=6�3OLCS TM:/L$u D�^4K�2=�d3lD46y- - LMWl24F�D"�� # $©��TMP]U<^=5 �D"�� #��1�)-

��-F) �vLM:dD=NOD4F �'ª >@LM:Vu -5) I7� G�D4:<^.j4KHu<FQS¢EOP�PQLC^=UVFHPQTM^.TMo?LM: � �� u/N!BqD4:/D4FQF�S�LM^_FQEON�`�E!6�WlD4F�2JK�j.A$3!u

LC^=5q6�u<o424:/D=PQAMFHj=FQF�h~j=3�F�F�24o?j=:<PH2=^?24F�D7FQ;4>!>Ou h@j=3bFQFHG=: -@0'D{LCA$F�Sru<3ON!L$3�h@j=3bF�K�D7S�LC^=FQLCPQPQAM8!6ysD46�6?j4K � �

% u<N!BqD4:dD4F�F�K�L$3ON!LM:<6?LMACTCP K�L{24:V:)>�2JK�S�LM:V5�6?TMF�h~j=3�F�F�24o?j=:<PH2=^?D�-@��ACLM6�6?;.AM8!: ����� �� ���

Page 62: feladatok kombinatorika

� � � � � � �S�� � � ��� ����9 � ��� ��� �.����� � � � � �u<N!BiD4:/D4FQF]6�u�FQEON�`�E!6_o424:/D=PQAMF�D43!u Dt:<LC^=3lD=^=5?j4>!>�D4F]TCP}LM:<N!;=3bFHLM3!u syWOj.^=5{LCA�3lD=^=5?j4>!>!ª L ¡bª 3l24: -

�9-]0'D � � : � �� � � �?:����� s D4696?j4KkD=A�j.PQAMFHG=6�PQAR2=S�D� �� ��� " � � � ¨F#$- �quVo?LM:¢D�¨.¨�h!KHU<SksZLCAMT$KHFo4D4:dD=StLM:V59uV6 " � �/� ¨F# ª 3OLM6|j.PQAMFQWlD4FHG=3lD46t6?LM:V:~:/L$3!3!u/Lr¨.¨Mª«^=5?LM: s�o4D=^=59u<P � � 7 ¨�¦�- ��u/PQAMj=3�FZLM6�6?j4K3b59uV:<o4243bo=D4:<G!s�WOj.^=5{�=7 � � � � ¨�¦ ���!s�o4D=^=59u<P]��3OLCS�:<LMWOLMF}Wl2JK�j.Sa`QLC^=5�[�-

­�-F)��Mu<6�:<uV69EOP��CPQj4h@j4KQF�6?j.S�S¢E!FHD4FQU<oys=U/^=5rSru<3ON!LM3 ��K�TCPQAC�MPQj4h@j4KHF K�D�TCP���LM:<LCSrK�L]FHLM: `QLCP�8!:���� ���� sOD=ARD=A � 3Oj4KHS|24:<j.PQAMFHG!-

� ��� � �O( /'� � � �

,.- G9AR2=Stj=: `�E!6n;.PQPQACL�Wl243b5��vT$:/LM6?T�h!h@LM3�:/L$WOLMF �4��698!:<;=3?>@;.ACB|F�2JKH^=5�>@G=:\��NODJK�DJ>@j=F}6�u<o424:/D=PQAMF�D43!u -- EON�`�E!6ys�WOj.^=5tLCAMF � �� � S�G�N!j=3i:/LMWOL$F�S�LC^=FQLM3!3!u -���j.P F�FHLC^=5�8!6r�vLM: s�WOj.^=5�h~j=3�FQj.PHD437�kF�2JK�^=5hOu K�j.P K�Dko4D43�vLCP FQo?L=-5KZPQj4h~j4KHFHj.P�UVFHP�E!6�D=A�LMPQLMFHLM6?L$F�D=PQACL$KQu<3bFRs WOj.^=5�Wl243b5�hOu K�j.PHD4F�o=24:/D=PQAMFHj=F ªFQE!3!6y-!z�h!h@L$3 � ¡ � �

�{§ ¡ �LCP�LMF�>@L$3�o=24:/D=PQAMFQj=FQFQE!3!6nh@j=3bFHj.PHD43¡nhOu K�j.PHD4FC-���AMF�StuV3ON!LM3 ¡bª K�D_;.PQP�ACLC^.LCAMo?L�EO^=5bD43lD=AMF�6?LM:V:64DJhO3�E!3!6ys�Sru<3bF�D=A�LM:<PQB|LCPQL$F�>@LM3�-

f9- ��LCS h�2JK�j.PMs�StL$KHF o=D43{>@LM3!3OL�h�2JK�D4FQ:dD43kWOj.PQPQAM�n6?;4KR-

��- -�LM^=598!6|�vL$: s�WOj.^=5�PQLCS ��ª >@L$3kPQLMS �'ª >@LM373!uV3O�CP 6?;4KR-���6�6?j4K ��ª >@L$3kTCP ��ª >~LM3_u<P�:<LC^.�vLM: `QL$>!>�{§�¨�TM:�:/LMWOL$F�X ��Dr^4K�2=��h@j=3bFm`HD4uV3lD46kPQAC2=S|D?c$-�- EON�`�E!6_D=ACj=3?>�D43�slWOj.^=5 � <"�� #�� � � <" � #�� �� " �{§�¨F#�� �9- ��u<PQACj=3bF�LCA�� � �tLCPQLMFQTM3q3lD=^=5?j4>!>qSru<3bF �4�{§ �9sOD=Stu\LM:V:/L$3�FHStj=3ONO2=PC-

�!-F)�A�2J>!K�243�:/24FQWlD4FHG7LC^=5��|T$KHFQTM69[��vj=:<5bD=S TCP'LC^=5��|T$KHFHT$69[�o=2=^?2=PM-�) �yj4K�N�I �lE!:V6?L$K�PQj=3�FHTMFHL$:SrudD4FQF FHLMWl24FaDtS�DJ¬�u<S|24:Vu/P]�vj=:<5bD=StT$KHFHTM6H#9-

�9- ��:/B.PQAM;4KaS�D `QN�3OLMS D=A';.PQP�ACLCP}f P �!:<5��!F]6�uy6?LM:V:�o=24:/D=PQAMF�D43!u -.) f P �!:<5��lD46i6?;.AM8!:�� 6?;4KHF D4:<6?j=FCsU<^=5i�4ª«�vT$:/LM6?T�h!h@LM3_:/LMWOL$F]LMACLM6�6?;.A$8!:��Jª D4F�o424:/D=PQAMF�D43!u - aF�243lD¢LC^=5t:/L$WOLMFHB.PQTC^�o4D43_LM^=5i�¢P��!:V59�6�u<o424:dD=P�AMF�2=PH2JK�D�s��4ª«LCP F�3OLCS o424:dD=P�AMFQWlD4FQE!3!6ys9o?TC^=8!:yD�6?TMF �xª«;.P�6?;.AM8!:@D=AaLM^=59uV6t6?LM:V: - �'P�PQACLCPQL$3­rStuV3!u/S�24:<u<P'P��!:<5��q�mDto4D43�-

Page 63: feladatok kombinatorika

� � � �S�� � � ��� ����9 � ��� ��� �.����� � � � � � � � �

4

2

22

32

2

3 4

3

25

5

5

s

t

1(1)

0(5)

5(5)

1(1)

3(3)3(5)

3(5)

2(5)3(3)

2(5)

3(3)

3(5)

��- ��:/B.PQAM;4K]3OTMACAM8!6io?TC^=u<^�D=A�T$:/LM6?L$F]TMP P�AR2=S�j=: `�E!67;.PQPQACL4s�Wl243�5i6?TM6�TM:~o4D43�-�0'Drfxª 3OTM:@6?L$o?LCPQL$>!>6?TM6�TM:�o=D43�s D4696?j4K >Ou<AMFHj.PHD43�3!u<3O�CP�uV:<5?LM3��vLCPQAMUVFHB.�mD�- 0'Dno9u<PQACj=3bFr:<LC^?D4:/2J>!>�fko=D43�s D46�6?j4KrD6?;=o?LMF�6?LCACB|D4:<^.j4KHuVFHS¢EOPQPHD4: 6?j=3OP�F�KHEl24:VWlD4FQE!3!6_S�LC^�LC^=57u<:V5?LMFR-���24:/D=PQPQA$E!3!6k69u@6?T$F]FHL$FHPQACB=:<LC^.LCP6?TM6�TM:<LMFRs�S�D `QN�DkFQjxo42J>!>OudD46b>�D43 LC^=5?LCPQT$o?LM:�o424:dD=PQA$FQE!3!6�FHL$FHPQACB=:<LC^.LCP�TM:<LM6?LMFRs�D=S�LM:V5?LM6�3OLCSD4:V6?j=FQ3lD46�6?;4KHF�D=A}LM:<B=FQFHL 69uVo=24:/D=PQAMFHj=F�F�D46964D4: sbD=SrU/^¢�vLMPQAMUVFHB.�m24F�3OLCS 6=DJhOE!3!6ysbD=ARD=AaD=SrU/^¢��§q¨TM:<LMF]69uVo=24:/D=PQAMFHj=F�FQE!3!6~-

�9-F�quVo?LM: ��" ¨ #��R¨ /#-� ¨.s=h@j=3bFHj.PHD437LM^=5_,�®Jª 3OTM:l69u<PQL$>!>{S�LM^.j=:/NO2=P�o4D43�-O¨ # '�� " § � # '�� " § �/# �¨.¨+" S�j�N�¨ /#$- -�L$Wl24FaDrS�LC^.j=:<NO2=P�Dt�!-\X )�A�;.PQP�ACLCPaStLC^.j=:/NO2=P}D � �1¨ ?¡{D4:/D469�nPQAR2=S�j=6y-gc

­�- 8 LC^=5?LM3�� � �H� � � TCP�� � ��� � � - )�AMF 6?LM:V:�>@L$:d24FQ3bE!3!6~s)WOj.^=5 D=AiuV3�o?L�K�A_TMPtD�S¢[!o?LM:<LMF3OLCS�o?LCACLMF}69u � �qª >@G=: s�o4D=^=59u<PCsOWOj.^=5 " � � � � # � � � � TCPa� � � � � � � � � � - " � � � � # ��� �� ���� � � �� � � % � % - �qu<o?L$: � 3Oj4K�S�24:/j.P�AMFHG!s�� % � % � � ��� % � � D4:V64D4:/S�D=P{� � �nª«LM: -�^=5bD43OLCAMT$KHFq� � "�� � � � #�� � � � � "Y�� �� � #�� � � " � � �� # "�� � � � # � � sZW!u/PQAMLM3 � TCP � u<PK�TMPQAC�CPQj4h~j4KHFR-

� ��� � �O( /'� � � �

,.-+ �� � �$I��vTM:<LM6?T$h!h�:/LMWOL$F�6�u<FQ;=:<FHL$3!u)LC^=5k:<j=FQFHG.P�ACLM:Vo?TM3�5�FR- # PQStTMFQ:<TCPQLCP'6?j.S�>Ou<3l2=�$u/G=o4D4:#D|S�LC^.j=:<NO2=PU<^=5 � � � �1¨�¦�§©¨

¨�¦ � �� #��?¦ � .¦ �T' #.°�#�#=¦?° �� � �=¦�' �9¨��!¨�¯.¦ � �'?°�#T'�¨ �9¨�¯?°�#T#9¨ #T' #S#=¦.¯ �.¦ �9¨ ?°T' #�¨ �=¦ .¦�'� # ��#T'=¯�¨�¦ �

f9-F)�A�2J>!K�243n:/24FQWlD4FHG=6_Dr6?L�K�LCPQLMF�F}�vLCP�AMU<FQB.�m246~-��- 8 LC^=5?LM3�� � TCP � � D=A��qTM:]LM:<WlD=^=5b2=PQ24o=D4:]6?LM:/L$FQ6?LCACB�6?TMFt6?j.Srh~j=3OLM3OPC-�8 LC^=5?LM3 " ' � ( #�� �

�O^=5?s?WOj.^=5 ' h@j=3bFm`HD�� � ª 3OLM6�TCP ( h~j=3�Fv`HD�� � ª 3lD46y-�0'D�o4D43 �Mª F�F�DJKQF�D4:/S�D=ACG�FHL$: `QLCP�h�2JKHj.P�U<FH2=PCs

Page 64: feladatok kombinatorika

� � � � � � �S�� � � ��� ����9 � ��� ��� �.����� � � � � �

D46�6?j4KaLCA�S�LC^?D=NnLM^=5�>@L$3qLC^=5{FHLM: `QLCP}h�2JK�j.P�UVF�2=P�F � � § * ' ,Cª >@LM3�TCP � � § * ( ,Cª >�D43_u/PC-l��6�6?j4KLCAMLM6{h~j=3�FQPQAR2=S|D�h�2JK�j.PCs!U/^=5k¡7TCP ��h�2JK�D4F�:dD43�slD=Stu >@B=:\6?;=o?LMFQ6?LMAMu<6ys!WOj.^=5_¡�� u/PZh�2JK�D4FQ:/D43�-

�!-F) P�j4K�j.P�6?;=FHTCP�LCPQLMFQTM3_D�S|DJ¬9u/S�24:<u<P��vj=:<5bD=S T$KHFHT$6?L ���� " � � � �� #$- # :<5?LM3{T$KQFHTM69[�o=2=^?2=P#3�5�u<:Vo=243

o4D43�XYWlD � � D�6�u/P�L$>!>\sbD4696?j4K�D=AZLM:/P�B��vj=:V5bD=S LM^=5�StuV3!u/S�24:<u<P�o=2=^?2=PQD?c$s4WlD'h~LCN�u<^�o?j=:<3lD�69u<PQL$>!>o42=^?2=PCs]D4696?j4KkLCAD=A�LM^=59uV61�vj=:V5bD=St3lD46�o?j=:<3lD©D StuV3!u/S�24:<u<P�3l24:�69u<PQL$>!> o42=^?2=PHD�- ) ��j4K�N�I�lE!:<6?L�K�PQj=3�FHTMFHLM: >@B=: U/^=5kS|2JK�6?;=o?L$FQ6?LCAMuV6qD=A�24:V:<UVF�2=PC-+) h�2JKHW�EOACD=S�j.Pa6?;=FHTCP 3OTM: D�S�DJ¬�u<S|24:Vu/P�vj=:V5bD=S�T$KQFHTM6 � � � �

� - # :<5?LM3_T$KHFQTM69[7o42=^?2=P�3�5�u<:Vo4243ko4D43�X D�6?TMFZStuV3!u/S�24:<u<P]o42=^?2=P�E!3!u<G�`HD?c$s�WlDh~LCN�u/^ o?j=:V3lD¢69u<PQL$>!>{o=2=^?2=PMs9D46�6?j4K�LCAa:<LC^?D4:/2J>!>nD=A}LC^=59uV6|�vj=:V5bD=S�>�D43_D¢StuV3!u/S�24:<u<P�3l24:@69u<PQL$>!>o42=^?2=P�F}D=N�3lD�- # PQStTMF�D �yj4KHN�I ��E!:V6?L$K�PQj=3kFHTMFHLM: >@B=:\6?;=o?LMFQ6?LMAMu<6_D=A�24:<:VUVF�2=PC-

�9- � ������"635#)§ ���F"23�# �?h@j=3bFHj.PHD43�D4696?j4K]h�2JK�j.PCs~D=Sru<6?j4K � ������"23�#� ���F"635# ��- � ^=5kLM:/TM^_D=A$F}>@LM:/24FQ3!u sWOj.^=5 �

�����

� ������"23�# � ��� "23�# �

h�2JK�j.PM-O��A�o�u/PQAMj=3�F]3�5�u<:Vo=243�D=A�XYu K�243b59UVFHj=FQF�c�TM:<LM6kP�AR2=S|243lD4676?TMFHP�ACL$K�LCP�L=s~D=Sru�h�2JKHj.PC-��-F) h!K�j4>O:<TCS|DqF�KHuVo9u/24:Vu/PHD43 ��'ª >@LM:Vu s)WlD�D=N!j=FQF�Dn6?TMF �vª«LMP�h@j=3bFQWlD4:/S�D=A=s D4696?j4K¢6?;=3!3�5?LM3�LM: ª

:<LM3OB4KHu<AMWOLMFHB!s�WOj.^=5t69u<LM:<TC^=U<F�u<6bª«L�D¢�vLM:<FQTMFHLM:<LM6?LMFR-.IZLM:/24Fm`�E!6ys�WOj.^=5 ��'ª FQLM: `QLMPC- ��LMACLCPQP�8!6�o9u<PQPQARDK�27D�6�:<uV696kh!KHj4>O:/TCS�24FR-@0'D�64DJhOE!3!6qLC^=5 � ^4K�2=�vj=F�TCP�LC^=5 �#PQAR2=Stj=FRs~TCP�L$: 6?LM:V:)N!;=3�FQLM3�8!3!6ysWOj.^=5io4D43�ª«L'L$>!>~LM3�D ^4K�2=�/>�D43kFQLM: `QLMP �vª«LCPMsOD4696?j4KZ6?j=3OP�F�KQEl24: `�E!6_S�LC^tD� � ^4K�2=�vj=F��O^=5?s�WOj.^=5��ª 3OLM6 D&3��CP �O�CPH24WOj.A{�CPHD4FHj=: `�E!3!6 LC^=5�FHLM: `QLCP �mª LCP�^4K�2=�vj=F �O^=5?s�WOj.^=5 ��ª 3OLM6 TMPtDnFHL$: `QLCP �vªLCP 3OLM67LC^=5?LMFQ:<LM3_6?;.AC;.P�h@j=3bFm`HD :/LC^=5?L$3�sOD 3l- �qu<3ON!L$3 3 0"�� # ª KHL'3OTMACAM8!67S�LM^!s9WOj.^=5|o4D43�ª«L� � ª >~LM3�6?TMF � � ª LCP]K�TCP�AC^4K�2=�«s@D=StLM:<5?L$693OLM6kLC^=5k6?;.AC;.PZh@j=3bFm`HD|o=D43�-O��;=3!3�5?LM3�:/24FQWlD4FHG!sOWOj.^=5D46�6?j4KaTCP �CPHD46_D46�6?j4K}o4D43 ��ª >@L$3qFHLM: `QLCP �vª«LCPCs!WlD�o=D4:/D=S�LM:V59uV6 3.ª KHL�:<LCPQA�uV:V5?LM3 � � ª >@L$3�-

�9- - EON�`�E!6ys WOj.^=5��-" ¨�¦.¦/#&� ¨�¦.¦ ¨ § �� � ¨]§ � � � �?¦�- )�A���E!:<L$K�I ��L$K�S|D4F_FHTMFHL$:�D4:/DJhM`H243�sSru<o?LM: ��" �=¦.¦�'�R¨�¦.¦/#-� ¨.s

�=¦.¦�' � � � ¨0" Stj9N�¨�¦.¦/# ��=¦.¦�' � � � �=¦.¦�' � � '

� � " S�j�N�¨�¦.¦/# �

Page 65: feladatok kombinatorika

� � � �S�� � � ��� ����9 � ��� ��� �.����� � � � � � � �)�

-�L$Wl24FaD=A�E!FHj=:/P�Gt6?TMF `QLC^=5_¦ �-­�- -�LM^=598!6��vLM: s\WOj.^=5�Sru<3ON!LM3 L$:/LCS K�LM3ON�`QL��)s\TMP¢¡qo=D4:<G.N�u�j.P�AMFHG�`HD_�yª 3OLM6~s ¡��D� �)-@��6�6?j4K � �

K�L$3ON�`QL�:/LM^.�vLM: `QL�>!> ¡A;©�)s�W!u/PQAMLM3�" � � # � � � � � �.-