fels}obb matematika villamosm ern ok oknek { kombinatorikus...

Felsobb matematika villamosmernokoknek –Kombinatorikus optimalizalas

Grafok osszefuggosegenek meghatarozasa, minimalis vagaskeresese

2020. aprilis 7.

Bevezetes 0:24

Egy graf akkor osszefuggo, ha barmely csucsabol barmely masikcsucsaba vezet ut. Definialhato a magasabb osszefuggoseg is, amia gyakorlatban is hasznos fogalom pl megbızhato halozatoktevezesekor.

Egy G graf akkor k-szorosan pontosszefuggo (k-of), ha (1)|V (G )| ≥ k + 1 es (2) barhogy is torlunk G -bol legfeljebb k − 1csucsot, azt G tuleli (vagyis osszefuggo marad). Menger teteleszerint ez azzal ekvivalens, hogy G barmely csucsabol barmelymasik csucsaba vezet k olyan ut, amelyek kozul semelyik kettoneksincs kozos belso csucsa. (Az (1) feltetel jelentosege, hogy annakhianyaban Kn barmilyen k-ra k-of lenne. G pontosszefuggosegeκ(G ) = k , ha G k-of, de nem (k + 1)-of. Pl. κ(Kn) = n.Az 2-elof ill 2-of grafok strukturajat fogjuk vizsgalni, es altalbanazt nezzuk meg, hogyan lehet egy grafban minimalis vagast talalni,azaz minimalis szamu el torlesevel elerni, hogy G ne maradjonosszefuggo.

Bevezetes 0:24

Egy graf akkor osszefuggo, ha barmely csucsabol barmely masikcsucsaba vezet ut. Definialhato a magasabb osszefuggoseg is, amia gyakorlatban is hasznos fogalom pl megbızhato halozatoktevezesekor.Egy G graf akkor k-szorosan elosszefuggo (k-elof), ha barhogy istorlunk G -bol legfeljebb k − 1 elt, azt G tuleli (vagyis osszefuggomarad). Menger tetele szerint ez azzal ekvivalens, hogy G barmelycsucsabol barmely masik csucsaba vezet k olyan ut, amelyek kozulsemelyik kettonek sincs kozos ele. A G graf elosszefuggosegeλ(G ) = k , ha G k-elof, de nem (k + 1)-elof. Ez az ertekmegegyezik G minimalis vagasanak meretevel, ahol minimalisvagas az olyan leheto legkevesebb elbol allo halmaz, amit elhagyvaG nem marad of.


Bevezetes 0:24

Egy G graf akkor k-szorosan pontosszefuggo (k-of), ha (1)|V (G )| ≥ k + 1 es (2) barhogy is torlunk G -bol legfeljebb k − 1csucsot, azt G tuleli (vagyis osszefuggo marad). Menger teteleszerint ez azzal ekvivalens, hogy G barmely csucsabol barmelymasik csucsaba vezet k olyan ut, amelyek kozul semelyik kettoneksincs kozos belso csucsa. (Az (1) feltetel jelentosege, hogy annakhianyaban Kn barmilyen k-ra k-of lenne. G pontosszefuggosegeκ(G ) = k , ha G k-of, de nem (k + 1)-of. Pl. κ(Kn) = n.

Az 2-elof ill 2-of grafok strukturajat fogjuk vizsgalni, es altalbanazt nezzuk meg, hogyan lehet egy grafban minimalis vagast talalni,azaz minimalis szamu el torlesevel elerni, hogy G ne maradjonosszefuggo.

Bevezetes 0:24


λ(G ) meghatarozasa folyamokkal 9:25

Ha λ(G )-t keressuk, akkor azt szeretnenk megallapıtani, mennyi alegkevesebb el, aminek a torlesetol G szetesik, azaz G egy u es egyv csucsa kozott nem lesz ut. Rogzıtett u, v eseten egyetlenfolyamalgoritmussal meg tudunk hatarozni egy minimalis uv -vagastG -ben (c ≡ 1 es G minden elet oda-vissza megiranyıtjuk). Ha azosszes lehetseges u, v csucsparra ezt megtesszuk, akkor a kapottlegkisebb vagas G egy minimalis vagasa lesz.

Ennel azonban van jobb modszer is. Legyen v a G egy kituntetettcsucsa. G barmely minimalis vagasa olyan, hogy ha elhagyjuk azeleit, akkor lesz G -nek olyan u 6= v csucsa, hogy u es v kozot nincsut. Ezert G barmely minvagasa olyan, hogy megkaphato akituntetett v -t egy alkalmas u csucstol szeparalo minimalisvagaskent egyetlen folyamalgoritmussal. Ezert ha v -t rogzıtjuk,akkor elegendo n − 1 folyamalgoritmust futtani, ahol n a G csucsaiszama. (Tkp. λ(G ) a λ(u, v)-k minimuma, ahol v rogzıtett, upedig bmelyik masik csucs lehet.)

λ(G ) meghatarozasa folyamokkal 9:25

Ha λ(G )-t keressuk, akkor azt szeretnenk megallapıtani, mennyi alegkevesebb el, aminek a torlesetol G szetesik, azaz G egy u es egyv csucsa kozott nem lesz ut. Rogzıtett u, v eseten egyetlenfolyamalgoritmussal meg tudunk hatarozni egy minimalis uv -vagastG -ben (c ≡ 1 es G minden elet oda-vissza megiranyıtjuk). Ha azosszes lehetseges u, v csucsparra ezt megtesszuk, akkor a kapottlegkisebb vagas G egy minimalis vagasa lesz.Ennel azonban van jobb modszer is. Legyen v a G egy kituntetettcsucsa. G barmely minimalis vagasa olyan, hogy ha elhagyjuk azeleit, akkor lesz G -nek olyan u 6= v csucsa, hogy u es v kozot nincsut. Ezert G barmely minvagasa olyan, hogy megkaphato akituntetett v -t egy alkalmas u csucstol szeparalo minimalisvagaskent egyetlen folyamalgoritmussal. Ezert ha v -t rogzıtjuk,akkor elegendo n − 1 folyamalgoritmust futtani, ahol n a G csucsaiszama. (Tkp. λ(G ) a λ(u, v)-k minimuma, ahol v rogzıtett, upedig bmelyik masik csucs lehet.)

κ(G ) meghatarozasa folyamokkal 15:33

Az elobbi otlet mukodik a pontosszefuggoseg meghatarozasara is.Ha az osszes u, v csucsparra meghatarozzuk κ(u, v)-t (az u es vkozott futo, belsoleg paronkent pontdiszjunkt utak maximalisszamat), akkor κ(G ) = min{|V (G )| − 1, κ(u, v)} alapjan κ(G )meghatarozhato. Egyetlen κ(u, v) meghatarozasa szintenlehetseges a folyamalgoritmussal, ha az eleket oda-visszamegiranyıtjuk, a csucsokat szethuzzuk es minden elnek 1kapacitast adunk.

v vbe vki

Pontosszefuggoseg meghatarozasakor azonban nem mukodik amasodik otlet: nem rogzıthetjuk az s = v csucsot, mert lehet,hogy v -t el kell hagyni G minimalis vagasban.

Grafok 2-elosszefuggosegi strukturaja 21:05

A G graf akkor 2-elof, ha G of, es G -nek nincs elvago ele, azazolyan ele, amit elhagyva G szetesik.

Def: A G graf 2-komponensei a G elvago eleinek elhagyasavalkapott graf komponensei. Egy 2-kompnenens izolalt, ha 0, level, ha1 es belso, ha legalabb 3 elvago el indul belole. `(G ) ill. `′(G ) a Glevel ill. az izolalt 2-komponensei szamat jeloli.

Tetel: A G graf 2-elosszefuggove tetelehez szukseges behuzando

elek minimalis szama⌈`(G)+2`′(G)

2

⌉.

Biz: Minden level 2-komponensbol ki kell indulnia egy uj elnek,minden izolalt 2-komponensbol legalabb 2-nek. Mindig be lehethuzni olyan elt, ami a formula erteket 1-gyel csokkenti.


A G graf akkor 2-elof, ha G of, es G -nek nincs elvago ele, azazolyan ele, amit elhagyva G szetesik.Def: A G graf 2-komponensei a G elvago eleinek elhagyasavalkapott graf komponensei. Egy 2-kompnenens izolalt, ha 0, level, ha1 es belso, ha legalabb 3 elvago el indul belole. `(G ) ill. `′(G ) a Glevel ill. az izolalt 2-komponensei szamat jeloli.

`(G) = 7

`′(G) = 1izolalt

level

belso

egyeb



2

⌉.




`(G) = 7

`′(G) = 1izolalt

level

belso

egyeb

Megf: A G graf 2-komponenseit egy-egy pontba osszeolvasztvaolyan erdot kapunk, aminek elei a G elvago elei. Ha G osszefuggo,akkor ez az erdo fa.



2

⌉.




`(G) = 7

`′(G) = 1izolalt

level

belso

egyeb



2

⌉.


Grafok 2-osszefuggosegi strukturaja 31:03

G akkor 2-of, ha G of, |V (G )| ≥ 3, es G -nek nincs elvago pontja.

Def: Blokk: elvago pont mentes of graf. Maxblokk: maximalisblokk reszgraf. G egy maxblokkja izolalt blokk (levelblokk), haG -nek 0 (1) elvago pontjat tartalmazza. m(G ) ill. m′(G ) a G levelill. az izolalt blokkjai szamat, b(G ) pedig az ugyanazon elvagopontra illeszkedo maxblokkok maximalis jeloli.

Tetel: A G graf 2-osszefuggove tetelehez szukseges behuzando

elek minimalis szama max{

b(G )− 1,⌈

m(G)+2m′(G)2

⌉}.

Biz: Mindig be lehet huzni egy elt ugy, hogy a formula erteket1-gyel csokkenjen, ezert a formula altal megadott szamu elelegendo.


G akkor 2-of, ha G of, |V (G )| ≥ 3, es G -nek nincs elvago pontja.Def: Blokk: elvago pont mentes of graf. Maxblokk: maximalisblokk reszgraf. G egy maxblokkja izolalt blokk (levelblokk), haG -nek 0 (1) elvago pontjat tartalmazza. m(G ) ill. m′(G ) a G levelill. az izolalt blokkjai szamat, b(G ) pedig az ugyanazon elvagopontra illeszkedo maxblokkok maximalis jeloli.

izolalt

level

egyeb

m′(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 4



b(G )− 1,⌈

m(G)+2m′(G)2

⌉}.




izolalt

level

egyeb

m′(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 4

Megf: A G graf maxblokkjai az elvago pontok menten faszeruenkapcsolodnak: ha minden maxblokkot egy csuccsal helyettesıtunk,amit a G maxblokkbeli elvago pontjaival kotunk ossze, akkor ıgyolyan T2(G ) erdot kapunk, aminek csucsai a maxblokkok es Gelvago pontjai. Ha G of, akkor T2(G ) fa. T2(G ) izolalt pontjai azizolalt blokkoknak, a levelei pedig a levelblokkoknak felelnek meg.



b(G )− 1,⌈

m(G)+2m′(G)2

⌉}.




izolalt

level

egyeb

m′(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 4



b(G )− 1,⌈

m(G)+2m′(G)2

⌉}.




izolalt

level

egyeb

m′(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 4



b(G )− 1,⌈

m(G)+2m′(G)2

⌉}.

Biz: Minden levelblokkbol kell indulnia uj elnek, minden izolaltbollegalabb 2-nek. Ha egy elvago ponton b(G ) maxblokk ul, akkormar emiatt legalabb b(G )− 1 el szukseges.

Mindig be lehet huzniegy elt ugy, hogy a formula erteket 1-gyel csokkenjen, ezert aformula altal megadott szamu el elegendo.



izolalt

level

egyeb

m′(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 4



b(G )− 1,⌈

m(G)+2m′(G)2

⌉}.


Graf elosszefuggosegenek meghatarozasa I. 40:44

Cel: Adott G = (V ,E ) n csucsu grafra es c : E → R+

kapacitasokra λc(G ) meghatarozasa, azaz a leheto legkevesebbosszkapacitasu elek torlesevel elerni, hogy G szetessen.

Megf: Legyen E (X ) egy minimalis vagas G -ben a c kap.fv-re. Haa c-vel aranyos eloszlassal random e elt valasztunk, akkorP(e ∈ E (X )) ≤ 2

n , azaz P(e 6∈ E (X )) ≥ n−2n .

Megf: Ha e 6∈ E (X ), akkor az X altal reprezentalt minvagas az eosszehuzasa utan is megmarad. Ezert annak a valoszınusege, hogyaz E (X ) minvagas egymas utan n − 2 random elosszehuzast tulel,legalabb n−2

n ·n−3n−1 ·

n−4n−2 · . . . ·

13 = 2

n(n−1) .Karger algoritmusa: c-vel aranyos eloszlassal valasszunk randomelt, es huzzuk ossze. (Elosszehuzasnal itt a parhuzamos eleketmegtartjuk, a hurokeleket toroljuk.) Ismeteljuk ezt egeszen addig,amıg a graf ket csucsu marad. A ket csucs oskepe altalmeghatarozott vagas egy jelolt a G minimalis vagasara. Annak avaloszınusege, hogy k · n2 ilyen jelolt kozott E (X ) nem fordul elolegfeljebb e−2k .



kapacitasokra λc(G ) meghatarozasa, azaz a leheto legkevesebbosszkapacitasu elek torlesevel elerni, hogy G szetessen.Megf: Legyen E (X ) egy minimalis vagas G -ben a c kap.fv-re. Haa c-vel aranyos eloszlassal random e elt valasztunk, akkorP(e ∈ E (X )) ≤ 2

n , azaz P(e 6∈ E (X )) ≥ n−2n .


n ·n−3n−1 ·

n−4n−2 · . . . ·

13 = 2





n , azaz P(e 6∈ E (X )) ≥ n−2n .

Biz: 2c(E ) =∑{c(E (v)) : v ∈ V } ≥ n · λc(G ), ıgy

P(e ∈ E (X )) = λc (G)c(E) ≤

2n .


n ·n−3n−1 ·

n−4n−2 · . . . ·

13 = 2





n , azaz P(e 6∈ E (X )) ≥ n−2n .


n ·n−3n−1 ·

n−4n−2 · . . . ·

13 = 2





n , azaz P(e 6∈ E (X )) ≥ n−2n .


n ·n−3n−1 ·

n−4n−2 · . . . ·

13 = 2

n(n−1) .

Karger algoritmusa: c-vel aranyos eloszlassal valasszunk randomelt, es huzzuk ossze. (Elosszehuzasnal itt a parhuzamos eleketmegtartjuk, a hurokeleket toroljuk.) Ismeteljuk ezt egeszen addig,amıg a graf ket csucsu marad. A ket csucs oskepe altalmeghatarozott vagas egy jelolt a G minimalis vagasara. Annak avaloszınusege, hogy k · n2 ilyen jelolt kozott E (X ) nem fordul elolegfeljebb e−2k .




n , azaz P(e 6∈ E (X )) ≥ n−2n .


n ·n−3n−1 ·

n−4n−2 · . . . ·

13 = 2


Karger algoritmusanak illusztracioja 46:24

Az osszehuzando random elt piros szın jeloli. A vegso vagasjeloltaz {a, d , e} csucshalmazbol kilepo elek halmaza.

abf

c

deg

a

de

g

bcf

bcfgade

g

bcfade

ab

c

d

ef g

ab

c

def g

Graf elosszefuggosegenek meghatarozasa II. 51:00

Cel: Gyors, egyszeru determinisztikus algoritmus λ(G )meghatarozasara. (λc(G )-re is mukodik, de most c ≡ 1.)

Def: A G graf csucsainak v1, v2, . . . , vn maxvissza sorrendje, haminden i = 1, 2, . . . , n eeten vi azon csucsok egyike, amelyik alegtobb ellel kapcsolodik a {v1, v2, . . . , vi−1} halmazhoz.Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan talalhato.Tetel: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn, vn−1) = d(vn).Kov: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G ) = d(vn) vagy λ(G ) = λ(G/vn−1vn), ahol G/uv az u es vcsucsok egybeolvasztasaval kapott graf.Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet generalunk,es az utolso ket csucsot egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ismeteljukegeszen addig, amıg csak 2 csucs marad. Minden koztes grafutolso csucsabol kiindulo elek altal definialt egypontu vagasnakmegfelel az eredeti G graf egy vagasa. Ezen n − 1 jelolt kozul alegkevesebbelt tartalmazo az output: ez G egy minimalis vagasa.


Cel: Gyors, egyszeru determinisztikus algoritmus λ(G )meghatarozasara. (λc(G )-re is mukodik, de most c ≡ 1.)Def: A G graf csucsainak v1, v2, . . . , vn maxvissza sorrendje, haminden i = 1, 2, . . . , n eeten vi azon csucsok egyike, amelyik alegtobb ellel kapcsolodik a {v1, v2, . . . , vi−1} halmazhoz.Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan talalhato.

Tetel: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn, vn−1) = d(vn).Kov: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G ) = d(vn) vagy λ(G ) = λ(G/vn−1vn), ahol G/uv az u es vcsucsok egybeolvasztasaval kapott graf.Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet generalunk,es az utolso ket csucsot egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ismeteljukegeszen addig, amıg csak 2 csucs marad. Minden koztes grafutolso csucsabol kiindulo elek altal definialt egypontu vagasnakmegfelel az eredeti G graf egy vagasa. Ezen n − 1 jelolt kozul alegkevesebbelt tartalmazo az output: ez G egy minimalis vagasa.


Cel: Gyors, egyszeru determinisztikus algoritmus λ(G )meghatarozasara. (λc(G )-re is mukodik, de most c ≡ 1.)Def: A G graf csucsainak v1, v2, . . . , vn maxvissza sorrendje, haminden i = 1, 2, . . . , n eeten vi azon csucsok egyike, amelyik alegtobb ellel kapcsolodik a {v1, v2, . . . , vi−1} halmazhoz.Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan talalhato.Tetel: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn, vn−1) = d(vn).

Kov: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G ) = d(vn) vagy λ(G ) = λ(G/vn−1vn), ahol G/uv az u es vcsucsok egybeolvasztasaval kapott graf.Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet generalunk,es az utolso ket csucsot egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ismeteljukegeszen addig, amıg csak 2 csucs marad. Minden koztes grafutolso csucsabol kiindulo elek altal definialt egypontu vagasnakmegfelel az eredeti G graf egy vagasa. Ezen n − 1 jelolt kozul alegkevesebbelt tartalmazo az output: ez G egy minimalis vagasa.


Cel: Gyors, egyszeru determinisztikus algoritmus λ(G )meghatarozasara. (λc(G )-re is mukodik, de most c ≡ 1.)Def: A G graf csucsainak v1, v2, . . . , vn maxvissza sorrendje, haminden i = 1, 2, . . . , n eeten vi azon csucsok egyike, amelyik alegtobb ellel kapcsolodik a {v1, v2, . . . , vi−1} halmazhoz.Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan talalhato.Tetel: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn, vn−1) = d(vn).Kov: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G ) = d(vn) vagy λ(G ) = λ(G/vn−1vn), ahol G/uv az u es vcsucsok egybeolvasztasaval kapott graf.

Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet generalunk,es az utolso ket csucsot egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ismeteljukegeszen addig, amıg csak 2 csucs marad. Minden koztes grafutolso csucsabol kiindulo elek altal definialt egypontu vagasnakmegfelel az eredeti G graf egy vagasa. Ezen n − 1 jelolt kozul alegkevesebbelt tartalmazo az output: ez G egy minimalis vagasa.


Cel: Gyors, egyszeru determinisztikus algoritmus λ(G )meghatarozasara. (λc(G )-re is mukodik, de most c ≡ 1.)Def: A G graf csucsainak v1, v2, . . . , vn maxvissza sorrendje, haminden i = 1, 2, . . . , n eeten vi azon csucsok egyike, amelyik alegtobb ellel kapcsolodik a {v1, v2, . . . , vi−1} halmazhoz.Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan talalhato.Tetel: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn, vn−1) = d(vn).Kov: Ha v1, v2, . . . , vn a G csucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G ) = d(vn) vagy λ(G ) = λ(G/vn−1vn), ahol G/uv az u es vcsucsok egybeolvasztasaval kapott graf.Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet generalunk,es az utolso ket csucsot egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ismeteljukegeszen addig, amıg csak 2 csucs marad. Minden koztes grafutolso csucsabol kiindulo elek altal definialt egypontu vagasnakmegfelel az eredeti G graf egy vagasa. Ezen n − 1 jelolt kozul alegkevesebbelt tartalmazo az output: ez G egy minimalis vagasa.

A Nagamochi-Ibaraki-algoritmus illusztracioja 56:51

A maxvissza sorrendet szamozas, az osszeolvasztando csucspartszaggatott bekeretezes, a vagasjelolteket szaggatott piros ıv jeloli.A legjobb vagasjelolt {c, g} csucshalmazbol kilepo elek halmaza:ez az algoritmus outputja.

ab

cg

d

ef

2

3

6

ab

c

d

ef

2

3

4 5

6

7

aeb

f

1

5

bcg

d

aef

12

3

4

g

d3

3

b

aef

1 1

cg

2

4

1 cdg

cdg

2

5

4

abef

Ennyi!

fels}obb matematika villamosm ern ok oknek { kombinatorikus...

Documents