feuerbachova točka - unizg.hr

Feuerbachova točka

Mihalic, Maja

Master's thesis / Diplomski rad

2015

Degree Grantor / Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: University of Zagreb, Faculty of Science / Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet

Permanent link / Trajna poveznica: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:910999

Rights / Prava: In copyright

Download date / Datum preuzimanja: 2021-11-21

Repository / Repozitorij:

Repository of Faculty of Science - University of Zagreb

https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:217:910999

http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/

https://repozitorij.pmf.unizg.hr

https://repozitorij.pmf.unizg.hr

https://zir.nsk.hr/islandora/object/pmf:5292

https://repozitorij.unizg.hr/islandora/object/pmf:5292

https://dabar.srce.hr/islandora/object/pmf:5292

SVEUCILISTE U ZAGREBU

PRIRODOSLOVNO–MATEMATICKI FAKULTET

MATEMATICKI ODSJEK

Maja Mihalic

FEUERBACHOVA TOCKA

Diplomski rad

Voditelj rada:doc. dr. sc. Mea Bombardelli

Zagreb, srpanj, 2015.

Ovaj diplomski rad obranjen je dana pred ispitnim povjerenstvomu sastavu:

1. , predsjednik

2. , clan

3. , clan

Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom .

Potpisi clanova povjerenstva:

1.

2.

3.

Sadrzaj

Sadrzaj iii

Uvod 1

1 Osnovni teoremi i pojmovi 21.1 Feuerbachova kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Kut izmedu tangente i tetive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Izogonalno konjugirane tocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Orijentirani kutovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Teorem o Feuerbachovoj tocki 11

3 Svojstva Feuerbachove tocke 253.1 Feuerbachova tocka kao anti-Steinerova tocka . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Feuerbachova tocka kao ortopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Feuerbachova tocka kao Ponceletova tocka . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Feuerbachova tocka i Eulerova tocka simetrije . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Generalizacija Feuerbachove tocke 57

Bibliografija 70

iii

Uvod

U ovom radu bavit cemo se posebnom tockom trokuta cija su bogata svojstva cesto objektpromatranja u zadatcima na matematickim natjecanjima. To je tocka u kojoj se Feuerbac-hova kruznica i upisana kruznica trokuta diraju, a nosi naziv Feuerbachova tocka. Iako sunaizgled cini lako za dokazati da se Feuerbachova i upisana kruznica diraju, vidjet cemo daje potrebno duboko znanje geometrije ciji se dijelovi slazu kao kockice do krajnjeg rezu-lata. Zato je u prvom poglavlju dan kratak pregled osnovnih teorema i pojmova koji cemokoristiti tijekom cijelog rada. U drugom poglavlju dan je dokaz teorema o Feuerbachovojtocki.

Trece poglavlje posveceno je svojstvima Feuerbachove tocke. Naravno, za potrebeovog rada odabrano je samo nekoliko od brojih svojstava te tocke. U tom cemo poglavljuFeuerbachovu tocku povezati s ostalim posebnim tockama u trokutu. Zadnje poglavlje bavise generalizacijom teorema o Feuerbachovoj tocki.

1

Poglavlje 1

Osnovni teoremi i pojmovi izelementarne geometrije

1.1 Feuerbachova kruznicaJedan od ciljeva ovog rada je dokazati da se u svakom trokutu upisana kruznica i Feuer-bachova kruznica diraju. Stoga je na pocetku potrebno navesti osnovne pojmove i teoremeelementarne geomerije na koje cemo se pozivati tijekom dokaza. Prije svega navedimoteorem iz kojeg proizlazi pojam Feuerbachove kruznice.

Teorem 1.1. Neka su u trokutu ABC tocke A′, B′ i C′ polovista stranica, tocke A′′, B′′,C′′ polovista duzina AH, BH, CH, gdje je H ortocentar danog trokuta, a tocke A1, B1, C1

nozista visina. Svih devet tocaka A′, B′, C′, A′′, B′′, C′′, A1, B1, C1 leze na istoj kruznicicije je srediste poloviste duzine S H, gdje je S srediste opisane kruznice trokuta ABC.

Dokaz. Duzina A′B′ je srednjica trokuta ABC pa je A′B′ ‖ AB i |A′B′| = 12 |AB|. S druge

strane duzina A′′B′′ je srednjica trokuta ABH pa je A′′B′′ ‖ AB i |A′′B′′| = 12 |AB|. Slijedi

A′B′ ‖ A′′B′′ i |A′B′| = |A′′B′′|. Dakle, cetverokut A′B′A′′B′′ je paralelogram, pa se duzineA′A′′ i B′B′′ raspolavljaju. Neka je E njihovo sjeciste.

2

POGLAVLJE 1. OSNOVNI TEOREMI I POJMOVI 3

Slika 1.1: Teorem 1.1

Kako je A′′B′ srednjica trokuta AHC, to je A′′B′ ‖ CH, pa je A′′B′ ⊥ AB. Stoga je iA′′B′ ⊥ A′′B′′, odnosno ∠B′A′′B′′ = 90◦. Prema tome, cetverokut A′B′A′′B′′ je pravokut-nik, pa mu mozemo opisati kruznicu k sa sredistem u E i polumjera 1

2 |A′A′′| .

Analogno se dokazuje i da je A′C′A′′C′′ pravokutnik, odnosno da mu mozemo opisatikruznicu cije je srediste u tocki E, a polumjer 1

2 |A′A′′|. Dakle, tocke A′, B′ C′, A′′, B′′ i C′′

leze na istoj kruznici k.Kako je trokut A′A′′A1 pravokutan s hipotenuzom A′A′′, to je kruznica k upravo opisana

kruznica tog trokutu. Dakle, tocka A1 takoder lezi na kruznici k. Analogno se dokazuje ida B1 i C1 leze na k.

Srediste kruznice nalazi se na presjeku simetrala tetiva A′A1 i C′C1, a to su upravosrednjice trapeza HS A′A1 i HS C′C1. Kako ti trapezi imaju zajednicki krak S H, to sesrediste Feuerbachove kruznice podudara s polovistem duzine S H. �

Kruznica iz teorema 1.1 naziva se Feuerbachova kruznica (kruznica devet tocaka,Eulerova kruznica) i oznacava se sa k9.

Mozemo se pitati zasto jedna kruznica nosi tri razlicita naziva. Razlog dakako moramopotraziti u povijesti. Njih su detaljno u svom clanku opisali Kolar-Begovic i Tonkovic(vidi [12]). Naime, 1765. godine poznati svicarski matematicar Leonhard Euler (1707. –1783.) dokazao je da polovista stranica trokuta i nozista visina, leze na jednoj kruznici.Stoga se u njegovu cast kruznica naziva Eulerova kruznica. Povijesna istrazivanja J. S.


MacKaya (1892. godine) otkrila su da postoji nekoliko i to nezavisnih otkrica Eulerovekruznice. Navodno je prvi puta spomenuta u clanku Johna Butterwortha 1804. godine udokazu Bevanova teorma.

Godine 1820. objavljen je clanak Brianchona1 i Ponceleta2 u kojem se navodi da i po-lovista spojnica vrhova i ortocentra trokuta takoder leze na Eulerovoj kruznici tog trokuta.Stovise, u njihovom clanku prikazan je prvi potpuni dokaz konciklicnosti navedenih devettocaka te se prvi put koristi termin kruznica devet tocaka.

Njemacki matematicar Karl Wilhelm Feuerbach (1800. – 1834.) je u svojoj 22. godinizivota dokazao da kruznica koja prolazi nozistima visina trokuta dira sve cetiri kruznicekoje diraju stranice trokuta, odnosno njihova produzenja. Uocimo da se radi o upisanojkruznici i pripisanim kruznicama trokuta. Dokaz je objavljen 1822. godine u radu Eigen-schaften einiger merkwurdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch siebestimmten Linien und Figuren. U tom je radu proucavao znacajne tocke trokuta i dao niznovih i vaznih tvrdnji vezanih za Eulerovu kruznicu. Nakon objave Feuerbachova rada, te-orem koji je dokazan u radu postao je poznat pod nazivom Feuerbachov teorem. Eulerovakruznica i Feuerbachov teorem zaintrigirali su mnoge matematicare, pa je objavljen velikbroj razlicitih dokaza. S obzirom na to da su neki autori Feuerbachu pripisivali nezavisnootkrice Eulerove kruznice, u literaturi su koristili termin Feuerbachova kruznica.

Sjetimo se sada jos jednog teorema koji se veze uz matematicara Eulera.

Teorem 1.2. Srediste S opisane kruznice, teziste T i ortocentar H svakog trokuta su koli-nearne tocke, tj. leze na jednom pravcu. Nadalje, |T H| = 2|TS |.

Dokaz. Dokaz ovog teorema moze se pronaci u navedenoj literaturi (vidi [7], vidi [13]) �

Pravac iz teorema 1.2 naziva se Eulerov pravac tog trokuta.Uocimo da prema teoremu 1.1, srediste Feuerbachove kruznice lezi na Eulerovom pravcupromatranog trokuta.

1.2 Kut izmedu tangente i tetiveU ovom potpoglavlju dokazat cemo manje poznat, ali koristan teorem. Sjetimo se da jesredisnji kut nad nekim kruznim lukom jednak dvostrukom kutu nad tim istim lukom te dasu svi obodni kutovi nad istim lukom sukladni.

Teorem 1.3. Neka su A i B tocke na kruznici k i neka je t tangenta na kruznicu u tocki A.Kut izmedu tangente t i tetive AB jednak je obodnom kutu nad tom tetivom.

1Charles Julien Brianchon (1783. – 1864.), francuski matematicar i kemicar2Jean-Victor Poncelet (1788. – 1867.), francuski vojni inzinjer i matematicar


Dokaz. Neka je S srediste kruznice k. Oznacimo s α kut izmedu tangente t i tetive AB.

Slika 1.2: Kut tangente t i tetive AB.

Znamo da je polumjer kruznice okomit na tangentu te kruznice u diralistu. Pa je∠S AB = 90◦ − α. No, trokut AS B je jednakokracan, pa je:

∠AS B = 180◦ − 2(90◦ − α)= 180◦ − 180◦ + 2α = 2α.

Dakle, ∠AS B = 2α. No, kut AS B je sredisnji kut nad tetivom AB, a on je jednak dvostru-kom obodnom kutu nad tom tetivom. Slijedi tvrdnja. �

1.3 Izogonalno konjugirane tockeOvo potpoglavlje donosi teorem s kojim se rijetko koji student matematike susreo. Samarijec izogonalno opisuje simetrije medu pravcima koji prolaze kroz vrh danog kuta, a ossimetrije je simetrala promatranog kuta.

Teorem 1.4. Neka je ABC trokut i P tocka u ravnini. Pravci simetricni pravcima PA, PBi PC s obzirom na simatrale kutova trokuta sijeku se u jednoj tocki P′.

Prije dokaza navedenog teorema sjetimo se tvrdnje teorema poznatog pod nazivomCevin teorem3:

3Dokazao ga je talijanski matematicar Giovanni Ceva (1647. – 1734.).


Teorem 1.5. Neka su A1, B1 i C1 tocke na stranicama BC, CA i AB trokuta ABC, redom.Pravci AA1, BB1 i CC1 prolaze jednom tockom ako i samo ako vrijedi:

|AC1|

|C1B|·|BA1|

|A1C|·|CB1|

|B1A|= 1.

Slika 1.3: Cevin teorem

Ovaj teorem mozemo zapisati na drugi nacin pomocu trigonometrije.

Teorem 1.6. Neka su A1, B1 i C1 tocke na stranicama BC, CA i AB trokuta ABC, redom.Pravci AA1, BB1 i CC1 prolaze jednom tockom ako i samo ako vrijedi:

sin(∠ACC1)sin(∠C1CB)

·sin(∠BAA1)sin(∠A1AC)

·sin(∠CBB1)sin(∠B1BA)

= 1.

Dokaz. Dovoljno je pokazati da je umnozak omjera duljina iz Cevinog teorema jednakumnosku omjera navedenih sinusa kutova bez obzira na to sijeku li se AA1, BB1, CC1 ujednoj tocki ili ne.

Naime, primjenom poucka o sinusima na trokute ACC1 i BCC1 dobivamo:

|AC1|

|C1C|=

sin(∠ACC1)sin(∠A)

i|CC1|

|C1B|=

sin(∠B)sin(∠C1CB)

,


odnosno

|AC1|

|C1B|=


·sin(∠B)sin(∠A)

.

Slicno,

|BA1|

|A1C|=

sin(∠BAA1)sin(∠A1AC)

·sin(∠C)sin(∠B)

i|CB1|

|B1A|=

sin(∠CBB1)sin(∠B1BA)

·sin(∠A)sin(∠C)

.

Mnozenjem dobivenih jednakosti imamo :

|AC1|

|C1B|·|BA1|

|A1C|·|CB1|

|B1A|=

sin(∠C1CB)sin(∠ACC1)

·sin(∠A1AC)sin(∠BAA1)

·sin(∠B1BA)sin(∠CBB1)

.

Slijedi tvrdnja. �

Sada krenimo s dokazom teorema 1.4.

Dokaz. Neka je A1 = PA ∩ BC, B1 = PB ∩ AC i C1 = PC ∩ AB. Neka je A2 ∈ BC tako daje pravac AA2 simetrican pravcu AA1 s obzirom na simetralu kuta pri vrhu A. Slicno, BB2

i CC2.

Slika 1.4: Tocka P′ izogonalni je konjugat tocke P.


Ako pokazemo da vrijedi




= 1,

tada ce prema obratu trigonometrijskog oblika Cevinog teorema slijediti tvrdnja. Buducida su pravci AA2, BB2 i CC2 simetricni pravcima AA1, BB1 i CC1 s obzirom na simetralekutova trokuta ABC, vrijedi ∠ACC2 = ∠C1CB, ∠C2CB = ∠ACC1 itd. Sada imamo




=sin(∠C1CB)sin(∠ACC1)



. (1.1)

Posto se pravci AA1, BB1 i CC1 sijeku u tocki P, prema trigometrijskom obliku Cevinogteoremu vrijedi:

sin(∠C1CB)sin(∠ACC1)



= 1.

Na temelju toga i (1.1) zakljucujemo




= 1,

odnosno prema obratu trigonometrijskog oblika Cevina teorema pravci AA2, BB2 i CC2

sijeku se u jednoj tocki P′. �

Tocku P′ iz teorema 1.4 zovemo izogonalni konjugat tocke P s obzirom na trokut ABC.

1.4 Orijentirani kutoviS pojmom orijentiranih kutova ne susrecemo se cesto u geometriji. No, to ce nam olaksatidokazivanje brojnih tvrdnji u ovom radu pa navedimo definiciju.

Definicija 1.7. Neka su p i q dva neparalelna pravca. Orijentirani kut od p do q je kut zakoji pravac p treba rotirati u smjeru obrnutom od kazaljke na satu kako bi postao paralelans pravcem q. Oznaka: ∠(p, q).

Iz definicije slijedi da su dva orijentirana kuta sukladna ako se njihove mjere razlikuju zavisekratnik od 180◦.

Definicija 1.8. Definiramo zbrajanje orijentiranih kutova na sljedeci nacin:

∠(p1, p2) + ∠(p2, p3) = ∠(p1, p3)

∠(p1, p2) + ∠(p3, p4) = ∠(p1, p5)

gdje je p5 pravac takav da vrijedi ∠(p2, p5) = ∠(p3, p4).


Iz te definicije proizlaze svojstva koja se lako dokazu.

Teorem 1.9. Vrijede sljedeca svojstva:

1. ∠(p1, p2) + ∠(p2, p1) = 0.

2. Ako je pravac p1 paralelan pravcu q1, a pravac p2 paralelan pravcu q2 tada

∠(p1, p2) = ∠(q1, q2).

Analogno vrijedi ako su odgovarajuci pravci medusobno okomiti.

3. Za tri razlicite tocke A, B i C u ravnini vrijedi ∠ABC = −∠CBA.

4. Tri razlicite tocke A, B, C su kolinearne ako i samo ako je

∠ABC = 0,

ili ako za bilo koju tocku D, razlicitu od navedene tri, vrijedi:

∠ACD = ∠BCD.

5. Za bilo koje cetiri razlicite tocke A, B, C, D u ravnini vrijedi:

∠ABC + ∠CDA = ∠BAD + ∠DCB.

6. Cetiri razlicite tocke A, B, C i D leze na kruznici ako i samo ako

∠ABC = ∠ADC.

7. Za bilo koje tri tocke A, B i C vrijedi:

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 0.

8. Za tri razlicite tocke A, B i C koje leze na kruznici sa sredistem u tocki O vrijedi2∠ABC = ∠AOC.

Dokaz. Dokazi navedenih tvrdnji nalaze se u literaturi (vidi [8], [9] i [10]). �

Uzmimo za primjer cetiri razlicite tocke A, B, C, i D koje leze na kruznici u tom po-retku. Tada ako promatramo neorijentirane kutove prema teoremu o obodnom kutu imamo∠ABD = ∠ACD. S druge strane, ako se te tocke nalaze u poretku A, B, D i C tada u smislu


neorijentiranih kutova imamo ∠ABD = 180◦ − ∠DCA. U tom istom slucaju, ako smatramoda su kutovi orijentirani imamo:

∠ABD = 180◦ − ∠DCA = −∠DCA = ∠ACD.

Upravo u takvim situacijama je lakse raditi s orijentiranim kutovima.Spomenimo jos jednu vaznu cinjenicu rada s orijentiranim kutovima. Pogledajmo zad-

nje svojstvo u teoremu 1.9. Naime, dijeljenje s 2 je opasno kada radimo modulo 180◦. Pre-ciznije, iz jednakosti 2∠A = 2∠B, ne slijedi ∠A = ∠B, zbog mogucnosti da je ∠A = ∠B+90◦.Ako to usporedimo s kongruencijama, znamo da kongruenciju 2a ≡ 2b(mod c) ne smijemodijeliti s 2 kada je c paran. Iz istog razloga ne smijemo pisati ∠ABC = 1

2∠AOC, jer kasnijiizraz mozda nece biti dobro definiran.

Sada se mozemo pitati sto se dogada s zbrojem polovina kutova u trokutu. Znamo da,ako oznacimo kutove nekog trokuta s α, β i γ tada gledajuci neorijentirane kutove vrijediα + β + γ = 180◦, odnosno α

2 +β

2 +γ

2 = 90◦. Srecom, to ce vrijediti i u smislu orijentiranihkutova, ali pri tome valja paziti da svi kutovi imaju istu orijentaciju.

Lema 1.10. Neka je ABC trokut i O srediste upisane kruznice trokuta. Tada je ∠ABO =∠OBC, ∠BCO = ∠OCA i ∠CAO = ∠OAB te vrijedi

∠ABO + ∠BCO + ∠CAO = ∠OBC + ∠OCA + ∠OAB = 90◦.

Dokaz. Prema svojstvu 7. iz teorema 1.9 znamo da za kutove trokuta ABC vrijedi

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 0. (1.2)

Prema pretpostavkama leme je ∠ABC = ∠ABO+∠OBC, ∠BCA = ∠BCO+∠OCA i ∠CAB =∠CAO + ∠OAB. Uvrstivisi to u (1.2) dobivamo:

∠ABO + ∠OBC + ∠BCO + ∠OCA + ∠CAB = ∠CAO + ∠OAB = 0∠ABO + ∠BCO + ∠CAO = −(∠OBC + ∠OCA + ∠OAB).

Jedini kut koji je sukladan svom sukutu je pravi kut. Slijedi tvrdnja. �

Iako valja biti oprezan, rad s orijetiranim kutovima u vecini slucajeva olaksava racun,stoga od sada pa do kraja rada smatramo da su kutovi orijentirani, osim ako nije drugacijenaglaseno.

Poglavlje 2

Teorem o Feuerbachovoj tocki

Kako bismo pripremili teren za dokaz glavnog teorema potrebno je dokazati nekoliko te-orema.

Teorem 2.1. Neka je ABC trokut i A′ poloviste stranice BC. Neka je A1 noziste visine izvrha A na pravac BC, te neka su tocke P i Q redom ortogonalne projekcije tocaka B i Cna simetralu kuta BAC. Tada tocke A′, A1, P i Q leze na kruznici.

Dokaz. Imamo sljedecu situaciju:


Za dokaz ovog teorema koristit cemo sljedecu lemu:

11

POGLAVLJE 2. TEOREM O FEUERBACHOVOJ TOCKI 12

Lema 2.2. Sukladno oznakama iz teorema 2.1 vrijedi A′P ‖ AC i A′Q ‖ AB.

Dokaz. Neka je tocka R tocka presjeka pravaca CQ i AB.

Slika 2.2: Lema 2.2

Sada uocimo trokute ACQ i RAQ. Tocka Q lezi na simetrali kuta pa je

∠CAQ = ∠QAR.

Nadalje je ∠AQC = 90◦ te ∠AQR = 90◦, pa je ∠AQC = ∠AQR. Takoder, stranica AQ za-jednicka je za oba trokuta. Dakle, prema teoremu K-S-K o sukladnosti trokuta promatranadva trokuta su sukladni, ali su im odgovarajuci kutovi suprotnih orijentacija. Iz toga slijedida je tocka Q poloviste duzine CR. Znamo da je tocka A′ poloviste stranice BC pa je duzinaQA′ srednjica trokuta CRB, pa je prema teoremu o srednjici trokuta ta duzina paralelna sduzinom RB, odnosno AB.

Analogno dokazujemo tvrdnju A′P ‖ AC. �

Provedimo sada dokaz iskazanog teorema.Naime, znamo da je ∠AA1B = 90◦ te ∠APB = 90◦. Prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 tockeA, B, A1 i P leze na jednoj kruznici. S obzirom na to da su kutovi pravi, promjer te kruzniceje AB (plava kruznica na slici 2.3).



Opet prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 imamo ∠ABA1 = ∠APA1 pa je i ∠ABC = ∠QPA1. Uskladu s definicijom orijentiranih kutova mozemo pisati

∠(AB, BC) = ∠(QP, PA1).

Iz dokazane leme 2.2 znamo da je QA′ ‖ AB stoga prema svojstvu 2. iz teorema 1.9 imamo∠(AB, BC) = ∠(QA′, BC) to jest ∠ABC = ∠QA′A1.

Stoga je ∠QPA1 = ∠ABC = ∠QA′A1 te svojstvu 6. iz teorema 1.9 slijedi da tocke A1,A′, P i Q leze na kruznici, a to je i trebalo dokazati. �

Izdvojimo rezultat koji je dokazan u dokazu, a kasnije cemo ga koristiti:


Korolar 2.3. Neka je ABC trokut i A1 noziste okomice iz vrha A na pravac BC. Neka su Pi Q ortogonalne projekcije vrhova B i C na simetralu kuta BAC. Tada vrijedi:

∠ABC = ∠QPA1.

Analogno, ∠ACB = ∠PQA1.

Na temelju dokazanih tvrdnji lako mozemo dokazati sljedece dvije leme.

Lema 2.4. Sukladno oznakama iz teorema 2.1, trokut PA′Q je jednakokracan, odnosnovrijedi |QA′| = |A′P|.

Dokaz. Iz leme 2.2 znamo da su A′Q ‖ AB, stoga prema navedenim svojstvima orijentira-nih kutova u teoremu 1.9 imamo

∠(A′Q,QP) = ∠(AB,QP).

Slicno iz A′P ‖ AC znamo∠(QP, A′P) = ∠(QP, AC).

Kako tocke P i Q leze na simetrali kuta BAC vrijedi da je ∠(AB,QP) = ∠(QP, AC).Stoga je ∠(A′Q,QP) = ∠(QP, A′P) to jest ∠A′QP = ∠QPA′. Dakle, zaista trokut PA′Q jejednakokracan i vrijedi |QA′| = |A′P|. �

Lema 2.5. Sukladno oznakama iz teorema 2.1, trokuti A1PQ i ABC su slicni, a odgova-rajuci kutovi su im suprotne orijentacije.

Dokaz. Iz korolara 2.3 znamo ∠QPA1 = ∠ABC i ∠PQA1 = ∠ACB, pa prema teoremu K-Ko slicnosti trokuta slijedi tvrdnja.


Slika 2.4: Lema 2.5

�

Sljedeci teorem povezuje dokazane tvrdnje i kruznicu devet tocaka promatranog trokutaABC.

Teorem 2.6. Neka je ABC trokut, A′ poloviste stranice BC, A1 noziste okomice iz A na BC,te P i Q ortogonalne projekcije tocaka B i C na simetralu kuta BAC redom. Tada sredisteD kruznice kroz tocke P, Q, A′ i A1 lezi na kruznici devet tocaka trokuta ABC i pravac A′Dokomit je na simetralu kuta CAB.

Dokaz. Zapravo tvrdimo da je sjeciste Feuerbachove kruznice trokuta ABC i pravca oko-mitog na simetralu kuta CAB u tocki A′(razlicito od tocke A′) upravo srediste kruznice kroztocke P, Q, A′ i A1.



S obzirom na to da je tocka D srediste trokutu PA′Q opisane kruznice, ona lezi na sime-tralama stranica tog trokuta. Posebno, lezi na simetrali stranice PQ. No, na toj simetralilezi i tocka A′ jer prema lemi 2.4 trokut je PA′Q jednakokracan. Prema tome, pravac A′Dokomit je na pravac PQ odnosno na simetralu kuta CAB. Vrijedi:

∠(A′D, PQ) = 90◦.

Pokazimo da tocka D lezi na Feuerbachovoj kruznici trokuta ABC. Feuerbachovakruznica prolazi kroz polovista stranica danog trokuta i nozista visina. Prema tome tockeA′, C′ i A1 leze na Feuerbachovoj kruznici trokuta ABC.Kako je tocka D srediste kruznice kroz tocke P, Q, A′ i A1 vrijedi da je |DA1| = |DA′|, od-nosno trokut A1DA′ je jednakokracan pa je ∠A′A1D = ∠DA′A1. Takoder je ∠AA1B = 90◦

pa tocka A1 lezi na kruznici sa sredistem u C′ i promjerom AB. Dakle, i trokut A1C′B jejednakokracan jer je |A1C′| = |C′B|. Slijedi jednakost ∠C′A1B = ∠A1BC′. Sada imamo:

∠C′A1D = ∠C′A1B + ∠BA1D= ∠C′A1B + ∠A′A1D = ∠A1BC′ + ∠DA′A1

= ∠(CB, AB) + ∠(DA′,CB) = ∠(DA′,CB) + ∠(CB, AB)= ∠(DA′, AB) = ∠(DA′, PQ) + ∠(PQ, AB)= 90◦ + ∠(PQ, AB). (2.1)


Kako je pravac PQ simetrala kuta BAC vrijedi ∠(PQ, AB) = ∠(AC, PQ). Stoga iz (2.1)dobivamo:

∠C′A1D = 90◦ + ∠(AC, PQ)= ∠(AC, PQ) + 90◦

= ∠(AC, PQ) + ∠(PQ, A′D)= ∠(AC, A′D).

No, duzina A′C′ je srednjica trokuta ABC pa je A′C′ ‖ AC, pa za kutove vrijedi

∠(AC, A′D) = ∠(A′C′, A′D).

Konacno,∠C′A1D = ∠(A′C′, A′D) = ∠(C′A′, A′D) = ∠C′A′D.

Dobili smo da su kutovi ∠C′A1D i ∠C′A′D sukladni, pa prema tome tocke C′, A1, A′ i Dleze na jednoj kruznici, odnosno tocka D lezi na kruznici devet tocaka trokuta ABC. �

Teorem 2.7. Neka kruznica upisana trokutu ABC dira stranicu BC u tocki X te neka jeA1 noziste visine iz vrha A. Neka su P i Q redom ortogonalne projekcije tocaka B i C nasimetralu kuta BAC. Tada je tocka X srediste trokutu A1PQ upisane kruznice.

Dokaz. Neka je O srediste trokutu ABC upisane kruznice, te neka je O′ srediste trokutuA1PQ upisane kruznice. Tvrdimo X = O′.



Tocka O nalazi se na pravcu PQ. Pravac BC je tangenta upisane kruznice trokuta ABCpa je pravac OX okomit na pravac BC. Stoga je ∠OXB = 90◦. Takoder, znamo da je∠OPB = 90◦, pa tocke X i P leze na kruznici promjera BO.

Prema teoremu o obodnom kutu vrijedi ∠XBO = ∠XPO, odnosno

∠XPQ = ∠CBO. (2.2)

Posto su trokuti ABC i A1PQ slicni (lema 2.5) postoji preslikavanje slicnosti koje trokutABC preslikava u trokut A1PQ. Posebno, to preslikavanje preslikava tocku O kao sredisteupisane kruznice trokuta ABC u tocku O′ koja je srediste upisane kruznice trokuta A1PQ.Osim toga, pri tom preslikavanju kutovi mijenjaju orijentaciju pa je

∠O′PQ = −∠OBC = ∠CBO. (2.3)

Iz (2.2) i (2.3) dobivamo da je∠O′PQ = ∠XPQ.

Dakle, tocka X lezi na pravcu O′P. Analogno se pokaze da tocka X lezi na pravcu O′Q.No, pravci O′P i O′Q imaju samo jednu zajednicku tocku i to O′. Stoga je X = O′, a tosmo i trebali dokazati. �


Teorem 2.8. Neka kruznica upisana trokutu ABC dira stranicu BC u tocki X te neka je A1

noziste visine iz vrha A. Neka su P i Q ortogonalne projekcije tocaka B i C na simetralukuta BAC. Neka je X srediste upisane kruznice, a D srediste opisane kruznice trokutaQPA1. Oznacimo sa S srediste opisane kruznice, a s O srediste upisane kruznice trokutaABC. Vrijedi

∠(XD, AO) = ∠(BC,OS ).

Dokaz. Vec smo spomenuli da postoji preslikavanje slicnosti koje preslikava trokut ABCu trokut A1PQ, a tocku O preslikava u tocku X. Nadalje, to preslikavanje preslikava tockuS u tocku D jer su to sredista opisanih kruznica promatranih trokuta. Zbog slicnosti tihtrokuta (lema 2.5) vrijedi:

∠(XD,QP) = −∠(OS , BC).


No, pravac QP podudara se s pravcem AO stoga mozemo pisati:

∠(XD, AO) = −∠(OS , BC),


odnosno,∠(XD,QP) = ∠(BC,OS ).

�

Sada smo pripremili teren za dokaz Feuerbachova teorema koji donosimo u nastavku.

Teorem 2.9. U svakom se trokutu upisana kruznica i kruznica devet tocaka (Feurbachovakruznica) diraju.

Dokaz. Neka su X, Y i Z redom tocke dodira upisane kruznice trokuta ABC sa stranicamatrokuta BC, AC i AB. Te su tocke medusobno simetricne s obzirom na simetrale kutova nacijim krakovima leze, pa su pravci XY , XZ i YZ okomiti na odgovarajuce simetrale kutova.Neka su tocke D, G i I tocke presjeka Feuerbachove kruznice trokuta ABC s okomicama utockama A′, B′ i C′ na simetrale kutova CAB, ABC i BCA redom.

Slika 2.8: Teorem 2.9 a)


Prema teoremu 2.8 vrijedi sljedece:

∠(XD, AO) = ∠(BC,OS ),∠(YG, BO) = ∠(AC,OS ),∠(ZI,CO) = ∠(AB,OS ). (2.4)

Slika 2.9: Teorem 2.9 b)


Na temelju (2.4) i svojstava orijentiranih kutova (teorem 1.9) mozemo racunati:

∠(XD,ZI) = ∠(XD, AO) + ∠(AO,ZI)= ∠(XD, AO) + ∠(AO,CO) + ∠(CO,ZI)= ∠(BC,OS ) + ∠(AO,CO) − ∠(ZI,CO)= ∠(BC,OS ) − ∠(AB,OS ) + ∠(AO,CO)= ∠(BC,OS ) + ∠(OS , AB) + ∠(AO,CO)= ∠(BC, AB) + ∠(AO,CO)= ∠(BC, AO) + ∠(AO, AB) + ∠(AO,CO)= ∠(BC, AO) + ∠(AO,CO) + ∠(AO, AB)= ∠(BC,CO) + ∠(AO, AB). (2.5)

Znamo je CO simetrala kuta ACB pa je ∠(BC,CO) = ∠(CO, AC). Analogno je i ∠(AO, AB) =∠(AC, AO). Pa uvrstavanjem u (2.5) dobivamo:

∠(XD,ZI) = ∠(CO, AC) + ∠(AC, AO)= ∠(CO, AO)= ∠(CO, XY) + ∠(XY,YZ) − ∠(AO,YZ)= 90◦ + ∠(XY,YZ) − 90◦

= ∠XYZ. (2.6)

Neka je sada tocka F tocka presjeka upisane kruznice i pravca XD razlicita od X. Premasvojstvu 6. iz teorema 1.9 je ∠XFZ = ∠XYZ. Prema (2.6) imamo:

∠(XD,ZI) = ∠XYZ = ∠XFZ.

Kako je ∠XFZ = ∠(XD, FZ) to je ∠(XD,ZI) = ∠(XD, FZ) iz cega slijedi da su pravci FZ iZI paralelni. No, ti pravci imaju zajednicku tocku Z pa se oni zapravo podudaraju. Dakle,tocka F lezi na pravcu ZI. Analogno bismo dobili F ∈ YG. Dakle, tocka F lezi na upisanojkruznici trokuta ABC i ona je sjeciste pravaca XD, YG i ZI.

Sada pokazimo da su trokuti XYZ i DGI homoteticni. Znamo da tocke A′, B′ i C′

leze na kruznici devet tocaka trokuta ABC, a pokazali smo da i tocke D, G i I takoderleze na toj kruznici. Tada prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 znamo ∠IC′B′ = ∠IGB′,odnosno ∠(C′I,C′B′) = ∠(IG, B′G). Pravci C′I i YX okomiti su na simetralu kuta ACBstoga su oni paralelni. Isto tako, pravac XZ paralelan je s pravcem B′G. Iz toga i izB′C′ ‖ BC slijedi ∠(C′I,C′B′) = ∠(YX,CB), odnosno ∠(IG, B′G) = ∠(IG, XZ). Dakle,∠(IG, XZ) = ∠(YX,CB). Nadalje, kut ∠(YX,CB) je kut izmedu tetive YX upisane kruznicei tangente na tu kruznicu u tocki X. Pa je prema teoremu o kutu izmedu tangente i tetive


(teorem 1.3) navedeni kut jednak je ∠YZX. Dakle, ∠(IG,ZX) = ∠(YX,CB) = ∠YZX,odnosno ∠(IG, XZ) = ∠(ZY, XZ). Iz toga slijedi da su pravci IG i YZ paralelni. Slicno sepokazuje GD ‖ YX i DI ‖ XZ.

Slika 2.10: Teorem 2.9 c)

Dakle, trokuti DGI i XYZ zaista su homoteticni. Centar njihove homotetije je sjecistepravaca DX, GY i IZ, a to je upravo tocka F. Stoga postoji homotetija s centrom u tockiF koja preslikava trokut XYZ u trokut DGI, pa ta homotetija preslikava opisanu kruznicutrokuta XYZ u opisanu kruznicu trokuta DGI. No, opisana kruznica trokuta XYZ je upisanakruznica trokuta ABC, a opisana kruznica trokuta DGI je kruznica devet tocaka trokutaABC. Dakle, homotetija s centrom u tocki F preslikava upisanu kruznicu trokuta ABC unjegovu Feuerbachovu kruznicu. Buduci da je tocka F centar opisane homotetije ona jefiksna. Znamo da F lezi na upisanoj kruznici trokuta ABC pa iz toga zakljucujemo da lezi ina Feuerbachovoj kruznici tog trokuta. Osim toga, tangenta kroz tocku F je takoder fiksnapa dvije promatrane kruznice diraju u tocki F. �

Tocka diranja upisane i Feuerbachove kruznice trokuta zove se Feurbachova tocka.Uocimo da smo dokazali samo dio teorema koji se smatra Feuerbachovim teoremom. Na-ime, originalni teorem jos tvrdi da Feuerbachova kruznica dira i pripisane kruznice trokuta.


No, to nije tema ovog rada, zato smo Feuerbachovom teoremu pridijelili naziv Teorem oFeuerbachovoj tocki.

Poglavlje 3

Svojstva Feuerbachove tocke

Nakon sto smo dokazali da se upisana kruznica trokuta i Feuerbachova kruznica diraju,pitamo se postoji li veza te tocke s drugim elementima trokuta ABC. To je tema brojnihzadataka na matematickim natjecanjima. Do sada je otkriveno puno zanimljivih svojstavaFeuerbachove tocke, od kojih cemo neka navesti u nastavku. Detaljnije moze se pronaci uliteraturi (vidi [5], [6] i [15]).

3.1 Feuerbachova tocka kao anti-Steinerova tockaU ovom cemo se poglavlju baviti posebnim trokutima unutar zadanog trokuta. No, prvomoramo dokazati teorem iz kojeg proizlazi definicija anti-Steinerove tocke.

Teorem 3.1. Neka je ABC trokut, H njegov ortocentar te p pravac kroz ortocentar. Osno-simetricne slike pravca p s obzirom na stranice promatranog trokuta prolaze kroz tocku Wkoja lezi na opisanoj kruznici trokuta ABC. Takoder, vrijedi:

∠CBW = ∠CAW = 90◦ − ∠(AB, p).

Dokaz. Neka su pa, pb i pc osnosimetricne slike pravca p s obzirom na pravce BC, AC iAB.

25

POGLAVLJE 3. SVOJSTVA FEUERBACHOVE TOCKE 26


S obzirom na to da je H ortocentar trokuta ABC, pravci AH i BC su medusobno okomiti.Takoder, BH ⊥ AC i CH ⊥ AB. Neka je sada Hc osnosimetricna slika tocke H s obziromna pravac AB.



Tada vrijedi:∠AHcB = −∠AHB = ∠BHA. (3.1)

Pokazimo najprije da tocka Hc lezi na opisanoj kruznici trokuta ABC. Sada imamo:

∠BHA = ∠(BH, AH) = ∠(BH, AC) + ∠(AC, BC) − ∠(AH, BC)= 90◦ + ∠(AC, BC) − 90◦

= ∠(AC, BC) = ∠ACB. (3.2)

Iz (3.1) i (3.2) dobivamo:∠AHcB = ∠ACB,

sto znaci da tocka Hc lezi na opisanoj kruznici trokuta ABC. Uocimo da bismo analognomogli dokazati da osnosimetricna slika tocke H s obzirom na pravac AC (tocka Hb) kao i


osnosimetricna slika tocke H s obzirom na pravac BC (tocka Ha) leze na opisanoj kruznicitrokuta ABC.

Kako je CH ⊥ AB te HHc ⊥ AB to tocke C, H i Hc leze na okomici na pravacAB. Takoder, pravac p prolazi kroz tocku H, pa pravac pc prolazi kroz tocku Hc zbogosne simetrije. Pokazali smo da tocka Hc lezi na opisanoj kruznici trokuta ABC pa je onazapravo sjeciste pravca pc i opisane kruznice. Neka je sada tocka W1 tocka presjeka pravcapc i opisane kruznice razlicita od tocke Hc. Prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 imamo:

∠CAW1 = ∠CHcW1.

Jer je pravac pc osnosimetrican pravcu p s obzirom na pravc AB to je:

∠(AB, pc) = ∠(p, AB) = −∠(AB, p).

Mozemo pisati:

∠CAW1 = ∠CHcW1 = ∠(CH, pc)= ∠(CH, AB) + ∠(AB, pc)= 90◦ − ∠(AB, p). (3.3)

Prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 i iz (3.3) imamo:

∠CBW1 = ∠CAW1 = 90◦ − ∠(AB, p).

Dakle,

∠BAW1 = ∠BAC + ∠CAW1

= ∠(AB, AC) + 90◦ − ∠(AB, p)= 90◦ − (∠(AC, AB) + ∠(AB, p))= 90◦ − ∠(AC, p). (3.4)

Neka je sada W2 sjeciste pravca pb i opisane kruznice. Slicnim postupkom kao (3.3),dobivamo:

∠BAW2 = 90◦ − ∠(AC, p).

Ako to usporedimo s (3.4) imamo:

∠BAW1 = ∠BAW2,

odnosno W2 ∈ AW1. No, tocka W2 lezi i na opisanoj kruznici pa je ona zapravo sjecisteopisane kruznice i pravca AW1 razlicito od A, a to je tocka W1. Dakle, tocka W1 lezi napravcima pb i pc.


Analognim zakljucivanjem mozemo pokazati da W1 ∈ pa, cime smo zapravo dobili daje tocka W1 sjeciste pravaca pa, pb i pc, a osim toga je i na opisanoj kruznici trokuta ABC.Pokazali smo i da zadovoljava

∠CBW1 = ∠CAW1 = 90◦ − ∠(AB, p),

iz cega slijedi da je W1 upravo tocka W spomenuta u teoremu. �

Tocku W iz teorema 3.1 zovemo anti-Steinerova tocka pravca p s obzirom na trokut ABC.Mozemo se pitati zasto bas naziv anti-Steinerova tocka. Naime, moze se pokazati da tockesimetricne nekoj tocki R koja lezi na opisanoj kruznici trokuta ABC s obzirom na pravcena kojima leze stranice trokuta ABC, leze na jednom pravcu koji prolazi kroz ortocentartrokuta ABC. Taj se pravac naziva Steinerov pravac1 tocke R s obzirom na trokut ABC.

Uocimo da je sukladno oznakama iz teorema 3.1 pravac p Steinerov pravac tocke Ws obzirom na trokut ABC. Naime, buduci da W lezi na pravcu pa simetricnom pravcup s obzirom na BC, tocka simetricna tocki W s obzirom na pravac BC lezi na pravcusimetricnom pravcu pa s obzirom na BC, a to je upravo pravac p. Slicno vrijedi za tockesimetricne tocki W s obzirom na pravce AC i AB.

To opravdava naziv anti-Steinerova tocka. Naziv Steinerova tocka je naziv za odredenutocku koja je povezana s prvim Brocardovim trokutom, X99 o kojoj se vise moze naci uonline-enciklopediji o trokutu (vidi [11]).

Uocimo jedan zanimljiv korolar navedenog teorema.

Korolar 3.2. Neka je ABC trokut. Pravci simetricni Eulerovom pravcu trokuta ABC s ob-zirom na stranice tog trokuta sijeku se u jednoj tocki koja lezi na opisanoj kruznici trokutaABC.

Dokaz. S obzirom da Eulerov pravac trokuta ABC prolazi kroz ortocentar, tvrdnja slijedidirektno iz teorema 3.1. �

Sjeciste opisano u korolaru 3.2 naziva se Eulerova tocka simetrije trokuta ABC.U nastavku promatramo anti-Steinerovu tocku trokuta ciji su vrhovi polovista stranica

zadanog trokuta.

Teorem 3.3. Neka je ABC trokut i neka je S srediste opisane kruznice, a O srediste upisanekruznice tog trokuta. Neka su A′, B′ i C′ polovista stranica BC, AC i AB. Feuerbachovatocka F trokuta ABC je anti-Steinerova tocka pravca OS s obzirom na trokut A′B′C′.

Dokaz. Prije svega moramo pokazati da je anti-Steinerova tocka pravca OS s obzirom natrokut A′B′C′ definirana, odnosno moramo pokazati da pravac OS prolazi kroz ortocentartrokuta A′B′C′.

1Jacob Steiner (1796. – 1863.), svicarski matematicar



Naime, kako je tocka S srediste opisane kruznice trokuta ABC, to ona lezi na simetralamastranica trokuta ABC. Stranice trokuta A′B′C′ su zapravo srednjice trokuta ABC pa suone paralelne sa stranicama trokuta ABC. Stovise, vrhovi trokuta A′B′C′ su polovistastranica trokuta ABC pa su simetrale stranice trokuta ABC pravci na kojima leze visinetrokuta A′B′C′, pa je upravo tocka S ortocentar trokuta A′B′C′. Stoga je OS Eulerovpravac trokuta A′B′C′ pa zaista postoji anti-Steinerova tocka W pravca OS s obzirom natrokut A′B′C′ prema teoremu 3.1 vrijedi:

∠C′B′W = 90◦ − (A′B′,OS ). (3.5)

Neka su X, Y i Z redom tocke dodira upisane kruznice trokuta ABC sa stranicama trokutaBC, AC i AB. Neka je I sjeciste Feuerbachove kruznice i okomice povucene u tocki C′ na


simetralu kuta BCA. Tada iz teorema 2.8 imamo:

∠(ZI,CO) = ∠(AB,OS ).

No, kako su AB i A′B′ paralelni pravci to je:

∠(ZI,CO) = ∠(AB,OS ) = ∠(A′B′,OS ).

Nadalje, prema teoremu 2.6 je ∠(C′I,CO) = 90◦, pa tocke B′, C′, I i F leze na Feuerbac-hovoj kruznici trokuta ABC. Sada imamo:

∠C′B′F = ∠C′IF = ∠(C′I,ZI)= ∠(C′I,CO) + ∠(CO,ZI)= 90◦ − ∠(ZI,CO)= 90◦ − ∠(A′B′,OS ). (3.6)

Usporedbom (3.5) i (3.6) dobivamo:

∠C′B′F = ∠C′B′W,

cime smo pokazali da tocka F lezi na pravcu B′W.Analogno bismo pokazali F ∈ A′W te F ∈ C′W. No, kako su pravci A′W, B′W i C′W

razliciti i sijeku se u W, znaci da se tocke W i F podudaraju. Prema tome, Feuerbachovatocka F trokuta ABC je zaista anti-Steinerova tocka pravca OS s obzirom na trokut A′B′C′.


Slika 3.4: Teorem 3.3: Feuerbachova tocka trokuta ABC je anti-Steinerova tocka pravcaOS s obzirom na trokut A′B′C′.

�

Uz trokut A′B′C′ ciji su vrhovi polovista stranica trokuta, uocimo da postoji jos jedanzanimljiv trokut i to trokut XYZ ciji su vrhovi diralista upisane kruznice i stranica proma-tranog trokuta ABC. U nastavku promatramo odnos trokuta XYZ i Feuerbachove tocketrokuta ABC.

Teorem 3.4. Neka je ABC trokut, S srediste opisane kruznice, a O srediste upisane kruznicetog trokuta. Neka su X, Y, Z diralista upisane kruznice i stranica BC, AC i AB redom. Fe-uerbachova tocka F trokuta ABC je anti-Steinerova tocka pravca OS s obzirom na trokutXYZ.

Dokaz. Opet prvo moramo dokazati da je anti-Steinerova tocka pravca OS s obzirom natrokut XYZ definirana. Odnosno, moramo pokazati da ortocentar trokuta XYZ lezi na


pravcu OS . Neka su tocke X′, Y ′ i Z′ tocke presjeka upisane kruznice trokuta ABC ipravaca na kojima leze visine trokuta XYZ povucene iz X, Y i Z redom.


Kako je ZZ′ pravac na kojem lezi visina trokuta XYZ povucena iz vrha Z to je ZZ′ ⊥ XY ,odnosno ∠(XY,ZZ′) = 90◦. Prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 imamo:

∠YY ′Z′ = ∠YZZ′ = ∠(YZ,ZZ′)= ∠(YZ, XY) + ∠(XY,ZZ′)= ∠ZYX + 90◦. (3.7)

Sada mozemo primijeniti teorem o kutu izmedu tangente i tetive (1.3):

∠ZYX = ∠(ZX, BC). (3.8)


Sada racunamo:

∠YY ′Z′ = ∠(YY ′,Y ′Z′) = ∠ZYX + 90◦

= ∠(ZX, BC) + ∠(BO,ZX)= ∠(BO,ZX) + ∠(ZX, BC)= ∠(BO, BC)= ∠OBC. (3.9)

Nadalje, znamo YY ′ ⊥ XZ i XZ ⊥ BO, pa je YY ′ ‖ BO. Prema svojstvu 2. iz teorema 1.9vrijedi:

∠(YY ′,Y ′Z′) = ∠(BO,Y ′Z′).

Ako to usporedimo s (3.9) imamo:

∠(BO,Y ′Z′) = ∠(BO, BC)⇒ Y ′Z′ ‖ BC.

Analogno, bismo dobili X′Y ′ ‖ AB i X′Z′ ‖ AC. Zakljucujemo da su trokuti ABC i X′Y ′Z′

homoteticni. Neka je M centar homotetije koja preslikava trokut ABC u trokut X′Y ′Z′. Tahomotetija preslikava srediste opisane kruznice trokuta ABC (tocku S ) u srediste opisanekruznice trokuta X′Y ′Z′, a to je tocka O. Dakle, tocke S , O i M su kolinearne.

Neka je O′ slika tocke O pri opisanoj homotetiji. Tada su tocke M, O i O′ kolinerane, akako su i S , O i M kolinearne, slijedi da tocka O′ lezi na pravcu OS . Pri opisanoj homotetijitocka A preslikava se u tocku X′, tocka B u Y ′ te C u Z′. Stoga vrijedi:

∠O′Y ′Z′ = ∠OBC. (3.10)

Iz (3.9) i (3.10) slijedi:∠O′Y ′Z′ = ∠YY ′Z′. (3.11)

Dakle, O′ ∈ YY ′, sto znaci da tocka O′ lezi na pravcu koji sadrzi visinu trokuta XYZspustenu iz vrha Y . Slicno se pokazuje: O′ ∈ XX′ i O′ ∈ ZZ′. Dakle, tocka O′ je ortocentartrokuta XYZ.

Pokazali smo da ortocentar trokuta XYZ lezi na pravcu OS , pa prema teoremu 3.1postoji anti-Steinerova tocka W tog pravca s obzirom na trokut XYZ i vrijedi:

∠ZYW = 90◦ − ∠(XY,OS ). (3.12)



Neka je I sjeciste Feuerbachove kruznice i okomice na simetralu kuta BCA povuceneu polovistu stranice AB. Koristeci teorem o kutu izmedu tangente i tetive, svojstva orijen-


tiranih kutova (1.9) i teorem 2.8 racunamo:

∠ZYF = ∠(AB,ZF)= ∠(AB,ZI)= ∠(AB,CO) + ∠(CO,ZI)= ∠(AB,CO) − ∠(ZI,CO)= ∠(AB,CO) − ∠(AB,OS )= ∠(OS , AB) + ∠(AB,CO)= ∠(OS ,CO)= ∠(OS , XY) + ∠(XY,CO)= 90◦ − ∠(XY,OS ) (3.13)

Usporedbom (3.12) i (3.13) dobivamo:

∠ZYF = ∠ZYW ⇒ F ∈ YW.

Slicno, F ∈ XW i F ∈ ZW. Dakle, tocka F je presjek pravaca XW, YW i ZW, a oni surazliciti, a imaju i zajednicku tocku W, pa slijedi F = W. Time je dokazano da je tockaFeuerbachova tocka F trokuta ABC anti-Steinerova tocka pravca OS s obzirom na trokutXYZ.


Slika 3.7: Teorem 3.4: Feuerbachova tocka trokuta ABC je anti-Steinerova tocka pravcaOS s obzirom na trokut XYZ.

�

Uocimo da je tocka O srediste opisane kruznice trokuta XYZ. Pokazali smo da i orto-centar tog trokuta lezi na pravcu OS , pa je OS Eulerov pravac tog trokuta.

3.2 Feuerbachova tocka kao ortopolKao sto smo vidjeli Feuerbachova tocka i pravac koji prolazi kroz srediste upisane i sredisteopisane kruznice trokuta su povezani. I ovom cemo potpoglavlju promatrati odnos medunjima. Prije toga navedimo teorem iz kojeg prozlazi definicija sredisnjeg pojma ovog pot-poglavlja.


Teorem 3.5. Neka je p pravac i ABC trokut. Neka su tocke L, M i N nozista okomicaspustenih iz vrhova A, B i C na pravac p, redom. Okomice spustene iz tocaka L, M, N nastranice BC, AC i AB redom sijeku se u jednoj tocki P.

Dokaz. Neka je P presjek okomice iz tocke L na BC i okomice iz M na AC. Nadalje, nekaje D = AL ∩ BC.

Slika 3.8: Tocka P je ortopol pravca p s obzirom na trokut ABC.

Uocimo da su stranice trokuta ACD i MPL u parovima okomite: AC ⊥ PM, AD ⊥ LMi CD ⊥ PL. Dakle, odgovarajuci kutovi u tim trokutima su kutovi s okomitim kracima.Znamo da ako su dva kuta s okomitim kracima oba siljasta ili oba tupa, tada su medusobnosukladni. Stoga su trokuti ACD i MPL slicni po K-K-K teoremu o slicnosti trokuta. Stogavrijedi:

|AD||CD|

=|LM||PL|

. (3.14)


Neka je Q sjeciste okomice iz L na BC i okomice iz N na AB. Tada trokuti ABD i NQLimaju stranice u parovima okomite, pa su slicni. Odnosno, imamo:

|BD||AD|

=|QL||LN|

. (3.15)

Nadalje, jer je AL ‖ BM ‖ CN, prema Talesovom teoremu o proporcionalnosti je:

|CD||BD|

=|LN||LM|

. (3.16)

Mnozenjem (3.14), (3.15) i (3.16), dobivamo sljedece:

1 =|AD||CD|

·|BD||AD|

·|CD||BD|

=|LM||PL|

·|QL||LN|

·|LN||LM|

=|QL||PL|

.

Dakle, dobili smo |PL| = |QL|. Posto tocke P i Q leze na istoj okomici iz L na BC morabiti P ≡ Q. �

Tocku P iz teorema 3.5 nazivamo ortopol pravca p s obzirom na trokut ABC.U ovom cemo se potpoglavlju baviti sljedecim teoremom:

Teorem 3.6. Neka je ABC trokut, S srediste opisane kruznice, a O srediste upisane kruznicetog trokuta. Feuerbachova tocka F trokuta ABC je ortopol pravca OS s obzirom na trokutABC.

Prije dokaza tog teorema navest cemo iskaz i dokaz teorema potrebnog za dokaz iska-zanog teorema.

Teorem 3.7. Neka je ABC trokut, S srediste opisane kruznice, a O srediste upisane kruznicetog trokuta. Neka su A′, B′ i C′ polovista stranica BC, AC i AB, redom. Tocke J, K, L si-metricne Feuerbachovoj tocki trokuta ABC s obzirom na pravce B′C′, A′B′, A′C′ nozistasu okomica iz vrhova A, B, C na pravac OS .

Dokaz. Neka je pb′ pravac simetrican pravcu OS s obzirom na pravac A′C′. Prema teoremu3.3 pravac pb′ prolazi kroz tocku F pa njena osnosimetricna slika s obzirom na pravac A′C′

mora lezati na pravcu OS . Oznacimo tu tocku slovom L.



Kako su S A′ i S C′ simetrale stranica BC i AB vrijedi:

∠BC′S = ∠S A′B = 90◦.

Stoga tocke A′ i C′ leze na kruznici promjera BS .Sada uocimo trokute A′B′C′ i A′BC′. Oni imaju jednu zajednicku stranicu A′C′, a za

ostale stranice, vrijedi sljedece:

|A′B′| =12|AB| = |BC′|

|B′C′| =12|BC| = |A′B|.

Dakle, prema teoremu S-S-S o sukladnosti trokuta trokuti A′B′C′ i A′BC′ su sukladni.Prema tome i njihove opisane kruznice su sukladne. Stovise, uocimo da su te kruznicemedusobno simetricne s obzirom pravac A′C′. Buduci da tocka F lezi na kruznici opisanojtrokutu A′B′C′ jer je to Feuerbachova kruznica trokuta ABC, njoj simetricna tocka (tocka


L) mora lezati na kruznici opisanoj trokutu A′BC′. Prema Talesovom teoremu o obodnomkutu nad promjerom kruznice vrijedi ∠BLS = 90◦, odnosno tocka L je noziste okomicespustene iz vrha B na pravac OS .

Analogno se pokazuju i preostale dvije tvrdnje. �

Sada mozemo krenuti s dokazom teorema 3.6.

Dokaz. Prema teoremu 3.7 tocke J, K i L su nozista okomica iz vrhova A, B i C na pravacOS .


Nadalje, tocka L je simetricna F s obzirom na pravac A′C′, pa je FL ⊥ A′C′. Kako jeA′C′ ‖ AC, to je FL ⊥ AC. Stoga tocka F lezi na okomici spustenoj iz tocke L na pravacAC. Analogno mozemo pokazati da tocka F lezi na okomicama spustenih uz tockaka Ji K na pravce BC i AB redom. Dakle, promatrane okomice sijeku se u tocki F pa premadefiniciji ortopola slijedi tvrdnja teorema. �

3.3 Feuerbachova tocka kao Ponceletova tockaDefinirajmo pojam nozisnog trokuta koji je jedan od sredisnjih pojmova ovog potpoglavlja.


Definicija 3.8. Neka je dan trokut ABC i tocka P. Neka su P1, P2 i P3 nozista okomica iztocke P na pravce BC, CA i AB redom. Trokut P1P2P3 nazivamo nozisni trokut tocke P sobzirom na trokut ABC.

Teorem 3.9. Neka su A, B, C i D tocke ravnine. Feuerbachove kruznice trokuta ABC,ABD, BCD i ACB sijeku se u jednoj tocki.

Dokaz. Neka su tocke A′, B′ i C′ polovista duzina BC, AC i AB. Neka su tocke L, M i Npolovista DA, DB i DC. Neka je tocka P sjeciste Feuerbachovih kruznica trokuta BDC iABD razlicito od M.


Tada na Feuerbachovoj kruznici trokuta ABD leze tocke L, M, C′ i P, pa je ∠LPM =

∠LC′M. Slicno, ∠NPM = ∠NA′M. Znamo da su LC′, LM i MC′ srednjice trokuta ABD paje cetverokut LC′MD paralelogram. Zbog toga je ∠LC′M = ∠MDL = ∠BDA. Analogno,∠MA′N = ∠NDM = ∠CDB i ∠NB′L = ∠LDN = ∠ADC. Dakle, ∠LPM = ∠BDA i∠NPM = ∠BDC.


Sada koristeci svojstva orijentiranih kutova (teorem 1.9) mozemo racunati:

∠LPN = ∠LPM + ∠MPN= ∠BDA − ∠NPM= ∠BDA − ∠BDC= ∠BDA + ∠CDB= ∠CDB + ∠BDA= ∠CDA= ∠NDL = ∠LB′N. (3.17)

Iz (3.17) i svojstva 6. iz teorema 1.9 zakljucujemo da tocka P lezi na kruznici kroz tockeL, N i B′, a to je upravo Feuerbachova kruznica trokuta ACD.Slicno se pokaze i za ostale kruznice. �

Tocku presjeka P iz teorema 3.9 nazivamo Ponceletova tocka cetvorke tocaka A, B, C i D.Jednu karakterizaciju Ponceletove tocke iznosi sljedeci teorem.

Teorem 3.10. Neka su A, B, C i D cetiri tocke ravnine. Cetiri kruznice opisane nozisnimtrokutima tocaka A, B, C i D s obzirom na trokute BCD, ACD, ABD i ABC redom, sijekuse u Ponceletovoj tocki promatrane cetvorke tocaka.

Dokaz. Neka su tocke A′, B′, C′, L, M i N redom polovista duzina BC, AC, AB, DA, DB iDC. Neka su W, Q i R redom ortogonalne projekcije tocke D na pravce AB, BC i CA.



Feuerbachova kruznica trokuta ABD prolazi kroz tocke M, L i W, dok Feuerbachovakruznica trokuta ACD prolazi kroz tocke R, B′ i L. Prema teoremu 3.9 te se kruznicesijeku u tocki L i Ponceletovoj tocki P cetvorke tocaka A, B, C i D. Tocke R i Q leze nakruznici promjera CD, a tocke Q i W leze na kruznici promjera BD. Stoga vrijedi:

∠RQW = ∠RQD + ∠DQW= ∠RCD + ∠DBW= ∠ACD + ∠DBA. (3.18)

Takoder je:∠RPW = ∠RPL + ∠LPW. (3.19)

Kako R, P, L i B′ leze na Feuerbachovoj kruznici trokuta ACD imamo ∠RPL = ∠RB′L, akako je B′L srednjica trokuta ACD vrijedi ∠RB′L = ∠ACD.

Slicno, jer L, P, W i M leze na Feuerbachovoj kruznici trokuta ABD vrijedi ∠LPW =∠LMW. Kako je trokut BWD pravokutan, a M poloviste njegove hipotenuze, stoga i


srediste njegove opisane kruuznice, to je |MB| = |MW |, odnosno trokut WMB je jedna-kokracan. Tada je ∠MBW = ∠BWM. Neka je G poloviste duzine DW. Kako je LMsrednjica, a DW pravac na kojem lezi visina trokuta ABD, to je LM ⊥ DW, odnosno trokutWMG je pravokutan pa imamo:

∠LMW = ∠(LM,MW)= ∠(AB,MW)= ∠BWM = ∠MBW = ∠DBA. (3.20)

Uvrstivsi dobiveno u (3.19) imamo:

∠RPW = ∠RPL + ∠LPW = ∠ACD + ∠DBA. (3.21)

Sada iz (3.18) i (3.21) slijedi ∠RPW = ∠RQW, pa iz svojstva 6. teorema 1.9 znamo da sutocke P, Q, R i W konciklicne. Dakle, dokazali smo da tocka P lezi na opisanoj kruznicitrokuta WQR, tj. nozisnog trokuta tocke D s obzirom na trokut ABC.

Analogno se pokaze i za ostale kruznice. �

Sad promotrimo vezu Feuerbachove i Ponceletove tocke u nekom trokutu.

Teorem 3.11. Neka je ABC trokut i O srediste upisane kruznice tog trokuta. Feuerbachovekruznice trokuta AOB, AOC i BOC sijeku se u Feuerbachovoj tocki trokuta ABC.

Dokaz. Prema teoremu 3.9 Feuerbachove kruznice trokuta AOB, AOC, BOC i ABC sijekuse u Ponceletovoj tocki cetvorke A, B, C, O. Prema teoremu 3.10 ta Ponceletova tocka lezina opisanoj kruznici nozisnog trokuta tocke O s obzirom na trokut ABC, a to je upisanakruznica trokuta ABC. Dakle, trazena tocka je sjeciste Feuerbachove kruznice trokuta ABCi njegove upisane kruznice. Prema teoremu 2.9 to je Feuerbachova tocka trokuta ABC.



�

3.4 Feuerbachova tocka i Eulerova tocka simetrijeDo sada je jednu od sredisnjih uloga nasih razmatranja imao pravac koji sadrzi sredisteopisane i upisane kruznice danog trokuta. U nastavku tu ulogu preuzimaju Eulerovi pravciodredenih trokuta. Podsjetimo, Eulerov pravac je pravac koji sadrzi ortocentar, sredisteopisane kruznice i teziste trokuta. Prema korolaru 3.2 pravci simetricni Eulerovom pravcus obzirom na stranice promatranog trokuta sijeku se u jednoj tocki koja se naziva Eulerovatocka simetrije.

Teorem 3.12. Neka je ABC trokut i O srediste upisane kruznice tog trokuta. Neka su Ca

i Cb redom ortogonalne projekcije tocke C na simetrale kuta AO i BO. Analogno defini-


ramo i tocke Ab, Ac, Ba i Bc. Eulerovi pravci trokuta AAbAc, BBaBc i CCaCb sijeku se uFeuerbachovoj tocki trokuta ABC.

Prije dokaza dokazimo jednu kratku lemu o ortocentru koju cemo koristiti u nastavku.

Lema 3.13. Neka je ABC trokut i H ortocentar trokuta. Neka je R polumjer opisanekruznice trokuta ABC. Tada vrijede sljedece jednakosti:

|AH| = 2R · cos(∠CAB),|BH| = 2R · cos(∠ABC),|CH| = 2R · cos(∠BCA).

U ovoj lemi i njenom dokazu ne koristimo orijentirane kutove.

Dokaz. Neka su D, E, F nozista okomica iz vrhova A, B i C na nasuprotne stranice trokuta.

Slika 3.14: Udaljenost ortocentra od vrhova trokuta.

Iz pravokutnog trokuta AEH znamo:

|AH| =|AE|

sin(∠AHE). (3.22)


No, iz pravokutnog trokuta ABE imamo:

|AE| = |AB| · cos(∠EAB) = |AB| · cos(∠CAB). (3.23)

Trokut AHE slican je trokutu ACD, pa je ∠AHE = ∠ACD = ∠ACB. Iz toga i iz (3.22) i(3.23) dobivamo:

|AH| =|AB| · cos(∠CAB)

sin(∠BCA).

Iz poucka o sinusima znamo:|AB|

sin(∠BCA)= 2R,

pa je zaista |AH| = 2R · cos(∠CAB). �

Sada mozemo krenuti s dokazom teorema 3.12.

Dokaz. Pokazat cemo da Eulerov pravac trokuta CCaCb prolazi kroz Feuerbachovu tockuF trokuta ABC. Za ostale trokute, dokaz je analogan.

Neka je Hc ortocentar trokuta CCaCb, te S c srediste opisane kruznice tog trokuta. Tadaje CCb ⊥ BO i CCa ⊥ AO pa tocke Ca i Cb leze na kruznici ciji je promjer duzina CO. No,tada ta kruznica prolazi kroz vrhove trokuta CCaCb pa mu je to opisana kruznica. Stoga jetocka S c poloviste duzine CO te vrijedi:

∠(CO,OCb) = ∠(CCa,CaCb). (3.24)

Pokazimo sada da je CbCa ‖ AB.



Prema svojstvu orijentiranih kutova (teorem 1.9) i iz Cb ∈ OB imamo:

∠(CO,OCb) = ∠(CO, BC) + ∠(BC,OCb)= ∠(CO, BC) + ∠(BC,OB). (3.25)

Kako je ∠(CO, BC) polovina kuta pri vrhu C, a ∠(BC,OB) polovina kuta pri vrhu B utrokutu ABC, iz leme 1.10, znamo da vrijedi:

∠(CO, BC) + ∠(BC,OB) = 90◦ − ∠(AO, AC). (3.26)

Sada zbog CCa ⊥ AO dobivamo:

∠(CO,OCb) = ∠(CO, BC) + ∠(BC,OB)= 90◦ − ∠(AO, AC)= ∠(AC,CCa). (3.27)

Iz (3.24) i (3.27) dobivamo:

∠(AC,CCa) = ∠(CCa,CaCb). (3.28)


Neka je V sjeciste AC i CaCb te U poloviste CCa. Zbog (3.28) trokut CVCa je jednako-kracan, pa je |VC| = |VCa|. Tada je VU okomito na CCa. Dakle, VU ‖ ACa. DuzinaVU je srednjica trokuta CACa, pa je konacno V poloviste od AC. Stoga CbCa prolazi krozpoloviste stranice CA.

Slicno se pokaze da CbCa prolazi kroz polovise stranice BC. Prema teoremu o srednjicitrokuta slijedi CbCa ‖ AB.

Neka je Z′ tocka simetricna tocki Z s obzirom na tocku O. Uocimo da tada i Z′ lezina upisanoj kruznici trokuta ABC. Primijetimo da je CHc ‖ OZ′. Naime, zbog pokazaneparalelnosti je OZ′ ⊥ CbCa, a posto je Hc ortocentar trokuta CCaCb vrijedi CHc ⊥ CbCa.


Nadalje, uocimo da vrijedi

∠BOA = ∠(BO,OA) = ∠(OCb,OCa) = ∠CbOCa.

Iz teorema 1.9 vrijedi ∠ABO + ∠BOA + ∠OAB = 0, odnosno ∠BOA = ∠BAO + ∠OBA.Primjenom leme 1.10 dobivamo ∠BOA = 90◦ − ∠ACO. Stoga imamo:

∠CbOCa = ∠BOA = 90◦ − ∠ACO. (3.29)


No, kako tocke C, Cb, O i Ca leze na kruznici vrijedi:

∠CbCCa = ∠CbOCa. (3.30)

Iz (3.29) i (3.30) je:

∠CbCCa = ∠CbOCa

= 90◦ − ∠ACO. (3.31)

Dokazimo sada kratku lemu koju cemo koristiti dalje u dokazu.

Lema 3.14. Uz oznake iz teorema 3.12, vrijedi |CHc| = r, gdje je r radijus upisane kruznicetrokuta ABC.

U ovoj lemi i njenom dokazu ne koristimo orijentirane kutove.

Dokaz. S obzirom da je CO promjer opisane kruznice trokuta CCaCb, iz leme 3.13 i dosada dokazanog u dokazu teorema 3.12, znamo:

|CHc| = |CO| · cos(∠CaCCb)= |CO| · cos(90◦ − ∠ACO)= |CO| · sin(∠ACO). (3.32)

Iz pravokutnog trokuta CYO znamo:

sin ∠YCO =r|CO|

⇔ |CO| =r

sin(∠YCO)=

rsin(∠ACO)

. (3.33)

Iz (3.32) i (3.33) slijedi: |CHc| = r. �

Zbog paralelnosti pravaca CHc i Z′O vrijedi ∠HcCO = ∠Z′OC, odnosno ∠HcCS c =

∠Z′OS c. Kako je S c poloviste duzine CO vrijedi |CS c| = |S cO|, a iz leme 3.14 je |CHc| =

|OZ′|, prema S-K-S teoremu o sukladnosti trokuta slijedi da su trokuti CHcS c i OZ′S c

sukladni. Dakle, ∠CS cHc = ∠OS cZ′, odnosno ∠(S cC, S cHc) = ∠(S cO, S cZ′), stoga sutocke S c, Hc i Z′ kolinearne.

Kako Feuerbachova tocka F trokuta ABC lezi na njegovoj upisanoj kruznici vrijedi∠Z′FZ = 90◦. Pokazimo da je i ∠S cFZ takoder pravi.Naime, tocka S c je poloviste duzine CO. Pokazali smo da je Feuerbachova tocka Pon-celetova tocka tocaka A, B, C i O (teorem 3.11), pa ona lezi na kruznicama devet tocakatrokuta ABC, AOB, BOC i AOC. Neka je W poloviste duzine BO. Na Feuerbachovojkruznici trokuta ABC leze tocke F, A′ i C′.


Prema svojstvu orijentiranih kutova (teorem 1.9) mozemo pisati:

∠ZFS c = ∠ZFW + ∠WFS c. (3.34)

Kako tocke S c, F, W i A′ leze na kruznici devet tocaka trokuta BOC to je ∠WFS c =

∠WA′S c. Kako su S cW i A′W srednjice tog trokuta, to je cetverokut A′WOS c paralelogrampa je ∠WA′S c = ∠S cOW. Na temelju zbroja kutova u trokutu BOC i prema lemi 1.10znamo:

∠S cOW = ∠COB= ∠CBO + ∠OCB= 90◦ − ∠BAO. (3.35)

Nadalje, W, F i Z i C′ leze na kruznici devet tocaka trokuta AOB pa je

∠ZFW = ∠ZC′W = ∠(ZC′,C′W).

Kako je WC′ srednjica trokuta ABO to je

(ZC′,C′W) = ∠(ZC′, AO) = ∠(AB, AO)= ∠BAO. (3.36)

Uvrstavanjem (3.35) i (3.36) u (3.34) dobivamo,

∠ZFS c = ∠ZFW + ∠WFS c

= ∠BAO + 90◦ − ∠BAO= 90◦.

Dakle, ∠Z′FZ = 90◦ i ∠ZFS c = 90◦, a to znaci da F lezi na pravcu Z′S c, odnosno naEulerovom pravcu trokuta CCaCb.Analogno se pokaze da F lezi na Eulerovim pravcima ostalih trokuta. Slijedi tvrdnja. �


Slika 3.17: Teorem 3.12 c)

Iduci teorem povezuje Feuerbachovu i Eulerovu tocku simetrije promatranog trokuta.

Teorem 3.15. Neka je ABC trokut, O srediste upisane, a S srediste opisane kruznice togtrokuta. Neka su Ca i Cb ortogonalne projekcije tocke C na simetrale kuta AO i BO.Analogno definiramo i tocke Ab, Ac, Ba i Bc. Pravci simetricni Eulerovom pravcu trokutaCCaCb s obzirom na stranice tog trokuta i pravac OS sijeku se u tocki Ec koja je simetricnaFeuerbachovoj tocki trokuta ABC s obzirom na pravac CaCb. Slicno vrijedi za trokuteAAbAc i BBaBc.

Dokaz. Neka su Hc ortocentar i S c srediste opisane kruznice trokuta CCaCb. Tada je pravacHcS c Eulerov pravac trokuta CCaCb. Prema korolaru 3.2 pravci simetricni pravcu HcS c

s obzirom na stranice trokuta CCaCb sijeku se u Eulerovoj tocki simetrije koja lezi naopisanoj kruznici promatranog trokuta. Pokazimo da je ta Eulerova tocka simetrije tockasimetricna Feuerbachovoj tocki F trokuta ABC u odnosu na pravac CaCb.



Neka su X, Y i Z tocke u kojima upisana kruznica trokuta ABC dira stranice trokutaBC, AC i AB. Pokazimo sada da kruznica s promjerom ZHc prolazi kroz tocke Ca i Cb.Da bismo to pokazali, moramo pokazati da su tocke X, Z i Ca te Y , Z i Cb kolinearne.Uocimo da su trokuti BOX i BOZ sukladni (BO je zajednicka stranica, kutovi u vrhu B susukladni jer je BO simetrala kuta CBA, a kutovi u vrhovima X i Z su pravi). Iz toga slijedi|XB| = |ZB|. Analogno, |AY | = |AZ| i |CX| = |CY |. Neka su x, y i z redom duljine odsjecakatangenti iz vrhova A, B, C na upisanu kruznicu. Imamo:

x = |AY | = |AZ|y = |BX| = |BZ|z = |CX| = |CY |.

Tada imamo:

|AB| = x + y|BC| = y + z|AC| = x + z.


Zbrajanjem prvih dviju jednakosti i uvrstavanjem trece jednakosti dobivamo:

x + 2y + z = |AB| + |BC|2y + |AC| = |AB| + |BC|

y =|AB| + |BC| − |AC|

2.

Sada dobivamo

y = |BX| =|AB| + |BC| − |AC|

2= |A′B′| + |BA′| − |B′C|.

Na temelju toga mozemo racunati:

|A′X| = ||BX| − |BA′||= ||A′B′| + |BA′| − |B′C| − |BA′||= ||A′B′| − |B′C||.

U dokazu teorema 3.12 pokazali smo da je trokut CB′Ca jednakokracan pa je |B′C| = |B′Ca|

Takoder znamo da Ca lezi na pravcu A′B′ pa imamo:

|A′X| = ||A′B′| − |B′Ca|| = |CaA′|.

Prema tome trokut A′CaX je jednakokracan. Kako je i trokut BZX jednakokracan, a kutoviu vrhovima A′ i B sukladni (jer CaA′ ‖ ZB), to su trokuti BZX i A′CaX slicni. Dakle,∠CaXA′ = ∠ZXB, pa su tocke X, Z i Ca kolinearne. Analogno bismo dokazali kolinearnosttocaka Y , Z i Cb.

Kako je XZ ⊥ BO i CCb ⊥ BO, to je XZ ‖ CCb. No, kako je CaHc ⊥ CCb to jeCaHc ⊥ XZ. Buduci da su tocke X, Z i Ca kolinearne, slijedi ZCaHc = 90◦. Slicno,HcCbZ = 90◦. Dakle, tocke Ca i Cb leze na kruznici promjera ZHc.

Neka je Z′ tocka simetricna tocki Z s obzirom na srediste upisane kruznice trokutaABC. Iz dokaza teorema 3.12 znamo da se pravci HcF i Z′F podudaraju te Z′F ⊥ ZF.Stoga kruznica s promjerom ZHc prolazi i kroz F, odnosno tocke F, Ca, Z i Cb su kon-ciklicke.

U dokazu teorema 3.12 pokazali smo da je pravac CaCb zapravo pravac na kojem lezisrednjica trokuta ABC pa iz BHc ⊥ CaCb slijedi BHc ⊥ AB. Kako je i OZ ⊥ AB, to jeCHc ‖ OZ. No, u lemi 3.14 pokazali smo da je duljina |CHc| jednaka radijusu upisanekruznice trokuta ABC, pa je |CHc| = |OZ|. Dakle, cetverokut COZHc ima paralelne isukladne nasuprotne stranice CHc i OZ, pa je on paralelogram. Tada je i |CO| = |HcZ|.Kako je CO promjer opisane kruznice trokuta CCaCb, a HcZ promjer kruznice kroz tockeF, Ca, Z i Cb, to su te dvije kruznice sukladne. S obzirom na to da se te kruznice sijeku u


tockama Ca i Cb, one su simetricne s obzirom pravac CaCb. Stoga tocka simetricna tocki Fs obzirom na pravac CaCb lezi na opisanoj kruznici trokuta CCaCb.

Prema teoremu 3.12 tocka F lezi na Eulerovom pravcu trokuta CCaCb. Pravac sime-trican Eulerovom pravcu trokuta CCaCb s obzirom na pravac CaCb sijece opisanu kruznicutog trokuta u dvije tocke. Prema dokazu teorema 3.1 jedno sjeciste je anti-Steinerova tocka(oznacimo je s Ec) trokuta CCaCb, a drugo sjeciste je tocka simetricna ortocentru Hc s ob-zirom na pravac CaCb. Kako su F i Hc razlicite tocke, znaci da je Ec osnosimetricna slikatocke F. No, prema korolaru 3.2 tocka Ec je Eulerova tocka simetrije trokuta CCaCb.

Prema teoremu 3.3, tocka Ec lezi na pravcu OS . �

Poglavlje 4

Generalizacija Feuerbachove tocke

Neka je ABC trokut. Neka su kao i prije, tocke A′, B′ i C′ polovista stranica BC, CA iAB. Zatim, neka je S srediste opisane kruznice trokuta ABC, te neka je P bilo koja tockaravnine razlicita od S . U dokazu teorema 3.3 pokazali smo da je tocka S ortocentar trokutaA′B′C′. Takoder, kruznica devet tocaka trokuta ABC je kruznica opisana trokutu A′B′C′.Sada prema teoremu 3.1 iz kojeg proizlazi definicija anti-Steinerove tocke i u skladu snavedenim oznakama mozemo zakljuciti sljedece:

Teorem 4.1. Osnosimetricne slike pravca PS s obzirom na pravce B′C′, C′A′ i A′B′ sijekuse u jednoj tocki L koja lezi na Feuerbachovoj kruznici trokuta ABC. Tocka L je anti-Steinerova tocka pravca PS s obzirom na trokut A′B′C′.

57

POGLAVLJE 4. GENERALIZACIJA FEUERBACHOVE TOCKE 58


Teorem 4.2. Tocka L iz teorema 4.1 je ortopol pravca PS s obzirom na trokut ABC, gdjeje S srediste opisane kruznice trokuta ABC.

Prije dokaza tog teorema dokazat cemo teorem potreban za dokaz iskazanog teorema.

Teorem 4.3. Tocke X′, Y ′, Z′ simetricne tocki L iz teorema 4.1 s obzirom na pravce B′C′,C′A′ i A′B′ su redom nozista okomica iz tocaka A, B, C na pravac PS .

Dokaz. Neka je pb′ pravac simetrican pravcu PS s obzirom na pravac A′C′. Prema teoremu4.1 pravac pb′ prolazi kroz tocku L pa osnosimetricna slika tocke L s obzirom na pravacA′C′ lezi na pravcu PS . Oznacimo tu tocku Y ′.



Kako tocke S , A′ i C′ leze na simetralama stranica trokuta ABC vrijedi:

∠BC′S = ∠S A′B = 90◦.

Stoga tocke A′ i C′ leze na kruznici promjera BS .



Sada uocimo trokute A′B′C′ i A′BC′. Oni imaju zajednicku stranicu A′C′, a za ostalestranice vrijedi sljedece:

|A′B′| =12|AB| = |BC′|

|B′C′| =12|BC| = |A′B|.

Dakle, prema teoremu S-S-S o sukladnosti trokuta trokuti A′B′C′ i A′BC′ su sukladni.Prema tome i njihove opisane kruznice su sukladne. Stovise, uocimo da su te kruznicemedusobno simetricne s obzirom pravac A′C′. Buduci da tocka L lezi na kruznici opisanojtrokutu A′B′C′ jer je to Feuerbachova kruznica trokuta ABC, tocka Y ′, simetricna tocki L uodnosu na pravac A′C′, lezi na kruznici opisanoj trokutu A′BC′. Prema Talesovom teoremuo obodnom kutu nad promjerom kruznice ∠BY ′S = 90◦, pa je tocka Y ′ noziste okomicespusene iz vrha B na pravac PS .

Analogno se pokazuju i preostale dvije tvrdnje. �

Sada dokazimo teorem 4.2.


Dokaz. Prema teoremu 4.3 tocke X′, Y ′ i Z′ su nozista okomica iz vrhova A, B i C napravac PS . Nadalje, tocka Y ′ je simetricna L s obzirom na pravac A′C′, pa je LY ′ ⊥ A′C′.Kako je A′C′ ‖ AC, to je LY ′ ⊥ AC. Stoga tocka L lezi na okomici spustenoj iz tocke Y ′ napravac AC. Analogno bismo pokazali da tocka L lezi na okomicama spustenim iz tocakaX′ i Z′ na pravce BC i AB redom. Stoga se promatrane okomice sijeku u tocki L pa premadefiniciji ortopola slijedi tvrdnja teorema. �

Uocimo da se sada kao korolar navedenog teorema namece sljedeca tvrdnja:

Korolar 4.4. Ortopol pravca koji prolazi kroz srediste opisane kruznice nekog trokuta lezina Feuerbachovoj kruznici tog trokuta.

Iduci teorem ima krucijalno znacenje za ovo poglavlje:

Teorem 4.5. Neka su X, Y i Z redom nozista okomica iz tocke P na pravce BC, AC i AB.Neka su X′, Y ′ i Z′ redom ortogonalne projekcije tocaka A, B, C na pravac PS . Zatim,neka su A′′ = B′C′ ∩ YZ, B′′ = A′C′ ∩ XZ i C′′ = A′B′ ∩ XY. Tada tocka L iz teorema 4.2lezi na pravcima XA′′, YB′′ i ZC′′.

Dokaz. Uocimo da je trokut XYZ nozisni trokut tocke P s obzirom na trokut ABC. Nekasu sada X′′, Y ′′ i Z′′ tocke simetricne tockama X, Y i Z s obzirom na prvace B′C′, A′C′ iA′B′ redom.

Ocito je XX′′ ⊥ B′C′ odnosno XX′′ ⊥ BC jer B′C′ ‖ BC. Dakle, tocke P, X X′′ lezena pravacu okomitom na pravac BC. Nadalje, neka su A1, B1, C1 nozista visina iz vrhovaA, B i C na nasuprotne stranice trokuta ABC. Tada su tocke A i A1 medusobno simetricnes obzirom na pravac B′C′. Stoga su pravci AX′′ i A1X medusobno simetricni s obzirom napravac B′C′. Kako je A1X paralelan pravcu B′C′, pravac AX′′ je takoder paralelan pravcuB′C′ (jer je pravac AX′′ simetrican pravcu A1X), odnosno pravac AX′′ ‖ BC .



Buduci da je AX′′ ‖ BC i PX′′ ⊥ BC, imamo ∠AX′′P = 90◦. Stoga tocka X′′ lezi nakruznici promjera AP. Nadalje, znamo ∠AZP = 90◦, ∠AYP = 90◦ te ∠AX′P = 90◦, pai tocke Y , Z i X′ leze na kruznici promjera AP. Iz teorema 4.3 znamo da tocke B′, C′ iX′ leze na kruznici promjera AS . Primjenom svojstava orijentiranih kutova (teorem 1.9)imamo ∠AC′B′ = ∠AX′B′ i ∠YZA = ∠YX′A. Sada mozemo racunati:

∠YX′B′ = ∠YX′A + ∠AXB′

= ∠YZA + ∠AC′B′.

Nadalje, A′′ ∈ YZ i C′ ∈ AZ pa je ∠YZA = ∠A′′ZC′. Kako je i A′′ ∈ B′C′, to je ∠AC′B′ =∠ZC′A′′. Stoga dalje imamo:

∠YX′B′ = ∠A′′ZC′ + ∠ZC′A′′

= ∠A′′ZC′ + ∠ZC′A′′. (4.1)

Iz svojstva 7. iz teorema 1.9 znamo

∠A′′ZC′ + ∠ZC′A′′ = −∠C′A′′Z = ∠ZA′′C′. (4.2)


Iz (4.1) i (4.2) zakljucujemo ∠YX′B′ = ∠ZA′′C′ = ∠YA′′B′. Dobili smo ∠YX′B′ = ∠YA′′B′.Dakle, tocka X′ lezi na kruznici koja prolazi tockama A′′, Y i B′. Stoga je ∠A′′B′Y =∠A′′X′Y . Buduci da tocke Y , Z, X′ i X′′ leze na kruznici promjera AP, imamo ∠YPX′′ =∠YX′X′′. Na temelju navednog mozemo racunati:

∠A′′X′X′′ = ∠A′′X′Y + ∠YX′X′′

= ∠A′′B′Y + ∠YPX′′

= ∠(C′B′, AC) + ∠(PY, PX)= ∠(C′B′, AC) + ∠(PY, AC) + ∠(AC,CB) + ∠(BC, PX)= ∠(C′B′, AC) + 90◦ + ∠(AC,CB) + 90◦

= ∠(C′B′, AC) + ∠(AC,CB)= ∠(CB, AC) + ∠(AC,CB)= 0◦.



Dakle, tocke A′′, X′ i X′′ su kolinearne. No, prema teoremu 4.3 tocka X′ simetricna jetocki L s obzirom na pravac B′C′, dok smo tocku X′′ definirali kao tocku simetricnu tockiX s obzirom na pravac B′C′. Tocka A′′ lezi na pravcu B′C′ pa je i sama sebi simetricna nataj pravac. Buduci da su tocke A′′, X′ i X′′ kolinearne, to su i njihove simetricne slike A′′,L i X kolinearne. Dakle, L ∈ XA′′. Analogno se pokaze L ∈ YB′′ i L ∈ ZC′′. Slijedi tvrdnjateorema. �

U dokazu prethodnog teorema pokazali smo da tocke Y , Z, X′ i X′′ leze na kruznicipromjera AP. Ako promotrimo potenciju tocke A′′ na tu kruznicu vrijedi: |A′′X′| · |A′′X′′| =|A′′Z| · |A′′Y |. Buduci da su A′′, X′ i X′′ simetricne tockama A′′, L i X s obzirom na pravacB′C′, imamo |A′′X′| = |A′′L| te |A′′X′′| = |A′′X|, odnosno |A′′L| · |A′′X| = |A′′X′| · |A′′X′′|.Odnosno, |A′′L| · |A′′X| = |A′′Z| · |A′′Y | pa tocke L, X, Y , Z leze na jednoj kruznici. To znacida tocka L lezi na kruznici kroz tocke X, Y i Z, odnosno na opisanoj kruznici nozisnogtrokuta XYZ tocke P s obzirom na trokut ABC. Time smo dokazali:

Teorem 4.6. Uz oznake kao ranije tocka L lezi na opisanoj kruznici nozisnog trokuta XYZtocke P s obzirom na trokut ABC.



Na temelju dokazanih tvrdnji u ovom poglavlju slijedi teorem koji nosi naziv PrviFonteneov teorem1:

Teorem 4.7. Neka je ABC trokut i P bilo koja tocka ravnine. Neka su tocke A′, B′, C′

redom polovista stranica BC, AC i AB danog trokuta. Neka je XYZ nozisni trokut tockeP s obzirom na trokut ABC. Neka su tocke A′′, B′′ i C′′ presjeci odgovarajucih stranicatrokuta A′B′C′ i XYZ. Tada se pravci XA′′, YB′′ i ZC′′ sijeku u tocki L koja je zajednickatocka Feuerbachove kruznice trokuta ABC i opisane kruznice nozisnog trokuta XYZ.

Slika 4.7: Prvi Fonteneov teorem

Tocka L iz teorema 4.7 naziva se Fonteneova tocka tocke P s obzirom na trokut ABC.Drugi Fonteneov teorem izrice jos jacu tvrdnju.

Teorem 4.8. Neka je ABC trokut i P proizvoljna tocka ravnine. Ako se tocka P giba po fiks-nom pravcu koji prolazi kroz srediste opisane kruznice trokuta ABC tada opisana kruznica

1Georges Fontene (1848. – 1923.), profesor na francuskom sveucilistu u Parizu. Svoje je radove objav-ljivao u casopisu Nouvelles Annales.


nozisnog trokuta tocke P s obzirom na trokut ABC prolazi kroz fiksnu tocku Feuerbachovekruznice trokuta ABC.

Dokaz. Dokaz slijedi iz teorema 4.7 i 4.1. Naime, tocka je fiksna upravo zato sto je anti-Steinerova tocka. �

Na kraju dokazimo teorem koji se smatra generalizacijom teorema o Feuerbachovojtocki, a on nosi naziv Treci Fonteneov teorem.

Teorem 4.9. Neka je ABC trokut i P proizvoljna tocka ravnine. Neka je tocka P1 izogonalnikonjugat tocke P s obzirom na trokut ABC te S srediste opisane kruznice trokuta ABC.Feuerbachova kruznica i opisana kruznica nozisnog trokuta tocke P s obzirom na trokutABC se diraju ako i samo ako su tocke P, P1 i S kolinearne.

Pri dokazu koristit cemo sljedecu zanimljivu lemu:

Lema 4.10. Neka je ABC trokut i tocka P unutar tog trokuta. Neka je tocka P1 izogonalnikonjugat tocke P s obzirom na trokut ABC. Neka su XYZ i X1Y1Z1 nozisni trokuti tocakaP i P1 s obzirom na trokut ABC. Tocke X, Y, Z, X1, Y1 i Z1 leze na kruznici cije je sredistepoloviste duzine PP1.

Slika 4.8: Opisana kruznica nozisnih trokuta tocaka P i P1.


Dokaz. Neka su Y i Y1 na pravcu AC te neka su Z i Z1 na pravcu AB. Pokazimo da te cetiritocke leze na jednoj kruznici.

Slika 4.9: Lema 4.10

Zbog definicije nozisnog trokuta je ∠PYA = ∠PZA = 90◦ pa tocke Y i Z leze na kruznicipromjera PA. Zato je ∠PYZ = ∠PAZ. Analogno je ∠Y1Z1P1 = ∠Y1AP1.

Neka je M tocka u kojoj simetrala kuta CAB sijece stranicu BC. Tada je ∠MAB =∠CAM. Nadalje, iz definicije izogonalog konjugata je ∠PAM = ∠MAP1. Na temeljusvojstva orijentiranih kutova mozemo pisati:

∠PAZ = ∠PAM + ∠MAZ= ∠MAP1 + ∠MAB= ∠CAM + ∠MAP1

= ∠CAP1 = ∠Y1AP1.

Dobili smo:∠PYZ = ∠PAZ = ∠Y1AP1 = ∠Y1Z1P1.


Sada imamo:

∠ZYY1 = ∠ZYA= 90◦ − ∠PYZ= 90◦ − ∠Y1Z1P1

= ∠AZ1Y1 = ∠ZZ1Y1.

Dakle, ∠ZYY1 = ∠ZZ1Y1 pa su prema svojstvu 6. iz teorema 1.9 tocke Y , Y1, Z i Z1

konciklicne.Oznacimo s I srediste kruznice kroz tocke Y , Y1, Z i Z1. Tada I lezi na presjeku si-

metrala duzina YY1 i ZZ1 jer su to tetive promatrane kruznice. Ako sada promotrimo pra-vokutne trapeze YY1P1P i ZZ1P1P, uocavamo da su simetrale duzina YY1 i ZZ1 upravosrednjice tih trapeza, pa te simetrale prolaze kroz poloviste duzine PP1. Dakle, tocka I jepoloviste duzine PP1.

Kao sto smo pokazali konciklicnost tocaka Y , Y1, Z i Z1, slicno bismo pokazali dasu i tocke X, X1, Y i Y1 konciklicne. Srediste kruznice kroz tocke X, X1, Y i Y1 lezi nasimetralama duzina XX1 i YY1 jer su to tetive promatrane kruznice. Iz pravokutnih trapezaXX1P1P i YY1P1P, vidimo da su simetrale duzina YY1 i ZZ1 upravo srednjice tih trapeza,pa te simetrale prolaze kroz poloviste duzine PP1, a to je upravo tocka I. Dakle, tocke X,Y , Z, X1, Y1 i Z1 leze na kruznici sa sredistem u tocki I, a ta je kruznica upravo kruznicaopisana nozisnom trokutu XYZ. Slijedi tvrdnja. �

Lako se pokaze da su ortocentar i srediste opisane kruznice nekog trokuta izogonalnokonjugirane tocke. Tada je opisana kruznica njihovih nozisnih trokuta upravo Feuerbac-hova kruznica pocetnog trokuta.

Sada mozemo dokazati teorem 4.9.

Dokaz. Neka je XYZ nozisni trokut tocke P i X1Y1Z1 nozisni trokut tocke P1. Neka jeL Fonteneova tocka tocke P s obzirom na trokut ABC te L1 Fonteneova tocka tocke P1 sobzirom na trokut ABC. Prema lemi 4.10 trokuti XYZ i X1Y1Z1 imaju istu opisanu kruznicu.Tada se L1 nalazi na Feuerbachovoj kruznici trokuta ABC i na kruznici opisanoj trokutuXYZ, kao i tocka L prema teoremu 4.7. Dakle, tocke L i L1 su tocke presjeka tih dvijukruznica.

Tocka L je prema teoremu 4.1 anti-Steinerova tocka pravca PS s obzirom na trokutA′B′C′. Isto tako L1 je anti-Steinerova tocka pravca P1S s obzirom na trokut A′B′C′.Feuerbachova kruznica trokuta ABC i opisana kruznica trokuta XYZ se diraju ako i samoako se tocke L i L1 podudaraju.

Iz teorema iz kojeg prozilazi definicija anti-Steinerove tocke (teorem 3.1) vidimo dazapravo postoji bijekcija izmedu pravaca kroz ortocentar i tocaka opisane kruznice trokuta.Stoga ako se tocke L i L1 podudaraju tada se i pravci PS i P1S podudaraju. S druge strane,


ako se pravci PS i P1S podudaraju, to jest tocke P, P1 i S su kolinearne tada je premateoremu 4.8 sjeciste Feuerbachove kruznice trokuta ABC i opisane kruznice trokuta XYZfiksna tocka pa se tocke L i L1 podudaraju. Slijedi tvrdnja. �

Uocimo da je Feuerbachov teorem, dokazan u drugom poglavlju ovog rada, posebanslucaj teorema 4.9 i to kada je tocka P upravo srediste upisane kruznice trokuta ABC, jerje srediste upisane kruznice samo sebi izogonalni konjugat. Tada je Feuerbachova tockazapravo Fonteneova tocka danog trokuta.

Kao sto je i uobicajeno u matematici, postoji jos teorema koji se smatraju generalizaci-jom Feuerbachova teorema.

Bibliografija

[1] J. L. Ayme, Les trois theoremes de Georges Fontene, Geometry Geometrie Geome-tria 8 (2011.), 1–28, http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Fontene.pdf, (lipanj 2015.).

[2] M. Bocanu, Geometry Unbound, https://www.awesomemath.org/wp-content/uploads/article_1_bocanu.pdf, (lipanj 2015.).

[3] A. Bogomolny, Orthopole: What is it? A Mathematical Droodle,http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml#

explanation, (svibanj 2015.).

[4] D. Grinberg, Anti-Steiner points with respect to a triangle, http://web.mit.edu/˜darij/www/AntiSteinerPDF.zip, (travanj 2015.).

[5] , From Baltic Way to Feuerbach - A Geometrical Excursion, http://web.mit.edu/˜darij/www/BalticFeuer.zip, (travanj 2015.).

[6] , Generalization of the Feuerbach point, web.mit.edu/˜darij/www/GenFeuerPDF.zip, (travanj 2015.).

[7] D. Ilisevic i M. Bombardelli, Elementarna geometrija, skripta, verzija 1.0,http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/eg/dodatni/EGskripta.pdf,(travanj 2015.).

[8] R. A. Johnson, Directed Angles in Elementary Geometry, American MathematicalMonthly 25 (1917.), br. 3, 101–105.

[9] , Advanced Euclidean Geometry, Dover reprint, 1925.

[10] K. Kedlaya, Geometry Unbound, (2006.), http://kskedlaya.org/

geometryunbound/gu-060118.pdf.

[11] C. Kimberling, Encyclopedia of triangle centers – ETC, http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, (svibanj 2015.).

70

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Fontene.pdf

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Fontene.pdf

https://www.awesomemath.org/wp-content/uploads/article_1_bocanu.pdf

https://www.awesomemath.org/wp-content/uploads/article_1_bocanu.pdf

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml#explanation

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml#explanation

http://web.mit.edu/~darij/www/AntiSteinerPDF.zip

http://web.mit.edu/~darij/www/AntiSteinerPDF.zip

http://web.mit.edu/~darij/www/BalticFeuer.zip

http://web.mit.edu/~darij/www/BalticFeuer.zip

web.mit.edu/~darij/www/GenFeuerPDF.zip

web.mit.edu/~darij/www/GenFeuerPDF.zip

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/eg/dodatni/EGskripta.pdf

http://kskedlaya.org/geometryunbound/gu-060118.pdf

http://kskedlaya.org/geometryunbound/gu-060118.pdf

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

[12] Z. Kolar-Begovic i A. Tonkovic, Feuerbachov teorem, Osjecki matematicki list(2009.), br. 9, 21–30.

[13] V. Praslov, Problems in Plane and Solid geometry, v. 1 Plane Geometry, http://students.imsa.edu/˜tliu/Math/planegeo.pdf, (travanj 2015.).

[14] L. N. Van, Fontene theorems and some corollaries,https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2010/11/

fontene-theorem-and-some-corollaries.pdf, (lipanj 2015.).

[15] J. Vonk, The Feuerbach Point and Reflections of the Euler line, Forum Geometrico-rum 9 (2009.), br. 9, 47–55.

[16] I. Zelich, Poncelet point and its applications, http://www.academia.edu/6251353/Poncelet_point_and_its_applications_3_, (svibanj 2015.).

http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf

http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf

https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2010/11/fontene-theorem-and-some-corollaries.pdf

https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2010/11/fontene-theorem-and-some-corollaries.pdf

http://www.academia.edu/6251353/Poncelet_point_and_its_applications_3_

http://www.academia.edu/6251353/Poncelet_point_and_its_applications_3_

Sazetak

U ovom smo radu dokazali dio poznatog Feuerbachova teorema, odnosno da se Feuerbac-hova kruznica i upisana kruznica nekog trokuta diraju u Feuerbachovoj tocki. Zatim smoFeuerbachovu tocku povezali s drugim posebnim tockama trokuta. Naime, promatrali smoje u ulozi anti-Steinerove tocke, ortopola, Ponceleove tocke te smo uspostavili vezu izmeduFeuerbachove tocke i Eulerove tocke simetrije. Na kraju, dana je generalizacija Feuerbac-hova teorema koja je poznata pod nazivom Treci Fonteneov teorem. Tijekom cijelog radakoristilo se znanje o orijeniranim kutovima koje je uvelike olasalo vecinu danih dokaza.

Summary

In this paper we proved the part of the famous Feuerbach theorem, that is, Feuerbachcircle of any triangle is tangent to its incircle at Feuerbach point. Then, we connectedFeuerbach point with other special points of the triangle. In fact, we have observed it inthe role of anti-Steiner point, orthopole, Poncelet point and we have established a relationbetween Feuerbach point and Euler reflection point. Finally, a generalization of Feuerbachtheorem which is known as the Third Fontene theorem is given. Through the entire paperthe knowledge of directed angles was used which made many of proofs easier.

Zivotopis

Rodena sam 24. ozujka 1992. godine u Zagrebu. Godine 1998. krenula sam u prvi razredOsnovne skole Dragutina Domjanica u Svetom Ivanu Zelini. Osmi razred osnovne skolezavrsila sam 2006. godine i te iste godine upisala sam opcu gimnaziju u Srednjoj skoliDragutina Strazimira, takoder u Svetom Ivanu Zelini.

Nakon zavrsetka opce gimnazije 2010. godine, upisala sam preddiplomski sveucilisnistudij Matematika; smjer: nastavnicki na Prirodoslovno-matematickom Fakultetu u Za-grebu. Zavrsetkom tog studija 2013. godine, stekla sam akademski naziv sveucilisnogprvostupnika edukacije matematike. Iste godine upisala sam diplomski sveucilisni studijMatematika i informatika; smjer: nastavnicki, takoder na PMF-u u Zagrebu, koji ove go-dine zavrsavam.

feuerbachova točka - unizg.hr

Documents