Felteteles szelsoertek

Keressuk ugy egy ketvaltozos f (x , y) fuggveny szelsoerteket, hogy kozbeneleget tegyunk egy masik, g(x , y) = 0 tıpusu megszorıtasnak.Pelda Hatarozzuk meg egy forgasellipszoidba helyezheto maximalis terfogatuhenger adatait.Legyen

x2 + y 2

a2+

z2

b2= 1

r a sugara, h a magassaga a hengernek → a maximalizalando fuggvenyunk aV (r , h) = πr 2h.Az erintkezesi pontokban x2 + y 2 = r 2 es z = h/2.A mellekfeltetel tehat

r 2

a2+

h2

4b2= 1 .

Altalanos megoldasTetelezzuk fel, g egyenerteku az explicit y = φ(x) osszefuggessel. Azu(x) ≡ f (x , φ(x)) fuggveny derivaltja

du

dx= fx + fyφ

′(x) .

Ugyanakkorgx + gyφ

′(x) = 0 .

Kikuszobolve φ′(x)-et

fxgx

=fygy

, g(x , y) = 0 .

A fenti egyenletrendszer megoldasa legyen (x0, y0). Ekkor

fx(x0, y0)

gx(x0, y0)=

fy (x0, y0)

gy (x0, y0)= −λ

tehat a keresett szelsoertekpont kielegıti a kovetkezo egyenletrendszert:

fx + λgx = 0 ,

fy + λgy = 0 ,

g = 0 ; (1)

fx + λgx = 0 ,

fy + λgy = 0 ,

g = 0 ; (2)

A fenti harom egyenlet egyenerteku az

F (x , y ;λ) = f (x , y) + λg(x , y)

haromvaltozos segedfuggveny mellekfeltetel nelkuli szelsoertekeire kirottfelteteleivel, azaz:

Fx = 0 , Fy = 0 , Fλ = 0 ,

λ-t a Lagrange fele multiplikatornak nevezzuk.

PeldaAz elipszoidba ırt maximalis terfogatu henger eseteben:

F (r , h, λ) = πr 2h + λ

(r 2

a2+

h2

4b2− 1

).

A szelsoertekhelyeket a

Fr = 2πrh + 2λr

a2= 0 ,

Fh = πr 2 + λh

2b2= 0 ,

Fλ =r 2

a2+

h2

4b2− 1 = 0 .

(3)

egyenletrendszer megoldasai szolgaltatjak. Ezek:

r0 =

√2

3a , h0 =

√4

3b , λ0 = −

√4

3πa2b ,

es

Vmax =4π√

3

9a2b .

Funkcionalok

A fuggvenyek tulajdonsagaiktol fuggoen vegtelen szamossagu halmazokbasorolhatok.Pelda

I C n(R) n-szeresen folytonosan derivalhato valos fuggvenyek halmaza;

I L2(C) negyzetesen integralhato fuggvenyek halmaza;∫ b

a

|f (x)|2dx < +∞ ;

I egy felulet ket pontjat osszekoto gorbek.

A fuggvenyeket egyetlen szammal jellemezzuk → lekepezesa fuggvenyek es aszamok halmaza kozott → funkcional

F : Xf → Y ,

ahol Xf fuggvenyek es Y pedig szamok halmaza.

Peldak

I Fuggveny normaja

N[y ] ≡ ‖y‖ =

√∫ +∞

−∞|y(x)|2dx .

I Fuggveny maximuma az [x1, x2] intervallumon

M[y ] = maxx∈[x1,x2]

y(x) .

I Egy y(x) sıkgorbe alatti terulet

S [y ] =

∫ x1

x0

y(x)dx ;

I Megtett utnak valtozo sebessegtol valo fuggese

x [v ] =

∫ t1

t0

v(t)dt ;

I Egy sıkgorbe ıvhossza

l [y ] =

∫ x1

x0

√1 + y ′(x)2dx ;

I Egy T homersekleten egyensulyban levo gaz szabadenergiaja

F [H] = −kT log

∫dr1 . . . drNdp1 . . . pNe−H(r1,...,rN ,p1,...,pN )/kT ,

ahol k a Boltzmann allando es H pedig a gaz Hamilton-fuggvenye. Azintegralas a terkoordinatak eseten a gazt tartalmazo edeny belterere, mıgaz impulzusok eseten a teljes R3N terre tortenik.

A variacios feladat

A szelsoertek feladatok egy nagy osztalya eseteben nem egy erteket keresunk,hanem egy fuggvenyt.Ertelmezheto a funkcional szelsoertekenek fogalma.Egy adott funkcional eseten keressuk, hogy mely fuggvenyek eseten vesz felszelsoerteket.

Peldak:

I Legegyszerubb variacios feladatAdott az

I [y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′)dx

funkcional, ahol az F fuggvenyt alapfuggvenynek nevezzuk. Keressuk aztaz y ketszer folytonosan derivalhato egyvaltozos fuggvenyt, melyre adotty(x0) = y0 es y(x1) = y1 feltetelek mellett az I [y ] szelsoerteket vesz fel.

I brachisztochron problema Johann Bernoulli 1696(brachisztochron=legrovidebb ido)

v =dl

dt, dt =

dl

v, dl =

√dx2 + dy 2 =

√1 + y ′2dx ,

EP =mv 2

2−mgy = EP0 = 0 → v =

√2gy ,

tehat

dt =

√1 + y ′2√

2gydx ,

azaz a

T [y ] =

∫ x1

0

√1 + y ′2√

2gydx

funkcional szelsoerteket keressuk.

I Adott hosszusagu egyeneshez illeszkedo gorbe alatti terulet szelsoerteke .

S [y ] =

∫ x1

x0

ydx

szelsoerteket keressuk a kovetkezo mellekfeltetellel:

l =

∫ x1

x0

√1 + y ′2dx .

Variacio fogalma es az Euler-Lagrange egyenlet

Tekintsuk az

I [y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′)dx (4)

funkcionalt, melyben y = y(x) egy megfeleloen sima tetszoleges egyvaltozosvalos fuggveny es kielegıti az y(x0) = y0 es y(x1) = y1 peremfeltetelek.Mikeppen a fuggvenyek szelsoertekenek meghatarozasakor tortent, afunkcionalok eseteben is szukseges bevezetnunk a funkcional argumentumanak,azaz az y fuggveny kozvetlen kis kornyezetenek fogalmat. Ez alatt az y + δyun. varialt fuggvenyt ertjuk, ahol δy egy megfeleloen sima

”kis” variacio.

Szigorubb matematikai ertelemben az y(x) varialt fuggvenye alatt egyY (x) = y(x) + εη(x) fuggvenyt, variacioja alatt pedig a δy = εη fuggvenytertjuk, ahol η(x) egy megfeleloen sima, de amugy tetszoleges valos fuggveny, εpedig egy tetszolegesen kis valos parameter. Az

I [Y ] ≡ I (ε) =

∫ x1

x0

F (x ,Y ,Y ′) .

varialt funkcionalt egyuttal ε fuggvenyekent foghatjuk fel.

A peremfeltetelek rogzıtett vegpontok eseten δy(x0) = δy(x1) = 0, azazη(x0) = η(x1) = 0 δy ′ = εη′ = (δy)′

δI [y ] = I [y + δy ]− I [y ] > 0 , ∀δy .

I (ε)− I (0) > 0 , ∀η(x) .

A Taylor keplet alapjan

δI [y ] =

∫ x1

x0

[F (x , y + δy , y ′ + δy ′)− F (x , y , y ′)

]dx =

=

∫ x1

x0

(Fyδy + Fy′δy ′

)dx +

1

2

∫ x1

x0

(Fyyδy 2 + 2Fyy′δyδy ′ + Fy′y′δy ′2

)dx + · · · =

= ε

∫ x1

x0

(Fyη + Fy′η

′) dx +ε2

2

∫ x1

x0

(Fyyη

2 + 2Fyy′ηη′ + Fy′y′η

′2)

dx + . . . .

A stacionaritas feltetele

δ1I [y ] =

∫ x1

x0

(Fyδy + Fy′δy ′

)dx

un. elso variacionak az eltunese, azaz

dI

dε

∣∣∣∣ε=0

= 0

Fy′δy ′ =d

dx(Fy′δy)−

(d

dxFy′

)δy .

δ1I [y ] = Fy′δy∣∣∣x1x0

+

∫ x1

x0

(Fy −

d

dxFy′

)δydx = 0 , ∀δy (5)

A peremfeltetelek miatt az elso tag eltunik es az

Fy −d

dxFy′ = 0 (6)

Euler-Lagrange egyenlet

Annak szukseges feltetele, hogy az y fuggveny az I funkcional relatıvmaximumat (minimumat) adja, intervallum minden egyes pontjaban fennalljonaz

Fy′y′ ≤ 0(illetveFy′y′ ≥ 0) , ∀x ∈ [x0, x1]

Legendre-feltetel.A fuggvenyeknel az y ′′(x0) < 0[y ′′(x0) > 0] feltetelek a maximum (illetveminimum) elegseges feltetelei.Funkcionalok eseteben a Legendre feltetel csupan szukseges, de altalaban nemelegseges.

Az Euler-Lagrange egyenlet kifejtett alakja

Fy − Fxy′ − y ′Fyy′ − y ′′Fy′y′ = 0 , (7)

azaz a variacios feladatot visszavezettuk egy masodrendu differencialegyenletintegralasara. Ennek y = y(x ,C1,C2) altalanos megoldasaban megjeleno kettetszoleges integracios allandot a megadott peremfeltetelekbol hatarozhatjukmeg.Ha a keresett y fuggveny az x0 es x1 pontok egyikeben (vagy mindkettoben)nem rogzıtett, tehat δy(x0) 6= 0 vagy δy(x1) 6= 0 akkor az (5) elsorenduvariacio eltunesehez az Euler-Lagrange egyenleten kıvul meg az

Fy′

∣∣∣x=x0

= 0 , Fy′

∣∣∣x=x1

= 0

feltetelek is szuksegesek, amelyek segıtsegevel meghatarozhatok az integraciosallandok. Az ıgy kapott fuggveny termeszetesen a funkcional egy

”erosebb”

szelsoerteket adja, mint rogzıtett vegpontok eseteben, a fent kiszabottperemfeltetelek ugyanis egyenertekuek az I [y(x ,C1,C2)] ketvaltozos (C1 es C2)fuggveny szelsoertekenek szukseges felteteleivel.

Pelda Adott az:

I [y ] =

∫ 2

1

(y ′2 − 2xy)dx

y(1) = 0, y(2) = −1 .F (x , y , y ′) = y ′2 − 2xy , es Fy = −2x ; F ′y = 2y ′; dF ′y/dx = 2y ′′:

−2x − 2y ′′ = 0

y(x) = −x3

6+ C1x + C2

altalanos megoldas. A peremfeltetelekbol

C1 + C2 =1

6

2C1 + C2 =1

3

ahonnan C1 = 16

es C2 = 0 kovetkezik. Tehat ha letezik a szelsoertek, akkor azcsak az

y(x) =x

6(1− x2)

egyenletu gorbe lehet.Mivel Fy′y′ = 2 > 0 az [1,2] intervallum minden pontjaban, a szelsoertekminimum kell hogy legyen, es ennek erteke 223

90= 2.477 . . .

Peremfelteteleket teljesıto mas fuggvenyekre:y = −x + 1 egyenes eseteben: 8

3= 2.66 . . . .

y(x , a) = ax2 − (3a + 1)x + 2a + 1 parabola eseteben

I [y(x , a)] =1

6(2a2 + 3a + 15) .

Minimum az a = − 34

ertekre kovetkezik be

y(x) = −1

4(3x2 − 5x + 2)

→ I = 11948

= 2.479

Ha az x = 2 pontban nem rogzıtjuk az y erteket. Az y(1) = 0 peremfeltetelbol,

y(x ,C1) = − x3

6+ C1x + 1

6− C1 gorbesereg

ahol a C1 parametert az Fy′

∣∣∣x=2

= 2y ′(2) = 0 feltetelbol hatarozhatjuk me.

C1 = 2 erteket kapunk→ y = − 1

6(x3 − 12x + 11) a funkcional minimuma pedig − 53

60, (”erosebb”).

Maskeppen: kiszamıtjuk az I [y(x ,C1)] C1-ben egyvaltozos fuggvenyt, eskeressuk ennek a minimumat:

I [y(x ,C1)] = C 21 − 4C1 +

187

60,

amelynek C1 = 2-ben, eppen − 5360

-nal egyenlo minimuma van.

Az Euler-Lagrange egyenletek invarianciajaSok feladatban hasznos, hogy az

I [y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′)dx

funkcionalban atterjunk az x = x(u, v) es y = y(u, v) transzformacioksegıtsegevel az uj u, illetve v valtozokra. Ekkor∫ x1

x0

F (x , y , y ′)dx =

∫ u1

u0

F

[x(u, v), y(u, v),

yu + yvv ′

xu + xvv ′

](xu + xvv ′)du

≡∫ u1

u0

Φ(u, v , v ′)du ,

a keresett extremalis gorbe v = v(u), es ennek (u szerinti) derivaltjat jeloltukv ′-tel. A szelsoertek szukseges feltetele most mar a

Φu −d

duΦv′ = 0 ,

Euler-Lagrange egyenlet, amelyet az

Fy −d

dxFy′ = 0

egyenletbol kozvetlenul is megkaphatnank a transzformaciok felhasznalasaval,de joval hosszadalmasabb szamıtasok utan. Ez az Euler-Lagrange-egyenletekinvarianciajat fejezi ki a transzformaciokkal szemben.

Ha a transzformacio soran a fuggetlen parameter nem valtozik, azaz x = u,akkor xu = 1 es xv = 0, ahonnan

Φ(u, v , v ′) = F[u, y(u, v), yu + yvv ′

].

Mechanikai rendszerek eseten, a kenyszerek vagy valamilyen szimmetriak miattelvegzett koordinatatranszformaciok eseten is ez a helyzet all fenn.