ケプラー軌道方程式のまとめ -...

宇宙工学基礎（松永）

ケプラー軌道方程式のまとめ

1


注意１）詳細は下記の引用文献を参照。

James R. Wertz, Mission Geometry; Orbit and Constellation Design and Management, Space Technology

Library, Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.835-852.

注意２）記号は、慣用とは異なる場合があるので、それぞれ定義を確認すること。

中心物体の重力定数(gravitational constant) について：

重力定数は GM と定義されるが、その値自身は、それぞれ質量 Mや万有引力定数 G = 6.673

e-11 m3/s2/kg 単独の計測値よりもはるかに正確に求められている。なお、万有引力定数 G の計測

値は、独立した質量そのものを高精度に計測することが困難であることもあり、基礎物理定数の

中で最も精度が低い。

中心物体軌道速度周期脱出速度

23 s/m s/m 5.1 km/s min km/s

太陽（表面） 1.327 124 38 e+20 11,520,088,436 436.822 167.0 617.760

（1 AU） 29.716 529,642 42.024

水星 2.203 4 e+13 4,694,000 3.005 85.0 4.250

金星 3.249 e+14 18,020,000 7.327 86.5 10.362

地球 3.986 004 41 e+14 19,964,980.4 7.905 84.5 11.180

月 4.902 798 98 e+12 2,214,226.5 1.680 108.3 2.376

火星 4.283 200 00 e+13 6,544,616.1 3.551 100.2 5.022

木星 1.266 9 e+17 355,935,000 42.097 177.8 59.534

土星 3.793 4 e+16 194,767,000 25.088 251.6 35.480

天王星 5.795 1 e+15 76,125,600 15.058 177.8 21.295

海王星 6.835 4 e+15 82,676,500 16.614 156.1 23.496

冥王星 8.7 e+11 9.33 e+5 0.852 146.9 1.205

[小惑星]

セレス 7.83 e+10 2.80 e+5 0.414 115.4 0.586

パラス 1.46 e+10 1.21 e+5 0.236 115.9 0.334

ベスタ 1.59 e+10 1.26 e+5 0.252 104.0 0.357

イトカワ G*(3.510+-0.105) e+10

（注意： 141041004986.314e41004986.3 ）

共通記号：

：真近点離角 true anomaly 近点から軌道物体までの角度。とも書く。

M：平均近点離角（平均近点角）mean anomaly )( TtnM

t：観測時刻 the time of observation

T：近点通過時刻 the time of perifocal passage pt とも書く。

n：平均（角）運動 mean (angular) motion



2



3



4



5

１．円軌道 circular orbits

円軌道の物理量であることを強調するために頭に C.を付ける

C.定義パラメータ： a = 長半径（長半径）semimajor axis = r = 半径 radius

C.幾何方程式： 222 ayx

C.焦点からの距離, r： r = a

C.比エネルギーspecific energy, （単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く）：

r

V

a

22

2

C.比角運動量 specific angular momentum, h（cとも書く）： ah h

C.角運動量ベクトル, h（cとも書く）： Vrh ( rrc とも書く)

C.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ˆˆˆ

C.軌道傾斜角 inclination, i： hhi zarccos

C.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN

C.飛行経路角 flight path angle, fpa （ , とも書く）： 0fpa

C.近点距離 perifocal distance, q： q = a

C.半直弦 semi-parameter, p： p = a

C.長半径（長半径）semimajor axis, a： a = r

C.離心率 eccentricity, e： e = 0

C.平均運動 mean motion, n： Pa

n

23

C.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： ntMM 0

C.真近点離角 true anomaly, ： M

C.真近点離角レート, ： n

C.軌道周期 orbital period, P： 32/2 anP

）（太陽；

）（火星；

）（月；

）（地球；

]km[],[10178228996.1

]km[[min],10211429059.5

]km[[min],10413569495.1

]km[[min],10010669658.1

10

4

3

42/3

adaysP

aP

aP

aPaP

C.軌道速度 orbital velocity, V： anaV

C.レンジ・レンジレート range・range rate, rr： 0rr

C.面積速度 areal velocity, A： naaA 25.05.0

C.脱出速度 escape velocity, EV ： VaVE 22

C.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, '

E ：

in

in

E

Ecos

sinarctan'

（火星）

（月）

（地球）

ート中心物体の慣性回転レ

sdeg/249061004.0

sdeg/450521000.0

sdeg/074178004.0

E

C.オイラー回転レート Euler rotation rate, E ： innin EEEE cos2sin/sin 22'



6

C.角半径 angular radius, ： )/arcsin( aRE （球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km3397

km2.1738

km140.6378

ER

C.水平面までの距離 distance to the horizon, D： 22arccos ERaD

C.最大地球中心角 maximum Earth central angle, max ： )/cos(arcdeg90max aRE

C.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA： )cos1( max AKIAA

（火星）

（月）

（地球）

]km[10550250.7

]km[10363898.1

]km[1087041556.2

][deg62480.626,20)2/(360

]steradians[311185283.62

27

27

28

22

AK

C.アクセス面レート area access rate, AAR： P

KAAR Amaxsin

2

C.最大可視時間 maximum time in view, maxT ： deg180/maxmax PT

C.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, max ：

)(

deg360max

ERaP

a

C. 2J 項によるノード歳差レート node precession rate due to 2J , 2ΩJ ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[]daycalender[deg/cos10483.3



coscos)/(5.1Ω

2/731

2/711

2/714

2/7

2

2

22

aia

aia

aia

iaKiaRnnJ JEJ

C.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, ssi ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[)101.505arccos(

]km[)10061.3arccos(

]km[)107773.4arccos(

360arccos

2/741

2/712

2/715

2

2/7

aa

aa

aa

SPK

ai

J

ss

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]

C.1日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1回転する間の軌道周回数

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]/38.774,1

[min]/343,39

[min]/07.436,1

/

PP

PP

PP

PDayev/dR

Day =中心物体の恒星日 sidereal day

C.ノード間隔 node spacing, N ：



7

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]675243.0

[min]3150009.0

[min]684250.0

)/deg(360

PP

PP

PP

DayPN

C.最大日食時間 maximum eclipse, ET ： deg180/)/arcsin(deg180/ aRPPT EE

C.明暗界線のための太陽角条件, ' ： 90'90

は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle

C.天体座標が既知の宇宙機の通過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are

known, T： GSTLT

ここで、：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal

time

２．楕円軌道 elliptical orbits

楕円軌道の物理量であることを強調するために頭に E.を付ける

E.定義パラメータ： a = 長半径（半長径）semimajor axis

b = 短半径（半短径）semiminor axis

E.幾何方程式： 12

2

2

2

b

y

a

x

E.焦点からの距離, r： cos1

)1(

cos1)cos1(

cos1

)1(

e

er

e

pEea

e

eqr a

E.比エネルギーspecific energy, （単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く）：

022

2

ar

V

E.比角運動量 specific angular momentum, h（cとも書く）：

ppaafpa VrVrrrVph 2cosh

E.角運動量ベクトル, h（cとも書く）： Vrh ( rrc とも書く)

E.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ˆˆˆ

E.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（fとも書く）：

r

rhVe

E.軌道傾斜角 inclination, i： hhi zarccos

E.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN

E.飛行経路角 flight path angle, fpa （ , とも書く）：

)/arccos()sin,(cos2arctan rVpfpafpafpa

Ee

e

Ee

Eefpafpa 22

2

22 cos1

1cos,

cos1

sinsin

E.近点距離 perifocal distance, prq ：

p

a

a

a

apV

Vr

r

b

e

er

e

pearq

2

1

1

1)1(

E.半直弦 semi-parameter, p：



8

222 )1()cos1()1(

h

a

beqereap

E.遠点距離 radius of apoaxis, ar ：

ca

b

e

eq

r

braear

p

pa

22

1

12)1(

E.長半径（長半径）semimajor axis, a：

3/1

22 21112

ne

p

e

r

e

rrra appa

E.短半径（短半径）semiminor axis, b：

hprrapeab pa 21

E.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1

a

c

a

r

a

r

rr

rr

a

bahe

pa

pa

pa

11

21

22

2

2

e

E.平均運動 mean motion, n： Pa

n

23

E.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： EeEntMM sin0

E.離心近点離角 eccentric anomaly, E：

pra

ra

b

r

ae

ra

e

eEEE

arccossinarcsinarccos

2tan

1

1arctan2)sin,arctan(cos

cos1

1sinsin,

cos1

coscos

2

e

eE

e

eE

Mから Eの逐次解法： 0E を初期推定値、例えば ME 0 Eの i番目の推定値 iE

i

ii

iiEe

EeEMEE

cos1

sin1

E.真近点離角 true anomaly, ：

Ee

eE

e

rp

E

e

e

cos1

cosarccos

1/arccos

2tan

1


eE

eE

Ee

eE

cos

1sinsin,

cos1

coscos

2

Mに関する展開：

4332 3sin12

13sin

4

12sin

4

5sin2 eOMeMeMeMeM

E.真近点離角レート, ：

2

2

2

2221 e

r

na

r

rV

r

rV

r

paapp



9

E.軌道周期 orbital period, P： 32/2 anP

）（太陽；

）（火星；

）（月；

）（地球；

]km[],[10178228996.1

]km[[min],10211429059.5

]km[[min],10413569495.1

]km[[min],10010669658.1

10

4

3

42/3

adaysP

aP

aP

aPaP

E.軌道速度 orbital velocity, V：

fpar

p

e

e

rrarV

coscos1

122

2 2

a

p

p

a

r

r

V

V

a

p

pa

aa

p

a

a

p

aa

p

ppap

a

p

p

r

rV

a

r

rar

re

rV

r

rV

a

r

rrrr

re

rV

21

22

1

E.アジマス速度 azimuthal velocity, azV ： rVV fpaaz cos

E.動径速度 radial velocity, rV ：

cos1

sinsinsin

e

er

q

eVVV azfpar

E.レンジ・レンジレート range・range rate, rr： Eaerr sin

E.面積速度 areal velocity, A： 22 5.0)1(5.0 reaA

E.脱出速度 escape velocity, EV ： rVE 2

E.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, '

E ：

i

i

E

Ecos

sinarctan'

（火星）

（月）

（地球）


sdeg/249061004.0

sdeg/450521000.0

sdeg/074178004.0

E

E.オイラー回転レート Euler rotation rate, E ： ii EEEE cos2sin/sin 22'

E.角半径 angular radius, ： )/arcsin( aRE （球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）


km3397

km2.1738

km140.6378

ER

E.水平面までの距離 distance to the horizon, D： 22cos ERarD

E.水平面までの距離の最大値 maximum distance to the horizon, maxD ：

22

minmax cos Eaa RrrD

E.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, minD ：



10

22

maxmin cos Epp RrrD

E.最大地球中心角 maximum Earth central angle, max ： )/cos(arcdeg90max rRE

E.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA： )cos1( max AKIAA

（火星）

（月）

（地球）

]km[10550250.7

]km[10363898.1

]km[1087041556.2

][deg62480.626,20)2/(360


27

27

28

22

AK

E.アクセス面レート area access rate, AAR： maxsin

AKAAR

E.最大可視時間 maximum time in view, maxT ： /2 maxmax T

E.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, max ：

ERr

r

max

E. 2J 項によるノード歳差レート node precession rate due to 2J , 2ΩJ ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[]daycalender[deg/cos)1(10483.3



cos)1(cos)1()/(5.1Ω

222/731

222/711

222/714

222/7

2

222

22

aiea

aiea

aiea

ieaKieaRnJ JEJ

E.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, ssi ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[))1(101.505arccos(

]km[))1(10061.3arccos(

]km[))1(107773.4arccos(

)1(

360arccos

222/741

222/712

222/715

22

2

2/7

aea

aea

aea

SPeK

ai

J

ss

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]

E. 2J 項による近点回転レート periapsis rotation rate due to 2J , 2J ：

ieaKieaRnJ JEJ

2222/7

2

2222

22 sin2

52)1(sin

2

52)1()/(5.1

E.1日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1回転する間の軌道周回数

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]/38.774,1

[min]/343,39

[min]/07.436,1

/

PP

PP

PP

PDayev/dR

Day =中心物体の恒星日 sidereal day

Ｅ.ノード間隔 node spacing, N ：



11

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]675243.0

[min]3150009.0

[min]684250.0

)/deg(360

PP

PP

PP

DayPN

Ｅ.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, ET ：

)/arcsin()/2(/2 rRT EE

E.明暗界線のための太陽角条件, ' ： 90'90


E.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are

known, T： GSTLT


time

３．放物線軌道 parabolic orbits

放物線軌道の物理量であることを強調するために頭に P.を付ける

P.定義パラメータ： p = 半直弦 semi-latus rectum = semiparameter

q= 近点距離 perifocal distance

P.幾何方程式： qyx 42

P.焦点からの距離, r： 2cos1

)1(

cos1

2Dq

e

eqpr

P.比エネルギーspecific energy, （単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く）： 0

P.比角運動量 specific angular momentum, h（cとも書く）：

ppfpa VrrrVph 2cosh

P.角運動量ベクトル, h（cとも書く）： Vrh ( rrc とも書く)

P.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ˆˆˆ

P.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（fとも書く）：

r

rhVe

P.軌道傾斜角 inclination, i： hhai zcos

P.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN

P.飛行経路角 flight path angle, fpa （ , とも書く）： )/arccos(2/ rVpfpa

P.近点距離 perifocal distance, prq ： 2

prq p

P.半直弦 semi-parameter, p：

2

)cos1(2h

rqp

P.長半径（長半径）semimajor axis, a： a

P.短半径（短半径）semiminor axis, b： b

P.離心率 eccentricity, e： e = 1

P.平均運動 mean motion, n：

2tan

3

1

2tan

12 3

3

tpn

tは近点通過後の経過時刻



12

P.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： 6/3

0 DqDntMM

P.放物線近点離角 parabolic anomaly, D： 2

tan2

qD

P.真近点離角 true anomaly, ： )sin,arctan(cos

qr

DpE

r

rp

2sin,cos

P.真近点離角レート, ： 22 r

rV

r

p pp

P.軌道周期 orbital period, P： P

P.軌道速度 orbital velocity, V：

fpa

Er

p

rVV

cos

2

P.近点速度 velocity at periapsis, pV ：

p

pr

V2

P.放物線速度 = 脱出速度 escape velocity, EV ： rVE 2

P.アジマス速度 azimuthal velocity, azV ： rVV fpaaz cos

P.動径速度 radial velocity, rV ：

cos1

sinsinsin

e

er

qVVV azfpar

P.レンジ・レンジレート range・range rate, rr： Drr

P.面積速度 areal velocity, A： 25.02/ rqA

以下は双曲線軌道と同じ。

４．双曲線軌道 hyperbolic orbits

双曲線軌道の物理量であることを強調するために頭に H.を付ける

H.定義パラメータ： a = 半横断軸 semi-transverse axis (a < 0)

b = 半共役軸 semi-conjugate axis

H.幾何方程式： 12

2

2

2

b

y

a

x

H.焦点からの距離, r：

cos1sin

tan11

cos)cosh1(

cos1

)1( 2

e

pHea

H

eaFea

e

eqr

H.比エネルギーspecific energy, （単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く）：

022

2

ar

V

H.比角運動量 specific angular momentum, h（cとも書く）：

ppfpa VrrrVph 2cosh

H.角運動量ベクトル, h（cとも書く）： Vrh ( rrc とも書く)

H.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ˆˆˆ

H.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（fとも書く）：

r

rhVe



13

H.軌道傾斜角 inclination, i： hhi zarccos

H.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN

H.飛行経路角 flight path angle, fpa （ , とも書く）： )/arccos(2/ rVpfpa

H.双曲線補助角 auxiliary angle of the hyperbola, H： /1

arccosarccosrh

e

ra

eH

H.曲折角 turn angle, ：

fpapp VrVVb

a

qVe

cosarctan2arctan2arcsin2

/1

1arcsin2

1arcsin2

2

H.近点距離 perifocal distance, prq ：

)1()1(1

)1(22

eV

eVe

pearq

p

p

H.半直弦 semi-parameter, p：

222 )1()cos1()1(

h

a

beqereap

H.長半径（長半径、半横断軸）semimajor axis, semi-transverse axis, a： a < 0

112 22

3/1

2

e

p

e

q

Vna

H.短半径（短半径、半共役軸）semiminor axis, semi-conjugate axis, b：

)2/tan(

12

ar

V

Vhpapeab p

p

H.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1

222

2

2

1112

1

Vr

a

r

a

p

a

bahe

pa

e

H.平均運動 mean motion, n： 3a

n

H.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： FFentMM sinh0

H.双曲線近点離角 hyperbolic anomaly, F：

2tan

1

1harctan2)sinh,(coshharctan

e

eFFF

cos1

1sinsinh,

cos1

coscosh

2

e

eF

e

eF

Mから Fの逐次解法：0F を初期推定値 F の i番目の推定値 iF

1cosh

sinh1

i

ii

iiFe

FFeMFF

H.真近点離角 true anomaly, ：

2tan

1

1arctan2tan1arcsin2

2tanh

1


2 H

e

eHe

r

a

F

e

e



14

Fe

eFv

Fe

eFv

cosh1

1sinhsin,

cosh1

coshcos

2

H.真近点離角レート, ： 22 r

rV

r

p pp

H.軌道周期 orbital period, P： P

H.軌道速度 orbital velocity, V： 22

cos

2 V

rr

p

arV

fpa

H.近点速度 velocity at periapsis, pV ： er

Vr

Vpp

p 12 2

H.双曲線無限点速度 hyperbolic excess velocity, V ：

)1(22 22 e

rb

Vr

rV

rVV

p

pp

p

p

H.規準打ち上げエネルギーreference launch energy, 3C ：

2

3 VC

H.アジマス速度 azimuthal velocity, azV ： rVV fpaaz cos

H.動径速度 radial velocity, rV ：

cos1

sinsinsin

e

er

q

eVVV azfpar

H.レンジ・レンジレート range・range rate, rr： Faerr sinh

H.面積速度 areal velocity, A： 22 5.0)1(5.0 reaA

H.脱出速度 escape velocity, EV ： rVE 2

H.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, '

E ：

i

i

E

Ecos

sinarctan'

（火星）

（月）

（地球）


sdeg/249061004.0

sdeg/450521000.0

sdeg/074178004.0

E

H.オイラー回転レート Euler rotation rate, E ： ii EEEE cos2sin/sin 22'

H.角半径 angular radius, ： )/arcsin( rRE （球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）


km3397

km2.1738

km140.6378

ER

H.最大角半径 maximum angular radius, max ： )/arcsin(max pE rR

H.水平面までの距離 distance to the horizon, D： 22cos ERarD

H.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, minD ：

22

maxmin cos Epp RrrD

H.最大地球中心角 maximum Earth central angle, max ：

)/cos(arcdeg90max rRE



15

H.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA： )cos1( max AKIAA

（火星）

（月）

（地球）

]km[10550250.7

]km[10363898.1

]km[1087041556.2

][deg62480.626,20)2/(360


27

27

28

22

AK

H.アクセス面レート area access rate, AAR： maxsin

AKAAR

H.最大可視時間 maximum time in view, maxT ： /2 maxmax T

H.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, max ：

ERr

r

max

H.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, ET ：

)/arcsin()/2(/2 rRT EE

H.明暗界線のための太陽角条件, ' ： 90'90


H.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are

known, T： GSTLT


time

ケプラー軌道方程式のまとめ -...

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