レプトンと核子の散乱Scattering of leptons

and nucleons

大学院講義素粒子実験

織田勧

2018年11月22日(木)

1

電子と静電荷の弾性散乱Elastic scattering of electrons and static charges

•𝑑𝜎

𝑑Ω Mott

∗=

𝑍2𝛼2

4 Ԧ𝑝 4𝛽2 sin4𝜃

2

1 − 𝛽2 sin2𝜃

2

• * は反跳がないという意味。* stands for no recoil.

• 4元運動量 four-momenta• 入射電子 incoming electron: 𝑝 = 𝐸, Ԧ𝑝

• 出射電子 outgoing electron: 𝑝′ = 𝐸′, 𝑝′

• エネルギー energy: 𝐸 = 𝐸′

• 運動量 momentum: Ԧ𝑝 = 𝑝′

• 速度 electron velocity: 𝛽 = Ԧ𝑝 /𝐸

• 散乱角 scattering angle: Ԧ𝑝 ∙ 𝑝′ = Ԧ𝑝 2 cos 𝜃• 電子の質量 electron mass: 𝑚• 静電荷 static charge: +𝑍𝑒• 微細構造定数 fine structure constant: 𝛼 = Τ𝑒2 4𝜋

2

𝜃Ԧ𝑝𝑝′

弾性散乱Elastic scattering

電子と原子核の弾性散乱Elastic scattering of electrons and nuclei

•𝑑𝜎

𝑑Ω=

𝑑𝜎

𝑑Ω Mott

∗𝐹 Ԧ𝑞2 2

• 𝐹 Ԧ𝑞2 : 形状因子 form factor

• 𝐹 Ԧ𝑞2 = exp 𝑖 Ԧ𝑞 Ԧ𝑥 𝜌 Ԧ𝑥 𝑑3𝑥

• 𝜌 Ԧ𝑥 : 電荷分布 charge distribution

• 𝜌 Ԧ𝑥 =1

2𝜋 3 𝐹 Ԧ𝑞2 exp −𝑖 Ԧ𝑞 Ԧ𝑥 𝑑3𝑞

• 形状因子は電荷分布のフーリエ変換The form factor is the Fourier transform of the charge distribution.

• 𝜌 Ԧ𝑥 が𝑟 = Ԧ𝑥 にのみに依存するなら、If 𝜌 Ԧ𝑥 depends only on 𝑟 = Ԧ𝑥 ,

𝐹 Ԧ𝑞2 = 4𝜋න𝜌 𝑟sin Ԧ𝑞 𝑟

Ԧ𝑞 𝑟𝑟2𝑑𝑟

3

電子と原子核の弾性散乱Elastic scattering of electrons and nuclei

4

Figures are taken from Particles and Nuclei, Povh, Rith, Scholz, Zetsche

電子と電荷の反跳のある弾性散乱Elastic scattering of electrons and charges with recoil

• 静止している荷電粒子に電子が散乱される。An electron is scattered by a charged particle at rest.

• 荷電粒子の質量 charged particle mass: 𝑀

• 散乱後の電子のエネルギーElectron energy after scattering 𝐸′ = ൗ𝐸 1 +

𝐸

𝑀1 − cos 𝜃

•𝑑𝜎

𝑑Ω Mott=

𝑑𝜎

𝑑Ω Mott

∗∙𝐸′

𝐸

• 4元運動量移行 four-momentum transfer𝑞2 = 𝑝 − 𝑝′ 2 = 2𝑚2 − 2 𝐸𝐸′ − Ԧ𝑝 𝑝′ cos 𝜃

≃ −2𝐸𝐸′ 1 − cos 𝜃 = −4𝐸𝐸′ sin2𝜃

2• 𝑄2 = −𝑞2 > 0

5

反跳ありWith recoil 反跳なしWithout recoil𝜃𝐸

𝐸′

磁気モーメントMagnetic moment

• 質量𝑀のスピン1/2の荷電粒子の磁気モーメントMagnetic moment of a charged spin-1/2 particle with mass of 𝑀

𝜇 = 𝑔 ⋅𝑒

2𝑀⋅ℏ

2• 内部構造を持たない場合 Without internal structure𝑔 = 2 (最低次 the lowest order)

• 核磁子 nuclear magneton

𝜇N =𝑒ℏ

2𝑀𝑝= 3.1525 × 10−14 MeV T-1

• 陽子 proton: 𝜇p =𝑔p

2𝜇N = +2.79 ∙ 𝜇N

• 中性子 neutron: 𝜇n =𝑔n

2𝜇N = −1.91 ∙ 𝜇N

6

電子とスピン1/2の点状粒子との弾性散乱Elastic scattering of electrons and spin 1/2 point-like particles

• 𝜏 = Τ𝑄2 4𝑀2

•𝑑𝜎

𝑑Ω pointspin 1/2

=𝑑𝜎

𝑑Ω Mott1 + 2𝜏 tan2

𝜃

2

• ディラック散乱 Dirac scattering

7

磁気モーメントの寄与Contribution of magnetic moment

電子と核子との弾性散乱Elastic scattering of electrons and nucleons

8

• 𝜏 = Τ𝑄2 4𝑀2

•𝑑𝜎

𝑑Ω=

𝑑𝜎

𝑑Ω Mott

𝐺E2 𝑄2 +𝜏𝐺M

2 𝑄2

1+𝜏+ 2𝜏𝐺M

2 𝑄2 tan2𝜃

2

• ローゼンブルースの式 Rosenbluth formula

• 核子 nucleons: 陽子と中性子 protons and neutrons

• 𝐺E 𝑄2 : 電気形状因子 electric form factor

• 𝐺E 𝑄2 = exp 𝑖 Ԧ𝑞 Ԧ𝑥 𝜌 Ԧ𝑥 𝑑3𝑥

• 𝐺M 𝑄2 : 磁気形状因子 magnetic form factor

• 𝑄2 = 0で、𝐺E 𝑄2 は規格化された電荷に、𝐺M 𝑄2 は規格化された磁気モーメントに一致する。At 𝑄2 = 0, 𝐺E 𝑄2 is equal to the normalized charge and 𝐺M 𝑄2 is equal to the normalize magnetic moment.

• 𝐺Ep𝑄2 = 0 = 1

• 𝐺En 𝑄2 = 0 = 0

• 𝐺Mp𝑄2 = 0 = 2.79

• 𝐺Mn 𝑄2 = 0 = −1.91

9電子と核子との弾性散乱Elastic scattering of electrons and nucleons

• 𝐺Ep𝑄2 =

𝐺Mp𝑄2

2.79=

𝐺Mn 𝑄2

−1.91= 𝐺dipole 𝑄2

• 𝐺dipole 𝑄2 = 1 +𝑄2

0.71 GeV2

−2

• 𝜌 𝑟 = 𝜌 0 exp −𝑎𝑟 with 𝑎 = 4.27 fm−1

• 𝑟2 dipole = −6ℏ2 ฬ𝑑𝐺dipole 𝑄2

𝑑𝑄2 𝑄2=0=

12

𝑎2= 0.66 fm2

• 二乗平均平方根 root mean square

𝑟2 dipole = 0.81 fm

10電子と核子との弾性散乱Elastic scattering of electrons and nucleons

核子の形状因子Nucleon form factors • F: Fermi = fm

• ℏ𝑐 = 1 = 197.2 MeV fm

• 1 F-2 ~ 0.04 GeV2

11

Phys. Rev. 139, B458 – Published 26 July 1965https://doi.org/10.1103/PhysRev.139.B458

陽子サイズの謎 Proton size puzzle

• The Rydberg constant and proton size from atomic hydrogenhttp://dx.doi.org/10.1126/science.aah6677

12

電子と核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of electrons and nucleons

• 非弾性散乱: 入射粒子のエネルギーが保存されないような散乱。

• Inelastic scattering: scattering in which the energy of an incident particle is not conserved.

13

電子 electron 電子 electron

核子 nucleon ハドロン hadron

光子 photon

時間 time 𝑡

• 散乱前の電子の4元運動量four-momentum of electron before scattering

𝑝 = 𝐸, Ԧ𝑝

• 散乱後の電子の4元運動量four-momentum of electron after scattering

𝑝′ = 𝐸′, 𝑝′

• 散乱前の核子の4元運動量four-momentum of nucleon before scattering

𝑃 = 𝑀, 0

• 交換される光子の4元運動量 (4元運動量移行)four-momentum of exchanged photon (four-momentum transfer)

𝑞 = 𝐸 − 𝐸′, Ԧ𝑝 − 𝑝′

14電子と核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of electrons and nucleons

静止している at rest

• 𝑄2 = −𝑞2 > 0, 𝑄2~𝜆−2

• 分解能、波長 resolution wave length 𝜆

• エネルギー移行 energy transfer𝜈 ≡ 𝐸 − 𝐸′

• 不変質量 invariant mass 𝑊:𝑊2 ≡ 𝑀𝑋

2 = 𝑃 + 𝑞 2 = 𝑃2 + 2𝑃𝑞 + 𝑞2

= 𝑀2 + 2𝑀 𝐸 − 𝐸′ − 𝑄2 = 𝑀2 + 2𝑀𝜈 − 𝑄2

• 弾性散乱の時には In the case of elastic scattering𝑊 = 𝑀 ⇒ 2𝑀𝜈 − 𝑄2 = 0

• 非弾性散乱の時には In the case of inelastic scattering𝑊 > 𝑀 ⇒ 2𝑀𝜈 − 𝑄2 > 0

• ビョールケンエックス Bjorken x𝑥 ≡ 𝑄2/2𝑀𝜈

15電子と核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of electrons and nucleons

𝑋

• 弾性散乱の場合は独立な変数は一つ。In the case of elastic scattering, there is only one independent parameter.• 𝜃

• 𝐸′ = ൗ𝐸 1 +𝐸

𝑀1 − cos 𝜃

• (𝑥 = 1)

• 非弾性散乱の場合は独立な変数は二つ。In the case of inelastic scattering, there are two independent parameters.• 𝜃 and 𝐸′

• 𝑄2 and 𝜈

• 𝑥 and 𝑄2

• (0 < 𝑥 < 1)

16電子と核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of electrons and nucleons

• https://doi.org/10.1103/PhysRevD.12.1884• Phys. Rev. D 12, 1884

• SLAC国立加速器研究所• SLAC National Accelerator Laboratory

• Stanford Linear Accelerator Center

• アメリカ・カリフォルニア

17電子と核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of electrons and nucleons

The SLAC 20-GeV spectrometer18

• 散乱後の電子の運動量と角度を測る。• Measure momenta and angles of scattered electrons

検出器の配置 Detector arrangement19

• 散乱後の電子の運動量と角度を測る。• Measure momenta and angles of scattered electrons

微分断面積Differential cross section

20 𝑑2σ

𝑑Ω𝑑𝐸′𝑊vs

液体水素標的Liquid hydrogen target

液体重水素標的Liquid deuterium target

𝑝 𝑑 = 𝑝 + 𝑛

共鳴状態 resonances21

ノーベル物理学賞1990年Nobel physics prize in 1990

• 素粒子物理学のクォーク模型の発展に本質的な重要性を持った、陽子と束縛中性子標的による電子の深非弾性散乱に関する先駆的研究

• for their pioneering investigations concerning deep inelastic scattering of electrons on protons and bound neutrons, which have been of essential importance for the development of the quark model in particle physics

22

Phys. Rev. Lett. 23, 935 (1969)https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.23.935

• 𝑊 > 2 GeVでは、比(~形状因子)が𝑊や𝑄2に弱くしか依存しない。

• For 𝑊 > 2 GeV, the ratio (~form factors) only depends weakly on 𝑊 and 𝑄2.

• 𝑄2依存性がないことは点電荷を意味する。

• Independence of 𝑄2 implies point charge.

• 核子内部の点状粒子(パートン)の存在を示唆。

• Suggesting existence of point-like particles (partons) in nucleons.

23

൘𝑑2𝜎

𝑑Ω𝑑𝐸′

𝑑𝜎

𝑑ΩMott

∗

vs 𝑄2

構造関数 structure functions

•𝑑2𝜎

𝑑Ω𝑑𝐸′=

𝑑𝜎

𝑑Ω Mott

∗𝑊2 𝑄2, 𝜈 + 2𝑊1 𝑄2, 𝜈 tan2

𝜃

2

• 𝐹1 𝑥, 𝑄2 = 𝑀𝑊1 𝑄2, 𝜈

• 𝐹2 𝑥, 𝑄2 = 𝜈𝑊2 𝑄2, 𝜈

• 𝑊𝑖, 𝐹𝑖: 構造関数 structure function

• 𝑦 =𝑃∙𝑞

𝑃∙𝑝=

𝑀𝜈

𝑀𝐸= 1 −

𝐸′

𝐸

•𝑑2𝜎

𝑑𝑥𝑑𝑄2=

4𝜋𝛼2

𝑄41−𝑦

𝑥𝐹2 𝑥, 𝑄2 + 𝑦2𝐹1 𝑥, 𝑄2

• 構造関数が核子の内部構造を反映する。

• Structure functions reflect the internal structure of nucleons.

24

パートン模型 The parton model

• 核子内の点状の構成要素をパートンと呼ぶ。Point-like constituents inside nucleons are called partons.

• ファインマンとビョールケンはパートンが電子と弾性散乱するパートン模型を提唱した。Feynman and Bjorken proposed the parton model where partons and electrons are scattered elastically.

• パートンが担っていた4元運動量の、核子の4元運動量に対する割合を𝑥とする。The fraction of the four-momentum of a parton to one of the nucleon is 𝑥.

• 終状態のパートンの4元運動量は 𝑥𝑃 + 𝑞 となる。The four-momentum of the parton in the final state is 𝑥𝑃 + 𝑞 .

25

パートン模型 The parton model

• 𝑥𝑃 + 𝑞 2 = 𝑥2𝑀2 + 2𝑥𝑃𝑞 − 𝑄2

~ 2𝑥𝑃𝑞 − 𝑄2

~ 0

• 𝑥 =𝑄2

2𝑃𝑞=

𝑄2

2𝑀𝜐: ビョールケンエックス Bjorken x

26

高エネルギーの散乱High energy scattering

パートンの質量は無視できる。Parton mass can be ignored.

𝑝 𝑝′

𝑞𝑥𝑃

𝑃

𝑥𝑃 + 𝑞

電子 electron 電子 electron

核子 nucleon

ハドロン hadron

光子 photon

キャラン・グロスの関係Callan-Gross relation•

𝑑𝜎

𝑑Ω pointspin 1/2

=𝑑𝜎

𝑑Ω Mott1 + 2𝜏 tan2

𝜃

2

•𝑑2𝜎

𝑑Ω𝑑𝐸′=

𝑑𝜎

𝑑Ω Mott

∗𝑊2 𝑄2, 𝜈 + 2𝑊1 𝑄2, 𝜈 tan2

𝜃

2

2𝑊1

𝑊2= 2𝜏 =

𝑄2

2𝑚𝑝2

• 𝑚𝑝: パートンの質量 parton mass

•2𝐹1𝑀𝐹2𝜈

= 2𝜈

𝑀

𝐹1

𝐹2=

𝑄2

2𝑚𝑝2

• 𝑚𝑝 = 𝑥𝑀 =𝑄2

2𝑀𝜈𝑀 =

𝑄2

2𝜈

• 𝐹2 =4𝑚𝑝

2𝜈

𝑀𝑄2𝐹1 =

4 𝑥𝑀 2𝜈

𝑀𝑄2𝐹1 = 2𝑥2

2𝑀𝜈

𝑄2𝐹1 = 2𝑥𝐹1

27

もしパートンがスピン1/2の点状粒子なら、If partons are spin-1/2 point-like particles

キャラン・グロスの関係Callan-Gross relation

• 結果はキャラン・グロスの関係を満たすので、パートンがスピン1/2の点状粒子であることを意味する。

• The result satisfies the Callan-Gross relation and means partons are spin-1/2 point-like particles.

28

Figure is taken from Particles and Nuclei, Povh, Rith, Scholz, Zetsche

パートン分布関数Parton distribution function (PDF)• パートンがクォークだと考えると、クォークごとのパートン分布関数を用いて、構想関数は以下のように書ける。Assuming partons are quarks, using the partondistribution function of each quark flavor, the structure function becomes as follows.

• 𝐹2 𝑥, 𝑄2 = σ𝑞 𝑥𝑄𝑞2𝑞 𝑥, 𝑄2

= 𝑥2

3

2

𝑢 𝑥, 𝑄2 + −1

3

2

𝑑 𝑥, 𝑄2 +2

3

2

ത𝑢 𝑥, 𝑄2 + −1

3

2

ҧ𝑑 𝑥, 𝑄2 +⋯

29

パートン分布関数Parton distribution function (PDF)

30

𝑞(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝑞(𝑥)

𝑥 𝑥 𝑥0 1 1 0 11/3 0 1/3 1/3

核子の中に3個のクォークが静止している場合In the case of three quarks are at rest in a nucleon.

クォークに相互作用がある場合In the case of quarks have interactions.

反クォーク(海クォーク)もある場合In the case of there are anti-quarks (sea quarks).

• チャーム、ボトム、トップクォークの寄与は無視すると、Ignoring contributions of charm, bottom and top quarks,

• 𝐹2ep

𝑥 = 𝑥1

9𝑑vp+ 𝑑s + ҧ𝑑s +

4

9𝑢vp+ 𝑢s + ത𝑢s +

1

9𝑠s + ҧ𝑠s

• 𝐹2en 𝑥 = 𝑥

1

9𝑑vn + 𝑑s + ҧ𝑑s +

4

9𝑢vn + 𝑢s + ത𝑢s +

1

9𝑠s + ҧ𝑠s

• 以下の関係式が成り立つと仮定する。Assume there are the following relationships:• 𝑢v

p𝑥 = 𝑑v

n 𝑥

• 𝑑vp𝑥 = 𝑢v

n 𝑥

• 𝑑s 𝑥 = ҧ𝑑s 𝑥 = 𝑢s 𝑥 = ത𝑢s 𝑥

31 パートン分布関数Parton distribution function (PDF)

• 平均の核子の構造関数はThe structure function of an average nucleon is

𝐹2eN 𝑥 =

1

2𝐹2ep

𝑥 + 𝐹2en 𝑥

= 𝑥5

18

𝑞=𝑑,𝑢

𝑞 𝑥 + ത𝑞(𝑥) +1

9𝑠s(𝑥) + ҧ𝑠s(𝑥)

• ミューオンと核子との深非弾性散乱の場合も電子と核子との深非弾性散乱の場合と同様になる。Deep inelastic scattering of muons and nucleons are the same as the deep inelastic scattering of electrons and nucleons.

32 パートン分布関数Parton distribution function (PDF)

ニュートリノと核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of neutrinos and nucleons

• ニュートリノとの核子の散乱は電磁相互作用でなく弱い相互作用が働く。In neutrino nucleon scattering, weak interaction occurs instead of electromagnetic interaction.

• 弱電荷は全てのクォークに共通。Weak charge is the same for all quarks.

• W粒子が交換される。W bosons are exchanged.

• 𝜈𝜇 + 𝑑 → 𝜇− + 𝑢

• 𝜈𝜇 + ത𝑢 → 𝜇− + ҧ𝑑

• ҧ𝜈𝜇 + 𝑑 → 𝜇+ + 𝑢

• ҧ𝜈𝜇 + ҧ𝑑 → 𝜇+ + ത𝑢

33

• 𝐹2νN 𝑥 = 𝑥 𝑑 𝑥 + ҧ𝑑 𝑥 + 𝑢 𝑥 + ത𝑢 𝑥 + 𝑠 𝑥 + ҧ𝑠(𝑥)

• 𝑠と ҧ𝑠クォークの影響が無視できる領域で、In the region where effects of 𝑠 and ҧ𝑠 quarks can be ignored,

𝐹2𝜈N

𝐹2eN ~

18

5

34ニュートリノと核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of neutrinos and nucleons

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00221923/document

𝑥𝐹3𝜈𝑁 =

𝑥 𝑢 𝑥 − ത𝑢 𝑥 + 𝑑 𝑥 − ҧ𝑑(𝑥)

35

http://pdg.lbl.gov/2018/reviews/rpp2018-rev-nu-cross-sections.pdf

ニュートリノと核子との深非弾性散乱Deep inelastic scattering of neutrinos and nucleons

http://inspirehep.net/record/649532

HERA加速器HERA accelerator• ドイツ・ハンブルクのDESY研究所にあった電子陽子衝突型加速器。• 2007年まで運転

• Electron-proton collider existed at DESY in Hamburg, Germany.• Operated until 2007.

• 電子ビームエネルギー Electron beam energy: 30 GeV

• 陽子ビームエネルギー Proton beam energy: 920 GeV

• 重心系エネルギー Center of mass energy: 318 GeV

36

http://ppwww.phys.sci.kobe-u.ac.jp/~yamazaki/lectures/07/modernphysII-yamazaki07.pdf

ZEUS実験 ZEUS experiment37

http://www.mit.edu/~hasell/DKH_zeus.html arXiv:1308.3368 [hep-ex]

𝑒− 𝑝

COMPASS 実験 COMPASS experiment

• スイス・ジュネーブのCERN研究所のSPS加速器At SPS accelerator, at CERN, in Geneva, Switzerland

• ミューオン、パイオン、陽子ビームMuon, pion and proton beams

• 偏極アンモニア標的 Polarized NH3 target

38

構造関数F2の測定結果Measurement results of structure function F2

39

http://pdg.lbl.gov/2018/reviews/rpp2018-rev-structure-function-figs.pdf

最近求められたPDFの一例40

https://arxiv.org/abs/1506.07443

横軸: パートンの運動量の割合 x縦軸: パートンの個数密度fにxを掛けたものxの小さいパートン、特にグルーオンが数多く存在する

陽子のイメージ41

• クォーク3個から出来ているわけではない.

• 数多くのクォーク、反クォークとグルーオンが存在する.• あわせてパートン(parton, 部分子)と呼ぶ

• エネルギー(=“見る分解能”)によって、数は異なる

https://www.bnl.gov/today/body_pics/2016/02/nucleon-pic-evol-HR.jpg