FP99.-klasseprøven

Matematik

Prøven med hjælpemidler

Maj 2016

To svarark er vedlagt til dette opgavesæt

1 Ferielejlighed i Italien

2 Danskernes mest populære feriemål

3 Peterspladsen i Rom

4 Leje af cykler

5 Femkantede fliser

6 Tal-ligevægt

151058.indd 1 09/02/16 14.04

Amanda og hendes storebror skal på sommerferie i Italien sammen med deres mor og far. Familien overvejer, om de vil leje en ferielejlighed i 7 dage eller i 14 dage. Udlejningsprisen for lejligheden er 7566 kr. for 7 dage og 10 617 kr. for 14 dage.

1.1 Hvor stor er forskellen på udlejningsprisen for 7 dage og for 14 dage?

Familien beslutter at leje ferielejligheden i 14 dage. Ud over udlejningsprisen skal familien betale for leje af sengetøj og for slutrengøring af lejligheden. Leje af sengetøj koster 130 kr. pr. person og slutrengøring 625 kr.

1.2 Du skal vise med beregning, at den samlede pris for leje af ferielejlighed, sengetøj og for slutrengøring er 11 762 kr.

Familien kan få 12 % i rabat på den samlede pris, hvis de bestiller inden den 1. juni.

1.3 Hvor mange penge skal familien betale i alt, hvis de bestiller inden den 1. juni?

Familien finder ud af, at de kan få yderligere 3 % i rabat, hvis de bruger internettet til bestillingen. De kan ikke læse, om rabatten på 3 % bliver trukket fra den samlede pris, før rabatten på 12 % bliver trukket, eller om der først trækkes 12 % og derefter 3 %.

1.4 Undersøg med beregning, om det giver nogen forskel på prisen, om rabatten på 3 % bliver trukket fra den samlede pris, før rabatten på 12 % bliver trukket, eller om der først trækkes 12 % og derefter 3 %.

1 Ferielejlighed i Italien

Foto: Opgavekommissionen i matematik

151058.indd 2 09/02/16 14.04

Amanda læser teksten herunder, der handler om danskernes mest populære feriemål.

Spanien er absolut danskernes mest populære feriemål.

I 2014 gik 15 % af alle ferierejser med mindst fire overnatninger til Spanien, viser tal fra Danmarks Statistik.

Det er 50 % flere end til Italien, som er nummer to på listen over mest populære feriemål.

Amanda undrer sig over, at Spanien og Italien, ifølge teksten, er de mest populære feriemål. Hun beslutter sig for at undersøge de oplysninger, som teksten bygger på, og finder diagrammet til højre på Danmarks Statistiks hjemmeside.

2.1 Hvor mange procent af danskernes ferierejser i 2014 gik, ifølge diagrammet, til enten Italien eller Spanien?

2.2 Du skal vise med beregning, at der, ifølge diagrammet, var 50 % flere ferierejser, der gik til Spanien end til Italien.

Amanda læser på Danmarks Statistiks hjemmeside, at danskernes samlede antal ferierejser i 2014 var ca. 4,8 millioner, og at angivelserne i diagrammet har en usikkerhed på ± 2 procentpoint.

2.3 Hvad er det mindste antal ferierejser, danskerne kan have foretaget til Spanien i 2014, ifølge Danmarks Statistik?

I teksten øverst står der, at Italien er nummer to på listen over de mest populære feriemål.

2.4 Forklar, hvorfor man ikke kan være sikker på, at Italien i virkeligheden er nummer to på listen over danskernes mest populære feriemål, når undersøgelsen har en usikkerhed på ± 2 procentpoint.

2 Danskernes mest populære feriemål

Teg

ning

: Han

s O

le H

erb

st

Ferierejser i udlandetVarighed: Mindst fire overnatninger │ Tid: 2014

Kilde: Danmarks Statistik

Tyskland

0

Procent2 4 6 8 10 12 14 16

Ferie

mål

Tyrkiet

Norge

Sverige

Spanien

Italien

Grækenland

Frankrig

Ordet procentpoint bruges til at angive en forskel mellem procentstørrelser.

Eksempel:Forskellen mellem 5 % og 10 % er 5 procentpoint.

151058.indd 3 09/02/16 14.04

Amanda besøger Peterspladsen i Rom. En del af Peters­pladsen har form som en oval. På billedet til højre er den ovale del af Peterspladsen set fra oven.

Amanda undersøger, hvordan hun kan tegne den ovale del af Peterspladsen. Hun finder instruktionen herunder.

x y

u

v

Figur 1

x y

u

v

Figur 2

x y

u

v

Figur 3

Tegn et linjestykke og to lige store cirkler som vist på figur 1. Cirklerne har centre i linjestyk-kets endepunkter og linjestyk-ket som radius.

Tegn de fire linjestykker, der er vist med rødt på figur 2. Linje-stykkerne går fra cirklernes skæ-ringspunkter gennem cirklernes centre til cirkelperiferierne.

Tegn de to cirkelbuer, der er vist med rødt på figur 3. Cirkel-buerne har centre i cirklernes skæringspunkter og de røde lin-jestykker fra figur 2 som radius.

3.1 Tegn den ovale del af Peterspladsen ved at følge instruktionen herover. Din tegning skal være større end figur 3. Brug evt. et geometri program.

Amanda har også tegnet den ovale del af Peterspladsen ved at følge instruktionen. På Amandas tegning har hver af de røde linjestykker på figur 2 længden 30.

3.2 Hvor lang er radius i cirklerne på Amandas tegning?

På figur 4 til højre er nogle af vinklerne fra figur 3 markeret. Amanda opdager, at vinklerne u og v begge er 60°.

3.3 Forklar, hvordan Amanda uden at måle kan vide, at vinklerne u og v begge er 60°.

Amanda vil beregne omkredsen af den ovale figur på sin tegning. Hun beregner først længden af hver af de røde cirkelbuer.

3.4 Skriv en beregning, der viser, at længden af hver af de røde cirkelbuer på Amandas tegning er 10 · π.

Amanda opdager, at vinkel x og y begge er 120°.

3.5 Hvor stor er omkredsen af den ovale figur på Amandas tegning?

3 Peterspladsen i Rom

Foto: Google Maps

x y

u

v

Figur 4

151058.indd 4 09/02/16 14.04

Amanda og hendes storebror vil leje cykler på deres ferie i Italien.

Boksen herunder viser, hvor mange euro det koster at leje en cykel, en cykelhjelm og en cykeltaske hos udlejningsfirmaet CICLI DEGANI.

CICLI DEGANI

Leje af en cykel: 12 euro pr. dag.

Leje af en cykelhjelm:  5 euro for hele udlejningsperioden.

Leje af en cykeltaske:  7 euro for hele udlejningsperioden.

4.1 Hvor mange euro koster det at leje en cykel, en cykelhjelm og en cykeltaske i 7 dage hos CICLI DEGANI?

4.2 Skriv et regneudtryk, som Amanda kan bruge til at beregne, hvor mange euro hun skal betale for at leje en cykel, en cykelhjelm og en cykeltaske i n dage hos CICLI DEGANI.

1 euro svarer til ca. 7,50 kr.

4.3 Hvor mange dage kan Amanda og hendes storebror leje to cykler, to cykelhjelme og to cykeltasker hos CICLI DEGANI, når de tilsammen højst vil bruge 1500 kr.?

Amandas storebror har fundet priser fra et andet udlejningsfirma, TopBici. Boksen herunder viser, hvor mange euro det koster at leje en cykel, en cykelhjelm og en cykeltaske hos TopBici.

TopBici

Leje af en cykel og en cykelhjelm (i alt): 13 euro pr. dag.

Leje af en cykeltaske:  6 euro for hele udlejningsperioden.

Amanda og hendes storebror vil gerne vide, hvilket af de to udlejningsfirmaer det vil være billigst for dem at bruge, når de vil leje to cykler og tilbehøret: to cykelhjelme og to cykeltasker. De har endnu ikke besluttet, hvor mange dage de vil leje cyklerne og tilbehøret.

4.4 Undersøg, hvor mange dage Amanda og hendes storebror skal leje cyklerne og tilbehøret, for at det vil være billigst for dem at leje hos TopBici. Du skal vise resultatet af din undersøgelse med beregning, tabel eller med grafer.

4 Leje af cykler

Foto: Opgavekommissionen i matematik

151058.indd 5 09/02/16 14.04

5 Femkantede fliser

I denne opgave skal du undersøge femkanten på figur 1.

5.1 Tegn femkanten på et kvadratnet. Du skal enten bruge et digitalt værktøj eller svararket.

5.2 Hvor stort er arealet af femkanten?

5.3 Hvor stor er omkredsen af femkanten?

Uden om femkanten på figur 1 er der fire kongruente, retvinklede trekanter. En af vinklerne i hver af disse trekanter er 63,4°. Se figur 2.

5.4 Du skal vise, hvordan du uden at måle kan beregne størrelsen på vin­kel u, v og w i femkanten.

Fliser, der har form som femkanten på figur 1, kan lægges ved siden af hinanden, så de dækker en flade. Se figur 3.

Figur 3

5.5 Du skal undersøge, om der findes ens femkantede fliser, der ikke kan bruges til at dække en flade. Du skal vise resultatet af din undersøgelse med en tegning og en kort forklaring.

længden af linjestykket er 12 2

2 2

4 4

4

u

v w

4

arealet af kvadratet er 1

2

63,4°

4

v

Figur 2

Figur 1

151058.indd 6 09/02/16 14.04

Figur 1 viser et eksempel på en tal­ligevægt. Cirklerne i tal­ligevægten skal være udfyldte med tal eller udtryk med ubekendte, sådan at summen i de gule cirkler er lig med summen i de orange cirkler. Desuden skal den samlede sum i de gule og de orange cirkler være lig med summen i de blå cirkler.

Figur 1

12

3 4

3

7

I tal­ligevægt 1 på svararket er kun nogle af cirklerne udfyldte.

6.1 Udfyld de tomme cirkler i tal­ligevægt 1.

I tal­ligevægt 2 på svararket er alle cirklerne udfyldte med tal og udtryk med den ubekendte m.

6.2 Beregn værdien af den ubekendte m.

I tal­ligevægt 3 på svararket er nogle af cirklerne udfyldte med tal og udtryk med den ubekendte p.

6.3 Udfyld de tomme cirkler i tal­ligevægt 3.

I tal­ligevægt 4 på svararket er alle cirklerne udfyldte med tal og udtryk med de ubekendte a og b.

6.4 Beregn værdierne af de ubekendte a og b.

6 Tal-ligevægt

151058.indd 7 09/02/16 14.04

151058.indd 8 09/02/16 14.04

CH62&83d FP

-MA

J 16

-12

længden af linjestykket er 1

arealet af kvadratet er 1

Elevens uni-login:

Skolens navn: Tilsynsførendes underskrift:

9.-klasseprøvenMatematikPrøven med hjælpemidlerMaj 2016

SVARARKSvararket kan afleveres sammen med de øvrige opgavebesvarelser

Opgave 5

151058.indd 9 09/02/16 14.04

Elevens uni-login:

Skolens navn: Tilsynsførendes underskrift:

9.-klasseprøvenMatematikPrøven med hjælpemidlerMaj 2016

SVARARKSvararket skal afleveres sammen med de øvrige opgavebesvarelser

Opgave 6

Tal­ligevægt 1

2

3

5

9

Tal­ligevægt 2

3m7

m 1

8

12

Tal­ligevægt 3

2p

1

7

3p

Tal­ligevægt 4

42a

12 b

18

b

151058.indd 10 09/02/16 14.04