デジタル情報処理

フ リエ解析フーリエ解析

佐藤 嘉伸佐藤 嘉伸yoshi@image.med.osaka-u.ac.jp

http://www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/

日本語ペ ジ 授業の資料 デジタル情報処理日本語ページ → 授業の資料 → デジタル情報処理

デジタル情報処理：授業の予定デジタル情報処理：授業の予定• 最小二乗法

– 多変数の微分の基礎線形代数の基礎– 線形代数の基礎

• 直交関数展開• フーリエ解析• 標本化定理• 標本化定理• （主成分分析）高校数II のレベルを前提とする。重要な数理手法をわかりやすく説明する重要な数理手法をわかりやすく説明する。重要項目に重点を絞る。

参考文献参考文献• ネット検索

キ ワ ド– キーワード• 金谷健一• 応用数学教室応用数学教室

• これなら分かる応用数学教室• これなら分かる応用数学教室– 最小二乗法からウェーブレットまで金谷健 著 共立出版 ３０４５円– 金谷健一著 共立出版 ３０４５円

フ リエの冒険• フーリエの冒険– ヒッポファミリークラブ著言語交流研究所ヒッポファミリ クラブ 発行– 言語交流研究所ヒッポファミリークラブ 発行

– ３６０５円

フーリエ解析• 波形を三角関数（正弦波）に分解する。

弦波

1 . 5

2

正弦波

- 3 - 2 - 1 1 2 3

0 . 5

1

0 . 5

1

0 . 5

1

波形

0 . 5

1

0 . 5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

1

2

3

4

5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

0 . 5

1

0 . 5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

0 . 5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

What is this?

音楽の波形を考える音楽の波形を考える

• 音の高さ＝周波数• 音の高さ＝周波数

高周波低周波

Sin(4x) Sin(8x) Sin(16x)

高周波低周波

0.5

1

0.5

1

0.5

1( ) ( )

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

-1-1 -1

高い音低い音 高い音低い音

グラフィックイコライザー• 音楽の波形を正弦波に分解する。• 各周波数の正弦波を予め設定した係数により増幅・減衰させる。

• 増幅・減衰させた全ての周波数の正弦波を加算して出力する。係数低音

増幅

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

0

0.5

1

×1.5音楽波形

低音増幅

0.5

1

-1

2

3

4

5

-1

-0.5

合0.51

音楽波形中音

分-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2 合成×1.0

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

高音

分解

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 0 . 5

0 . 5

1

×0.6低音増強

高音

-1

0.5- 1

低音増強 減衰

グラフィックイコライザー• 音楽の波形を正弦波に分解する。• 各周波数の正弦波を予め設定した係数により増幅・減衰させる。

• 増幅・減衰させた全ての周波数の正弦波を加算して出力する。係数低音

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

×0.6音楽波形

低音 減衰

0.5

1

-1

2

3

4

5

合0.51

音楽波形中音

分-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2 合成×1.0

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

高音

分解

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

×1.5高音増強

高音

-1

0.5

-1

-0.5高音増強増幅

グラフィックイコライザー• 音楽の波形を正弦波に分解する。• 各周波数の正弦波を予め設定した係数により増幅・減衰させる。

• 増幅・減衰させた全ての周波数の正弦波を加算して出力する。係数低音

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

フ×0.6

音楽波形

低音 減衰

0.5

1

-1

2

3

4

5

フーリ0.5

1

音楽波形中音

フーリ

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

エ逆変

×1.0 -3 -2 -1 1 2 3-1

-0.5

高音

リエ変換

-3 -2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1 変換

×1.5高音増強

高音換

-1

0.5

-1

-0.5高音増強増幅

グラフィックイコライザー

• グラフィックイコライザーの表示は、まさしくフーリエ変換である。

• グラフィックイコライザーは 各周波数毎に• グラフィックイコライザ は、各周波数毎に増幅（減衰）率を変えることにより、音質を変化させている変化させている。

• このような機能は、「周波数フィルタ」と呼ばれる。

フーリエ変換• フーリエ変換により、波形を正弦波に分解し、各周波数毎の正弦波の振幅（波の高さ）と位相（波の位置）を求めることができる。

ただし 位相を理解するのは やや難しいので 当面 振幅のみ• ただし、位相を理解するのは、やや難しいので、当面、振幅のみを考える。

周波数 ω)cos( xωf ( ) の内積と

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

波形

低周波

f (x)

ω1 振幅dxxxfF ∫= )cos()()( 11 ωω)(

)cos( 1xωf (x) の内積と

1

波形

中周波フーリ

f (x)ω2 振幅

f∫ )()()( 11)cos( 1xω0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5リエ変換

dxxxfF ∫= )cos()()( 22 ωω)cos( xω

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

高周波換 ω3 振幅

dxxxfF ∫ )cos()()( ωω

)cos( 2xω

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

dxxxfF ∫= )cos()()( 33 ωω)cos( 3xω

内積の意味座標軸

内積の意味f (x)cos(ω1x)

)cos( 1 xωf (x) の内積とはdxxxfF ∫ )cos()()( ωω

座標値を求めることが内積をとることに相当は、

)cos( 1xωf (x) の成分 F(ω1) のみを抽出する。から

dxxxfF ∫= )cos()()( 11 ωω 内積をとることに相当する．)cos( 1xωf (x) の成分 F(ω1) のみを抽出する。から

内積をとる ＝ 成分の分離内積をとる 成分の分離

コーラと砂糖の内積 ＝ 砂糖成分の分離ラと砂糖の内積 砂糖成分の分離コーラとカフェインの内積 ＝ カフェイン成分の分離

f (x) と cos(ω1x) の内積＝ cos(ω1x) 成分の分離

フーリエ変換• 偶関数（原点を中心として対称な関数）のみを対象とすると、cos成分のみを考えればよい。また、位相も考えなくて良い。

周波数 ω

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

波形

低周波

f(x)

ω1振幅

0.5

1

波形中周波

フーリ

f(x)ω2 dxxxfF ∫= )cos()()( ωω

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5リエ変換

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5 波形の成分分析F(ω) はω成分の量を表す

0.5

1

高周波換 ω3偶関数化：f(x) + f(-x)

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5 DCT jpegDiscrete Cosine Transform

以下のグラフィックイコライザーで、さきほど勉強したことを確認せよ勉強したことを確認せよ。

以下のグラフィックイコライザーで、さきほど勉強したことを確認せよ勉強したことを確認せよ。

F ( )F (ω)音楽波形のフーリエ変換

周波数ω周波数ω周波数フィルタ

（各周波数の増幅 減衰率を調（各周波数の増幅・減衰率を調整）

周波数ω

演習問題：Mathematicaを使った直交関数展開• Mathematicaを用いて、以下の関数 f(x) を三角関数系で直交関数展開をせよ。

1⎧xxP

xP

s sin)(2

1)(

1

0

=

=

⎩⎨⎧ ≤≤−

=その他

１

011

)(x

xf

xxPxxPc

s

2sin)(cos)(

)(

1

1

==

1

⎩ そ 他0f(x)

PxxPxxP

c

s

3i)(2cos)(2sin)(

2

2

==

-1 xxPxxP

c

s

3cos)(3sin)(

3

3

==

1O x1 1O.....)(.....)()()()()()( 2222111100 ++++++≈ xPkxPkxPkxPkxPkxPkxf iiccssccss

∫∫ −− ==1

1)()()( dxxPdxxPxfk iii

π

π

演習問題：Mathematicaを使った直交関数展開k ( )• ki ( i = 0, s1, c1, s2, c2, s3, c3 , s4, c4 , s5, c5) を計算せよ。

∫∫ −− ==1

1)()()( dxxPdxxPxfk iii

π

π

• 以下をグラフとしてプロットせよ。)()(.....)()()()( 5555111100 xPkxPkxPkxPkxPkxf ccssccss +++++≈

1π

P 1)(

• kiにはどのような法則性があるか？ それは、なぜか？• kcj ( j = 1, 2, 3 , 4, …….)を j を変数とする数式でかけ

xxP

xP

s sin)(2

1)(

1

0

=

=け。• Mathematica において、以下の式を表現し、nをいろいろな値に設定してグラフとしてプロットせよ。∑∑ ++≈

n

jj

n

jj xPkxPkxPkxf 00 )()()()(

xxPxxP

s

c

2sin)(cos)(

2

1

==

• f(x)は、三角関数系による直交関数展開により、うまく表

∑∑==

++j

cjcjj

sjsj xPkxPkxPkxf11

00 )()()()(

xxPxxP

s

c

3sin)(2cos)(

3

2

==1

⎨⎧ ≤≤−

=１ 11

)(x

xf

f( ) 、 角関数系 直 関数展開 、う 表現されたか？どのような点が問題か？

xxPc 3cos)(3 =-1 1O

⎩⎨

その他0)(xf

フーリエ変換時間 tの関数f (t)

時間 t周波数成分

0.5

1

0.5

1

0.5

1

低周波ω1 中周波ω2 高周波ω3周波数成分の抽出

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

フーリエ変換f (t)

時間 t周波数成分

1

0.5

1

低周波ω1 中周波ω2 高周波ω3周波数成分の抽出

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

F (ω) フーリエ変換

周波数ωω1 ω2 ω3

デオーディオシステムの周波数特性

• 信号の取り出し（ＣＤプレーヤー）• 信号の増幅（アンプ）• 増幅された信号の出力（スピ カ ）• 増幅された信号の出力（スピーカー）

フーリエ変換f (t)

時間 t周波数成分

1

0.5

1

低周波ω1 中周波ω2 高周波ω3F( ) F( )F( )

周波数成分の抽出

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1F(ω1) F(ω3)F(ω2)

F (ω) フーリエ変換

周波数ωω1 ω2 ω3

フーリエ変換f (t)

時間 t周波数成分

1

0.5

1

低周波ω1 中周波ω2 高周波ω3F( ) F( )F( )

周波数成分の抽出

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1F(ω1) F(ω3)F(ω2)

F (ω) フーリエ変換F (ω)

周波数ωω1 ω2 ω3

フーリエ変換f (t)

時間 t周波数成分の抽出

1

0.5

1

ω1 ω50 5

1

1

ω3ω2 ω4の抽出

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

- 3 - 2 - 1 1 2 3

- 1

- 0 . 5

0 . 5

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

F(ω ) F(ω )F(ω ) F( ) F( )

F ( )

F(ω1) F(ω3)F(ω2) F(ω4) F(ω5)様々な周波数成分の強さF (ω) 成分の強さ

周波数ωω1 ω2 ω3 ω4 ω5

フーリエ変換f (t)

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）

F ( )

出）

F (ω)

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

出）

1

F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

周波数ω- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

0 . 8

1

出）F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

周波数ω- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

出）

1

F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

周波数ω- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

0 . 8

1

出）F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換ax)sin(

フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

ax

出）

1

F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

周波数ω- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

0 . 8

1

出）F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

周波数ω- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

出）

1

F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

周波数ω- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

周波数ω

フーリエ変換ペア時間領域

f (t)時間領域

矩形波

時間 t

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）周波数領域

0 . 8

1

出）F (ω)Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

フーリエ変換ペア周波数領域

F (ω)周波数領域

矩形波

周波数ω

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）時間領域

1

f (t) 出）Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

時間 t- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

フーリエ変換ペア周波数領域

F (ω)周波数領域

矩形波

周波数ω

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）時間領域

0 . 8

1f (t) 出）

Sinc関数 axax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

時間 t- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

フーリエ変換ペア周波数領域

F (ω)周波数領域

矩形波

周波数ω

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）時間領域

1

f (t) 出）Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

時間 t- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

フーリエ変換ペア周波数領域

F (ω)周波数領域

矩形波

周波数ω

フ リエ変換フーリエ変換（周波数成分の抽

出）時間領域

0 . 8

1f (t) 出）Sinc関数 ax

ax)sin(

0 . 2

0 . 4

0 . 6

時間 t- 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0

- 0 . 2

フーリエ変換の基本的性質

• 時間領域の幅が狭ければ（広くなれば）、周波数領域の幅は広くなる（狭くなる）。

• フーリエ変換とその逆変換は それぞれペ• フ リエ変換とその逆変換は、それぞれペアになっていて、ある関数ｆのフーリエ変換が のとき のフ リエ変換はｆになるがｇのとき、ｇのフーリエ変換はｆになる。

• 矩形波のフーリエ変換は、sinc関数である。

ある周波数の波ある周波数の波

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波Plot Cos x , x, −2Pi, 2Pi , PlotRange→All

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波Plot

3

2∗Cos x +

1

2∗Sin x , x, −2 Pi, 2 Pi , PlotRange→All

ある周波数の波

12 2

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波Plot

1

2∗Cos x +

1

2∗Sin x , x, −2 Pi, 2 Pi , PlotRange→All

12 2

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波Plot

1

2∗Cos x +

3

2∗Sin x , x, −2 Pi,2 Pi , PlotRange→All

ある周波数の波

12 2

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波Plot Sin x , x, −2Pi, 2Pi , PlotRange→All

1

0.5

-6 -4 -2 2 4 6

-0.5

-1

ある周波数の波ある周波数の波Plot Cos x , x, −2Pi, 2Pi , PlotRange→All

1b

振幅 +

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ

-1 a位相

振幅

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ

11

1位相⎠

⎜⎝ a

tanθ

0.5 -1

-6 -4 -2 2 4 6)0,1(),( =ba

-1

-0.5

ある周波数の波ある周波数の波Plot

3

2∗Cos x +

1

2∗Sin x , x, −2 Pi, 2 Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ2 2

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -113

-6 -4 -2 2 4 6 )21,

23(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot

1

2∗Cos x +

1

2∗Sin x , x, −2 Pi, 2 Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ2 2

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -111

-6 -4 -2 2 4 6)

21,

21(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot

1

2∗Cos x +

3

2∗Sin x , x, −2 Pi,2 Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ2 2

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -131

-6 -4 -2 2 4 6 )23,

21(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot Sin x , x, −2Pi, 2Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -1

-6 -4 -2 2 4 6)1,0(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot Cos x , x, −2Pi, 2Pi , PlotRange→All

1b

振幅 +

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ

-1 a位相

振幅

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ

11

1位相⎠

⎜⎝ a

tanθ

0.5 -1

-6 -4 -2 2 4 6)0,1(),( =ba

-1

-0.5

ある周波数の波ある周波数の波Plot

3

2∗Cos x +

1

2∗Sin x , x, −2 Pi, 2 Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ2 2

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ θ

0.5 -113

-6 -4 -2 2 4 6 )21,

23(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot

1

2∗Cos x +

1

2∗Sin x , x, −2 Pi, 2 Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ2 2

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -111

-6 -4 -2 2 4 6)

21,

21(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot

1

2∗Cos x +

3

2∗Sin x , x, −2 Pi,2 Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ2 2

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -131

-6 -4 -2 2 4 6 )23,

21(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある周波数の波ある周波数の波Plot Sin x , x, −2Pi, 2Pi , PlotRange→All

振幅1

b+

+=+

b

xbxax22 1

)sin()cos()cos( θ

位相

振幅

-1 a⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+

− bba

1

22

tan

1

θ θ

1

位相

11

⎠⎜⎝ a

tanθ

0.5 -1

-6 -4 -2 2 4 6)1,0(),( =ba

-1

-0.5位相はいくらか？

ある１ の周波数の波 まとめある１つの周波数の波：まとめ

• 全く同じ形の波が、平行移動する場合、位相が進む（遅れる）という。

• 位相が異なる波は cos と sinを組み合わ位相が異なる波は、cos と sin を組み合わせて表現できる。

周波数 波は 位相 違 を考慮• １つの周波数の波は、位相の違いを考慮して、cos成分とsin成分の２つの値で表現する。

演習問題１：Mathematicaを使った直交関数展開• Mathematicaを用いて、以下の関数 f(x) を三角関数系で直交関数展開をせよ。

1⎧xxP

xP

s sin)(2

1)(

1

0

=

=

⎩⎨⎧ ≤≤−

=その他

１

011

)(x

xf

xxPxxPc

s

2sin)(cos)(

)(

1

1

==

1

⎩ そ 他0f(x)

PxxPxxP

c

s

3i)(2cos)(2sin)(

2

2

==

-1 xxPxxP

c

s

3cos)(3sin)(

3

3

==

1O x1 1O.....)(.....)()()()()()( 2222111100 ++++++≈ xPkxPkxPkxPkxPkxPkxf iiccssccss

∫∫ −− ==1

1)()()( dxxPdxxPxfk iii

π

π

演習問題１：Mathematicaを使った直交関数展開k ( )• ki ( i = 0, s1, c1, s2, c2, s3, c3 , s4, c4 , s5, c5) を計算せよ。

∫∫ −− ==1

1)()()( dxxPdxxPxfk iii

π

π

• 以下をグラフとしてプロットせよ。)()(.....)()()()( 5555111100 xPkxPkxPkxPkxPkxf ccssccss +++++≈

1π

P 1)(

• kiにはどのような法則性があるか？ それは、なぜか？• kcj ( j = 1, 2, 3 , 4, …….)を j を変数とする数式でかけ

xxP

xP

s sin)(2

1)(

1

0

=

=け。• Mathematica において、以下の式を表現し、nをいろいろな値に設定してグラフとしてプロットせよ。

∑∑ ++≈nn

xPkxPkxPkxf 00 )()()()(

xxPxxP

s

c

2sin)(cos)(

2

1

==

• f(x)は、三角関数系による直交関数展開により、うまく表

∑∑==

++≈j

cjcjj

sjsj xPkxPkxPkxf11

00 )()()()(

xxPxxP

s

c

3sin)(2cos)(

3

2

==1

⎨⎧ ≤≤−

=１ 11

)(x

xf

f( ) 、 角関数系 直 関数展開 、う 表現されたか？どのような点が問題か？

xxPc 3cos)(3 =-1 1O

⎩⎨

その他0)(xf

演習問題２，３：Mathematicaを使った直交関数展開

• さきほどと同様に、三角関数系を用いた直交関数展開を以下の関数 f(x)について行え。関数 f(x)について行え。

1 ⎨⎧ ≤≤−

=11

)(xx

xff(x)

1 O

1

⎩⎨=

その他0)(xf

x-1 1O

-1

x

1

⎪⎧ ≤≤−+ 011 xx

f(x)

⎪⎩

⎪⎨ ≤≤−=

その他0101)( xxxf

-1 1O⎩ その他0x

演習問題２：Mathematicaを使った直交関数展開k ( )• ki ( i = 0, s1, c1, s2, c2, s3, c3 , s4, c4 , s5, c5) を計算せよ。

∫∫ −− ==1

1)()()( dxxPdxxPxfk iii

π

π

• 以下をグラフとしてプロットせよ。)()(.....)()()()( 5555111100 xPkxPkxPkxPkxPkxf ccssccss +++++≈

1π

P 1)(

• kiにはどのような法則性があるか？ それは、なぜか？• kcj ( j = 1, 2, 3 , 4, …….)を j を変数とする数式でかけ

xxP

xP

s sin)(2

1)(

1

0

=

=け。• Mathematica において、以下の式を表現し、nをいろいろな値に設定してグラフとしてプロットせよ。

∑∑ ++≈nn

xPkxPkxPkxf 00 )()()()(

xxPxxP

s

c

2sin)(cos)(

2

1

==

• f(x)は、三角関数系による直交関数展開により、うまく表

∑∑==

++≈j

cjcjj

sjsj xPkxPkxPkxf11

00 )()()()(

xxPxxP

s

c

3sin)(2cos)(

3

2

==

f( ) 、 角関数系 直 関数展開 、う 表現されたか？どのような点が問題か？

1⎩⎨⎧ ≤≤−

=その他0

11)(

xxxf

f(x)

xxPc 3cos)(3 =-1 1O-1

x

演習問題３：Mathematicaを使った直交関数展開k ( )• ki ( i = 0, s1, c1, s2, c2, s3, c3 , s4, c4 , s5, c5) を計算せよ。

∫∫ −− ==1

1)()()( dxxPdxxPxfk iii

π

π

• 以下をグラフとしてプロットせよ。)()(.....)()()()( 5555111100 xPkxPkxPkxPkxPkxf ccssccss +++++≈

1π

P 1)(

• kiにはどのような法則性があるか？ それは、なぜか？• kcj ( j = 1, 2, 3 , 4, …….)を j を変数とする数式でかけ

xxP

xP

s sin)(2

1)(

1

0

=

=け。• Mathematica において、以下の式を表現し、nをいろいろな値に設定してグラフとしてプロットせよ。

∑∑ ++≈nn

xPkxPkxPkxf 00 )()()()(

xxPxxP

s

c

2sin)(cos)(

2

1

==

• f(x)は、三角関数系による直交関数展開により、うまく表

∑∑==

++≈j

cjcjj

sjsj xPkxPkxPkxf11

00 )()()()(

xxPxxP

s

c

3sin)(2cos)(

3

2

==

f( ) 、 角関数系 直 関数展開 、う 表現されたか？どのような点が問題か？

1

⎪

⎪⎨

⎧≤≤−≤≤−+

= 101011

)( xxxx

xff(x)

xxPc 3cos)(3 =-1 1O

⎪⎩

⎨その他0

)(f

x