再帰アルゴリズム

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例1. 漸化式（２項間）

　a1 = 1　an = 2 an-1 + 1　( n>=2 )

2. 具体的な計算　a1 = 1, a2 = 2 a1+1 = 2*1+1=3,　a3 = 2 a2+1 = 2*3+1 = 7,.....

3. 特徴 1) 初項が与えられている。 2) n での値を計算するのに，n-1 での値を

使う。

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例1. 漸化式（3項間）

a1 = 1, a2 = 1,an = an-2 + an-1　( n>=3 )　フィボナッチ数列

2. 具体的な計算a1 = 1, a2 = 1, a3 = a1+a2 = 1+1=2,a4 = a2+a3 = 1+2 = 3, a5 = a3+a4 = 2+3 = 5,..

3. 特徴 1) 初期条件が与えられている。 2) n での値を計算するのに，n-1 以下での

値を使う。

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一般化1. 関数 f(n) ：再帰的関数 1) 初期条件が与えられている。［例えば，

f(1) の値］ 2) f(n) を計算するのに，f(k) (k≦n-1)を使

う。 2. 再帰的関数の計算方法：f(3)=? 3) f(3) を計算するのに，f(2)などが必要。 4) f(2) を計算するのに，f(1)=初期条件が必

要。 終了条件と呼ぶべき4

再帰的アルゴリズム

1. 再帰的アルゴリズムとは 処理手順が，自分自身を用いて定義されるようなアルゴリズムのこと。

2. 再帰的アルゴリズムで欠かせないもの 自分自身の呼び出しの終了条件

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例：f(n)=1+2+...+n1. 考え方 1) 1+2+...+(n-1) に n を加えればよい：

つまり，f(n) = f(n-1)+n 2) f(1) = 1 ←終了条件

2. 関数 f(n) のアルゴリズムf(n){ if(n=1){ return(1);

} else{ return(f(n-1)+n);

} }

最初に終了条件の判断をする！

（注）この場合，else は不要。

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例：f(n)=n! (=1*2*...*n)1. 考え方 1) 1*2*...*(n-1) に n を掛ければよい：

つまり，f(n) = f(n-1)*n 2) f(1) = 1 ←終了条件

2. 関数 f(n) のアルゴリズムf(n){ if(n=1){ return(1);

} else{ return(f(n-1)*n);

} } （注）この場合，else は不要。

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例：フィボナッチ数列1. 考え方 1) f(n) = f(n-2)+f(n-1) 2) f(1) = 1, f(2) = 1 ←終了条件

2. 関数 f(n) のアルゴリズムf(n){ if(n=1 or n=2){ return(1);

} else{ return(f(n-2)+f(n-1));

} } （注）この場合，else は不要。

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再帰アルゴリズムの構造recursive(n){ if(自明なケース）{ 自明なケースの処理;　/* 終了条件*/

} else{ recurve(m) 達を用いた処理;　　　　　　/* m は n より"簡単" */

} }

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再帰的アルゴリズムの特徴1. 自身の引数より”簡単”な引数を用いて，自

分自身を呼び出す 2. 自明なケースの処理（終了条件）が存在 3. 表面的には，ループ（for など）は現れな

い

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再帰的アルゴリズム：×と○1. 再帰的アルゴリズムの短所 1) 慣れないとわかりにくい 2) 正当性・停止性の判断が難しい 3) 一般に，計算量が多くなる

2. 再帰的アルゴリズムの長所 4) 慣れると，極めて分かりやすく，使いや

すい（非常に素直にプログラムが作成出来る）

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hanoi(n,A,B,C) :ハノイの塔1. ルール 1) ３本の柱 A, B, C と，大きさの全て

異なる n 枚の穴あき円盤がある。 2) 柱 A に n 枚の円盤が，大きいもの

を下にして重ねられている。 3) 目的：この n 枚の円盤を全て柱 B

に移動する。 4) 制限

i. 一度に 1 枚の円盤しか移動できない。 ii. 大きい円盤を小さい円盤の上には置けない。 iii. ”退避場所”として残る一本の柱を使える。

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2. 考え方 1) 終了条件：n=1 ならば，その 1 枚を A から B

に移動

2) n>1ならば， i. B を退避場所として使い，A から n-1 枚を C に移動。

ii. 残る1枚を，A から B に移動。 iii.A を退避場所として使い，C から n-1 枚を B に移動。

hanoi(n,A,B,C) :ハノイの塔

A B C A B C

A B C A B C A B C A B C

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hanoi(n,A,B,C) :ハノイの塔3. 関数 hanoi(n,A,B,C)

/* n：枚数， 　A：出発地，B：目的地，C：退避場所 */ hanoi(n,A,B,C){ if(n=1){ A から B に1枚移動;

} else{ hanoi(n-1,A,C,B); A から B に1枚移動 ; //hanoi(1,A,B,C) hanoi(n-1,C,B,A);

} }

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課題1. JS で hanoi(n,A,B,C) を書け。ただし，「○から

△に１枚移動」するかわりに「○ -> △」と画面に 出 力 す る も の と す る 。 さ ら に hanoi(5,”A”,”B”,”C”) を実行せよ。［ファイル名を 5-1.html とせよ。］

2. n 枚の円盤に，大きいものから順に 1,2,…,n と名前をつけておく。また，柱をA, B, C ではなく，1, 2, 3 と名付けておく。「円盤 k を p から q に移動」するときに，「k : p -> q」のように出力するようにhanoiを書き換え，n=4 の場合に実行せよ。［ファイル名を 5-2.html とせよ。］

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引数の多い 再帰的アルゴリズム

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gcd(a,b) : a と b の gcd1. a と b の gcd を求める。 2. 考え方 1) 終了条件：a を b で割った余り r が 0 なら，b

を返す。 2) gcd(a,b)=gcd(b,r) なので，gcd(b,r) を返す。

3. 関数 gcd(a,b) のアルゴリズムgcd(a,b){ r ← a-b*[a/b]; /* r=“a を b で割った余り” */ if(r=0){ return(b); /* r=0 なら，ここで脱出 */

} return(gcd(b,r)); /* r≠0 のときだけ実行 */

}

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nCr : 組み合わせ関数1. n 個のものから r 個を取り出すときの，取り出し

方の個数 nCrを求める。 (n ≧ r ≧ 0) 2. 使う公式：パスカルの３角形

　　 nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

3. comb(n, r)： nCr を返す関数の考え方 1) 終了条件：r=0 または r=n ならば 1 を返す。 2) comb(n-1,r-1)+comb(n-1,r) を返す。

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nCr : 組み合わせ関数4. 関数 comb(n,r) のアルゴリズム

comb(n,r){ if(r=0 or r=n){ return(1);

} return(comb(n-1,r-1)+comb(n-1,r));

}

無駄な計算が多いことに注意無駄な計算をなくするには？

（配列の利用）

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nCr : 組み合わせ関数5. 関数 comb(n,r) のアルゴリズム（配列の利用）

配列 ai,j の初期化（すべて null にする）; comb(n,r){ if(r=0 or r=n){ return(1);

} if(an,r = null){ /* まだ計算していないなら */ an,r ← comb(n-1,r-1)+comb(n-1,r); 　　　　　　　　　/* 計算して記憶する */

} /* 計算されている or した値を返す */ return(an,r);

} 広い記憶領域が必要

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課題3. 配列を使わない comb(n,r) を JS で実装し，

comb(3,2), comb(5,3) を求めよ。（注：「求めよ」というのは，画面に答を出力することを意味するものとする。）［ファイル名を 5-3.html とせよ。］

4. 配列を使う comb(n,r) ［ただし， n≦5 とする］を JS で実装し，comb(3,2), comb(5,3) を求めよ。［ファイル名を 5-4.html とせよ。］

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Ackermann 関数1. Ackermann 関数：ack(m,n)非負整数 m, n に対して，次のように定義される関数 ack(m, n) のこと：

- m=0 ならば n+1, - n=0 ならば ack(m-1, 1), - それ以外の時は，ack(m-1, ack(m, n-1))

停止性の判定が難しい！

課題 5-5：停止性を証明せよ。（紙媒体）

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Ackermann 関数2. 疑似言語で書くと

ack(m, n){ if(m=0) return(n+1); if(n=0) return(ack(m-1, 1)); return(ack(m-1, ack(m, n-1)));

}

m, n が大きくなると，爆発的に計算量が増え，かつ，値も大きな数になる。

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Ackermann 関数3. 実際に計算してみる。 1) ack(2,1) → 黒板 2) ack(2,3) → 宿題（紙媒体：課題5-6）

4. もう少し無駄を防ぐような工夫はできないか？　　↓配列を利用して，同じものを何度も計算しないようにする。

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課題6. 配列を使わない ack を JS で実装し， ack(3,2)

を求めよ。［ファイル名を 5-7.html とせよ。］ 7. 配列を使う ack を JS で実装し， ack(3,2) を求

めよ。［ファイル名を 5-8.html とせよ。］

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