スーパー 超 ナ ビ · 2020. 11. 6. · 高校入試模擬テスト 第4回 3 / 6 超 ナ ビ...
TRANSCRIPT
-
高校入試模擬テスト 第4回 1 / 6
超 ナ ビ スーパー
1 ⑴ 与式=12-2=10
1 ⑵ 与式=3x+15y-14x+12y=-11x+27y
1 ⑶ 与式=9a²b×2
3ab×b=6ab
1 ⑷ 与式=( 7)²-(2 3)²=7-12=-5
1 ⑸ 与式=12 6
6-4 6=2 6-4 6=-2 6
2 ⑴
与式=a²+{5+(-3)}a+5×(-3)=(a+5)(a-3)
1 ⑵
2次方程式の解の公式より,x=-5± 5²-4×2×1
2×2=-5± 25-8
4=-5± 17
4
1 ⑶
y=a
xにx=-4,y=6を代入すると,6=
a
-4よりa=-24 となる。y=-
24
xにx=3を代入す
ると,y=-24
3=-8となるから,求める数は-8である。
1 ⑷
大小2個のさいころの目の出方は全部で6×6=36(通り)ある。nは最
大で6×6=36 であり,36 以下の平方数は,1²=1,2²=4,3²=9,
4²=16,5²=25,6²=36である。nがこれらの値になる出方は,資料1
の○印の8通りある。よって,求める確率は,8
36=2
9
3
かけると-15,足すと2になる2数を探す。かけると-15 になる2つの整数の組み合わせは
限られるので,そちらを先に探すのがポイントである。
攻略へのアプローチ
x²の係数が1ではない2次方程式を解くときは,2次方程式の解の公式を利用する。
2次方程式ax²+bx+c=0の解は,x=-b± b²-4ac
2a
攻略へのアプローチ
nが自然数となるのは,nが平方数(自然数を2乗してできる数)のときである。
攻略へのアプローチ
反比例の式はy=a
xまたはxy=a(aは比例定数)と表せる。このどちらかの式にxとyの値を
代入すると,比例定数aが求められる。
攻略へのアプローチ
線分ABは円Pの弦であり,円の中心は弦の垂直二等分線上にある。
したがって,線分ABの垂直二等分線と辺BCの交点をPとする(資料2
参照)。
攻略へのアプローチ
資料1
小
1 2 3 4 5 6
大
1 ○ ○
2 ○
3 ○
4 ○ ○
5 ○
6 ○
資料2
C
A
B P
-
高校入試模擬テスト 第4回 2 / 6
超 ナ ビ スーパー
4 「いろいろな関数」という分類の問題である。「いろいろな関数」の問題では,重さと郵便料金との関
係や,鉄道・タクシー・バスなどの乗車距離と料金との関係が扱われることが多い。「●はその点を含む
ことを,○はその点を含まないことを」表すのはグラフのルールとして決まっていることなので,問題に
そのことが書いていなくてもわかるようになろう。
⑴ ●と○の違いに注意してグラフをかくと,資料3のようになる。
⑵ 関数の定義をしっかりと覚えておくこと。「xの値が1つに決ま
るとyの値が1つに決まるとき,yはxの関数である」という定義
と照らし合わせて考えると,比例・反比例や1次関数では,yはx
の関数であると同時にxはyの関数であるが,関数y=ax²やこの
問題の関数では,yはxの関数であるがxはyの関数ではないとわ
かる(yの値が決まってもxの値が1つには決まらない)。
⑶
送り方Aだと,40÷7=5余り5より,㋐パンフレットが7部入った小さい封筒5つと,㋑パンフ
レットが5部入った小さい封筒1つに分けられる。表1,2より,㋐は1つ 47gだから 92 円,㋑は
1つ 35gだから 92 円なので,送り方Aの料金は,92×5+92=552(円)である。
また,表2からパンフレットは1部6gとわかるので,大きい封筒の重さは 19-6=13(g)とわか
る。したがって,大きい封筒にパンフレットを 40 部入れると,13+6×40=253(g)になるので,送
り方Bの料金は 380円である。
よって,送り方Bの方が,552-380=172(円)安い。
5 ⑴
バスは 20 秒後までに 120m進んだから,平均の速さは,120÷20=6(m/秒)
⑵
x=15 のときまでにバスは3
10×15²=
135
2(m)進み,英太さんもこのとき同じ地点にいる。したがっ
て,英太さんの速さは135
2÷15=
9
2(m/秒)なので,x=20 のとき
9
2×20=90(m)進んでいる。
よって,x=20 のとき,バスと英太さんは 120-90=30(m)離れている。
送り方Bの料金を計算するときは,封筒の重さとパンフレッ
トの重さを分けて考える。
攻略へのアプローチ
(平均の速さ)=(進んだ道のりの合計)÷(かかった時間の合計)である。
バスの速さは出発してから 20 秒後までに変化している(次第に速くなっている)。移動の途中で
速さが変化していても,ある時点からある時点までの速さがおよそどのくらいかを表したもの
が,平均の速さである。
攻略へのアプローチ
まず英太さんの速さを求めてから,20 秒後に英太さんがいる地点を求める。
攻略へのアプローチ
資料3
100
100 200 300 400 500
300
200
350
y
250
150
50
0 0
x
-
高校入試模擬テスト 第4回 3 / 6
超 ナ ビ スーパー
⑶
バスが出発してから 20 秒後までに教子さんは3×(10+20)=90(m)進むから,この時点で教子さ
んとバスは 600-120-90=390(m)離れている。したがって,t秒間で教子さんとバスが進む道のり
の合計は 390mである。出発してから 20 秒後以降のバスの速さは,(600-120)÷(60-20)=12(m/秒)
だから,3t+12t=390となり,t=26 となる。よって,求める時間は,20+26=46(秒後)
20≦x≦60 の範囲においてバスのグラフの式は
y=ax+bであり,点(20,120)を通るから,
120=20a+b,点(60,600)を通るから,
600=60a+bが成り立つ。これらを連立方程式と
して解くと,a=12,b=-120 となるから,バス
のグラフの式は,y=12x-120…①である。
教子さんについても,バスがP地点を出発してから
x秒後のP地点からの道のりをymとすると,速さが
3m/秒だからグラフの式はy=-3x+cと表すこ
とができる。x=0のときy=600-3×10=570 となるから,教子さんのグラフの式は,
y=-3x+570…②である。
①,②を連立させてyを消去すると,12x-120=-3x+570 15x=690 x=46
x=46 は 20≦x≦60 を満たすから,求める時間は 46 秒後である。
6 ⑴
AB= BD²-AD²= 13²-12²=5(㎝) これより,AE=5-2=3(㎝)
また,長方形の2本の対角線は互いの中点で交わるから,GはACの中点である。このことと
AB//GHより,△AECにおいて中点連結定理を利用できるので,GH=1
2AE=
3
2(㎝)
△BEFと△GHFの相似比はBE:GH=2:3
2=4:3だから,EF:FH=4:3
バスの速さが出発の 20 秒後から一定になるので,バスが出発してから 20 秒後の教子さんの
位置をまず調べる。そこからt秒後に教子さんとバスがすれちがうものとし,tについての方
程式を立てて解く。
攻略へのアプローチ□1
∠BAD=90°だから,三平方の定理より,AB= BD²-AD²
また,AB//GHより△BEF∽△GHFが成り立ち,EF:FHはその相似比と等しい。
攻略へのアプローチ
15 20 60 x
600
120
y
O
教子さん
バス
①
②
資料4
教子さんとバスがすれちがうのは 20≦x≦60 の範囲であることを確認したあとは,教子さん
のグラフとバスのグラフの式をそれぞれ求め,2つのグラフの交点のx座標を求めればよい(資
料4参照)。
攻略へのアプローチ□2
-
高校入試模擬テスト 第4回 4 / 6
超 ナ ビ スーパー
⑵
△AEC=1
2×AE×AD=
1
2×3×12=18(㎠)
△AEIと△CDIの相似比がAE:CD=3:5だから,
AI:CI=3:5より,IC:AC=5:8である。
これより,△IEC=△AEC×IC
AC=18×
5
8=45
4(㎠)
⑴よりEF:FH=4:3だから,EF:EH=4:7
これとEH:HC=1:1より,EF:EC=4:(7×2)=2:7だから,FC:EC=5:7
また,GC:AC=1:2だから,△GFC=△AEC×FC
EC×GC
AC=18×
5
7×1
2=45
7(㎠)
よって,四角形EFGIの面積は,△IEC-△GFC=45
4-45
7=135
28(㎠)
△BED=1
2×BE×AD=
1
2×2×12=12(㎠)
△BEFと△DCFの相似比がBE:DC=2:5だから,
BF:DF=2:5より,FD:BD=5:7である。
これより,△EFD=△BED×FD
BD=12×
5
7=60
7(㎠)
△AEIと△CDIの相似比がAE:CD=3:5だから,
EI:DI=3:5より,ID:ED=5:8である。
また,GD:BD=1:2だから,△IGD=△BED×ID
ED×GD
BD=12×
5
8×1
2=15
4(㎠)
よって,四角形EFGIの面積は,△EFD-△IGD=60
7-15
4=135
28(㎠)
7 ⑴
立方体の体積は,10×10×10=1000(㎤)
三角すいABDEの底面を△ABDとみると,高さはAE=10 ㎝である。
立方体の体積から,三角すいABDEの体積を引けばよい。
攻略へのアプローチ
資料7
A
3㎝
C B
I
H
G
F
E
D
5㎝
2㎝
12 ㎝
四角形EFGIの面積は,△EFD-△IGDで求めることができる。その際,AB//DC
より,△AEI∽△CDIと△BEF∽△DCFが成り立つことを利用する(資料7参照)。
攻略へのアプローチ□2
四角形EFGIの面積は,△IEC-△GFCで求めることができる。その際,AB//DC
より,△AEI∽△CDIが成り立つことを利用する(資料6参照)。
攻略へのアプローチ□1
四角形EFGIを含む大きい三角形の面積か
らいくつかの小さい三角形の面積を引くこと
で,四角形EFGIの面積を求める。
資料5の計算を使うことで,それぞれの三角形
の面積を手際よく計算できる。
攻略へのアプローチ
1つの角を共有する三角形の面積
右図のように△PQRと△PSTが
1つの角を共有するとき,△PST
の面積は,
△PST=△PQR×PS
PQ×
PT
PR
で求められる。
R
T
S Q P
資料5
資料6
A
3㎝
C B
I
H
G
F
E
D
5㎝
2㎝
12 ㎝
-
高校入試模擬テスト 第4回 5 / 6
超 ナ ビ スーパー
△ABD=1
2×10×10=50(㎠)だから,三角すいABDEの体積は,
1
3×50×10=
500
3(㎤)
よって,図1の立体の体積は,1000-500
3=2500
3(㎤)
⑵
△ABDは直角二等辺三角形だから,BD= 2AB=10 2(㎝)
1辺が 10 2㎝の正三角形の高さは,10 2×3
2=5 6(㎝)だから,1辺が 10 2㎝の正三角形
の面積は,1
2×10 2×5 6=50 3(㎠)
よって,図2の立体の表面積は,50 3×4=200 3(㎠)
⑶
4点J,K,L,Mはすべて,元の立方体の面のちょう
ど真ん中の点(対角線の交点)だから,四角形JKLMは正
方形である。正方形の面積はひし形と同様に, 1
2×(対角線)×(対角線)で求められ,JL=KM=10㎝だ
から,S=1
2×10×10=50(㎠)
IN=10 ㎝だから,図3の立体の体積は, 1
3×S×IN=
1
3×50×10=
500
3(㎤)
資料9のように,元の立方体を重ねてイメージすると考えやすい。図3の立体は,合同な2つ
の四角すいI‐JKLMとN‐JKLMをあわせた立体である。四角形JKLMの面積をS,
INと四角形JKLMの交点をOとすると,図3の立体の体積は, 1
3×S×IO+
1
3×S×NO=
1
3×S×(IO+NO)=
1
3×S×INで求められる。
このように,底面が合同な2つの角すいをあわせた立体の体積は,1
3×(底面積)×(高さの和)で
求めることができる。
攻略へのアプローチ□1
資料9
A
C
B
I
H G
F E
D
J
K
L
M
N
O
図2の立体の辺はすべて,元の立方体の面の対角線と長さが等しい。
したがって,図2の立体の面はすべて正三角形である。
資料8のように,正三角形の1辺の長さと高さの比は2: 3と決まって
いるので,正三角形の面積は1辺の長ささえわかれば求めることができ
る。
攻略へのアプローチ 資料8
1
3
2
-
高校入試模擬テスト 第4回 6 / 6
超 ナ ビ スーパー
三角すいE‐DBGは,元の立方体から三角すいABDEと合同な4つの三角すいを取り除いてで
きた立体なので,⑴より,三角すいE‐DBGの体積は,1000-500
3×4=
1000
3(㎤)
三角すいE‐JKNは,三角すいE‐DBGの各辺を1
2倍に縮小した立体だから,
三角すいE‐JKNと三角すいE‐DBGは相似であり,相似比は1:2である。
したがって,体積比は1³:2³=1:8だから,図3の立体をつくるときに取り除いた4つの三角す
いの体積の合計と三角すいE‐DBGの体積比は,(1×4):8=1:2である。
よって,三角すいE‐DBGと図3の立体の体積比は2:1だから,図3の立体の体積は, 1000
3×1
2=500
3(㎤)
図2の立体(三角すいE‐DBG)と,図3の立体をつくるときに取り除いた合同な4つの三
角すいは相似であることを利用して,三角すいE‐DBGと図3の立体の体積比を求める。あ
とは三角すいE‐DBGの体積がわかれば,図3の立体の体積を求められる。
「攻略へのアプローチ□1」より考え方も計算も複雑なので,できれば「攻略へのアプローチ
□1」の方法で解きたい問題である。
攻略へのアプローチ□2