エラストマーの力学

――ゴム風船とゴムチューブの力学

および血管の力学への試み――

［改訂版］

丸山 昌明 著

初版 はじめに

ゴム風船を膨らませたことのある人は、膨らまし始めでは息を吹き込むのが大変である

が、ある程度大きく膨らませてしまえば、後は容易に大きくなり、時には簡単に破裂してし

まうことを、知っている。

ゴム風船の内圧伸び測定実験の結果を詳しく見せていただくと、膨らみ始めて１．４倍程

度の大きさで内圧が最大になり、それ以上に大きくなると、なんと内圧は下がりだす。さら

に、空気を吹き込むと、内圧は下がるのに風船はどんどん大きくなる。ところが、一度下が

った内圧が再び上昇に転じる。そして、再上昇した内圧がどこまで上昇するかは風船によっ

て異なるだろうが、ついには破裂してしまう。

加硫ゴムの引張試験方法がＪＩＳＫ６２５１に規定されている。ダンベル形の試験試料

を引張試験機にかけて、伸びと張力（応力）の関係を測定する方法である。通常の加硫ゴム

の引張試験を行うと、伸びの増加にしたがって張力も増加し、破断時に最大張力となる。通

常の風船のゴム材料をこの引張試験方法で試験すると、常に張力は増加し続け、破断時に最

大張力を示す。即ち、破断時の前に張力の低下現象は起こらない。

同じゴム材料なのに、この違いは何処からくるのか。ゴム風船の場合はゴム材料が内圧に

より同時に直角方向に引張られる二次元引張りであり、面状に伸び広げられる。しかし、Ｊ

ＩＳの引張試験は一次元引張試験であり、線状に伸ばされるだけである。即ち、一次元引張

りと二次元引張りの違いからである。

本書では、エラストマー（ゴム材料など）の一次元引張りと二次元引張りを考察し、ゴム

風船の上記現象を理論的に説明し、さらに、ゴムチューブの内圧伸び関係についても考察し

た。以下にその概要を述べる。

第１章では、エラストマーの一次元引張りと二次元引張りにおける伸びの現象を考察し、

両者間の変換式を見出した。また、エラストマーの伸びと張力の関係式についても考察し、

一次元引張試験の結果を便利に表現でき、かつ、二次元引張りの計算に利用できるＣ型関係

式を新たに提案した。さらに、一次元引張試験の結果をどのように二次元引張りの計算に利

用するかを考察した。

第２章では、ゴム風船１層計算法について説明した。これは、上記一次元引張りと二次元

引張りの変換式およびＣ型関係式を使用して、ゴム風船の上記現象を理論的に説明したも

のである。また、Ｃ型関係式以外の関係式の使用についても考察した。

第３章と第４章では、風船より肉厚のゴムボールについて、内外面のゴム材料の伸びの違

いを考慮したゴムボール２層計算法および４層計算法について説明し、肉厚が厚くなる時

は、２層計算法あるいは４層計算法が有効なことを示した。

i

第５章では、ゴムチューブ１層計算法について説明した。チューブ（管状体）では、長さ

方向と円周方向で作用力が異なり、伸びも異なるので、その両方向で力の釣り合いを考える

計算法を説明した。これは細長いゴム風船にも適用できるものである。さらに、チューブで

は長さ方向と円周方向で作用力が異なるため、伸びの初期においては長さ方向にわずかな

収縮が起こることも計算で明らかにした。この収縮は材料の等方性とも関係している。

第６章と第７章では、チューブの肉厚が厚くなるときの２層計算法および４層計算法に

ついて説明した。やはり、肉厚が厚くなるときは、内外面の伸びの違いを考慮できる２層計

算法あるいは４層計算法が有効なことを示した。また、チューブ長さ方向の上記収縮は、肉

厚が厚くなるほど大きな収縮になることも計算で明らかにした。

第８章では、血管の力学への試みとして、ゴムチューブの４層計算法を基に血管の内圧伸

び計算法を示した。そこでは、血管の多層構造や血管材料の異方性も考慮できるようにして

みた。さらに、ゴムチューブの２層計算を基に血管の張力と伸びと破裂に関する推論を行っ

てみた。エラストマーの力学の応用として、何かのお役に立てればと思ったからである。

従来、エラストマーについて一次元引張りと二次元引張りの違いを明確に区別し、張力伸

び関係式を変換可能にした理論は見当たらなかった。また、Ｃ型関係式も比較的簡単な形で

利用し易い式である。本書の様な考え方が、エラストマーの研究や開発、あるいはエラスト

マー応用製品の製造や開発などに係わっておられる方々のお役に少しでも立てることを願

っている。

また、本書の理論を踏み台にして、エラストマーチューブ（風船よりは製作し易いので）

の内圧伸び関係を測定する試験法が規格化の方向へ進むならば、二次元引張現象に関係す

る製品の設計や評価に役立つのではないかと思う。

［改訂版への 追加]

初版第８章３節では、ゴムチューブ計算法の応用として血管の張力と伸びを考察した。し

かし、実際の血管では、内圧のピーク（極大値）は無いとのことであった。初版の発行後に

英語版を発行し、英語版では初版第８章３節に代え、内圧のピークを示さない動脈の計算に

役立ちそうなＣ型関係式を紹介した。しかし、本改訂版では第８章３節を残し、４節として

英語版の内容を追加した。また、Ｃ型関係式の係数ａは英語版では冠詞との紛らわしさを避

けるためにｃに変更したので、本改訂版でもｃに変更し、初版の誤植もできるだけ訂正した。

丸山 昌明

２０１３年７月

ii

エラストマーの力学

――ゴム風船とゴムチューブの力学

および血管の力学への試み――

［改訂版］

目次

はじめに ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・i

第１章 エラストマーの伸びと張力

１．１ 一次元引張りと二次元引張りの伸び ・・・・・・・・・・・・・１

１．１．１ 一次元引張りと伸び ・・・・・・・・・・・・・・・・・１

１．１．２ 二次元引張りと伸び ・・・・・・・・・・・・・・・・・３

１．２ 一次元張力伸び関係式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・５

１．２．１ Ａ型関係式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・５

１．２．２ Ｂ型関係式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・８

１．２．３ Ｃ型関係式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１０

１．２．４ 一次元引張試験と二次元引張試験の関係について ・・・１３

第２章 ゴム風船１層計算法

２．１ 風船１層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・・・・１４

２．２ Ａ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１５

２．３ Ｂ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１７

２．４ Ｃ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１８

第 3章 ゴムボール２層計算法

３．１ ゴムボール２層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・２２

３．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・２４

３．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・２８

第４章 ゴムボール４層計算法

４．１ ゴムボール４層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・３０

４．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・３３

iii

４．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・３７

第５章 ゴムチューブ１層計算法

５．１ チューブ１層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・・３９

５．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・４２

５．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・４５

第６章 ゴムチューブ２層計算法

６．１ チューブ２層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・・４８

６．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・５２

６．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・５９

第７章 ゴムチューブ４層計算法

７．１ チューブ４層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・・６３

７．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・６８

７．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・７２

第８章 血管の力学への試み

８．１ 血管４層計算法関係式の導出 ・・・・・・・・・・・・・・・７４

８．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用 ・・・・・・・・・・・・・・・・・８０

８．３ チューブの計算結果から血管についての類推 ・・・・・・・・８１

８．４ 動脈計算のためのＣ型関係式 ・・・・・・・・・・・・・・・８５

iv

第１章 エラストマーの伸びと張力

１．１ 一次元引張りと二次元引張りの伸び

エラストマーとは、弾性の顕著な高分子物質のことであり、外力をうけると迅速に数倍に

およぶ大きな伸びを示し、外力を除くとすぐに元の長さにもどる。例えば、架橋した天然ゴ

ムや合成ゴムが代表的なエラストマーである。また、ある種の合成樹脂やその組成物なども、

類似の性質を持ち、エラストマーと見なされる。ここでは、まず、エラストマーの伸びにつ

いて考察する。伸びと張力の関係については後述の１．２で考察する。

１．１．１ 一次元引張りと伸び

エラストマーが、一方向への外力をうけてその方向へ伸ばされる状態を、一次元引張りと

いう。図１．１に一次元引張りの状態を示す。まず、直交するｘ軸、ｙ軸、ｚ軸方向にそれ

ぞれＡ０、Ｂ０、Ｃ０の初期長さを持つエラストマーの直方体を考える。ｘ軸方向に外力ＦＸ

を作用させ、長さＡ０をλＸ倍に引き伸ばす。ＦＸがどれ位の大きさの力かは問題にしない。

今は伸びについてだけ考える。λＸをｘ軸方向の一次元伸び倍率とし、ｘ軸方向の伸び後の

長さをＡＸとすると、ＡＸは（１-１）式で表される。添え字Ｘは外力ＦＸに対応している事を

示す。

（１-１） ＡＸ＝Ａ０λＸ

ここで、次の条件①②を仮定すると、ｙ軸、ｚ軸方向の長さが定まる。つまり、「①エラ

ストマーの体積変化は無い」とすると、ｘ軸方向にλＸ倍に伸ばされたのだから、ｘ軸方向

と直角な断面積はλＸ分の１にならなければならない。また、「②エラストマーの変形は方

向による差が無い（等方性である）」とすると、ｙ軸とｚ軸の両方向の長さはλＸ１/２分の１

に縮まなければならないので、ＢＸとＣＸは次式で表される。

（１-２） ＢＸ＝Ｂ０λＸ－１/２

（１-３） ＣＸ＝Ｃ０λＸ－１/２

以上が、エラストマーのｘ軸方向の一次元引張りで生じた各方向の長さである。

１

図１．１ 一次元引張りの状態

図１．２ 二次元引張りの状態

２

上記の（１-１）～（１-３）式と同様に、ｙ軸およびｚ軸方向にそれぞれ単独に外力ＦＹ、

ＦＺを作用させ、一次元引張りを行う。ｙ軸およびｚ軸方向の各々の一次元伸び倍率をλＹ

およびλＺとすると、伸びの関係は以下の（１-４）～（１-９）式で表される。添え字Ｙおよ

びＺは外力ＦＹおよびＦＺに対応している事を示す。

即ち、ｙ軸方向の一次元引張りで生じた各方向の長さは、

（１-４） ＡＹ＝Ａ０λＹ－１/２

（１-５） ＢＹ＝Ｂ０λＹ

（１-６） ＣＹ＝Ｃ０λＹ－１/２

更に、ｚ軸方向の一次元引張りで生じた各方向の長さは、

（１-７） ＡＺ＝Ａ０λＺ－１/２

（１-８） ＢＺ＝Ｂ０λＺ－１/２

（１-９） ＣＺ＝Ｃ０λＺ

と表される。

１．１．２ 二次元引張りと伸び

エラストマーが、直交する二方向への外力をうけて伸ばされる状態を、二次元引張りとい

う。二方向への外力が直交していない場合は、直交する二方向へ、力の分解合成を行ってか

ら考察すればよい。図１.２に二次元引張りの状態を示す。

まず、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸方向にそれぞれＡ０、Ｂ０、Ｃ０の初期長さを持つエラストマーの

直方体を考える。そのｘ軸方向に外力ＦＸを作用させる。ここまでは、上記の一次元引張り

の場合と同じである。従って、伸びの状態は上記の（１-１）～（１-３）式で表される。

次に、外力ＦＸを保持したまま、ｙ軸方向に外力ＦＹを作用させ、（１-２）式で表されたｙ

軸方向の長さＢＸ＝Ｂ０λＸ－１/２をλＹ倍に引き伸ばす。ＦＹがどれ位の大きさの力か今は問

題にしない。今は伸びについてだけ考える。ｙ軸方向の伸び後の長さをＢＸＹとすると、ＢＸ

Ｙは（１-１０）式で表される。添え字ＸＹは二次元引張りの外力ＦＸとＦＹに対応している事

を示す。

（１-１０） ＢＸＹ＝ＢＸλＹ＝Ｂ０λＸ－１/２λＹ

３

ここで、一次元引張りの所で述べた二つの条件「①体積変化無し」と「②等方性である」

を仮定すると、（１-１）、（１-３）式で表されたｘ軸、ｚ軸方向の長さＡＸ、ＣＸがそれぞれ

λＹ１/２分の１に縮んでＡＸＹ、ＣＸＹとなり、次式で表される。

（１-１１） ＡＸＹ＝ＡＸλＹ－１/２＝Ａ０λＸλＹ－１/２

（１-１２） ＣＸＹ＝ＣＸλＹ－１/２＝Ｃ０λＸ－１/２λＹ－１/２

以上の（１-１０）～（１-１２）式が、エラストマーのｘ軸およびｙ軸方向の二次元引張

りで生じた各方向の長さを表したものである。ただし、ここで注意すべきは、二次元引張り

で生じた各方向の長さをそれぞれの一次元伸び倍率λＸとλＹで表したことである。

そこで次に、二次元引張りの状態における見掛けの伸び倍率（即ち、二次元伸び倍率）を

考えてみる。ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸方向の二次元伸び倍率をそれぞれα、β、γとすると、（１

-１０）～（１-１２）式を用いて次式で表される。

（１-１３） α＝ＡＸＹ／Ａ０＝λＸλＹ－１/２

（１-１４） β＝ＢＸＹ／Ｂ０＝λＸ－１/２λＹ

（１-１５） γ＝ＣＸＹ／Ｃ０＝λＸ－１/２λＹ－１/２ あるいは、γ＝１／αβ

また、（１-１３）と（１-１４）式を用いて、一次元伸び倍率λＸ、λＹを二次元伸び倍率α、

βで表せば以下のようになる。

（１-１６） λＸ＝（α２β）２/３＝α４/３β２/３

（１-１７） λＹ＝（αβ２）２/３＝α２/３β４/３

以上の（１-１３）～（１-１７）式が、二次元伸び倍率α、β、γと一次元伸び倍率λＸ、

λＹ、の関係を示す式である。ただし、α、βを独立変数とするとき、γはγ＝１／αβで

示されるように独立変数ではない。

上記（１-１３）式の意味を確認すると、二次元引張りの伸び倍率αは、おなじ外力ＦＸを作

用させているのに、一次元引張りのときの伸び倍率λＸより小さい。

即ち、λＸ＞α＝λＸ／λＹ１/２ である。これは、ｙ軸方向に外力ＦＹを作用させて二次元伸

び倍率βを発生させることで、ｘ軸方向の伸びを縮めているからである。

４

以上では、二次元引張りを考える方法として、先ず、ｘ軸方向に外力ＦＸを作用させ、そ

の後、ｙ軸方向の外力ＦＹを作用させた。しかし、外力ＦＸと外力ＦＹを作用させる順番を逆

にしても、また、両方を同時に作用させても同じ結果になるとする。この様なエラストマー

を理想エラストマーと定義しても良い。

エラストマーが上記の理想エラストマーであれば、（１-１３）～（１-１７）式を用いて、

二次元伸び倍率α、βと一次元伸び倍率λＸ、λＹの間で変換が可能になる。このことは、例

えば、ゴム材料の一次元引張試験のデータ（一次元伸び倍率λＸ、λＹに関する張力伸び関

係式）をゴム風船やゴムチューブの内圧伸び計算（即ち、二次元伸び倍率α、βに関する計

算）に応用できる可能性を示している。

しかし、実際のエラストマーにおいては、後で考察するように、一次元引張り試験のデー

タ（張力伸び関係式）をそのまま二次元伸び倍率α、βに関する計算に使用しても実験と合

う結果が得られるとは限らない。分子鎖の伸び切りや分子配向などの状況が一次元引張り

と二次元引張りで異なってくるからであろう。次の問題は、二次元引張りの計算に応用でき

る一次元引張りの張力伸び関係式を求めることになる。

１．２ 一次元張力伸び関係式

ここでは、エラストマーの伸び倍率と張力との関係を考える。以下に、本書で使用する幾

つかの関係式を説明する。１．２．１のＡ型関係式は、フックの法則から類推されたもので

あり、１．２．２のＢ型関係式は、ゴム分子の統計力学的な考察から考えられたものである。

１．２．３のＣ型関係式は上記Ａ型関係式に補正項を加えたもので著者の提案するものであ

る。

さらに、一次元引張試験と二次元引張試験の関係についても説明する。

１．２．１ Ａ型関係式

この式はフックの法則からの類推で考えられたものである。高分子の統計力学的な裏付

のあるものではない。しかし形が簡単で、実際の引張り試験の結果とのずれを補正係数や補

正項などで修正できるなら、技術的には利用し易いと思われる。以下に、この式の考え方を

説明する。

５

図１．１に示された一次元引張りの状態は、外力ＦＸがエラストマーの長さＡ０をλＸ倍に

引き伸ばし、エラストマーの張力ＦＴと釣り合っている。このエラストマーの張力について

考える。

先ず、外力ＦＸに垂直な単位断面積当りの張力をｆとし、ｆがフックの法則に従っている

と仮定すると、次式で表わされる。

（１-１８） ｆ＝Ｋ（λ－１）

ここで、Ｋは正の定数であり弾性率に相当する。λは外力の方向の伸び倍率であるから（λ

-１）は初期長さに対する伸びの割合（歪）である。この一次元引張りは、ｘ軸方向に限定

するものではないので、λの下添え字Ｘは省略する。さらに、外力に垂直な材料の断面積を

Ｓとすると、外力と釣り合っている張力ＦＴは次式で表わされる。

（１-１９） ＦＴ＝Ｓｆ＝ＳＫ（λ－１）

ただし、断面積Ｓはλだけ伸びた時の実際の断面積であり、Ｓは条件「①体積変化無し」か

ら初期断面積Ｓ０のλ分の１になるので

（１-２０） Ｓ＝Ｓ０／λ 即ち、 Ｓ／Ｓ０＝λ－１

と表される。

ところで、エラストマーの通常の引張り試験では、材料の初期断面積Ｓ０を用いて試験の

結果を表す。そこで、張力ＦＴを初期断面積Ｓ０と初期単位断面積当りの張力ｆ０の積として

表せば、（１-１９）式は（１-２１）式の様に表わせる。

（１-２１） ＦＴ＝Ｓ０ｆ０＝ＳＫ（λ－１）

この（１-２１）式からｆ０を求め、（１-２０）の Ｓ／Ｓ０＝λ－１ を代入すると

（１-２２） ｆ０＝Ｋ（１－λ－１）

となる。この（１-２２）式が初期単位断面積当りの張力ｆ０と伸び倍率λの関係式である。

これをＡ型関係式と呼ぶことにする。Ａ型と呼ぶのは、他の式との区別する為の名称であ

６

図１．３ Ａ型関係式とＢ型関係式

太実線：Ａ型関係式：ｆ０＝Ｋ（１－１／λ） 但し Ｋ＝３ の場合を示す

細実線：Ｂ型関係式：ｆ０＝Ｋ（λ－１／λ２） 但し Ｋ＝１ の場合を示す

Ａ型関係式はｆ０＝Ｋ に、Ｂ型関係式はｆ０＝Ｋλ に漸近する

り、それ以上の意味は無い。ここで、単位の確認をしておくと、ｆ０は［Ｎ／ｍ２］、λは無

次元、Ｋは［Ｎ／ｍ２］である。

図１.３に（１-２２）式がどの様な形の曲線になるかを示す。この図では後述するＢ型関

係式と曲線の形を比較し易いようにＫの値を設定してあり、張力の値は相対値である。

実際のゴムの一次元引張試験では、伸び倍率λの値が大きくなると分子鎖の伸び切りや

分子配向による効果でゴムの張力の急激な上昇（立ち上がり現象）が起こるが、このこと

７

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

ｆ ０：初

期単

位断

面積

当り

張力

λ：伸び倍率

をＡ型関係式は表現できない。

しかし、このＡ型関係式を使用すると、後述の第２章で示すように、ゴム風船の内圧伸び

測定実験１）で観察された内圧が極大値を示す現象を表現することができる。この内圧が極

大値を示す現象は伸び倍率が比較的小さいところで現れる。しかし、ゴム風船の伸び倍率が

さらに大きくなると一度減少した内圧は再び増加に転じるが、Ａ型関係式はこの現象を表

現できない。

１）安達健、松田和久，「ゴム風船の力学実験」，物理教育Ｖｏｌ．２９ (No.1) p.26-27

（１９８１）

１．２．２ Ｂ形関係式

理想ゴムの統計力学的な考察によると、単位体積の理想ゴムの一次元引張りによるエン

トロピー変化⊿Ｓは（１-２３）式で表されるという。ここで、Ｃは定数、λは一次元引張

りの伸び倍率である。

（１-２３） ⊿Ｓ＝－Ｃ（λ２＋２／λ－３）

単位体積について、理想ゴムの自由エネルギー：Ｆ＝Ｔ⊿Ｓ をλで微分して、初期単位

断面積当りの張力ｆ０、 即ち（１-２４）式を得る。Ｔは絶対温度である。

（１-２４） ｆ０＝－２ＣＴ（λ－１／λ２）

以上の詳細については、久保亮五著「ゴム弾性〔初版復刻版〕」裳華房ｐ．69～85

（１９９６）を参照されたい。

ここで、（１-２４）の右辺に負号が付いているが、これは張力ｆ０が伸び倍率λの増加の

方向と逆向きであること、即ち、一次元引張りの外力Ｆと逆向きの力であることを示してい

る。しかし、張力ｆ０を外力Ｆと逆向きの力であると定義すれば、Ｋを正の定数として（１

-２４）式を書き直し、

（１-２５） ｆ０＝Ｋ（λ－λ－２）

８

となる。（１-２５）式が初期単位断面積当りの張力ｆ０と伸び倍率λの関係式である。これ

をＢ型関係式と呼ぶことにする。Ｂ型と呼ぶのは、他の式との区別する為の名称であり、そ

れ以上の意味は無い。ここで、単位の確認をしておくと、ｆ０は［Ｎ／ｍ２］、λは無次元、

Ｋは［Ｎ／ｍ２］である。

図１.３にＢ型関係式がどの様な形の曲線になるかを示した。この図は前述のＡ型関係式

と曲線の形を比較し易いようにＫの値を設定してあり、張力の値は相対値である。

図１.３をみると、Ｂ型関係式は伸び倍率λの値が大きくなるにつれて、張力の増加率が

Ａ型関係式に比べて大きいことがわかる。それは、λの値が大きくなるにつれて発生する分

子鎖の伸び切りや分子配向の効果が盛り込まれているためと考えられる。一次元引張りで

λ＜４の場合について、Ｂ型関係式は実験に一致するといわれている。しかし、このＢ型関

係式でもλ＞４で現れる張力の立ち上がり現象を表わすことはできない。ゴムの統計力学

的な考察を更に進めて、ゴムの一次元引張試験で起こる張力の立ち上がり現象まで表わす

ことができる理論式も、久保亮五著「ゴム弾性〔初版復刻版〕」裳華房１９９６年 に紹介

されている。

後述の第２章で示すように、このＢ型関係式（１-２５）式を使用してゴム風船の内圧伸

び関係を計算したところ、ゴム風船の内圧伸び測定実験に現れる内圧の極大現象を表現す

ることができなかった。このことは、（１-２５）式をゴム風船のような二次元引張りの計算

に使用するには、伸びに伴うゴムの張力の増加を大きく見積もり過ぎているためと予想さ

れる。即ち、二次元引張りでは、分子鎖の伸び切りや分子配向が張力に及ぼす効果は一次元

引張りより小さく、従って、張力の増加率も小さいためと予想される。

以上のような訳で、二次元引張計算への応用にもっと適した一次元引張力伸び関係式が

必要とされる。

９

１．２．３ Ｃ型関係式

上記のＡ型関係式では、伸びに伴う張力の立ち上がり現象を表現できなかった。そこで、

Ａ形関係式に補正項ａ（λ－１）ｎを加えた（１-２６）式を提案し、これをＣ型関係式とよ

ぶ。Ｃ型と呼ぶのは、前記式と区別する為の名称であり、それ以上の意味は無い。

（１-２６） ｆ０＝Ｋ｛１－λ－１＋ｃ（λ－１）ｎ｝

ここで、ｃは１よりかなり小さい定数、ｎは２以上の整数、Ｋは定数とする。単位の確認を

しておくと、ｆ０は［Ｎ／ｍ２］、λは無次元、ｃは無次元、Ｋは［Ｎ／ｍ２］である。

補正項ｃ（λ－１）ｎの役割は、λの小さいときには補正項ｃ（λ－１）ｎの値を小さく

し、λが大きくなると補正項ｃ（λ－１）ｎの値を大きくしてＡ型関係式よりもｆ０を大き

くすることである。即ち、そのように補正項のｃとｎを適当な値に設定してｆ０の曲線の形

を決めることになる。勿論、ｃ＝０ では、（１-２６）式は（１-２２）式と同じになりＡ

型関係式となる。

また、ｎ＝１の場合には、補正項はｃ（λ－１）となり、これは物理的には（１-１８）

式のフックの法則と同じ意味の項であり、補正項としてＡ型関係式に追加するには不適当

と思われた。更に、ｎ＝１では、大きなλの値における張力の立ち上がり現象を表現できな

い。従って、ｎ＝１は除外した。

本書では取り扱いの容易さから、ｎ＝２またはｎ＝３について考察する。ｎ＝２またはｎ

＝３のどちらが適切かは、以後の考察を考慮しながら、今後の実験結果に合わせてみるより

ない。

ｎ＝４以上については、係数ｃの値との組み合わせで利用の可能性は十分ある。ｎ＝４以

上では急激な張力の立ち上がり現象を表現でき、ｃの値をとても小さくすることで張力の

立ち上がりの位置を遅らせることができそうである。例えば、ＳＢＳブロックポリマーはス

チレン含量が大きくなるとλの大きな位置で張力の立ち上がりが急激になる現象（古川淳

二著 「高分子物性」 化学同人 ｐ.159 １９８５年）がみられるが、これをＣ型関係式

で表現できる可能性もある。しかし、本書ではｎ＝４以上は考察しない。

補正項ｃ（λ－１）ｎの導入が実験結果の表現に役立つのであれば、今後その物理的な意

味を考える必要もあろう。

１０

ここで、ｎ＝２のＣ型関係式の曲線を図１.４に示す。Ｋ＝３とし、細実線で下から順に

ｃ＝0.005から 0.1までの場合を示してある。太実線でｃ＝０の場合（Ａ形関係式）も示し

てある。また、点線でＢ型関係式の曲線も示した。

更に、ｎ＝３のＣ型関係式の曲線を図１.５に示す。Ｋ＝３とし、細実線で下から順にｃ

＝0.0002 から 0.005 までの場合を示してある。太実線でｃ＝０の場合（Ａ型関係式）も示

してある。また、点線でＢ型関係式も示した。

図１．４ ｎ＝２のＣ型関係式と他の関係式の比較

太実線：Ａ型関係式：ｆ０＝Ｋ（１－λ－１）、 Ｋ＝３

細実線：Ｃ型関係式：ｆ０＝Ｋ｛１－λ－１＋ｃ（λ－１）２｝、 Ｋ＝３

ｎ＝２、 下から順にｃ＝0.005、0.01、0.02、0.05、0.1

点線：Ｂ型関係式：ｆ０＝Ｋ（λ－λ－２）、 Ｋ＝１

１１

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

ｆ ０：初

期単

位断

面積

当り

張力

λ：伸び倍率

図１．５ ｎ＝３のＣ型関係式と他の関係式の比較

太実線：Ａ型関係式：ｆ０＝Ｋ（１－λ－１）、 Ｋ＝３

細実線：Ｃ型関係式：ｆ０＝Ｋ｛１－λ－１＋ｃ（λ－１）３｝、 Ｋ＝３

ｎ＝３、下から順にｃ＝0.0002、0.0005、0.001、0.002、0.005

点線：Ｂ型関係式：ｆ０＝Ｋ（λ－λ－２）、 Ｋ＝１

尚、λ＝２５倍までを示したのは、第２章で説明するように、二次元引張りの伸び倍率α

＝５倍の張力は一次元引張りの伸び倍率λ＝２５倍に相当することになるからである。

図１.４と図１.５を見ると、ｃとｎの値を調節することで大きなλの値における張力の

立ち上がり現象を表現できことがわかる。従って、一次元引張試験から得られた実測曲線を

近似できるように、ｃとｎを決定して曲線の形を決め、Ｋの値を調節して、張力の大きさを

合わせて、一次元引張りのＣ型関係式を決めることができる。しかし、本書の目的は

１２

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

ｆ ０：初

期単

位断

面積

当り

張力

λ：伸び倍率

一次元引張りのためのＣ型関係式を決めることよりも、二次元引張りのためのＣ型関係式

を求めることにある。

１．２．４ 一次元引張試験と二次元引張試験の関係について

以上、３種の一次元張力伸び関係式を説明したが、本書では、一次元引張試験から得られ

る実測曲線を表現できるような関係式を見つけることに留まらず、その実測曲線を参考に

して、風船やチューブの力学への応用、即ち二次元引張りの計算に使用できる一次元張力伸

び関係式を見つけることが目的である。

何故なら、１．２．２のＢ型関係式のところで説明したように、一次元引張試験の実測曲

線に一致する関係式が見つけられても、その式を使用して風船やチューブの内圧伸び測定

実験結果をうまく表現できるとは限らないからである。

そこで、考えられるひとつの検討方法を述べる。まず、対象となるエラストマー材料の一

次元引張試験から得られる実測曲線の形に合わせてＣ型関係式を決定する。即ち、Ｃ型関係

式の一次元引張り用係数Ｋ、ｃ、ｎを決定する。（本書では、ｎ＝２とｎ＝３について述べ

たが、それ以外のｎを否定するものではない。）

次に、このＣ型関係式を使用して、同じ材料から作られている風船やチューブの内圧伸び

計算を本書で後述する方法で行う。それを、この風船やチューブの内圧伸び実測値と比較し、

その実測値に一致するようにＫ、ｃ、ｎの値を調整し、この実測値に合わせたＣ型関係式の

二次元引張り用係数Ｋ２、ｃ２、ｎ２を決定する。

この様な一次元引張試験と風船やチューブの内圧伸び試験（二次元引張試験）の比較を多

数行い、一次元引張り用係数Ｋ、ｃ、ｎと二次元引張り用係数Ｋ２、ｃ２、ｎ２の関係を知

ることができれば、一次元引張試験の実測曲線から二次元引張り計算用のＣ型関係式を得

ることが期待できる。

現在、一次元引張試験はＪＩＳなどに規格化されており、容易に実施できるが、二次元引

張試験（例えば、風船やチューブの内圧伸び測定試験）はまだ規格化された試験方法がない

状況である。従って、二次元引張試験が規格化されて、二次元引張り計算用の張力伸び関係

式を知ることが今後の課題になろう。

１３

第２章 ゴム風船１層計算法

２．１ 風船１層計算法関係式の導出

ゴム風船の内圧伸び計算について、肉厚を１層として考える計算法を１層計算法と呼ぶ。

これは風船の内面側と外面側との伸びを同じであると考える方法である。実際には、風船の

外面側の伸びは内面側の伸びより小さいのであるが、肉厚が十分薄い場合、即ち、肉厚が風

船の径に比べて十分小さい（普通の風船はそうである）場合には、内外面の伸びの差は無視

でき、１層として考える事ができる。

ゴム風船の構造を図２．１に示す。肉厚は誇張してある。まず、ゴム風船の初期状態を（２

-１）～（２-４）式で表わす。

（２-１） 内半径＝Ｒ０

（２-２） 外半径＝Ｒ０ｔ０ ただし、ｔ０＝外径／内径

（２-３） 肉厚倍率＝ｔ０－1

（２-４） 肉厚＝Ｔ０＝Ｒ０（ｔ０－1）

外径と内径の比ｔ０を導入し、内径のｔ０倍が外径になるようにした。

図２．１

１４

このゴム風船に内圧Ｐ（内圧Ｐとは、大気圧からの増加圧力である）が作用し、内半径Ｒ

０がα倍に膨らんだとする。このとき、ゴム風船の肉厚部の内面も円周方向にα倍に引き伸

ばされている。内外面の伸びの差は無視でき、外面もα倍に引き伸ばされているとする。ま

た、風船は球状であり、伸びは方向に寄らない（等方性である）とし、直交するｘｙどちら

の円周方向にもα倍に引き伸ばされているとする。ここで、αは見掛けの伸び倍率、即ち二

次元伸び倍率である。以上のことを考慮して、内圧Ｐが風船におよぼす作用力と、風船の肉

厚部の伸びによって生じる張力との釣り合いを考える。

まず、内圧Ｐが風船におよぼす作用力ＦＰは、風船の中心を通る風船内の断面積と内圧Ｐ

の積であり、（２-５）式で表される。

（２-５） ＦＰ＝πＲ０２α２Ｐ

次に、風船の肉厚部の伸びによって生じる張力ＦＴは初期断面積Ｓ０と風船のゴム材料の

初期単位断面積当りの張力ｆ０の積であり、Ｓ０＝πＲ０２（ｔ０２－１）だから、（２-６）式

で表される。

（２-６） ＦＴ＝Ｓ０ｆ０＝πＲ０２（ｔ０２－１）ｆ０

作用力ＦＰと張力ＦＴが釣り合うという条件 ＦＰ＝ＦＴ より

（２-７） α２Ｐ＝（ｔ０２－１）ｆ０

となる。（２-７）式がゴム風船の肉厚を１層で考える内圧伸び関係式である。

次に、風船のゴム材料の初期単位断面積当りの張力ｆ０として、どの様な関係式を使用す

れば良いかが問題になる。そこで、１．２で説明したように、Ａ型関係式、Ｂ型関係式、Ｃ

型関係式の順に考察してみる。

２．２ Ａ型関係式使用

ここで、（２-７）式に使用する張力ｆ０についてはＡ型関係式（１-２２）式を選択する。

（１-２２）式を（２-７）式に代入すると

１５

（２-８） α２Ｐ＝（ｔ０２－１）Ｋ（１－λ－１）

となる。ここで、伸び倍率αは二次元伸び倍率であり、風船の見掛けの伸び倍率である。伸

び倍率λは一次元伸び倍率であるから、二次元伸び倍率に変換する。αとλの関係は（１-

１３）式で表される。また、風船は球状であり、伸びは方向に寄らない（等方性である）と

すると、 λＸ＝λＹ＝λ であるから（１-１３）式は

（２-９） α＝ＡＸＹ／Ａ０＝λＸλＹ－１/２＝λ１/２ 従って、 α２＝λ

となる。α２＝λ を（２-８）式に代入し、αについて整理すると

（２-１０） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）（α－２－α－４）

となる。以上が内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係式である。ここで単位を確認してみると、

Ｐは［Ｐａ］即ち［Ｎ／ｍ２］であり、Ｋは［Ｎ／ｍ２］、ｔ０とαは無次元である。

更に、（２-１０）式をαで微分すると、次式になる。

（２-１１） Ｐ′＝Ｋ（ｔ０２－１）（－２α－３＋４α－５）

この式の右辺を零にする（Ｐ′＝０にする）αを求めると、α＝２１/２ となり、内圧Ｐは

α＝２１/２のとき極大値をもつ（何故なら、α＜２１/２でＰ′＞０、α＞２１/２でＰ′＜０）

ことがわかる。

（２-１０）式が示す内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係を計算し、α＝5.5 までの計算結

果を図２．２に示す。風船の肉厚は内半径の５％（ｔ０＝1.05）である。この図では後述す

るＢ形関係式使用の場合と曲線の形を比較し易いようにＫの値を設定してあり、内圧Ｐの

値は相対値である。風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係（曲線の形）について、αが 1.4

程度で内圧Ｐが極大値をもつことは、実験結果１）ともほぼ一致している。しかし、α＞４に

おける内圧Ｐの増加現象を（２-１０）式では表せていない。

１）安達健、松田和久，「ゴム風船の力学実験」，物理教育Ｖｏｌ．２９ (No.1) pp.26-27

（１９８１）

１６

図２．２ ゴム風船の１層計算法（１）

太実線：Ａ型関係式（２-１０）使用：Ｋ＝100、ｔ０＝1.05

細実線：Ｂ型関係式（２-１３）使用：Ｋ＝33、 ｔ０＝1.05

２．３ Ｂ型関係式使用

Ｂ型関係式は１．２．２で説明した（１-２５）式であり、理想ゴムの一次元引張りによ

るエントロピー変化から考えられたものである。（１-２５）式を（２-７）式に代入すると

（２-１２） α２Ｐ＝（ｔ０２－１）Ｋ（λ－λ－２）

となる。ここで、上記と同じく、（２-９）式の α２＝λ を用いて（２-１２）式のλをα

に変換し、αについて整理すると

１７

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0 1 2 3 4 5

Ｐ：風

船の

内圧

α：伸び倍率

（２-１３） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）（１－α－６）

となる。これが風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係式である。

さらに、（２-１３）式をαで微分してみると、次式になる。

（２-１４） Ｐ′＝Ｋ（ｔ０２－１）６α－７

この式は、右辺を零にするαを持たない。即ち、内圧Ｐは極大値を持たない。これは前述の

実験結果１）と一致しない。図２．２に（２-１３）式の計算結果を示す。曲線の形を比較し

易い様にＫの値を調整してある。１．２．２で説明したように、Ｂ型関係式は、λの値が大

きくなるにつれて伸び方向への分子鎖の伸び切りや分子配向の効果を盛り込んであるので、

張力の増加率がＡ形関係式より大きい。そのため、Ｂ型関係式をゴム風船のような二次元引

張りに使用しても、ゴム風船の内圧Ｐの極大値を表せない。

２．４ Ｃ型関係式使用

Ｃ型関係式とは１．２．３で説明した（１-２６）式であり、Ａ型関係式に補正項を加え

たものである。

まず、ｎ＝２のＣ型関係式（１-２６）式を（２-７）に代入すると（２-１５）式になる。

（２-１５） α２Ｐ＝（ｔ０２－１）Ｋ｛１－λ－１＋ｃ（λ－１）２｝

ここで、（２-９）式の α２＝λ を用いて（２-１５）式のλをαに変換し、αについて整

理すると

（２-１６） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）α－２｛１－α－２＋ｃ（α２－１）２｝

となる。これがｎ＝２のＣ型関係式を使用した風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係式

である。

（２-１６）式が示す風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係を計算し、α＝5.5 までの

計算結果を図２．３に示す。

１８

図２．３ ゴム風船の１層計算法（２）

太実線：Ａ型関係式使用：Ｋ＝100、 ｔ０＝1.05

細実線：Ｃ型関係式使用：Ｋ＝100、 ｔ０＝1.05、 ｎ＝２、

下から順にｃ＝0.005、0.01、0.02、0.03、0.05

次に、ｎ＝３のＣ型関係式（１-２６）式を（２-７）に代入し、α２＝λ を用いてλを

αに変換し、αについて整理すると

（２-１７） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）α－２｛１－α－２＋ｃ（α２－１）３｝

となる。これがｎ＝３のＣ型関係式を使用した風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係式

である。

（２-１７）式が示す風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係を計算し、α＝5.5 までの

計算結果を図２．４に示す。

１９

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0 1 2 3 4 5

Ｐ：風

船の

内圧

α：伸び倍率

図２．４ ゴム風船の１層計算法（３）

太実線：Ａ型関係式使用：Ｋ＝100、 ｔ０＝1.05

細実線：Ｃ型関係式使用：Ｋ＝100、 ｔ０＝1.05、 ｎ＝３、

下から順にｃ＝0.0001、0.0002、0.0005、0.001、0.003、0.01、0.02

細点線：Ｃ型関係式使用：Ｋ＝100、 ｔ０＝1.05、 ｃ＝0.005、 ｎ＝２、

（即ち、図２．３の細実線の最下位の曲線を比較として示した）

図２．３と図２．４を見ると、Ｃ型関係式の使用でｎ＝２の場合もｎ＝３の場合も、ｃの

値を適切に選ぶことで、風船の内圧Ｐと二次元伸び倍率αの関係（曲線の形）を調節で

き、前記実験結果１）ともほぼ一致させることができそうである。

そこで、前記実験結果１）と類似している曲線として、図２．３の細実線曲線の下から１番

目、および図２．４の細実線曲線の下から２番目を選択する。そして、これ以後の計算

２０

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0 1 2 3 4 5

Ｐ：風

船の

内圧

α：伸び倍率

では、この２曲線を基準とする。即ち、それぞれ、ｎ＝２の場合ｃ＝0.005、ｎ＝３の場合

ｃ＝0.0002 とし、Ｃ型関係式では次の２式を使用基準とする。Ｋについては、実測の内圧

に合わせて決めることになるが、本書ではＫ＝100 として計算し比較する。

（２-１８） ｆ０＝Ｋ｛１－λ－１＋0.005（λ－１）２｝

（２-１９） ｆ０＝Ｋ｛１－λ－１＋0.0002（λ－１）３｝

以上は、肉厚についてｔ０＝1.05の場合に限って考察したが、もっと大きなｔ０について

は、第３章ゴムボール２層計算法で考察する。

当然のことであるが、もし、別の実験で得られるゴム風船の内圧伸び実測曲線と一致する

ように、別のｎとｃとＫが決定できると、別のＣ型関係式が決定できる。この決定されたＣ

型関係式は、それと同じ材料からなるが内径や肉厚の異なる他の風船の圧力伸び計算に利

用することができるだろう。

１）安達健、松田和久，「ゴム風船の力学実験」，物理教育Ｖｏｌ．２９ (No.1) pp.26-27

（１９８１）

２１

第 3章 ゴムボール２層計算法

３．１ ゴムボール２層計算法関係式の導出

ここでは肉厚ゴム風船というよりゴムボールというべきかも知れないのでゴムボールと

呼ぶことにする。肉厚を２層として考える計算法を２層計算法と呼ぶ。肉厚が風船に比べて

厚い場合、即ち、ゴムボールのような場合は、外面側の伸びは内面側より小さく、張力も小

さいはずである。２層計算法はその伸びの違いを考慮するためである。

ゴムボールの構造を図３．１に示す。２層に分割して考え、内側から、第１層、第２層と

する。まず、このゴムボールの初期状態を以下の（３-１）～（３-１２）式で表わす。

図３．１

ゴムボールの全体について

（３-１） 内半径＝Ｒ０

（３-２） 外半径＝Ｒ０ｔ０Ｔ＝Ｒ０ｔ０２ ただし、ｔ０Ｔ＝外径／内径＝ｔ０２

（３-３） 全肉厚倍率＝ｔ０Ｔ－1＝ｔ０２－1

（３-４） 全肉厚＝Ｔ０Ｔ＝Ｒ０（ｔ０Ｔ－1）＝Ｒ０（ｔ０２－1）

２２

第１層について

（３-５） 第１層内半径＝Ｒ０

（３-６） 第１層外半径＝Ｒ０ｔ０ ただし、ｔ０＝第１層外径／第１層内径

（３-７） 第１層肉厚倍率＝ｔ０－1＝ｔ０Ｔ1/2－1

（３-８） 第１層肉厚＝Ｔ０１＝Ｒ０（ｔ０－1）

第２層について

（３-９） 第２層内半径＝Ｒ０ｔ０

（３-１０） 第２層外半径＝Ｒ０ｔ０２ ただし、ｔ０＝第２層外径／第２層内径

（３-１１） 第２層肉厚倍率＝ｔ０－1＝ｔ０Ｔ1/2－1

（３-１２） 第２層肉厚＝Ｔ０２＝Ｒ０ｔ０（ｔ０－1）

肉厚を２層に分割する場合、どの層でも、その層の内径のｔ０倍が外径になるようにした。

従って、外側の層が内側の層より大きな肉厚になる。また、近似計算の都合上、同じ層内で

は同じ伸び倍率の変形になり、層の境目は摩擦無しにズレが発生すると見なす。

このゴムボールに内圧Ｐ（内圧Ｐとは、大気圧からの増加圧力である）が作用し、内半径

Ｒ０がα１倍に膨らんだとする。このとき、内面（第１層内面）の伸び倍率もα１倍である。

そして、外面（第２層外面）の伸び倍率はα２倍になるとする。「ゴム材料の体積変化無し」

という条件から、α１とα２の関係が求められる。即ち、

（４／３）π（Ｒ０ｔ０２）３－（４／３）πＲ０３

＝（４／３）π（Ｒ０ｔ０２α２）３－（４／３）π（Ｒ０α１）３

であるから、α１とα２の関係を求めると（３-１３）～（３-１５）式になる。

（３-１３） （α１３－１）／（α２３－１）＝ｔ０６

（３-１４） α１＝｛ｔ０６（α２３－１）＋１｝１/３

（３-１５） α２＝｛ｔ０－６（α１３－１）＋１｝１/３

（３-１３）式はｔ０＞１だからα２＜α１であることを示す式であり、（３-１４）式はα２

からα１を求める式である。また、（３-１５）式はα１からα２を求める式である。α１と

２３

α２は二次元伸び倍率である。以上のことを考慮して、内圧Ｐがボールにおよぼす作用力と、

ボールの肉厚部の伸びによって生じる張力との釣り合いを考える。内圧Ｐとは、大気圧から

の増加圧力である。

まず、内圧Ｐがボールにおよぼす作用力ＦＰは、ボールの中心を通る平面に現れるボール

内の断面積と内圧Ｐの積であり、（３-１６）式で表される。

（３-１６） ＦＰ＝πＲ０２α１２Ｐ

次に、ボールの肉厚部の伸びによって生じる張力を考える。

第１層の張力ＦＴ１はボール肉厚部の初期断面積Ｓ０１とゴム材料の初期単位断面積当りの張

力ｆ０１の積であり、Ｓ０１＝πＲ０２（ｔ０２－１）だから、（３-１７）式で表される。

（３-１７） ＦＴ１＝Ｓ０１ｆ０１＝πＲ０２（ｔ０２－１）ｆ０１

更に、第２層の張力ＦＴ２は同様に初期断面積Ｓ０２とゴム材料の初期単位断面積当りの張力

ｆ０２の積であり、Ｓ０２＝πＲ０２ｔ０２（ｔ０２－１）だから、（３-１８）式で表される。

（３-１８） ＦＴ２＝Ｓ０２ｆ０２＝πＲ０２ｔ０２（ｔ０２－１）ｆ０２

従って、作用力と張力が釣り合うという条件 ＦＰ＝ＦＴ１＋ＦＴ２ より

（３-１９） α１２Ｐ＝（ｔ０２－１）ｆ０１＋ｔ０２（ｔ０２－１）ｆ０２

となる。（３-１９）式が肉厚を２層として考える計算法（２層計算法）の関係式である。

３．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用

ここで、（３-１９）式に使用する張力ｆ０１とｆ０２について、第２章ゴム風船の１層計算

法で実験結果をほぼ表現できたＣ型関係式（１-２６）式を使用する。

まず、ｎ＝２のＣ型関係式で第１層と第２層に対応する式は以下のとおりである。

２４

（３-２０） ｆ０１＝Ｋ｛１－λ１－１＋ｃ（λ１－１）２｝

（３-２１） ｆ０２＝Ｋ｛１－λ２－１＋ｃ（λ２－１）２｝

これらの式を（３-１９）式に代入する。ただし、伸び倍率λを二次元伸び倍率に変換しな

ければならない。αとλの関係は、（２-９）式より、α１２＝λ１、α２２＝λ２ であるから

λをαに変換し、内圧Ｐを求めると、

（３-２２） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）α１－２［ １－α１－２＋ｃ（α１２－１）２

＋ｔ０２｛１－α２－２＋ｃ（α２２－１）２｝ ］

但し（３-１５）式より α２＝｛ｔ０－６（α１３－１）＋１｝１/３

となる。（３-２２）式が、ｎ＝２のＣ型関係式（１-２６）式を使用し、肉厚を２層として

考える内圧伸び関係式である。

（３-２２）式が示すボール内圧Ｐと内面の伸び倍率α１および外面の伸び倍率α２の関係

を計算し、α１＝１～７までの計算結果を図３．２に示す。Ｃ型関係式でＫ＝100、ｃ＝0.005、

ｎ＝２とし、肉厚条件をｔ０Ｔ＝ｔ０２＝1.10、1.20、1.50、2.00 として計算した。即ち、

肉厚が内半径の１０％、２０％、５０％、１００％の場合に相当する。内圧Ｐは相対値であ

る。内圧Ｐが同じ極大値を示している細実線と太実線が比較すべきα１とα２の曲線対であ

る。

図３．２をみると、肉厚が厚くなるほど外面の伸び倍率α２は内面の伸び倍率α１に比べ

て小さな伸びになることが分かる。α１＝７倍までの計算結果を示してある。これに対応し

たα２は、ｔ０２＝1.10（肉厚が内半径の１０％）でα２＝6.4 倍程度と大きな差はないが、

ｔ０２＝2.00（肉厚が内半径の１００％）ではα２＝3.5倍程度に小さくなってしまう。

通常の内圧伸び測定実験では内面の伸び倍率α１を測定するのは難しいので、外面の伸び

倍率α２を測定することになる。つまり、図３．２の太実線を測定することになる。従って、

肉厚が厚くなる場合は、内面の伸び倍率α１を推定することが大切になろう。

次に、２層計算法（３-２２）式と１層計算法（２-１６）式の比較を図３．３に示す。

この図には、肉厚条件を同じにしてボールを２層計算法で計算した場合と１層計算法で計

算した場合の比較を示した。勿論、他の条件Ｋ、ｃ、ｎも同じにした。内圧Ｐは相対値であ

る。図３．３をみると、ボールの肉厚が内半径の５％（１層計算法でｔ０＝1.05、２層計算

２５

図３．２ ２層計算法の結果

２層計算（３－２２）式 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

細実線：内圧Ｐと内面の伸び倍率α１の関係

太実線：内圧Ｐと外面の伸び倍率α２の関係

肉厚条件は下から ｔ０Ｔ＝ｔ０２＝1.10、 1.20、 1.50、 2.00

即ち、ｔ０＝1.0488、1.0954、1.2247、1.4142

２６

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7

Ｐ：ボ

ール

の内

圧

α1：内面伸び倍率 α2：外面伸び倍率

図３．３ ２層計算法と１層計算法の比較

実線：２層計算法のα２とＰの関係 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

肉厚条件は下から ｔ０Ｔ＝ｔ０２＝1.05、 1.10、 1.20、 1.50

即ち、ｔ０＝1.0247、1.0488、1.0954、1.2247

点線：１層計算法のαとＰの関係 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

肉厚条件は下から ｔ０＝1.05、 1.10、 1.20、 1.50

法でｔ０＝1.0247）では両者はほとんど一致している（図３．３の最下位の実線と点線）。し

かし、肉厚が増すにつれて１層計算の方が大きな内圧を示し、肉厚が内半径の５０％（１層

計算法でｔ０＝1.50、２層計算法でｔ０＝1.2247）では、内圧の極大値で１層計算法は２層

計算法の１．４倍程大きく計算している（図３．３の最上位の実線と点線）。これは、肉厚

にもかかわらず、１層計算法では内外面を同じ伸び倍率で計算しているからであろう。

２７

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7

Ｐ：ボ

ール

の内

圧

α：１層計算伸び倍率, α2：２層計算外面伸び倍率

どの辺の肉厚から、２層計算とすべきかの判断が必要である。肉厚が内半径の５％（１層計

算でｔ０＝1.05、２層計算でｔ０＝1.0247）を越える場合は、２層計算法が適していると考

える。

３．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用

次に、ｎ＝３のＣ型関係式（１-２６）式を使用する場合の考察をする。

ｎ＝３のＣ型関係式で第１層、第２層に対応する式は以下のとおりである。

（３-２３） ｆ０１＝Ｋ｛１－λ１－１＋ｃ（λ１－１）３｝

（３-２４） ｆ０２＝Ｋ｛１－λ２－１＋ｃ（λ２－１）３｝

これらの式を（３-１９）式に代入する。λは一次元伸び倍率であるから、二次元伸び倍率

に変換しなければならない。（２-９）式より、α１２＝λ１、α２２＝λ２ であるからλをα

に変換し、内圧Ｐを求めると、

（３-２５） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）α１－２［ １－α１－２＋ｃ（α１２－１）３

＋ｔ０２｛１－α２－２＋ｃ（α２２－１）３｝ ］

但し（３-１５）式より α２＝｛ｔ０－６（α１３－１）＋１｝１/３

となる。（３-２５）式が、ｎ＝３のＣ型関係式（１-２６）式を使用し、肉厚を２層として

考える内圧伸び関係式である。

（３-２５）式が示すボールの内圧Ｐと内面の伸び倍率α１の関係を計算し、α１＝７まで

の計算を行った。その結果を図３．４に示す。ただし、この図には内圧Ｐと外面の伸び倍率

α２の関係を示した。何故なら、測定実験ではα１よりα２が測定されるだろうからである。

α１よりα２は小さいのでα２は７まで達していない。さらに、ｎ＝２のＣ型関係式を使用し

た（３-２２）式の計算結果も同時に示す。この場合も内圧Ｐと外面の伸び倍率α２の関係を

示す。

図３．４を見るに、それぞれの肉厚のものについて、内圧Ｐの極大値まではほとんど同じ

曲線を示すが、その後の内圧Ｐの値はｎ＝３の方の減少割合がやや大きく（谷が深くな

２８

図３．４ ２層計算法におけるｎ＝２とｎ＝３のＣ型関係式使用の比較

細実線：（３－２２）式使用 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

太実線：（３－２５）式使用 Ｋ＝100、ｃ＝0.0002、ｎ＝３

肉厚条件は下から ｔ０Ｔ＝ｔ０２＝1.05、 1.10、 1.20、 1.50、 2.00

即ち、ｔ０＝1.0247、1.0488、1.0954、1.2247、1.4142

り）、さらにその後の内圧Ｐの増加割合も大きくなって立ち上がりが早いことが分かる。こ

れはｎが大きくなり、ｃが小さくなっているからであろう。Ｃ形関係式でｎ＝２とｎ＝３の

どちらを選択するかは、実験結果に合わせることになろう。

２９

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 1 2 3 4 5 6 7

Ｐ：ボ

ール

の内

圧

α２：外面伸び倍率

第４章 ゴムボール４層計算法

４．１ ゴムボール４層計算法関係式の導出

ゴムボールの肉厚を４層として考える。前章で肉厚を２層として考えたとき、肉厚が厚く

なる場合は外面側の伸びは内面側より随分小さくなった。従って、更に計算の精度をあげる

ため、４層計算法を検討してみる。

ゴムボールの構造を図４．１に示す。４層に分割して考え、内側から、第１層、第２層、

第３層、第４層とする。まず、このゴムボールの初期状態を表４．１のように表す。

図４．１

表４．１ ゴムボールの初期状態

内半径 外半径 肉厚

第１層 Ｒ０ Ｒ０ｔ０ Ｒ０（ｔ０－1）

第２層 Ｒ０ｔ０ Ｒ０ｔ０２ Ｒ０ｔ０（ｔ０－1）

第３層 Ｒ０ｔ０２ Ｒ０ｔ０３ Ｒ０ｔ０２（ｔ０－1）

第４層 Ｒ０ｔ０３ Ｒ０ｔ０４ Ｒ０ｔ０３（ｔ０－1）

全層 Ｒ０ Ｒ０ｔ０Ｔ, ｔ０Ｔ＝ｔ０４ Ｒ０（ｔ０Ｔ－1）

３０

肉厚を４層に分割する場合、どの層でも、その層の内径のｔ０倍が外径になるようにした。

従って、外側の層が内側の層より大きな肉厚になる。

このゴムボールに内圧Ｐが作用し、内半径Ｒ０がα１倍に膨らんだとする。このとき、第

１層の伸び倍率はどこもα１倍であるとする。次に、第２層と第３層ではどこも同じ伸び倍

率α２になるとする。さらに、第４層の伸び倍率はどこもα３倍になるとする。また、伸び倍

率の異なる層の境目は摩擦無しにズレが発生すると見なす。伸び倍率から見ると、３層計算

のようであるが、計算上４層に分けるので、４層計算と呼ぶ。

α１が決まると、「ゴム材料の体積変化無し」という条件から、α１とα２およびα３の関係

が求められる。この場合、α２は第２層と第３層の境目の伸び倍率、α３は第４層の外面の

伸び倍率とする。まず、α２とα１の関係を求めると、以下のようになる。

（４／３）π（Ｒ０ｔ０２）３－（４／３）πＲ０３

＝（４／３）π（Ｒ０ｔ０２α２）３－（４／３）π（Ｒ０α１）３

であるから、α１とα２の関係を求めると（４-１）～（４-３）式になる。これは３．１で求

めた（３-１３）～（３-１５）式と同じである。

（４-１） （α１３－１）／（α２３－１）＝ｔ０６

（４-２） α１＝｛ｔ０６（α２３－１）＋１｝１/３

（４-３） α２＝｛ｔ０－６（α１３－１）＋１｝１/３

次に、α３とα１の関係を求めると、以下のようになる。

（４／３）π（Ｒ０ｔ０４）３－（４／３）πＲ０３

＝（４／３）π（Ｒ０ｔ０４α３）３－（４／３）π（Ｒ０α１）３

であるから、α１とα３の関係を求めると（４-４）～（４-６）式になる。これも当然のこと

であるがｔ０６がｔ０１２に変わるだけで（４-１）～（４-３）とおなじ形である。

（４-４） （α１３－１）／（α３３－１）＝ｔ０１２

（４-５） α１＝｛ｔ０１２（α３３－１）＋１｝１/３

（４-６） α３＝｛ｔ０－１２（α１３－１）＋１｝１/３

３１

α１とα２とα３は二次元伸び倍率である。

以上のことを考慮して、内圧Ｐがゴムボールにおよぼす作用力と、肉厚部の伸びによって

生じる張力との釣り合いを考える。内圧Ｐとは、大気圧からの増加圧力である。

まず、内圧Ｐによる作用力ＦＰは、ボールの中心を通る平面に現れるボール内の断面積と内

圧Ｐの積であり、（４-７）式で表される。

（４-７） ＦＰ＝πＲ０２α１２Ｐ

次に、ボール肉厚部の伸びによって生じる張力を考える。

第１層の張力ＦＴ１は、ボール肉厚部の初期断面積Ｓ０１とゴム材料の初期単位断面積当りの

張力ｆ０１の積であり、Ｓ０１＝πＲ０２（ｔ０２－１）だから、（４-８）式で表される。

（４-８） ＦＴ１＝Ｓ０１ｆ０１＝πＲ０２（ｔ０２－１）ｆ０１

第２層と第３層を合わせた張力ＦＴ２は、同様に初期断面積Ｓ０２とゴム材料の初期単位断面

積当りの張力ｆ０２の積であり、Ｓ０２＝πＲ０２ｔ０２（ｔ０４－１）だから、（４-９）式で表さ

れる。

（４-９） ＦＴ２＝Ｓ０２ｆ０２＝πＲ０２ｔ０２（ｔ０４－１）ｆ０２

第４層の張力ＦＴ３は同様に初期断面積Ｓ０３とゴム材料の初期単位断面積当りの張力ｆ０３

の積であり、Ｓ０３＝πＲ０２ｔ０６（ｔ０２－１）だから、（４-１０）式で表される。

（４-１０） ＦＴ３＝Ｓ０３ｆ０３＝πＲ０２ｔ０６（ｔ０２－１）ｆ０３

従って、作用力と張力が釣り合うという条件 ＦＰ＝ＦＴ１＋ＦＴ２＋ＦＴ３ より

（４-１１）

α１２Ｐ＝（ｔ０２－１）ｆ０１＋ｔ０２（ｔ０４－１）ｆ０２＋ｔ０６（ｔ０２－１）ｆ０３

となる。（４-１１）式がゴムボールの肉厚を４層で考える内圧伸び関係式である。

３２

４．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用

ここで、（４-１１）式に使用する張力ｆ０１とｆ０２とｆ０３について、ｎ＝２のＣ型関係式

（１-２６）式を使用する。

まず、ｎ＝２のＣ型関係式で各層に対応する式は以下のとおりである。

（４-１２） ｆ０１＝Ｋ｛１－λ１－１＋ｃ（λ１－１）２｝

（４-１３） ｆ０２＝Ｋ｛１－λ２－１＋ｃ（λ２－１）２｝

（４-１４） ｆ０３＝Ｋ｛１－λ３－１＋ｃ（λ３－１）２｝

この式を（４-１１）式に代入する。ただし、伸び倍率λは一次元伸び倍率であるから、二

次元伸び倍率に変換しなければならない。（２-９）式より、αｉ２＝λｉ、ｉ＝１，２，３で

あるからλｉをαｉに変換し、内圧Ｐを求めると、

（４-１５） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）α１－２［ １－α１－２＋ｃ（α１２－１）２

＋ｔ０２（ｔ０２＋１）｛１－α２－２＋ｃ（α２２－１）２｝

＋ｔ０６｛１－α３－２＋ｃ（α３２－１）２｝ ］

但し（４-３）式より α２＝｛ｔ０－６（α１３－１）＋１｝１/３

（４-６）式より α３＝｛ｔ０－１２（α１３－１）＋１｝１/３

となる。（４-１５）式がｎ＝２のＣ型関係式を使用し肉厚を４層として考える内圧伸び関

係式である。

（４-１５）式が示すボールの内圧Ｐの計算を行った。まず、α１を設定し、このα１を（４

-３）式と（４-６）式に代入してα２とα３を求め、これらを（４-１５）式に代入して内圧

Ｐを求めた。その結果を図４．２に実線で示す。ただし、図に示したのは、α３とＰの関係

である。α３とＰが測定容易だからである。計算範囲はα１＝1～7とした。

さらに、図４．２には、比較のため第３章で述べた２層計算法の結果を点線で示す。この

２層計算法の計算範囲はα１＝1～7.5とした。勿論、肉厚条件ｔ０Ｔ、他の条件Ｋ、ｃ、ｎを

同じにした。ボールの内圧Ｐは相対値である。

図４．２をみると、ボールの初期肉厚が内半径の２０％（ｔ０Ｔ＝1.20）までは４層計算と

２層計算はほとんど一致している（図４．２の下から２番目までの実線と点線）。しかし、

３３

図４．２ ４層計算法と２層計算法の比較（ｎ＝２のＣ型関係式使用）

実線：４層計算法のα３とＰの関係 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

肉厚条件は下から ｔ０Ｔ＝ｔ０４＝1.10、 1.20、 1.50、 2.00

即ち、ｔ０＝1.0241、 1.0466、 1.1067、 1.1892

点線：２層計算法のα２とＰの関係 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

肉厚条件は下から ｔ０Ｔ＝ｔ０２＝1.10、 1.20、 1.50、 2.00

即ち、ｔ０＝1.0488、 1.0954、 1.2247、 1.4142

３４

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7

Ｐ：ボ

ール

の内

圧

α2：２層計算外面伸び倍率 α3：４層計算外面伸び倍率

初期肉厚が内半径の５０％（ｔ０Ｔ＝1.50）になると、４層計算の方が極大値でわずかに大

きな内圧を示すようになり、その後の極小値では２層計算の方が少し大きな内圧を示す。さ

らに、初期肉厚が内半径の１００％（ｔ０Ｔ＝2.00）になると、そのズレはもう少し大きくな

る。従って、初期肉厚が内半径の５０％（ｔ０Ｔ＝1.50）までは、４層計算をするまでもない

ようである。それ以上の肉厚の場合に４層計算をすべきかどうか判断すればよいだろう。

また、（４-１５）式について、４層計算の場合の各層が内圧をどのように分配して支えて

いるかを図４．３に示す。例として、初期肉厚が内半径の１００％（ｔ０Ｔ＝2.00）の場合を

示す。伸び倍率は、α１＝1～7に統一して示した。

図４．３をみるに、各層は内圧の極大値を示す辺りでほぼ４分の１ずつを分担して支えて

いるようである。第２層と第３層は一緒になっているので、これでほぼ２分の１である。図

では、すべての層について伸び倍率α１に対応させて示しているので、第２～４層の伸びは

実際にはα１より小さい。特に、第４層の伸びは第１層の伸びより小さいが、同じ程度の内

圧を分担しているのは、表４．１から分かるように、第４層は第１層のｔ０３＝1.1892３＝1.68

倍の肉厚になっているからである。

３５

図４．３ ４層計算法における各層の内圧分担

太実線：４層計算（４－１５）式使用の全内圧Ｐ

条件はＫ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

肉厚は ｔ０Ｔ＝ｔ０４＝2.00、即ち、ｔ０＝1.1892

細実線：第１層（内層）

鎖線： 第２層と第３層（中間層）

点線： 第４層（外層）

下からの３曲線の和が太実線の全内圧Ｐになる

３６

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7

Ｐ：ボ

ール

の内

圧

α1：内面伸び倍率

４．３ ｎ＝３のＣ型関係式使用

次に、ｎ＝３のＣ型関係式（１-２６）式を使用する場合の考察をする。

第１層、第２層に対応したｎ＝３のＣ型関係式は以下のとおりである。

（４-１６） ｆ０１＝Ｋ｛１－λ１－１＋ｃ（λ１－１）３｝

（４-１７） ｆ０２＝Ｋ｛１－λ２－１＋ｃ（λ２－１）３｝

（４-１８） ｆ０３＝Ｋ｛１－λ３－１＋ｃ（λ３－１）３｝

この式を（４-１１）式に代入する。ただし、伸び倍率λは一次元伸び倍率であるから、二

次元伸び倍率に変換しなければならない。（２-９）式より、αｉ２＝λｉｉ＝１，２，３であ

るからλｉをαｉに変換し、内圧Ｐを求めると、

（４-１９） Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）α１－２［ １－α１－２＋ｃ（α１２－１）３

＋ｔ０２（ｔ０２＋１）｛１－α２－２＋ｃ（α２２－１）３｝

＋ｔ０６｛１－α３－２＋ｃ（α３２－１）３｝ ］

但し（４-３）式より α２＝｛ｔ０－６（α１３－１）＋１｝１/３

（４-６）式より α３＝｛ｔ０－１２（α１３－１）＋１｝１/３

となる。（４-１９）式がｎ＝３のＣ型関係式を使用し肉厚を４層として考える内圧伸び関

係式である。

（４-１９）式が示すボールの内圧Ｐの計算を行った。α１＝１～７の範囲でα２とα３を

求め、これらを（４-１９）式に代入して内圧Ｐを求めた。その結果を図４．４に太実線で

示す。ただし、図に示したのは、α３とＰの関係である。α３とＰが測定容易だからである。

また、この図には、ｎ＝２のＣ型関係式使用（４-１５）式から計算したα３とＰの結果を比

較できるように示した。即ち、図４．２の実線の曲線を図４．４には細実線で示した。

図４．４を見ると、第３章の図３．４に示した２層計算法におけるｎ＝２とｎ＝３の比較

に良く似た傾向を示しており、同様の考察が可能である。

従って、４層計算法を使用することになった場合、Ｃ型関係式でｎ＝２とｎ＝３のどちら

を選択するかは、実験結果を良く考察してから決めることになろう。

３７

図４．４ ４層計算法におけるｎ＝２とｎ＝３のＣ型関係式使用の比較

細実線：（４－１５）式使用 Ｋ＝100、ｃ＝0.005、ｎ＝２

太実線：（４－１９）式使用 Ｋ＝100、ｃ＝0.0002、ｎ＝３

肉厚条件は下から ｔ０Ｔ＝ｔ０４＝1.10、 1.20、 1.50、 2.00

即ち、ｔ０＝1.0241、 1.0466、 1.1067、 1.1892

３８

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7

Ｐ：ボ

ール

の内

圧

α３：外面伸び倍率

第５章 ゴムチューブ１層計算法

５．１ チューブ１層計算法関係式の導出

ゴムチューブの肉厚を１層で考える事は、チューブ肉厚部の内面側と外面側との伸びを

同じであると考える事である。実際には、内面側の伸びは大きく、外面側の伸びはそれより

小さいのであるが、肉厚が十分薄い場合、即ち、肉厚がチューブの径に比べて十分小さい場

合には、内外面の伸びの差は無視でき、１層で考える事ができる。この場合は、チューブと

いうよりも細長い風船と考える方が、違和感が無いかもしれない。細長い風船とチューブは

同形である。

ゴムチューブの構造を図５．１に示す。この図は管状の４分の１を切り取って示している。

チューブの長さ方向（中心軸方向）をｘ軸方向、チューブの円周方向をｙ軸方向、肉厚方向

をｚ軸方向とする。

図５．１

３９

ゴムチューブの初期状態を以下の（５-１）～（５-５）式で表わす。

（５-１） 長さ＝Ｌ０ （これは単位の長さと考えても良い）

（５-２） 内半径＝Ｒ０

（５-３） 外半径＝Ｒ０ｔ０ ただし、ｔ０＝外径／内径

（５-４） 肉厚倍率＝ｔ０－1

（５-５） 肉厚＝Ｔ０＝Ｒ０（ｔ０－1）

外径と内径の比ｔ０を導入し、内径のｔ０倍が外径になるようにする。

このゴムチューブに内圧Ｐが作用し、長さＬ０がα倍に伸び、内半径Ｒ０がβ倍に膨らむ

とする。チューブの長さ方向の伸びはチューブ肉厚部の内面も外面も同じくα倍である。ま

た、内半径Ｒ０がβ倍に膨らんだということは円周方向の伸びがβ倍になったということで

あり、内外面の伸びの差は無視できるとしたから、内面も外面も同じβ倍に引き伸ばされて

いる。αとβは二次元伸び倍率である。

作用力と張力

ここで、内圧Ｐがチューブにおよぼす作用力と、チューブ肉厚部が伸びによって発生させ

る張力との釣り合いを考える。内圧Ｐとは、大気圧からの増加圧力である。チューブでは風

船と違って、ｘ軸方向とｙ軸方向に異なった作用力が働くので、それぞれの方向に分けて考

える必要がある。それぞれの方向の作用力と張力は以下のようになる。

まず、内圧Ｐがチューブの長さ方向（ｘ軸方向）におよぼす作用力ＦＰＸはチューブの長

さ方向に垂直なチューブ内断面積ＳＰＸと内圧Ｐの積であり、ＳＰＸ＝πＲ０２β２だから、

（５-６）式で表される。

（５-６） ｘ軸方向作用力：ＦＰＸ＝πＲ０２β２Ｐ

内圧Ｐがチューブの径方向に及ぼす作用力ＦＰＹはチューブ肉厚部を円周方向（ｙ軸方向）

に引っ張る作用力であり、この作用力ＦＰＹは長さＬ０のチューブをチューブの中心軸を含む

平面で切断したとき現れるチューブ内断面積ＳＰＹと内圧Ｐの積であり、ＳＰＹ＝２Ｒ０βＬ０

αだから、（５-７）式で表される。

４０

（５-７） ｙ軸方向作用力：ＦＰＹ＝２Ｒ０βＬ０αＰ

チューブの長さ方向（ｘ軸方向）の張力ＦＴＸは、チューブ肉厚部の長さ方向に垂直な初期

断面積Ｓ０Ｘと、チューブゴム材料の初期単位断面積当りの張力ｆ０Ｘの積であり、Ｓ０Ｘ＝π

Ｒ０２（ｔ０２－１）だから、（５-８）式で表される。

（５-８） ｘ軸方向張力：ＦＴＸ＝πＲ０２（ｔ０２－１）ｆ０Ｘ

チューブの円周方向（ｙ軸方向）の張力ＦＴＹは、長さＬ０のチューブを中心軸を含む平面で

切断したとき現れるチューブ肉厚部の初期断面積Ｓ０Ｙと、チューブゴム材料の初期単位断

面積当りの張力ｆ０Ｙの積であり、Ｓ０Ｙ＝２Ｒ０（ｔ０－1）Ｌ０だから、（５-９）式で表され

る。

（５-９） ｙ軸方向張力：ＦＴＹ＝２Ｒ０（ｔ０－1）Ｌ０ｆ０Ｙ

作用力と張力の釣り合い

上記のｘｙ各軸方向の作用力と張力の釣り合いを考えると以下のようになる。

ｘ軸方向およびｙ軸方向の釣り合いは ＦＰＸ＝ＦＴＸ および ＦＰＹ＝ＦＴＹ だから、

（５-６）～（５-９）式より

（５-１０） ｘ軸方向の力の釣り合い：β２Ｐ＝（ｔ０２－１）ｆ０Ｘ

（５-１１） ｙ軸方向の力の釣り合い：αβＰ＝（ｔ０－1）ｆ０Ｙ

となる。（５-１０）式、（５-１１）式がｘ軸方向およびｙ軸方向におけるチューブの内圧伸

び関係式である。

４１

５．２ ｎ＝２のＣ型関係式使用

ここで、（５-１０）式、（５-１１）式に使用する張力ｆ０として、風船の考察で最もよく

実験結果を表現できたＣ型関係式を使用する。

最初は、ｎ＝２のＣ型関係式を使用する。ｘ軸方向およびｙ軸方向に対応したＣ型関係式

は以下のとおりである。（ただし、ここではｆ０Ｘとｆ０Ｙとは同じ関係式であるとする。実際

のチューブではその製作法によりｘ軸方向とｙ軸方向で張力伸び関係式が異なってくる場

合も考えられるが、今はそこまで考慮しない。）

（５-１２） ｆ０Ｘ＝Ｋ｛１－λＸ－１＋ｃ（λＸ－１）２｝

（５-１３） ｆ０Ｙ＝Ｋ｛１－λＹ－１＋ｃ（λＹ－１）２｝

これらの式を（５-１０）式、（５-１１）式に代入する。λＸとλＹは一次元伸び倍率である。

そこで、１．１．２の（１-１６）式、（１-１７）式で示したように、λＸ＝α４/３β２/３、λ

Ｙ＝α２/３β４/３であるから、λＸ、λＹを二次元伸び倍率α、βに変換して整理すると

（５-１４） ｘ軸方向の内圧伸び関係：

Ｐ＝Ｋ（ｔ０２－１）β－２｛１－α－４/３β－２/３＋ｃ（α４/３β２/３－１）２｝

（５-１５） ｙ軸方向の内圧伸び関係：

Ｐ＝Ｋ（ｔ０-1）α－１β－１｛１－α－２/３β－４/３＋ｃ（α２/３β４/３－１）２｝

となる。

次に、上記（５-１４）式と（５-１５）式を満足する二次元伸び倍率α、βと内圧Ｐを求

める。方程式として解くのは難しいが、Excelの数値計算で（５-１４）式と（５-１５）式

を満足するα、βの組み合わせを求め